Sự tồn tại điểm giả bất động bộ ba trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ

Sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë ba trong khæng gianm¶tric câ thù tü bë phªn.. Sü tçn t¤i iºm gi£ b§t ëng bë ba trong khæng giangi£ m¶tric nân câ thù tü bë phªn... LÍI NÂI †ULþ thuy¸t iºm b§t ë

MÖC LÖC

TrangMÖC LÖC 1LÍI NÂI †U 2Ch÷ìng 1 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë ba trong khæng gianm¶tric câ thù tü bë phªn .51.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£n 51.2 Mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë ba trong khænggian m¶tric câ thù tü bë phªn 8Ch÷ìng 2 Sü tçn t¤i iºm gi£ b§t ëng bë ba trong khæng giangi£ m¶tric nân câ thù tü bë phªn 112.1 Khæng gian gi£ m¶tric nân 112.2 Sü tçn t¤i iºm gi£ b§t ëng bë ba trong khæng gian gi£ m¶tricnân câ thù tü bë phªn 21K˜T LUŠN 40T€I LI›U THAM KHƒO 41

LÍI NÂI †U

Lþ thuy¸t iºm b§t ëng l  mët trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu quantrång cõa gi£i t½ch h m, nâ câ nhi·u ùng döng trong gi£i t½ch v  nhi·u

ng nh to¡n håc kh¡c Do â nâ ÷ñc nhi·u nh  to¡n håc trong v  ngo in÷îc quan t¥m nghi¶n cùu v  ¢ thu ÷ñc nhi·u k¸t qõa Nguy¶n lþ iºmb§t ëng Brouwer (1912) v  nguy¶n lþ ¡nh x¤ co trong khæng gian m¶tric

¦y õ cõa Banach (1922) l  c¡c k¸t qõa quan trång ¦u ti¶n trong lþthuy¸t iºm b§t ëng C¡c k¸t qõa n y ¢ ÷ñc mð rëng cho nhi·u lo¤i

¡nh x¤ v  nhi·u lo¤i khæng gian kh¡c nhau

Mët trong nh÷ng h÷îng mð rëng â l  thay êi i·u ki»n trong ànhngh¾a m¶tric, tø â thu ÷ñc lîp c¡c khæng gian rëng hìn lîp c¡c khænggian m¶tric Sau â, ng÷íi ta nghi¶n cùu sü tçn t¤i iºm b§t ëng tronglîp c¡c khæng gian vøa ành ngh¾a

N«m 2007, Huang Long-Guang v  Zhang Xian [10] ¢ thay êi tªp sèthüc khæng ¥m trong ành ngh¾a m¶tric bði mët nân ành h÷îng trongkhæng gian Banach v  ¢ ÷a ra kh¡i ni»n khæng gian m¶tric nân Sau

â nhi·u nh  to¡n håc ¢ nghi¶n cùu v  ¤t ÷ñc nhi·u k¸t qõa v· sütçn t¤i iºm b§t ëng trong khæng gian m¶tric nân

N«m 2006, Bhashkar v  Lakshmikantham [7] ¢ ÷a ra c¡c kh¡i ni»m

iºm b§t ëng bë æi v  nghi¶n cùu mët sè ành lþ v· sü tçn t¤i iºmb§t ëng bë ëi trong khæng gian m¶tric ¦y õ câ thù tü bë phªn Kh¡ini»m iºm b§t ëng bë ba trong khæng gian metric ÷ñc giîi thi»u v nghi¶n cùu bði Berinde v  Borcut [6] v o n«m 2011 Mîi ¥y, é ThàThanh Phòng [2] ¢ giîi thi»u mët sè k¸t qõa v· sü tçn t¤i iºm b§t

2

ëng bë ba trong khæng gian m¶tric nân.

N«m 2013, L¶ Thà Dung [1] ¢ giîi thi»u kh¡i ni»m khæng gian gi£m¶tric nân v  nghi¶n cùu sü tçn t¤i iºm b§t ëng trong khæng gian n y.Mët v§n · ÷ñc °t ra mët c¡ch tü nhi¶n l , c¡c k¸t qõa v· sü tçn t¤i

iºm b§t ëng bë ba trong khæng gian metric v  khæng gian metric nân

câ cán óng cho khæng gian gi£ m¶tric nân núa hay khæng?

Möc ½ch cõa chóng tæi trong luªn v«n n y l  t¼m hiºu, nghi¶n cùuc¡c t½nh ch§t cõa khæng gian gi£ m¶tric nân v  sü tçn t¤i iºm b§t ëng

bë ba cõa c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian gi£ m¶tric nân Do â ngo i ph¦n

mð ¦u v  k¸t luªn, luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y th nh hai ch÷ìng

Ch÷ìng 1 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë ba trong khæng gian m¶tricnân câ thù tü bë phªn

Möc ¦u ti¶n tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»n v  k¸t qõa cì b£n v· khænggian m¶tric, thù tü bë phªn, ¡nh x¤ ìn i»u hén hñp, iºm b§t ëng bë

æi, bë ba l m cì sð cho vi»c tr¼nh b y luªn v«n Möc thù hai tr¼nh

b y mët sè ành lþ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë ba cõa c¡c ¡nh x¤ cât½nh ìn i»u hén hñp trong khæng gian m¶tric câ thù tü bë phªn, ¢ câtrong c¡c t i li»u tham kh£o

Ch÷ìng 2 Sü tçn t¤i iºm gi£ b§t ëng bë ba trong khæng gian gi£m¶tric nân câ thù tü bë phªn

Möc ¦u ti¶n cõa ch÷ìng n y tr¼nh b y ành ngh¾a, v½ dö v  mët sèt½nh ch§t cõa khæng gian gi£ m¶tric nân Möc thù hai ÷a ra c¡c kh¡ini»m iºm gi£ b§t ëng bë ba, iºm gi£ chung bë ba, iºm gi£ b§t ëngchung bë ba cõa c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian gi£ m¶tric nân Sau âchùng minh mët sè k¸t qõa v· sü tçn t¤i c¡c iºm gi£ b§t ëng bë ba,gi£ chung bë ba, gi£ b§t ëng chung bë ba trong khæng gian gi£ m¶tricnân câ thù tü bë phªn â l  c¡c ành lþ 2.2.3, 2.2.9, 2.2.10 v  c¡c H»qu£ 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, 2.2.11 v  V½ dö 2.2.13 C¡c k¸t qõa n y l 

sü mð rëng cõa mët sè k¸t qõa v· sü tçn t¤i c¡c iºm b§t ëng bë ba,

iºm chung bë ba, iºm b§t ëng chung bë ba trong c¡c t i li»u [2,6,8].Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îngd¨n cõa th¦y gi¡o, PGS.TS inh Huy Ho ng T¡c gi£ xin b y tä lángbi¸t ìn s¥u s­c cõa m¼nh ¸n Th¦y Nh¥n dàp n y, t¡c gi£ xin ch¥n th nhc£m ìn Ban chõ nhi»m pháng Sau ¤i håc, Ban chõ nhi»m khoa To¡nhåc v  c£m ìn c¡c th¦y, cæ gi¡o trong bë mæn Gi£i t½ch, khoa S÷ Ph¤mTo¡n håc ¢ nhi»t t¼nh gi£ng d¤y v  gióp ï t¡c gi£ trong suèt thíi gianhåc tªp v  ho n th nh luªn v«n n y Cuèi còng, t¡c gi£ c¡m ìn gia ¼nh,

çng nghi»p, b¤n b±, °c bi»t l  c¡c b¤n trong lîp Cao håc 21 Gi£i t½ch

¢ cëng t¡c, gióp ï v  ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp

SÜ TÇN T„I IšM B‡T ËNG BË BA TRONG KHÆNG

GIAN M–TRIC C THÙ TÜ BË PHŠN

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë bacõa c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian metric câ thù tü bë phªn

1.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£n

Möc n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£n v· khæng gianm¶tric, thù tü bë phªn, ¡nh x¤ ìn i»u hén hñp, l m cì sð cho vi»ctr¼nh b y luªn v«n

C¡c k¸t qu£ trong möc n y chõ y¸u ÷ñc chóng tæi tham kh£o trongc¡c t i li»u [3] v  [4]

1.1.1 ành ngh¾a Cho tªp hñp X 6= ∅ H m d : X2 → R thäa m¢n c¡c

i·u ki»n

1) d(x, y) > 0 vîi måi x, y ∈ X v  d(x, y) = 0 khi v  ch¿ khi x = y;2) d(x, y) = d(y, x) vîi måi x, y ∈ X;

3) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y), vîi måi x, y, z ∈ X

÷ñc gåi l  m¶tric (hay kho£ng c¡ch) tr¶n X

Tªp X còng vîi mët m¶tric d tr¶n nâ ÷ñc gåi l  mët khæng gian m¶tric

v  kþ hi»u l  (X, d) ho°c X

1.1.2 ành ngh¾a Cho khæng gian m¶tric (X, d) v  tªp con M cõa X

Ta x¡c ành h m dM : M2 → R theo cæng thùc dM(x, y) = d(x, y) vîi

5

6måi x, y ∈ X Khi â dM l  mët m¶tric tr¶n M Ta gåi khæng gian m¶tric(M, dM) l  khæng gian con cõa khæng gian (X, d).

M¶tric dM ÷ñc gåi l  m¶tric c£m sinh bði m¶tric d tr¶n M

1.1.3 ành ngh¾a D¢y (xn) trong khæng gian m¶tric (X, d) ÷ñc gåi

l  hëi tö tîi x ∈ X v  ÷ñc k½ hi»u l  xn → x ho°c limn→∞xn = x n¸ud(xn, x) → 0 khi n → ∞

1.1.4 Nhªn x²t 1) Trong khæng gian m¶tric (X, d), mët d¢y n¸u hëi

tö th¼ hëi tö tîi mët iºm duy nh§t

m,n→∞d(xn, xm) = 0, ngh¾a l 

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : d(xn, xm) 6 ε, ∀n, m > n0.Khæng gian m¶tric (X, d) ÷ñc gåi l  ¦y õ n¸u méi d¢y Cauchy trong

X ·u hëi tö

1.1.7 ành lþ Cho c¡c khæng gian m¶tric (X, d), (Y, ρ) v  ¡nh x¤ f :

X → Y Khi â f li¶n töc t¤i x ∈ X khi v  ch¿ khi måi d¢y(xn) ⊂ X

m  xn → x th¼ f(xn) → f (x)

1.1.8 ành ngh¾a Gi£ sû X l  mët tªp kh¡c réng v  6 l  mët quanh» hai ngæi tr¶n X Quan h» 6 ÷ñc gåi l  mët thù tü bë phªn tr¶n Xn¸u vîi måi x, y, z ∈ X ta câ

1) x 6 x;

2) Tø x 6 y v  y 6 x suy ra x = y (t½nh ph£n xùng);

3) Tø x 6 y v  y 6 z suy ra x 6 z (t½nh b­c c¦u).

Tªp X còng vîi mët thù tü bë phªn tr¶n nâ ÷ñc gåi l  tªp s­p thù tü

bë phªn v  ÷ñc k½ hi»u l  (X,6) ho°c X

N¸u x 6 y m  x 6= y th¼ ta vi¸t x < y

Ta câ thº vi¸t y > x thay cho x 6 y v  y > x thay cho x < y

Tªp X ÷ñc gåi l  s­p tuy¸n t½nh n¸u tr¶n X câ mët quan h» hai ngæi

6 câ t½nh b­c c¦u v  vîi måi x, y ∈ X m  x 6= y th¼ x < y ho°c y < x.1.1.9 ành ngh¾a ([6]) Cho (X,6) l  mët tªp ÷ñc s­p thù tü bë phªn

v  ¡nh x¤ F : X3 → X.nh x¤ F ÷ñc gåi l  câ t½nh ch§t ìn i»u hénhñp n¸u vîi måi x, y, z ∈ X ta câ

v  (u, v, r) ∈ X3 th¼ (x, y, z) 6 (u, v, r) khi v  ch¿ khi x > u, y 6 v v 

z 6 r Ta nâi (x, y, z) v  (u, v, r) so s¡nh ÷ñc n¸u (x, y, z) 6 (u, v, r)ho°c (u, v, r) 6 (x, y, z) Ngo i ra, ta nâi r¬ng (x, y, z) = (u, v, r) khi v ch¿ khi x = u, y = v, v  z = r

1.1.12 ành ngh¾a ([6]) Cho (X,6) l  mët tªp ÷ñc s­p thù tü bëphªn v  c¡c ¡nh x¤ F : X3 → X, g : X → X Ta nâi F câ t½nh ch§t g -

ìn i»u hén hñp tr¶n X n¸u vîi måi x, y, z ∈ X ta câ

x1, x2 ∈ X, g(x1) 6 g(x2) suy ra F (x1, y, z) 6 F (x2, y, z),

y1, y2 ∈ X, g(y1) 6 g(y2) suy ra F (x, y1, z) > F (x, y2, z),

z1, z2 ∈ X, g(z1) 6 g(z2) suy ra F (x, y, z1) 6 F (x, y, z2)

1.1.13 ành ngh¾a ([6]) Cho c¡c ¡nh x¤ F : X3 → X v  g : X → X.Khi â F v  g ÷ñc gåi l  giao ho¡n vîi nhau tr¶n X n¸u vîi måi

x, y, z ∈ X ta câ

g(F (x, y, z)) = F (g(x), g(y), g(z))

1.2 Mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë

ba trong khæng gian m¶tric câ thù tü bë phªn

Möc n y tr¼nh b y mët sè ành lþ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë ba cõac¡c ¡nh x¤ trong khæng gian m¶tric câ thù tü bë phªn

1.2.1 ành ngh¾a ([5]) Cho (X, d) l  mët khæng gian m¶tric Mët ¡nhx¤ T : X → X ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ ICS n¸u T ìn ¡nh, li¶n töc v  vîib§t ký d¢y (xn) trong X, tø (T xn) hëi tö suy ra (xn) công hëi tö

Kþ hi»u Φ l  tªp hñp t§t c£ c¡c h m φ : [0, ∞) → [0, ∞) sao cho

ìn i»u hén hñp v  tçn t¤i c¡c h¬ng sè j, r, l > 0 vîi j + r + l < 1 saocho

d(F (x, y, z), F (u, v, w)) 6 jd(x, u) + rd(y, v) + ld(z, w)

vîi måi x, y, z, u, v, w ∈ X m  x 6 u, v 6 y, z 6 w Gi£ sû F li¶n töcho°c X câ c¡c t½nh ch§t sau:

1) N¸u mët d¢y khæng gi£m xn → x th¼ xn 6 x vîi måi n ∈ N∗,

2) N¸u mët d¢y khæng t«ng yn → x th¼ y 6 yn vîi måi n ∈ N∗

Khi â, n¸u tçn t¤i x0, y0, z0 ∈ X sao cho x0 6 F (x0, y0, z0), y0 >

F (y0, x0, y0) v  z0 6 F (z0, y0, x0) th¼ s³ tçn t¤i x, y, z ∈ X sao cho

F (x, y, z) = x, F (y, x, y) = y v  F (z, y, x) = z, ngh¾a l  F câ iºmb§t ëng bë ba

1.2.3 ành lþ ([5]) Cho (X,6) l  mët tªp ÷ñc s­p thù tü bë phªn v (X, d) l  khæng gian metric ¦y õ Gi£ sû T : X → X ÷ñc gåi l  ¡nhx¤ ICS v  ¡nh x¤ F : X3 → X câ t½nh ìn i»u hén hñp v  tçn t¤i

φ ∈ Φ sao cho

d(T F (x, y, z), T F (u, v, w)) 6 φ (max{d(T x, T u), d(T y, T v), d(T z, T w)})

vîi måi x, y, z ∈ X m  x 6 u, v 6 y v  z 6 w Gi£ sû F li¶n töc ho°c

X câ c¡c t½nh ch§t sau:

1) N¸u mët d¢y khæng gi£m xn → x th¼ xn 6 x vîi måi n ∈ N∗,

2) N¸u mët d¢y khæng t«ng yn → x th¼ y 6 yn vîi måi n ∈ N∗

Khi â, n¸u tçn t¤i x0, y0, z0 ∈ X sao cho x0 6 F (x0, y0, z0), y0 >

F (y0, x0, y0) v  z0 6 F (z0, y0, x0) th¼ s³ tçn t¤i x, y, z ∈ X sao cho

F (x, y, z) = x, F (y, x, y) = y v  F (z, y, x) = z, ngh¾a l  F câ iºmb§t ëng bë ba

1.2.4 ành lþ ([5]) N¸u trong ành lþ 1.2.3 ta gi£ thi¸t th¶m r¬ng vîimåi (x, y, z), (u, v, w) ∈ X3 ·u tçn t¤i (a, b, c) ∈ X3 sao cho

(F (a, b, c), F (b, a, b), F (c, b, a)) so s¡nh ÷ñc vîi

(F (x, y, z), F (y, x, y), F (z, y, x)) v  (F (u, v, r), F (v, u, v), F (r, v, u)) th¼ F

câ duy nh§t iºm b§t ëng bë ba

2.1 Khæng gian gi£ m¶tric nân

Möc n y tr¼nh b y ành ngh¾a, v½ dö v  mët sè t½nh ch§t cõa khæng giangi£ m¶tric nân

2.1.1 ành ngh¾a ([10]) Cho E l  khæng gian Banach tr¶n tr÷íng sèthüc R Tªp con P cõa E ÷ñc gåi l  mët nân n¸u thäa m¢n c¡c i·uki»n sau

ii) Vîi måi (x, y), (u, v) ∈ P v  måi a, b ∈ R sao cho a, b > 0 ta câ

a(x, y) + b(u, v) = (ax + bu, ay + bv) ∈ P ;

iii) Vîi (x, y) ∈ P v  (−x, −y) ∈ P ta câ (x, y) = (0, 0)

iii) Vîi f ∈ P v  −f ∈ P ta câ f = 0

Vªy P l  mët nân tr¶n C[a,b]

Cho P l  mët nân trong khæng gian Banach E Khi â tr¶n E ta câthº x²t quan h» thù tü 6 x¡c ành bði P nh÷ sau: x6 y n¸u v  ch¿ n¸u

y − x ∈ P Chóng ta quy ÷îc x < y n¸u x 6 y v  x 6= y, cán x  y n¸u

y − x ∈intP vîi intP l  ph¦n trong cõa P

2.1.3 Bê · ([10]) Gi£ sû P l  nân trong khæng gian Banach E, a, b, c ∈

v) Vîi méi δ > 0 v  x ∈ intP tçn t¤i 0 < γ < 1 sao cho kγk < δ;vi) Vîi c1, c2 ∈ intP , tçn t¤i d ∈ intP sao cho c1 6 d v  c2 6 d;

vii) Vîi c1, c2 ∈ intP , tçn t¤i e ∈ intP sao cho e 6 c1 v  e 6 c2;

viii) N¸u a ∈ P v  a  x vîi måi x ∈ intP th¼ a = 0;

ix) N¸u a 6 εa vîi a ∈ P , 0 < ε < 1 th¼ a = 0;

x) N¸u 0 6 xn 6 yn vîi méi n ∈ N v  lim

n→∞xn = x, lim

n→∞yn = y th¼

06 x 6 y

Chùng minh i) V¼ ph²p cëng li¶n töc n¶n intP +intP ⊂ intP N¸u a  b

v  b  c th¼ b − a ∈ intP v  c − b ∈ intP Suy ra c − a = c − b + b − a ∈intP + intP Do â c − a ∈ intP Vªy a  c

ii) º þ r¬ng intP + P = S

x∈P

(x +intP ) l  tªp mð v  P l  nân n¶nsuy ra x + intP ⊂ P Do â P + intP ⊂ intP N¸u a 6 b v  b  c th¼

b − a ∈ P v  c − b ∈ intP Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ P + intP ⊂ intP Vªy a  c

iii) Ta câ a  b v  c  d n¶n b − a ∈ intP v  d − c ∈ intP Suy ra

b − a + d − c ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP Do â a + c  b + d.iv) V¼ ph²p nh¥n væ h÷îng li¶n töc n¶n αintP ⊂ P

v) Vîi méi δ > 0 v  x ∈ intP , chån sè tü nhi¶n n > 1 sao choδ

nkxk < 1 Khi â vîi méi γ = δ

nkxk < 1 ta câ 0 < γ < 1 v kγxk 6 kγkkxk 6 δ

nkxkkxk 6 δ

n < δ.

vi) Chån δ > 0 sao cho c1 + B(0; δ) ∈ intP , trong â

B(0; δ) = {x ∈ E : kxk < δ}

Do t½nh hót cõa B(0; δ) n¶n tçn t¤i m > 1 sao cho c2 ∈ mB(0; δ) °t

d = mc1 − c2 ∈ intP Khi â d thäa m¢n vi)

vii) Chån δ0

> 0 sao cho c1 + B(0; δ0) ∈ intP v  c2 + B(0; δ0) ∈ intPtrong â

B(0; δ0) = {x ∈ E : kxk < δ0}

Do t½nh hót cõa B(0; δ0

), tçn t¤i m > 0 sao cho c1 ∈ mB(0; δ0) v  c2 ∈mB(0; δ0) Suy ra −c1 ∈ mB(0; δ0), mc1 − c1 ∈ intP v  mc2 − c2 ∈ intP

°t e = mc1 − c1 + mc2 − c2 Khi â e thäa m¢n vii)

viii) Gi£ sû x ∈ intP Tø gi£ thi¸t suy ra a  x

ix) V¼ a 6 εa n¶n εa − a ∈ P hay (ε − 1)a ∈ P Do 0 < ε < 1 n¶n

1 − ε > 0 Tø â suy ra −a = 1

1 − ε(ε − 1)a ∈ P hay −a ∈ P Nh÷ vªy

2.1.4 Bê · ([10]) Gi£ sû P l  nân trong khæng gian Banach E v  {xn}

l  mët d¢y trong P Khi â, n¸u xn → 0 th¼ vîi méi c ∈ intP , tçn t¤i

n0 ∈ N sao cho xn  c vîi måi n > n0

Chùng minh Gi£ sû {xn} l  mët d¢y trong P v  xn → 0 Vîi måi c ∈intP , tçn t¤i δ > 0 sao cho c + BE(0; δ) ⊂intP (v¼ intP l  tªp mð) Do

â, n¸u x ∈ E m  kxk < δ th¼ c − x ∈ intP Vîi δ > 0 x¡c ành nh÷ tr¶n,tçn t¤i n0 ∈ N sao cho kxnk 6 δ vîi måi n > n0 Suy ra c − xn ∈ intPvîi måi n > n0, tùc l  xn  c vîi måi n > n0

Tø ¥y v· sau, ta quy ÷îc P l  nân trong khæng gian Banach E saocho intP 6= ∅ v  6,  l  c¡c thù tü bë phªn tr¶n E ÷ñc x¡c ành bði

P

2.1.5 ành ngh¾a ([1]) Cho X l  tªp kh¡c réng v  ¡nh x¤ d : X2 → E

nh x¤ d ÷ñc gåi l  gi£ kho£ng c¡ch nân hay gi£ m¶tric nân tr¶n Xn¸u thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau

i) 0 6 d(x, y) vîi måi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 n¸u x = y;

ii) d(x, y) = d(y, x) vîi måi x, y ∈ X;

iii) d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z) vîi måi x, y, z ∈ X

Tªp X còng vîi gi£ kho£ng c¡ch nân d tr¶n X ÷ñc gåi l  khæng giangi£ m¶tric nân v  ÷ñc k½ hi»u l  (X, d) ho°c X

2.1.6 V½ dö ([1]) Gi£ sû L[a;b] l  c¡c h m nhªn gi¡ trà thüc, kh£ t½chtr¶n o¤n [a; b] v  h m d : L[a;b] × L[a;b] → R ÷ñc cho bði cæng thùc

Rã r ng d(f, g) > 0, d(f, g) = 0 n¸u f = g v  d(f, g) = d(g, f) vîi måi

f, g ∈ L[a;b] Gi£ sû f, g, h ∈ L[a;b] Khi â, ta câ

Vªy d l  gi£ m¶tric nân tr¶n L[a;b]

2.1.7 Nhªn x²t ([1])1) N¸u d l  gi£ m¶tric tr¶n X v  thäa m¢n i·uki»n d(x, y) = 0 k²o theo x = y th¼ d l  m¶tric nân tr¶n X Nh÷ vªykhæng gian m¶tric nân l  tr÷íng hñp °c bi»t cõa khæng gian gi£ m¶tricnân

2) Trong v½ dö tr¶n d khæng ph£i l  m¶tric nân tr¶n L[a;b] Thªt vªy,x²t hai h m sè f v  g ÷ñc x¡c ành nh÷ sau

P tròng vîi quan h» 6 thæng th÷íng tr¶n [a; b] Ta k½ hi»u X == {f ∈

C[a;b] : f câ ¤o h m li¶n töc tr¶n [a; b]} v  x¡c ành h m d : X ×X → Pbði cæng thùc d(f, g) = |f0

− g0| vîi måi f, g ∈ X, tùc l  d(f, g)(x) =

|f0(x) − g0(x)|, ∀f, g ∈ X, ∀x ∈ [a; b] Khi â d thäa m¢n c¡c i·u ki»ncõa ành ngh¾a 2.1.1, tùc d l  gi£ m¶tric nân tr¶n X

Ta th§y r¬ng d khæng l  m¶tric nân Thªt vªy, n¸u ta x²t c¡c h m

f, g ∈ X vîi f(x) = x, g(x) = x + 1 vîi måi x ∈ [a; b] th¼ f 6= g nh÷ngd(f, g) = 0

Tø ¥y v· sau, ta gi£ thi¸t (X, d) l  khæng gian gi£ m¶tric nân vîi gi£m¶tric nân d nhªn gi¡ trà trong nân P

2.1.9 ành ngh¾a ([1]) Gi£ sû (X, d) l  khæng gian gi£ m¶tric nân, vîib§t ký a ∈ X v  c ∈ intP °t

B(a; c) = {x ∈ X : d(a, x)  c}

Tªp B(a; c) ÷ñc gåi l  h¼nh c¦u mð t¥m a, b¡n kinh c

162.1.10 M»nh · ([1]) °t

τ = {G ⊂ X : ∀x ∈ G, ∃c ∈ intP sao cho B(x, c) ⊂ G}

∈ intP Vîi måi y ∈ B(x, c0

Tø â ta suy ra y ∈ B(a, c) v  do â B(x, c0

) ⊂ B(a, c) Vªy B(a, c) ∈ τ.c) L§y x, y ∈ X sao cho x 6= y v  d(x, y) = 0 Khi â måi h¼nh c¦uB(x, c) ·u chùa y Tø â suy ra X khæng ph£i l  T1− khæng gian.2.1.11 Nhªn x²t N¸u X l  khæng gian gi£ m¶tric nân m  d(x, y) > 0vîi måi x 6= y th¼ X l  khæng gian m¶tric nân Do â X l  T2− khænggian

Tø ¥y v· sau, khi nâi tîi khæng gian gi£ m¶tric nân X ta hiºu tæpætr¶n X l  tæpæ τ nâi ð M»nh · 2.1.10

2.1.12 H» qu£ ([1]) Måi h¼nh c¦u mð trong X l  tªp mð trong X.Chùng minh Tø M»nh · 2.1.10 suy ra B(a, c) l  tªp mð

2.1.13 ành lþ ([1]) Gi£ sû (X, d) l  khæng gian gi£ m¶tric nân, {xn} ⊂

X, a ∈ X Khi â, {xn} hëi tö tîi a khi v  ch¿ khi vîi méi c ∈ intP tçnt¤i sè tü nhi¶n nc sao cho d(xn, a)  c vîi måi n > nc

Chùng minh Gi£ sû xn → a Khi â vîi méi c ∈ intP ta câ B(a, c) ∈ τ,

do â tçn t¤i sè tü nhi¶n nc sao cho xn ∈ B(a, c) vîi måi n > nc Suy rad(a, xn)  c vîi måi n > nc Ng÷ñc l¤i, gi£ sû vîi méi c ∈ intP tçn t¤i

sè tü nhi¶n nc sao cho d(a, xn)  c vîi måi n > nc Vîi méi l¥n cªn Ucõa a tçn t¤i c ∈ intP sao cho B(a, c) ⊂ U Tø â suy ra tçn t¤i sè tünhi¶n nc sao cho xn ∈ B(a, c) ⊂ U vîi måi n > nc Do â xn → a

2.1.14 M»nh · ([1]) Gi£ sû {xn} l  d¢y trong X, a, b ∈ X Khi âa) N¸u xn → a v  xn → b th¼ d(a, b) = 0;

b) xn → a khi v  ch¿ khi xn → x vîi måi x ∈ Fa, trong â

Fa = {x ∈ X : d(a, x) = 0}

Chùng minh a) Vîi måi n ∈N∗ ta câ

0 6 d(a, b) 6 d(a, xn) + d(xn, b) (2.2)

· 2.1.3 th¼ d(a, b) = 0.

b) i·u ki»n c¦n: Gi£ sû xn → a Ta c¦n chùng minh xn → x vîi måi

x ∈ Fa Thªt vªy, tø xn → a suy ra vîi måi c ∈ intP tçn t¤i nc ∈ N∗ saocho d(a, xn)  c vîi måi n > nc Vîi måi x ∈ Fa ta câ d(x, a) = 0 Do â

0 6 d(xn, x)6 d(xn, a) + d(a, x)  c, ∀n > nc

Tø â suy ra xn → x

i·u ki»n õ: V¼ a ∈ Fa n¶n i·u c¦n chùng minh l  hiºn nhi¶n

2.1.15 M»nh · ([1]) Gi£ sû (X, d) l  khæng gian gi£ m¶tric nân,

a ∈ X v  c ∈ intP Khi â, hå U = 

B(a,nc) : n = 1, 2, · · · l  mët cì sðl¥n cªn cõa iºm a Do â, X l  khæng gian thäa m¢n ti¶n · ¸m ÷ñcthù nh§t

Chùng minh Gi£ sû U l  l¥n cªn b§t ký cõa iºm a Khi â, tçn t¤i

r ∈ intP sao cho B(a, r) ⊂ U V¼ c

n → 0 khi n → ∞ v  r ∈ intPn¶n theo Bê · 2.1.4 ta k¸t luªn r¬ng tçn t¤i n sao cho c

n  r Do âB(a, c

n) ⊂ B(a, r) ⊂ U Suy ra U l  cì sð l¥n cªn cõa iºm a Hiºn nhi¶n

U l  tªp ¸m ÷ñc Do â X l  khæng gian thäa m¢n ti¶n · ¸m ÷ñcthù nh§t

2.1.16 M»nh · ([1]) Gi£ sû (X, d) l  khæng gian gi£ m¶tric nân v 

a ∈ X °t Fa = {x ∈ X : d(x, a) = 0} Khi â c¡c kh¯ng ành sau ¥y

óng

a) Vîi måi b, b0

∈ Fa, x ∈ X Fa ta câ d(x, b) = d(x, b0

);b) Fa l  tªp âng;

c) Vîi måi a, b ∈ X ta câ d(x, y) = d(a, b), ∀x ∈ Fa, ∀y ∈ Fb

Chùng minh a) Vîi måi b, b0

Tø (2.3) v  (2.4) suy ra d(x, b) = d(x, b0

).b) Gi£ sû {xn} ⊂ Fa v  xn → x ∈ X V¼ X thäa m¢n ti¶n · ¸m

÷ñc thù nh§t n¶n º chùng minh Fa âng ta ch¿ c¦n chùng minh x ∈

Fa V¼ xn → x n¶n vîi måi c ∈ intP tçn t¤i sè tü nhi¶n nc sao chod(xn, x)  c vîi måi n > nc V¼ xn ∈ Fa vîi måi n n¶n d(xn, a) = 0 vîimåi n = 1, 2, 3, · · · Do â

Do â d(a, b) = d(x, y)

2.1.17 ành lþ ([1]) Cho c¡c khæng gian gi£ m¶tric nân (X, d), (Y, d)

v  E ⊂ X l  tªp hñp kh¡c réng H m f : E → Y li¶n töc t¤i iºm x0 ∈ Ekhi v  ch¿ khi vîi måi d¢y {xn} ⊂ E sao cho xn → x0 th¼ f(xn) → f (x0).Chùng minh i·u ki»n c¦n: Gi£ sû h m f li¶n töc t¤i x0 v  {xn} ⊂ Esao cho xn → x0 Khi â vîi måi c ∈ intP tçn t¤i t ∈ intP sao cho

f (B(x0, t)) ⊂ B(f (x0), c) V¼ xn → x0 n¶n tçn t¤i sè tü nhi¶n n0 sao cho

xn ∈ B(x0, t) vîi måi n > n0 Do â f(xn) ∈ B(f (x0), c) vîi måi n > n0.Nh÷ vªy f(xn) → f (x0)

i·u ki»n õ: Gi£ sû x0 l  iºm thuëc E v  vîi méi d¢y {xn} ⊂ E

m  xn → x0 ta ·u câ f(xn) → f (x0) Ta gi£ sû r¬ng f khæng li¶n töct¤i x0 Khi â, tø ành ngh¾a v· ¡nh x¤ li¶n töc suy ra tçn t¤i c ∈ intPsao cho vîi méi t ∈ intP ·u câ f(B(x0, t)) * B(f (x0), c) Tø â suy ravîi méi n = 1, 2, · · · tçn t¤i xn ∈ Bx0, c

n



sao cho f(xn) /∈ B(f (x0), c).V¼ xn ∈ Bx0, c

n



vîi måi n v  c

n → 0 n¶n xn → x0 Trong khi â,

tø f(xn) /∈ B(f (x0), c) vîi måi n suy ra f(xn) 9 f (x0) i·u n y m¥uthu¨n vîi gi£ thi¸t cõa i·u ki»n õ Do â f li¶n töc t¤i x0

2.1.18 ành ngh¾a ([1]) Gi£ sû (X, d) l  khæng gian gi£ m¶tric nân,d¢y {xn} ⊂ X Ta nâi {xn} l  d¢y Cauchy hay d¢y cì b£n n¸u vîi måi

c ∈ intP , tçn t¤i n0 ∈ N sao cho vîi måi n, m > n0 ta câ d(xn, xm)  c.2.1.19 ành ngh¾a ([1]) Khæng gian gi£ m¶tric nân X ÷ñc gåi l  ¦y

õ n¸u måi d¢y Cauchy trong X ·u hëi tö

2.2 Sü tçn t¤i iºm gi£ b§t ëng bë ba trong khæng

gian gi£ m¶tric nân câ thù tü bë phªn

Trong möc n y, chóng tæi ÷a ra kh¡i ni»m iºm gi£ b§t ëng bë ba

v  chùng minh mët sè k¸t qu£ t÷ìng tü v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë

ba trong khæng gian m¶tric v¨n óng cho sü tçn t¤i iºm gi£ b§t ëng

bë ba trong khæng gian gi£ m¶tric nân

Trong möc n y, ta gi£ thi¸t (X,6) l  tªp s­p thù tü bë phªn, (X, d)

l  khæng gian gi£ m¶tric nân ¦y õ vîi d nhªn gi¡ trà trong nân P cõakhæng gian Banach thüc E vîi intP 6= ∅ Ta công kþ hi»u 6 v   l  haiquan h» tr¶n E ÷ñc x¡c ành bði P

2.2.1 ành ngh¾a Cho (X, d) l  khæng gian gi£ m¶tric nân v  c¡c ¡nhx¤ F : X3 → X, g : X → X