Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc âm và tạo với trục hoành một góc 0 45.. Trong hệ toạ độ Oxy ,
Trang 1SỞ GD&ĐT THANH HOÁ
TR ƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN, kh ối D
Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2
3
1
x x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc âm và tạo với trục hoành một góc 0
45
Câu II (2,0 điểm)
2 sin (cosx x−sin x)=sinx+ 3 cos 3x
0 3
4 1
0 6
2 2
2 2
∈
=
−
−
−
− +
=
−
−
y x y
x y
x
y x
Câu III (1,0 điểm) Tìm ∫
+
x
x x
) 4 sin(
2 cos ) 2 sin 1 (
π
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AC=a,BC=2a,∠ACB=1200,AC t' ạo
với mặt phẳng (ABC) một góc 600, G là trọng tâm tam giác AB'C' Tính thể tích khối tứ diện GABC
Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y=x−2 x2+1
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh ch ỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo ch ương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong hệ toạ độ Oxy , lập phương trình các đường thẳng đi qua M( )1;3 và cách điểm I( )3 −; 1 một khoảng bằng 2
2 Trong hệ toạ độ Oxy , lập phương trình đường tròn đi qua A( )−2;1 và tiếp xúc với các trục toạ độ
5
5(3 2) 1 log (2 3) log
B Theo ch ương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn ( )C :x2 + y2−6x+2y+6=0 Lập phương trình các tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm M( )1;3
2 Trong hệ toạ độ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm M( )2;3 và có phương trình
một đường chuẩn là x+8=0
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
=
−
− +
=
−
−
1 ) 3 2 ( log ) 3 2 ( log
0 125 9
4
5 5
2 2
y x y
x
y x
-H ết -
Thí sinh không s ử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ọ và tên thí sinh……….; Số báo danh………
Trang 2Trang 1/4
SỞ GD&ĐT THANH HOÁ
TR ƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
Môn thi: TOÁN, kh ối D
( Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
1.(1.0 điểm)
• Tập xác định: D=R
• Sự biến thiên:
2
; 0 0
'= ⇔x= x=
y
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;0);(2;+∞) nghịch biến trên khoảng (0;2)
-Cực trị:Hàm số đạt cực đại tại x=0; ycđ=0; hàm số đạt cực tiểu tại x=2; yct
3
4
−
=
-Giới hạn và tiệm cận: lim
x → -∞y = −∞, lim
x → +∞y = +∞
0.25
- Bảng biến thiên:
0.25
• Đồ thị:
2
-2
-4
0.25
2.(1.0 điểm)
Vì tiếp tuyến có hệ số góc âm và tạo với trục hoành một góc 0
45 nên tiếp tuyến có hệ số góc k=−1 0.25
1
1 2 1
=
⇔
−
=
−
⇔
−
=
x
x x y
0.25
với
3
2
1⇒ =−
I
(2.0
điểm)
⇒ phương trình tiếp tuyến là
3
2 ) 1 ( − −
−
3
1 +
−
= x y
0.25
0
+
-
0
x y’
∞
−
0
y
∞ +
∞
+
y
x
O
-4/3
Trang 3Câu Đáp án Điểm 1.(1.0 điểm)
phương trình đã cho tương đương với
x x
x
x.cos2 sin 3cos3
sin
x x
2
3 3 sin
2
3 3 sin( − =
) ( 2 3
3
2 3
3
Z k k x x
k x x
∈
+
−
=
−
+
=
−
⇔
π π
π
π π
2 6
6
Z k k x
k x
∈
+
=
+
=
⇔
π π
π π
) ( 2
Vậy phương trình có nghiệm ( )
2
2.(1.0 điểm)
Điều kiện : x − y≠0
Hệ đã cho tương đương với: ( )( )
=
−
−
−
− +
=
− +
0 3
4 )
1 (
6
2 2
y x y
x
y x y x
0.25
Đặt a=x+ y,b=x−y (b≠0) ta có
=
−
−
−
=
0 3 4 ) 1 ( 6
2 2
b a
ab
0.25
=
−
− +
−
=
⇔
0 3 9 1 2 6 1
2
a a
a b
−
=
−
=
=
=
⇔
8 4 3 2 3
b a b a
II
(2.0
điểm)
−
=
−
−
= +
=
−
= +
⇔
8 4 3 2 3
y x
y x
y x
y x
=
−
=
=
=
⇔
8 29 8 35 2 1 2 5
y x y x
0.25
dx x x x
x x
xdx x
) 4 sin(
2 cos ) 2 sin 1
− +
= +
+
Đặt t=sinx+cosx →dt =(cosx−sinx)dx 0.25
=
= ∫t dt
III
(1.0
điểm)
C x x
c t
) cos (sin
3
2 3
2
0.25
Trang 4Trang 3/4
Ta có
2
3 sin
2
ACB BC
AC
Vì CC'⊥(ABC) nên
0 60 '
)) ( , '
∠ AC ABC C AC
3 60
tan
⇒
0.25
3
2 ' 3
2 )) ( ,
IV
(1.0
điểm)
3 ))
( , ( 3
S ABC G d
V GABC = ∆ABC= ( đơn vị thể tích)
Vậy
3
3
a
V GABC = ( đơn vị thể tích)
0.25
Tập xác định D=R
1
2 1
2
'
+
−
=
x
x
3
1 0
' = ⇔ x=
Ta có bảng biến thiên
0.25
V
(1.0
điểm)
Từ bảng biến thiên ta có maxy=− 3 khi
3
1
=
1.(1.0 điểm)
Phương trình đường thẳng qua M có dạng a(x−1)+b(y−3)=0 (∆) với a2+ b2 ≠0
2 4 2 2
) ,
(
2 2
= +
−
⇔
=
∆
b a
b a I
=
=
⇔
a b
b
4 3
0
0.25
Với 3b=4a chọn =3;b=4 ta có 3x + y4 −15=0
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn đề bài là:x−1=0 và 3x + y4 −15=0 0.25
2.(1.0 điểm)
G ọi I ( b a; ) là tâm của đường tròn và đường tròn đi qua A và tiếp xúc với các trục toạ độ nên
) , ( ) , (I Ox d I Oy d
a b b
) 1 ( ) 2
=
−
=
⇔
1
1
b
a
hoặc
=
−
= 5
5
b
a
0.25
VIa
(1.0
điểm)
Có hai đường tròn thoả mãn là
(x+1)2+(y−1)2 =1 Và (x+5)2 +(y−5)2 =25 0.25
B’
A
C
B
A’
C’
G
x y’
y
∞
1
0
3
−
Trang 5Điều kiện
3
2
−
>
x (*)
5 2
55(3 2) log (2 3)
⇔ x x 0.25 3
2
) 3 2 ( ) 2 3
(
−
=
=
⇔
= +
−
−
8 7
1 0
7 6 9
x
x x
x
VIIa
(1.0
điểm)
Đối chiếu với điều kiện ta được x=1
1.(1.0 điểm)
Đường tròn có tâm I( −3; 1) bán kính R=2
Phương trình tiếp tuyến qua A(1;3) có dạng a(x−1)+b(y−3)=0 (∆) với a2 + b2 ≠0 0.25
2 4 2 2
) ,
(
2 2
= +
−
⇔
=
∆
b a
b a I
=
=
⇔
a b
b
4 3
0
0.25
Với 3b=4a chọn =3;b=4 ta có 3x + y4 −15=0
Vậy có hai tiếp tuyến là:x−1=0 và 3x + y4 −15=0 0.25
2.(1.0 điểm)
Gọi phương trình ( ): 2 1 ( 0)
2 2
2
>
>
=
b
y a
x
=
= +
) 2 ( 8
) 1 ( 1 9 4
2
2 2
c a
b a
0.25
Ta có(2)⇔a2 =8c⇒b2=a2−c2=8c−c2 =c(8−c).Thay vào (1) ta được 1
) 8 (
9 8
4
=
−
+
c c
=
=
⇔
= +
−
⇔
2 13
2 0
26 17
2 2
c
c c
VIb
(1.0
điểm)
12 16 : ) ( 12 ,
16
2 2 2
a
* Nếu
2
13
=
4 / 39 52 : ) ( 4
39 ,
52
2 2 2
a
0.25
Điều kiện:
>
−
>
+ 0 3 2
0 3 2
y x
y x
Hệ phương trình đã cho tương đương với
=
−
− +
=
− +
+
1 ) 3 2 ( log ) 3 2 ( log
3 ) 3 2 ( log ) 3 2 ( log
5 5
5 5
y x y
x
y x y
=
−
= +
⇔
1 ) 3 2 ( log
2 ) 3 2 ( log
5
5
y x
y x
0.25
=
−
= +
⇔
5 3 2
25 3 2
y x
y x
0.25
VIIb
(1.0
điểm)
=
=
⇔
3 10 2 15
y
x
( thoả mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình có nghiệm
=
=
⇔
3 10 2 15
y
x
0.25
-Hết -