Chuyên đề ứng dụng phép biến hình trong hệ trục oxy

Khi đưa phép biến hình vào hệ trục Oxy để giải quyết bài toán thì cần phải hiểu rõ bài toán cần dùng phép biến hình nào, vận dụng tính chất nào, và sử dụng tốt biểu thức tọa độ của từng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

TỔ: TOÁN - TIN

CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG HỆ TRỤC Oxy

GV: Phan Đức Tiến

x y

O

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG HỆ TRỤC Oxy

Muc lục

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài:

Phép biến hình là một mảng kiến thức học sinh thấy hấp hẫn, có tính thực tế nhưng đòi hỏi tư duy cao, cách diễn đạt thì gắn gọn đầy thuyết phục Khi đưa phép biến hình vào hệ trục Oxy để giải quyết bài toán thì cần phải hiểu rõ bài toán cần dùng phép biến hình nào, vận dụng tính chất nào, và sử dụng tốt biểu thức tọa độ của từng phép biến hình ra làm sao mới giải quyết được bài toán

Một chuyên đề ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy sẽ giúp được quý thầy

cô và học sinh thích thú hơn trong tiết dạy và học, vừa có thể giải quyết một số bài toán khó như tìm tập hợp điểm, dựng hình, khoảng cánh , lập các phương trình đường

Mục đích nghiên cứu:

Chuyên đề nghiên cứu tập trung vào phép dời hình , các biểu thức tọa độ của từng phép biến hình, các bài toán cơ bản và ứng dụng các bài toán cơ bản vào giải một số bài toán trong mặt phẳng toạ độ Oxy Ứng dụng này giúp học sinh đặt niềm tin vào các tính chất của phép biến hình mà vận dụng vào các mảng toán học khác như hình học không gian, trong hệ trục toạ độ Oxyz, mặt phẳng phức và cả trong đồ thị hàm số một cách linh hoạt nhất

Giới hạn nghiên cứu chuyên đề:

Khi nói đến phép biến hình thì còn rất nhiều phép biến hình không phổ biến, nhưng nhờ nó mà việc chứng minh một số tính chất hình học được dễ dàng như phép nghịch đảo, phép co Đề tài chỉ giới hạn các phép biến hình thường dùng trong chương trình trung học cơ sở, trung học phổ thông nhưng nhờ ứng dụng này mà chúng ta có thể vận dụng để giải quyết được các bài toán trong mặt phẳng Oxy dễ dàng hơn , ngay cả đề thi tuyển sinh vào cao đẳng và đại học các năm trước và đề thi tốt nghiệp quốc gia

Đề tài được bắt đầu nghiên cứu vào tháng 5 năm 2011, và đưa vào khảo sát trên toàn học sinh khối 10 và khối 11của trường

Phương pháp nghiên cứu:

Cho học sinh tiếp cận phép biến hình, hiểu được tính chất, và định hướng vận dụng vào trung điểm, đường trung trực, đường phân giác, trọng tâm , tỉ lệ độ dài và các tính chất bảo tồn Tiến hành động viên, tìm hiểu và thống kê những học sinh chưa thích học môn hình học, ngại khó trong hình học Khảo sát học sinh về kiến thức phép biến hình, và kiến thức hình học cơ bản Đưa chuyên đề đến tổ Toán - Tin của trường góp ý

và áp dụng cho trường từ năm 2012, đưa lên hội thảo hội đồng bộ môn của tỉnh Thông tin phản hồi từ đồng nghiệp và học sinh về ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

là mới, dễ vận dụng và rất hiệu quả

NỘI DUNG

Kiến thức cơ sở:

Cho trước một tập hợp T các điểm (chẳng hạn tập hợp các điểm trên mặt phẳng, tập

hợp các điểm trong không gian hoặc một phần những tập hợp này) Một phép biến

hình f trong tập hợp T là một ánh xạ 1-1 của T vào chính nó Với mỗi M ∈ T, ta kí hiệu ảnh của M là f(M), và gọi M là tạo ảnh của f(M)

Với các phép biến hình trong tập T cho trước, chúng ta có những tính chất sau đây:

1 Tích của hai phép biến hình trong T là một phép biến hình trong T

2 Phép đồng nhất biến mỗi điểm M thuộc T thành chính nó cũng là một phép biến hình trong T

3 Cho trước một phép biến hình trong f : , thì ánh xạ f-1 là nghịch đảo của f

Một khái niệm cũng hay được sử dụng trong phép biến hình là điểm bất động Một điểm

O thuộc T được là điểm bất động của f nếu ta có f(O) = O Tương tự, một bất biến của phép biến hình f là một tính chất hình học được giữ nguyên không thay đổi trong phép biến hình f

Một phép biến hình bảo tồn độ dài đoạn thẳng là một phép dời hình Phép dời hình đặc

biệt quan trọng trong phép biến hình và có những tính chất sau:

i) Phép dời hình bảo tồn độ lớn của góc

ii)Phép dời hình biến một điểm thành một điểm, một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng … bảo tồn quan hệ thuộc nhau của các yếu tố hình học

iii) Phép dời hình biến hình H thành hình H’ bằng chính nó

iv) Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình

Căn cứ vào tính chất còn giữ nguyên hướng của góc định hướng hay không mà người ta còn phân biệt phép dời hình thuận và phép dời hình ngược

Một số phép dời hình quan trọng

1 Phép tịnh tiến theo : là phép biến hình trong mặt phẳng hay trong không gian sao cho vectơ nối tạo ảnh và ảnh luôn bằng một vec tơ cho trước ( được là vec tơ tịnh tiến) Tích của hai phép tịnh tiến theo và là phép tịnh tiến theo +

2 Phép quay quanh tâm O với góc α : là phép biến hình trong mặt phẳng sao cho với mỗi điểm M của mặt phẳng và ảnh M’ của nó, ta luôn có góc (theo chiều quay từ M tới M’ quanh O) Bằng α Tích của hai phép quay cùng tâm O với góc α và β là phép quay tâm O với góc α + β

3 Phép đối xứng tâm O : là phép biến hình trong mặt phẳng hay trong không gian biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận điểm O làm trung điểm

4 Phép đối xứng qua đường thẳng( trục) d : là phép biến hình trong mặt phẳng hay trong không gian biến mỗi điểm của d thành chính nó và mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận d làm đường thẳng trung trực

5 Phép quay góc α quanh trục d: là phép biến hình trong không gian biến mỗi điểm M thành M’ nằm trên mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d và sao cho góc

6 Phép đối xứng qua mặt phẳng (P): là phép biến hình trong không gian biến mỗi điểm của (P) thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn MM’

Một số phép biến hình không luôn là phép dời hình

1 Phép vị tự hệ số k ≠ 0 với tâm vị tự O: là phép biến hình trong mặt phẳng hay trong không gian biến mỗi điểm M thành M’ sao cho

2 Phép nghịch đảo hệ số k ≠ 0 với tâm nghịch đảo S : là phép biến hình trong tập hợp điểm khác S trong không gian hoặc trong tập hợp điểm khác S trong mặt phẳng biến mỗi điểm M khác S thành điểm M’ sao cho

Cơ sở lý luận: {kiến thức bổ sung}

Một số phép biến hình thường dùng trong hệ trục Oxy

Bài toán cơ bản

1 Phép đối xứng tâm trong hệ tọa độ Oxy

Bài toán 1 (BT1): Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm H(a ; b) Lập công thức của

phép đối xứng tâm H

Giải:

Giả sử M(x0 ; y0) là điểm bất kì, M’(x ;y) là điểm đối xứng của M qua tâm H Ta có 2.Phép đối xứng qua đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy

Bài toán 2 (BT2): Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng

d : Ax + By + C = 0 (A2 + B2 ≠ 0) Lập công thức của phép đối xứng trục d

Giải:

Giả sử M(x ; y) là điểm bất kì, M’(x’ ;y’) là điểm đối xứng của M qua đường thẳng d Ta

có trung điểm của đoạn ∈ d và (với là vec tơ chỉ phương của d) Ta có hệ phương trình: ,

ta suy ra được công thức sau:

i)

ii)

4 Phép tịnh tiến trong hệ tọa độ Oxy

Bài toán 3 (BT3): Trong hệ tọa độ Oxy, cho Lập công thức của phép tịnh tiến theo

Giải:

Giả sử M(x0 ; y0) là điểm bất kì, M’(x ; y) là ảnh của M qua phép tịnh tiến Ta có

5 Phép quay trong hệ tọa độ Oxy

Bài toán 4 (BT4): Trong hệ tọa độ Oxy cho phép quay R(I,α) Với I(a ; b) Tìm biểu thức tọa

độ của phép quay đó

(Vận dụng tính chất phép quay không khó để ta có biểu thức)

Giả sử M(x ; y) là điểm bất kì, M’(x’ ;y’) là ảnh của phép quay R(I,α)

Biểu thức tọa độ của phép quay là:

Khi tâm quay là O(0 ; 0)ta có :

Khi tâm quay là O(0 ; 0) và α = 900 ta có :

6 Phép vị tự trong hệ tọa độ Oxy

Bài toán 5 (BT5) Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(a ; b) và số thực k khác không Lập

công thức của phép vị tự tâm M với tỉ lệ k

Giải:

Giả sử M(x ; y) là điểm bất kì, M’(x’ ;y’) là ảnh của M qua phép tâm I với tỉ số k.Ta có

( 'x a y b, ' ) k x a y b( , )

Biểu thức tọa độ là:

x a k x a

y b k y b

− = −



 − = −

Giải quyết vấn đề:

Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

Bài 1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD với AB: x – 2y + 2 = 0 ,

AD : 2x + 3y – 2 = 0 và có tâm I(-1 ; 2) Viết phương trình các cạnh còn lại

Giải:

Ta có CD là đối xứng của AB qua tâm I(-1 ; 2) Với mỗi M’(x ; y) thuộc CD suy ra tồn tạn M(x0 ; y0) thuộc AB nhận I(-1 ; 2) làm tâm đối xứng Ta có biểu thức tọa độ (theo BT1)

Thay (1) vào phương trình AB ta được : (-2 – x) - 2(4 – y) + 2 = 0

Vậy phương trình đường thẳng CD: x – 2y + 8 = 0

Ta có BC là đối xứng của AD qua tâm I(-1 ; 2) Với mỗi N’(x ; y) thuộc BC suy ra tồn tạn N(x0 ; y0) thuộc AD nhận I(-1 ; 2) làm tâm đối xứng Ta có biểu thức tọa độ (1)

Thay (1) vào phương trình AD ta được : 2(-2 – x) + 3(4 – y) - 2 = 0

Vậy phương trình đường thẳng BC: 2x + 3y – 6 = 0

Bài 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho A(6 ; 5), B(-1 ; 1), M(a ; 0), N(a+1; 0) (a >0) Tìm

giá trị nào của a để BM+MN+NA nhỏ nhất

Giải:

Ta có (không đổi)

Gọi B’(x ; y) là ảnh của của B(-1 ; 1) qua phép tịnh tiến (theo BT3)

Ta có B’(0 ; 1) Khi đó BM + MN + NA = B’N +NA +1 nhỏ nhất, suy ra bài toán tìm N trên trục Ox để B’N + NA nhỏ nhất

Xét các điểm A, B điều có tung độ dương nên hai điểm nằm cùng phía trên trục hoành

Ta gọi B’’(x ; y) đối xứng với B’(0 ; 1) qua trục Ox (theo BT2) Ta được B”(0 ; -1)

Tính d(B’’,Ox) = 1, d(A,Ox) = 5, AB” cắt Ox tại H suy ra (theo BT5)

Ta được H(1 ; 0)

Ta thấy B’N + NA = B”N + NA ≥ B”A = B’’H + HA nên B’N + NA nhỏ nhất khi N≡H hay a + 1 = 1

Vậy để BM + MN + NA nhỏ nhất thì a = 0

Bài 3 Trong mặt phẳng Oxy, cho A(a ; 0), B( 0 ; a) (a >0) và M( 3 ; 2) Tìm giá trị

nào của a để AM + MB nhỏ nhất

Giải:

Xét phép quay tâm O(0 ; 0) với góc quay 900, ta có M(3 ; 2) biến thành M’(-2 ; 3) và A(a ;

0) biến thành A’(0 ; a) (theo BT4) và dễ thấy A’ trùng với B.

Xét AM + MB = A’M’ + MB = M’B + BM nhỏ nhất, suy ra bài toán tìm điểm B trên trục tung sao cho M’B + BM nhỏ nhất

Tính d(M’,Oy) = 2, d(M,Oy) = 3, MM’ cắt Oy tại B suy ra (BT5)

Ta được

Vậy để AM + MB nhỏ nhất thì

Bài 4 (ĐH-D-2010) Trong mặt phằng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3 ; -7),

trực tâm H(3 ; -1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2 ; 0) Xác định tọa độ của đỉnh C, biết C

có hoành độ dương

Giải:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình:

(C):

Tìm phương trình (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến

Phương trình đường tròn (C’): (theo BT3)

Phép đối xứng trục BC cũng biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) (vì BC = B’C’) Tọa độ của điểm B, C là nghiệm của hệ:

‘ (xc > 0)

Vậy

Bài 5.(thử sức trước kì thi THTT-số 403) Tính diện tích của tam giác đều nội tiếp

elip , nhận điểm A(0 ; 2) là đỉnh và trục tung làm trục đối xứng

Giải:

Gọi tam giác đều ABC cần tìm với A(0 ; 2), điểm B, C đối xứng nhau qua trục tung có tọa

độ B(x0; y0), C(-x0; y0), (theo BT2) với x0 > 0, y0 < 2

Độ dài cạnh tam giác đều: a = BC = 2x0

Độ dài đường cao h = AH = 2 – y0 , với H(0, y0) là trung điểm BC

Ta có :

Điểm

Diện tích đều ABC là:

Bài 6 .(thử sức trước kì thi THTT-số 404) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho

tam giác cân ABC (AB = AC) Biết các phương trình đường thẳng AB,BC tương ứng là (d1) : 2x + y – 1 = 0, (d2) : x + 4y + 3 = 0 Lập phương trình đường cao qua đỉnh B của tam giác ABC

Giải:

Tọa độ của điểm B:

Chọn A’(0 ; 1) thuộc (d1) khác với điểm B(1 ; -1)

Gọi A’H’ là đường thẳng qua A’ và vuông góc với (d2) tại H’

Ta được A’H’ : 4x – y + 1 = 0 và tọa độ điểm H’: ;

Gọi điểm C’ đối xứng với B qua H’, khi đó ta được (BT1)

Tồn tại phép vị tự tâm B tỉ số k biến AC thành A’C’ (k ≠ 0)

Suy ra đường cao (d3) qua đỉnh B(1 ; -1) của tam giác ABC vuông góc với A’C’, có vectơ pháp tuyến là ,

Đường cao (d3) : 31(x – 1) + 22(y + 1) = 0 < = > 31x + 22y – 9 = 0

Bài 7.(thử sức trước kì thi THTT-số 03-12/2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam

giác ABC vuông tại A có G là trọng tâm, B(-10 ; 1), C(10 ; 1) Xác định tọa độ đỉnh A biết diện tích tam giác ABG bằng 20

Giải:

Ta có diện tích S của tam giác BCG bằng với diện tích tam giác ABG

Phương trình đường thẳng BC: y = 1, độ dài BC = 20,

Ta được

Suy ra d(A,BC) = 3d(G,BC) = 6 (phép vị tự)

Khi đó điểm A nằm trên đường thẳng có phương trình: y = 7 hoặc y = - 5 (BT5)

Tam giác ABC vuông tại A nên đỉnh A nằm trên đường tròn đường kính BC

Phương trình đường tròn (BC) : x2 + (y – 1)2 = 100

Vậy tọa độ của đỉnh A có thể nhận là: (8 ; 7), (-8, 7), (8 ; -5) hay (-8 ; -5)

Bài 8.(thử sức trước kì thi THTT-số 04-1/2013)Trong mặt phẳng Oxy, cho đường

tròn (C) có phương trình x2 + y2 + 8x + 4y + 16 = 0 và đường thẳng d có phương trình Tìm trên d điểm M, trên (C) điểm N sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MN

Giải:

Ta gọi d’ là đối xứng của đường thẳng d qua tâm O(0 ; 0) Với mỗi H’(x ; y) thuộc d’ suy

ra tồn tạn H(x0 ; y0) thuộc AB nhận O(0 ; 0) làm tâm đối xứng Ta có biểu thức tọa độ (theo

BT1) là : (1)

Thay (1) vào phương trình d ta được : – x – y – 5 = 0

Vậy phương trình đường thẳng d’: x + y + 5 = 0

Lấy trên d điểm M, trên (C) điểm N sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MN thì điểm

N đối xứng với M qua tâm O, nên N thuộc d’

• K

A’ • • •

• B

• A

• C

O •

Bài 9 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có , đường cao BH : , trung điểm BC là

và trực tâm H(0 ; -10) Biết tung độ của điểm B âm Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C

Giải:

Ta gọi d là đối xứng của đường thẳng BH qua tâm Với mỗi H’(x ; y) thuộc d suy ra tồn tạn H(x0 ; y0) thuộc BH nhận M làm tâm đối xứng Ta có biểu thức tọa độ (theo BT1) là :

(1) Thay (1) vào phương trình BH ta được :

Phương trình đường thẳng d:

Điểm C là ảnh của B qua phép đối xứng tâm M nên C thuộc đường thẳng d

Ta có AC vuông góc với BH và , suy ra khoảng cách từ C đến H là:

( và BH // d )

Điểm C nằm trên đường tròn tâm H với bán kính , với phương trình:

Tọa độ của điểm C:

Với C(8 ; -14) suy ra B(-7 ; 11) (loại)

Với C(4 ; -2) suy ra B(-3 ; -1) (nhận ) và ,( A là trực tâm tam giác BHC)

Bài 10 { Bài 7, đề thi minh hoạ - Kì thi THPT quốc gia năm 2015 của Bộ giáo dục và Đào

tạo}

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác OAB có các đỉnh A và B thuộc đường thẳng ∆ : 4x + 3y – 12 = 0 và điểm K(6 ; 6) là tâm của đường tròn bang tiếp góc O Gọi C

là điểm nằm trên ∆ sao cho AC = AO và các điểm C , B nằm khác phía so với điểm A Biết điểm C có hoành độ bằng , tìm tọa độ các đỉnh A, B

Giải.

Hình vẽ: {minh họa}

Vì C ∈ ∆ và có hoành độ (gt)

nên gọi y0 là tung độ của C, ta có:

Suy ra

Gọi A(3t, 4 – 4t) ∈ ∆ Ta có OA = CA (gt) { đx trục }

hay

Vậy A(3; 0)

Vì K(6; 6) nên phương trình đường phân giác OK của góc có phương trình y = x

D

K H

C

M

B

Gọi A’(x’; y’) là ảnh của điểm A(3; 0) qua trục OK: y = x (theo BT2)

Ta suy ra A’(0; 3) ∈ OB, nên OB có phương trình : x = 0 { qua O và qua A’}

Điểm B là giao điểm của đường OB và đường thẳng ∆

Tọa độ của B là nghiệm của hệ ;

Vậy B(0; 4)

Bài 11 { Bài 8, đề thi chính thức - Kì thi THPT quốc gia năm 2015 của Bộ giáo dục và

Đào tạo}

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC; D là điểm đối xúng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng x – y + 10 = 0 Tìm tọa độ điểm A

Giải.

Hình vẽ: {minh họa}

Gọi M là trung điểm AC

Ta có M(t, t+10) thuộc đường thẳng x – y + 10 = 0,

và HM = KM = ½ AC { trung tuyến = ½ cạnh h }

hay

Suy ra M(0; 10)

Ta có tam giác ABD cân tại A, nên {AB tiếp tuyến,}

Mặt khác ta đã có AM = MD, nên A và K đốinxúng nhau qua trục HM

Gọi A(x’; y’) là ảnh của điểm K(9; -3) qua trục HM : 3x – y +10 = 0 (theo BT2)