Vận dụng các cấp độ dạy học giải quyết vấn đề vào dạy học giải bài tập chủ đề phương trình hệ phương trình ở trường trung học phổ thông

GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu trong quá trình dạy học giải bài tập phương trình và hệ phương trình, giáo viên chú trọng cách đặt câu hỏi vấn đáp gợi mở, thuyết trình giải quyết vấn đề đối với

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ TỐ NGA

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN THUẬN

NGHỆ AN – 2015

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 2

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3

4 KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 3

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3

6 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 4

7 DỰ KIẾN NHỮNG ĐÓP GÓP CỦA LUẬN VĂN 4

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 5

1.1 Những khái niệm cơ bản 5

1.1.1 Vấn đề 5

1.1.2 Tình huống có vấn đề và tình huống gợi vấn đề 5

1.1.2.1 Tình huống có vấn đề 5

1.1.2.2 Tình huống gợi vấn đề 5

1.2 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 7

1.2.1 Bản chất của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 7

1.2.2 Quy trình thực hiện 7

1.2.3 Ưu điểm 8

1.2.4 Hạn chế 9

1.3 Các hình thức và cấp độ của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 9

1.3.1 Tự nghiên cứu vấn đề 9

1.3.2 Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề 11

1.3.3.Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề 11

1.4 Một số cách tạo ra tình huống có vấn đề 12

1.5 Dạy học giải bài tập toán học 18

1.5.1 Vai trò, ý nghĩa của bài tập trong quá trình dạy học 19

1.5.2 Vị trí và chức năng của bài tập toán 19

1.5.3 Các yêu cầu đối với lời giải 21

1.5.4 Dạy học phương pháp chung để giải bài toán 21

1.6 Kết luận chương 1 25

Chương 2: VẬN DỤNG CÁC CẤP ĐỘ DẠY HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀO DẠY HỌC BÀI TẬP CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG THPT 27

2.1 Phân tích nội dung chủ đề Phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán ở trường THPT 27

2.1.1 Vai trò, vị trí của chủ đề phương trình và hệ phương trình 27

2.1.2 Nội dung của chủ đề phương trình và hệ phương trình 28

2.1.3 Cách dạy học bài tập phương trình, hệ phương trình ở trường THPT hiện nay 34

2.2 Một số nguyên tắc khi dạy học bài tập phương trình và hệ phương trình 35

2.2.1.Nguyên tắc 1: Dựa vào trình độ học sinh 35

2.2.1.1 Dạy bài tập cho học sinh khá, giỏi 35

2.2.1.2 Dạy bài tập cho học sinh trung bình 50

2.2.1.3 Dạy bài tập cho học sinh yếu, kém 57

2.2.2 Nguyên tắc 2: Dựa vào mức độ khó của các bài tập 65

2.2.3 Nguyên tắc 3: Đảm bảo thời gian cho học sinh suy nghĩ 68

2.2.4 Nguyên tắc 4: Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải 71

2.2.5 Nguyên tắc 5: Hạn chế đưa ra các phương pháp giải rồi mới đưa ra các bài tập tương ứng 81

2.2.6 Nguyên tắc 6: Trình bày lời giải cẩn thận, rõ ràng, chặt chẽ, ngắn gọn 83

2.3 Quy trình dạy học tiết giải bài tập phương trình và hệ phương trình 87

2.4 Cách thức vận dụng các cấp độ giải quyết vấn đề trong dạy học bài tập

phương trình và hệ phương trình 88

2.4.1 Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề 88

2.4.2 Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề 92

2.4.3 Độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề 93

2.5 Một số ví dụ minh họa trong dạy học một số dạng bài tập 93

2.5.1 Giải phương trình bậc bốn đặc biệt thuộc dạng: 93

2.5.2 Giải phương trình đặc biệt thuộc dạng: 102

2.5.3 Giải hệ phương trình hoán vị 108

2.6 Kết luận chương 2 116

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 117

3.1 Mục đích thực nghiệm 117

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 117

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 117

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 117

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 120

3.3.1 Đánh giá định tính 120

3.3.2 Đánh giá định lượng 121

3.4 Kết luận chương 3 123

KẾT LUẬN 124

TÀI LIỆU THAM KHẢO 125

PHỤ LỤC 129

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Các phương pháp dạy học truyền thống như thuyết trình, vấn đáp, trực quan, ôn tập (với nghĩa là củng cố), luyện tập,… đã được phát hiện từ lâu và hiện nay vẫn được sử dụng trong những hoàn cảnh nhất định Đổi mới phương pháp dạy học không có nghĩa là loại bỏ hoàn toàn các phương pháp cũ mà phải cải tiến các phương pháp dạy học truyền thống để nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng yêu cầu của nền giáo dục

1.2 Luật giáo dục 1998, chương I, điều 4 nêu rõ: “phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” Công cuộc đổi mới của nền giáo dục yêu cầu thay đổi không chỉ về nội dung mà cả về phương pháp dạy học “Phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo, được thực hiện trong độc lập hoặc trong giao lưu” (Nguyễn Bá Kim,

Phương pháp dạy học môn Toán (2003), NXBĐHSP)

1.3 Mặc dù sự phát triển của xã hội và đổi mới đất nước đang đòi hỏi phải nâng cao chất lượng giáo dục nhưng việc dạy học theo lối truyền thụ một chiều vẫn đang ngự trị Phương pháp dạy học này làm cho học trò bị động, nó đi ngược lại với định hướng cho sự đổi mới của phương pháp dạy học: “hoạt động

khiển hoạt động dạy học để trong một số trường hợp nào đó trò có cảm tưởng

như chính bản thân mình nghiên cứu thực sự

1.5 Dạy học giải bài tập Toán là một trong những tình huống điển hình trong dạy học môn Toán Không có một thuật giải tổng quát nào để giải mọi bài toán

vì vậy phương pháp dạy bài tập là rất phong phú và đa dạng Giáo viên có thể vận dụng các cấp độ giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập bao gồm: cấp

độ 1 - tự nghiên cứu vấn đề; cấp độ 2 - vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề; cấp độ 3 - thuyết trình giải quyết vấn đề Tuy nhiên trong thực tế trình độ học sinh chênh lệch nhau và số lượng các em học sinh khá, giỏi chiếm chưa đầy 1/3

vì vậy khả năng để cho các em tự nghiên cứu giải quyết vấn đề không nhiều Chủ yếu giáo viên dùng cấp độ 2 và cấp độ 3, cấp độ 2 khả năng sử dụng nhiều

còn cấp độ 3 cũng có ưu thế khi dùng cho những bài toán khó

1.6 Chủ đề phương trình và hệ phương trình của cấp THPT được trình bày

cụ thể trong chương trình Đại số 10 gần cuối học kì I, tuy nhiên nó xuyên suốt chương trình Toán THPT khi ta cũng gặp lại phương trình và hệ phương trình ở phần lượng giác, mũ - lôgarit Trong các kì thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THPT, thi CĐ - ĐH cũng gặp không ít các bài toán loại này Tất nhiên chẳng có phương pháp chung cho mọi bài toán, không thể dạy hết các bài toán cũng như chúng ta không thể giải hết các bài toán về phương trình và hệ phương trình nhưng liệu

có thể tìm ra được phương pháp hiệu quả để có thể giúp các em khi giải quyết

các bài toán phương trình và hệ phương trình?

Xuất phát từ những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Vận dụng các cấp độ dạy học giải quyết vấn đề vào dạy học giải bài tập chủ đề phương trình và hệ phương trình ở trườngTHPT”

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

3.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề đặt câu hỏi, phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp vấn đáp gợi mở, thuyết trình giải quyết vấn đề và đặc điểm của bài tập phương trình và hệ phương trình

3.2 Điều tra, đánh giá thực trạng dạy học bài tập phương trình và hệ phương trình

3.3 Nghiên cứu và đề xuất cách dạy một số dạng bài tập phương trình và

Quá trình dạy học môn toán ở trường THPT

4.2 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu hệ thống câu hỏi vấn đáp gợi mở, suy luận phát hiện và giải quyết vấn đề trong quá trình dạy học giải bài tập phương trình và hệ phương trình

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lý luận:

- Nghiên cứu các tài liệu về triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán

- Nghiên cứu các sách báo, các bài viết về khoa học toán, các công trình khoa học giáo dục có liên quan trực tiếp đến đề tài

5.2 Điều tra quan sát:

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập ở sách giáo khoa

5.3 Thực nghiệm sư phạm:

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của luận văn

6 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu trong quá trình dạy học giải bài tập phương trình và hệ phương trình, giáo viên chú trọng cách đặt câu hỏi vấn đáp gợi mở, thuyết trình giải quyết vấn

đề đối với các bài toán phức tạp thì sẽ rèn luyện cho học sinh khả năng suy nghĩ

để có thể tự tìm tòi và phát hiện lời giải các bài toán

7 NHỮNG ĐÓP GÓP CỦA LUẬN VĂN

Góp phần làm rõ phương pháp sử dụng các cấp độ giải quyết vấn đề trong việc giải bài tập toán

Đưa ra cách đặt câu hỏi vấn đáp gợi mở phát hiện và giải quyết vấn đề hay thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề khi giải một số dạng bài tập phương trình và hệ phương trình

Luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Những khái niệm cơ bản

Những khái niệm này được trình bày theo [14]

1.1.1 Vấn đề

Hệ thống được hiểu là một tập hợp những phần tử cùng với những quan

hệ giữa những phần tử của tập hợp đó

Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách

thể, trong đó chủ thể là con người, còn khách thể là một hệ thống nào đó

Nếu trong một tình huống, chủ thể còn chưa biết ít nhất một phần tử của

khách thể thì tình huống này được gọi là tình huống bài toán đối với chủ

thể

Trong một tình huống bài toán, nếu chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần tử chưa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trước ở trong khách

thể thì ta có một bài toán

Một bài toán được gọi là một vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giải

nào có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán

1.1.2 Tình huống có vấn đề và tình huống gợi vấn đề

b) Gợi nhu cầu nhận thức

Nếu tình huống có vấn đề nhưng vì một lí do nào đó mà học sinh không

có hứng thú tìm hiểu, suy nghĩ để tìm cách giải quyết (chẳng hạn vì họ cảm thấy không có ích cho mình hay vì quá mệt mỏi,…) thì đó cũng không phải

là tình huống gợi vấn đề Điều quan trọng là tình huống phải gợi nhu cầu

nhận thức, chẳng hạn làm bộc lộ sự khiếm khuyết về kiến thức hay kĩ năng của học sinh để họ thấy cần thiết phải bổ sung, điều chỉnh, hoàn thiện tri thức, kĩ năng bằng cách tham gia giải quyết vấn đề nảy sinh

c) Gây niềm tin ở khả năng bản thân

Nếu tình huống có vấn đề rất hấp dẫn, lôi cuốn học sinh có nhu cầu giải quyết, nhưng nếu họ cảm thấy vấn đề vượt quá so với khả năng của mình thì

họ cũng không còn hứng thú, không sẵn sàng giải quyết vấn đề Tình huống gợi vấn đề phải bộc lộ mối quan hệ (có thể khá mờ nhạt) giữa vấn đề cần giải quyết và kiến thức sẵn có của chủ thể, tạo ra ở họ niềm tin rằng nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ thấy rõ hơn mối quan hệ này và có nhiều khả năng tìm ra cách giải quyết

Tóm lại, tình huống gợi vấn đề là tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay tức thì nhờ một quy tắc có tính thuật giải mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để đồng hóa nó hay điều chỉnh hệ thống kiến thức sẵn có nhằm thích nghi với điều kiện hành động mới

Các điều kiện b và c ở trên cho phép phân biệt tình huống gợi vấn đề với tình huống có vấn đề Một tình huống có vấn đề chỉ cần thỏa mãn điều kiện a

Việc tạo ra một tình huống gợi vấn đề không phải là dễ dàng Quả thật, làm thế nào để vấn đề đặt ra đảm bảo đủ hai điều kiện: gợi nhu cầu nhận thức

và gây niềm tin ở khả năng? Đó là một câu hỏi lớn cần thiết được nghiên cứu

và trả lời Chính vì vậy, trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, giáo viên chỉ mới dừng lại ở mức độ tạo ra được tình huống có vấn đề chứ chưa phải là tình huống gợi vấn đề Tuy nhiên, ngay cả khi chỉ tạo được tình huống có vấn

đề thì việc áp dụng đúng như các bước của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng mang lại hiệu quả cao hơn nhiều so với phương pháp dạy học truyền thống

1.2 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.2.1 Bản chất của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là PPDH trong đó giáo viên tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn

đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục đích học tập khác Đặc trưng cơ bản của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là “tình huống gợi vấn đề” vì theo như Rubinstein nói “ Tư duy chỉ bắt đầu khi xuất hiện tình huống có vấn đề”

1.2.2 Quy trình thực hiện

Nội dung của phần này được trình bày theo [14]

Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề

Giải thích và chính xác hóa tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn đề được đặt ra

Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó

Phân tích vấn đề: làm rõ mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm (dựa

vào những tri thức đã học, liên tưởng tới kiến thức thích hợp)

Hướng dẫn học sinh tìm chiến lược giải quyết vấn đề thông qua đề xuất

và thực hiện hướng giải quyết vấn đề Cần thu thập, tổ chức dữ liệu, huy động tri thức; sử dụng những phương pháp, kĩ thuật nhận thức, tìm đoán suy luận như hướng đích, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, chuyển hóa những trường hợp suy biến, tương tự hóa, khái quát hóa, xem xét những mối liên

hệ phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược tiến, suy ngược lùi,… Phương hướng

đề xuất có thể được điều chỉnh khi cần thiết Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề là hình thành được một giải pháp

Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp: Nếu giải pháp đúng thì kết thúc

ngay, nếu không đúng thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm được giải pháp đúng Sau khi đã tìm ra một giải pháp, có thể tiếp tục tìm thêm những giải pháp khác, so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày giải pháp

Học sinh trình bày lại toàn bộ từ việc phát biểu vấn đề tới giải pháp Nếu vấn đề là một bài cho sẵn thì có thể không cần thiết phát biểu lại vấn đề

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

Tìm hiểu những khả năng ứng dụng của kết quả

Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa, lật ngược vấn đề,…và giải quyết vấn đề nếu có thể

1.2.3 Ưu điểm

Phương pháp này góp phần tích cực vào việc rèn luyện tư duy phê phán,

tư duy sáng tạo cho học sinh Trên cơ sở sử dụng vốn kiến thức và kinh nghiệm đã có học sinh sẽ xem xét, đánh giá, thấy được vấn đề cần giải quyết

Đây là phương pháp phát triển được khả năng tìm tòi, xem xét dưới nhiều góc độ khác nhau Trong khi phát hiện và giải quyết vấn đề, học sinh sẽ huy động được tri thức và khả năng cá nhân, khả năng hợp tác, trao đổi, thảo luận với bạn bè để tìm ra cách giải quyết vấn đề tốt nhất

Thông qua việc giải quyết vấn đề, học sinh được lĩnh hội tri thức, kĩ năng

và phương pháp nhận thức (giải quyết vấn đề không còn chỉ thuộc phạm trù phương pháp mà đã trở thành một mục đích dạy học, được cụ thể hóa thành một mục tiêu là phát triển năng lực giải quyết vấn đề, một năng lực

có vị trí hàng đầu để con người thích ứng được với sự phát triển của xã hội)

1.2.4 Hạn chế

Phương pháp này đòi hỏi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian và công sức, phải có năng lực sư phạm tốt mới suy nghĩ để tạo ra được nhiều tình huống gợi vấn đề và hướng dẫn tìm tòi để phát hiện và giải quyết vấn đề Việc tổ chức tiết học hoặc một phần của tiết học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề đòi hỏi phải có nhiều thời gian hơn so với phương pháp thông thường Hơn nữa, theo Lecne : “Chỉ có một số tri thức

và phương pháp hoạt động nhất định, được lựa chọn khéo léo và có cơ sở mới trở thành đối tượng của dạy học nêu vấn đề”

1.3 Các hình thức và cấp độ của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Tùy theo vai trò của giáo viên và học sinh trong các bước dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng như đặc trưng của tri thức đạt được theo [14] đã phân biệt ba hình thức dạy học chủ yếu sau đây:

1.3.1 Tự nghiên cứu vấn đề

Đây là cấp độ cao nhất của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Nó được đặc trưng bởi các mặt sau đây:

Giáo viên (hoặc cùng học sinh) tạo ra tình huống gợi vấn đề, trình bày vấn đề

Sau khi vấn đề đã được giải quyết, giáo viên có trách nhiệm thực hiện pha thể chế hóa: đánh giá vai trò và ý nghĩa của kết quả đạt được, chuyển kiến thức có tính chất cá nhân thành tri thức chung, nhấn mạnh các tri thức phương pháp có thể rút ra từ quá trình nghiên cứu giải quyết vấn đề

Học sinh: độc lập tìm cách giải quyết vấn đề, trình bày lời giải, thực hiện pha

kiểm tra và đánh giá Như vậy họ phải hoạt động một cách tích cực, chủ động, tự giác, độc lập và sáng tạo Tùy theo tình hình mà công việc của học sinh có thể được tổ chức dưới các hình thức khác nhau như:

Làm việc cá nhân: mỗi học sinh làm việc một cách độc lập

Làm việc hợp tác: học sinh làm việc theo nhóm nhỏ, thảo luận, trao đổi trong tất cả các pha của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Đan xem giữa hai hình thức làm việc trên

Tri thức: Không được cho dưới dạng có sẵn mà xuất hiện trong quá trình hình

thành và giải quyết vấn đề, được khám phá bởi chính học sinh

Ví dụ:

 Giáo viên tạo ra tình huống có vấn đề:

- Vẽ lên bảng một tam giác ABC vuông tại A, các cạnh tương ứng là:

AB = c, AC = b, BC = a

- Hỏi: ta đã biết công thức nào cho phép tính độ dài cạnh a theo hai cạnh kia? Đáp án mong đợi là định lý Pitago: a2

=b2+c2

- Tạo tình huống có vấn đề: Như vậy, nếu biết A là góc vuông và độ dài hai cạnh

kề nó thì ta có thể tính được độ dài cạnh còn lại Nếu bây giờ vẫn cho biết độ lớn góc A và độ dài hai cạnh kề nó, nhưng A là một góc bất kì, liệu có tính được độ dài cạnh thứ ba hay không?

 Giáo viên trình bày vấn đề:

Cho tam giác ABC bất kì, có thể tìm được hay không công thức tính độ dài cạnh

BC nếu biết độ dài hai cạnh còn lại AC=b, AB=c và độ lớn góc A xen giữa hai cạnh này?

 Học sinh tự giải quyết vấn đề và thực hiện việc đánh giá

 Giáo viên thực hiện pha thể chế hóa bằng cách trình bày định lý côsin trong tam giác như là kết quả của việc giải quyết vấn đề trên

1.3.2 Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề

Hình thức này có các đặc trưng sau:

Giáo viên xây dựng một hệ thống câu hỏi để gợi ý, dẫn dắt học sinh thực hiện

tất cả các pha của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, ngoại trừ pha thể chế hóa Ở mức độ thấp hơn thì chính giáo viên thực hiện việc tạo tình huống có vấn

đề và trình bày vấn đề

Học sinh nhờ vào hệ thống câu hỏi gợi ý dẫn dắt của giáo viên mà tự giác và

tích cực nghiên cứu phát hiện, trình bày và giải quyết vấn đề

Tri thức không được cho dưới dạng có sẵn và trực tiếp mà xuất hiện trong quá

trình hình thành và giải quyết vấn đề, được khám phá nhờ quá trình tương tác giữa thầy và trò, trong đó trò đóng vai trò chính

1.3.3.Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề

Đây là cấp độ thấp nhất của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Giáo viên thực hiện tất cả các khâu của hình thức dạy học này: Tạo tình huống

gợi vấn đề, trình bày vấn đề, trình bày quá trình suy nghĩ tìm kiếm, dự đoán cách thức giải quyết vấn đề (chứ không đơn thuần trình bày lời giải),…Giáo viên trình bày cả quá trình tìm kiếm của mình, có lúc thành công, có khi thất bại, có lúc phải điều chỉnh phương hướng nhiều lần mới đi đến kết quả

Nói cách khác, giáo viên phải đóng vai một học sinh đang tìm cách phát hiện và giải quyết vấn đề: tự đặt cho mình các câu hỏi, các nghi vấn, tự mày mò tìm kiếm các phương án giải quyết, tự trả lời,…Điều quan trọng là trong quá trình này giáo viên cần để lại những “khoảng lặng” để cho học sinh (người học)

đủ thời gian cùng tham gia vào quá trình suy nghĩ, tìm kiếm câu trả lời như chính học sinh giả tưởng chứ không cho câu trả lời ngay sau khi vừa đặt ra một câu hỏi, một nghi vấn nào đó

Học sinh theo dõi quá trình nghiên cứu phát hiện và giải quyết vấn đề được

trình bày bởi giáo viên Trong quá trình này, họ cũng trải qua những thời điểm, những cảm xúc và thái độ khác nhau như một học sinh đang thực sự tham gia quá trình nghiên cứu nhưng không trực tiếp giải quyết vấn đề

Tri thức, mặc dù không được khám phá bởi chính học sinh nhưng cũng không

được truyền thụ dưới dạng có sẵn và trực tiếp mà nảy sinh trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề của giáo viên

1.4 Một số cách tạo ra tình huống có vấn đề

Để thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cho giờ học hay cho một đơn vị kiến thức nào đó của giờ học, điểm xuất phát là tạo ra tình huống gợi vấn đề Sau đây là một số cách tạo ra các tình huống “có vấn đề” chứ chưa phải

là tình huống “gợi vấn đề” Để chúng trở thành các tình huống “gợi vấn đề” cần phải đảm bảo rằng tình huống gợi ra ở học sinh nhu cầu nhận thức và niềm tin ở khả năng

a) Dự đoán nhờ nhận xét trực quan, thực nghiệm, thực hành hoặc hoạt động thực tiễn

Ví dụ 2:

Cho trước hai vectơ và , ta có thể vẽ được vectơ tổng của chúng Ngược lại cho trước một vectơ , ta có thể vẽ được hai vectơ và sao cho = + không?

- Có hai khả năng: và cùng phương hoặc không cùng phương

- Giáo viên tổ chức sao cho học sinh gặp cả hai tình huống

- Giới thiệu trường hợp hai, được gọi là phân tích một vector thành hai vector không cùng phương

Ví dụ 3:

Ta đã biết nếu có số thực k để thì và cùng phương Ngược lại, nếu

và cùng phương thì liệu có tồn tại số k để

cùng vuông góc với một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng

Ví dụ 2: Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, thì ta

phải:

- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương

- Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm

Thế còn khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức thì sao?

Ví dụ 3: Tìm một hệ thức Pitago trong một hình không gian tương tự như trong tam giác vuông

d Khái quát hóa

Biện pháp thường dùng để mở rộng một kết quả đã biết hoặc khái quát từ một số

sự kiện riêng lẻ đi đến một khái niệm toán học trừu tượng

Ví dụ 1: Khi dạy học định lí côsin

Phương án 1: Đặt vấn đề từ định lí Pitago: Tam giác ABC vuông ở A thì

(và ngược lại), vậy khi góc A không vuông thì bằng bao nhiêu?

Phương án 2: Nếu tam giác ABC đã biết cạnh b, c và có góc A vuông thì có thể

tính được cạnh a theo định lí Pitago Bây giờ nếu góc A không vuông mà bằng một góc nào đó (chẳng hạn góc 600) thì liệu ta có thể tính cạnh a hay không?

Như thế bài toán sẽ xuất hiện một cách tự nhiên và cần thiết, có thể phần nào gây hứng thú cho học sinh Sau đó cho học sinh hoạt động, công việc chủ yếu của thầy là làm sao hướng dẫn cho học sinh viết được biểu thức quen thuộc

e Tư duy hàm

Xét sự biến thiên và phụ thuộc, chuyển qua trường hợp đặc biệt hoặc giới hạn

Ví dụ : Để học sinh phát hiện định lí sin trong tam giác, ta đặt vấn đề như sau: Cho đường tròn (O; R) và góc nội tiếp biến thiên trong đường tròn đó

Với mỗi góc nội tiếp có duy nhất dây cung BC đối diện với nó Liệu có hệ thức biểu thị mối quan hệ giữa độ lớn của góc nội tiếp và độ dài dây cung BC hay không

f Khai thác kiến thức cũ, đặt vấn đề dẫn đến kiến thức mới

Ví dụ 1: Hình thành khái niệm phương trình tổng quát của đường thẳng (sau khi

đã học về phương trình tham số và vectơ pháp tuyến của đường thẳng)

Giải bài toán: “Cho đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến Điểm có nằm trên đường thẳng d hay không?”

- Nếu học sinh trả lời “viết phương trình tham số của đường thẳng rồi thay tọa

độ của M vào phương trình đó” thì giáo viên công nhận là đúng Liệu có cách nào khác mà không cần viết phương trình tham số của đường thẳng d

- Nếu học sinh trả lời “viết phương trình tổng quát của đường thẳng d” thì giáo viên có thể hỏi lại “vậy phương tổng quát của đường thẳng d là gì…đó chính là nội dung của bài học hôm nay”

- Sau đó phát biểu bài toán tổng quát “Cho đường thẳng d đi qua điểm

và có vectơ pháp tuyến Tìm điều kiện để điểm nằm trên đường thẳng d”

A

O

B

C

Cách dạy này có hai chức năng: một là kiểm tra bài cũ tạo tiền đề, hai là tạo ra một vấn đề từ đó đi đến kiến thức mới Với hai chức năng như thế giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa kiến thức cũ và kiến thức mới một cách trực quan, hiểu được nguồn gốc và bản chất của kiến thức

g Giải bài tập mà học sinh chưa biết thuật giải

Yêu cầu học sinh giải bài toán mà họ chưa biết thuật toán để giải nó có thể là một tình huống có vấn đề

Ví dụ 1: Hình thành khái niệm phương trình tổng quát của đường thẳng:

Giáo viên có thể đưa ra bài toán: “Cho đường thẳng d đi qua điểm và

có vectơ pháp tuyến Điểm M(1; 2) có nằm trên đường thẳng d hay không?” Từ đó dẫn đến giải quyết bài toán tổng quát hơn đó là: “Tìm điều kiện

để một điểm M(x; y) nằm trên đường thẳng d biết vectơ pháp tuyến và một điểm

Câu a là câu quen thuộc: học sinh sẽ giải bằng cách quy gọn góc dẫn về góc đặc biệt:

Câu b thì lại khó hơn một chút: sau khi quy gọn góc bài toán trở thành tính giá trị lượng giác của một góc không đặc biệt

Vấn đề chính là chúng ta chưa biết cosin của góc bằng bao nhiêu Nhưng nhận xét rằng , tức là góc cần tính được biểu diễn qua hiệu của hai góc đặc biệt (hai góc đã biết được giá trị lượng giác) Điều

đó có nghĩa là nếu ta xây dựng được công thức biểu diễn cos qua giá trị lượng giác của các góc và (hay và ) thì bài toán được giải quyết

Từ đó giáo viên khái quát hóa bài toán: “Biết giá trị lượng giác của các cung a và b, dùng công thức gì để tính các giá trị lượng giác của các cung a+b và a-b”

h Tìm sai lầm trong lời giải và sửa chữa sai lầm đó

Ví dụ 1: hình thành khái niệm hàm số hợp và đạo hàm của hàm số hợp

Sau khi học sinh biết công thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp và các quy tắc tính đạo hàm tương ứng Giáo viên tổ chức và yêu cầu học sinh tính đạo hàm của các hàm số sau:

Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm:

Nhóm 1: Tính đạo hàm câu a bằng định nghĩa

Nhóm 2: Tính đạo hàm câu a bằng công thức hàm số thường gặp

Nhóm 3: Tính đạo hàm câu b bằng định nghĩa

Nhóm 4: Tính đạo hàm câu b bằng công thức hàm số thường gặp

Giáo viên tổ chức cho các nhóm trao đổi, so sánh kết quả và tìm sai lầm trong

lời giải, từ đó đi đến kết luận: “không áp dụng công thức đạo hàm của các hàm

số thường gặp cho các hàm số này được” vì đó không phải là các hàm số thường

gặp Vậy chúng được gọi là các hàm số gì và muốn tính đạo hàm của các hàm số

đó ta phải áp dụng công thức nào?

Ví dụ 2: Tìm chỗ sai trong lời giải sau đây và đưa ra lời giải đúng

1.5 Dạy học giải bài tập toán học

Polya cho rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định,

mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán”.[33]

Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là:

Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và sau này

Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kĩ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống

cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác

1.5.1 Vai trò, ý nghĩa của bài tập trong quá trình dạy học

Toán học có vai trò to lớn trong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Các Mác nói: “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của toán học”[10]

Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa,….; rèn luyện những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, khoa học, sáng tạo,…

Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kĩ năng, là một hình thức vận dụng kiến thức

đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học

Việc giải bài tập toán có tác dụng to lớn trong việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện cho học sinh về nhiều mặt Việc giải một bài toán cụ thể không nhằm một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như đã nêu ở trên

1.5.2 Vị trí và chức năng của bài tập toán

a Vị trí

“Ở trường phổ thông dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh

có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài tập

toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay

thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát trển tư duy, hình

thành kĩ năng kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông

Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán”[17]

b Các chức năng của bài tập toán

Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Các chức năng đó là:

- Chức năng dạy học

- Chức năng giáo dục

- Chức năng phát triển

- Chức năng kiểm tra

Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:

- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

- Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học

- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của học sinh

Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác

giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải

có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình

1.5.3 Các yêu cầu đối với lời giải

Để phát huy tác dụng của bài tập Toán học, trước hết cần nắm vững yêu cầu của lời giải, cần phải có một lời giải đúng và tốt Theo [14], Nguyễn Bá Kim đưa ra bảy yêu cầu của lời giải:

1) Kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian

2) Lập luận chặt chẽ

3) Lời giải đầy đủ

4) Ngôn ngữ chính xác

5) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mĩ thuật

6) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất

7) Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Các yêu cầu từ 1 đến 4 là yêu cầu cơ bản, yêu cầu 5 là về mặt trình bày, còn

6 và 7 là các yêu cầu đề cao

1.5.4 Dạy học phương pháp chung để giải bài toán

Trong môn toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài toán Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển

tư duy, giáo viên phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán

Theo Polya, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường được tiến hành theo bốn bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứng thú với việc giải bài toán đó Vì thế người giáo viên phải chú ý đến việc gợi động

cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán một cách tổng quát Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho:

- Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện

- Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần)

- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt các điều kiện đó dưới dạng công thức toán học được không

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

“Phải phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn Phải huy động những kiến thức đã học (định nghĩa, định lý, quy tắc,…) có liên quan đến những điều kiện, những quan hệ trong đề toán rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm, dự đoán kết quả Xét vài khả năng có thể xẩy ra, kể cả trường hợp đặc biệt Sau đó xét một bài toán tương tự hoặc khái quát hóa bài toán đã cho”[32]

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- Kiểm tra lại kết quả, xem các lập luận trong quá trình giải

- Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một loại bài toán nào đó

- Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể)

- Khai thác các kết quả có thể có của bài toán

- Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc bài toán khái quát

Công việc kiểm tra lời giải của một bài toán có ý nghĩa quan trọng Trong nhiều trường hợp, sự kết thúc của bài toán này lại mở đầu cho bài toán khác Vì

vậy, “cần phải luyện tập cho học sinh có một thói quen kiểm tra lại bài toán, xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là những bài toán có đặt điều kiện hoặc bài toán đòi hỏi phải biện luận Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực hiện một cách thường xuyên” [17] Sau đây là vài ví dụ sử dụng 4 bước giải như trên:

Ví dụ 1: Khi học sinh chưa biết cách giải hệ phương trình đối xứng loại I ta đưa

ra yêu cầu giải hệ phương trình:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

- Bài toán yêu cầu tìm x, y thỏa mãn hệ phương trình

- Hệ này gồm hai phương trình, phương trình (1) là phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình (2) là phương trình bậc hai 2 ẩn

- Hai ẩn x và y đóng vai trò như nhau trong hệ, nếu thay ẩn x cho ẩn y và

ẩn y cho ẩn x thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Ngoài phương pháp thế giáo viên xây dựng cách giải khác cho học sinh như sau:

- Vì hai ẩn x và y đóng vai trò như nhau trong hệ, nếu thay ẩn x cho ẩn y và

ẩn y cho ẩn x thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi Ta nghĩ đến những biểu thức đối với hai ẩn x, y mà giao hoán hai ẩn x, y thì biểu thức

đó không đổi là x+y và x.y

- Thực hiện các phép biến đổi đưa hệ về các biểu thức x+y và x.y, như vậy

ta chỉ cần biến đổi phương trình (2)

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Ta được:

Khi đó :

x, y là hai nghiệm của phương trình , hệ phương trình đã cho

có nghiệm (2; 1) và (1; 2)

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- Bài toán này có những cách giải nào

- Nhận xét các bước giải

- Yêu cầu học sinh đưa ra một vài hệ giống hệ đã cho, giải thích sự giống nhau đó

- Đưa ra khái niệm hệ đối xứng loại I, tìm ra phương pháp giải

Ví dụ 2: Sau khi biết cách giải hệ đối xứng loại I yêu cầu học sinh giải hệ phương trình:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Đây là hệ đối xứng loại I nên ta sử dụng các phép biến đổi đưa hệ về các biểu thức và

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Sử dụng hằng đẳng thức bậc hai và bậc 3, biểu diễn về các biểu thức và

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Đặt , hệ đã cho trở thành

Từ (1) thế vào phương trình (2) ta được :

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm (1; 0) và (0; 1)

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- Bài toán này có những cách giải nào

phức tạp, có thể lựa chọn phương pháp vectơ bằng cách đặt và

1.6 Kết luận chương 1

Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có rất nhiều ưu điểm, nhưng không phải tiết học nào, nội dung nào chúng ta cũng nên sử dụng phương pháp dạy học này Tuy nhiên giáo viên nên sử dụng phương pháp dạy học phát

hiện và giải quyết vấn đề đủ để học sinh có thể chỉnh đốn lại, cấu trúc lại cách nhìn đối với bộ phận tri thức còn lại mà họ đã lĩnh hội không phải bằng con đường phát hiện và giải quyết vấn đề; biết nhìn toàn bộ nội dung còn lại dưới dạng đang trong quá trình hình thành và phát triển theo cách phát hiện và giải quyết vấn đề Số lượng bài tập của phần phương trình – hệ phương trình cũng như các nội dung khác của môn toán là rất lớn, giáo viên không thể giải hết các bài tập hay đưa ra hết các dạng toán cho học sinh Nếu chúng ta không dạy cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho một bài toán là chúng ta chưa hoàn thành mục tiêu của dạy học giải bài tập Vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập phương trình và hệ phương trình là một trong những phương pháp hiệu quả nhất Mặc dù giáo viên đưa ra các bài toán rồi yêu cầu học sinh tìm ra lời giải cũng không có nghĩa là chúng ta không thể áp dụng các tình huống tạo ra vấn đề Chúng ta có thể tạo ra vấn đề khi học sinh giải quyết xong bài toán được đặt ra, nghiên cứu sâu giải pháp, tìm ra các bài toán liên quan, bài toán mới,… Mặc dù phương pháp dạy học này chiếm rất nhiều thời gian và cách thực hiện cũng phải phù thuộc vào trình độ học sinh Vận dụng các cấp độ dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập phương trình và hệ phương trình nói riêng, dạy học giải bài tập nói chung

là cần thiết và là phương pháp có hiệu quả để nâng cao chất lượng dạy học

Chương 2: VẬN DỤNG CÁC CẤP ĐỘ DẠY HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀO DẠY HỌC BÀI TẬP CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG

TRÌNH Ở TRƯỜNG THPT 2.1 Phân tích nội dung chủ đề Phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán ở trường THPT

2.1.1 Vai trò, vị trí của chủ đề phương trình và hệ phương trình

Chủ đề PT - HPT là một chủ đề lớn trong toán học nói chung và trong giáo trình

toán học ở phổ thông nói riêng Chủ đề này có nhiều ý nghĩa về mặt lí thuyết và thực tiễn

Về mặt lí thuyết, từ lâu các nhà toán học lớn đã rất quan tâm nghiên cứu như nhà toán học Đi-ô-phăng, Vi-et, Đê-cac, Fecma, Từ việc nghiên cứu lí thuyết phương trình đã giúp cho một nghành toán học phát triển đó là Đại số và

Số học cổ điển (Đại số cao cấp) Cũng từ đó lí thuyết phương trình đã xâm nhập vào các nghành khác của toán học và đã hình thành lí thuyết riêng cho các nghành như lí thuyết về: Phương trình vi phân; Phương trình tích phân; Phương trình toán lí; Phương trình đạo hàm riêng; Phương trình hàm;

Về mặt thực tiễn, lí thuyết phương trình trở thành công cụ nghiên cứu nhiều vấn đề trong toán học ở giáo trình phổ thông cũng như trong thực tiễn Chủ đề Phương trình và hệ phương trình ở trường THPT chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc phát huy năng lực nhận thức và sáng tạo của học sinh Đây là một chủ đề hay và khó với hệ thống lý thuyết và bài tập phong phú, đa dạng; có nhiều sự độc đáo trong phương pháp giải tạo nên sự say mê, hấp dẫn đối với học sinh Các kiến thức về PT & HPT được áp dụng để giải quyết khá nhiều các loại bài toán, chẳng hạn: Giải các bài toán kinh tế; Bài toán về tìm giao điểm của các đường; Biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số với các trục toạ độ; Chính vì vậy mà ở trường THPT chương Phương trình và hệ phương được phân bố ngay sau chương Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai Với mục đích giúp học sinh tìm toạ độ giao điểm; biện luận số giao điểm của các đồ thị

hàm số thông qua số nghiệm tìm được của phương trình và hệ phương trình tương ứng

Do vai trò quan trọng của chủ đề nên có lẽ không có chủ đề nào như chủ đề về Phương trình và Hệ phương trình đã dành một khoảng thời gian rất lớn so với các chủ đề khác Điều đó thể hiện ngay nội dung của chủ đề được trình bày một cách dàn trải, xen kẽ với các kiến thức đã học ở phổ thông Ngay từ những lớp tiểu học, nội dung của chủ đề phương trình đã được giới thiệu một cách ẩn tàng thông qua các bài toán số học Chẳng hạn như bài toán của học sinh lớp 2: “ Số nào? 15 - = 10 ” hoặc: “Tìm số x: x + 3 = 8”;

2.1.2 Nội dung của chủ đề phương trình và hệ phương trình

Phương trình và hệ phương trình là một trong những nội dung cơ bản của chương trình môn Toán ở nhà trường phổ thông Những vấn đề lí luận như khái niệm phương trình, hệ phương trình; quan hệ tương đương đối với hai phương trình; phương pháp giải phương trình, hệ phương trình được đưa dần ở mức độ thích hợp với từng cấp bậc có phần lặp đi lặp lại và nâng cao dần qua các lớp từ lớp 8 đến lớp 10 Đồng thời học sinh cũng được dần dần làm việc với từng loại phương trình, hệ phương trình thích ứng với những yếu tố nội dung đã học

Ở đầu bậc THPT, cụ thể là SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao, học sinh được học về khái niệm phương trình, hệ phương trình và cũng được giới thiệu

về phương trình, hệ phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn cùng cách giải chúng Tuy nhiên, kiến thức này không phải là sự trình bày lại những gì đã học ở bậc THCS mà là một sự lặp lại về hình thức nhưng có sự nâng cấp về nội dung Xem xét sự khác nhau về khái niệm phương trình và hệ phương trình được trình bày ở cấp THCS và cấp THPT Trong mục này chúng tôi nói đến Phương trình còn Hệ phương trình có sự tương tự

Sự khác biệt là khá lớn ở hai cấp học THCS và THPT thể hiện ngay ở khái niệm phương trình:

SGK Toán 8, Tập hai, định nghĩa: “Một phương trình ẩn x có dạng A(x)

= B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x”

Ở SGK Đại số 10 - Nâng cao, định nghĩa: “Cho hai hàm số y = f(x) và y

= g(x) có tập xác định lần lượt là D f và D g Đặt D = D f D g , mệnh đề chứa biến “f(x) = g(x)” được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình Số x 0 thuộc D gọi là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nếu “f(x 0 ) = g(x 0 )” là mệnh đề đúng”

Ở SGK Đại số 10 – Cơ bản, định nghĩa: “ Phương trình ẩn x là mệnh đề

chứa biến có dạng

f (x) = g(x) (1)

trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1)

Nếu có số thực x 0 sao cho f(x 0 )= g(x 0 ) là mệnh đề đúng thì x 0 được gọi là

một nghiệm của phương trình (1)

Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập

nghiệm)

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô

nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng)

Ở định nghĩa phương trình và hệ phương trình ở bậc THPT có đưa vào khái niệm mới là mệnh đề chứa biến, đây là khái niệm không được xây dựng ở THCS Bậc THPT khái niệm tập xác định của phương trình đã được đưa vào, điều này là một điểm mới so với bậc THCS Dễ nhận thấy khái niệm phương trình ở bậc THPT là sự kế thừa và phát triển khái niệm phương trình ở bậc THCS Với sự chính xác và khoa học của khái niệm phương trình ở bậc THPT

đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc đi sâu nghiên cứu các phép biến đổi phương trình, hiểu đầy đủ hơn về khái niệm nghiệm của phương trình Những khái niệm này ở bậc THCS được hiểu một cách rất trực quan, chẳng hạn như khái niệm

nghiệm của phương trình được hiểu thông qua hoạt động: “Khi x = 6, hãy tính giá trị mỗi vế phương trình: 4x + 6 = 4(x + 1) + 2” và học sinh sẽ tự hiểu nôm na: nghiệm của phương trình là số nào đó mà khi ta thay vào hai vế của một phương trình thì giá trị của hai vế bằng nhau Còn ở bậc THPT nhờ khái niệm mệnh đề chứa biến mà khái niệm nghiệm của phương trình được đưa vào khá lôgic và hợp lí

Sách giáo viên Toán 8, Tập hai, cũng đã viết: “Các tác giả đã chọn

phương án không xây dựng khái niệm phương trình một cách hoàn chỉnh mà chỉ giới thiệu thuật ngữ phương trình thông qua ví dụ cụ thể Ngay cả “tập xác định của phương trình” – cũng chỉ đề cập đến một cách đơn giản (gọi là điều kiện xác định) ở vào những thời điểm thích hợp, đó là khi nói về giải phương trình có

ẩn ở mẫu”

Việc đưa ra khái niệm phương trình, hệ phương trình như trong SGK Đại

số 10 - Cơ bản và Nâng cao rất thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ và chặt chẽ định lí về phép biến đổi tương đương

SGK Đại số 10 - Nâng cao đã đưa ra định lí về phép biến đổi tương đương như sau:

“Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định là D; y = h(x) là một hàm

số xác định trên D (h(x) có thể là một hằng số) Khi đó trên D, phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:

1) f(x) + h(x) = g(x) + h(x)

2) f(x).h(x) = g(x).h(x) nếu h(x) ≠ 0 với mọi x thuộc D”

Định lí này hoàn toàn hợp lí với những gì học sinh được học ở cấp

THCS, SGK Đại số 10 Nâng cao, đã viết: “Hai qui tắc biến đổi phương trình đã

biết ở lớp dưới (qui tắc chuyển vế và qui tắc nhân với một số khác 0) là những phép biến đổi tương đương” Bậc THPT học sinh đã có cái nhìn sâu sắc và

tường minh về phép biến đổi tương đương thông qua việc nắm nội dung, chứng minh định lí về phép biến đổi tương đương Đây là điều mà học sinh THCS chưa

làm được bởi phép biến đổi tương đương chỉ được giới thiệu dưới dạng qui tắc biến đổi và được thừa nhận Chính việc thừa nhận làm cho không ít học sinh

hiểu máy móc, không nắm được bản chất vấn đề “Tại sao lại chuyển vế và đổi

dấu?” là câu hỏi mà nhiều học sinh thắc mắc, nhưng việc trình bày như vậy là

hoàn toàn phù hợp với thực tiễn sư phạm vì không thể đưa ra nhiều khái niệm trừu tượng như ở bậc THPT Thực chất ở bậc THCS học sinh chủ yếu thao tác trên các phương trình với hệ số bằng hằng số và chỉ yêu cầu kĩ năng giải các phương trình cơ bản, nhằm tạo điều kiện cho học sinh làm quen và xây dựng khái niệm phương trình để tiếp tục đi sâu ở bậc THPT Việc không trình bày hoàn thiện kiến thức về phương trình ở bậc THCS đem lại cho học sinh ít nhiều những băn khoăn, suy nghĩ mà chính giáo viên cũng thấy khó khăn khi giải thích

những vướng mắc đó cho học sinh Chẳng hạn, khi dạy bài: “Phương trình chứa

ẩn ở mẫu” trong SGK Toán 8 - Tập hai, ngay trong ví dụ mở đầu viết:

“Ta thử giải phương trình x 1 1 1

x 1 x 1 bằng phương pháp quen thuộc như sau:

Chuyển các biểu thức chứa ẩn sang một vế: x 1 1 1

x 1 x 1Thu gọn vế trái ta tìm được: x = 1”

Việc giải phương trình này dùng phương pháp cũ, vậy mà x = 1 không là nghiệm thì thật khó chấp nhận, phải chăng kiến thức được học là sai? Để giải thích điều này đòi hỏi giáo viên phải dành thời gian để chỉ cho học sinh một cách rõ ràng nhằm giúp các em tránh được trở ngại về tâm lý

Tiếp đến khi trình bày lời giải bài toán phương trình chứa ẩn ở mẫu, học sinh không nắm bắt được tại sao và khi thì dùng phép biến đổi suy ra ( ) khi nào thì dùng phép biến đổi tương đương ( ) Xem xét những khó khăn ở bậc THCS chúng ta mới thấy hết được sự hợp lí, lôgic của khái niệm phương trình

và hệ phương trình được đưa ra ở SGK Đại số 10 - Cơ bản và Nâng cao

Về mặt kĩ năng giải các phương trình cũng có sự khác biệt giữa hai cấp học THCS và THPT Cũng là các nội dung xoay quanh việc nghiên cứu cách giải phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số, nhưng mục tiêu ở hai cấp học là không giống nhau Sách

giáo viên Đại số 10, Nâng cao viết: “Các vấn đề phương trình bậc nhất và bậc

hai mà học sinh đã được học ở các lớp dưới nay chỉ nhắc lại rất sơ lược, thậm chí coi như học sinh đã nắm vững nhằm tập trung cho các vấn đề mới Cụ thể, vấn đề mới ở đây là phương pháp giải và biện luận các phương trình có tham số” Tác giả Nguyễn Bá Kim (chủ biên) viết: “Trong khi ở trường THCS học sinh làm việc chủ yếu với những phương trình có hệ số bằng số thì ở lớp 10 đi sâu vào những phương trình có tham biến đòi hỏi học sinh phải biện luận trong khi giải” Như vậy, phương trình, hệ phương trình có chứa tham số trở thành nội

dung mới trong chương trình Toán ở bậc THPT Sự khác biệt thể hiện rõ ràng ngay trong SGK ở hai cấp học Ở đây ta so sánh việc trình bày nội dung phương trình bậc nhất một ẩn số ở hai cấp học

SGK Toán 8, Tập hai, đưa ra khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn, sau

đó đưa ra hai qui tắc vận dụng để giải Ở cuối tiết phương trình bậc nhất một ẩn, SGK đưa ra cách giải tổng quát phương trình:

ax + b = 0 (với a ≠ 0), được giải như sau:

+) a = b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x

Tương tự như vậy phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì ở THCS chú ý rèn luyện kĩ năng giải với hệ số là hằng số đã cho, còn

ở bậc THPT đi sâu vào phương pháp giải và biện luận phương trình, hệ phương trình có chứa tham số Hệ thống bài tập sau mỗi bài học cũng thể hiện sự khác biệt lớn, chẳng hạn ở cấp THCS gần như không có sự xuất hiện của tham số còn

ở bậc THPT thì phần nhiều là bài toán về phương trình và hệ phương trình có chứa tham số Đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn ngoài hai phương pháp giải đã học ở THCS, ở THPT còn đưa thêm phương pháp giải bằng định thức cấp hai và phương pháp khử Gauss (1777 – 1855) Phương pháp định thức này rất thuận lợi cho học sinh khi gặp bài toán giải và biện luận hệ phương trình

có chứa tham số dạng:

'cy'bx'a

cbyax

2 2 2 2

1 1 1 1

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số

Như vậy, chủ đề phương trình và hệ phương trình ở hai cấp THCS và THPT là có sự khác biệt rõ rệt Mặc dù chủ đề này đã từng xuất hiện ở các lớp dưới, nhiều vấn đề về phương trình và hệ phương trình có vẻ lặp đi lặp lại nhưng

thực ra nó có một sự biến đổi về chất rất quan trọng đó là: Sự xuất hiện của

phương trình và hệ phương trình có chứa tham số Hay nói cách khác, là có sự

“đồng tâm xoáy trôn ốc” của kiến thức về phương trình, hệ phương trình ở hai

cấp Có điều càng về sau lại có sự xuất hiện dạng phương trình, hệ phương trình phức tạp hơn đó là: phương trình và hệ phương trình lượng giác; phương trình

10 thì có 16 tiết tuy nhiên cũng chỉ có 3 tiết luyện tập và một tiết ôn tập chương Chủ yếu nội dung trên lớp là đưa ra các định nghĩa, khái niệm và hoàn thiện các khái niệm học ở lớp dưới, bài tập cũng đưa ra ít Ngược với thời gian ít ỏi với các bài tập ở trên lớp thì số lượng bài tập ở các sách tham khảo và trong các kì thi thì cực kì đa dạng, cho nên chủ yếu là học sinh tự rèn luyện giải bài tập ở nhà Nếu có thời gian giải tiết bài tập trên lớp hay là tổ chức ngoại khóa, phụ đạo chủ đề này thì đa số giáo viên chưa phát huy được ý nghĩa của một tiết dạy luyện tập Phương pháp chủ yếu là thầy đưa ra các bài toán, trò tìm cách giải, thầy và trò cùng trình bày lời giải Xong một bài toán thầy lại đặt ra bài toán khác, công đoạn như trên tiếp tục Nếu cho là một tiết luyện tập so sánh chất lượng với nhau bằng số lượng các bài toán thì công việc giải các bài toán này so với số lượng thực tế của nó cũng chỉ như muối bỏ bể Trên thực tế giáo viên nên quan tâm đến chuyện hướng dẫn học sinh cách tìm tòi lời giải, như vậy sẽ giúp cho các em sẽ biết cách suy nghĩ khi gặp bài toán mới, cũng là cách để bồi dưỡng khả năng tự học của các em Hơn nữa, khi các em có thể có được phương pháp tìm lời giải của một bài toán sẽ gợi ra hứng thú lớn của các em, sẽ vui vẻ khi tự mình giải được một bài toán và cũng không có niềm vui nào hơn khi tự

mình có thể giải được rất nhiều bài toán Đó là mục đích cao nhất của giáo viên khi dạy tiết luyện tập

2.2 Một số nguyên tắc khi dạy học bài tập phương trình và hệ phương trình

2.2.1.Nguyên tắc 1: Dựa vào trình độ học sinh

2.2.1.1 Dạy bài tập cho học sinh khá, giỏi

Terence Tao(1975) là một nhà toán học người Australia, hiện đang là giáo

sư tại Đại học California, Los Angeles, Mỹ Ông là người từng được nhận nhiều giải thưởng uy tín về Toán học, trong đó có giải Fields năm 2006, Tao thường được các đồng nghiệp gọi với biệt danh “Mozart của Toán học” Từ blog của mình T.Tao có một bài viết “Nên giáo dục học sinh khá, giỏi như thế nào?”, ông

đã lấy câu nói của Bruce Barton để đưa ra lời khuyên dành cho các phụ huynh:

“Nếu bạn có thể dành tặng cho con một món quà, hãy tặng chúng lòng nhiệt huyết” Đối với giáo viên cũng vậy, khi dạy học sinh khá giỏi, quan trọng nhất

và hiệu quả nhất là đem lại cho các em lòng nhiệt huyết, sau đó là tập trung rèn luyện cho học sinh kĩ năng học tập môn Toán

a) Tăng lòng nhiệt huyết của các em học sinh khi học tập môn Toán

Mọi công việc đạt hiệu quả cao nhất khi tạo ra được hứng thú trước khi làm việc Các em học sinh cũng vậy, muốn các em học tập môn Toán một cách tốt nhất thì phải bồi dưỡng cho các em yêu thích môn Toán Muốn vậy giáo viên

có thể thực hiện các biện pháp sau:

- Người giáo viên phải là người chuẩn mực trước các em học sinh

Không chỉ riêng với môn Toán mà là bất cứ đối với môn học nào, đã là giáo viên thì bản thân không ngừng phải tu dưỡng nhân cách của bản thân Vẻ đẹp chúng ta cần phải có không những chỉ là vẻ đẹp bề ngoài mà phải có vẻ đẹp từ trong tâm hồn, đối với các em học sinh vẻ đẹp từ bên trong của giáo viên nó chiếm vị trí quan trọng nhất Thể hiện quan trọng nhất đó là khi giáo viên lên lớp phải có trách nhiệm, cần phải tận dụng thời gian nhỏ nhặt nhất để hi vọng