Nhóm lie các phép biến đổi và ứng dụng vào việc giải phương trình vi phân

262.2 ứng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số vào giải phươngtrình vi phân cấp I.. Bản luận văn của chúng tôi dựa vào các kết quả đã biết về đại số, nhóm Lie,nhóm Lie các phép bi

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Mục lục

1.1 Nhóm Lie 51.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 81.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 21

2 ứng dụng tính đối xứng vào việc giải phương trình vi phân 262.1 Hệ tọa độ chính tắc 262.2 ứng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số vào giải phươngtrình vi phân cấp I 302.3 ứng dụng đại số Lie để giải phương trình vi phân bậc cao 33

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong toán học, nhóm Lie được đặt tên theo nhà toán học người Na Uy đó làSophus Lie, là một nhóm và cũng là một đa tạp trơn, với tính chất là các toán tửnhóm tương thích với cấu trúc trơn Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển củacác đối xứng liên tục của các cấu trúc toán học Điều này đã làm cho nhóm Lie làcông cụ cho một số ngành của Toán học hiện đại, Vật lý lý thuyết,

Bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp, chúng có thể nghiên cứu sử dụng giải tích viphân, tương phản với trường hợp các nhóm tôpô tổng quát hơn Một trong những ýtưởng chính trong lý thuyết của nhóm Lie, đề ra bởi Sophus Lie là thay thế cấu trúctoàn cục, nhóm với phiên bản mang tính địa phương của nó hay còn gọi là phiên bản

đã được làm tuyến tính hóa, mà Lie gọi là nhóm cực nhỏ mà bây giờ được biết đếnnhư là đại số Lie

Nhóm Lie đã cung cấp một phương tiện tự nhiên để phân tích các đối xứng liêntục của các phương trình vi phân, trong một cách thức như các nhóm hoán vị được sửdụng trong lý thuyết Galois để phân tích các đối xứng rời rạc của các phương trình

Bản luận văn của chúng tôi dựa vào các kết quả đã biết về đại số, nhóm Lie,nhóm Lie các phép biến đổi và các khái niệm liên quan để đọc hiểu và trình bàylại một cách có hệ thống các kết quả về nhóm Lie các phép biến đổi và ứng dụngcác kết quả thu được trên nhóm Lie các phép biến đổi để giải phương trình vi phâncấp 1, phương trình vi phân cấp cao.

2 Nội dung nghiên cứu của luận văn

Luận văn tập trung trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả về nhóm Liemột tham số, nhóm Lie hai tham số và các ứng dụng của chúng trong việc giải phươngtrình vi phân

3 Tổng quan và cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Danh mục các công trìnhliên quan đến luận văn, nội dung luận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nội dung trong chương này, trước hết chúng tôitrình bày các khái niệm cơ bản, tổng quát về nhóm các phép biến đổi, nhóm Lie cácphép biến đổi một tham số, hai tham số; đại số Lie, tính giải được, biến đổi vi phân,toán tử sinh vi phân, Định lý cơ bản Lie thứ nhất, thứ hai,

Chương 2:ứng dụng tính đối xứng vào việc giải phương trình vi phân Nộidung chính của chương này là chúng tôi trình bày ứng dụng tính đối xứng của nhómLie các phép biến đổi một tham số để giải phương trình vi phân cấp 1 và ứng dụng

đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của Thầygiáo TS Nguyễn Quốc Thơ Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâusắc của mình tới Thầy, người đã tận tình hướng dẫn, dạy bảo, giúp đỡ tận tình, chu

đáo và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và thựchiện luận văn

Tác giả xin được cảm ơn các Thầy (Cô) giáo trong Chuyên ngành Đại số và Lýthuyết số; các Thầy (Cô) giáo trong Khoa Sư phạm Toán học, Phòng đào tạo Sau đạihọc, Ban Giám hiệu và các Phòng ban chức năng của Trường Đại học Vinh đã tạo

điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một học viên cao học

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do năng lực còn nhiều hạn chế, nên luận vănkhông tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những sự góp ý củacác nhà khoa học và đồng nghiệp để luận văn có thể được hoàn thiện tốt hơn.

Nghệ An, ngày 19 tháng 9 năm 2015

Tác giả

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Nội dung chính của chương này, trước hết chúng tôi trình bày lại một cách có

hệ thống các khái niệm cơ bản, tổng quát về tác động nhóm Lie, nhóm Lie các phépbiến đổi một tham số, nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số Các kiến thức thứclàm cơ sở cho việc nghiên cứu Chương 2

1.1 Nhóm Lie

1.1.1 Định nghĩa Giả sửX là một không gian tôpô Một bản đồ tọa độ địa phương

(U, φ)của điểm x ∈ X là một tập mở U chứa x và một đồng phôiφ : Rn −→ U.

Bộnsố (x1, x2, ã ã ã , x n) ∈ Rn tương ứng với X được gọi là tọa độ địa phương của

điểmx trong bản đồ(U, φ).Nếu tại mỗi điểm x ∈ X bất kỳ đều có một bản đồ tọa

độ địa phương tương thích nhau theo nghĩa: ánh xạ

ψ −1 ◦ φ : ψ −1 (φ(U ) ∩ ψ(V )) −→ φ −1 (φ(U ) ∩ ψ(V ))

là các ánh xạ trơn lớpC k , với k = 1, 2 ã ã ã , ω. Khi đó ta nói X là một đa tạp trơnlớp C k Số n được gọi là chiều của đa tạp và được ký hiệu là dim(X) = n. Khi

n = 0, mỗi đa tạp trơn lớp C0 được gọi là một đa tạp tôpô, khi n = ω đa tạp X

trơn lớp C ω được gọi là đa tạp giải tích

1.1.2 Định nghĩa Giả sử X là một không gian tôpô Một tập bản đồ của khônggianX là một phủ mở {(Uα, φ α)} α∈I sao cho:

Số nđược gọi là chiều của đa tạp và được ký hiệu là dim(X) = n.

1.1.3 Định nghĩa Đa tạp trơnX là một hợp các tập congU α sao cho với mỗiα tồntại một song ánh φ α : Rn −→ U α thỏa mãn điều kiện tương thích:

(φ β)−1 ◦ φ α : (φ α)−1 (φ α (U α)∩ φ β (U β)) −→ (φ β)−1 (φ α (U α)∩ φ β (U α))

là các ánh xạ trơn Sốnđược gọi là chiều của đa tạp và được ký hiệu làdim(X) = n.

1.1.4 Định nghĩa Cho tập hợp G và phép toán hai ngôi ϕ : G ì G −→ G. TậphợpG được gọi là một nhóm nếu thỏa mãn các điều kiện

1 Tính đóng: Nếu a, b ∈ G thì ϕ(a, b) ∈ G.

2 Tính kết hợp: Với mọi phần tử a, b, c ∈ Gthì

ϕ(a, ϕ(b, c)) = ϕ(ϕ(a, b), c).

3 Phần tử đơn vị: Tồn tại duy nhất phần tử đơn vị e ∈ G để sao cho

ϕ(a, e) = ϕ(e, a) = a, ∀a ∈ G.

4 Nghịch đảo: Với a ∈ G, tồn tại duy nhất phần tử nghich đảo a −1 ∈ G saochoϕ(a, a −1 ) = ϕ(a −1 , a) = e.

1.1.5 Định nghĩa Tập hợpG được gọi là nhóm Lie, nếu:

1 G là một nhóm

2 G là một đa tạp khả vi

•Tập hợp G = R∗

+ các số thực dương với phép nhân các số thực dương là một nhómLie, gọi là nhóm nhân và được ký hiệu làG+

m Tồn tại ánh xạ đẳng cấuG a ∼ = G+

m

Ví dụ 2 Cho K= R (hoặc K = C) là trường số thực (hoặc trường số phức) Khi đónhóm tuyến tính tổng quát

GL n(K) = {A ∈ Mat n(K)|det(A) ̸= 0} là một nhóm Lie.

Một nhóm con đặc biệt của GL n(K) là nhóm tuyến tính đặc biệt

1.1.7 Định nghĩa Với mọi G − tập, ta xác định X G là tập các G − quỹ đạo trong

X và X G là tập các điểm bất động của G, có nghĩa là tập các phần tử x ∈ X saochog.x = x, với mọi g ∈ G.

Ta thấy nếu X có cấu trúc đại số, ví dụ như X là không gian véctơ thì trongtrường hợp này ánh xạ

λ : G −→ X

x 7−→ g.x

là ánh xạ tuyến tính với mỗi g ∈ G.

1.1.8 Định nghĩa Cho X và X ′ là các G − tập trái và f : X −→ X ′ là một ánhxạ, ánh xạf được gọi là đẳng biến hay G −đồng cấu nếu với mọi g ∈ Gvà x ∈ X,

ta có g.f (x) = f (g.x).

1.1.9 Định nghĩa Cho G là nhóm Lie, khi đó thành phần liên thông của đơn vị

e ∈ G được ký hiệu là G0 được định nghĩa như sau:

G0 = {g ∈ G|∃g(t) sao cho g(0) = e, g(1) = g }

Từ định nghĩa, ta có:

1 G0 vừa đóng, vừa mở trong G

2 G0 là nhóm con của nhóm Lie G.

1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số

1.2.1 Định nghĩa ChoD ⊂ R2, S ⊂ R, (S, ϕ) là một nhóm với phần tử đơn vị là

e ∈ S và ánh xạX : D ì S −→ D.Tập hợp {X(., ϵ)}là một nhóm các phép biến

đổi một tham số nếu thỏa mãn các điều kiện:

1 Với mọi phần tử ϵ ∈ S thì ánh xạX : D ì S −→ D là một song ánh,

2 Với ϵ = e, x ∈ D : X(x, e) = x,

3 X(X(x, ϵ), δ) = X(x, ϕ(ϵ, δ)), ∀ϵ, δ ∈ S.

Trên đây ta xét nhóm các phép biến đổi có cấu trúc đại số Nếu ta thêm cấu trúcgiải tích vào nhóm này một cách hợp lý thì nó trở thành nhóm Lie các phép biến đổimột tham số Bây giờ ta xét đến nhóm Lie các phép biến đổi một tham số

1.2.2 Định nghĩa Cho D ⊂ R2 là một miền mở và x = (x1, x2) ∈ D. Tập S làmột khoảng trên R và (S, ϕ) là một nhóm với phần tử đơn vị là e ∈ S. Phép toán

ϕ : S ì S −→ S là hàm giải tích và ánh xạ X : D ì S −→ D cho ta tập hợp cácphép biến đổi, ký hiệu là{X(., ϵ)} ϵ ∈S Tập các phép biến đổi trên được gọi là nhómLie các phép biến đổi một tham số nếu thỏa mãn các điều kiện:

1 Với mọiϵ ∈ S, ánh xạX(., ϵ) : D ì S −→ D là một song ánh và khả vi vôhạn

2 Với x cố định ở trong D,ánh xạ X(x, ) : S −→ D là hàm giải tích theo ϵ.

Như vậy, nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng được cho bởi D = R2, (S, ϕ) lànhóm cộng và ánh xạ

X : R2 ìR −→ R2

((x, y), ϵ) 7−→ (x ∗ , y ∗ ) = (x + ϵ, y).

Ta chứng minh nhóm{X(., ϵ)} ϵ ∈R các phép biến đổi này là nhóm Lie các phép biến

đổi một tham số Thật vậy

• Trước hết ta cần chỉ ra rằng với mọi ϵ ∈ S, ánh xạ X : R2 −→ R2 là một song

ánh Thật vậy, với mọi số thựcϵ cố định, lấy(x, y) ̸= (x ′ , y ′ ).

Dễ thấy (x + ϵ, y) ̸= (x ′ + ϵ, y ′ ), nên ánh xạ X : R2 −→ R2 là một đơn ánh.Giả sử với(x, y) ∈ R2 ta tìm được (x1, y1) thỏa mãn điều kiện

Mặt khácX((x, y), 0) = (x + 0, y) = (x, y).

•Với ϵ, δ bất kỳ thuộc S,ta có

X(X((x, y), ϵ), δ) = X((x + ϵ, y), δ) = (x + ϵ + δ, y)

= (x + (ϵ + δ), y) = X((x, y), ϕ(ϵ, δ)).

Vậy X((x, y); ϵ) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.

Ta chỉ ra rằng nhóm các phép biến đổi X((x, y), ) trên là nhóm Lie các phép biến

đổi một tham số Thật vậy

• Trước hết ta thấy, với mọi ϵ ∈ S, ánh xạ X(., ϵ) : R2 −→ R2 là một song ánh.Thật vậy ∀ε ∈ (−1, +∞), ta lấy(x, y) ̸= (x ′ , y ′ ). Khi đó ta dễ thấy

((1 + ϵ)x, (1 + ϵ)2y) ̸= ((1 + ϵ)x ′ , (1 + ϵ)2y ′ ),

nên ánh xạX : R2 −→ R2 là một đơn ánh

Giả sử với(x, y)bất kỳ trong R2 ta luôn tìm được (x1, y1) ∈ R2 thỏa mãn điều kiện

(1 + ϵ)x1 = x (1 + ϵ)2y1 = y

Vậy X((x, y), ϵ) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.

1.2.5 Biến đổi vi phân Cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số

ϵ=0

)

+12

(∂2X(x, ϵ)

∂ϵ2

ϵ=0

(1.3)

Phép biến đổi x + ϵξ(x)được gọi là phép biến đổi vi phân của nhóm Lie các phépbiến đổi (1.1) Các thành phần củaξ(x)được gọi là vi phân các phép biến đổi (1.1).Một vấn đề đặt ra là nếu chỉ biết ξ(x)thì liệu rằng ta có thể biết được biến đổi

X(x, ϵ) hay không? Chúng ta cùng tìm hiểu về Định lý Lie cơ bản thứ nhất để giảiquyết vấn đề này

1.2.6 Định lý Lie cơ bản thứ nhất

1.2.6.1 Bổ đề Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (1.1) thỏa mãn hệ thức

X(x; ϵ + ∆ϵ) = X(X(x; ϵ); ϕ(ϵ −1 ϵ + ∆ϵ)) (1.4)

với phép toán ϕ(ϵ, δ) = ϵ + δ,phần tử nghich đảo ϵ −1 = −ϵ.

Suy raΓ(ϵ) = ∂ϕ(a, b)

∂b

1 + ϵ .Chọn x = (x, y),khi đó hệ(1.8) trở thành

ϵ=0

= (x, 2y).Giả sử tachỉ có ξ(x) = (0, 1),khi đó theo Định lý Lie cơ bản thứ nhất ở trên ta sẽ xây dựnglại nhóm Scalings Ta có

với∇ là toán tử gradient:

Theo Định lý Lie thứ nhất từ nhóm Lie các phép biến đổi một tham số ta xác

định được toán tử sinh vi phân Định lý dưới đây chỉ ra rằng bằng việc sử dụng toán

tử sinh vi phân x∗ = x khi ϵ = 0ta dẫn đến thuật toán tìm nghiệm tường minh củabài toán Cauchy

1.2.11 Định lý Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số tương đương với

Khai triÓn Taylor x∗ = X(x, ϵ) t¹i ϵ = 0, ta cã

Bây giờ ta tính các X k x và X k y,với k = 1, 2, Ta có:

1.2.14 Định nghĩa Cho F : D −→ D và F (x) là hàm khả vi vô hạn Khi đó F

được gọi là bất biến qua nhóm Lie các phép biến đổi một tham số X ∗ = X(x, ϵ)

Vì F (x) là hàm bất biến, nên F (x ∗ ) = F (x). Vậy từ công thức khai triển trên tasuy ra XF (x) ≡ 0.

1.2.16 Định lý Cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham sốX ∗ = X(x, ϵ),đồngnhất thức

}

ϵ ∈S Tập các phép biến đổi trên đượcgọi là nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số nếu thỏa mãn các điều kiện:

1 Với phần tửϵcố định trong S thì ánh xạX(., ϵ) : D ì S −→ D là một song

ánh và khả vi vô hạn,

2 X(., 0) = Id D ,

∂X2(x, ϵ)

∂ϵ1

ϵ=0

∂X1(x, ϵ)

∂ϵ2

ϵ=0

∂X2(x, ϵ)

∂ϵ2

được gọi là quan hệ giao hoán tử của nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số

x∗ = X(x, ϵ)với toán tử sinh vi phân

[X α , X β] = −[X β , X α]

[X1, X2] = aX1+ bX2

[X α , [X β , X γ ]] + [X β , [X γ , X α ]] + [X γ , [X α , X β ]] = 0.

Đặc biệt các toán tử sinh vi phânX1, X2của nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham

sốx∗ = X(x ∗ , ϵ) lập thành một đại số Lie 2 - chiều trên R.

Một không gian con ~ ⊂ g được gọi là đại số con của đại số Lie nếu

[X1, X2] ∈ ~, ∀X1, X2 ∈ ~.

1.3.6 Đại số Lie giải được Một đại số con ~ ⊂ g được gọi là một iđêan hay một

đại số con chuẩn củag nếu[X, Y ] ∈ ~, ∀X ∈ ~ vàY ∈ g.

Đại số g2 là đại số Lie giải được 2 - chiều nếu tồn tại một chuỗi các đại số con

g(1) ⊂ g(2) = g2,

sao cho g(k) là đại số Lie k - chiều và g(k −1) là một iđêan của g(k) vớik = 1, 2.

Đại số Lie g được gọi là đại số Lie Aben nếu [X1, X2] = 0với X1, X2 ∈ g.

1.3.7 Định lý Mọi đại số Lie hai chiều đều giải được

Chứng minh Chog là đại số Lie 2 - chiều với toán tử sinh vi phân X1 và X2 là cácvéctơ cơ bản Giả sử[X1, X2] = aX1+ bX2 = Y.Nếu c1X1+ c2X2 ∈ g,với mọihằng sốc1, c2 tùy ý, thì

[Y, c1X1 + c2X2] = c1[Y, X1] + c2[Y, X2]

= c1b[X1, X2] + c2a[X1, X2]

= (c2a − c1b)Y.

Do vậy, Y là một iđêan 1 - chiều của g. Đặc biệt nếu a = b = 0, thì g là một đại

số Lie Abel

Khi đó toán tử sinh vi phân sẽ trở thành

η(y) = (η1(y), η2(y)) = Y (y).

Bằng phương pháp sử dụng quy luật chuỗi, ta có

2.1.3 Định lý Cho nhóm Lie các phép biến đổi X ∗ = X(x, ϵ) bất kỳ, khi đó tồntại một tập các tọa độ chính tắc y = (y1, y2) sao cho X ∗ = X(x, ϵ) tương đươngvới hệ

2.1.4 Định lý Trong các thành phần của tập hợp tọa độ chính tắc bất kỳ

y = (y1(x), y2(x)), toán tử sinh vi phân của nhóm các phép biến đổi một tham

2.2 ứ ng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một

tham số vào giải phương trình vi phân cấp I

Để giải được phương trình vi phân cấp I bằng việc sử dụng nhóm Lie các phépbiến đổi một tham số, trước hết ta cần biết được thế nào là nhóm Lie các phép biến

đổi một tham số phù hợp với phương trình vi phân

2.2.1 Định nghĩa Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số{X(., ϵ)} được gọi làphù hợp với phương trình vi phâny ′ = f (x, y),nếu

trong đóf là hàm thuần nhất

Trong R2, ta lấy x1 = x, x2 = y và chọn hệ tọa độ chính tắc được ký hiệu bằng

y1 = r, y2 = s. Cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số

với nghiệm tổng quát là

f (r) − r dr. Nghiệm tổng quát được viết

dưới dạng tham số của bài toán phương trình vi phân ban đầu

x = e

s

r

y = e s

Do đó nghiệm tổng quát viết dưới dạng tham số của phương trình vi phân ban đầu là

x = e s ,

y = r

e 2s

2.3 ứ ng dụng đại số Lie để giải phương trình vi

phân bậc cao

2.3.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số độc lập, một tham số phụ thuộcNghiên cứu tính bất biến của phương trình vi phân cấp k với biến độc lập x vàbiến phụ thuộc y nhằm mục đích là tìm ra nhóm Lie các phép biến đổi một tham sốnhận được từ biến đổi điểm

Đặc biệt, dưới tác động của nhóm Lie các phép biến đổi (1.11), các đạo hàm xác

định liên tụcy k ∗ , k ≥ 1 được biến đổi

dy ∗ = y1∗ dx ∗ , (1.12)

dy k ∗ = y k+1 ∗ dx ∗

tham số vào giải phương trình vi phân cấp I

Để giải phương trình vi phân cấp I vi? ??c sử dụng nhóm Lie phépbiến đổi tham số, trước hết ta cần biết nhóm Lie phép biến

đổi tham...

(1.3)

Phép biến đổi x + ϵξ(x)được gọi phép biến đổi vi phân nhóm Lie phépbiến đổi (1.1) Các thành phần củaξ(x)được gọi vi phân phép biến đổi (1.1).Một vấn đề đặt... ng dụng đại số Lie để giải phương trình vi< /h3>

phân bậc cao

2.3.1 Nhóm Lie phép biến đổi tham số độc lập, tham số phụ thuộcNghiên cứu tính bất biến phương trình vi phân