Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian lồi địa phương xác định bởi hàm Orlicz

Khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian lçi àa ph÷ìngx¡c ành bði h m Orlicz.. MÐ UTrong gi£i t½ch h m, lîp khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n câ vai tráquan trång l lîp khæng gian

Trang 3

MÖC LÖC

Mð ¦u 2

1 Khæng gian lçi àa ph÷ìng v khæng gian c¡c d¢y nhªn

1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 51.2 Khæng gian lçi àa ph÷ìng 81.3 Khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian lçi àa ph÷ìng 15

2 Khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian lçi àa

2.1 Khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian lçi àa ph÷ìngx¡c ành bði h m Orlicz 182.2 Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian con cõa khæng gian lM(E) 28K¸t luªn 36

T i li»u tham kh£o 37

Trang 4

MÐ U

Trong gi£i t½ch h m, lîp khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n câ vai tráquan trång l lîp khæng gian c¡c d¢y Khæng gian c¡c d¢y cê iºn ÷ñcx²t vîi d¢y nhªn gi¡ trà trong tr÷íng væ h÷îng, c¡c t½nh ch§t cõa khænggian c¡c d¢y l nhúng v½ dö kh¡ iºn h¼nh cõa gi£i t½ch h m cê iºn.Trong [7] sû döng þ t÷ðng cõa Orlicz, c¡c t¡c gi£ J Lindenstrauss v L.Tzafriri ¢ x¥y düng khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n c¡c d¢y nhªn gi¡trà væ h÷îng tø lîp c¡c h m thüc °c bi»t m chóng ÷ñc gåi l c¡c h mOrlicz C¡c t½nh ch§t cõa c¡c khæng gian d¢y Orlicz công ÷ñc nghi¶ncùu kh¡ s¥u sc thæng qua c§u tróc cõa h m Orlicz bði J Lindenstrauss

v L Tzafriri Trong [5], düa tr¶n mët sè k¸t qu£ cõa J Lindenstrauss

v L Tzafriri v· khæng gian c¡c d¢y Orlicz nhªn gi¡ trà væ h÷îng, t¡cgi£ ¢ x¥y düng lîp khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian

ành chu©n v thu ÷ñc mët sè t½nh ch§t cõa chóng Möc ½ch cõa luªnv«n l x¥y düng khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian lçi àaph÷ìng x¡c ành bði c¡c h m Orlicz, v¼ vªy chóng tæi lüa chån · t i:V· khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian lçi àa ph÷ìng x¡c

ành bði h m Orlicz

Nëi dung cõa luªn v«n tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ ¢ bi¸t v· khæng gianlçi àa ph÷ìng, x¥y düng khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khænggian lçi àa ph÷ìng x¡c ành bði c¡c h m Orlicz v ÷a ra mët sè t½nhch§t cõa chóng C¡c nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong haich÷ìng:

Trang 5

Ch÷ìng 1: Khæng gian lçi àa ph÷ìng v khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡trà trong khæng gian lçi àa ph÷ìng.

Ch÷ìng n y tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc cì sð c¦n dòng v· sau, °cbi»t l nhúng k¸t qu£ c«n b£n v· khæng gian lçi àa ph÷ìng v mët sèlîp khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian lçi àa ph÷ìng.Ch÷ìng 2: Khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian lçi àaph÷ìng x¡c ành bði h m Orlicz

Nëi dung ch÷ìng n y chóng tæi · xu§t ph÷ìng ph¡p x¥y düng c§utróc tæpæ lçi àa ph÷ìng cho khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khænggian lçi àa ph÷ìng x¡c ành bði c¡c h m Orlicz düa tr¶n þ t÷ðng ¢ thüchi»n trong tr÷íng hñp d¢y nhªn gi¡ trà væ h÷îng v d¢y nhªn gi¡ trà trongkhæng gian ành chu©n ¢ · cªp ð tr¶n Ngo i ra, chóng tæi chùng minhmët sè t½nh ch§t, x²t mët sè mèi quan h» giúa lîp khæng gian mîi x¥ydüng vîi mët sè khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian lçi àaph÷ìng ¢ câ

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îngd¨n cõa Th¦y gi¡o T.S Ki·u Ph÷ìng Chi T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t

ìn s¥u sc nh§t ¸n th¦y Nh¥n dàp n y t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìnBan chõ nhi»m Khoa S÷ ph¤m To¡n håc, Ban l¢nh ¤o Pháng Sau ¤ihåc, qu½ Th¦y Cæ trong tê Gi£i t½ch khoa S÷ ph¤m To¡n håc-Tr÷íng ¤ihåc Vinh ¢ gióp ï trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v ho n th nh luªnv«n Cuèi còng xin gûi líi c£m ìn tîi gia ¼nh, çng nghi»p, b¤n b±, °cbi»t l c¡c håc vi¶n cao håc khâa 21 To¡n-Gi£i t½ch t¤i Tr÷íng ¤i håcVinh ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi gióp t¡c gi£ ho n th nh nhi»m vö trongsuèt qu¡ tr¼nh håc tªp M°c dò ¢ câ r§t nhi·u cè gng nh÷ng v¼ n«nglüc cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât T¡cgi£ r§t mong nhªn ÷ñc nhúng líi ch¿ b£o quþ b¡u cõa c¡c th¦y cæ v nhúng gâp þ cõa b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

Ngh» An, th¡ng 10 n«m 2015

Trang 6

Tr¦n Thà H¬ng

Trang 7

CH×ÌNG 1KHÆNG GIAN LÇI ÀA PH×ÌNG V KHÆNG GIANCC DY NHN GI TRÀ TRONG KHÆNG GIAN LÇI

ÀA PH×ÌNG

Ch÷ìng n y tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc cì sð c¦n dòng v· sau, °cbi»t l nhúng k¸t qu£ c«n b£n v· khæng gian lçi àa ph÷ìng v mët sèlîp khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian lçi àa ph÷ìng.1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Möc n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc chu©n bà v· gi£i t½ch cê iºn v gi£i t½ch h m c¦n dòng v· sau Sau ¥y, ta nhc l¤i kh¡i ni»m v· h mlçi C¡c k¸t qu£ sau câ thº t¼m th§y ð trong [1] v [3]

1.1.1 ành ngh¾a Cho h m thüc f : (a, b) →R H m f ÷ñc gåi l lçin¸u

f λx + (1 − λ)y 6λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.1)vîi måi x, y ∈ (a, b) v 06 λ 6 1

1.1.2 Nhªn x²t i·u ki»n (1.1) t÷ìng ÷ìng vîi i·u ki»n sau:

Trang 8

Ng÷ñc l¤i, n¸u vîi måi c ∈ (a, b) h m p khæng gi£m th¼ f l h m lçi.1.1.4 H» qu£ Gi£ sû f l h m kh£ vi tr¶n (a, b) Khi â, f l lçi khi

v ch¿ khi f0 l h m ìn i»u t«ng tr¶n (a, b)

1.1.5 H» qu£ N¸u f : (a, b) → R câ ¤o h m c§p 2 tr¶n (a, b) v

f00(x) > 0 vîi måi x ∈ (a, b) th¼ f l h m lçi

1.1.6 V½ dö Tø h» qu£ tr¶n ta th§y h m f(x) = ex lçi tr¶nR v y = xp

1.1.8 ành ngh¾a H m Orlicz M gåi l suy bi¸n n¸u tçn t¤i t > 0 saocho M(t) = 0

1.1.9 V½ dö C¡c h m M(t) = tp; M (t) = tet l h m Orlicz

1.1.10 ành ngh¾a Cho E l khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng K

H m k.k : E → R ÷ñc gåi l mët chu©n tr¶n E n¸u tho£ m¢n c¡c i·uki»n sau:

1) kxk > 0, vîi måi x ∈ E v kxk = 0 ⇔ x = 0;

2) kλxk = |λ|kxk, vîi måi λ ∈ K v vîi måi x ∈ E;

3) kx + yk 6 kxk + kyk, vîi måi x, y ∈ E

Khi â (E, k.k) ÷ñc gåi l mët khæng gian ành chu©n

Khæng gian ành chu©n l khæng gian m¶tric vîi m¶tric sinh bði chu©nd(x, y) = kx−yk, ∀x, y ∈ E Khæng gian ành chu©n E ÷ñc gåi l khænggian Banach n¸u E ¦y õ vîi m¶tric sinh bði chu©n Vîi tæpæ sinh bði

Trang 9

m¶tric sinh bði chu©n â, c¡c ph²p to¡n cëng v nh¥n væ h÷îng tr¶n E

l li¶n töc

Cho E, F l c¡c khæng gian ành chu©n Kþ hi»u L(E, F ) l tªp hñpc¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc tø E v o F Ta ¢ bi¸t L(E, F ) l khænggian ành chu©n vîi chu©n

C¡c lîp khæng gian Banach quen thuëc sau ÷ñc quan t¥m nhi·utrong luªn v«n cõa chóng tæi

1.1.11 V½ dö Gi£ sû K l tr÷íng c¡c sè thüc ho°c c¡c sè phùc Kþ hi»u

Vîi c¡c ph²p to¡n cëng c¡c d¢y v nh¥n mët sè vîi mët d¢y thæng th÷íng

ta câ l∞ l khæng gian tuy¸n t½nh v C, C0 v lp l c¡c khæng gian concõa l∞ Hìn núa

Trang 10

°c bi»t C0, C l c¡c khæng gian con âng cõa l∞, v¼ th¸ chóng công l c¡c khæng gian Banach vîi chu©n tr¶n Tuy nhi¶n lp khæng âng trong

1.2 Khæng gian lçi àa ph÷ìng

Möc n y tr¼nh b y kh¡i ni»m, v½ dö v t½nh ch§t cì b£n cõa khænggian lçi àa ph÷ìng C¡c k¸t qu£ c«n b£n ÷ñc têng hñp v tr½ch ra tø[3]

1.2.1 ành ngh¾a Khæng gian vectì tæpæ l mët khæng gian vectì còngvîi mët tæpæ tr¶n â sao cho c¡c ph²p to¡n cëng v nh¥n væ h÷îng l li¶n töc( ho°c công câ thº ành ngh¾a l : Khæng gian vectì X ÷ñc gåi l khæng gian vectì tæpæ n¸u tr¶n â ¢ cho mët tæpæ t÷ìng th½ch vîi c§utróc ¤i sè tr¶n X sao cho méi iºm tr¶n X l mët tªp con âng)

1.2.2 ành ngh¾a Gi£ sû A l tªp con cõa khæng gian vectì tæpæ X.a) Tªp A ÷ñc gåi l lçi n¸u vîi måi x, y ∈ A v vîi måi t ∈ [0; 1], ta

câ t.x + (1 − t).y ∈ A;

b) Tªp con A ÷ñc gåi l c¥n n¸u αA ⊂ A vîi måi α ∈ K v |α| < 1;c) Tªp A ÷ñc gåi l bà ch°n n¸u vîi méi l¥n cªn V cõa 0 tçn t¤i sè

s > 0 sao cho A ⊂ tV vîi måi t > s

1.2.3 ành ngh¾a Khæng gian v²ctì tæpæ ÷ñc gåi l lçi àa ph÷ìngn¸u nâ cì sð l¥n cªn U cõa 0 gçm c¡c tªp lçi

1.2.4 M»nh · Gi£ sû X l khæng gian lçi àa ph÷ìng Khi â 0 ∈ X

câ cì sð l¥n cªn U tho£ m¢n:

Trang 11

1) U, V ∈ U th¼ câ W ∈ U sao cho W ⊂ U ∩ V ;

2) αU ∈ U vîi måi α ∈ K, α 6= 0 v vîi måi U ∈ U;

3) Måi U ∈ U l lçi, c¥n v hót

Hìn núa, n¸u khæng gian tuy¸n t½nh tæpæ X câ hå c¡c tªp con U tho£m¢n 1), 2) v 3) th¼ nâ l khæng gian lçi àa ph÷ìng

1.2.5 Nhªn x²t Méi khæng gian ành chu©n (E, k.k) l khæng gian lçi

àa ph÷ìng Cð sð l¥n cªn c¡c tªp lçi cõa 0 l c¡c h¼nh c¦u mð

Bn = {x ∈ E : kxk < 1

n}, n = 1, 2,

1.2.6 ành ngh¾a Cho X l khæng gian vectì tæpæ

1) X ÷ñc gåi l khæng gian kh£ ành chu©n n¸u tr¶n X câ mët chu©nsao cho m¶tric sinh bði chu©n sinh ra tæpæ tr¶n X

2) X ÷ñc gåi l bà ch°n àa ph÷ìng n¸u tçn t¤i l¥n cªn cõa 0 l tªp

bà ch°n

Ng÷íi ta chùng minh ÷ñc k¸t qu£ sau:

1.2.7 ành lþ Khæng gian vectì tæpæ l kh£ ành chu©n khi v ch¿ khi

nâ lçi àa ph÷ìng v bà ch°n àa ph÷ìng

M»nh · sau ch¿ ra sü tçn t¤i tæpæ lçi àa ph÷ìng tø hå c¡c tªp lçi,c¥n v hót

1.2.8 M»nh · N¸u khæng gian vectì E câ hå U gçm c¡c tªp con lçi,c¥n v hót th¼ tr¶n E tçn t¤i tæpæ y¸u nh§t sao cho hai ph²p to¡n cëng v nh¥n væ h÷îng tr¶n E li¶n töc v E trð th nh khæng gian lçi àa ph÷ìng.Hìn núa, cì sð cõa 0 trong E l hå c¡c tªp

Trang 12

1.2.9 M»nh · N¸u tæpæ lçi àa ph÷ìng T tr¶n X nhªn U l m cì sðl¥n cªn cõa iºm 0 ∈ X th¼ tæpæ n y l Hausdorff khi v ch¿ khi

1.2.10 ành ngh¾a Cho X l mët khæng gian vectì H m p x¡c ànhtr¶n X v nhªn gi¡ trà thüc ÷ñc gåi l mët nûa chu©n tr¶n X n¸u vîimåi x, y ∈ X v vîi måi λ ∈ K ta câ

1.2.12 Nhªn x²t Gi£ sû P l hå c¡c nûa chu©n tr¶n khæng gian vectì

X Khi â, k¸t hñp c¡c M»nh · 1.2.8 v M»nh · 1.2.11 ta câ: Tr¶n Xtçn t¤i mët tæpæ y¸u nh§t sao cho khæng gian vectì tæpæ E v c¡c p ∈ Pli¶n töc Hìn núa, X l khæng gian lçi àa ph÷ìng v cì sð l¥n cªn t¤i 0

l hå c¡c tªp lçi câ d¤ng

U = {x ∈ E : sup pi(x) < ε, i = 1, 2 , n},trong â ε > 0, pi ∈ P, n ∈ N

Trang 13

1.2.13 ành ngh¾a Gi£ sû A l tªp con lçi, hót cõa khæng gian vectìtæpæ X H m thüc khæng ¥m µA : X →R+ cho bði

µA(x) = inf{t > 0 : x ∈ tA} vîi måi x ∈ X

÷ñc gåi l phi¸m h m Minkowski cõa tªp hñp A

1.2.14 ành lþ N¸u A l tªp lçi, c¥n v hót cõa khæng gian vectì tæpæ

X th¼ µA := p l nûa chu©n tr¶n X Hìn núa

ành bði mët hå c¡c nûa chu©n v ng÷ñc l¤i

1.2.16 Nhªn x²t N¸u X l lçi àa ph÷ìng kh£ ành chu©n th¼ hå c¡cnûa chu©n P câ thº chån gçm mët ph¦n tû l mët chu©n

1.2.17 Nhªn x²t Gi£ sû P l hå c¡c nûa chu©n sinh ra tæpæ lçi àaph÷ìng tr¶n E Khi â E l Hausdorff khi v ch¿ khi p(x) = 0 vîi måi

p ∈ P k²o theo x = 0

1.2.18 ành lþ N¸u E l khæng gian Hausdorff lçi àa ph÷ìng v E

÷ñc x¡c ành bði hå ¸m ÷ñc c¡c nûa chu©n th¼ E kh£ m¶tric, tùc l tr¶n E tçn t¤i mët m¶tric sinh ra tæpæ tròng vîi tæpæ lçi àa ph÷ìng ban

¦u cõa nâ

Chùng minh Gi£ sû {pn}l hå c¡c nûa chu©n sinh ra tæpæ lçi àa ph÷ìngtr¶n E Vîi méi x, y ∈ E ta °t

Trang 14

Khi â, rã r ng d(x, y) x¡c ành v hìn núa d l m¶tric tr¶n E Ta chùngminh tæpæ sinh bði d tròng vîi tæpæ lçi àa ph÷ìng sinh bði {pn}.

Trang 15

i·u â khæng x£y ra Vªy tçn t¤i m¶tric d sinh ra tæpæ tròng vîi tæpælçi àa ph÷ìng ÷ñc x¡c ành bði hå ¸m ÷ñc c¡c nûa chu©n hay E kh£m¶tric.

T÷ ành lþ tr¶n ta câ ngay nhªn x²t sau:

1.2.19 Nhªn x²t Gi£ sû E l khæng gian Hausdorff lçi àa ph÷ìng E

÷ñc x¡c ành bði hå ¸m ÷ñc c¡c nûa chu©n pn Khi â, tæpæ tr¶n Esinh bði m¶tric

1) D¢y (xk) ⊂ E hëi tö tîi x ∈ E khi v ch¿ khi pn(xk − x) →

0khi k → ∞ vîi måi n

2) D¢y (xk) ⊂ E l d¢y Cauchy khi v ch¿ khi pn(xk−xl) → 0 khi k, l → ∞vîi måi n

C¡c khæng gian lçi àa ph÷ìng kh£ m¶tric gåi l F -khæng gian, n¸u

nâ ¦y õ th¼ gåi l khæng gian Frechet

1.2.20 M»nh · Gi£ sû E l khæng gian lçi àa ph÷ìng x¡c ành bði håc¡c hå nûa chu©n P = {pa : α ∈ I} Khi â, tªp A ⊂ E l bà ch°n khi v ch¿ khi nâ bà ch°n vîi méi pα, tùc l vîi méi α ∈ I pα(x) < rα < ∞vîimåi x ∈ A

Sau ¥y l mët sè v½ dö v· khæng gian Frechet

Trang 16

Khi â R∞ l khæng gian lçi àa ph÷ìng Do hå c¡c nûa chu©n l ¸m

÷ñc n¶n R∞ cán kh£ m¶tric vîi m¶tric:

â, tçn t¤i chu©n tr¶n R∞ sao cho tæpæ sinh ra bði chu©n tròng vîi tæpæsinh ra bði {pn} X²t B(0, 1) = {x ∈R∞ : kxk < 1} Khi â, tçn t¤i

V = {x ∈ R∞ : pi(x) = |xi| < δ, i ∈ I}

trong â I l tªp húu h¤n sao cho V ⊂ B(0, 1) L§y x0 = {x0n} ∈ R∞sao cho x0

n = 0 n¸u n ∈ I v x0

n 6= 0 vîi n /∈ I Khi â, x0 6= 0 v suy ra

kx0k = r > 0 Vîi måi sè tü nhi¶n k do c¡ch x¡c ành cõa x0 v V ta câ

kx0 ∈ V Do â kx0 ∈ B(0, 1) vîi måi k Suy ra kkx0k = kr < 1 vîi måi

k Ta nhªn ÷ñc sü m¥u thu¨n

1.2.22 V½ dö Gåi C(R) l khæng gian vectì c¡c h m thüc li¶n töc tr¶n

R Vîi méi n = 1, 2, °t

pn(f ) = sup{|f (x)| : x ∈ [−n, n]},vîi måi f ∈ C(R) Khi â, d¹ d ng kiºm tra ÷ñc pn l c¡c nûa chu©ntr¶n C(R) Do â, C(R) l khæng gian lçi àa ph÷ìng sinh bði hå c¡cnûa chu©n {pn} Hìn nûa, C(R) l khæng gian Frechet vîi kho£ng c¡ch

1.2.23 ành ngh¾a Gi£ sû E, F l c¡c khæng gian vectì tæpæ Ta gåi

E ¯ng c§u vîi F n¸u tçn t¤i ¡nh x¤ ϕ : E → F l ¯ng c§u tuy¸n t½nh

v ϕ, ϕ−1 l c¡c ¡nh x¤ li¶n töc

Trang 17

Ta d¹ d ng câ ÷ñc k¸t qu£ sau.

1.2.24 ành lþ Cho E v F l c¡c khæng gian Hausdorff lçi àa ph÷ìngsinh bði l¦n l÷ñt c¡c hå nûa chu©n P = {pα : α ∈ I} v Q = {qα : α ∈ I}.Gi£ sû f : E → F l mët ¯ng c§u tuy¸n t½nh thäa m¢n

rαpα(x) 6 qα(f (x)) 6 kαpα(x)vîi méi α ∈ I v vîi méi x ∈ E Khi â, f l ¯ng c§u tø E l¶n F

1.3 Khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian lçi àaph÷ìng

Möc n y tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ tràtrong khæng gian lçi àa ph÷ìng C¡c k¸t qu£ n y cì b£n ÷ñc · xu§t

v chùng minh trong [4]

Gi£ sû E l khæng gian Hausdorff lçi àa ph÷ìng tr¶n tr÷íng K v E

l∞(E) =nx = (xn) ⊂ E : (pα(xn)) : l d¢y sè bà ch°n vîi måi αo;

Vîi c¡c ph²p to¡n cëng c¡c d¢y v nh¥n mët sè vîi mët d¢y thæng th÷íng

ta câ l∞(E) l khæng gian tuy¸n t½nh v C(E), C0(E) v lp(E) l c¡ckhæng gian con cõa l∞(E) Hìn núa

lq(E) ⊂ C0(E) ⊂ C(E) ⊂ l∞(E)

Trang 18

bα(x) = sup

n > 1

vîi måi x = (xn) ∈ l∞(E) v vîi méi α ∈ I

1.3.2 Nhªn x²t 1) V¼ C0(E), C(E) v lp(E) l c¡c khæng gian tuy¸nt½nh con cõa l∞(E) n¶n chóng công l khæng gian lçi àa ph÷ìng khi E

l khæng gian lçi àa ph÷ìng vîi hå c¡c nûa chu©n x¡c ành trong (1.5).2) N¸u E ÷ñc x¡c ành bði hå ¸m ÷ñc chu©n th¼ c¡c khæng gian

C0(E), C(E) v lp(E) công vªy Do â, n¸u E l F -khæng gian th¼

C0(E), C(E) công l c¡c F -khæng gian

Ngo i ra, tr¶n lq(E) vîi q > 1 ta cán câ k¸t qu£ sau:

vîi måi x = (xn) ∈ lq(E) v α ∈ I Hìn núa, n¸u E l F -khæng gian th¼

lq(E) vîi q > 1 công l c¡c F -khæng gian

l∞(E) =

n

x = (xn) ⊂ E : (kxnk) : l d¢y sè bà ch°no;C(E) = nx = (xn) ⊂ E : (xn) hëi töo;

C0(E) =nx = (xn) ⊂ E : lim

kxk = sup

n > 1

Trang 20

CH×ÌNG 2KHÆNG GIAN CC DY NHN GI TRÀ TRONGKHÆNG GIAN LÇI ÀA PH×ÌNG XC ÀNH BÐI HM

ORLICZ

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi x¥y düng c§u tróc tæpæ lçi àa ph÷ìngcõa khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian lçi àa ph÷ìngx¡c ành bði c¡c h m Orlicz düa tr¶n þ t÷ðng ¢ thüc hi»n trong tr÷ínghñp d¢y nhªn gi¡ trà væ h÷îng v d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian

ành chu©n ¢ tr¼nh b y trong [7] v [5] Ngo i ra, chóng tæi chùng minhmët sè t½nh ch§t, x²t mët sè mèi quan h» giúa lîp khæng gian mîi x¥ydüng vîi mët sè khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian lçi àaph÷ìng ¢ tr¼nh b y trong Möc 1.2

2.1 Khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian lçi àaph÷ìng x¡c ành bði h m Orlicz

Cho M l h m Orlicz Kþ hi»u:

ρ ) < ∞;vîi ρ > 0 n o â}

Khi â, lM l khæng gian tuy¸n t½nh vîi c¡c ph²p to¡n:

Cëng x + y = (xn+ yn) vîi måi x = (xn), y = (yn);

Nh¥n væ h÷îng α.x = (α.xn) vîi måi x = (xn), α ∈ C Hìn núa, lM

6 1

o

,

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	415,41 KB