Rèn luyện kĩ năng toán học hóa tình huống thực tiến cho học sinh trung học phổ thông dạy học tổ hợp xác suất

LÊ THỊ KIỀU DIỄMRÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN HỌC HÓA TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC TỔ HỢP – XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC Nghệ An, 2015...

LÊ THỊ KIỀU DIỄM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN HỌC HÓA TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC

TỔ HỢP – XÁC SUẤT

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Nghệ An, 2015

LÊ THỊ KIỀU DIỄM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN HỌC HÓA

TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN CHO HỌC SINH

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG

DẠY HỌC TỔ HỢP – XÁC SUẤT

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Châu Giang

Nghệ An, 2015

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Châu Giang,người cô đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập,nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo của khoa Toán, Phòng Đàotạo Sau Đại học – Trường Đại học Vinh đã đóng góp nhiều ý kiến quý báugiúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành luận văn và trân trọng cảm

ơn trường Đại học Kinh tế – Công nghiệp Long An đã tổ chức khóa học Sauđại học cho chúng tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn các giáo viên thuộc Tổ Toán của trườngtrung học phổ thông Nguyễn Trung Trực, huyện Tân Trụ, tỉnh Long An, đồngnghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Do bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo

Viết tắt Viết đầy đủ

THPT Trung học phổ thông

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong giáo dục, phương pháp dạy học luôn được trong mối quan hệ vớicác thành tố của quá trình giáo dục Do đó, một trong những trọng tâm củaquá trình đổi mới giáo dục phổ thông là tập trung vào đổi mới phương phápdạy học Trong “thuật ngữ giáo dục người lớn” do UNESCO xuất bản năm

1979 bằng ba thứ tiếng Anh, Pháp, Tây Ban Nha đã dùng thuật ngữ “giáo dụccăn cứ vào người học”, “giáo dục tập trung vào người học” với định nghĩa là

“sự giáo dục mà nội dung quá trình học tập và giảng dạy được xác định bởinhu cầu, mong muốn của người học và người học tham gia tích cực vào việchình thành và kiểm soát, sự giáo dục này huy động những nguồn lực và kinhnghiệm của người học” Ở những nền giáo dục hiện đại liên hệ thực tiễn luôn

là “kim chỉ nam” trong quá trình soạn sách giáo khoa bậc phổ thông Nếu họcsinh tìm được câu trả lời cho câu hỏi: “Tại sao phải học kiến thức này?” thì họ

sẽ chủ động trong quá trình tìm hiểu tri thức nói chung – kiến thức môn Toánnói riêng

Thông qua hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn, giáo viên chohọc sinh thấy được vai trò của toán học trong cuộc sống Toán học hóa tìnhhuống thực tiễn trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khámphá, giải đáp tình huống thực tiễn bằng công cụ toán học Các em được rènluyện kỹ năng tư duy toán học và khả năng nhìn nhận vấn đề bằng góc độtoán học Từ đó học sinh cảm nhận việc học toán có ý nghĩa hơn, tạo động cơ

và niềm đam mê học toán

Qua nghiên cứu chương trình sách giáo khoa toán trung học phổ thông,chương Tổ hợp – Xác suất là hoàn toàn mới đối với học sinh Đó là nhữngkhái niệm rất khó đối với những người mới làm quen Cần phải hình thành

chúng dần dần qua các ví dụ thực tiễn Chương này cung cấp những kiến thức

cơ bản nhất về Đại số tổ hợp và lí thuyết xác suất, một lĩnh vực quan trọngcủa toán học, có nhiều ứng dụng trong đời sống

Từ những lí do trên, chúng tôi đã chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học Tổ hợp – Xác suất” để làm luận văn tốt nghiệp của mình.

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huốngthực tiễn cho học sinh trong dạy học Tổ hợp – Xác suất nhằm góp phần nângcao chất lượng dạy học toán hiện nay ở các trường trung học phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện kỹ năng toánhọc hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông trong dạy họcmôn Toán nói chung và dạy học Tổ hợp – Xác suất nói riêng

- Làm rõ thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huốngthực tiễn cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học nội dung Tổ hợp –Xác suất

- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huốngthực tiễn cho học sinh trong dạy học Tổ hợp – Xác suất

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, hiệu quảcủa các biện pháp được đề xuất

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Biện pháp rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho họcsinh trong dạy học Tổ hợp – Xác suất

4.2 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn chohọc sinh trung học phổ thông trong dạy học nội dung Tổ hợp – Xác suất (Đại

số và Giải tích 11 chương trình chuẩn), ở trường trung học phổ thông NguyễnTrung Trực, huyện Tân Trụ, tỉnh Long An

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về chủ trương của Bộ giáo dục trong công tácgiáo dục, Luật giáo dục và các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, phươngpháp dạy học môn Toán

- Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, sách bồi dưỡng giáoviên, các báo, tạp chí về rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễncho học sinh trung học phổ thông

- Nghiên cứu các công trình đã công bố có liên quan đến đề tài

5.2 Phương pháp chuyên gia

- Trao đổi, tham khảo ý kiến với các chuyên gia trong lĩnh vực mà bảnthân nghiên cứu để có những định hướng cho việc nghiên cứu đề tài

- Trao đổi với các giáo viên dạy học môn Toán lớp 11 về kỹ năng toánhọc hóa tình huống thực tiễn của học sinh trung học phổ thông cũng như yêucầu của chương Tổ hợp – Xác suất

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Sử dụng một số tình huống thực tiễn liên quan đến Tổ hợp – Xác suấtđược toán học hóa đã biên soạn để tiến hành thực nghiệm sư phạm Qua đógiúp học sinh rèn luyện kỹ năng toán học hóa, học tốt nội dung Tổ hợp – Xácsuất và thấy được chương này thiết thực nhất cho đời sống Việc này đượckiểm chứng khi dạy một lớp thực nghiệm và một lớp đối chứng ở trườngtrung học phổ thông Sau đó đánh giá tính hiệu quả của đề tài qua phiếu lấy ýkiến học sinh, kết quả bài kiểm tra khảo sát sau tiết học

Đây là phương pháp quan trọng để đánh giá tính đúng đắn của cơ sởgiả thuyết khoa học và mức độ đạt được của đề tài

6 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định và thực hiện được một số biện pháp rèn luyện kỹ năngtoán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trong dạy học Tổ hợp – Xácsuất một cách khoa học và có tính khả thi sẽ phát huy tốt hơn tính tích cựcchủ động học tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mônToán ở các trường trung học phổ thông

7 Những đóng góp của luận văn

- Góp phần hoàn thiện cơ sở lý luận của việc rèn luyện kỹ năng toánhọc hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông

- Đề xuất một số biện pháp rèn kỹ năng toán học hóa tình huống thựctiễn cho học sinh trung học phổ thông

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp rèn kỹ năng toán học hóa tình huống thựctiễn cho học sinh trung học phổ thông

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Luận văn có sử dụng 33 tài liệu tham khảo và kèm theo 4 Phụ lục

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu

1.1.1 Các nghiên cứu ở nước ngoài

Vấn đề kỹ năng của con người là vấn đề có nhiều ý kiến khác nhau Quamột số công trình nghiên cứu tâm lý học, giáo dục học, toán học đã có nhữngquan niệm khác nhau như:

- Quan niệm chú trọng nghiên cứu kỹ năng trên cơ sở của tâm lý họchành vi mà đại diện là các nhà tâm lý học như: J B Oatsơn; B F Skinnơ Họnghiên cứu chủ yếu các hành vi của động vật từ đó suy ra các hành vi kỹ năngcủa con người

- Quan niệm chú trọng nghiên cứu kỹ năng trên cơ sở hoạt động Khi

đó kỹ năng là một phương tiện thực hiện hành động, chỉ cần nắm được cáchthức hành động là có kỹ năng; cũng có khi coi kỹ năng là năng lực thực hiệnmột công việc sáng tạo ra một kết quả với chất lượng cần thiết trong thời giannhất định trong điều kiện mới Đại diện là các nhà tâm lý học Liên Xô Tronglịch sử nghiên cứu kỹ năng của các nhà tâm lý học, các nhà giáo dục học XôViết có hai hướng chính như sau:

+ Hướng thứ nhất: Nghiên cứu kỹ năng ở mức độ khái quát, đại cương.Đại diện cho hướng nghiên cứu này có các tác giả: A G Côvaliôv; V X.Kyzin; A V Pêtrôvxki Các tác giả này nghiên cứu sâu vào bản chất kháiniệm kỹ năng, các quy luật hình thành và mối liên hệ giữa kỹ năng, kỹ xảo

+ Hướng thứ hai: Nghiên cứu kỹ năng ở mức độ cụ thể trong các lĩnhvực khác nhau Trong lĩnh vực lao động công nghiệp có V V Tsebưseva; K

K Platônôv Các tác giả nghiên cứu kỹ năng trong mối quan hệ giữa conngười với máy móc, công cụ và phương tiện lao động

Các nghiên cứu này có những quan điểm trái ngược nhau nhưng đồngthời cũng bổ sung cho nhau.

- Quan niệm khác lại cho rằng kỹ năng là việc vận dụng những tri thức

và các kỹ xảo đã có vào việc lựa chọn và thực hiện những phương thức hànhđộng đặt ra Với quan niệm trên, trong “Từ điển tâm lý học” do A V.Pêtrôvxki và M G Jarosevxki chủ biên năm 1990 cho rằng: “Kỹ năng làphương thức hành động dựa trên cơ sở tổ hợp những tri thức và kỹ xảo Kỹnăng được hành thành bằng con đường luyện tập Tạo khả năng cho ngườithực hiện hành động không chỉ trong những điều kiện quen thuộc mà cả trongnhững điều kiện thay đổi”

Hay như một số công trình nghiên cứu của các tác giả người Liên Xô

cũ và các nước Đông Âu đã nghiên cứu về năng lực sư phạm của người GV:

- Tác giả N V Cudơmina “Hình thành các năng lực sư phạm” đã xácđịnh các năng lực sư phạm cần có của người GV, việc phát hiện và bồi dưỡngnăng khiếu sư phạm

- Tác giả X I Kixegop trong công trình nghiên cứu “Hình thành các kỹnăng, kỹ xảo sư phạm trong điều kiện Giáo dục đại học” đã nêu ra hơn 100 kỹnăng, trong đó có 50 kỹ năng cơ bản và tối thiểu, cần thiết cho hoạt độngnghề nghiệp của GV

Vấn đề rèn luyện kỹ năng cho người lao động đã có từ lâu, được nhiềunhà khoa học quan tâm và nghiên cứu

1.1.2 Các nghiên cứu trong nước

Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặcnảy sinh từ đời sống thực tế nhằm tạo điều kiện cho HS biết vận dụng nhữngkiến thức toán học trong nhà trường vào cuộc sống, góp phần gây hứng thú họctập, giúp HS nắm được thực chất vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học mộtcách hình thức Do đó tác giả V I Lênin đã nhấn mạnh: “… Từ buổi còn thơ,

học sinh cần được vận dụng lý thuyết vào thực tiễn Khi trẻ em giúp đỡ các nôngtrang viên tính toán hàng ngày mà tính đúng, các em đã làm một việc không phảitách rời học tập mà chính việc đó đã giúp chúng áp dụng kiến thức vào đời sống.Khi trẻ em giúp ủy ban xã làm những phép tính thống kê về kinh tế cần thiết thìđiều đó đã giúp vào việc học của chúng, giúp cho việc giáo dục Cộng sản đối vớichúng” [31, tr.437].

Theo V V Firsôv khẳng định: “Việc giảng dạy Toán ở trường phổ thôngkhông thể không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng củakhoa học Toán học, điều đó phải được thể hiện bằng việc dạy cho học sinh ứngdụng Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế (dẫn theo [29,tr.34])”

Trong dạy học toán, để HS tiếp thu tốt rất cần đến sự liên hệ gần gũi bằngnhững tình huống, những vấn đề thực tế Những hoạt động thực tiễn đó vừa cótác dụng rèn luyện năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn vừa giúp HS tíchcực hóa trong học tập để lĩnh hội kiến thức Giáo sư Đào Tam cũng rất quan tâm

đến vấn đề này, được thể hiện khá cụ thể trong cuốn Phương pháp dạy học Hình học ở trường THPT [24].

Trong quá trình tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy có rất nhiều công trìnhnghiên cứu khoa học liên quan đến việc bồi dưỡng năng lực vận dụng toán họcvào thực tiễn cho HS Chẳng hạn, một số công trình nghiên cứu sau:

- Nguyễn Viết Dũng, luận án tiến sĩ: “Hình thành và phát triển một số

kỹ năng thích nghi trí tuệ cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học hìnhhọc”

- Phan Anh, luận án tiến sĩ: “Góp phần phát triển năng lực toán học hóatình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học Đại số vàGiải tích”

- Nguyễn Văn Nam, luận văn thạc sĩ: “Rèn luyện cho học sinh trunghọc phổ thông kỹ năng tiến hành các hoạt động trí tuệ trong giải toán Đại số

và Giải tích”

- Nguyễn Thị Hường, luận văn thạc sĩ: “Bồi dưỡng năng lực vận dụngtoán học vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học toán ở trường trung học cơsở”

- Phan Thị Thùy Trang, luận văn thạc sĩ: “Xây dựng và sử dụng kiểubài toán của Pisa vào dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông theođịnh hướng tăng cường các bài toán thực tiễn”

- Nguyễn Văn Bảo, luận văn thạc sĩ: “Góp phần rèn luyện cho học sinhnăng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dungthực tiễn”

- Đào Thị Liễu, luận văn thạc sĩ: “Bồi dưỡng năng lực toán học hóa tìnhhuống thực tiễn cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Xác suất – Thống kê”

- Trần Thị Kim Nhung, luận văn thạc sĩ: “Phát triển năng lực phát hiện vàgiải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất (Đại

số và Giải tích 11 nâng cao)”

- Nguyễn Danh Nam: “Nghiên cứu vận dụng phương pháp mô hình hóatrong dạy học môn toán ở trường phổ thông”, đề tài cấp Bộ

Phương pháp toán học hóa nói riêng, phương pháp mô hình hóa trong dạyhọc nói chung được sử dụng ở các lĩnh vực khác, thể hiện qua các công trìnhsau:

- Vũ Trúc Thanh Hoài, luận văn tốt nghiệp đại học: “Sử dụng mô hìnhvật lý trong dạy học chương “chất khí” lớp 10 THPT ban nâng cao nhằm tổchức hoạt động học tập tích cực, tự lực, sáng tạo cho học sinh”

- Phan Viết Chính, đề tài nghiên cứu khoa học trên tạp chí Đại họcĐông Á: “Ứng dụng mô hình toán đánh giá chất lượng nước hạ lưu sôngĐồng Nai đến năm 2020”.

Việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho HSTHPT được nhiều tác giả quan tâm, tuy nhiên còn chưa có đề tài đi sâu vàonội dung Tổ hợp – Xác suất (Đại số và Giải tích 11 chương trình chuẩn) Do

đó, chúng tôi thấy rằng việc nghiên cứu về kỹ năng toán học hóa tình huốngthực tiễn cho HS THPT trong dạy học Tổ hợp – Xác suất là điều cần thiết

1.2 Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn

1.2.1 Kỹ năng

1.2.1.1 Khái niệm kỹ năng

Nói đến kỹ năng, A V Petrovski viết: Năng lực sử dụng các dữ kiện, cáctri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộctính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận

hay thực hành xác định, được gọi là kỹ năng (A V Petrovski (1982), Tâm lí học lứa tuổi và tâm lí học sư phạm, NXB Giáo dục Hà Nội).

Theo từ điển Tiếng Việt: Kỹ năng – khả năng vận dụng những kiến thứcthu được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế Còn từ điển Triết học: Kỹ năng– những động tác đã trở thành máy móc do được lặp lại sau một thời gian dài

G Pôlia khẳng định rằng: “Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải cácbài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải

và chứng minh nhận được”

Theo V A Cruchetxki: “Năng lực toán học được hiểu là những đặc điểmtâm lí cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng nhữngyêu cầu của hoạt động học tập toán học, và trong những điều kiện vững chắc nhưnhau thì nguyên nhân của sự hình thành công trong việc nắm vững một cáchsáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối

nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toánhọc” (dẫn theo [10]).

Theo [20, tr.201]: Kỹ năng là khả năng vận dụng một kiến thức nào đóvào thực tiễn

Theo [25, tr.91]: Kỹ năng học tập của HS có thể diễn đạt như sau: kỹ nănghọc tập là khả năng vận dụng có kết quả những kiến thức về phương thức thựchiện các hành động học tập đã được học sinh lĩnh hội để giải quyết nhiệm vụ họctập mới

Từ những quan điểm trên, ta có thể hiểu rằng: kỹ năng là khả năng vậndụng tri thức khoa học vào thực tiễn, trong đó khả năng được hiểu là “sức đã có(về mặt nào đó) để có thể làm tốt một việc gì” Mỗi kỹ năng bao gồm một hệthống thao tác trí tuệ và thực hành, thực hiện trọn vẹn hệ thống này sẽ đảm bảođạt được mục đích đã đặt ra Kỹ năng bao giờ cũng xuất phát từ kiến thức, dựatrên kiến thức, kỹ năng chính là kiến thức trong hành động

1.2.1.2 Đặc điểm của kỹ năng

- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức,bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích – biết cách thức đi đến kếtquả – hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó

- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi kiến thức đó phản ánh một cách đầy

đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồntại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động

1.2.1.3 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hành thành kỹ năng

- Nội dung của bài tập: nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị chephủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hìnhthành kỹ năng

- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng, việctạo ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp cho HS dễ dàng trong việc hìnhthành kỹ năng.

- Khả năng khái quát nhìn đối tượng một cách toàn thể ở mức độ cao haythấp

1.2.1.4 Sự hình thành kỹ năng

a) Thực chất của sự hình thành kỹ năng là hình thành cho HS khả năngnắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ cácthông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ

b) Khi hình thành kỹ năng cho HS cần tiến hành:

- Giúp HS biết cách tìm tòi để nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm vàmối quan hệ giữa chúng

- Giúp HS hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, cácđối tượng cùng loại

- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát hóa và cáckiến thức tương ứng

1.2.2 Khái niệm toán học hóa tình huống thực tiễn

Lịch sử toán học gắn liền với sự phát triển của loài người, những kháiniệm được hình thành xuất phát từ đời sống thực tiễn, từ nhu cầu tìm tòi và khámphá của con người Toán học đã xâm nhập vào cuộc sống đời thường, trong laođộng sản xuất và trong nghiên cứu của mọi ngành khoa học, đó là quá trình toánhọc hóa tình huống thực tiễn Theo Hans Freudenthal: “Toán học hóa dẫn thếgiới của cuộc sống về thế giới các kí hiệu…” Ông cũng cho rằng: “Tiên đề hóa,công thức hóa, sơ đồ hóa được xem là tiền đề của thuật ngữ toán học hóa”; trong

đó tiên đề hóa là thuật ngữ chính đầu tiên xuất hiện trong ngữ cảnh của toánhọc” Thuật ngữ “toán học hóa” được các nhà khoa học dùng trong các cuộcthảo luận trước khi đưa ra các văn bản chính thức Thuật ngữ này ra đời một

cách tự nhiên, đến nay vẫn chưa xác định được ai đã sử dụng nó lần đầu tiên và

từ thời điểm nào

Toán học hóa tình huống thực tiễn là chuyển một vấn đề thực tế thànhmột bài toán để sử dụng những kiến thức toán học đã biết nhằm nghiên cứu giảiquyết Đối với người có trình độ phổ thông, hoạt động toán học hóa tình huốngthực tiễn xảy ra khi họ đối mặt với các vấn đề có ảnh hưởng đến bản thân Họ nỗlực chuyển những tình huống này về bài toán phổ thông để giải quyết, phục vụcho hoạt động thực tiễn của mình Đây là việc vận dụng toán học vào các tìnhhuống phổ biến, thường xảy ra trong cuộc sống Đối mặt với các tình huống, họliên tưởng tới những tri thức toán học phù hợp để xây dựng thành bài toán và tìmcách giải quyết nhằm đáp ứng nhu cầu của mình Toán học hóa tình huống thựctiễn là hoạt động quan trọng cần thiết đối với mỗi chúng ta

Theo http://www.merriamwebsite.com/dictinary, thuật ngữ “toán học

hóa” được giải nghĩa là: đưa về dạng toán học (Mathematization: reduction to

Mathematical) Do đó, có thể hiểu quá trình toán học hóa tình huống thực tiễn làquá trình đưa vấn đề đó về dạng toán học (xây dựng mô hình toán cho tìnhhuống thực tiễn) Vì vậy, để thực hiện được hoạt động toán học hóa tình huốngthực tiễn, con người cần được trang bị phương pháp mô hình hóa

1.2.2.1 Phương pháp mô hình hóa

Phương pháp mô hình hóa là phương pháp nhận thức khoa học mà conngười dùng phương tiện là mô hình để nghiên cứu các tình huống thực tế

a) Quan điểm về mô hình

Về mô hình, có nhiều quan điểm khác nhau, có thể dẫn ra một vài ví dụ:

- Khách thể M là mô hình của khách thể A đối với hệ thống S các đặctrưng nào đó, nếu M được xây dựng hoặc được chọn để bắt chước A theo nhữngđặc trưng đó

- Mô hình là một “vật” hay “hệ thống vật” đóng vai trò đại diện hoặc vậtthay thế cho “vật” hay “hệ thống vật” mà ta quan tâm nghiên cứu.

- Mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiệnbằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu

Nói tóm lại, mô hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vậtgốc) mà ta quan tâm

b) Các đặc trưng của mô hình

Mô hình là vật đại diện, là vật trung gian cho sự nghiên cứu, nên mô hìnhphải bảo lưu được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản

do con người quan niệm) Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vậtgốc Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn

về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu).Tính chất này cho phép con người xây dựng những mô hình đơn giản hơn vậtgốc Xviregiev Iu cho rằng: “Mô hình có thể là thô thiển và chưa hoàn thiện,song nó phải xét đến mọi khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh màchúng ta quan tâm tới” Tuy nhiên không phải bao giờ mô hình cũng đơn giảnhơn vật gốc, ngày nay với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, con người sửdụng nhiều phương tiện hiện đại để mô tả đối tượng nghiên cứu, cho nên nó cóthể phức tạp hơn vật gốc

Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó rađời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể Trong quátrình trừu tượng hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản chất, chỉgiữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác đối tượng nghiên cứu đãđược lý tưởng hóa Bởi vậy, mô hình mang tính lý tưởng, tính chất này cho phépcon người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn Điều này

đã làm cho phương pháp mô hình hóa có tính chất cách mạng và phát triển Do

đó, quá trình xây dựng mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực

Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc Một mô hình chỉ phản ánhđến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc Để nghiên cứu các sựvật, hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng Tuynhiên việc lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng banđầu không phải là một việc đơn giản.

Thực tiễn cuộc sống luôn luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hìnhkhông phải là cái bất biến Phát triển từ mô hình ở mức độ thấp đến mô hình ởmức độ cao hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm

mô hình của các quy trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tươngthích với các mô hình cụ thể trước đó Một mô hình có thể là chưa thành công vềnhiều phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoán tìnhhuống thực tiễn

Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán học

để mô tả hiện thực khách quan; chính điều này đã làm cho nó ưu việt hơn các

mô hình của các khoa học khác Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “Mô hìnhtoán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộctính về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác diễn tả đúng nhữngquan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác”

c) Quá trình mô hình hóa

Quá trình mô hình hóa một sự kiện nào đó thường xảy ra ba giai đoạnchính:

- Giai đoạn 1 là giai đoạn tìm “vật” đại diện; thông thường cần sự liêntưởng đến những vấn đề tương tự Trong giai đoạn này vai trò của trí tưởngtượng và trực giác là hết sức quan trọng Nhờ trí tưởng tượng và trực giác, người

ta loại bỏ những mối quan hệ thứ yếu của đối tượng nghiên cứu thay nó bằngmột “hình mẫu” chỉ mang những tính chất, những mối quan hệ chủ yếu “Hìnhmẫu” chỉ có trong óc và căn cứ vào đó, người ta xây dựng mô hình thật (nếu như

người đó sử dụng mô hình vật chất) hoặc liên tưởng tới những mô hình đã cósẵn.

- Giai đoạn 2 là giai đoạn nghiên cứu trên mô hình Giai đoạn này, môhình trở thành đối tượng nghiên cứu; trên đó, người ta áp dụng các phương pháp

lý thuyết và thực nghiệm khác nhau

- Giai đoạn 3 là giai đoạn xử lý kết quả và điều chỉnh mô hình Trong giaiđoạn này, kết quả thu được trên mô hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu

để đối chiếu, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mô hình

1.2.2.2 Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn

Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn là hoạt động chuyển một vấn

đề thực tế về một vấn đề trong nội tại bản thân toán học để sử dụng các công cụcủa khoa học này nghiên cứu giải quyết Hoạt động này có thể chia thành haidạng: dạng thứ nhất là hoạt động của các nhà khoa học; dạng thứ hai là hoạtđộng của những người có học vấn phổ thông

Đối với các nhà khoa học, người ta quan tâm đến việc mô tả quy luật của

tự nhiên, của xã hội bằng công cụ toán học để mang lại những ứng dụng thiếtthực trong khoa học và đời sống Quá trình xây dựng mô hình toán học cho cácvấn đề thực tế này là một vấn đề vô cùng phức tạp; nó xuất phát từ thực tiễncuộc sống muôn hình muôn vẻ Mô hình toán học có thể có nhiều cấp độ, có thể

mô tả một lớp rộng rãi các đối tượng của hiện thực khách quan, cũng có thể phânchia thành nhiều lớp các mô hình riêng biệt và các lớp mô hình này cũng có thể

có nhiều mức độ khác nhau Cuối cùng là mô hình toán học của các quá trình cụthể Trong sự suy diễn ở trên là đi từ mô hình toán học tổng quát đến mô hìnhtoán học riêng biệt cụ thể Tuy nhiên, trên thực tế quá trình xây dựng mô hình đingược lại với sự suy diễn đó Quá trình xây dựng mô hình toán học không phải

là quá trình hình thức hóa mà nó chứa đựng những giả định (giai đoạn trực giác),các tính toán dựa trên những giả định và so sánh với thông tin nhận được Tuy là

phức tạp nhưng người ta cũng hình dung ra được các giai đoạn phải thực hiệntrong quá trình này Theo Viện sĩ Doronhixưn A A thì quá trình mô hình hóacủa các nhà khoa học có thể phân thành các giai đoạn sau: 1) nhận biết các dạngliên hệ (người); 2) xây dựng mô hình toán học (người); 3) giải bài toán trên môhình (máy); 4) so sánh kết quả đã giải với thông tin thu được, xác định nhữngđiều kiện không phù hợp (máy); 5) phân tích các nguyên nhân có thể gây nên sựkhông phù hợp (người); 6) xây dựng mô hình toán học mới Sau đó quá trình lặplại từ 2 đến 6, số lần lặp lại tùy thuộc vào tư duy sắc bén của con người Nếu kếtquả phù hợp thì có thể chấp nhận mô hình, ngược lại phải quay về bước 1.

Đối với người có bậc học phổ thông, hoạt động toán học hóa tình huốngthực tiễn xảy ra khi học đối mặt với các tình huống có ảnh hưởng trực tiếp đếncuộc sống cá nhân Họ phải nổ lực chuyển những tình huống này về dạng toánhọc phổ thông để giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân mình.Hoạt động này thiên về việc vận dụng toán học vào các tình huống đơn giản ,phổ biến thường xảy ra trong cuộc sống Tuy nhiên, việc vận dụng đó lại mangtính chất gián tiếp Cụ thể là trước tình huống thực tiễn đối mặt trong cuộc sống,

họ phải liên tưởng tới những tri thức toán học phù hợp để từ đó đặt ra được bàitoán và tìm cách giải quyết nhằm thỏa mãn nhu cầu của mình Không những thế,người học còn biết nhìn lại quá trình giải quyết một cách nghiêm túc để tìm rađược lược đồ tối ưu, bổ sung vào vốn kinh nghiệm, phục vụ cho các hoạt độngthực tiễn

Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn là một hoạt động quan trọngcần thiết đối với mọi người lao động Hoạt động này mang tính phổ biến chonhững người có học vấn phổ thông, giúp cho họ năng động thích ứng với thựctiễn đời sống Luận văn của chúng tôi quan tâm tới việc rèn luyện kỹ năng toánhọc hóa tình huống thực tiễn cho HS THPT nhằm góp phần đáp ứng các điềukiện cho hoạt động đó trong tương lai của người học

1.2.3 Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn của HS THPT

1.2.3.1 Khái niệm tình huống thực tiễn và bài toán có nội dung thực tiễn

Theo từ điển tiếng Việt thì tình huống là “sự diễn biến của tình hình, cómặt cần phải đối phó” Như vậy, theo nghĩa này tình huống bao hàm sự biếnthiên và phụ thuộc Theo tác giả Nguyễn Bá Kim quan niệm khái niệm này trên

cơ sở của lý thuyết hệ thống, ông cho rằng: Một tình huống là một hệ thống phứctạp bao gồm chủ thể và khách thể, trong đó chủ thể có thể là con người, cònkhách thể là một hệ thống nào đó Một tình huống mà khách thể tồn tại ít nhất cómột phần tử chưa biết, được gọi là bài toán tình huống đối với chủ thể Đứngtrước một tình huống, chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần tử chưa biết, dựa vào cácphần tử khác của khách thể thì có một bài toán đối với chủ thể

Dựa vào quan điểm trên của tác giả Nguyễn Bá Kim, chúng tôi quanniệm:

Tình huống thực tiễn là tình huống mà khách thể của nó chứa đựng cácyếu tố mang nội dung thực tiễn (tức là mang nội dung các hoạt động của conngười)

Bài toán có nội dung thực tiễn là bài toán mà khách thể của nó chứa đựngcác yếu tố mang nội dung thực tiễn

Cần phải xác định một cách rõ ràng: khái niệm “thực tiễn” khác với kháiniệm “thực tế” rất nhiều “Thực tiễn” là toàn bộ hoạt động của con người, trướchết là lao động sản xuất; trong khi đó “thực tế” là tổng thể nói chung những gìđang tồn tại, đang diễn biến trong tự nhiên và xã hội về mặt có liên quan đến đờisống con người Luận văn chỉ đề cập đến những tình huống thực tiễn đơn giản,phổ biến trong cuộc sống mà bằng kiến thức phổ thông, HS có thể nhận thứcđược

Quan niệm về tình huống thực tiễn và bài toán có nội dung thực tiễn như

đã trình bày ở trên sẽ được chúng tôi sử dụng trong luận văn này

A1 M

M1

N1

1.2.3.2 Mối quan hệ giữa mô hình toán học của tình huống thực tiễn và

mô hình toán học của bài toán có nội dung thực tiễn

Xây dựng mô hình toán học cho tình huống thực tiễn là mô tả các tìnhhuống đó bằng ngôn ngữ toán học Giả sử rằng: tình huống thực tiễn đang xét có

mô hình toán học là M và trước tình huống đó chủ thể có nhu cầu N1 (tìm hiểu

về khách thể) Nhu cầu này chuyển hóa thành mục đích và được diễn tả bởi mộtnội dung toán học là A1 Trong [2], mô hình của bài toán có nội dung thực tiễnvừa xuất hiện là M1, có quan hệ với mô hình của tình huống ban đầu được diễn

tả như sơ đồ 1.1

Sơ đồ 1.1

Cần phải lưu ý rằng đứng trước mỗi một tình huống thực tiễn, chủ thể cóthể có nhiều nhu cầu; do đó, ứng với mỗi tình huống có thể xây dựng được nhiềubài toán Sự tách bạch giữa các khái niệm tình huống thực tiễn và bài toán có nộidung thực tiễn cùng việc mô tả mối quan hệ giữa các mô hình của chúng phùhợp với quan điểm của PISA về vấn đề này

Về phương diện dạy học, việc tách bạch rạch ròi như trên có những thuậnlợi sau đây: 1) làm cho HS thấy được rằng bài toán có nội dung thực tiễn cónguồn gốc từ nhu cầu của con người, khi bản thân chứng kiến tình huống đó; 2)làm cho HS thấy rõ có thể xây dựng mô hình bài toán có nội dung thực tiễn trên

cơ sở mô hình toán học của tình huống thực tiễn; 3) HS thấy được mỗi tìnhhuống thực tiễn có thể có nhiều bài toán có nội dung thực tiễn Một điều cần phảithống nhất ở đây là không phải bao giờ cũng phân biệt các khái niệm trên một

cách rạch ròi, chỉ khi nào thấy thực sự là hết sức cần thiết Bởi vậy, trong luậnvăn khi đề cập đến các tình huống thực tiễn trong khi bàn luận đến các bài toán

có nội dung thực tiễn thì ngụ ý muốn nói tình huống thực tiễn hàm chứa trongbài toán đó

1.2.3.3 Một số vấn đề xoay quanh bài toán có nội dung thực tiễn

Thứ nhất phải khẳng định rằng bài toán có nội dung thực tiễn trong sáchgiáo khoa ở trường phổ thông đã được chính xác hóa và lý tưởng hóa, điều đóđược thể hiện qua những điểm sau: các tình huống ẩn chứa trong các bài toánnày chưa hẳn đã xảy ra cuộc sống thực, chẳng hạn những tình huống diễn tảchuyển động đều, chuyển động nhanh dần đều,… Mặt khác, giả thiết của bàitoán không thiếu, không thừa, lời giải bao giờ cũng cho kết quả để trả lời cho câuhỏi thực tiễn, thậm chí kết quả còn “rất đẹp” Nói như thế, không có nghĩa cácbài toán trong sách giáo khoa không có tác dụng gì trong dạy học; ngược lại nó

có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện cho HS khả năng vận dụng tri thức toánhọc vào đời sống thực tiễn Những bài toán có nội dung thực tiễn là cầu nối đầutiên nối liền toán học với cuộc sống

Những bài toán có nội dung thực tiễn gần gũi với cuộc sống hơn là các bàitoán mở, đó là những bài toán mà khi làm việc với chúng, HS phải tự mày mòtìm ra giả thiết hoặc kết luận Các bài toán có nội dung thực tiễn mở về phía giảthiết là các bài toán mà khi giải chúng, cần phải tham gia xây dựng giả thiết hayphải lựa chọn, điều chỉnh thêm về giả thiết Các bài toán có nội dung thực tiễn

mở về phía kết luận là các bài toán mà khi giải chúng cần phải mày mò biện luậncác trường hợp có thể xảy ra Trong dạy học, GV nên quan tâm đến các loại bàitoán này, bởi chúng phản ánh thực tiễn một cách sát thực hơn, ngoài ra chúngcòn là công cụ giúp GV hình thành nhiều loại thao tác tư duy và năng lực trí tuệquan trọng

Trong dạy học toán cần mô phỏng tình huống thực tiễn Tuy nhiên cầnchú ý: tình huống xây dựng là mô phỏng tình huống có thực (có thể lý tưởnghóa), tránh phi thực tiễn Khi bàn về tình huống thực trong các câu hỏi kiểm tra,PISA quan tâm đến các vấn đề như: HS có đánh giá bối cảnh (tình huống) đưa racâu hỏi là “thực” không? Câu hỏi có yêu cầu HS vận dụng những kiến thức và

kỹ năng vào tình huống đưa ra hay không? Một vấn đề cần được xem xét ở đâynữa là tình huống có vấn đề theo cả nghĩa “bên trong” lẫn cả “bên ngoài” Theonghĩa “bên ngoài”, được hiểu là tình huống gay cấn trong cuộc sống hoặc có tínhthời sự trong một thời điểm hiện tại; HS cảm thấy hữu ích khi dùng kiến thức, kỹnăng của mình để giải quyết tình huống đó Theo nghĩa “bên trong”, được hiểu

là mô hình toán học của tình huống đó là một tình huống có vấn đề trong nội tạibản thân toán học Sự xuất hiện tình huống có vấn đề kép này trong bài toán cónội dung thực tiễn mô phỏng sẽ có sức hấp dẫn gấp bội đối với HS, lôi kéo họtham gia giải quyết vấn đề

1.2.3.4 Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn của HS phổ thông trong dạy học toán

Giáo dục toán học phải được kết hợp với thực tiễn, đến gần trải nghiệmcủa trẻ em và liên quan đến xã hội để tri thức trở thành có giá trị đối với conngười Trong giảng dạy toán, điều quan trọng không phải nằm ở chỗ tri thứckhép kín mà nằm trong các hoạt động, trong quá trình toán học hóa Hai loạitoán học hóa trong ngữ cảnh giáo dục, đó là toán học hóa bề ngang và bề dọc.Quá trình toán học hóa bề ngang đòi hỏi HS phải tìm ra công cụ toán học để tổchức giải quyết vấn đề được đặt ra trong tình huống thực tế Trong khi đó toánhọc hóa bề dọc là quá trình tổ chức lại trong chính hệ thống toán học Do đó toánhọc hóa bề ngang liên quan đến việc đưa thế giới thực về thế giới của các kýhiệu, còn toán học hóa bề dọc liên quan đến các chuyển hóa bên trong của thếgiới ký hiệu Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn của HS trong dạy học

(b1)

(b3) (b4)

(b2)Tình huống

thực tế

Bài toánthực tế

Mô hình TH

Lời giải bài toán TH

toán thuộc về quá trình toán học hóa bề ngang, tuy nhiên quá trình này không thểtách rời quá trình toán học hóa bề dọc Hoạt động toán học hóa tình huống thựctiễn của con người có nhiều cấp độ, dưới góc độ dạy học hoạt động này có nhiềumức độ khác nhau, tùy thuộc vào vốn văn hóa của người học Chẳng hạn đối với

HS tiểu học, hoạt động này được thể hiện qua giải các bài toán bằng sơ đồ đoạnthẳng; đối với HS trung học cơ sở hoạt động chủ yếu là giải các bài toán có nộidung thực tiễn bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình,… ngoài ra cònyêu cầu kiểm tra lại kết quả trên hai phương diện: có chính xác về mặt khoa học(Toán học) không? Có phù hợp với thực tế không? Đối với HS THPT, các em cóthể dùng tham số, biểu đồ, hình vẽ để mô tả tình huống thực tiễn, suy diễn môhình,… Trong [21], tác giả Bùi Huy Ngọc cho rằng quá trình vận dụng toán họcvào thực tế được mô tả theo sơ đồ 1.2:

Sơ đồ 1.2

Sơ đồ trên diễn tả tương đối đầy đủ các bước vận dụng toán học vào thực

tế, đôi khi không nhất thiết phải đầy đủ như sơ đồ đã mô tả Trong thực tiễn dạyhọc, mặc dù vẫn được coi là rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễnnhưng thực chất chỉ rèn luyện bước (b2) Các tình huống thực tiễn để rèn luyệnbước (b1) còn ít được quan tâm xây dựng và khai thác

Về vấn đề mô hình toán cho tình huống thực tiễn trong dạy học, chúng tôicho rằng:

Thí nghiệm trên MH

Dự đoán, ước tính

Giải toántrên MH

- Cùng một tình huống thực tiễn cũng có thể nhiều mô hình toán học khácnhau mô tả nó, mức độ mô tả sát với tình huống cũng không giống nhau Một

mô hình “tốt” là mô hình đơn giản về mặt toán học và phản ánh đúng đối tượng

mà nó nghiên cứu Do đó, cần có các hoạt động đánh giá, làm cơ sở cho côngviệc điều chỉnh mô hình

- Khi làm việc với mô hình toán học không chỉ là giải bài toán; có thểdùng mô hình để dự đoán hay “thí nghiệm” theo các dụng ý khác nhau để đưatoán học xâm nhập sâu vào cuộc sống

Đối với HS THPT, các em đã trưởng thành, trí tuệ của các em đã pháttriển và đã được trang bị một vốn văn hóa tương đối toàn diện Hơn nữa so với

HS trung học cơ sở, các em có trải nghiệm trong cuộc sống, có thể thực hiệnđược các hoạt động như trên đã trình bày ở trên Trong [2], tác giả Phan Anh đưa

ra quá trình HS THPT vận dụng gián tiếp các tri thức toán học trong việc giảiquyết các vấn đề thực tiễn theo sơ đồ 1.3:

Sơ đồ 1.3

Quá trình được mô tả theo sơ đồ trên hàm chứa hoạt động toán học hóacủa HS THPT trong dạy học toán Ở đây, chúng tôi quan niệm rằng cốt lõi củaquá trình toán học hóa tình huống thực tiễn là xây dựng mô hình toán cho tìnhhuống đó Tuy nhiên, vấn đề này không cách biệt với quy trình được mô tả trong

sơ đồ trên Để có thể xây dựng được mô hình thực sự tốt, cần có sự điều chỉnh

và điều này chỉ có thể thực hiện được trên cơ sở HS khai thác nó nhận ra đượcnhững vấn đề còn tồn tại Chúng tôi đồng tình với quan điểm của PISA về quátrình toán học hóa đã được trình bày ở trên Cần lưu ý những vấn đề sau đây:

- Tình huống thực tiễn trong sơ đồ ở trên đã được lựa chọn, không phảibất kỳ tình huống nào trong thực tiễn cũng có thể đưa vào trong dạy học

- Quá trình toán học hóa là một quá trình cơ bản để HS dùng giải quyếtcác vấn đề của thực tiễn; hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn trong dạyhọc toán không tách khỏi quy trình trong sơ đồ trên Do đó, rèn luyện kỹ năngtoán học hóa tình huống thực tiễn cho người học nhất thiết phải đề cập đến quátrình vận dụng tri thức toán học vào thực tiễn cuộc sống

1.2.3.5 Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn của HS THPT

Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn là tổng hợp của ba yếu tố: kỹnăng thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn, kỹ năng chuyển đổithông tin giữa thực tiễn và toán học; kỹ năng thiết lập mô hình toán học của tìnhhuống thực tiễn Ta có thể hiểu rằng kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễncủa HS THPT là khả năng HS vận dụng những hiểu biết của mình để chuyểnmột tình huống thực tiễn về dạng toán học

Qua tham khảo nghiên cứu của các tác giả như Phan Anh (luận án tiến sĩ

“Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinhtrung học phổ thông qua dạy học Đại số và Giải tích”), Nguyễn Danh Nam (đềtài cấp bộ “Nghiên cứu vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học

môn toán ở trường phổ thông”),… chúng tôi cho rằng các thành tố của kỹ năngtoán học hóa tình huống thực tiễn của HS THPT bao gồm:

1/ Kỹ năng liên tưởng, kết nối các ý tưởng toán học khi gặp tình huốngthực tiễn

Khả năng HS thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn, pháthiện ra các kiến thức toán học cần và có thể sử dụng để giải quyết vấn đề từ tìnhhuống thực tiễn (có cả kiến thức liên môn) Khả năng này đòi hỏi HS phải huyđộng, kết hợp một cách sáng tạo các kiến thức đã học với trải nghiệm thực tế củabản thân

2/ Kỹ năng phân tích các yếu tố trong giả thiết của tình huống thực tiễn.Khả năng xác định các yếu tố trung tâm của tình huống giúp HS địnhhướng được cách giải quyết vấn đề một cách nhanh nhất Đồng thời loại bỏnhững yếu tố không bản chất làm cho tình huống trở nên đơn giản hơn và hướngđúng trọng tâm hơn

Khả năng xác định mối quan hệ giữa các yếu tố trong tình huống thựctiễn, các dữ kiện bị ràng buộc lẫn nhau, ẩn ý dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên, HSphải suy luận để tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng và mức độ phụ thuộcnhằm xây dựng mô hình toán học cho tình huống thực tiễn Mối quan hệ giữacác yếu tố có hai dạng: một là mối quan hệ theo giả thiết của tình huống, hai làmối quan hệ có tính quy luật (như là mối quan hệ giữa các kết quả thuận lợi chobiến cố A và các kết quả có thể xảy ra của phép thử Ω ) Ngoài ra HS còn cần

có khả năng đánh giá mức độ phụ thuộc giữa các yếu tố trong tình huống để giúpngười học thiết lập các hàm số, biểu thức, phương trình, hệ phương trình,… diễnđạt chính xác mối quan hệ giữa các yếu tố đó

3/ Kỹ năng sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu toán học để thay thế ngôn ngữ tựnhiên của tình huống thực tiễn

Trong quá trình đó đòi hỏi HS có kỹ năng trong việc lựa chọn ẩn số; biểudiễn các đại lượng bằng ký hiệu, khái niệm, mệnh đề toán học; biểu đạt các mốiquan hệ bằng đồ thị, biểu đồ, hình vẽ, tóm tắt bằng sơ đồ,… Ngoài ra người họccòn có khả năng diễn đạt một vấn đề, một đại lượng bằng nhiều ký hiệu khácnhau.

4/ Kỹ năng xây dựng mô hình toán học

Sau khi xác định, đánh giá mối quan hệ, mức độ phụ thuộc giữa các yếutrong tình huống thực tiễn, HS tiến hành lập mô hình toán học cho tình huống.Khả năng xây dựng mô hình toán học biểu hiện qua việc HS sử dụng các biến,các ký hiệu, các biểu thức,… để chuyển đổi các thông tin trong tình huống thựctiễn thành các dữ kiện toán học, và sắp xếp lại các dữ kiện đó đảm bảo diễn đạtmột cách chính xác ý nghĩa của tình huống, nhằm phát biểu tình huống thực tiễndưới dạng toán học thuần túy

5/ Kỹ năng điều chỉnh mô hình toán học

Sau khi xây dựng được mô hình toán học cho tình huống thực tiễn, HScần kiểm tra tính đúng đắn, phù hợp của các ký hiệu, ẩn số, biểu thức, phép toángiữa các biểu thức với các dữ kiện đã cho trong tình huống thực tiễn và có thểđiều chỉnh một số phép toán, cách ký hiệu ẩn số,… trong mô hình nếu cần thiết

Ở mức độ cao hơn, HS có khả năng khái quát hóa các yêu cầu của tình huốngthực tiễn hoặc điều chỉnh giả thiết, kết luận để có được mô hình toán học phongphú, có tính khái quát Để làm được điều này, HS phải có khả năng ước lượng,

dự đoán các kết quả của mô hình toán học phù hợp với tình huống thực tiễn,tránh đưa ra kết quả xa rời thực tiễn

Trong luận văn này, các biện pháp sư phạm đề xuất tập trung vào rènluyện kỹ năng 1, kỹ năng 3 và kỹ năng 4

1.3 Một số vấn đề về việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS trong dạy học Tổ hợp – Xác suất ở trường THPT

1.3.1 Nội dung Tổ hợp – Xác suất ở trường THPT (Đại số và Giải tích 11 chương trình chuẩn)

• Quy tắc cộng:

Giả sử đối tượng X có m

cách chọn khác nhau, đốitượng Y có n cách chọnkhác nhau và không cócách chọn đối tượng X

nào trùng với mỗi cáchchọn đối tượng Y Khi

đó có m n+ cách chọnmột trong hai đối tượngấy

Kí hiệu số phần tử của tậphợp A là n A Giả sử( )

Hành động thứ nhất có mkết quả Ứng với mỗi kếtquả của hành động thứnhất, hành động thứ hai có

n kết quả Khi đó có m n.kết quả của hai hành độngliên tiếp đó

2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổhợp (không lặp):

- Dạng 1: Giải các bàitoán có vận dụng quy tắccộng và quy tắc nhân;Tính số các hoán vị,

chỉnh hợp, tổ hợp chập k

của n phần tử

- Dạng 2: Khai triển nhịthức Niu-tơn với một số

mũ cụ thể; Tìm hệ số của

k

x trong khai triển nhịthức Nui-tơn thành đathức

Ví dụ: Một đội thi đấu

bóng bàn gồm 8 vậnđộng viên nam và 7 vậnđộng nữ Hỏi có baonhiêu cách cử ngẫu nhiênvận động viên thi đấu:a) Đơn nam, đơn nữ?b) Đôi nam – nữ?

Ví dụ: Cho các chữ số 1;

2; 3; 4; 5 Hỏi có baonhiêu số tự nhiên có 5chữ số đôi một khác nhauđược thành lập từ các chữ

số đã cho?

Ví dụ: Hỏi có bao nhiêu

cách chia ngẫu nhiên mộtlớp có 40 học sinh thànhcác nhóm học tập mà mỗinhóm có 8 học sinh?

n k

=

− (ởđây quy ước 0! 1 = ).

2x+1 thành đa thức.b) Tìm hệ số của x5trong khai triển nhị thức( )10

2x+1 thành đa thức.

Ví dụ

a) Chứng minh

( )n

a b+ , theo công thức( )

k + là C a b n k n k k−

,0,1, ,

b trong mỗi hạng tử luôn

bằng n.d) Hai hạng tử tương ứngđứng cách hạng tử đầu vàhạng tử cuối một khoảngcách bằng nhau thì cócùng hệ số

ngẫu nhiên; không gian

mẫu; biến cố liên quan

kí hiệu là Ω Ta chỉ xétcác phép thử với khônggian mẫu Ω là tập hữuhạn

Mỗi tập con A của Ωđược gọi là một biến cố

Tập ∅ được gọi là biến

cố không thể, tập Ω đượcgọi là biến cố chắc chắn

Nếu khi phép thử được

- Dạng 1 Xác định: phépthử ngẫu nhiên; khônggian mẫu; biến cố liênquan đến phép thử ngẫunhiên

Ví dụ: Gieo ngẫu nhiên

một con súc sắc (đồngchất)

a) Hãy mô tả không gianmẫu;

b) Xác định biến cố “xuấthiện mặt có số lẻ chấm”

Ví dụ: Gieo ngẫu nhiên

hai con súc sắc Tính xácsuất của biến cố: “Tổng

số chấm trên mặt xuất

thử ngẫu nhiên; không

gian mẫu; biến cố liên

A xảy ra khi và chỉ khi A

không xảy ra

Biến cố A B∪ xảy ra khi

và chỉ khi A hoặc B xảy

P A

n

=

Ω được gọi làxác suất của biến cố A.

Xác suất có tính chất sau:

a) 0≤ P A( ) ≤ ∀1, A ;

b) P( )Ω =1 ;c) Nếu A và B là hai biến

cố xung khắc cùng liênquan tới một phép thử thì

P A∪B =P A +P B

hiện của hai con súc sắcbằng 8”

A và B là hai biến cố độclập khi và chỉ khi( ) ( ) ( ).

P A B =P A P B

1.3.2 Vai trò của việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS trong dạy học môn Toán

1.3.2.1 Vai trò của toán học đối với khoa học kỹ thuật

Như ta đã biết, nhu cầu thực tiễn là nền tảng của sự phát triển toán học.Ngược lại toán học cũng tác động mạnh mẽ đối với đời sống thực tiễn và cácngành khoa học kỹ thuật khác Ngày nay ai cũng thấy rằng toán học ngàycàng trừu tượng, nhưng phạm vi ứng dụng của nó ngày càng rộng lớn Ở đâykhông có gì mâu thuẫn cả, vì rằng các quan hệ số lượng và hình dạng khônggian của sự vật mà toán học nghiên cứu là các quan hệ rất phổ biến trong thếgiới vật chất, cùng với đặc điểm trừu tượng và khái quát cao của nó mà phạm

vi ứng dụng của toán học rất rộng lớn Về nguyên tắc không những nó có thể

áp dụng vào các ngành khác nhau của khoa học tự nhiên mà còn có thể ápdụng vào ngành khoa học xã hội nữa Ngày nay cũng như trước đây, một bộphận của toán học được áp dụng vào kỹ thuật thông qua vật lý và cơ học.Phương pháp toán học đã giúp cho cơ học vật lý và thiên văn đi sâu vào bảnchất các quy luật tự nhiên, có thể đoán trước được các kết quả còn ẩn sau giớihạn của sự hiểu biết Nhờ quy luật toán học mà Leverier và Adam (thế kỉ 19),Loren (thế kỉ 20) đã xác định được lý thuyết sự tồn tại của hai hành tinh mới

Hải Vương Tinh và Diêm Vương Tinh, sau này đã được quan sát thiên vănxác nhận Bằng phương pháp vật lý toán, Macxoen đã xác định sự tồn tại của

áp lực ánh sáng, sau đó Lebedep đã xác nhận kết quả đó bằng thực nghiệm

Những thành tựu to lớn của thời đại chúng ta như năng lượng nguyên

tử, động cơ phản lực, vô tuyến điện,… đều gắn liền với sự phát triển củanhiều ngành toán học khác nhau như hình học phi Euclide, đại số, hàm phức,hàm thực, phương trình vi phân, xác suất thống kê,… Chẳng hạn như lýthuyết về các dạng không gian của không gian hình học được áp dụng trongđiện động học và điện kỹ thuật Những định lý tổng quát của hàm phức là cơ

sở của lý thuyết thủy động học và khí động học, mà đây là hai ngành lý thuyết

cơ sở của kỹ thuật hàng hải và hàng không

Trong giai đoạn hiện nay, cách nạng khoa học kỹ thuật trên thế giớiđang diễn ra rất sôi nổi với tốc độ phát triển rất nhanh và quy mô rất lớn.Toán học ngày nay có ứng dụng sâu sắc và rộng rãi

Cùng với ứng dụng thông qua cơ học và vật lý, những ứng dụng thôngqua điều khiển học tăng lên không ngừng và ngày càng quan trọng Có thể nóibất kỳ tiến bộ nào của tự động hóa cũng không thể tách rời những thành tựucủa toán học Chẳng hạn như việc thiết kế và sử dụng các máy tự động, các hệthống điều khiển và liên lạc đòi hỏi phải dựa trên những thành tựu của lôgictoán, thông tin học, đại số, lý thuyết độ tin cậy,… Dãy số nổi tiếng củaFibonacci đã được ứng dụng phổ biến trong việc kinh doanh tài chính Đaphần các nhà đầu tư sử dụng kết hợp bốn phương pháp Fibonacci để đưa ramức dự đoán thị trường chứng khoán chính xác hơn

Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng đa dạng trong các vấn đề tổchức và quản lý sản xuất Thông thường trước mọi vấn đề quản lý sản xuấtngười ta có thể đưa ra nhiều phương án, làm thế nào để có thể chọn đượcphương án tốt nhất Ngày nay có cả một khoa học về vấn đề đó là vận trù học,

nó sử dụng rộng rãi các thành tựu của các ngành toán học mới như: lý thuyếtchương trình tuyến tính, lý thuyết đồ thị, lý thuyết trò chơi,… Tuy mới ra đờitrong khoảng hơn 50 năm nay nhưng vận trù học đã tỏ ra nhiều tác dụng tolớn đối với sản xuất, giao thông vận tải và quốc phòng.

Việc sử dụng máy tính điện tử và phương pháp toán học đã xâm nhậpvào nhiều ngành khoa học mà trước đây người ta không hề nghĩ tới Như hóahọc và sinh học là hai ngành trước đây ít sử dụng đến toán học thì nay nhiều

bộ phận của chúng đã sử dụng nhiều ngành hiện đại của toán học, như thôngtin, tô pô, máy tính điện tử Người ta cũng phát hiện ra rằng lý thuyết đồ thịđược áp dụng trong hóa học để tìm ra chất mới Bằng phương pháp toán họccon người nghiên cứu những vấn đề khó khăn nhất về di truyền, về cơ cấuhoạt động của hệ thần kinh,…

Trong y học bằng phương pháp thống kê và máy tính điện tử người ta

có thể cải tiến phương pháp chẩn đoán bệnh chính xác hơn Người ta dùnglôgic toán để nghiên cứu quy luật cấu trúc của ngôn ngữ mà từ đó một ngànhtoán học mới – ngôn ngữ toán ra đời Ở các nước tiên tiến, phương pháp củatoán học thống kê, lôgic toán, lý thuyết thông tin,… được dùng ngày càngrộng rãi trong công tác thư viện để nâng cao hiệu quả phục vụ và tính khoahọc của ngành Việc điều tra xã hội học để nghiên cứu tâm lý, thị hiếu củacon người trong các ngành văn hóa xã hội muốn đạt được kết quả sâu sắcchắc chắn cũng phải dùng các phương pháp của toán học

Những ví dụ trên đây cho ta thấy một xu hướng rõ ràng là toán họcngày càng xâm nhập vào các khoa học khác Toán học xuất hiện và phát triểnkhông phải do nhu cầu nào khác, mà nhằm giải quyết những vấn đề thực tiễn đặt

ra và đòi hỏi các công cụ từ toán học Thực tiễn là khâu cuối cùng và là tiêu chíkhách quan nhất để kiểm chứng mọi tri thức khoa học, trong đó có toán học

1.3.2.2 Vai trò của Tổ hợp – Xác suất trong đời sống thực tiễn

Vào năm 1651, nhà toán học Pháp Pascal (1623 – 1662) nhận được bứcthư của nhà quý tộc Pháp máu mê cờ bạc, công tước De Mére, nhờ ông giảiđáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc Pascal đã “toánhọc hóa” các vấn đề này và viết thư trao đổi với một nhà toán học lớn khác làFermat (1601 – 1665) Những cuộc trao đổi đó đã khai sinh ra lý thuyết xácsuất Nhà toán học Pháp Laplace (1749 – 1827) ở thế kỉ XIX đã tiên đoánrằng: “Môn khoa học này hứa hẹn trở thành một trong những đối tượng quantrọng nhất của tri thức nhân loại Rất nhiều những vấn đề quan trọng nhất củađời sống thực tế thuộc về những bài toán của lý thuyết xác suất”

Ngày nay lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học quantrọng cả về phương diện lý thuyết và ứng dụng Nó là công cụ không thể thiếuđược mỗi khi ta nói đến dự báo, bảo hiểm; mỗi khi cần đánh giá các cơ may,các nguy cơ, rủi ro Hiện nay ở hầu hết các nước trên thế giới, xác suất đãđược đưa vào giảng dạy ở bậc THPT và là môn cơ sở bắt buộc của nhiềungành ở bậc đại học Một trong những sự thay đổi lớn về chương trình Toán ởTHPT trong việc thay sách giáo khoa là đưa vào giảng dạy một số kiến thức

cơ bản về xác suất

Ảnh hưởng chính của xác suất trong cuộc sống hằng ngày đó là việcxác định rủi ro và trong buôn bán hàng hóa Chính phủ cũng áp dụng cácphương pháp xác suất để điều tiết môi trường hay còn gọi là phân tích đườnglối Lý thuyết trò chơi cũng dựa trên nền tảng xác suất Một ứng dụng khác làtrong xác định độ tin cậy Nhiều sản phẩm tiêu dùng như xe hơi, đồ điện tử sửdụng lý thuyết độ tin cậy trong thiết kế sản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏnghóc Xác suất hư hỏng cũng gắn liền với sự bảo hành của sản phẩm

Trong khoa học cũng như trong đời sống hàng ngày, chúng ta thườnggặp các hiện tượng biến cố ngẫu nhiên Đó là các biến cố mà ta không thể dự

đoán một cách chắc chắn rằng chúng xảy ra hay không xảy ra Chẳng hạn, thịtrường chứng khoán là một minh họa rất rõ cho sự ngự trị của ngẫu nhiên.Các nhà kinh tế cùng với các nhà toán học đã cố gắng sử dụng các công cụtoán học, đặc biệt là xác suất để toán học hóa thị trường chứng khoán Việcnày giúp các nhà đầu tư tối đa hóa các cơ hội đạt thuận lợi và tối thiểu hóa cácnguy cơ rủi ro.

Trong môn di truyền học, có rất nhiều câu hỏi được đạt ra: Xác suấtsinh con trai hay con gái là bao nhiêu? Khả năng để sinh được những ngườicon theo ý muốn về giới tính hay không mắc các bệnh di truyền dễ hay khóthực hiện? Mỗi người có thể mang bao nhiêu nhiễm sắc thể hay tỉ lệ máu củaông (bà) nội của mình? Để tìm câu trả lời ta cần vận dụng kiến thức xác suất

1.3.2.3 Vai trò việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS THPT

Rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS sẽ đáp ứngyêu cầu mục tiêu bộ môn Toán và có tác dụng tích cực trong việc dạy học toán.Đây cũng là một mục tiêu, nhiệm vụ quan trọng của việc dạy học toán ở trườngTHPT HS nắm vững hệ thống kiến thức và phương pháp toán học cơ bản, phổthông theo quan điểm hiện đại sẽ vận dụng được vào kỹ thuật, lao động, quản líkinh tế, vào việc học các môn khác HS thấy được vẻ đẹp, cái hay của toán họcbằng ngôn ngữ chính xác, trong sáng, bằng lời giải gọn gàng, hình thức trình bàysáng sủa, bằng những ứng dụng rộng rãi toán học trong thực tiễn

Rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn góp phần tích cựchóa trong việc lĩnh hội kiến thức Trong dạy học toán, để HS tiếp thu tốt, rất cầnđến sự liên hệ gần gũi bằng những tình huống, những vấn đề thực tế Chẳng hạn,trong gợi động cơ mở đầu và động cơ kết thúc có thể sử dụng hình thức gợi động

cơ xuất phát từ thực tiễn Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn được chotrong bài toán hoặc nảy sinh từ đời sống thực tiễn nhằm tạo điều kiện cho HS

biết vận dụng những kiến thức toán học trong nhà trường vào cuộc sống, gópphần gây hứng thú học tập, giúp HS nắm được thực chất vấn đề và tránh hiểucác sự kiện toán học một cách hình thức.

Rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn giúp HS có kỹ năngvận dụng kiến thức toán học và làm quen dần tình huống thực tiễn, góp phần tíchcực trong việc thực hiện mục tiêu đào tạo HS phổ thông, đáp ứng mọi yêu cầucủa xã hội Để tạo điều kiện vận dụng tri thức vào thực tế, còn phải có những kỹnăng thực hành cần thiết cho đời sống, đó là kỹ năng tính toán, vẽ hình, đo đạc,

… Việc vận dụng toán học vào thực tiễn cũng như tập dượt nghiên cứu khoahọc trong đó các hoạt động như: thu thập tài liệu trong thực tế, mò mẫm, dùngquy nạp không hoàn toàn để dự kiến quy luật, ước lượng một số dấu hiệu từ mẫuthống kê,… Bằng những hoạt động đó, HS làm quen với các bước vận dụngtoán học vào thực tiễn: đặt bài toán, xây dựng mô hình toán, xử lý mô hình đểtìm lời giải bài toán, đối chiếu với lời giải thực tế, kiểm tra và điều chỉnh

1.3.3 Định hướng rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS trong dạy học Tổ hợp – Xác suất ở trường THPT

1/ Rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS thông qua các tình huống dạy học được GV xây dựng có liên quan đến yếu tố thực tiễn.

Bằng những tình huống điển hình có trong cuộc sống, GV gợi nhu cầu

ở người học, tạo điều kiện cho HS kết nối các yếu tố thực tiễn với các ý tưởngtoán học HS hoạt động tự giác để giải quyết vấn đề trong tình huống để làmthỏa mãn nhu cầu bản thân đồng thời đạt mục đích học tập GV cho các emthấy được những ứng dụng của Tổ hợp – Xác suất trong cuộc sống

2/ Rèn luyện thông qua việc yêu cầu HS thường xuyên minh họa kiến thức Tổ hợp – Xác suất bằng các bài toán thực tiễn liên quan.