Ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có mặt đồng thời hai thăng giáng

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂNA 1/s Hệ số Einstein, đặc trưng cho tốc độ phân rã ngẫu nhiên 1 1 / T 1/s Tốc độ hồi phục của thành phần thời gian hồi phục dọc tương ứng với hiệu xác suấ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

_

NGUYỄN ĐĂNG TIẾN

MA TRẬN SUY GIẢM NGẪU NHIÊN

KHI CÓ MẶT ĐỒNG THỜI HAI THĂNG GIÁNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

VINH, 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

_

NGUYỄN ĐĂNG TIẾN

MA TRẬN SUY GIẢM NGẪU NHIÊN

KHI CÓ MẶT ĐỒNG THỜI HAI THĂNG GIÁNG

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Vật lí, Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện giúp đỡ tốt nhất để tôi có môi trường nghiên cứu khoa học trong suốt khóa học Tôi xin phép được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huy Công Thầy đã trực tiếp định hướng và tận tình giúp đỡ tôi nhiều mặt cả về kiến thức, phương pháp nghiên cứu cũng như cung cấp cho tôi tài liệu để hoàn thành luận văn này Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thấy giáo chủ nhiệm chuyên ngành Quang học TS Nguyễn Huy Bằng, cùng các thầy cô giáo trong khoa đã giúp đỡ, giảng dạy và có nhiều ý kiến đóng góp quý báu cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình và đồng nghiệp cùng các bạn học viên cao học 21 đã thường xuyên động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Vinh, tháng 5 năm 2015 Tác giả Nguyễn Đăng Tiến

MỤC LỤC

TRƯỜNG I H C VINHĐẠ Ọ i

NGUY N NG TI NỄ ĐĂ Ế i

LU N V N TH C S V T LẬ Ă Ạ Ĩ Ậ Í i

TRƯỜNG I H C VINHĐẠ Ọ ii

NGUY N NG TI NỄ ĐĂ Ế ii

CHUYÊN NGÀNH: QUANG H CỌ ii

Mã s : 60.44.01.09ố ii

LU N V N TH C S V T LẬ Ă Ạ Ĩ Ậ Í ii

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

A 1/s Hệ số Einstein, đặc trưng cho tốc độ

phân rã ngẫu nhiên

1

1 / T 1/s Tốc độ hồi phục của thành phần thời gian hồi phục

dọc (tương ứng với hiệu xác suất tồn tại hạt ở hai mức năng lượng)

2

1 / u

T 1/s Tốc độ hồi phục của thành phần u của thành phần

thời gian hồi phục ngang (tương ứng với thành phần u của xác suất chuyển giữa hai mức năng lượng)

2

1 /T v 1/s Tốc độ hồi phục của thành phần v của thành phần

thời gian hồi phục ngang (tương ứng với thành phần v của xác suất chuyển giữa hai mức năng lượng)

τ s Thời gian kết hợp của nhiễu telegraph

a 1/s Tương ứng với biên độ của nhiễu telegraph

x(t)

b 1/s Tương ứng với biên độ của nhiễu telegraph

y(t)0

ω 1/s Tần số chuyển giữa hai mức năng lượng

Ω 1/s Liên hợp phức của tần số Rabi

u, v, w Các thành phần của véc tơ Bloch quang học

DANH MỤC CÁC HÌNH

TRƯỜNG I H C VINHĐẠ Ọ i

NGUY N NG TI NỄ ĐĂ Ế i

LU N V N TH C S V T LẬ Ă Ạ Ĩ Ậ Í i

TRƯỜNG I H C VINHĐẠ Ọ ii

NGUY N NG TI NỄ ĐĂ Ế ii

CHUYÊN NGÀNH: QUANG H CỌ ii

Mã s : 60.44.01.09ố ii

LU N V N TH C S V T LẬ Ă Ạ Ĩ Ậ Í ii

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Một trong những vấn đề quan trọng nhất trong các cơ sở lý thuyết củaquang học lượng tử đó là việc nghiên cứu tương tác giữa trường điện từ vớimôi trường

Để nghiên cứu tương tác của trường điện từ (laser) với hệ nguyên tử, vềmặt lý thuyết nhiều tác giả đã sử dụng phương trình Bloch và thu được nhữngkết quả khá phù hợp với thực nghiệm

Trong những năm đầu của thập kỷ 70 của thế kỷ XX đã xuất hiện một

số thực nghiệm, theo đó, nếu dùng phương trình quang học Bloch thôngthường, chúng ta không thể giải thích một cách trọn vẹn, đầy đủ và chính xác

vì chúng ta coi các đại lượng đặc trưng cho trường như biên độ, tần số trongphương trình Bloch là không đổi, nhưng trong thực tế thì chúng luôn có sựthay đổi Theo ngôn ngữ của quang học lượng tử, những sự thay đổi này đượcgọi là những thăng giáng

Tương tự như phương trình Bloch trong cộng hưởng từ, trong quanghọc lượng tử, người ta đã tìm ra các phương trình diễn tả sự thay đổi của cácthông số của hệ lượng tử (thông số của các nguyên tử) khi có mặt trường kíchthích Vì dạng của các phương trình này hoàn toàn giống như các phươngtrình Bloch trong cộng hưởng từ nên chúng được gọi là các phương trìnhBloch quang học

Như chúng ta đã biết, lý thuyết về tương tác của trường điện từ với mộtđối tượng vật chất khác, được mô tả theo quá trình phát triển của lịch sử vàtheo các mức độ sau đây:

Mô tả thuần tuý bằng lý thuyết cổ điển: Trường điện từ thay đổi theoquy luật sóng, thoả mãn hệ phương trình Maxwell Đối tượng vật chất vận

động theo quy luật cổ điển, tức là được mô tả bởi các định luật động lực họcNewton

Mô tả bằng lý thuyết bán cổ điển: Trường điện từ thay đổi theo quy luậtsóng thoả mãn hệ phương trình Maxwell Còn đối tượng vật chất vận độngtuân theo quy luật của cơ học lượng tử, tức là quy luật vận động của đối tượngvật chất lúc này tuân theo phương trình sóng Schrodinger

Mô tả bằng lý thuyết bán lượng tử: Trường điện từ thay đổi theo quyluật lượng tử, tức là trường ở đó các véc tơ cường độ điện trường E và cácvéc tơ cảm ứng từ B đã được biểu diễn qua các toán tử sinh, huỷ pho ton và

sự thay đổi của trường được biểu diễn thông qua sự thay đổi theo thời giancủa các toán tử, còn sự vận động của đối tượng vật chất lại vẫn tuân theo quyluật cổ điển Newton

Mô tả bằng lý thuyết thuần tuý lượng tử: các véc tơ trường đều đượcbiểu diễn qua toán tử và sự thay đổi của chúng được biểu diễn thông qua sựthay đổi theo thời gian của các toán tử, còn đối tượng vật chất cũng đượclượng tử hoá và vận động theo quy luật Schrodinger

Thông thường, trong 4 loại mô tả tương tác đó, người ta hay sử dụng lýthuyết bán cổ điển (ở đó trường điện từ vẫn được xem là trường cổ điển cònmôi trường được xem là hệ hạt lượng tử) Vì hệ lượng tử có rất nhiều mứcnăng lượng nên khi nghiên cứu hệ này, thông thường chúng ta hay sử dụng sựgần đúng nguyên tử hai mức, tức là chúng ta xem trong nguyên tử chỉ có haimức năng lượng tham gia vào quá trình tương tác Hai mức đó đóng vai trò

như hạt có spin 1

2

s= đặt trong trường ngoài Với lý thuyết bán cổ điển, sự

biến đổi theo thời gian của các véc tơ trường E, B r r

vẫn tuân theo các phươngtrình Maxwell

Khi đưa thăng giáng của một đại lượng nào đó vào phương trình quanghọc Bloch, để tìm được quy luật thay đổi theo thời gian của các thông sốnguyên tử, chúng ta phải giải phương trình này Vì có mặt thăng giáng (tức là

có mặt đại lượng thay đổi một cách ngẫu nhiên) nên để giải, chúng ta phải lấytrung bình các giá trị của các thông số nguyên tử Khi đó chúng ta được cáigọi là phương trình quang học Bloch hiệu dụng Trong phương trình quanghọc Bloch hiệu dụng, dưới dạng ma trận, xuất hiện một ma trận chứa cácthông số của thăng giáng ngẫu nhiên và được gọi là ma trận suy giảm hiệudụng Biết được ma trận suy giảm hiệu dụng này, chúng ta tính được sự thayđổi của các thông số nguyên tử theo thời gian

Thông thường cho đến nay, người ta chỉ mới đề cập đến những tínhtoán lý thuyết liên quan đến một thăng giáng lượng tử Vấn đề đặt ra là khi cóđồng thời hai thăng giáng lượng tử thì ma trận suy giảm hiệu dụng sẽ có dạng

ra sao? Các thời gian hồi phục dọc, ngang sẽ thay đổi như thế nào?

Trường hợp này, cho đến nay mới có rất ít các công trình khoa học đềcập tới

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề đó, tức là đề cập tớiviệc xác định biểu thức của ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có mặt đồng thờihai thăng giáng

Như trên đã trình bày, trong biểu thức tổng quát của ma trận suy giảmngẫu nhiên chứa đựng các thông số đặc trưng cho loại thăng giáng (loạinhiễu) mà chúng ta xem xét Dạng cụ thể của ma trận suy giảm ngẫy nhiên sẽphụ thuộc vào việc chúng ta khảo sát sự thăng giáng của đại lượng nào, đồngthời xem thăng giáng đó thuộc loại nào (thăng giáng nhiễu trắng hay thănggiáng nhiễu màu)

Trong luận văn này, ngoài việc đưa ra biểu thức tổng quát của ma trậnsuy giảm ngẫu nhiên, chúng tôi sẽ xét cụ thể cho trường hợp có mặt đồng thờicủa thăng giáng độ lệch tần và thăng giáng cường độ trường laser kích thích.

Từ biểu thức cụ thể của ma trận suy giảm này, chúng ta sẽ xác định được sựthay đổi của các thông số nguyên tử, cụ thể là sự thay đổi của các thời gianhồi phục khi có mặt đồng thời hai thăng giáng trên

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

- Tìm hiểu về ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có mặt đồng thời haithăng giáng của trường kích thích

- Tìm hiểu ảnh hưởng Thời gian hồi ngang khi có mặt đồng thời haithăng giáng; Thăng giáng nhiễu telegraph của độ lệch tần và thăng giángnhiễu trắng của cường độ trường kích thích

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng

+ Hệ lượng tử khi có mặt trường kích thích và phương trình Bloch hiệudụng

+ Thời gian phục hồi dọc và ngang

+ Ảnh hưởng của các thăng giáng lên các thời gian hồi phục

3.2 Phạm vi

Nghiên cứu trong phạm vi lý thuyết bán cổ điển, tức là lý thuyết vềtương tác giữa trường kích thích với môi trường vật chất, trong đó trường kíchthích vẫn là trường cổ điển (các véc tơ trường vẫn được mô tả bằng các hàmsóng sin, cos và phương trình của các véc tơ trường vẫn là các phương trìnhMaxwell) còn môi trường vật chất là một hệ lượng tử, sự tiến hoá theo thờigian của các thông số môi trường tuân theo phương trình Schrodinger

4 Các nội dung chính

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, trong phần nộidung, luận văn đề cập đến các vấn đề sau:

• Phương trình Bloch quang học trong lý thuyết bán cổ điển

• Khái niệm về nhiễu lượng tử và hàm tương quan

• Phương trình Bloch quang học hiệu dụng khi có mặt đồng thời haithăng giáng

• Ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có mặt đồng thời hai thăng giáng

• Ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có mặt đồng thời hai thăng giángnhiễu trắng và nhiễu màu

• Các thời gian phục hồi dọc và ngang khi có mặt hai nhiễu

• Các nhận xét về ảnh hưởng của nhiễu lên các thời gian hồi phục này

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết kết hợp với so sánh các kết quả thu được từ thựcnghiệm rồi rút ra kết luận

PHẦN NỘI DUNG Chương 1

MA TRẬN SUY GIẢM NGẪU NHIÊN

KHI CÓ MẶT THĂNG GIÁNG

Mở đầu

Như trên đã trình bày, vì có mặt thăng giáng (tức là có mặt đại lượngthay đổi một cách ngẫu nhiên) nên để giải phương trình Bloch quang học,chúng ta phải lấy trung bình các giá trị của các thông số nguyên tử Khi đóchúng ta được cái gọi là phương trình quang học Bloch hiệu dụng Trongphương trình quang học Bloch hiệu dụng, dưới dạng ma trận, xuất hiện một

ma trận chứa các thông số của thăng giáng ngẫu nhiên và được gọi là ma trậnsuy giảm ngẫu nhiên Biết được ma trận suy giảm ngẫu nhiên này, chúng tatính được sự thay đổi của các thông số nguyên tử theo thời gian

1.1 Phương trình quang học Bloch trong lý thuyết bán cổ điển

Xét hệ hai mức 1 và 2 có năng lượng là W1 và W2 Ta có mô hình hệnguyên tử hai mức:

Hình 1.1 Mô hình hệ nguyên tử hai mức

Chúng ta khảo sát hệ nguyên tử hai mức bằng lý thuyết bán cổ điển.Tức là lý thuyết trong đó môi trường vật chất được lượng tử hoá còn trườngvẫn là trường cổ điển

Khi đặt hệ trong trường ngoài, Hamilton toàn phần của hệ là:

0 t

Trong đó: H0 là Hamilton của nguyên tử tự do (không có tương tác)

H t là Hamilton tương tác giữa nguyên tử với trường

( ) ,

Hai trạng thái riêng của toán tử H0 được ký hiệu là: 1 và 2

=

σ đặc trưng cho phép chuyển từ mức 2 về mức 1

1 2

=

+

σ đặc trưng cho phép chuyển từ mức 1 lên mức 2

1 1 2

2

1 0 0

σω

dE H

H t

1 2

2 1

W

ở đây chúng ta đã sử dụng:

W W2 - 1 = h ω σ 0 ; 22 + σ 11 = 1

Vì (σ22 − σ11)= σz nên:

( 2 1)

0 0

2

1 2

1

W W

Vì trong thực tế chúng ta chỉ quan tâm đến hiệu năng lượng giữa haimức nên ta có quyền chọn gốc để tính năng lượng mà không làm thay đổi bảnchất của các hiện tượng được nghiên cứu Nghĩa là năng lượng có thể chọn saikhác một hằng số Bởi vậy ta có quyền chọn gốc năng lượng sao cho có thể

bỏ đi đại lượng thứ hai của biểu thức trên [1], [2]

Với cách lập luận đó thì biểu thức toán tử năng lượng của nguyên tử chỉcòn lại số hạng thứ nhất mà thôi, nghĩa là:

Đặt E=E0[exp(iωt) + exp( −iωt)] với ω là tần số trường ngoài.

i t i t z

i t i t z

i t i t z

Ta đưa vào các kí hiệu:

1

2 1

Nếu xét đến sự có mặt các dao động nhiệt, khi đó trong phương trìnhBloch quang học (1.13) có xuất hiện thêm các hằng số tắt dần đặc trưng choquá trình này Lúc đó phương trình (1.13) được viết lại dưới dạng:

*

1/

2 1/

* 2

1

1/

2 1/

- w eq là giá trị của w trong trạng thái cân bằng với bể nhiệt Thôngthường, đại lượng này có giá trị w eq = −1

- T1 được gọi là thời gian sống dọc tương ứng với thành phần M z nằmdọc theo phương từ trường ngoài của mô men từ nguyên tử

- T2 được gọi là thời gian sống ngang tương ứng với hai thành phần

Ngoài ra, để đơn giản, thông thường chúng ta bỏ qua giá trị w eq = −1 vì

nó không có đóng góp gì vào sự thay đổi của các thông số của hệ lượng tửtheo thời gian Khi đó phương trình ma trận (1.17) có dạng đơn giản như sau:

Phương trình (1.17) hay (1.22) với ma trận một cột V và ma trận M

được xác định từ (1.20) hay (1.23) được gọi là phương trình Bloch quang học

Sở dĩ có tên gọi này là vì chúng có dạng giống phương trình Bloch trong cộnghưởng từ [1], chỉ có điều các thông số trong phương trình là các thông sốquang học lượng tử (∆ , Ω) chứ không phải là các thành phần của mô men từnhư trong phương trình Bloch của cộng hưởng từ

1.2 Các loại thăng giáng của các thông số nguyên tử và trường

Như trên đã đề cập, trong các phương trình quang học Bloch, các đạilượng đặc trưng cho trường và nguyên tử (∆ , Ω) được xem là những đại lượngkhông có sự thay đổi theo thời gian Điều đó thuần túy chỉ là những điều kiện

lý tưởng hóa, chỉ thỏa mãn trong những trường hợp khi các yêu cầu chính xáchóa các kết quả tính toán ở mức vĩ mô thông thường

Trong thực tế, các đại lượng đặc trưng cho trường (biên độ E0, tần số

L

ω và pha ϕ) cũng như đặc trưng cho hệ nguyên tử (mô men lưỡng cực

nguyên tử d, hay tần số chuyển giữa hai mức của hệ ω 0) đều có sự thănggiáng Kết quả là các đại lượng:

Cường độ trường biểu diễn thông qua tần số Rabi 2dE0

Ω =

h hay độ lệchtần ∆ = ω ωL− 0 hoặc pha của trường ϕ ω = L t sẽ thăng giáng theo thời gian Đại

lượng đặc trưng cho sự thay đổi (thăng giáng) được ký hiệu là x t( ) và đượcgọi là thăng giáng (hay là nhiễu)

Mối liên hệ giữa các giá trị của thăng giáng giữa hai thời điểm gầnnhau t và t' được biểu diễn qua giá trị trung bình của tích hai giá trị củathăng giáng được gọi là hàm tương quan về thời gian của thăng giáng đó

Mối liên hệ giữa các giá trị của thăng giáng giữa vị trí không gian gầnnhau r và r' được biểu diễn qua giá trị trung bình của tích hai giá trị củathăng giáng được gọi là hàm tương quan về không gian của thăng giáng đó.Thông thường người ta quan tâm chủ yếu đến hàm tương quan thời gian

Nếu khi chúng ta đưa sự phụ thuộc của thăng giáng vào phương trìnhquang học Bloch, nếu thăng giáng có dạng Gaussian bất kỳ, chúng ta khôngthể lấy trung bình được phương trình nếu không biết được hàm tương quancủa thăng giáng đó

Thông thường, thay cho một thăng giáng có dạng Gaussian, chúng taxét cho những thăng giáng có dạng đơn giản hơn Cụ thể là chúng ta sẽ khảosát các loại thăng giáng có các hàm tương quan như sau:

a) Thăng giáng được gọi là nhiễu trắng là loại thăng giáng mà hàmtương quan [3] của nó có dạng:

ở đâyτc là thời gian kết hợp, tức thời gian khi hai giá trị nhiễu ở hai thời điểm

kết tiếp còn có quan hệ với nhau, còn τ =t' −t Như vậy đại lượng bổ sung làthay đổi ngẫu nhiên theo hai giá trị biên độ a và −a Ta có nhận xét là khi

0

→

τ và a2 τc →const =D thì nhiễu telegraph sẽ trở về nhiễu trắng

Để nhiễu mà chúng ta gán cho nó gần đúng hơn với một nhiễu hỗn loạntrong thực tế thì chúng ta phải tổ hợp nhiều nhiễu telegraph lại, lúc đó chúng

ta có được nhiễu gọi là nhiễu tiền – Gaussian, tức là dẫn đến nhiễu Gaussianthông thường

1.3 Phương trình quang học Bloch khi có thăng giáng ngẫu nhiên

Phương trình trên là phương trình đúng cho trường hợp lý tưởng, khicường độ, pha và tần số của trường kích thích là hoàn toàn đơn sắc và cácmức năng lượng của hệ lượng tử không suy biến Trong thực tế không phảinhư vậy, do nhiều nguyên nhân, các thông số của trường có thể thăng giáng

và các mức năng lượng của hệ có thể suy biến với một độ rộng phổ nào đó

Sự mở rộng đó có thể là do va chạm, do sự mở rộng tự nhiên, mở rộngDoppler, v.v Vì vậy để sát với thực tế chúng ta phải chú ý bổ sung ảnhhưởng của các thăng giáng này vào trong phương trình, tức là chúng ta phảiđưa thêm vào ma trận suy giảm tương ứng với các thăng giáng Phương trìnhchứa thêm các ma trận suy giảm này gọi là phương trình Bloch ngẫu nhiên(Stochastic Bloch Equations) (SBE)

Khi có thăng giáng ngẫu nhiên (có nhiễu), phương trình Bloch mô

tả sự tiến hoá động lực của các thông số của hệ lượng tử sẽ có dạng tổngquát như sau:

V&= −iM x t V( ( )) = −  iM S −iM nh(x t( ) )V t( ) (1.26)

ở đây V là véc tơ Bloch, là ma trận một cột, chứa các thành phần của véc tơBloch

M là ma trận vuông có số hàng bằng số cột và bằng số hàng của véc tơ

V còn x( )t là một thăng giáng (nhiễu) ngẫu nhiên Ma trận M là ma trậnkhông những chứa các phần tử kết hợp (bao gồm các thành phần không đổicủa các thông số: độ lệch tần ∆, tần số Rabi Ω liên quan đến cường độ trườngngoài và hệ số Einstein A đặc trưng cho sự suy giảm tự phát (phân rã ngẫunhiên) mà còn chứa cả đại lượng đặc trưng cho thăng giáng, tức là chứa cácthông số nhiễu

S

M là ma trận chỉ chứa những phần tử kết hợp (bao gồm các thành phầnkhông đổi của các thông số: độ lệch tần ∆, tần số Rabi Ω liên quan đếncường độ trường ngoài và hệ số Einstein A đặc trưng cho sự suy giảm tự phát(phân rã ngẫu nhiên)

nh

M là ma trận chứa nhiễu ngẫu nhiên x t( )

1.4 Phương trình quang học Bloch hiệu dụng

Trở lại với phương trình (1.26) Vì nó là một phương trình vi phân ngẫunhiên nên để giải nó, chúng ta phải lấy trung bình

Như chúng ta đã biết, nếu nhiễu mà chứng ta đưa vào trong phươngtrình quang học (1.26) ở trên là hoàn toàn hỗ loạn, không có dạng cụ thể củahàm tương quan thì ta không thể lấy trung bình thống kê của hàm đó được.Muốn lấy trung bình thống kê của hàm thì chúng ta phải biết được hàm tươngquan của nhiễu đó

Như trên ta đã thấy, đối với trường hợp nhiễu trắng thì hàm tương quancủa chúng khá đơn giản, bản thân nhiễu đó không phản ánh được các thănggiáng ngẫu nhiên trong thực tế

Trong khoảng vài chục năm trở lại đây, thông thường người ta sử dụngnhiễu telegraph Vì nó cáo hàm tương quan xác định nên tuy có phức tạp hơnnhiễu trắng nhưng cũng không phải là quá phức tạp để khôn giải đượcphương trình quang học Bloch một cách giải tích

Trên cơ sở tính chất của nhiễu telegraph, chúng ta sẽ lấy trung bìnhphương trình quang học Bloch, tức là xác định biểu thức của ma trận suygiảm ngẫu nhiên khi có nhiễu này Mặt khác, như trên ta đã thấy, ma trận suygiảm ngẫu nhiên này không những phụ thuộc vào vào loại nhiễu mà còn phụthuộc vào nguồn nhiễu Do đó để có dạng tường minh cho ma trận suy giảm,chúng ta cần phải lưu ý đến các nguồn nhiễu khác nhau, chẳng hạn đó lànguồn nhiễu của độ lệch tần số, nguồn nhiễu của cường độ trường kích thíchhay nguồn nhiễu của pha

Từ phương trình (1.26), chúng ta tìm được nghiệm của nó có dạng [2],[4], [6] dưới dạng sau:

Lấy trung bình hai vế phương trình (1.26) ta được:

V t&( ) = −iM V t S ( ) −iM nh x t V t( ) ( ) (1.28)Đặt: Y t( ) = x t V t( ) ( ) (1.29)

Từ các công thức (1.27), (1.28) và (1.29), chúng ta tìm được biểu thứccủa Y t( ) như sau:

Khử Y z%( ) ta được: ( )0 ( ) 2

1

S c

2

1

zt zt

S c

V t thì trong công thức (1.33) thì chúng ta có thể sử dụng đến cái gọi là sựgần đúng đoạn nhiệt, nghĩa là đặt Y t&( ) = 0 Từ đó ta có:

S c

1.5 Ma trận suy giảm ngẫu nhiên

Ta viết lại phương trình trên dưới dạng:

với: M A =iaM nh (1.42)

được gọi là ma trận suy giảm ngẫu nhiên

Rõ ràng, từ biểu thức của ma trận này ta thấy ma trận này phụ thuộcvào tính chất của các thăng giáng của các đại lượng mà ta đang khảo sát sựtiến hoá của chúng, tức là phụ thuộc vào hàm tương quan của đại lượng thănggiáng

Dưới ảnh hưởng của các thăng giáng, một loạt các thông số của hệnguyên tử sẽ có sự thay đổi phụ thuộc vào dạng của ma trận này

Phương trình (1.40) chứa ma trận suy giảm ngẫu nhiên và được gọi làphương trình quang học Bloch hiệu dụng (1.40) còn có tên gọi là phươngtrình cộng hưởng quang (Optical Resonance Equation: ORE) thay thế chophương trình quang học Bloch thông thường khi chưa có nhiễu

Từ (1.40) cũng cho ta xác định được nghiệm dừng của phương trìnhquang học Bloch hiệu dụng:

Trở lại phương trình (1.18) ta thấy, trong trường hợp phương trìnhquang học Bloch được biểu diễn bằng ma trận 3 x 3, các số hạng trên đườngchéo chính của nó chứa được phần suy giảm do phát xạ tự phát được đặc

trưng bởi hệ số Einstein:

2

1 2

A T

Để tách phần không phụ thuộc vào các đặc trưng của nhiễu ngẫu nhiên,chúng ta viết lại ma trận M Sdưới dạng sau:

−iM S = −iM0 − Γ (1.44)

ở đây ma trận Γ là ma trận ứng với phần bức xạ tự phát chỉ chứa các hệ sốEinstein (γ =A/ 2), còn ma trận M0 chỉ phụ thuộc vào độ lệch tần số ∆ và tần

số Rabi Ω đặc trưng cho cường độ trường kích thích Khi đó phương trìnhcộng hưởng quang được viết lại dưới dạng chi tiết, rõ ràng hơn như sau:

là lúc đó:

Ω( )t = Ω + Ω δ ( )t (1.46)

Ở đây δΩ( )t =x t( ) chính là một thăng giáng Ta xét cho trường hợp

thăng giáng là một nhiễu telegraph có biên độ a và thời gian kết hợp τc.

Trong trường hợp này, các ma trận trong (1.45) có dạng:

22 23

32 33

0 0

Trong giới hạn trường mạnh Ω >> τc 1, các thành phần của ma trận suy

giảm ≈ 0, tức là khi đó thăng giáng cường độ trường không làm thay đổi cácthời gian hồi phục

1.5.2 Ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có mặt thăng giáng pha của trường kích thích [3]

Để tìm biểu thức cụ thể của ma trận suy giảm khi có mặt thăng giángpha của trường kích thích, chúng ta cần đưa thăng giáng pha này vào phươngtrình quang học Bloch Để xuất hiện pha của trường trong phương trình quanghọc Bloch, trong trường hợp tổng quát, ta biểu diễn tần số Rabi Ω dưới dạngphức như sau:

Ω ⇒ Ωe i tφ( ) (1.53) Khi đó công thức (1.18) được viết lại như sau:

γ λ γ

trong đó φ( )t là một nhiễu telegraph với biên độ a và thời gian kết hợp τc

Trong trường hợp nhiễu pha, để tính ma trận −iM S, tức là tính ma trận

chứa các thành phần kết hợp, không thay đổi theo thời gian, chúng ta sử dụngbiểu thức: