MAI XUÂN MÃIVỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC MÃ SỐ: 60.46.01.02 Cán bộ hướng dẫn khoa họcPGS... 2 Về
Trang 1MAI XUÂN MÃI
Trang 2MAI XUÂN MÃI
VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC
CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
MÃ SỐ: 60.46.01.02
Cán bộ hướng dẫn khoa họcPGS TS ĐINH HUY HOÀNG
NGHỆ AN - 2015
Trang 32 Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu
và co yếu suy rộng trong không gian b-mêtric 112.1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu 112.2 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu
Chatterjea và Kannan suy rộng 23
Trang 4MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quantrọng của Giải tích Nó có nhiều ứng dụng trong Toán học và nhiều ngànhkhoa học kĩ thuật khác Kết quả quan trọng đầu tiên trong lý thuyết điểmbất động là nguyên lý ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ củaBanach (1922) Người ta đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều kiểu ánh xạ
và nhiều loại không gian Có một điều cần lưu ý là các ánh xạ co (kiểuBanach) trong không gian mêtric là liên tục Từ đó, nảy sinh vấn đề là
mở rộng nguyên lý ánh xạ co của Banach cho các ánh xạ không liên tục
Để giải quyết vấn đề này, vào năm 1968, Kannan [5] và vào năm 1972,Chatterjea [2] lần lượt đưa ra khái niệm ánh xạ co kiểu Kannan và ánh xạ
co kiểu Chatterjea và chứng minh sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạnày trong không gian mêtric đầy đủ Sau đó, vào năm 2009, Choudhury[3] đã đưa ra khái niệm ánh xạ co kiểu Chatterjea suy rộng (hay ánh xạ
co yếu kiểu Chatterjea) và chứng minh sự tồn tại điểm bất động của ánh
xạ này trong không gian mêtric đầy đủ Cũng theo hướng mở rộng nguyên
lý Banach kiểu này, vào năm 2003, Kirk và các cộng sự [8] đã giới thiệukhái niệm ánh xạ co xyclic và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của nótrong không gian mêtric
Từ đó đến nay, vấn đề về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclicthoả mãn điều kiện co nào đó được nhiều nhà toán học quan tâm nghiêncứu Năm 2012, Karapinar và các cộng sự [6] đã đưa ra một số kết quả
về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea
và co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric đầy đủ Vào
Trang 5năm 1993, Czerwik [4] đã đưa ra khái niệm không gian b-mêtric và nghiêncứu sự tồn tại điểm bất động trong không gian này Trong thời gian gầnđây, vấn đề về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng trongkhông gian b-mêtric cũng được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu[7], [9], [12].
Để tập dượt nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về lý thuyết điểm bấtđộng, chúng tôi tiếp cận các vấn đề này nhằm nghiên cứu sự tồn tại điểmbất động của các ánh xạ cyclic co yếu suy rộng trong không gian b-mêtric,
mở rộng một số kết quả chính trong tài liệu [6], [10], [11] cho không gian
b-mêtric
Với mục đích đó, luận văn của chúng tôi có nhan đề là “Về sự tồn tạiđiểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu suy rộng trong khônggian b-mêtric” và được trình bày thành hai chương
Chương một, đầu tiên chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả
cơ bản về không gian mêtric, giới hạn trên, giới hạn dưới và một số tínhchất của nó Sau đó, trình bày khái niệm về không gian b-mêtric, một số
ví dụ và tính chất của không gian b-mêtric cần dùng trong luận văn.Chương hai, trong mục thứ nhất, chúng tôi trình bày các khái niệm ánh
xạ co và co yếu kiểu Kannan, kiểu Chatterjea trong không gian mêtric.Sau đó, chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic co yếu kiểu Kannan, kiểuChatterjea trong không gian b-mêtric và đưa ra một số kết quả mới về sựtồn tại điểm bất động của các ánh xạ này trong không gian b-mêtric Ởmục thứ hai, đầu tiên chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic co yếukiểu Chatterjea và Kannan suy rộng trong không gian b-mêtric Tiếp theo,chúng tôi đưa ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động của cácánh xạ này trong không gian b-mêtric Các kết quả này là mở rộng củamột số kết quả chính trong [6], [10] và [11] Ví dụ 2.2.12 và Ví dụ 2.2.13minh hoạ cho Định lí 2.2.2 và chứng tỏ Định lí 2.2.2 là mở rộng thực sựcủa Định lí 2.9 trong [6]
Trang 6Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình và nghiêm khắc của Thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng, nhờ
đó tác giả đã học tập được nhiều điều bổ ích trong quá trình học tập vànghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy.Tác giả xin được cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Chủ nhiệmKhoa Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh Đồng thời tác giả cũngxin cảm ơn Ban giám hiệu, Tổ Toán trường THPT Phan Đình Phùng -Quảng Bình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình họctập
Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trong bộ môn ToánGiải tích cùng các Thầy giáo, Cô giáo trong Khoa Sư phạm Toán học -Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốtthời gian học tập
Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, các bạnhọc viên lớp Cao học khóa 21 - Chuyên ngành Toán Giải Tích đã cộng tác,giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về kiến thức vàthời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong quýThầy Cô và bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn
Vinh, tháng 07 năm 2015
Tác giả
Trang 7CHƯƠNG 1KHÔNG GIAN b-MÊTRIC
Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của khônggian b-mêtric làm cơ sở cho việc trình bày chương 2
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gianmêtric, giới hạn trên, giới hạn dưới, mà chúng cần dùng trong luận văn.1.1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử X là tập khác rỗng và d : X x X −→ R.
Hàm d được gọi là mêtric trên X nếu với mọi x, y, z ∈ X các điều kiệnsau được thoả mãn
1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2) d(x, y) = d(y, x);
3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
Tập hợp X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric
và được kí hiệu bởi (X, d) hoặc X
1.1.2 Định nghĩa ([1]) Giả sử {xn} là dãy số thực bị chặn Khi đó, tồntại inf
n→∞
xn, lim inf
n→∞ xn
Trang 8Nếu dãy {xn} không bị chặn trên (không bị chặn dưới) thì ta đặt
lim sup
n→∞
xn = +∞ (tương ứng, lim inf
n→∞ xn = −∞)
Chú ý Trong tài liệu này ta viết ∞ thay cho +∞
1.1.3 Bổ đề ([1]) Với mọi dãy số thực {xn}, ta có
1) lim inf
n→∞ xn ≤ lim sup
n→∞
xn;2) Tồn tại lim
n→∞xn = a ∈ R khi và chỉ khi tồn tại lim inf
n→∞ (xn+ yn) ≥ lim inf
n→∞ xn + lim inf
n→∞ yn.1.1.5 Bổ đề Giả sử f : R −→ R là hàm đơn điệu tăng và liên tục, {xn}
là dãy bị chặn trong R Khi đó, ta có
n→∞ f (xn) ≥ f (lim inf
n→∞ xn).Chứng minh 1) Đặt un = sup{xn+k : k = 0, 1, } Khi đó,
và xn ≤ un với mọi n = 1, 2, Vì f đơn điệu tăng nên f (xn) ≤ f (un)
với mọi n = 1, 2, Từ bất đẳng thức này suy ra
Trang 91.2 Không gian b-mêtric
Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tínhchất của không gian b-mêtric
1.2.1 Định nghĩa ([4]) Giả sử X là tập hợp khác rỗng và số thực s ≥ 1.Hàm d : X x X −→ [0, ∞) được gọi là b-mêtric nếu với mọi x, y, z ∈ X,
ta có
1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2) d(x, y) = d(y, x);
3) d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)] (bất đẳng thức tam giác)
Tập X cùng với một b-mêtric trên nó được gọi là không gian b-mêtric vớitham số s, nói gọn là không gian b-mêtric và được kí hiệu bởi (X, d) hoặc
Ví dụ sau đây cho thấy rằng, lớp các không gian b-mêtric thực sự rộnghơn lớp các không gian mêtric
1.2.2 Ví dụ 1) ([4]) Giả sử(X, ρ)là không gian mêtric và d : X x X −→[0, ∞) là hàm được cho bởi
d(x, y) = (ρ(x, y))2 ∀x, y ∈ X
Khi đó, d là b-mêtric với s = 2
2) ([4]) Giả sử X = R và trên R ta xét mêtric thông thường Ta xác
định hàm d : R x R−→ [0, ∞) bởi
d(x, y) = |x − y|2 ∀x, y ∈R
Trang 10Khi đó, d là b-mêtric với s = 2 (theo 1)) nhưng d không là mêtric trên Rvì
d(1, −2) = 9 > 5 = d(1, 0) + d(0, −2)
3) ([7]) Cho X = {0, 1, 2} và hàm d : X x X −→ [0, ∞) được xác địnhbởi
d(0, 0) = d(1, 1) = d(2, 2) = 0d(0, 1) = d(1, 0) = d(1, 2) = d(2, 1) = 1
và d(2, 0) = d(0, 2) = m ≥ 2
Khi đó, d(x, y) ≤ m
2[d(x, z) + d(z, y)] với mọi x, y, z ∈ X Do đó, (X, d)
là không gian b-mêtric với tham số s = m
2 ≥ 1.Tuy nhiên, khi m > 2 thì bất đẳng thức tam giác thông thường khôngcòn đúng và vì thế (X, d) không phải là không gian mêtric
1.2.3 Định nghĩa ([4]) Giả sử {xn} là dãy trong không gian b-mêtric
(X, d)
Dãy {xn} được gọi là b-hội tụ (nói gọn là hội tụ) tới x ∈ X và được kíhiệu bởi xn → x hoặc lim
n→∞xn = x nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên
n0 sao cho d(xn, x) < ε với mọi n ≥ n0
Nói cách khác, xn → x khi và chỉ khi d(xn, x) → 0 khi n → ∞
Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu với mọiε > 0, tồn tại số tự nhiên
n0 sao cho d(xn, xm) < ε với mọi n, m ≥ n0
Không gian b-mêtric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nóđều hội tụ
1.2.4 Bổ đề Giả sử {xn} là dãy trong không gian b-mêtric (X, d) và
Trang 11Chứng minh 1) Vì xn → x nên với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0
2) Giả sử xn → x và xn → y Khi đó, d(xn, x) → 0 và d(xn, y) → 0 khi
n → ∞ Theo bất đẳng thức tam giác, ta có
n→∞d(xn, yn) = 0
Trang 12Chứng minh Theo bất đẳng thức tam giác, ta có
n→∞ d(yn, y) = lim sup
n→∞
d(yn, y) = lim
n→∞d(yn, y) = 0
Do đó, lấy lim inf
n→∞ hai vế của (1.3), ta được
Trang 13CHƯƠNG 2
VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠCYCLIC CO YẾU VÀ CO YẾU SUY RỘNG TRONG
KHÔNG GIAN b-MÊTRIC
Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểmbất động của các ánh xạ cyclic thoả mãn điều kiện co yếu và co yếu suyrộng trong không gian b-mêtric
2.1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic
co yếu
Trong mục này, chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic co yếu kiểuKannan, kiểu Chatterjea và đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bấtđộng của các ánh xạ này trong không gian b-mêtric
2.1.1 Định nghĩa Giả sử(X, d) là không gian mêtric Ánh xạ f : X −→
X được gọi là
1) ([5]) Co kiểu Kannan nếu tồn tại α ∈
0, 12
sao cho với mọi x, y ∈
sao cho với mọi
Trang 142[d(x, f x) + d(y, f y)] − ψ(d(x, f x), d(y, f y)).
2) Co yếu kiểu Chatterjea nếu với mọi x, y ∈ X, ta có
d(f x, f y) ≤ 1
2[d(x, f y) + d(y, f x)] − ψ(d(x, f y), d(y, f x)).
Ta kí hiệu F1 là tập tất cả các hàm ϕ : [0, ∞)2 −→ [0, ∞) nửa liêntục dưới lim inf
Trang 15trở thành ánh xạ co yếu kiểu Kannan, ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjeatrở thành ánh xạ co yếu kiểu Chatterjea.
2.1.4 Định lí Giả sử(X, d)là không gian b-mêtric đầy đủ;A1, A2, , Am
là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = ∪mi=1Ai và f : X −→ X
là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Kannan với hằng số α ∈
.Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động z ∈ ∩mi=1Ai
Chứng minh Lấy x0 ∈ X và đặt f xn = xn+1, với mọi n = 0, 1, Khi
đó, nếu tồn tại n0 ∈ N sao cho xn0+1 = xn0 thì ta có xn0+1 = f xn0 = xn0
Do đó, xn0 là điểm bất động của f
Giả sử xn 6= xn+1 với mọi n = 0, 1, 2, Vì X = ∪mi=1Ai nên với mỗi
n = 1, 2, tồn tại in ∈ {1, 2, , m} sao cho xn−1 ∈ Ain và
xn = f xn−1 ∈ Ain+1 Do f là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Kannan nên
với mọi n = 1, 2, Do đó {d(xn, xn+1)} là dãy giảm các số thực không
âm nên tồn tại lim
n→∞d(xn, xn+1) = r ≥ 0 Từ (2.3) và tính chất của ϕ suyra
r ≤ 2αr − ϕ(r, r) ≤ r − ϕ(r, r)
Điều này chứng tỏ ϕ(r, r) = 0 hay r = 0 Do đó,
lim
n→∞d(xn, xn+1) = 0 (2.5)Tiếp theo, ta chứng minh rằng, với mỗi ε > 0, tồn tại số tự nhiên nε saocho với mọir, q ∈ N màr−q ≡ 1(mod m), r ≥ nε, q ≥ nε thìd(xr, xq) < ε
Trang 16Giả sử điều này không đúng Khi đó, tồn tại ε > 0 sao cho với mỗi n ∈ N
tồn tại các số tự nhiên rn, qn sao cho rn > qn ≥ n, rn− qn ≡ 1(mod m) và
d(xrn, xqn) ≥ ε (2.6)Lấy n > 2m Khi đó, với qn ≥ n ta có thể chọn rn sao cho rn là số tựnhiên nhỏ nhất mà rn > qn, rn − qn ≡ 1(mod m) và d(xrn, xqn) ≥ ε Dođó,
Vì rn − qn ≡ 1(mod m) nên tồn tại i ∈ {1, 2, , m} sao cho xrn ∈
Ai, xqn ∈ Ai+1 hoặc xrn ∈ Ai+1, xqn ∈ Ai
Nếu xrn ∈ Ai, xqn ∈ Ai+1 thì
d(xrn+1, xqn+1) = d(f xrn, f xqn)
≤ α[d(xrn, xrn+1) + d(xqn, xqn+1)]
− ϕ(d(xr , xr +1), d(xq , xq +1))
Trang 17Bây giờ, ta chứng minh {xn}là dãy Cauchy Giả sử ε > 0 Khi đó, theochứng minh trên tồn tại số tự nhiên n1 sao cho với mọi r, q ∈ N mà r và
2 + m.
ε2m = ε.
Điều này chứng tỏ {xn} là dãy Cauchy Vì (X, d) là không gian b-mêtricđầy đủ nên xn → z ∈ X (khi n → ∞)
Từ cách xây dựng {xn} và f là ánh xạ cyclic suy ra rằng, với mỗi
i = 1, 2, , m tồn tại dãy con {xin} của dãy {xn} sao cho {xin} ⊂ Ai Vì
Ai đóng trong X và xin → z nên z ∈ Ai với mọi i = 1, 2, , m Do đó,
z ∈ ∩mi=1Ai
Bây giờ, ta chứng minh z là điểm bất động của f Vì z ∈ Ai với mọi
Trang 18i = 1, 2, , m nên theo điều kiện (2.1), ta có
≤ α[d(y, y) + d(z, z)] − ϕ(d(y, y), d(z, z)) = 0
Do đó, d(y, z) = 0 hay y = z Vậy z là điểm bất động duy nhất của f
2.1.5 Hệ quả Giả sử(X, d)là không gianb-mêtric đầy đủ;A1, A2, , Am
là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = ∪mi=1Ai và f : X −→ X
là ánh xạ thoả mãn các điều kiện sau
sao cho
d(f x, f y) ≤ β[d(x, f x) + d(y, f y)] (2.13)với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1, i = 1, 2, , m, trong đó Am+1 = A1
Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động z ∈ ∩mi=1Ai
sao cho α > β Ta xác định hàm ϕ : [0, ∞)2 −→ [0, ∞) bởi công thức
ϕ(t, u) = (α − β)(t + u) ∀(t, u) ∈ [0, ∞)2
Trang 19Rõ ràng ϕ liên tục và ϕ(t, u) = 0 ⇔ t = u = 0 Do đó, ϕ ∈ F1 Mặt khác,
từ (2.13) suy ra f thoả mãn (2.1) Như vậy các điều kiện của Định lí 2.1.4được thoả mãn Do đó, khẳng định của Hệ quả này được suy ra từ Định
lí 2.1.4
2.1.6 Hệ quả Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ; A1, A2, , Am
là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = ∪mi=1Ai và f : X −→ X
là ánh xạ thoả mãn các điều kiện sau
1) f là ánh xạ cyclic;
2) Tồn tại α ∈
0, 12
và ϕ ∈ F1 sao cho
d(f x, f y) ≤ α[d(x, f x) + d(y, f y)] − ϕ(d(x, f x), d(y, f y)) (2.14)với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1, i = 1, 2, , m, trong đó Am+1 = A1
Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động z ∈ ∩mi=1Ai
Chứng minh Vì (X, d) là không gian mêtric đầy đủ nên nó là khônggian b-mêtric đầy đủ với s = 1 Do đó, từ α ∈
0, 12
suy ra α ∈
Vì thế từ (2.14) suy ra f thoả mãn (2.1) Như vậy cácđiều kiện của Định lí 2.1.4 được thoả mãn Vậy f có duy nhất một điểmbất động z ∈ ∩mi=1Ai
2.1.7 Định lí Giả sử(X, d)là không gian b-mêtric đầy đủ;A1, A2, , Am
là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = ∪mi=1Ai và f : X −→ X
là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea với hằng số α ∈
0, 12s4
Khi đó,
f có duy nhất một điểm bất động z ∈ ∩mi=1Ai
Chứng minh Lấy x0 ∈ X và đặt f xn = xn+1, với mọi n = 0, 1, Khi
đó, nếu tồn tại n0 ∈ N sao cho xn0+1 = xn0 thì ta có xn0+1 = f xn0 = xn0
Do đó, xn0 là điểm bất động của f
Giả sử xn 6= xn+1 với mọi n = 0, 1, 2, Vì X = ∪mi=1Ai nên với mỗi
n = 1, 2, tồn tại in ∈ {1, 2, , m} sao cho xn−1 ∈ Ain và
xn = f xn−1 ∈ Ain+1 Do f là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea nên
d(xn, xn+1) = d(f xn−1, f xn)
Trang 20tồn tại các số tự nhiên rn, qn sao cho rn > qn ≥ n, rn− qn ≡ 1(mod m) và
d(xrn, xqn) ≥ ε (2.19)Lấy n > 2m Khi đó, với qn ≥ n ta có thể chọn rn sao cho rn là số tựnhiên nhỏ nhất mà rn > qn, rn − qn ≡ 1(mod m) và d(xrn, xqn) ≥ ε Dođó,
d(xq , xr −m) < ε (2.20)
Trang 21Vì rn − qn ≡ 1(mod m) nên tồn tại i ∈ {1, 2, , m} sao cho xrn ∈
Ai, xqn ∈ Ai+1 hoặc xrn ∈ Ai+1, xqn ∈ Ai
Trang 22Bây giờ, ta chứng minh {xn}là dãy Cauchy Giả sử ε > 0 Khi đó, theochứng minh trên tồn tại số tự nhiên n1 sao cho với mọi r, q ∈ N mà r và
2 + m.
ε2m = ε.
Điều này chứng tỏ {xn} là dãy Cauchy Vì (X, d) là không gian b-mêtricđầy đủ nên xn → z ∈ X (khi n → ∞)
Từ cách xây dựng {xn} và f là ánh xạ cyclic suy ra rằng, với mỗi
i = 1, 2, , m tồn tại dãy con {xin} của dãy {xn} sao cho {xin} ⊂ Ai Vì
Ai đóng trong X và xin → z nên z ∈ Ai với mọi i = 1, 2, , m Do đó,
z ∈ ∩mi=1Ai