Ước lượng moment đối với nghiệm của phương trình vi phân Itô

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học VinhƯớc lượng moment đối với nghiệm của phương trình vi phân Itô Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 Luận văn th

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Ước lượng moment đối với nghiệm của phương trình vi phân Itô

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học

Mã số: 60.46.01.06

Luận văn thạc sĩ toán học

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thanh Diệu

Nghệ An - 2015

Mục lục

1.1 Tích phân ngẫu nhiên 2

1.1.1 Tích phân ngẫu nhiên một chiều trên đoạn [a, b] 2

1.2 Công thức Itô 9

1.3 Bất đẳng thức moment 13

2 Ước lượng moment đối với nghiệm của phương trình vi phân Itô 15 2.1 Phương trình vi phân Itô 15

2.2 Công thức ước lượng moment 21

Kết luận 33

Mở đầuPhương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu là quá trình Wiener được xâydựng lần đầu tiên bởi Henry P McKean năm 1969 ([8]) Sau đó, được nghiên cứubởi, I I Gihman và A V Skorohod năm1972 ([4]) Năm 1972, N Kazamaki đãnghiên cứu phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu là martingale bình phươngkhả tích ([6]) Tiếp đó , phương trình vi phân được quan tâm nghiên cứu bởi Philip

E Protter năm 1977 ([7]) và nhiều nhà toán học khác (xem: [5, 9, ])

Ngày nay, lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên có nhiều ứng dụngtrong nhiều lĩnh vực khác nhau như mô phỏng hệ sinh thái, thị trường tài chính.v.v

Có rất nhiều tính chất nghiệm của phương trình vi phân (tính ổn đinh, tính Markov,tính Ergodic.v.v.) đã được nghiên cứu Theo hướng tìm hiểu về tính chất nghiệmcủa phương trình vi phân, trong luận văn này chúng tôi bước đầu tìm hiểu về các

ước lượng moment của nghiệm của phương trình vi phân Với mục đích đó, chúngtôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn "Ước lượng moment đối với nghiệmcủa phương trình vi phân Itô" Luận văn được chia làm 2 chương:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi sẽtrình bày khái niệm, tính chất cơ bản về quá trình ngẫu nhiên , tích phân ngẫunhiên và công thức Itô làm cơ sở cho chương sau

Chương 2 Ước lượng moment đối với nghiệm của phương trình viphân Itô.Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa nghiệm, phát biểu

và chứng minh định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phânngẫu nhiên và đưa ra các công thức ước lượng moment

Tác giả

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Tích phân ngẫu nhiên

1.1.1 Tích phân ngẫu nhiên một chiều trên đoạn [a, b]

Lấy (Ω, F , P) là không gian xác suất với lọc là {Ft} thỏa mãn điều kiệnthông thường Lấy B = {Bt}t>0 là quá trình chuyển động Brown xác định trênkhông gian xác suất phù hợp với lọc{Ft}

Định nghĩa 1.1.1 Lấy 0 6 a 6 b < ∞ Ký hiệu M2

([a, b]; R) là không giancác quá trình ngẫu nhiên f = {f(t)}t>0 nhận giá trị thực, (Ft)-phù hợp saocho

f (t) = lim sup1

Z t

b

f (s)ds

Khi đó, f là quá trình ngẫu nhiên khả đoán và f = f Do đó, không mất tínhtổng quát chúng ta có thể giả thiếtf ∈ M2([a, b]; R)là quá trình ngẫu nhiên khả

Z b

a

g(t)dBt

Như vậy với mỗif ∈ M2([a, b]; R), theo Bổ đề 1.1.6, tồn tại dãy quá trình

đơn giản{gn} sao cho

2

= E

Z b

a

[gn(t) − gm(t)]dBt

Z τ

ρ

(f (s) − g(s))dBs

Bây giờ ta mở rộng tích phân ngẫu nhiên Itô đối với trường hợp nhiềuchiều Lấy {Bt = (Bt1, ã ã ã , Btm)}t>0 là quá trình chuyển đông Brown m-chiều

xác định trên không gian xác suất đầy đủ (Ω, F , P) phù hợp với lọc {Ft} KýhiệuM2

([0, T ]; Rdìm)là họ tất cả các quá trìnhRdìm-giá trị, đo được, {Ft}-phùhợp {f (t) = (fij(t))dìm}06t6T sao cho

Z τ

ρ

f (t)dB(t)

|f (t)|dt < ∞ hÇu ch¾c ch¾n víi mäi T > 0.

§Þnh nghÜa 1.2.1 Mét qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn mét chiÒu, liªn tôc, phï hîp x(t)trªn t > 0 ®­îc gäi lµ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn It« nÕu nã cã d¹ng

NếuV ∈ C2,1(R ì R+; R), thì Vx = ∂V∂x; Vxx = ∂∂xV2.

Định lý 1.2.2 (Công thức Itô một chiều) Giả sử {x(t)}t>0 là quá trình Itô với

vi phân ngẫu nhiên

dx(t) = f (t)dt + g(t)dBt,trong đó f ∈ L1

Tiếp theo, chúng tôi trình bày công thức Itô nhiều chiều Lấy B(t) =(B1(t), ã ã ã , Bm(t))T, t > 0 là quá trình chuyển động Brown m-chiều xác địnhtrên không gian xác suất đầy đủ(Ω, F , P), {Ft}-phù hợp

Định nghĩa 1.2.3 Một quá trình ngẫu nhiên liên tục Rd-giá trị {Ft}-phù hợp

được gọi là quá trình Itô d-chiều nếu nó có dạng

(R+; Rd) và g = (gij)dìm ∈ L2

(R+; Rdìm).Khi đó chúng ta nói rằng x(t) có vi phân ngẫu nhiên dx(t) với t > 0, và viết là

dx(t) = f (t)dt + g(t)dBt

Định lý 1.2.4 (Công thức Itô nhiều chiều) Giả sử {x(t)}t>0 là quá trình Itôvới vi phân ngẫu nhiên

dx(t) = f (t)dt + g(t)dBt,

trong đó f ∈ L1

(R+; Rd) và g ∈ L2

(R+; Rdìm) Lấy V ∈ C2,1

(Rd ì R+; R).Khi đó V (x(t), t) cũng là quá trình ngẫu nhiên Itô với vi phân ngẫu nhiên đượcxác định bởi

dV (x(t), t) =Vt(x(t), t)+Vx(x(t), t)f (t)+1

2trace g

T(t)Vxx(x(t), t)g(t)
dt+ Vx(x(t), t)g(t)dBt (1.22)

Định lý 1.2.5 (Công thức tích phân từng phần) Lấy x(t), t > 0 là quá trìnhItô 1-chiều với vi phân ngẫu nhiên là

dx(t) = f (t)dt + g(t)dB(t),trong đó f ∈ L1

(R+; R) và g ∈ L2(R+; R1ìm) Lấy y(t), t > 0 là quá trìnhngẫu nhiên phù hợp biến phân giới nội Khi đó,

Ví dụ 1.2.6 Lấy B(t) là quá trình chuyển động Brown 1-chiều Tính tích phân

áp dụng công thức Itô với V (x, t) = e−2+x và dx(t) = dB(t) ta có

Trong mục này chúng ta áp dụng công thức Itô để ước lượng một số bất

đẳng thức quan trọng đối với tích phân ngẫu nhiên trong đó có bất đẳng thứcMartingale dạng mũ

Trong suốt mục này, chúng ta ký hiệuB(t) = (B1(t), ã ã ã , Bm(t))T, t >

0 là quá trình chuyển động Brown xác định trên không gian xác suất đầy đủ

(Ω, F , P), {Ft}t>0-phù hợp

Định lý 1.3.1 Giả sử p > 2 Lấy g ∈ M2

([0, T ]; Rdìm) sao choE

Nếu p = 2 thì đẳng thức xảy ra

Định lý 1.3.2 Với các giả thiết của Định lý 1.3.1 ta có

E sup

06t6T

Z t

0

g(s)dB(s)

... moment đối với< /h2>

nghiệm phương trình vi phân Itơ

2.1 Phương trình vi phân Itơ

Giả sử (Ω, F , P) không gian xác suất đầy đủ, với lọc {Ft}t>0...

(iii) Phương trình (2.2) thỏa mãn với t ∈ [t0, T ] với xác suất

Phương trình (2.1) gọi có nghiệm [t0, T ]

x(t) x(t) nghiệm phương trình

P... class="page_container" data-page="19">

với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 Từ định nghĩa vi phân ngẫu nhiên, phươngtrình(2.1) tương đương với phương trình tích phân ngẫu nhiên sau.

Định