Tốc độ hội tụ đầy đủ với tổng có trọng số của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH F -TRẦN THẾ NGA TỐC ĐỘ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐCỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

F

-TRẦN THẾ NGA

TỐC ĐỘ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐCỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN

GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

F

-TRẦN THẾ NGA

TỐC ĐỘ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐCỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN

GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán học

Mã số: 60.46.01.06

LUÂN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TS Nguyễn Văn Quảng

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

1.1 Biến cố và xác suất 5

1.1.1 Không gian xác suất 5

1.1.2 Xác xuất có điều kiện 7

1.1.3 Tính độc lập của các biến cố 7

1.2 Ánh xạ đo được và biến ngẫu nhiên 9

1.2.1 Ánh xạ đo được 9

1.2.2 Biến ngẫu nhiên 9

1.2.3 Kỳ vọng 11

1.2.4 Các dạng hội tụ 12

1.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach 14

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ 14

1.3.2 Tính chất 15

1.3.3 Các phần tử ngẫu nhiên độc lập 16

1.3.4 Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên 17

1.3.5 Một số định lý giới hạn 18

1.3.6 Không gian Rademacher dạng p 19

2 Sự hội tụ đầy đủ đối với tổng có trọng số của mảng các phần

2.1 Sự hội tụ đầy đủ của dãy phần tử ngẫu nhiên 20 2.2 Sự hội tụ đầy đủ đối với tổng có trọng số của mảng các phần tử

ngẫu nhiên 21 2.3 Tốc độ hội tụ của quá trình trung bình trượt 35

MỞ ĐẦU

Lý thuyết xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiệntượng ngẫu nhiên nhằm tìm ra những quy luật trong những hiện tượngtưởng chừng như không có quy luật Lý thuyết xác suất ra đời vào nửa cuốithế kỉ 17 ở Pháp Ngày nay, lý thuyết xác suất đã phát triển mạnh mẽ, có cơ

sở lý thuyết chặt chẽ và có nhiều ứng dụng trong đời sống của con người, từ

âm nhạc đến vật lý, từ văn học tới thống kê xã hội, từ cơ học đến thị trườngchứng khoán, từ dự báo thời tiết đến kinh tế, từ nông học đến y học Mảng các phần tử ngẫu nhiên là một hướng nghiên cứu của Lý thuyếtxác suất được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và đã có nhiều ứngdụng trong thống kê, kinh tế, Chính vì vậy việc nghiên cứu mảng các biếnngẫu nhiên không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn tolớn

Khái niệm hội tụ đầy đủ của biến ngẫu nhiên được Hsu và Robbins đưa

ra năm 1947 trong [7] Trong [7] Hsu và Robbins đã chứng minh được rằngtrung bình cộng số học của dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phốihội tụ đầy đủ đến kỳ vọng chung của chúng nếu các biến ngẫu nhiên đó cóphương sai hữu hạn Kết quả này đã được tổng quát hóa và mở rộng theonhiều hướng khác nhau Một trong những hướng đó là xét sự hội tụ đầy đủcủa mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng Đi theo hướng đó cócác kết quả của Hsu và cộng sự [4], [7],[12], Gut [11], Kuczmaszewska andSzynal [13], Sung[14], Trên cơ sở đọc và tìm hiểu các tài liệu, chúng tôinghiên cứu đề tài là: “Tốc độ hội tụ đầy đủ đối với tổng có trọng

số của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên khônggian Banach”

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của lý thuyếtxác suất, cần thiết cho việc nghiên cứu chương sau

Chương 2 Sự hội tụ đầy đủ đối với tổng có trọng số của mảngcác phần tử ngẫu nhiên

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày sự hội tụ đầy đủ của dãyphần tử ngẫu nhiên Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu về sự hội tụ đầy đủ đốivới tổng có trọng số của mảng các phần tử ngẫu nhiên Cuối cùng, chúngtôi nghiên cứu về tốc độ hội tụ của quá trình trung bình trượt

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntrực tiếp của GS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc nhất tới Thầy, Người đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ,tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả có thể hoàn thành luận văn Tác giảgửi lời cảm ơn các thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy khóa học CH 21XSTK Đồng thời, tác giả cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng Sau đạihọc, tập thể lớp CH 21 XSTK và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi trongsuốt quá trình học tập và làm luận văn

Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.Tác giả mong nhận được những lời chỉ bảo, những ý kiến đóng góp của quýThầy Cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 10 năm 2015

Tác giả

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Biến cố và xác suất

1.1.1 Không gian xác suất

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử Ω là một tập tùy ý khác rỗng, F là một σ-đại

số con của Ω Khi đó, cặp (Ω, F ) được gọi là một không gian đo

Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo Một ánh xạ P : F → R được gọi

là độ đo xác suất trên F nếu

(i) P(A) ≥ 0 với ∀A ∈ F (tính không âm);

(ii) P(Ω) = 1(tính chuẩn hóa);

(iii) Nếu An ∈ F (n = 1, 2, 3, ), Ai∩ Aj = AiAj = ∅(i 6= j) thì

P(S∞n=1An) = P∞n=1P(An) (tính cộng tính đếm được)

Các điều kiện (i)-(iii) được gọi là hệ tiên đề Kolmogorov về xác suất Bộ

ba (Ω, F ,P) được gọi là không gian xác suất

Tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp (không gian BCSC)

σ-đại số F được gọi là σ-đại số các biến cố

Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố

Biến cố Ω ∈ F gọi là biến cố chắc chắn

Biến cố ∅ ∈ F gọi là biến cố không thể có

Biến cố A = Ω\A được gọi là biến cố đối lập của biến cố A

Nếu A ∩ B = AB = ∅ thì A,B được gọi là các biến cố xung khắc

Không gian xác suất (Ω, F ,P) gọi là không gian xác suất đầy đủ nếumọi tập con của biến cố có xác suất không đều là biến cố Để đơn giản, từnay về sau, khi nói đến không gian xác suất (Ω, F ,P), ta luôn xem đó làkhông gian xác suất đầy đủ.

Chú ý Điều kiện (ii) trong định nghĩa trên đảm bảo rằng biến cố chắcchắn có xác suất bằng 1 Tuy nhiên, có những biến cố có xác suất bằng 1nhưng chưa chắc đã là biến cố chắc chắn Những biến cố như vậy gọi là biến

(8.) (Tính liên tục của xác suất )

(i.) Nếu (An, n ≥ 1) là dãy đơn điệu tăng, A1 ⊂ A2 ⊂ ⊂ An ⊂ , thìtồn tại

1.1.2 Xác xuất có điều kiện

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất

A, B ∈ F ,P(A) > 0

Khi đó số

P(B/A) = P(AB)

P(A)được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố B đối với biến cố A

Tính chất 1.1.4 Một số tính chất của xác suất có điều kiện

(1.) P(B/A) ≥ 0

(2.) Nếu B ⊃ A thì P(B/A) = 1, đặc biệt P(Ω/A) = 1

(3.) Nếu (Bn) là dãy các biến cố đôi một xung khắc thì

Định nghĩa 1.1.5 Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu

P(AB) = P(A)P(B)

Tính chất 1.1.6 Giả sử A và B là hai biến cố

(1.) Nếu P(A) > 0,P(B) > 0 Khi đó A, B độc lập khi và chỉ khi

P(A/B) = P(A) hoặc P(B/A) = P(B)

(2.) Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi một trong các điều kiện sauthỏa mãn

(i.) A, B độc lập;

(ii.) A, B độc lập;

(iii.) A, B độc lập

Dưới đây sẽ trình bày khái niệm độc lập của một họ biến cố

Định nghĩa 1.1.7 Họ các biến cố (Ai)i∈I được gọi là độc lập đôi mộtnếu hai biến cố bất kì của họ đều độc lập

Họ các biến cố (Ai)i∈I được gọi là độc lập toàn cục ( gọi vắn tắt là độclập), nếu đối với mọi họ con hữu hạn các biến cố Ai1, Ai2, Ain của họ đó,

(ii.) Nếu P∞n=1P(An) = ∞ và (An, n ≥ 1) độc lập thì P(limsupAn) = 1.Trong đó

n=1P(An) hội tụ hay phân kỳ

1.2 Ánh xạ đo được và biến ngẫu nhiên

1.2.1 Ánh xạ đo được

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử (Ω1; F1) và (Ω2; F2) là hai không gian đo Ánh

xạ X : Ω1 → Ω2 gọi là ánh xạ F1/F2 đo được nếu với mọi B ∈ F2 thì

X−1(B) ∈ F1

Tính chất 1.2.2

1 Giả sử F1, G1 là hai σ-đại số các tập con của Ω1; F2, G2 là hai σ-đại sốcác tập con của Ω2 X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1/F2 đo được Khi đó,nếu F1 ⊂ G1, G2 ⊂ F2 thì X là ánh xạ G1/G2 đo được

2 Giả sử (Ω1, F1), (Ω2, F2) là các không gian đo, X : Ω1 → Ω2 là ánh

xạ F1/F2 đo được, Y : Ω2 → Ω3 là ánh xạ F2/F3 đo được Khi đó,

Z = Y ◦ X : Ω1 → Ω3 là ánh xạ F1/F3 đo được

3 Giả sử (Ω1, F1), (Ω2, F2) là các không gian đo, F2 = σ(C) Khi đó ánh

xạ X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1/F2 đo được khi và chỉ khi X−1(C) ∈ F1với mọi C ∈ C

1.2.2 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất, G là σ-đại sốcon của σ-đại số F Khi đó ánh xạ X : Ω →R được gọi là biến ngẫu nhiên

G- đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi B ∈ B(R) thì

Định lý 1.2.4 X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi một trong các điềukiện sau đây thỏa mãn

(i.) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F với mọi a ∈ R.

(ii.) (X ≤ a) := (ω : X(ω) ≤ a) ∈ F với mọi a ∈ R.

(iii.) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R.

(iv.) (X ≥ a) := (ω : X(ω) ≥ a) ∈ F với mọi a ∈ R.

Định lý 1.2.5 Giả sử X1, X2, Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xácđịnh trên (Ω, F ,P) , f :Rn → R là hàm B(Rn)/B(R) đo được

Định lý 1.2.6 Giả sử (Xn, n ≥ 1) là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xácđịnh trên (Ω, F ,P).

Khi đó, nếu inf

n→∞Xn (nếu tồn tại), đều là biến ngẫu nhiên

Định lý 1.2.7 Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại dãybiến ngẫu nhiên đơn giản, không âm (Xn, n ≥ 1) sao cho Xn ↑ X (khi

n → ∞)

1.2.3 Kỳ vọng

Định nghĩa 1.2.8 Giả sử X : (Ω, F ,P) → (R, B(R)) là biến ngẫu nhiên.Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kỳvọng của X và ký hiệu EX

E|X| < ∞, thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích

Tổng quát: Nếu f : R →R là hàm đo được và Y = f (X) thì

6 (Định lý B.Levi về hội tụ đơn điệu) Nếu Xn ↑ X (tương ứng Xn ↓ X)

và tồn tại n để EXn− < ∞(tương ứng EXn+ < ∞), thì EXn ↑ EX(tươngứng EXn ↓ EX)

7 (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |Xn| < Y với mọi n ≥ 1,

Y < ∞ và Xn → X thì X khả tích, E|Xn − X| → 0 và EXn → EX(khi n → ∞)

8 (Bất đẳng thức Markov) Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm Khi

ω ∈ Ω\N Kí hiệu Xn → X h.c.c hoặc Xn h.c.c→ X khi n → ∞

(ii) Dãy {Xn, n ≥ 1} hội tụ đầy đủ đến X khi n → ∞ nếu với mọi ε > 0thì

(iii) Dãy {Xn, n ≥ 1} hội tụ theo xác suất đến X khi n → ∞ nếu với mọi

Định lý 1.2.13 Nếu {Xn, n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và

1.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên

không gian Banach

Chúng ta giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất đầy đủ, E là khônggian Banach thực khả ly, G là σ-đại số con của σ-đại số F, B(E) là σ-đại sốcác tập Borel của E

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ.

Định nghĩa 1.3.1 Ta nói ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G

-đo được nếu nó là ánh xạ G/B(E) đo được (tức là với mọi B ∈ B(E) thì

X−1(B) ∈ G)

Phần tử ngẫu nhiên F - đo được gọi một cách đơn giản là phần tử ngẫunhiên Hiển nhiên, nếu X là phần tử ngẫu nhiên G- đo được thì X là phần

tử ngẫu nhiên Mặt khác, dễ dàng thấy rằng nếu X là phần tử ngẫu nhiênthì họ

σ(X) = {X−1(B) ∈ B(E)}

lập thành một σ-đại số con của σ-đại số F σ-đại số này được gọi là σ-đại

số sinh bởi X Đây là σ(X)- là σ-đại số bé nhất mà X đo được Do đó, X làphần tử ngẫu nhiên G- đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G

Ví dụ 1.3.2 Xét ánh xạ X : Ω → E xác định bởi

X(ω) = 0, ∀ω ∈ Ω

Khi đó X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được với G = {∅, Ω}

Thật vậy, với mọi B ∈ B(E) thì

Định nghĩa 1.3.4 Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là hội

tụ đến ánh xạ X : Ω → E (khi n → ∞), nếu Xn(ω) → X(ω) (theo chuẩn,khi n → ∞) với mọi ω ∈ Ω

Kí hiệu Xn → X (khi n → ∞ )

1.3.2 Tính chất.

Định lý 1.3.5 Giả sử E1, E2 là các không gian Banach thực khả ly,

T : E1 → E2 là ánh xạ B(E1)/B(E2) đo được và X : Ω → E1 là phần tửngẫu nhiên G-đo được Khi đó ánh xạ T ◦ X : Ω → E2 là phần tử ngẫunhiên G-đo được

Hệ quả 1.3.6 Giả sử ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G-đođược Khi đó, ánh xạ kXk : Ω → R là biến ngẫu nhiên G-đo được.

Định lý 1.3.7 Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G-đo được khi

và chỉ khi với mọi f ∈ E∗ thì f (X) là biến ngẫu nhiên G-đo được

Hệ quả 1.3.8 Giả sử X,Y là các phần tử ngẫu nhiên G-đo được, a, b ∈

R, ξ : Ω → R là biến ngẫu nhiên G-đo được Khi đó aX + bY và ξX là cácphần tử ngãu nhiên G-đo được

Hệ quả 1.3.9 Nếu {Xn, n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên G-đo được và

Xn → X khi n → ∞ thì X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được

Định lý 1.3.10 Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G-đo đượckhi và chỉ khi X là giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc

G-đo được Nghĩa là tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G-đo được{Xn, n ≥ 1}, sao cho

Định lý 1.3.13 Giả sử E1, E2 là các không gian Banach thực khả ly,{Xt, t ∈ ∆} là họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong E1 Khi

đó, nếu với mỗi t ∈ ∆, Tt : E1 → E2 là ánh xạ B(E1)/B(E2) đo được thì

họ {Tt(Xt), t ∈ ∆} là họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong

E2

Định lý 1.3.14 Giả sử X1, X2, , Xn là các phần tử ngẫu nhiên cùngxác định trên (Ω, F ,P), nhận giá trị trên (E, B(E)) Khi đó, điều kiệncần và đủ để X1, X2, , Xn độc lập là với mọi f1, f2, , fn ∈ E∗, các biếnngẫu nhiên f (X1), f (X2), , f (Xn) độc lập

1.3.4 Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên.

Định nghĩa 1.3.15 Giả sử X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên Phần tử

m ∈ E được gọi là kỳ vọng của X nếu với mọi f ∈ E∗ ta có

EkXkp < ∞, thì ta nói X khả tích bậc p Nếu X khả tích bậc 1, thì để đơngiản, ta nói X khả tích

Ký hiệu Xn → X h c c., hoặc Xn −−−→ Xh c c. khi n → ∞.

• Dãy {Xn, n > 1} hội tụ đầy đủ đến X khi n → ∞ nếu với mọi ε > 0 thì

4 Nếu Xn −−−→ Xh c c. hoặc Xn −→ XLp thì Xn −→ XP khi n → ∞.

5 Nếu dãy {Xn, n > 1} hội tụ theo xác suất thì tồn tại dãy con {Xnk, k >1} ⊂ {Xn, n > 1} sao cho {Xnk, k > 1} hội tụ hầu chắc chắn

1.3.6 Không gian Rademacher dạng p.

Định nghĩa 1.3.21 Giả sử {rn, n > 1} là một dãy các biến ngẫu nhiênđộc lập, cùng phân phối thỏa mãn P(r1 = 1) = P(r1 = −1) = 1/2 Khônggian Banach E được gọi là không gian Rademacher dạng p (1 6 p 6 2)nếu tồn tại một hằng số C = Cp sao cho, với mọi n > 1 và mọi vi ∈ E(1 6 i 6 n),

E

CHƯƠNG 2

SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ ĐỐI VỚI TỔNG CÓ TRỌNG

SỐ CỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN

2.1 Sự hội tụ đầy đủ của dãy phần tử ngẫu

nhiên

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất đầy đủ, E làkhông gian Banach thực khả ly, G là đại số con của F và B(E) là đại số cáctập Borel của E

Giả sử {X,Xn,n ≥ 1} là họ phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên Ω vànhận giá trị trong E

Ta nói dãy {Xn,n ≥ 1} hội tụ đầy đủ đến phần tử ngẫu nhiên X nếu mọi

Khi đó kβk = kkak2a k = 2kakkak = 2 > 1

Giả sử {Xn,n ≥ 1 }là dãy phần tử ngẫu nhiên xác định bởi

P(Xn = 0) = 1 − 1

nkβk,

P(Xn = β) = 1

nkβk.

2.2 Sự hội tụ đầy đủ đối với tổng có trọng

số của mảng các phần tử ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.2.1 Giả sử trên đoạn [a, b] xác định một hàm số f (x) hữuhạn Ta chia đoạn [a, b] ra từng phần bởi các điểm :

với ∞ < a < b < ∞ Khi đó

(i.) Nếu f (x) không giảm, thì Vf (x)(a, b) = f (b) − f (a); (2.1)(ii.) Nếu f (x) = f1(x) + f2(x), thì Vf (x)(a, b) ≤ Vf1(x)(a, b) + Vf2(x)(a, b);

(2.2)(iii.) Với mỗi hằng số c, Vf (x)+c(a, b) = Vf (x)(a, b); (2.3)

Z b a

(vi.) Với a < c < b, Vf (x)(a, b) = Vf (x)(a, c) + Vf (x)(c, b) (2.6)

Định nghĩa 2.2.3 Giả sử {Vnk, k ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫunhiên độc lập theo hàng nhận giá trị trên không gian Banach E

Mảng phần tử ngẫu nhiên {Vnk, k ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là bị chặn ngẫunhiên bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số D < ∞ thỏa mãn

P{kVnkk > x} ≤ DP{|DX| > x} với mọi x > 0, và ∀n ≥ 1, ∀k ≥ 1

Định lý 2.2.4 ([6]) Giả sử {Vnk, k > 1, n > 1} là mảng phần tử ngẫunhiên độc lập theo hàng trên không gian Banach thực khả ly và cho{cn, n > 1} là dãy hằng số dương