Sự tồn tại các điểm giả bất động bộ bốn trong không gian giả meetric nón có thứ tự bộ phận

Sự tồn tại các điểm giả bất động bộ bốn trong không gian2.1 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong khônggian mêtric nón có thứ tự bộ phận.. 162.2 Một số kết quả về sự tồ

Chương 2 Sự tồn tại các điểm giả bất động bộ bốn trong không gian

2.1 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong khônggian mêtric nón có thứ tự bộ phận 162.2 Một số kết quả về sự tồn tại điểm giả bất động bộ bốn trongkhông gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận 20

Mở đầu

Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu của giảitích hàm, nó có nhiều ứng dụng trong giải tích và một số ngành toán họckhác Do đó nó được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thu đượcnhiều kết quả Định lí điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gianmêtric đầy đủ của Banach đã được mở rộng cho nhiều loại không gian khácnhau Một trong những hướng mở rộng đó là giảm bớt điều kiện trong địnhnghĩa mêtric để thu được các kết quả tổng quát hơn Sau đó người ta nghiêncứu sự tồn tại các điểm bất động của các ánh xạ trong của không gian vừa

định nghĩa Những người thu được nhiều kết quả theo hướng này là: J S.Ume, R A Stoltenbeg, C S Wong, H L Guang và Z Xian,

Năm 2006, G Bhaskar và Laksmikantham [5] đã đưa ra khái niệm

điểm bất động bộ đôi và chứng minh một số định lí về sự tồn tại của điểmbất động bộ đôi trong không gian mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận Kháiniệm điểm bất động bộ ba được giới thiệu và nghiên cứu bởi V Berinde và

M Borcut [4] vào năm 2011 Gần đây, E Karapinar ([7], [8]) đã đưa kháiniệm điểm bất động bộ bốn của ánh xạ từ không gian tích X4 vào X vànghiên cứu một số định lí bề sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong khônggian mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận

Năm 2007, Huang Long - Guang và Zhang Xian [6] đã mở rộng lớpkhông gian mêtric bằng cách thay tập hợp các số thực R bởi một không gianBanach thực có thứ tự bộ phận và đã đưa ra khái niệm không gian mêtricnón Sau đó, vấn đề về sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtricnón đã được nhiều người quan tâm, nghiên cứu và thu được nhiều kết quả.Năm 2013, Lê Thị Dung [1] đã giới thiệu không gian giả mêtric nón

và nghiên cứu sự tồn tại điểm giả bất động trong không gian giả mêtric nón.Một vấn đề đặt ra ở đây là, các kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ bốntrong không gian mêtric và không gian mêtric nón có mở rộng được chokhông gian giả mêtric nón hay không? Để tìm hiểu về lý thuyết điểm bất

động và tập dượt nghiên cứu khoa học chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứu

này nhằm đưa ra khái niệm điểm giả bất động bộ bốn trong không gian giảmêtric nón và xem xét các kết quả tương tự như sự tồn tại điểm bất động bộbốn trông không gian mêtric còn đúng cho điểm giả bất động bộ bốn trongkhông gian giả mêtric nón nữa hay không Từ đó chúng tôi chọn đề tài luậnvăn của mình là "Sự tồn tại các điểm giả bất động bộ bốn trong khônggian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận"

Với mục đích đó, luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 Không gian giả mêtric nón

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơbản của tôpô đại cương, giải tích hàm có liên quan đến nội dung của luậnvăn Trình bày định nghĩa, ví dụ và các tính chất của không gian giả mêtricnón

Chương 2 Sự tồn tại các điểm giả bất động bộ bốn trong không giangiả mêtric nón có thứ tự bộ phận

Trong chương này, chúng tôi đưa ra các khái niệm điểm giả bất động

bộ bốn, điểm giả chung bộ bốn và điểm giả bất động chung bộ bốn trongkhông gian giả mêtric nón Sau đó chúng tôi mở rộng một số kết quả về

sự tồn tại điểm bất động và điểm bất động chung bộ bốn trong không gianmêtric có thứ tự bộ phận cho không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phậnbằng cách đưa ra và chứng minh các Định lí 2.2.2, 2.2.6, 2.2.7 và các Hệquả 2.2.3, 2.2.4, 2.2.8, 2.2.9

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình của PGS TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc của mình đến Thầy và xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Phòngsau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Sư Phạm Toán và quý thầy, cô trong tổGiải tích của Trường Đại học Vinh, Trường Đại học Sài Gòn đã giúp đỡ tôitrong thời gian học tập, rèn luyện và hoàn thành luận văn này

Qua đây, tác giả gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường THPT TamPhú, Q.Thủ Đức, Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợicho tôi trong suốt thời gian học tập

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là cácbạn trong lớp Cao học 21 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tácgiả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa Quý thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 8 năm 2015

Tác giả

Lê Thanh Hiếu

Chương 1 Không gian giả mêtric nón

Chương này, trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về khônggian giả mêtric, không gian mêtric, ánh xạ liên tục, mà chúng cần dùngtrong luận văn

1.1 Một số kiến chức chuẩn bị

Mục này, dành cho việc giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ sởcần dùng trong luận văn

1.1.1 Định nghĩa ([3]) Cho tập hợp X Họ T các tập con của X được gọi

là tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau

(i) ỉ, X ∈ T ;

(ii) Nếu Gi ∈ T , i ∈ I thì S

i∈I

Gi ∈ T ;(iii) Nếu G1, G2 ∈ T thì G1T G2 ∈ T

Tập hợp X cùng với tôpô T trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu

là (X, T ) hoặc X

Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô

Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở trong X

Giả sử E⊂X Tập E được gọi là tập đóng trong X nếu X \ E là tập mở.1.1.2 Định nghĩa ([3]) Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi

là lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊂ A.Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U(x) là họ tất cả các lân cận tại x HọB(x) ⊂ U (x) được gọi là cơ sở lân cận của x nếu với mọi U ∈ U(x) tồntại V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U

1.1.3 Định nghĩa ([3]) Dãy {xn} trong không gian tôpô X được gọi làhội tụ tới x ∈ X nếu với mọi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho

xn ∈ U với mọi n ≥ n0 Khi đó, ta kí hiệu

xn → x hoặc lim

n→∞xn = x

1.1.4 Định nghĩa ([3]) Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên đề

đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận B(x) cólực lượng đếm được

Không gian tôpô X được gọi là T1− không gian nếu ∀x, y ∈ X, x 6= ytồn tại các lân cận U cuả x và lân cận V của y sao cho y 6∈ U và x 6∈ XKhông gian tôpô X được gọi là T2− không gian hay không gian Haus-dorff nếu hai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x 6= y tồn tại các lân cận tương ứng

Ux, Uy của x, y sao cho Ux∩ Uy = ỉ

Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong X mà hội tụ thì hội

tụ tới một điểm duy nhất

1.1.5 Định nghĩa ([3]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X → Y

ánh xạ f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của f(x),tồn tại lân cận U của x sao cho f(U) ⊂ V ánh xạ f được gọi là liên tụctrên X (nói gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X

1.1.6 Định lí ([3]) Giả sử X và Y là các không gian tôpô, f : X → Y.Khi đó các điều kiện sau đây tương đương

i)f liên tục trên X;

ii) Nếu E là tập mở trong Y thì f−1(E) mở trong X;

iii) Nếu E là tập đóng trong Y thì f−1(E) đóng trong X

1.1.7 Định nghĩa ([3]) Giả sử X là tập khác rỗng và d : X ì X → R.Hàm d được gọi là một mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:i) 0 ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;

iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X

Tập X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và kýhiệu là (X, d) hoặc X

1.1.8 Định nghĩa ([3]) Cho tập X khác rỗng và ánh xạ

d :X ì X → R(x, y) → d(x, y)

ánh xạ d được gọi là giả khoảng cách hay là giả mêtric trên X nếu d thỏamãn 3 tiên đề sau đây với bất kỳ x, y, z thuộc vào X

i) 0 ≤ d(x, y), d(x, y) = 0 nếu x = y;

ii) d(x, y) = d(y, x);

ii) p(λx) = |λ|p(x) với mọi x ∈ E và mọi λ ∈ K;

iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ E

được gọi là chuẩn trên không gian véctơ E Số p(x) được gọi là chuẩn củavéctơ x ∈ E Ta thường kí hiệu chuẩn của x là k x k Không gian véctơ Ecùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là không gian định chuẩn, kíhiệu (E, k k)

1.1.10 Mệnh đề ([3]) Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức

d(x, y) =k x − y k, ∀x, y ∈ Exác định một mêtric trên E Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn haymêtric chuẩn

1.1.11 Định nghĩa ([3]) Một không gian định chuẩn mà đầy đủ theo mêtricsinh bởi chuẩn thì được gọi là một không gian Banach

1.1.12 Định lí ([3]) Nếu E là không gian định chuẩn thì ánh xạ chuẩn

x → kxk, ∀x ∈ E;

phép cộng: x + y → x + y, ∀(x, y) ∈ E ì E và phép nhân với vô hướng;(λ, x) → λx, ∀(λ, x) ∈ K ì E là các ánh xạ liên tục

1.1.13 Định lí ([3]).Giả sử E là không gian định chuẩn Khi đó, với mỗi

a ∈ E và mỗi λ ∈ K, λ 6= 0 các ánh xạ

x → x + a

x → λx, ∀x ∈ E

là phép đồng phôi từ E lên E

1.2 Nón trong không gian Banach

Mục này trình bày một số vấn đề cơ bản về nón trong không gianBanach

1.2.1 Định nghĩa ([6]) Cho E là không gian Banach trên trường số thực

R Tập con P của E được gọi là nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau

3) Giả sử C[a,b] là tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực liên tục trên [a, b]

Ta đã biết C[a,b] là không gian Banach với chuẩn

Khi đó, P thỏa mãn 3 điều kiện:

Cho P là một nón trong không gian Banach E Khi đó, trên E xét quan

hệ thứ tự ≤ xác định bởi P như sau x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P Chúng

ta quy ước x < y nếu x ≤ y và x 6= y, còn x  y nếu y − x ∈ intP vớiintP là phần trong của P

1.2.3 Bổ đề ([6]) Giả sử P là nón trong không gian Banach E, a, b, c ∈ E

và α là số thực dương Khi đó,

i) Nếu a  b và b  c thì a  c;

ii) Nếu a ≤ b và b  c thì a  c;

iii) Nếu a  b, c  d thì a + c  b + d;

iv) αintP ⊂ intP ;

v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP, tồn tại 0 < γ < 1 sao cho kγxk < δ;vi) Với mỗi c1 ∈ intP và c2 ∈ intP tồn tại d ∈ intP sao cho c1  d

nếu x ∈ E mà kxk < δ thì c − x ∈ intP Với δ > 0 xác định như trên tồntại n0 ∈ N sao cho

kxnk < δ ∀n > n0.Suy ra c − x ∈ intP với mọi n ≥ n0 Do đó xn  c với mọi n ≥ n0 

1.3 Không gian giả mêtric nón

Từ đây về sau, ta quy ước P là một nón trong không gian Banach thực

E sao cho intP 6= ∅ , ≤,  là các thứ tự bộ phận trên E được xác định bởiP

i) 0 ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X, d(x, y) = 0 nếu x = y;

ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;

iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X

Tập X cùng với khoảng cách nón d trên X được gọi là không gian giảmêtric nón và được kí hiệu là (X, d) hoặc X

1.3.2 Ví dụ 1) ([1]) Giả sử L[a,b] là tập các hàm nhận giá trị thực, khả tíchtrên đoạn [a, b] và d : L[a,b]ì L[a,b] → R là hàm được cho bởi

mọi f, g ∈ L[a,b] Giả sử f, g, h ∈ L[a,b] Ta có

|h(x) − g(x)|dx = d(f, h) + d(h, g)

Chú ý 1) Nếu d là giả mêtric nón trên X và thỏa mãn các điều kiệnd(x, y) = 0kéo theo x = y thì d là mêtric nón trên X Như vậy không gianmêtric nón là trường hợp đặc biệt của không gian giả mêtric nón

2) Trong ví dụ trên d không phải là mêtric nón trên L[a,b] Thật vậy lấy

Khi đó f, g khả tích trên [a, b], nghĩa là f và g ∈ L[a,b] Rõ ràng f 6= gnhưng d(f, g) = Rb

X = {f ∈ C[a,b] : f có đạo hàm liên tục trên [a, b]}

Ta thấy rằng d không là mêtric nón Thật vậy, nếu ta xét các hàm

f, g ∈ X với f(x) = x, g(x) = x + 1 với mọi x ∈ [a, b] thì f 6= g nhưngd(f, g) = 0

Từ đây về sau, ta giả thiết (X, d) là không gian giả mêtric nón với dnhận giá trị trong nón P

1.3.4 Định nghĩa ([1]) Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, với bất

Ai ∈ T nên tồn tại c ∈ intP sao cho B(x, c) ⊂ Ai Suy ra

B(x, c) ⊂ Ai ⊂ ∪{Ai : i ∈ I}

Do đó

∪{Ai : i ∈ I} ∈ T Giả sử A ∈ T , B ∈ T Lấy bất kỳ x ∈ A ∩ B Khi đó, x ∈ A, x ∈ B

Do A ∈ T , B ∈ T nên tồn tại c1 và c2 ∈ intP sao cho B(x, c1) ⊂ A vàB(x, c2) ⊂ B

Theo Bổ đề 1.2.3 vii) tồn tại c ∈ intP sao cho c  c1 và c  c2 Từ

đó suy ra B(x, c) ⊂ B(x, c1) ∩ B(x, c2) ⊂ A ∩ B.Do đó, A ∩ B ∈ T Vậy T là một tôpô trên X

ii) Giả sử x ∈ B(a, c) Khi đó 0 ≤ d(x, a)  c Đặt c0

= c − d(x, a) Vìd(x, a)  c nên ta có c0

∈ intP Với mọi y ∈ B(x, c0

) ta có d(y, x)  c0

Do đó từ điều kiện c) của Định nghĩa 1.3.1 suy ra

d(y, a) ≤ d(y, x) + d(a, x)  c0 + d(x, a) = c − d(x, a) + d(x, a) = c

1.3.6 Hệ quả ([1]) Mọi hình cầu mở trong X là tập mở trong X Chứngminh Từ chứng minh Mệnh đề 1.3.5 (ii) suy ra B(a, c) là tập mở 1.3.7 Định lí ([1]) Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, {xn} ⊂

X, a ∈ X Khi đó {xn} hội tụ tới a khi và chỉ khi với mỗi c ∈ intP tồn tại

số tự nhiên nc sao cho d(a, xn)  c với mọi n ≥ nc

Chứng minh Giả sử xn → a Khi đó, với mỗi c ∈ intP Vì B(a, c) ∈ Tnên tồn tại số tự nhiên nc sao cho xn ∈ B(a, c) với mọi n ≥ nc Do đó,

1.3.8 Mệnh đề ([1]) Giả sử {xn} là dãy trong X, a và b ∈ X Khi đó,a) Nếu xn → a và xn → b thì d(a, b) = 0;

b) xn → a khi và chỉ khi xn → x với mọi x ∈ Fa, trong đó Fa = {x ∈

b) Điều kiện cần Giả sử xn → a Ta cần chứng minh xn → x, với mọi

x ∈ Fa Thật vậy, từ xn → a suy ra với mọi c ∈ intP tồn tại nc ∈ N saocho d(a, xn)  c với mọi n ≥ nc.Với mọi x ∈ Fa ta có d(x, a) = 0 Do đó

điểm a, do đó X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất

Chứng minh Giả sử U là lân cận bất kỳ của điểm a Khi đó, tồn tại

r ∈ intP sao cho B(a, r) ⊂ U Vì c

n → 0khi n → ∞ và r ∈ intP nên theo

Bổ đề 1.2.3, suy ra tồn tại n sao cho c

n  r Do đó, B(a, c

n) ⊂ B(a, r) ⊂ U.Suy ra U là cơ sở lân cận tại điểm a

Hiển nhiên U là tập đếm được Do đó X là không gian thỏa mãn tiên đề

d(x, b0) ≤ d(x, b) + d(b, b0) = d(x, b) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra d(x, b) = d(x, b0)

b) Giả sử {xn} ⊂ Fa và xn → x ∈ X Vì X thỏa mãn tiên đề đếm đượcthứ nhất nên để chứng minh Fa đóng ta chỉ cần chứng minh x ∈ Fa Vì

xn → xnên với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc sao cho d(xn, x)  cvớimọi n ≥ nc Vì xn ∈ Fa với mọi n nên d(xn, a) = 0 với mọi n = 1, 2,

d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, y) + d(y, b) = d(x, y)

Do đó d(a, b) = d(x, y)

1.3.11 Định nghĩa ([1]) Cho X là không gian giả mêtric nón Một dãy{xn} trong X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi  > 0, tồn tại n0 ∈ Nsao cho với mọi n, m ∈ N mà m > n ≥ n0 thì d(xn, xm) < 

Không gian giả mêtric nón được gọi là đầy đủ nếu với mọi dãy Cauchytrong X đều hội tụ Tập con A ⊂ X được gọi là tập đầy đủ nếu mọi dãyCauchy trong A hội tụ tới điểm thuộc A

Mọi tập con đầy đủ trong không gian giả mêtric nón là tập đóng Mọitập đóng của không gian giả mêtric nón đầy đủ là tập đầy đủ

1.3.12 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) là không gian giả mêtric nón ánhxạ g : X −→ X được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu {xn} là dãy trong X vàhội tụ tới x thì g(xn) → g(x)

Chương 2

Sự tồn tại điểm giả bất động bộ bốn trong không

gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận

Chương này đưa ra khái niệm điểm giả bất động bộ bốn trong khônggian giả mêtric nón và xét xem có thể mở rộng một số kết quả về sự tồn tại

điểm bất động bộ bốn trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận cho khônggian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận hay không?

2.1 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận

Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động bộ bốncủa các ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric có thứ tự

bộ phận

2.1.1 Định nghĩa ([8]) Cho tập hợp X và "" là một quan hệ hai ngôitrên X Quan hệ "" được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên X nếu thỏamãn các điều kiện sau

i) x  x với mọi x ∈ X;

ii) Nếu x  y và y  x thì x = y với mọi x, y ∈ X;

iii) Từ x  y, y  z suy ra x  z với mọi x, y, z ∈ X

trong đó ta viết a  b thay b  a.

x0  F (x0, y0, z0, w0), y0  F (x0, w0, z0, y0),

z0  F (z0, y0, x0, w0), w0  F (z0, w0, x0, y0)

Khi đó, nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn

(a) F là ánh xạ liên tục

(b) X có các tính chất

- Từ {xn} là dãy tăng và xn → x suy ra xn  x với mọi n ∈ N,

- Từ {yn}là dãy giảm và yn → y suy ra yn  y với mọi n ∈ N,

thì F có điểm bất động bộ bốn

2.1.8 Hệ quả ([8]) Cho F : X4 → X là ánh xạ có tính chất đơn điệuhỗn hợp trên X và k ∈ [0, 1) Với mọi (x, y, z, w), (u, y, r, t) thuộc X4 mà(u, y, r, t) 6 (x, y, z, w) ta có

d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) ≤ k

4[d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t)].

Giả sử tồn tại (x0, y0, z0, w0) ∈ X4 thỏa mãn

x0  F (x0, y0, z0, w0), y0  F (x0, w0, z0, y0),

z0  F (z0, y0, x0, w0), w0  F (z0, w0, x0, y0)

Khi đó, nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện

(a) F là ánh xạ liên tục hoặc

(b) X có các tính chất

- Từ {xn} là dãy tăng và xn → x suy ra xn  xvới mọi n ∈ N,

- Từ {yn} là dãy giảm và yn → y suy ra yn  y với mọi n ∈ N,thì F có điểm bất động bộ bốn

2.1.9 Định lí ([7]) Cho F : X4 → X là ánh xạ giao hoán với g : X → X,

F (X4) ⊂ g(X) và F có tính chất g - đơn điệu hỗn hợp trên X, g(X) làkhông gian con đầy đủ của X

Giả sử tồn tại φ ∈ Φ2 sao cho với mọi (x, y, z, w), (u, v, r, t) thuộc X4 mà(g(u), g(v), g(r), g(t)) 6 (g(x), g(y), g(z), g(w)) ta có

d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) ≤ φ(1

4[d(g(x), g(u)) + d(g(y), g(v))+d(g(z), g(r)) + d(g(w), g(t))])

và tồn tại (x0, y0, z0, w0) ∈ X4 thỏa mãn

g(x0)  F (x0, y0, z0, w0), g(y0)  F (x0, w0, z0, y0),

g(z0)  F (z0, y0, x0, w0), g(w0)  F (z0, w0, x0, y0)

Khi đó, nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện

(a) F là ánh xạ liên tục hoặc

(b) X có các tính chất

- Từ {xn} là dãy tăng và xn → x suy ra xn  xvới mọi n ∈ N,

- Từ {yn} là dãy giảm và yn → y suy ra yn  y với mọi n ∈ N,thì F và g có điểm chung bộ bốn