Ứng dụng của lí thuyết đồng dư trong kỹ thuật mã vạch

Những ứng dụng của Lý thuyết số và Đại số tuyến tính cho phép nhận được những kết quả quan trọng trong hệ đếm, mã sửa sai và mật mã.. Số học đã hiện hữu trong các hoạt độngthực tiễn: Kỹ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TR

ƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG

NGHỆ AN - 2015

MỤC LỤC

TRANG

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Thuật toán và độ phức tạp của thuật toán 3

1.2 Phép tính đồng dư và các vấn đề liên quan 5

1.3 Biểu diễn số nguyên và các thuật toán số học 12

MỞ ĐẦU

Số học là một trong những kiến thức toán học lâu đời nhất Từ trước tớinay, người ta thường coi số học như một lĩnh vực đẹp, nhưng thuần túy lý thuyết củatoán học Với sự phát triển của khoa học máy tính và công nghệ thông tin, số học đãđóng góp những ứng dụng thực tế bất ngờ và quan trọng, đặc biệt trong lĩnh vực mãhóa thông tin

Dựa trên cơ sở Lý thuyết đồng dư , luận văn có mục đích tìm hiểu và trình bàycác kết quả cơ sở về kỹ thuật mã vạch, mã sửa sai Những ứng dụng của Lý thuyết

số và Đại số tuyến tính cho phép nhận được những kết quả quan trọng trong hệ đếm,

mã sửa sai và mật mã Qua đây, nhận thấy rằng nhiều kết quả toán học tưởng chừngchỉ có ý nghĩa lý thuyết , song lại mang đến nhiều kết quả bất ngờ và sâu sắc trongứng dụng thực tế, những kiến thức Số học sơ cấp nhưng có mối liên hệ với nhữngthành tựu mới trong Tin học và đời sống Số học đã hiện hữu trong các hoạt độngthực tiễn: Kỹ thuật máy tính, mật mã, trao đổi trực tuyến giữa các ngân hàng, thẻATM, truyền phát tín hiệu vệ tinh, chứng khoán, mã vạch, mã sửa sai…

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu cơ sở của việc áp dụng Số học vào một

số lĩnh vực ứng dụng của kỹ thuật mã vạch

Luận văn gồm hai chương Chương 1 trình bày các kiến thức về: thuật toán,

độ phức tạp của thuật toán, phép tính đồng dư, biểu diễn số nguyên và các thuật toán

số học Chương 2 trình bày một số vấn đề về: mã vạch, mã số, mã sửa sai, khoảng cách Hamming

Ngoài ra, chúng tôi cũng quan tâm đến khía cạnh thực tế của vấn đề: mã vạch,

mã hàng hóa, mã sách tiêu chuẩn quốc tế, Chúng tôi cũng cố gắng tìm hiểu, tuychưa được đầy đủ, các mã hàng hóa, mã văn hóa phẩm của Việt Nam và kiểmnghiệm các tiêu chuẩn giải mã cho các ví dụ cụ thể của các mã này

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình và chu

đáo của PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng kính trọng

và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người đã dành nhiều thời gian

và công sức cho tôi để hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn và gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáochuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau Đại học –Trường Đại học Vinh, những người đã tận tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho tôi hoàn thành khóa học

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn tới Trường Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện

tổ chức cho chúng tôi hoàn thành khóa học

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã cảm thông, ủng hộ và giúp đỡtrong suốt thời gian tác giả học cao học và viết luận văn

Mặc dù đã cố gắng nhưng luận văn còn nhiều thiếu sót, tác giả mong nhậnđược sự đóng góp của thầy cô giáo và các đồng nghiệp

Tác giả

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ1.1 Thuật toán và độ phức tạp của thuật toán

1.1.1 Khái niệm thuật toán Thuật toán là một quy tắc để với những dữ liệu ban đầu

đã cho, ta tìm được lời giải sau một thời gian hữu hạn

Một thuật toán cần phải thỏa mãn các yêu cầu sau đây:

- Tính hữu hạn Thuật toán cần phải kết thúc sau một số hữu hạn bước Khi

thuật toán ngừng, ta phải thu được câu trả lời cho vấn đề đặt ra

- Tính xác định Tại mỗi bước, thuật toán cần phải xác định nghĩa là chỉ rõ ra

việc cần làm

Ngoài ra, ta còn phải xét đến tính hiệu quả của thuật toán Có rất nhiều thuậttoán, về mặt lí thuyết là kết thúc sau hữu hạn bước, tuy nhiên thời gian "hữu hạn" đóvượt quá khả năng làm việc của chúng ta Những thuật toán như vậy sẽ không đượcxét ở đây vì chúng tôi chỉ quan tâm những thuật toán có thể sử dụng thật sự trên máytính

Cũng do mục tiêu nói trên, chúng ta cần phải chú ý đến độ phức tạp của thuậttoán Độ phức tạp của thuật toán có thể đo bằng không gian, tức là dung lượng bộnhớ của máy tính cần thiết để thực hiện thuật toán, và bằng thời gian, tức là thời gianmáy tính thực hiện thuật toán này Trong luận văn này, khi nói đến độ phức tạp của

thuật toán, chúng ta luôn hiểu độ phức tạp thời gian.

Dĩ nhiên, thời gian làm việc của máy tính khi chạy một thuật toán nào đókhông chỉ phụ thuộc vào thuật toán mà còn phụ thuộc vào máy tính đang được sử

dụng Vì thế, để có một tiêu chuẩn chung, ta sẽ đo độ phức tạp của một thuật toán

bằng số các phép tính phải làm khi thực hiện thuật toán Nhưng điều này lại phụthuộc vào độ lớn của dữ kiện đầu vào Trong những ứng dụng thực tiễn, ta chỉ cầnước lượng thật tốt độ phức tạp này Để làm điều đó, ta dùng khái niệm bậc O-lớn

1.1.2 Độ phức tạp của thuật toán Giả sử f n( ) và g n  là hai hàm xác định trêntập hợp các số nguyên dương Ta nói, f n( ) có bậc O-lớn của g( )n và viết

     

f n O g n nếu tồn tại một hằng số C 0 sao cho với n đủ lớn, các hàm f n( ) và

 

g n đều dương đồng thời thỏa mãn f n( )Cg n .

Ví dụ: Cho hai đa thức   k i, , , ,



 để với nđủ lớnthì f n g n( ), ( ) đều dương và f n( ) C g n ( )

1.1.3 Tính chất của bậc O-lớn Ta có những tính chất sau đây:

1.1.4 Định nghĩa Một thuật toán được gọi là có độ phức tạp đa thức nếu số các

phép tính cần thiết khi thực hiện thuật toán đó không vượt quá O log n( d ), trong đó n là

độ lớn của đầu vào và d là số nguyên dương nào đó.

Nói cách khác, nếu đầu vào là các số k-bit thì thời gian thực hiện thuật toán là

( )d

O k , tức là tương đương với một đa thức của k.

1.2 Phép tính đồng dư và các vấn đề liên quan

1.2.1 Định nghĩa Cho m 1 là một số nguyên Nếu a và b là các số nguyên mà

b

a  chia hết cho m , thì chúng ta nói rằng a và b đồng dư với nhau theo môđun m

và viết a b (mod )m và được gọi là một đồng dư thức

1.2.2 Tập các lớp đồng dư theo môđun m Cho m 1 là một số nguyên dương Tabiết rằng quan hệ đồng dư theo môđun m là một quan hệ tương đương trên tập sốnguyên Z , do đó tồn tại tập thương trên Z theo quan hệ tương đương này Vậy ta có

định nghĩa: Tập thương của tập số nguyên Ztrên quan hệ đồng dư theo môđun m

được gọi là tập hợp các lớp thặng dư môđun m và kí hiệu là Zm.

Mỗi phần tử A của Zm được gọi là một lớp thặng dư môđun m Hai lớpthặng dư môđun m hoặc bằng nhau hoặc không giao nhau và m là hợp của tất cảcác lớp thặng dư môđun m rời nhau

Giả sử AZm,a A Khi đó A a  xZ:x a (mod ) m  Phần tử a đượcgọi là phần tử đại diện của lớp thặng dư A và được gọi là một thặng dư môđun m.Tập Zm có đúng m phần tử Thật vậy, xét các lớp thặng dư môđun m gồm:

0,1, ,m  1. Ta chứng minh chúng gồm m lớp phân biệt Quả vậy, với

(0 , 1)

i j i j m  thì 0  i j m 1 nên i j, không đồng dư với nhau theo

môđun m hay i j. Vậy 0,1, ,m 1 là m lớp thặng dư phân biệt, chúng tạo nênmột con X gồm m phần tử của Zm. Giả sử xZm,x mq r q r  ; , Z,0 r m 1  

1.2.3 Vành các lớp đồng dư theo môđun m Trên tập hợp Zm, ta định nghĩa phép

toán cộng và phép toán nhân như sau

k l k l

k l kl

  



Chúng ta chứng minh được rằng Zm, ,   lập thành một vành giao hoán, có đơn vị.

Hơn nữa chúng ta có các kết quả sau: Vành Zm là một trường khi và chỉ khi m là số nguyên tố.

1.2.4 Định nghĩa Hàm số Euler ( )m là hàm số số học có giá trị tại mỗi số tựnhiên m 0 bằng số các số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m:

1 ( , ) 1

Hàm ( )m có nhiều ứng dụng vì nó là cấp của nhóm nhân các số nguyên khả

nghịch môđun m Hơn nữa, đối với hàm Euler ( )m ta có công thức Gauss là côngthức tổng trải trên các ước dương d của m :

đảo của a theo modm Từ đó cũng suy ra nghiệm của phương trình đồng dư tuyến

tính ax b (mod )m với ( , ) 1a m  là x a  ( ) 1m  b(mod )m

Các tính chất của hàm Euler được sử dụng để tính đồng dư của những lũy thừarất lớn Chẳng hạn, ta cần tính a n modk, trong đó n là một số nguyên lớn Giả sử ta

) 2 (mod 8 ) 2 (mod 0 2

999 999

Từ đó ta suy ra 2 999 8mod10, hay số 2 999 tận cùng bên phải là số 8

Ví dụ 3 Tìm số dư trong phép chia 2002 2003 chia cho 19.

Vì 2002  7 (mod 19 ) nên 2002 2003 7 2003 (mod 19 ).

7 3



 nên 7 5 49(mod )19 hay 7 5 11(mod ).19

Từ đó

2002  11(mod19).

Vậy số dư trong phép chia 2002 2003 chia cho 19 là r  11

Một dạng phát biểu tương đương với Định lý Euler là

1.2.6 Định lí Fermat bé Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho

Một cách độc lập, các nhà toán học Trung Quốc đã đưa ra một giả thuyết

(thường gọi là Giả thuyết Trung Quốc) nói rằng: Số tự nhiên p 1 là một số nguyên

tố khi và chỉ khi 2 p º 2(mod )p Đúng là, nếu p là số nguyên tố, thì 2 p º 2(mod )p Đây là trường hợp đặc biệt của Định lý bé Fermat Tuy thế, điều ngược lại(nếu 2p º 2(mod )p thì p là số nguyên tố) là sai Chẳng hạn, 2341º 2(mod341),nhưng 341 = 11.31 là hợp số Như vậy, mệnh đề ngược lại của Định lí Fermat békhông đúng Tuy nhiên, qua nhiều thống kê cho thấy rằng nếu một số nguyên thỏamãn kết luận của Định lí Fermat bé thì "có nhiều khả năng" nó là số nguyên tố Do

đó, dẫn xuất đến khái niệm sau

1.2.7 Số giả nguyên tố Muốn kiểm tra số n có là số nguyên tố không, ta lấy ngẫu

nhiên các số nguyên a và kiểm tra xem đồng dư thức a n a(mod )n có đúng không

Nếu nó không đúng với một giá trị a nào đó thì n là hợp số Nếu đồng dư thức đúng với một hoặc nhiều giá trị của a, thì ta nói rằng n là số nguyên tố với xác suất nào đó, hay n là một số giả nguyên tố (pseudoprime).

Nếu n là một hợp số và tồn tại một số nguyên a sao cho a n º a(mod )n ,

thì n được gọi là số giả nguyên tố cơ sở a

F Sarrus vào năm 1820 đã tìm thấy 341 = 11×31 là số giả nguyên tố cơ sở 2 đầu tiên

Một số nguyên n là số giả nguyên tố cơ sở a với mọi số nguyên a được gọi

là số Carmichael (chẳng hạn số 561).

1.2.8 Định lí phần dư Trung Hoa (Chinese Remainder Theorem) Giả sử m 1, ,m r

là các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau từng đôi một Khi đó, hệ phương trình đồng dư:

(mod )

) (mod

 được gọi là một căn

nguyên thủy modm.

Dùng Định lý số dư Trung Hoa, ta có kết quả: Nhóm nhân *

m

 là tích trực tiếp của các nhóm nhân theo mỗi lũy thừa cực đại của các ước nguyên tố của m.

Số nguyên dương x nhỏ nhất thỏa điều kiện

1.2.11 Căn nguyên thuỷ Cho các số nguyên dương p q, nguyên tố cùng nhau Khi

đó, q được gọi là căn nguyên thủy của p theo mod q nếu ord q p =j ( )p .

Xét dãy Fibonacci F n( ) xác định như sau

(1) 1; (2) 1; ( 2) ( ) ( 1).

F = F = F n+ =F n +F n+

Nếu số nguyên tố p là một ước của F n( ) và p không là ước của F m( ) với

m n< thì p được gọi là một ước số nguyên tố nguyên thuỷ của F n( ).

Định lý Carmichael, được đặt tên sau khi nhà toán học Mỹ là R.D Carmichael,

chỉ ra rằng với n lớn hơn 12, số hạng F n( ) có ít nhất một ước nguyên tố mà không

phải là ước của bất kỳ số hạng Fibonacci nào trước đó Ngoại lệ duy nhất cho n lên

F  có ước nguyên tố 2 (đó là F(3)) và ước nguyên tố 3 (đó là F(4))

1.2.12 Định lý Carmichael Mỗi số hạng Fibonacci, ngoài các trường hợp ngoại lệ

được liệt kê ở trên, có ít nhất một ước số nguyên tố nguyên thủy

1.2.13 Hàm số Carmichael Giá trị của hàm số Carmichael tại một số nguyên

dương n, ký hiệu bởi l ( )n , được định nghĩa là số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho

1(mod )

m

a º n với mọi số nguyên a sao cho a nguyên tố cùng nhau với n

Ví dụ l (1) 1; (2) 1; (3) = l = l = 2; (4)l = 2; (5)l = 4.

Chú ý rằng, bởi vì a- 1 là số chẵn với mọi số nguyên lẻ a nên aº 1(mod 2)

hay l (2) 1 = Tổng quát, theo Định lý Fermat bé ta có a p- 1 º 1(mod )p Do đó,

( )p p 1

l = - với mọi số nguyên tố p

1.2.14 Phân tích Fermat Cho n là số nguyên dương lẻ Giả sử n=ab với a b, làcác số nguyên Do n lẻ nên a b, đều lẻ Vì vậy, chúng ta có thể viết n=x2 - y2 với

-= Do a b, là các số nguyên lẻ nên x y, cũng là các số nguyên lẻ

Để tìm nghiệm của phương trình n=x2 - y2, quy trình được bắt đầu từ số nguyênnhỏ nhất m³ n và tìm nghiệm trong dãy số sau: m2 - n m,( + 1) 2 - n m,( + 2) 2 - n ,

dãy số sẽ dừng do m không thể vượt quá 1

2

n 

Thật vậy:

2 2

2

1 2

.Tất cả số hạng của biểu thức này là số nguyên Tuy nhiên phương pháp này

hiệu quả nhất khi n là tích của hai số nguyên tố gần nhau.

Ví dụ n= 3811 Ta bắt đầu tính và tìm nghiệm trong chuỗi như sau:

2 2 2 2 2 2 2

1.3 BiÓu diÔn sè nguyªn vµ c¸c thuËt to¸n sè häc

Những khái niệm đầu tiên về số đã có từ thời rất cổ xưa Những khái niệm đóphát sinh từ sự đếm Euclide (thế kỷ thứ III trước công nguyên) đã định nghĩa số tựnhiên là “tập hợp được tạo thành từ các đơn vị” Vào giai đoạn phát triển đầu tiên,loài người chỉ biết các số tự nhiên Nhưng các số ấy không đủ dùng ngay cả trongtrường hợp thực tế đơn giản nhất Thật vậy, nếu chỉ dùng số tự nhiên thì trong trườnghợp tổng quát một số tự nhiên này không thể chia cho một số tự nhiên khác Nhưngtrong thực tế lại thường thường cần phải chia, chẳng hạn 3 chia cho 4, 5 chia cho12, Không đưa phân số vào thì phép chia các số tự nhiên coi như không thực hiệnđược Nhưng ngay cả sau khi đã đưa vào các phân số thì phép tính trừ không phảiluôn thực hiên được Sự phát triển của đại số đòi hỏi phải đưa phép trừ vào toán học

và nó đã được các nhà toán học Ân Độ công nhận vào khoảng thế kỷ thứ VII Nhưvậy ta được những số mới ký hiệu như ngày nay là -1, -2, -3, Các số đó gọi là sốnguyên âm Dấu trừ đứng trước ghi lại nguồn gốc của số âm là do liên tiếp trừ đi đơn

vị Để thực hiện các phép tính cũng như các thuật toán trên các số nguyên, trước hết

ta biểu diễn số nguyên theo cơ số tuỳ ý

1.3.1 Định lý Giả sử g là số nguyên lớn hơn 1 Khi đó, mọi số nguyên n0 có thể viết duy nhất dưới dạng

0 1

1

a g a

n k k  k k  

trong đó a là các số nguyên, j 0a j g  1, j0,1, ,k và hệ số đầu tiên a k 0

Chứng minh Ta thực hiện liên tiếp phép chia n cho g:

10

, 0

0

gq a a b n

Nếu q 0 g, thì ta tiếp tục chia q cho 0 g để được

10

, 1

1 1

0 gq a a b

q

Tiếp tục quá trình trên, ta có

, , ,

1

b g b

s k

a  1 b l g ls b s1g b s.Lại như trên ta được a  s b s.Giả sử k  l, tức khắc ta có

1.3.2 Hệ cơ số Từ định lý trên đây, cho phép chỉ bằng g ký hiệu biểu thị g số tựnhiên đầu tiên 0,1, ,g  1, ta có thể biểu diễn được mọi số tự nhiên Các ký hiệu này

được gọi là các chữ số trong hệ cơ số g Cho n là số tự nhiên khác không, khi đó

0 1

1

a g

a

n k k  k k  

trong đó a là các số nguyên, j 0a j g 1, j 0,1, ,k với hệ số đầu tiên a k 0.

Ta viết (a a k k 1 a a 1 0 g) để chỉ số n trong hệ cơ số g Các hệ số a được gọi là j

các chữ số của n trong hệ cơ số g

Nhận xét Nếu số nguyên n biểu diễn trong hệ cơ số g có k chữ số thì

log1

trong đó ký hiệu log để chỉ logarit cơ số e Trong hệ cơ số tuỳ ý, ta có k  O (log n).

1.3.3 Hệ đếm thập phân Hệ cơ số 10 được gọi là hệ thập phân Trong tiếng Việt

tên của tất cả các số từ 1 cho tới một triệu gồm có 14 từ, chỉ các số 1, 2, 3, 4, 5, 5, 7,

8, 9, 10, 100, 1000, 10000, 1000000 Ngoài ra, để cho dễ đọc một số từ đã được biếnthể khi ghép: một thành “mốt”, năm thành “lăm”, mười thành “mươi” Cơ sở củacách tạo từ ở đây là số 10 và vì vậy hệ thống danh pháp của chúng ta là hệ đếm thậpphân Sỡ dĩ số 10 có vai trò đặc biệt là vì hai bàn tay chúng ta có 10 ngón

Ví dụ: Đối với số 1994 trong hệ thập phân, ta có:

1994 1 10 = ´ + ´ 9 10 + ´ 9 10 4 +

1.3.4 Hệ đếm nhị phân Hệ cơ số 2 được gọi là hệ nhị phân Hệ nhị phân có rất

nhiều ứng dụng, do chỉ dùng hai kí hiệu 0 và 1 và việc tính toán với các số trong hệnày rất đơn giản Máy tính sử dụng cách viết nhị phân, lí do là vì trong máy tính

người ta dựa trên một nguyên tắc vật lý đơn giản gọi là nguyên tắc “ Sáng, Tắt”: bóng

đèn sáng chỉ số 1, bóng đèn tắt chỉ số 0 Ta dùng “bít” để chỉ chữ số nhị phân 0 và 1.Một ký hiệu 0 hoặc 1 được gọi là một bít (viết tắt của chữ “binary digit”) Một số

nguyên biểu diễn bởi k chữ số 1 và 0 được gọi là một số k-bit Số tự nhiên n sẽ là một

số k-bit với k = [log2n] + 1

Chẳng hạn đối với số 1994 trong hệ thập phân, có

(1994)10 = (11111001010)2.Trong máy tính, bên cạnh hệ cơ số 2, người ta còn dùng hệ cơ số 8 hoặc cơ số 16 Lý

do chủ yếu là vì chuyển một số viết trong ở cơ số này sang cơ số kia sao cho trong

cơ số 2 sang cơ số 8, ta chỉ việc nhóm từ phải sang trái từng khối 3 chữ số, rồi

chuyển số được viết trong khối đó sang dạng thập phân

Số (11111001010)2 được tách thành các nhóm 1, 110, 010, 100, 110 Từ đó

(11111001010)2 = (16236)8.Máy tính nào cũng có giới hạn về độ lớn của các số có thể đưa vào tính toán.Giới hạn đó được gọi là cỡ từ của máy, ký hiệu bởi Cỡ từ thường là một luỹ thừacủa 2, chẳng hạnh 235 Để thực hiện các phép tính số học với những số nguyên lớnhơn cỡ từ, ta làm như sau: Muốn đưa một số n  vào máy, ta viết n dưới dạng cơ

số g và khi đó n được biểu diễn bằng những số không vượt quá cỡ từ Ví dụ, nếu cỡ

từ của máy là 235 thì có thể đưa một số có độ lớn cỡ 2350-1, ta chỉ cần dùng 10 số nhỏhơn cỡ từ của máy, bằng cách biểu diễn n trong cơ số 235 Như đã nói ở trên việcchuyển một số từ cơ số 2 sang cơ số 235 được thực hiện bằng cách nhóm từng khối 35chữ số

1.3.5 Thuật toán nhân nhanh hai số nguyên

Trong những thập kỷ cuối của thế kỷ XX, người ta tìm ra những thuật toánnhân với độ phức tạp bé hơn nhiều so với cách nhân thông thường Ta sử dụng tínhchất phân phối của phép nhân đối với phép cộng cac số nguyên:

Nếu aa1 a2,bb1 b2, thì aba1b1 a2b2 a2b1 a1b2

Điều đáng chú ý ở đây là, thay cho việc nhân hai số nguyên n bít, ta thực

hiện việc phép nhân các số có số chữ số nhỏ hơn, cùng với một số phép cộng Thực

ra điều này không có gì mới, ngay trong quan niệm ban đầu phép nhân a với b là phép cộng b lần số a Tuy nhiên để có một thuật toán nhân nhanh, ta không thể cộng b lần số a, mà phải tìm được một cách tối ưu nào đó để tách b và a thành những phần nhỏ hơn

in bên dưới Mỗi sản phẩm ấy được xác định bởi một chuỗi những con số, được gọi

là từ mã (codeword)

Ở bìa sau hầu hết các quyển sách ta cũng tìm thấy các mã vạch khác nhau,mỗi nhà xuất bản sách đều có thể được đồng nhất với một mã số theo cách đã địnhsẵn

Mã số, mã vạch được coi như "căn cước" cho hàng hoá có tiêu chuẩn, chấtlượng, nguồn gốc, xuất xứ rõ ràng, nhằm bảo vệ nhãn hiệu, thương hiệu sản phẩmhàng hóa của doanh nghiệp, trong bối cảnh hội nhập kinh tế quốc tế

2.1.1 Mã vạch Mã vạch là sự thể hiện thông tin trong các dạng nhìn thấy trên các bề

mặt của sản phẩm, hàng hóa mà máy móc có thể đọc được Nguyên thủy thì mã vạchlưu trữ dữ liệu theo bề rộng của các vạch được in song song cũng như của khoảngtrống giữa chúng, nhưng ngày nay chúng còn được in theo các mẫu của các điểm,theo các vòng tròn đồng tâm hay chúng ẩn trong các hình ảnh Mã vạch có thể đượcđọc bởi các thiết bị quét quang học gọi là máy đọc mã vạch hay được quét từ hìnhảnh bằng các phần mềm chuyên biệt

Nội dung của mã vạch là thông tin về sản phẩm như: Nước sản xuất, tên doanhnghiệp, lô, tiêu chuẩn chất lượng đăng ký, thông tin về kích thước sản phẩm, nơikiểm tra

Để tạo thuận lợi và nâng cao năng suất, hiệu quả trong bán hàng và quản lý kho người ta thường in trên hàng hóa một loại mã hiệu đặc biệt gọi là mã số, mã vạch của hàng hóa Mã số, mã vạch của