Chỉnh hóa dữ kiện cho bài toán khuếch tán bậc phân ngược thời gian

Mục đích của hướng nghiêncứu này là đạt được thông tin về tình trạng ban đầu trong qúa khứcủa một trường vật chất từ dữ kiện đo đạc của nó tại thời điểm hiện tại.Mô hình khuếch tán đối l

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 4

1.1 Hàm Gamma 4

1.2 Hàm Mittag-Leffler 9

1.3 Đạo hàm bậc phân Caputo 14

Chương 2 Chỉnh hoá dữ kiện cho bài toán khuếch tán bậc phân ngược thời gian 16

2.1 Giới thiệu bài toán 16

2.2 Chỉnh hóa bài toán 18

2.3 Tốc độ hội tụ của phương pháp chỉnh hóa 22

KẾT LUẬN 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

Nghiên cứu về các bài toán ngược cho quá trình khuếch tán là mộtlĩnh vực sôi động trong suốt 30 năm qua Mục đích của hướng nghiêncứu này là đạt được thông tin về tình trạng ban đầu (trong qúa khứ)của một trường vật chất từ dữ kiện đo đạc của nó tại thời điểm hiện tại.

Mô hình khuếch tán đối lưu kinh điển là phương trình parabolic

∂u

∂t + v. ∇u = D△u, x ∈ Ω ⊂ Rm , t > 0. (1)Bài toán cho phương trình (1) đã được nghiên cứu rộng rãi Tuy nhiên

có một số qúa trình khuếch tán chậm trong một số lĩnh vực ứng dụngkhông thể mô hình hóa bởi phương trình (1), mà thay vào đó là phương

trình đạo hàm riêng bậc phân γ ∈ (0, 1)

∂ γ u

∂t γ + v ∇u = D△u, x ∈ Ω ⊂ Rm , t > 0. (2)Bài toán ngược cho phương trình (2) thường đặt không chỉnh theonghĩa Hadamard Một sai số nhỏ trong đo đạc cũng có thể dẫn đến mộtsai lệch lớn về nghiệm Chính vì vậy để giải quyết bài toán ta cần đềxuất các phương pháp chỉnh hóa Cho đến nay đã có nhiều phương phápchỉnh hóa dành cho bài toán ngược của phương trình (1) Tuy nhiên cáckết qủa chỉnh hóa bài toán ngược đối với phương trình (2) vẫn còn hạnchế

Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tàiliệu về việc chỉnh hóa bài toán khuếch tán bậc phân ngược thời gian,trên cơ sở bài báo "Data regularization for a backward time-fractionaldiffusion problem" của các tác giả Liyan Wang, Jijun Liu đăng trên tạp

chí Computers and Mathematics with Applications năm 2012, chúng tôi

2

lựa chọn đề tài cho Luận văn của mình là : "Chỉnh hóa dữ kiện cho

bài toán khuếch tán bậc phân ngược thời gian".

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn của thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc của mình đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm

ơn Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán học

và cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, khoa Toán học đãnhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập vàhoàn thành đề cương, luận văn này Cuối cùng, tác giả cám ơn gia đình,đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 21 Giải tích

đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập

và nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏinhững hạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiếnđóng góp của các thầy, cô giáo và các bạn bè để luận văn được hoànthiện hơn

Nghệ An,tháng 8 năm 2015

Tác giả

với z thuộc nửa mặt phẳng bên phải của mặt phẳng phức Rez > 0.

1.1.2 Nhận xét Tích phân (1.1) hội tụ với mọi z ∈ C thỏa mãn Rez >

0 Thật vậy, với z ∈ C thỏa mãn Rez > 0, ta có thể biểu diễn z = x + iy với x, y ∈ R và x > 0 Khi đó ta có

Chứng minh 1) Với mọi z ∈ C, Rez > 0 ta có

2 Bây giờ ở công thức (1.1), bằng cách thực

hiện phép đổi biến t = u2 ta sẽ thu được

Γ(z) = 2

∫ ∞

0

Bằng cách thay z = 1

2 vào (1.4) ta đượcΓ

(

12

)

= (2n)!

22n n!

√ π.

1.1.4 Định lý Với mọi z ∈ C thỏa mãn Rez > 0 ta có

Γ(z) = lim

n →∞

n!n z z(z + 1) · · · (z + n) (1.5)Chứng minh Để chứng minh công thức (1.5), trước hết chúng ta xét hàm

τ z+n −1 dτ

z

Lấy ε > 0 bé tùy ý Từ sự hội tụ của tích phân (1.1) với mọi z ∈ C thỏa

mãn Rez > 0 ta suy ra tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n ∈ N∗ mà

n> n0 ta có

∫n ∞ e −t t z −1 dt

0 < e −t −

(

1− t n

)n

< t

2

2n , 0 < t < n. (1.13)

Thật vậy, bất đẳng thức (1.13) được suy ra từ mối quan hệ

e −t −

(

1− t n

Sử dụng bất đẳng thức (1.13) ta có đánh giá sau với n đủ lớn

exp(ζ 1/α) = exp(

|ζ| 1/αcos

(φ

α

))

với I p (z) đã được trình bày trong chứng minh của Định lý 1.2.4 Với |z|

Tổ hợp (1.35) và (1.36) ta đạt được công thức (1.33)

1.3 Đạo hàm bậc phân Caputo

1.3.1 Định nghĩa Cho f là một hàm số khả vi liên tục cấp n ∈ N∗ trên

[a, T ] (T > a) Đạo hàm bậc phân Caputo với bậc α > 0 của một hàm f trên đoạn [a, T ] được xác định như sau

C

a D t (α) f (t) = 1

Γ(n − α)

∫ t a

f (n) (s) (t − s) α+1 −n ds, a 6 t 6 T, n − 1 < α < n,

f ′ (s) (t − s) α ds, a 6 t6 T, 0 < α < 1. (1.37)

(t − τ) n −α f (n+1) (τ )dτ

= f (n) (a) +

∫ t a

f (n+1) (τ )dτ

= f n (t), ∀t ∈ [a, T ].

1.3.4 Định lý Cho α > 0 và λ ∈ R Đặt f (t) = E α,1 (λt α ), t ≥ 0 Khi đó

CHỈNH HÓA DỮ KIỆN CHO BÀI TOÁN KHUẾCH TÁN BẬC PHÂN

NGƯỢC THỜI GIAN

Chương này chúng tôi trình bày phương pháp chỉnh hóa bài toánkhuếch tán bậc phân ngược thời gian trong bài báo [9] cũng như đề xuất

và chứng minh một vài kết qủa mới

2.1 Giới thiệu bài toán

Xét bài toán khuếch tán bậc phân

Phương trình (2.1) mô tả quá trình khuếch tán trong môi trường xốp

(porous media), trong khi hệ số biến thiên a(x) biểu thị môi trường

khuếch tán không đẳng hướng

Trong chương này, chúng tôi quan tâm tới bài toán ngược của bài toán

trên Cụ thể, bài toán xấp xỉ u(x, t) với t ∈ [0, T ) từ dữ kiện đo đạc g δ (x) tại thời điểm T , dữ kiện này chứa đựng sai số so với nhiệt độ chính xác

16

g(x) = u(x, T ) thỏa mãn

∥g δ

(·) − g(·)∥ L2 (Ω) 6 δ, (2.2)

trong đó mức sai số δ > 0 đã được biết.

Trong [6], Liu và Yamamoto đã xem xét một bài toán ngược một chiềucho phương trình ∂

γ u

∂t γ = u xx Bằng cách thêm vào phương trình này số

hạng αu xxxx, hai tác giả trên đã xây dựng được một họ chỉnh hóa phụ

thuộc tham số α để phục hồi tình trạng ban đầu u(x, 0) và nhận thấy

rằng dữ kiện ban đầu cho phương trình khuếch tán bậc phân này có thểđược phục hồi trong cách hữu hiệu hơn nếu so sánh với bài toán ngượctruyền thống cho phương trình dẫn nhiệt (xem [5]) trong trường hợp mộtchiều Sự thuận lợi của họ chỉnh hóa được xây dựng vừa đề cập ở trên

là nghiệm chỉnh hóa có thể biểu diễn ở dạng "hiển" nhờ khai triển hàmriêng Tuy nhiên, mô hình (2.1) là mô hình hai chiều nên việc đưa các đạohàm riêng bậc cao vào trong phương trình để làm số hạng chỉnh hóa trởnên khó khăn hơn nhiều vì tính bất đối xứng của toán tử ∇.(a(x)∇u).

Trong những năm gần đây, việc xây dựng một hệ thống chỉnh hóa saocho nghiệm chỉnh hóa có thể được biểu diễn ở dạng "hiển" đã nhận đượcnhiều sự quan tâm Sự thuận lợi của ý tưởng mới này là ở chỗ tính đặtchỉnh của bài toán chỉnh hóa được đảm bảo một cách tự động, vấn đềcòn lại chỉ là tốc độ hội tụ của nghiệm chỉnh hóa Hơn nữa, việc giải số

cho nghiệm chỉnh hóa với mọi t ∈ [0, T ) cũng dễ hơn nhiều Cho ví dụ,

xem [3] cho phương làm nhuyễn, nơi mà dữ kiện đo đạc ở thời điểm cuốiđược chỉnh hóa bằng cách sử dụng nhân Dirichlet Ta gọi họ chỉnh hóakiểu như vậy là kỷ thuật chỉnh hóa dữ kiện

Trong chương này, chúng ta sẽ sử dụng kỷ thuật chỉnh hóa dữ kiện để

xử lý bài toán ngược với bài toán (2.1), nghĩa là, với dữ kiện bị nhiễu

g δ (x) của u(x, T ), chúng ta cố gắng xác định u(x, t) với t ∈ [0, T ) một

cách xấp xỉ Bằng cách sử dụng khai triển hàm riêng, chúng ta giải bàitoán đặt không chỉnh này bằng một bài toán tối ưu Xét về bản chất, bài

toán tối ưu này chính là một họ chỉnh hóa dữ kiện đầu vào bị nhiễu với

số các số hạng chặt cụt được xem là tham số chỉnh hóa Tốc độ hội tụkiểm H¨older O

(

δ p+2 p

)

được thành lập đều theo t ∈ [0, T ) với một thông

tin tiên nghiệm về tính bị chặn ∥u0∥ H0p(Ω) Sự thực hiện một hệ thốngchỉnh hóa như vậy cũng đã được ứng dụng cho bài toán truyền nhiệttruyền thống trong công trình [8]

2.2 Chỉnh hóa bài toán

Để xây dựng nghiệm chỉnh hóa, chúng ta cần kiến thức bổ trợ về hàmMittag-Leffler và dánh điệu tiệm cận của nó Hàm Mittag-Leffler haitham số được định nghĩa bởi công thức

2.2.1 Bổ đề ([9]) (i) Giả sử rằng γ ∈ (0, 1), khi đó

Đánh giá cận trên cho E γ,1 (x) ở (ii) trong Bổ đề 2.2.1 là hiển nhiên.

Để đạt được cận dưới cho E γ,1 (x), chú ý rằng

vì vậy kết hợp với tính chất (i) ta có

Ký hiệu bởi{(λ n , φ n (x)) : n ∈ N} là hệ thống giá trị riêng và hàm riêng

của toán tử −∇.(a(x)∇⋄), hoạt động trên không gian H2(Ω)∩ H1

Trong thực hành, chỉ dữ kiện bị nhiễu g δ (x) của g(x) được cung cấp và

chúng ta chỉ có thể tính được hữu hạn số hạng của chuỗi (2.14) Do đó,

c n được xác định từ phương trình xấp xỉ của (2.14), nghĩa là

với C M δ := (C1δ , C2δ , , C M δ ) Dưới đây ta sẽ chọn ε = δ Số nguyên dương

M := M (δ) là tham số chỉnh hóa và sẽ được chỉ rõ sau.

Định nghĩa toán tử K : RM → L2(Ω) bởi công thức

Nghiệm có chuẩn cực tiểu C M δ,δ có thể được giải bằng phương pháp chỉnh

hóa Tikhonov, cụ thể C M δ,δ là nghiệm của phương trình sau

(α(δ)I + K ∗ K)C M δ,δ = K ∗ g δ (x), (2.19)

trong đó tham số chỉnh hóa α = α(δ) được xác định từ các phương trình

(αI + K ∗ K)ω M α,δ = K ∗ g δ (x), ∥ Kω α,δ

M − g δ ∥= δ. (2.20)Tiếp theo ta đặt

2.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm chỉnh hóa

Trong phần này, chúng ta sẽ thành lập tốc độ hội tụ đều của nghiệm

chỉnh hóa u δ,δ M (x, t) với mọi t ∈ [0, T ] Điều này hoàn toàn khác với các

phương pháp chỉnh hóa truyền thống khi tốc độ hội tụ thường phụ thuộc

vào t Hơn nữa, để có tốc độ tại t = 0 thường phải áp đặt các giải thiết mạnh hơn lên u0(x).

Trước hết, chúng ta hãy xem xét lỗi xấp xỉ

c2n

2.3.3 Định lý Giả sử rằng u0 ∈ H p

0 thỏa mãn ∥ u0 ∥ H0p6 U p với p = 1 hoặc p = 2 Nếu M = M (δ) được chọn sao cho λ M (δ) ≈ 1

1 + t γ δ p+2 −2

)

, t ∈ [0, T ] Chứng minh Ta có

≤ 6δ2 + 3C

2 2

2 2

+ 6C

2 2

C12(1 + T

γ λ M)2(1− T γ tγ)δ2 + 3C

4 2

C12

CU p2

λ −p M (1 + T γ λ M)2tγ T γ

(2.29)

1 + t γ δ p+2 −2

)

, t ∈ [0, T ].

Định lí được chứng minh

2.3.4 Nhận xét Kết quả trong Định lí 2.3.3 của chúng tôi là tốt hơn

của các tác giả trong ([9]) Tại t = 0 chúng tôi chỉ ra tốc độ như các tác giả trong ([9]), nhưng với t > 0 chúng tôi chỉ ra tốc độ có dạng

ra như trong Định lí 2.3.2 Thật vậy, số mũ của δ trong đánh giá (2.25)

γ

(p + 2)T γ = p

p + 2 .

KẾT LUẬN

Kết quả đạt được trong Luận văn này là

1 Trình bày khái niệm hàm gamma và một số tính chất cơ bản của

4 Giới thiệu bài toán khuếch tán bậc phân ngược thời gian.

5 Trình bày phương pháp chỉnh hóa bài toán khuếch tán bậc phân

bao gồm đánh giá tốc độ hội tụ

6 Đề xuất và chứng minh Định lý 2.3.3.

7 Đưa ra Nhận xét 2.3.4 để khẳng định kết qủa trong Định lý 2.3.3

là tốt hơn kết qủa của các tác giả trong bài báo [9]

[1] Phạm Kỳ Anh (2007), Bài toán đặt không chỉnh, ĐHQG Hà Nội.

[2] Baumeister J(1987), Stable solution of Inverse problems, Friedr.Vieweg & Sohn, Braunschweig.

[3] Dinh Nho Hào and Nguyen Van Duc (2009), "Stability results for

the heat equation backward in time", J Math Anal Appl., No.

353, pp 627-641.

[4] Andreas Kirsch (1996), An Introduction to the Mathematical Theory

of Inverse Problems, Springer.

[5] Jijun Liu (2001), "Dtermination of temperature field for backward

heat transfer", Commun Korean Math Soc., 16(3), 385–397.

[6] J J Liu, M Yamamoto (2010), "A backward problem for the

time-fractional diffusion equation", Appl Anal, 89(11), 1769–1788.

[7] Engl H W., Hanke M and Neubauer A (1996), Regularization of Inverse Problems, Kluwer, Dordrecht.

[8] Q Chen, J J Liu (2012), "Solving the backward heat tion problem by data fitting with multiple regularizing parameters",

conduc-Comput Math., 30(4), 418–432.

[9] Liyan Wang, Jijun Liu (2012), "Data regularization for a

back-ward time-fractional diffusion problem", Computers and

Mathemat-ics with Applications, 64, 3613-3626.

29

[10] Isakov V (1998), Inverse Problems for Partial Differential tions, Springer-Verlag, New York.

Equa-[11] Igor Podlubny (1999), Fractional Differential Equations, Academic

Press, San Diego

CHỈNH HĨA DỮ KIỆN CHO BÀI TOÁN KHUẾCH TÁN BẬC PHÂN

NGƯỢC THỜI GIAN< /small>

Chương chúng tơi trình bày phương pháp chỉnh hóa toánkhuếch tán bậc phân ngược. .. tính chất của

4 Giới thiệu toán khuếch tán bậc phân ngược thời gian.

5 Trình bày phương pháp chỉnh hóa toán khuếch tán bậc phân< /b>

bao gồm đánh giá tốc độ hội... Dirichlet Ta gọi họ chỉnh hóakiểu kỷ thuật chỉnh hóa kiện

Trong chương này, sử dụng kỷ thuật chỉnh hóa kiện để

xử lý tốn ngược với toán (2.1), nghĩa là, với kiện bị nhiễu

g