: Tính giả buchsbaum của iđêan hóa với môđun có chiều không cực đại

Ba lớp môđun quen thuộc trong Đại số giao hoán là môđun Macaulay, môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulay suy rộng thỏa mãncác tính chất sau: nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì JMx = 0 vớ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An - 2015

2 Tính giả Buchsbaum của vành iđêan hóa với môđun có chiều

2.1 Iđêan hóa 232.2 Tính giả Buchsbaum của vành iđêan hóa 25

Tài liệu tham khảo 33

MỞ ĐẦU

Cho (R,m) là vành giao hoán, địa phương Noether với iđêan cực đại duynhất m, M là một R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Vớimỗi hệ tham số x = (x1, , xd) của M, xét môđun con

là một số nguyên không âm

Ba lớp môđun quen thuộc trong Đại số giao hoán là môđun Macaulay, môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulay suy rộng thỏa mãncác tính chất sau: nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì JM(x) = 0 với mọi

Cohen-hệ tham số x của M ; nếu M là môđun Buchsbaum thì JM(x) là một hằng

số với mọi hệ tham số x của M ; nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộngthì sup

x

J (x; M ) < ∞, với sup lấy trên tập tất cả các hệ tham số của M Tuynhiên điều ngược lại của tất cả những điều này nói chung là không đúng Lớpmôđun thỏa mãn tính chất JM(x) = 0 (tương ứngsup

x

J (x; M ) < ∞) với mọi

hệ tham số x của M đã được Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn nghiêncứu trong [7] và họ gọi là môđun giả Cohen-Macaulay (tương ứng giả Cohen -Macaulay suy rộng) Lớp môđun thỏa mãn tính chấtJM(x) là một hằng số vớimọi hệ tham số x của M được nghiên cứu bởi Nguyễn Tự Cường và NguyễnThị Hồng Loan [5] và họ lớp môđun này là môđun giả Buchsbaum Vành R

được gọi là vành giả Buchsbaum (tương ứng giả Cohen-Macaulay hoặc giảCohen-Macaulay suy rộng) nếu R là một môđun giả Buchsbaum (tương ứnggiả Cohen-Macaulay hoặc giả Cohen-Macaulay suy rộng) trên chính nó.Chú ý rằng việc nghiên cứu lớp vành giả Buchsbaum là có ý nghĩa, vìtrước hết lớp vành này thỏa mãn Giả thuyết Đơn thức của M Hochster -một giả thuyết nổi tiếng được đặt ra năm 1973 mà đến nay vẫn chưa có câutrả lời Mặt khác, lớp vành giả Buchsbaum có liên quan chặt chẽ với các lớpvành quen thuộc trong Đại số giao hoán như vành Cohen-Macaulay, vànhBuchsbaum và vành Cohen-Macaulay suy rộng.

Khái niệm iđêan hóa được M Nagata đưa ra năm 1962 trong [10] Theomột nghĩa nào đó, có thể hiểu iđêan hóa R-môđun M nghĩa là đặt M vào

R để M được chuyển thành một iđêan của vành iđêan hóa RnM Mục đíchcủa M Nagata trong [10] sử dụng kỹ thuật iđêan hóa để chuyển một số kếtquả từ iđêan sang môđun, bằng cách xem mỗi môđun là một iđêan của vànhiđêan hóa Kỹ thuật này được ông sử dụng rất nhiều lần trong [10] Về sau,khái niệm iđêan hóa đã được một số nhà toán học quan tâm, nghiên cứunhư I Reiten (Pro AMS, 1972), Y Aoyama (J Math Kyoto Univ., 1983), J

A Huckaba (1988), K Yamagishi (Math Proc Cambridge Phil Soc, 1988),

S Goto, S Iai, M Kim (Proc AMS, 2001), S Goto, S Haraikawa (Tokyo

J Math., 2002), D Anderson, M Winders (J Comm Algebra, 2009), B.Olberding (J Algebra, 2012), N T H Loan, N Q Chinh (Bull KoreanMath Soc., 2013), N T H Loan (J Algebra and Its Applications, 2014), N

T H Loan (Stu Sci Math Hungarica, 2014), Các kết quả đạt được chothấy iđêan hóa có nhiều ứng dụng, đặc biệt là trong các bài toán xác địnhcấu trúc vành Ngoài ra trong rất nhiều công trình, iđêan hóa được sử dụng

để làm ví dụ minh họa cho các vấn đề trong vành mà nếu điều này thực hiệntrên các vành thông thường thì rất khó Đặc biệt, N T Cường -L T Nhàn

- M Morales [6] đã sử dụng iđêan hóa như là một công cụ hữu hiệu để trả

lời cho một câu hỏi mở của R Y Sharp và M A Hamieh.

Trong [8], N T H Loan đã đưa ra một điều kiện cần và đủ để vành iđêanhóa RnM là giả Buchsbaum trong trường hợp dim M < dim R Nội dungchính của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết các kết quả trong bàibáo này

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luậnvăn được chia thành hai chương Chương 1: Vành và môđun giả Buchsbaum.Trong chương này, chúng tôi chủ yếu trình bày về định nghĩa và một số tínhchất cơ bản của vành và môđun giả Buchsbaum Ngoài ra, chúng tôi còntrình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán để làm cơ sở choviệc trình bày nội dung chính của luận văn ở Chương 2 Chương 2: Tính giảBuchsbaum của vành iđêan hóa với môđun có chiều không cực đại Trongchương này chúng tôi trình bày các chi tiết các kết quả trong bài báo [8].Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình, chu đáo của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin đượcbày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan đãtận tình hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trongsuốt quá trình học tập và làm đề tài

Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộmôn Đại Số, các thầy cô giáo Khoa Toán đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao họcĐại Số và lý thuyết số K21 Tác giả cũng xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa,các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đạihọc Vinh

Tác giả xin gửi lởi cảm ơn sâu sắc tới gia đình, Ban giám hiêu và tổ Toáncùng toàn thể giáo viên trường THPT Quỳnh Lưu 1 và lớp cao học Toánkhóa 21 đã luôn động viên, và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học

Nghệ An, tháng 06 năm 2015

Tác giả

CHƯƠNG 1

VÀNH VÀ MÔĐUN GIẢ BUCHSBAUM

Trong toàn bộ luận văn, vành R luôn được giả thiết là vành giao hoán, địaphương Noether với iđêan cực đại duy nhất m, M là một R-môđun hữu hạnsinh Trong chương này, chúng tôi chủ yếu trình bày về định nghĩa và một sốtính chất cơ bản của vành và môđun giả Buchsbaum Phần đầu của chương,chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán để làm cơ sởcho việc trình bày nội dung luận văn

1.1 Kiến thức chuẩn bị

1.1.1 Độ dài của môđun

Môđun M 6= 0 được gọi là môđun đơn nếu M chỉ có hai môđun con là 0

và chính nó Môđun M được gọi là một môđun có dãy hợp thành nếu có mộtdãy giảm ngặt gồm một số hữu hạn các môđun con

M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = 0

sao cho Mi−1/Mi là môđun đơn, với mọi i = 1, , n Khi đó số n được gọi là

độ dài của dãy hợp thành Chú ý rằng nếu M có dãy hợp thành thì M có thể

có nhiều dãy hợp thành nhưng tất cả các dãy hợp thành của M đều có cùng

độ dài và độ dài chung đó được gọi là độ dài của môđun M, kí hiệu `R(M )

hoặc `(M ) nếu vành R đã rõ Nếu M không có dãy hợp thành thì ta qui ước

độ dài `(M ) = ∞ và gọi nó là môđun có độ dài vô hạn

Sau đây là một số tính chất về độ dài

(1) Môđun M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M vừa là môđun Noethervừa là môđun Artin.

(2) Tính cộng tính của độ dài: Cho dãy khớp ngắn các R− môđun

1.1.2 Độ cao và chiều Krull

Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R:

p0 ⊃ p1 ⊃p2 ⊃ ⊃ pnđược gọi là một xích nguyên tố có độ dài n

Kí hiệu SpecR là tập các iđêan nguyên tố của R Cho p ∈ SpecR, cậntrên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p0 = p được gọi là độcao của p, kí hiệu là ht(p) Cho I là một iđêan của R Khi đó độ cao của I

được xác định bởi

ht(I) = inf{ht(p)|p ∈ SpecR,p ⊇ I}

Cận trên tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi làchiều Krull của vành R, kí hiệu là dim R

Cho M là một R - môđun Tập hợp

AnnRM = {a ∈ R|aM = 0} = {a ∈ R|ax = 0, ∀x ∈ M }

là một iđêan của vành R, AnnR(M ) được gọi là linh hóa tử của môđun M.Chiều của vành thương dim(R/AnnRM ) được gọi là chiều Krull củamôđun M, kí hiệu là dimRM hoặc dim M nếu vành R đã rõ

1.1.3 Hệ tham số

Cho (R,m) là vành giao hoán, địa phương Noether với iđêan cực đại duynhất m,M là một R-môđun hữu hạn sinh Từ nay về sau ta luôn kí hiệu chiềuKrulldim M = d Khi đó dlà số nguyên nhỏ nhất sao cho tồn tại một hệ gồm

d phần tử x = (x1, , xd) của m sao cho `(M/(x1 , xd)M ) < +∞ Hệcác phần tử x1, , xd ∈ m như thế được gọi là một hệ tham số của môđun

M Cũng như vậy, một hệ gồm r = dim R phần tử x1, , xr ∈ m sao cho

`(R/(x1, , xr)R) < +∞ được gọi là một hệ tham số của vành R

Iđêan sinh bởi một hệ tham số được gọi là iđêan tham số

Nếu x = (x1, , xd) là một hệ tham số của M thì hệ các phần tử

(x1, , xi) được gọi là một phần hệ tham số với mọi i = 1, , d

Sau đây là một số tính chất của hệ tham số

(1) dim(M/x1, , xi)M ) = d − i với mọi i = 1, , d

(4) Nếu x1, , xd là một hệ tham số của M và x1, , xd tương ứng làảnh của x1, , xd trong S = R/AnnM Khi đó, do dim M = dim S = d vàiđêan (x1, , xd) là mS-nguyên sơ nên x1, , xd là hệ tham số của S

1.1.4 Số bội

Một hệ các phần tử x = (x1, , xt) của m sao cho `(M/(x1, , xt)M ) <+∞ đươc gọi là một hệ bội của M; ở đây nếu t = 0 thì ta hiểu điều kiệnnày có nghĩa là `(M ) < ∞ Chú ý rằng mỗi hệ tham số cũng là một hệ bộinhưng điều ngược lại nói chung không đúng (ta luôn có t ≥ d = dim M) Khi

đó kí hiệu bội e(x1, , xt | M ) của môđun M đối với hệ bội x = (x1, , xt)

(viết gọn là e(x | M )) được định nghĩa qui nạp theo t như sau:

Giả sử t = 0 tức là `(M ) < ∞ Khi đó đặt e(∅ | M ) = `(M ).

Với t > 0, đặt 0 : x1 = {m ∈ M | mx1 = 0} Khi đó 0 : x1 là một môđuncon của M Vì `(M/(x1, , xt)M ) < ∞ ta dễ dàng suy ra

`((0 : x1)/(x2, , xt)(0 : x1)) < ∞,

tức (x2, , xt) là hệ bội của môđun con 0 : x1 Vậy theo giả thiết quy nạpthì e(x2, , xt | M/x1M ) và e(x2, , xt | 0 : x1) đã được xác định Khi đó

ký hiệu bội e(x1, , xt | M ) được định nghĩa như sau:

e(x1, , xt | M ) = e(x2, , xt | M/x1M ) − e(x2, , xt | 0 : x1)

Sau đây là một số tính chất cơ bản của ký hiệu bội e(x | M )

(1) 0 ≤ e(x1, , xt | M ) ≤ `(M/(x1, , xt)M Đặc biệt, nếu tồn tại i

sao cho xniM = 0 với n là một số tự nhiên nào đó thì e(x1, , xt | M ) = 0

(2) e(x1, , xt | M ) = 0 khi và chỉ khi t > d = dim M

Khi đó x là hệ bội của M khi và chỉ khi x là hệ bội củaM0 và M ” Hơn nữa,

e(x | M ) = e(x | M0) + e(x | M ”)

Giả sử q = (x1, , xt)R là iđêan sinh bởi hệ bội x = (x1, , xt) của M

pq(n) Hơn nữa, tồn tại những số nguyêne0(q; M ) > 0, e1(q; M ), , ed(q; M )

sao cho

pq(n) = e0(q; M )Cn+dd + e1(q; M )Cn+d−1d−1 + + ed(q; M )

Hệ số cao nhất e0(q; M ) của đa thức pq(n) được gọi là số bội của iđêan q đốivới môđun M Khi q = m và M = R thì số bội e0(q; R) được ký hiệu đơngiản là e0(R) và được gọi là số bội của vành R

Chú ý rằng, nếu x = (x1, , xt) là một hệ tham số của M, tức t = d thìkhi đó số bội của iđêan q = xR đối với môđun M chính bằng ký hiệu bội

1.1.5 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic

Cho (R,m) là một vành địa phương Ta xétR như một vành tôpô với cơ sởlân cận của phần tử 0 là các iđêan mt, với t = 0, 1, 2, Chú ý rằng cơ sở lâncận của một phần tử tùy ý r ∈ R gồm các lớp ghép r +mt với t = 0, 1, 2, Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R được kí hiệu bởi bR được địnhnghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãyCauchy trong R là một dãy (rn) các phần tử của R sao cho với mọi t > 0,tồn tại số tự nhiên n0 để rn − rm ∈ mt với mọi n, m > n0

Dãy (rn) được gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0 tồn tại số tựnhiên n0 để rn− 0 = rn ∈ mt với mọi n > n0

Hai dãy Cauchy (rn) và (sn) được gọi là hai dãy tương đương, kí hiệu là

(rn) ∼ (sn) nếu dãy (rn − sn) là dãy không Khi đó quan hệ ∼ trên tập cácdãy Cauchy là quan hệ tương đương Ta kí hiệu bR là tập các lớp tương đươngcủa các dãy Cauchy

Chú ý rằng nếu (rn) và (sn) là các dãy Cauchy thì các dãy (rn+ sn), (rnsn)cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy (rn + sn), (rnsn) làkhông phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương đương của cácdãy (rn) và (sn), tức là nếu(rn) ∼ (rn0) và(sn) ∼ (s0n) thì(rn+sn) ∼ (rn0 +s0n)

và (rnsn) ∼ (r0ns0n) Vì thế bR được trang bị hai phép toán hai ngôi + và

đồng thời cùng với hai phép toàn này, bR lập thành một vành Mỗi phần tử

r ∈ R có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà tất cả cácphần tử trong dãy đều là r Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành

R −→ Rb

r 7−→ (r),trong đó (r) là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r Đồng cấu tự nhiênnày là một đồng cấu hoàn toàn phẳng

1.1.6 Môđun đối đồng điều địa phương

Đối đồng điều địa phương lần đầu tiên được định nghĩa bởi A Grothendick.Cho I là một iđêan của R Với mỗi R - môđun M, tập hợp

Khi đó ΓI là một hàm tử cộng tính, hiệp biến, khớp trái từ phạm trù các R

- môđun vào phạm trù các R - môđun ΓI được gọi là hàm tử xoắn

Với mỗi số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI là một hàm tử

từ phạm trùR-mod vào phạm trù R-mod, được kí hiệu là HIi(−) và được gọi

là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i với giá I

Với mỗiR - môđunM,HIi(M )được gọi là môđun đối đồng điều địa phươngthứ i của môđun M với giá là I

Chú ý rằng Hmi (M ) là môđun Artin với mọi i ≥ 0 và HIdim(M )(M ) làmôđun Artin với mọi iđêan I của R

1.1.7 Môđun Cohen Macaulay, môđun Buchsbaum và môđun hen Macaulay-suy rộng

Co-Theo 1.1.4 (1), với mỗi hệ tham số x của M thì `(M/xM ) ≥ e(x; M )

(1) M được gọi là môđun Cohen Macaulay nếu I(x; M ) = 0 với mọi hệtham số x của M

(2) M được gọi là môđun Buchsbaum nếu I(x; M ) là hằng số với mọi hệtham số x của M Rõ ràng trong trường hợp này ta có I(x; M ) = I(M ) <+∞ với mọi hệ tham số x

(3) M được gọi là môđun Cohen Macaulay suy rộng nếu I(M ) < +∞

Trong cả hai trường hợp (2) và (3), số I(M ) được xác định như sau

Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng được đặctrưng thông qua môđun đối đồng điều địa phương như sau.

(4) M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi Hmi (M ) = 0 với mọi

i 6= d

(5) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi `(Hmi(M )) = 0

với mọi i 6= d

1.1.8 Giới hạn thuận

Giả sử I là một tập sắp thứ tự Ta nói I là một tập định hướng nếu

∀i, j ∈ I đều tồn tại k ∈ I sao cho i 6 k và j 6 k

Cho I là một tập định hướng Giả sử {Mi}i∈I là một họ các R-môđun

và với mỗi cặp i 6 j có một đồng cấu R-môđun θij : Mi → Mj Khi đó họ

{Mi}i∈I cùng với họ {θij}i6j được gọi là một hệ thuận nếu các điều kiện sauđược thỏa mãn:

(i) θii là ánh xạ đồng nhất trên Mi với mọi i ∈ I;

(ii) θik = θjkθij, tức là biểu đồ sau giao hoán với mọi i 6 j 6 k

Để thuận tiện người ta thường kí hiệu hệ thuận này là {Mi, θij}

Giới hạn thuận của hệ thuận các R-môđun {Mi, θij} là một R-môđun M

cùng với một họ các R-đồng cấu {fi}i∈I, trong đó fi : Mi → M sao cho cácđiều kiện sau được thỏa mãn:

(iii) fiθij = fi, tức là biểu đồ sau giao hoán với mọi i 6 j

(iv) Nếu M0 là một R-môđun cùng với một họ các R-đồng cấu {gi}i∈I,

trong đó gi : Mi → M0 thỏa mãn giθij = gi, tức là biểu đồ sau giao hoán vớimọi i 6 j

thì tồn tại một R-đồng cấu λ : M → M0 sao cho λfi = gi với mọi i ∈ I

Giớí hạn thuận của hệ thuận các R-môđun {Mi, θij} luôn tồn tại và duynhất sai khác một đẳng cấu được ký hiệu là lim

→ Mi

Trong trường hợp tập định hướng I là tập số tự nhiên N thì họ {Mn}n≥0

cùng họ đồng cấu {θn : Mn−1 → Mn}n≥1 là hệ thuận và viết gọn là {Mn, θn}

Ví dụ, cho {Mn}n≥0 là một họ lồng nhau các môđun con của một môđun

M cùng với họ các đơn cấu nhúng {θn : Mn−1 → Mn}n≥1 Khi đó {Mn, θn}

là một hệ thuận và lim

→ Mi = ∪

n≥0Mn

Cho M là một R− môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d > 0;

x = (x1, , xd) là một hệ tham số của M Với mỗi số nguyên dương n, đặt

Với mỗi hệ tham số x, dễ thấy rằngxM ⊆ QM(x) Do đó,`(M/QM(x)) ≤

`(M/xM ) < +∞ Hơn nữa, ta còn có một bất đẳng thức liên hệ giữa số bội

và độ dài như sau:

e(x; M ) ≥ `(M/QM(x))

Vì thế hiệu

JM(x) := e(x; M ) − `(M/QM(x))

là một số nguyên không âm

Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì JM(x) = 0 với mọi hệ tham số x

của M Nếu M là môđun Buchsbaum thì tồn tại một hằng số K sao cho

JM(x) = K với mọi hệ tham số x củaM Nếu M là môđun Cohen-Macaulaysuy rộng thì sup

x

J (x; M ) < ∞, với sup lấy trên tập tất cả các hệ tham số

x của M Tuy nhiên điều ngược lại của tất cả những điều này nói chung làkhông đúng Lớp môđun thỏa mãn tính chất JM(x) = 0 với mọi hệ tham số

x của M (tương ứng sup

x

J (x; M ) < ∞) đã được Nguyễn Tự Cường và LêThanh Nhàn nghiên cứu lần đầu tiên vào năm 2003 trong [7] và gọi tên cáclớp môđun này tương ứng là giả Cohen-Macaulay và giả Cohen-Macaulay suyrộng) Lớp môđun thỏa mãn tính chất JM(x) = K với mọi hệ tham số x của

M trong đó K là một hằng số được nghiên cứu bởi Nguyễn Tự Cường vàNguyễn Thị Hồng Loan [5] và họ gọi lớp môđun này là môđun giả Buchsbaum

Cụ thể ta có định nghĩa sau đây

1.2.1 Định nghĩa (i)M được gọi là môđun giả Cohen-Macaulay nếuJM(x) =

0 với mọi hệ tham số x của M

(ii) M được gọi là môđun giả Buchsbaum nếu tồn tại một hằng số K saocho JM(x) = K với mọi hệ tham số x của M

(iii) M được gọi là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng nếu sup

x

JM(x) <

∞ với mọi hệ tham số x của M

Vành R được gọi là vành giả Buchsbaum (tương ứng giả Cohen-Macaulayhoặc giả Cohen-Macaulay suy rộng) nếu R là một môđun giả Buchsbaum(tương ứng giả Cohen-Macaulay hoặc giả Cohen-Macaulay suy rộng) trênchính nó.

Với mỗi R-môđun M, kí hiệu cM là bao đầy đủ m− adic của M ; UM(0)

là môđun con lớn nhất của M có chiều bé hơn dim M ; M = M /UM(0);

Mệnh đề sau đây nói lên sự liên quan giữa tính giả Buchsbaum của mộtmôđunM và tính giả Buchsbaum của một môđun có độ sâu dương Đặc biệt,phát biểu thứ hai trong mệnh đề thường được dùng trong các phép chứngminh qui nạp

1.2.3 Mệnh đề Các phát biểu sau là đúng

(i) M là môđun giả Buchsbaum khi và chỉ khi M/Hm0(M ) là môđun giảBuchsbaum

(ii) Cho M là môđun giả Buchsbaum Giả sử x là phần tử tham số của M

sao cho dim(0 :M x) < d − 1 Khi đó M/xM là môđun giả Buchsbaum.1.2.4 Mệnh đề Tổng trực tiếp của các môđun giả Buchsbaum cùng chiều

là một môđun giả Buchsbaum

1.2.5 Mệnh đề Nếu M là môđun giả Buchsbaum thì JM(x) = J (M )f vớimọi hệ tham số x của M