Đề thi thử đại học khối A , A1 , B , D môn toán năm 2012 đề số 199

Đề thi thử đại học khối A , A1 , B , D môn toán năm 2012 đề số 199 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ...

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN IV NĂM 2012 Môn thi: TOÁN – KHỐI A;B;V

Ngày thi: 06/05/2012

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

CâuI (2 điểm): Cho hàm số y = x m

x

2 1

+ + (1), m là tham số thực

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= 1

2) Xác định tất cả các tham số thực m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng d x y: + - = tại hai 1 0 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1( O là gốc tọa độ )

Câu II (2 điểm):

1) Giải phương trình: x x x

1 cos3

p

+

2) Giải bất phương trình: x x

( 2) 1 ( 1)

+

-Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I x x dx

x

1

2 2

4 0

2 ( 1)

-= -ò

Câu IV (1 điểm): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có mặt đáy ABC vuông tại B và AB = a, BC = 2a,

AA¢ = 3a Từ A kẻ AM ^ A¢C, AN ^ A¢B (M ÎCC¢, N Î BB¢) Chứng minh rằng A¢C vuông góc

với mặt phẳng (AMN) Tính diện tích tam giác AMN

Câu V (1 điểm): Cho x y z , , là ba số thực dương thỏa mãn: x y y z z x( + )( + )( + ) 8 = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P

xyz

3

II-PHẦN RIÊNG: Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B

A.Theo chương trình chuẩn

Câu VIa (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(3; 1) nằm trên đường thẳng AB,

phương trình đường phân giác trong của góc A: x y 1 0 - - = và đường cao qua C: x y2 + + = Xác 4 0 định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết diện tích DABC bằng 92

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-1;-1; 2) , B(-2;-2; 1) và mặt phẳng (Q):

x+ 3 –y z+ = Xác định tọa độ giao điểm C của AB với mặt phẳng (Q) Viết phương trình đường 3 0 thẳng d qua C nằm trong mp(Q) và vuông góc với đường thẳng OB

Câu VIIa (1 điểm): Tìm số phức z thỏa mãn : z+ - = + + 1 i z 2 2i và z i

z i

-+ là số thuần ảo

B Theo chương trình nâng cao

Câu VIb (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC và điểm M(0;-2) nằm trên cạnh AC

Phương trình đường phân giác trong của góc A: x y 1 0 - - = và đỉnh C thuộc d: x y2 + + = Xác 4 0 định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng độ dài AB = 2.AM

(Dị bản: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC và điểm M(0; -2) nằm trên cạnh AC Phương trình đường phân giác trong của góc A: x y 1 0 - - = và đường cao qua C: x y2 + + = 4 0

Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng độ dài AB = 2.AM)

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 6), B( –2; –2; 1) và mặt phẳng (Q):

x+ 3 –y z + = Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với mp(Q), biết khoảng cách từ 3 0

B đến d ngắn nhất

Câu VIIb (1 điểm): Giải bất phương trình: 4(1 log )log 2 4log 2 1 - 2x 4x + x ³

- Hết -

Hướng dẫn giải

Câu I 2) PT hoành độ giao điểm của d và đồ thị của hàm số (1):

x

1

+

=

x

2

1

Û í ¹

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Û (2) có hai nghiệm phân biệt x x1 2, khác -1 Ûm 2<

Theo định lí Viet ta có: x1+x2= -2, x x1 2 = - m 1

Tọa độ các điểm A, B: A x( ;11 -x B x1), ( ;12 -x2) Þ AB= 2(x2-x1)2 = 8(2-m)

và d O d( , ) 1

2

=

Từ giả thiết ta có S D OAB = Û AB d O d1 1 ( , ) 1 2 m 1 m 1

Câu II

1) Điều kiện: x m

m n Z

3

p

ì ¹

í ¹ ± +

PT Û

x

3 cos cos

2

+

3

p

p p

é

= - + ê

Î ê

ê = + ë

Đối chiếu điều kiện (*), kết luận nghiệm của PT là: x k x; k x; 2 k2

2) Điều kiện: x 0 ³

BPT Û x x( +2)³ (x+1)3- x Û x x( +2) (³ x+1)3+ -x 2(x+1) (x x+ 1)

Û x3+2x2+2x+ -1 2(x+1) x2+ £ Û x 0 (x+1)(x2+ -x 2 x2+ + £ x 1) 0

( x2 x 1)2 0

2

2 1

2

= ê ê

-ê = êë Vậy: x 5 1

2

2 2

p p

ë û

t

2 6

4 2

1 sin cos sin

p

p

t

2 6 4 2

cos sin

p

p

t

2

2 2

3 sin

p p

ò

Câu IV

Gọi j =·((AMN ABC),( )) Vì A C AMN · AA C

A A¢ ((ABC)) j

í ¢ ^ î Tính được: AA

A C

3 cos

14

j= ¢ =

¢ ; S ABC 1AB BC a 2

2

Tam giác ABC là hình chiếu của tam giác AMN

AMN

Cách 2: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:

B(0;0;0), A a ( ;0;0) , C (0;2 ;0) , B a ¢(0;0;3 )a

Þ A a¢( ;0;3 )a , C¢(0;2 ;3 )a a , M( ; ; ) , 0 2a m N( ; ; ) 0 0 n

Þ uuur A C¢ = -( ; ;a a2 -3a)

, uuur AM= -( ; ; )a a m2

, uuur A B¢ = -( ; ;a 0 3- a)

, uuur AN = -( ; ; )a n0

3

a

AM A C^ ¢ Þuuur uuur AM A C ¢ = Þ =m

Þ 0 2 5

3

a

Mæç ; ;a ö÷

3

a

AM= -æç a a; ; ö÷

uuur

3

a

AN ^A B¢ Þuuur uuur AN A B ¢ = Þ =n

Þ 0 0

3

a

N ; ;æç ö÷

3

a

AN = -æç a; ; ö÷

uuur

Þ uuur uuur A C AN a¢ = 2-a2=0

Þ A C AN¢ ^ Þ A C¢ ^(AMN)

uuur uuur

S D = éëAM AN uuur uuur, ùû =

Câu V Từ giả thiết: (x y y z z x+ )( + )( + ) 8= , ta suy ra được:

· 8 (= x y y z z x+ )( + )( + ) 8³ xyzÞxyz£1 (1) Dấu "=" xảy ra Û x y z= = =1

· 8 (= x y y z z x+ )( + )( + ) (= xy yz zx x y z+ + )( + + -) xyz

Þ (xy yz zx x y z+ + )( + + = +) 8 xyz£9 (2) Dấu "=" xảy ra Û x y z= = =1

· Mặt khác ta chứng minh được: (x y z+ + )2³3(xy yz zx+ + ) Þ x y z+ + ³ 3(xy yz zx+ + )

Þ (xy yz zx x y z+ + )( + + ³) (xy yz zx+ + ) (3 xy yz zx+ + ) = 3(xy yz zx+ + )3

Þ 3(xy yz zx+ + )3 £9 Þ xy yz zx+ + £3 (3) Dấu "=" xảy ra Û x y z= = =1

· Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki đối với 2 bộ số: 1 2 3

b = zx+ yz b; = xy+ zx b; = yz+ xy , ta có:

( )2

3

xy yz zx

3

3

9 9

xyz = xyz

Từ đó ta có: 3

3

1

2

xyz

³ + ³ Dấu "=" xảy ra Û x y z= = =1 Vậy min =P 2 khi x y z= = =1.

Câu VIa

1) Giả sử: d x y1: - - = , 1 0 d2:2x y+ + = 4 0

Gọi M¢ là điểm đối xứng cua M qua d Þ tìm được 1 M ( ; )¢ 2 2

Đường thẳng AB qua M( ; ) và vuông góc với 3 1 d 2

Þ Phương trình AB: x-2y- = 1 0

Þ Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x yì - - =í - - =îx 2y 1 01 0 Þ A(1;0)

Đường thẳng AC qua A và M¢ Þ Phương trình AC: 2x y- - = 2 0

Þ Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: x yìí22x y+ + =- - =2 04 0

2

Cæç- ;- ö÷

Giả sử B t(2 1; ) (+ t Î AB)ÞAB= 5t2 Tính được : d C AB( ,( )) 9

2 5

=

2

ABC

S D = Û 1AB d C AB ( ,( )) 9 t 2 t t 22

2 = Û = Û ê = -2 é =ë + Với t =2 Þ 5 2B( ; ) Þ B, C nằm cùng phía với d Þ 5 21 B( ; ) không thoả YCBT

+ Với t = -2 Þ B( ; )- - Þ B, C nằm khác phía với 3 2 d Þ 1 B( ; )- - thoả YCBT 3 2

Vậy: A(1;0), B( ; )- - , 3 2 1 3

2

Cæç- ;- ö÷

è ø

2) Ta có: BA ( ; ; ) uur= 1 1 1

Þ Phương trình (AB): 11

2

ì = - + ï

= - + í

ï = + î

C=(AB) ( )Ç Q Þ 0 0 3C( ; ; )

(Q) có VTPT n ( ; ; ) r = 1 3 1- ; OB ( ; ; ) uuur= - -2 2 1 Gọi u r là VTCP của d Þ u n

u OB

ì ^

í ^ î

r r uuur

r Þ Ta có thể chọn u r=éën OB r,uuurùû=( ; ; )1 1 4

Þ Phương trình đường thẳng

3 4

x m

:ì =ïí = ( Î )

ï = + î

Câu VIIa Giả sử z x yi x y R= + , ( , Î )

+ z+ - = + +1 i z 2 2i Û x+ + -1 (y 1)i = + + -x 2 (2 y i)

Û (x+1)2+ -(y 1)2 = (x+2)2+ -(2 y)2 Û y x= + 3

+

u là số thuần ảo Û x2- -(y 1)2= Û 0 x2-(x+2)2= Û 0 x = -1 Þ y = 2

Vậy: z= - + 1 2i

Câu VIb

1) Ta có thể chứng minh được bài toán có vô số

nghiệm Minh hoạ như sau:

Xác định điểm N đối xứng với M qua d 1

Khi đó với bất kì A dÎ sao cho A, M nằm cùng 1

phía với d (vì M nằm trên cạnh AC) Ta xác định

điểm B sao cho N là trung điểm của AB, xác định

điểm C là giao điểm của đường thẳng AM với d

* Dị bản: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC và điểm M( ; )0 2- nằm trên cạnh

AC Phương trình đường phân giác trong của góc A: x y 1 0 - - = và đường cao qua C:

x y

2 + + = Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng độ dài AB = 2.AM 4 0

Gọi d x y1: - - = 1 0 Þ d có VTCP 1 u r1=( ; )1 1 ; d x y

2 : 2 + + = 4 0 Þ d có VTCP 2 u r2 = -( ; )1 2 Gọi N là điểm đối xứng của M qua d Þ tìm được 1 N( ; )- - 1 1

d Þ Phương trình AB: x- y- =

A là giao điểm của (AB) và d Þ 1 01 A( ; )

Đường thẳng AC qua A và M Þ Phương trình AC: 2x y- - = 2 0

C là giao điểm của (AC) và d Þ 2 1 3

2

Cæç- ;- ö÷

è ø Giả sử B b(2 +1; ) (b Î AB) Þ AB= 5b2 ; AM = 5

Theo giả thiết: AB=2AM Û5b2=20Û = ± b 2

+ Với b =2 Þ 5 2B( ; ) Þ B, C nằm cùng phía đối với d Þ 5 21 B( ; ) không thoả YCBT

+ Với b = -2 Þ B( ; )- - Þ B, C nằm khác phía đối với 3 2 d Þ 1 B( ; )- - thoả YCBT 3 2 Vậy: 1 0A( ; ) , B( ; )- - , 3 2 1 3

2

Cæç- ;- ö÷

è ø

2) Gọi (P) là mặt phẳng qua 1 1 6A( ; ; ) và song song với (Q) Þ dÌ( )P

Phương trình (P): x+3y z - + = Gọi H là hình chiếu của B trên d, K là hình chiếu của B 2 0 trên (P) Þ BH BK³ Do đó d B d( , ) =BH ngắn nhất Û BH BK= Û H Kº Khi đó d đi qua A và K

Ta xác định được 6 4 5

11 11 11

Kæç- ;- ; ö÷

è ø Þ u r = -11.uuur AK =( ; ; )17 15 61

Þ 1 171 15

6 61

:ì = +ïí = + ( Î )

ï = + î

Câu VIIb Giải bất phương trình: 4(1 log )log 2 4log 2 1 - 2x 4x + x ³ (1)

Điều kiện: x>0,x¹1

Ta có: (1) Û 2

1 4

x

( log )

1 0 2

x

( log )

Đặt t=log2x Khi đó (1) trở thành:

2

0 2

4 2

5

t t

é

< £ -ê

ê < £ ë

x x

é < £ ê

ê

< £ êë

Vậy tập nghiệm của BPT: 1 51 (1 4]

4 16

S=æç ; ùúÈ ;

-Hết -