Nữa nhóm n đơn và nữa nhóm n đơn

Câc nửa nhóm đơn được nghiín cứu một câch có hệ thống vă thu đượcnhiều kết quả sđu sắc trong câc công trình của Rixơ 1940 vă Grin 1951.Chúng cũng được nhiều tâc giả quan tđm nghiín cứu v

LÊ THỊ THANH TÂM

NỬA NHÓM η - ĐƠN VÀ NỬA NHÓM η∗ - ĐƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

LÊ THỊ THANH TÂM

NỬA NHÓM η - ĐƠN VÀ NỬA NHÓM η∗ - ĐƠN

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcPGS TS LÊ QUỐC HÁN

Nghệ An - 2015

2 Nửa nhóm E - ngược Nửa nhóm E∗ - ngược 182.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản 182.2 Mở rộng iđêan đối với các nửa nhóm E ngược và nửa nhóm E∗ -ngược 22

3 Nửa nhóm η - đơn Nửa nhóm η∗ - đơn 263.1 Nửa nhóm η - đơn 263.2 Nửa nhóm η∗ - đơn 31

MỞ ĐẦU

Lý thuyết nửa nhóm được xem như bắt đầu xuất hiện năm 1928 khiXukívich mô tả cấu trúc iđían tối tiểu của một nửa nhóm hữu hạn tùy ý mẵng gọi lă hạt nhđn của nửa nhóm ấy Hơn nữa, người ta chứng minh đượcrằng nếu hạt nhđn của một nửa nhóm S tồn tại thì S phải lă nửa nhóm đơn(nghĩa lă nửa nhóm không có iđían thực sự hai phía)

Câc nửa nhóm đơn được nghiín cứu một câch có hệ thống vă thu đượcnhiều kết quả sđu sắc trong câc công trình của Rixơ (1940) vă Grin (1951).Chúng cũng được nhiều tâc giả quan tđm nghiín cứu văo những năm cuốithế kỷ trước vă đầu thế kỷ năy bằng câch đưa văo những lớp nửa nhóm đơntheo nghĩa rộng hơn hoặc tương tự

Dựa trín công trình η - simple semigroups without zero and η∗ - simplesemigroups with a least non - zero idempotent của Roman S Gigon đăngtrín tạp chí Semigroup Forum năm 2013 (Xem [3]) chúng tôi tìm hiểu câcnửa nhóm η - đơn vă nửa nhóm η∗ - đơn

Ngoăi phần mở đầu, kết luận vă tăi liệu tham khảo, luận văn gồm bachương

Chương 1 Nửa nhóm 0 - đơn Nửa nhóm 0 - đơn hoăn toăn

Trong chương năy, sau khi nhắc lại khâi niệm iđían vă câc quan hệ Grintrong nửa nhóm, chúng tôi hệ thống lại câc kết quả liín quan đến câc nửanhóm 0 - đơn vă nửa nhóm 0 - đơn hoăn toăn

Chương 2 Nửa nhóm E - ngược Nửa nhóm E∗ - ngược

Trong chương năy, chúng tôi trình băy khâi niệm vă câc tính chất của nửa

nhómE - ngược và nửa nhómE∗ - ngược, cùng với mở rộng iđêan trên chúng.Chương 3 Nửa nhóm η - đơn Nửa nhóm η∗ - đơn.

Đây là nội dung chính của luận văn

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và các tính chất của nửanhóm η - đơn và nửa nhóm η∗ - đơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình, chu đáo của PGS TS Lê Quốc Hán Tác giả xin được bày tỏ lờicảm ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn cácthầy giáo, cô giáo trong Khoa Sư Phạm Toán học cùng các bạn học viênlớp Cao học 21 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã quan tâm giúp đỡ

và hướng dẫn tận tình tác giả để hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơnPhòng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu - Trường Đại học Vinh đã tạođiều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.Mặc dù có nhiều cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những saisót Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hoànthiện hơn Chúng tôi xin chân thành cảm ơn

Nghệ An, tháng 09 năm 2015

Tác giả

CHƯƠNG 1

HOÀN TOÀN

1.1 Iđêan và các quan hệ Grin trong nửa nhóm

1.1.1 Định nghĩa Giả sử I là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S.(i) I được gọi là iđêan trái (phải) của S nếu SI ⊆ I (tương ứng IS ⊆ I);(ii) I được gọi là iđêan của S nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra

1.1.2 Hệ quả Giả sử I là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S

(i) I được gọi là iđêan trái (phải) của S nếu với mỗi a ∈ I, với mọi x ∈ S

có xa ∈ I (tương ứng, ax ∈ I);

(ii) Nếu I là một iđêan trái (phải) của S thế thì I là một nửa nhóm concủa S;

(iii) Nếu I và J là các iđêan trái (phải) của S thì hoặc I ∩ J = ∅ hoặc

I ∩ J là iđêan trái (phải) của S

1.1.3 Định nghĩa (i) Giả sử I là một iđêan củaS Ta định nghĩa một quan

hệ ρI trên S bởi ρI = I × I ∪ iS, nghĩa là xρIy nếu và chỉ nếu hoặc x, y ∈ I

hoặc x = y Khi đó ρI là một tương đẳng trên S và được gọi là tương đẳngRixơ trên S liên kết với I

(ii) Nửa nhóm thương S/ρI được ký hiệu bởi S/I, và được gọi là thươngRixơ của I

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra.

1.1.5 Hệ quả (i) Nửa nhóm S là một nhóm nếu và chỉ nếu S vừa là nửanhóm đơn trái vừa là nửa nhóm đơn phải;

(ii) Nửa nhóm S là một nửa nhóm đơn nếu và chỉ nếu SxS = S với mọi

x ∈ S

1.1.6 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Ta định nghĩa các quan hệ

L, R, J sau đây trên S:

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra:

aLb nếu và chỉ nếu có s, s0 ∈ S1 sao cho a = sb, b = s0a;

aRb nếu và chỉ nếu có r, r0 ∈ S1 sao cho a = br, b = ar0;

hơn nữa L, R, J là các quan hệ tương đương trên S thỏa mãn L ⊆ J,

R ⊆ J và L◦R = R◦L Từ đó D = L◦R (= R◦L) là quan hệ tương đươngnhỏ nhất chứa cả L và R Theo lý thuyết tập hợp, H := L∩ R là quan hệtương đương lớn nhất được chứa cả trong L và R

Các quan hệ L, R, J, D, H được gọi là các quan hệ Grin trong nửa nhóm

S

Với mỗi a ∈ S, các L - lớp, R - lớp, J - lớp, D - lớp và H - lớp chứa a

được ký hiệu tương ứng bởi La, Ra, Ja, Da và Ha

1.1.7 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm D - đơn hoặc songđơn nếu S chỉ gồm một D - lớp

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra

1.1.8 Hệ quả (i) S là nửa nhóm đơn (đơn trái, đơn phải) nếu và chỉ nếu

S chỉ gồm J - lớp (L - lớp, R - lớp);

(ii) Nếu S là nửa nhóm song đơn thì S là một nửa nhóm đơn;

(iii) Mỗi nhóm đơn phải (trái) là một nửa nhóm song đơn

1.1.9 Định nghĩa Một iđêan M hai phía (trái, phải) của nửa nhóm S đượcgọi là iđêan tối tiểu của S nếu M không thực sự chứa iđêan hai phía (trái,phải) của S

Giả sử M là một iđêan tối tiểu của S và I là một iđêan tùy ý của S Thếthì M I ⊆ M ∩ I nên M I 6= ∅ (vì M 6= ∅ và I 6= ∅) Ta lại có M ∩ I ⊆ M

và M ∩ I là một iđêan của S nên từ tính tối tiểu của M suy ra M ⊆ I Nhưvậy nếu nửa nhóm S có iđêan tối tiểu thì iđêan đó duy nhất

Không phải nửa nhóm nào cũng có iđêan tối tiểu Chẳng hạn nửa nhómcộng các số nguyên dương N∗ Các iđêan của N∗ có dạng n + N∗, trong đó

n +N∗ = {n + k : k ∈ N∗} Hơn nữa m +N∗ ⊆ n +N∗ nếu và chỉ nếu m ≥ n

Do đó N∗ không có iđêan tối tiểu

Mọi nửa nhóm S hữu hạn đều có iđêan tối tiểu, đó là iđêan có số phần tử

ít nhất (iđêan như vậy tồn tại vì bản thân S là một iđêan của S và S có hữuhạn phần tử)

1.1.10 Định nghĩa Giả sử nửa nhóm S có iđêan tối tiểu (duy nhất) thìiđêan đó được gọi là hạt nhân của S và được ký hiệu bởi K

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra K được chứa trong mọi iđêan hai phía của

S do đó K là giao của tất cả các iđêan hai phía Nếu S là nửa nhóm hữu hạnthì S có hạt nhân

(ii) {0} là iđêan hai phía (trái, phải) thực sự duy nhất của S

1.2.3 Bổ đề Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử 0, hơn nữa {0} là iđêanhai phía thực sự duy nhất của S Thế thì hoặc S là nửa nhóm 0 - đơn, hoặc

S là nửa nhóm với phép nhân không

Chứng minh Rõ ràng hoặc S2 = S hoặc S2 = 0 Trong trường hợp thứ nhất

S là nửa nhóm 0 - đơn vì 0 6= S = S2 Trong trường hợp thứ hai nếu a làmột phần tử khác không của S thì {0, a} là một iđêan khác không của S nên

{0, a} = S

Định lý sau đây chứng tỏ rằng mỗi nửa nhóm 0 - đơn phải thu được từmột nửa nhóm đơn phải bằng cách ghép thêm phần tử không Mặt khác giữacác nửa nhóm 0 - đơn ghép thêm phần tử không có những khác biệt sâu sắc.1.2.4 Định lí Nếu S là nửa nhóm 0 - đơn phải (trái) thì S \ 0 là một nửanhóm con đơn phải (trái) của S.

Chứng minh Trước hết ta chứng tỏ rằng S \ 0 là một nửa nhóm con của

S, nghĩa là S không chứa các ước thực sự của 0 Giả thiết trái lại rằng

a, b ∈ S, a 6= 0, b 6= 0 nhưng ab = 0 Tập hợp tất cả các x ∈ S mà ax = 0 làmột iđêan phải của S chứa tập con {0, b} 6= 0 do đó trùng với S Nhưng khi

đó {0, a} là một iđêan khác không của S, {0, a} = S Thế thì S2 = 0 mâuthuẫn với S là nửa nhóm 0 - đơn phải

Giả sử S là một nửa nhóm không chứa phần tử không và S0 = S ∪ 0 làmột nửa thu được từ S bằng cách ghép thêm phần tử không Khi đó ánh xạ

A → A ∪ {0} là ánh xạ một - một từ tập tất cả các iđêan hai phía (trái,phải) của S lên tập tất cả các iđêan hai phía khác không của S0 Ánh xạ đóbảo toàn quan hệ bao hàm, đặc biệt A là iđêan tối tiểu của S nếu và chỉ nếu

A ∪ {0} là iđêan tối tiểu của S0 Do đó mỗi định lý bất kỳ về các iđêan 0 tối tiểu kéo theo một hệ quả hiển nhiên về các iđêan tối tiểu của nửa nhómkhông chứa phần tử không Tương tự, mọi định lý về nửa nhóm 0 - đơn kéotheo một hệ quả về nửa nhóm đơn

-1.2.5 Bổ đề Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử 0 sao cho S 6= 0 Thếthì S là nửa nhóm 0 - đơn nếu và chỉ nếu SaS = S đối với mỗi a 6= 0 thuộc

S

Chứng minh Trước hết ta chú ý rằng điều kiện trên tương đương điều kiện:với mọi a, b ∈ S, a 6= 0, phương trình xay = b bao giờ cũng giải được trong

S đối với x và y

Bây giờ giả thiết rằng S là nửa nhóm 0 - đơn Giả sử B là tập hợp tất cảcác phần tử b ∈ S sao cho SbS = 0 Rõ ràng B là iđêan của S, do đó hoặc

B = S hoặc B = 0 Trong trường hợp thứ nhất S2 = 0 là điều không thểxảy ra vì S2 = S nên S3 = S2 = S Do đó B = 0 và ta kết luận được rằng

SaS 6= 0 với mỗi a ∈ S \ 0 Nhưng vì SaS là một iđêan của S nên SaS = S

(do S là một nửa nhóm 0 - đơn)

Đảo lại, giả thiết rằng SaS = S đối với mỗi a 6= 0 thuộc S Giả sử A làmột iđêan khác không của S Khi đó S = SaS ⊆ SAS ⊆ A, nghĩa là A = S

Vì S 6= 0 theo giả thiết nên S chứa phần tử a 6= 0 Từ quan hệ bao hàm

S = SaS ⊆ S2 suy ra S2 6= 0 và do đó S là nửa nhóm 0 - đơn

1.2.6 Định lí Giả sử M là một iđêan hai phía 0 - tối tiểu của một nửanhóm S với phần tử 0 Khi đó hoặc M2 = 0 hoặc M là nửa nhóm con 0 -đơn của S

Chứng minh Giả thiết rằng M2 6= 0 Khi đó như đã chú ý trên, M2 = M.Giả sử a, b ∈ M, a 6= 0 Vì S1aS1 là một iđêan khác không của S được chứatrong M nên S1aS1 = M Từ đó M = M2 = M S1aS1M ⊆ M aM ⊆ M nên

M aM = M Thế thì M là nửa nhóm 0 - đơn theo Bổ đề 1.2.5

1.2.7 Hệ quả Nếu S là một nửa nhóm chứa hạt nhân K thế thì K là nửanhóm con đơn của S

1.2.8 Bổ đề Nếu L là một iđêan trái 0 - tối tiểu của nửa nhóm S với phần

tử 0 sao cho L2 6= 0 thế thì L = Sa đối với mỗi phần tử a 6= 0 của L

Chứng minh Rõ ràng Sa là một iđêan trái của S được chứa trong L Nếu

Sa = 0 thì {0, a} = L Nhưng khi đó L2 = 0 trái giả thiết Vậy Sa 6= 0 và

do đó Sa = L

1.2.9 Bổ đề Giả sử L là một iđêan trái 0 - tối tiểu của một nửa nhóm S

với phần tử 0 và x ∈ S Khi đó Lx hoặc bằng 0 hoặc là một iđêan trái 0 - tốitiểu của S

Chứng minh Giả thiết rằng Lx 6= 0 Khi đó Lx là một iđêan trái 0 - tối tiểu.Giả sử A là một iđêan trái của S chứa trong Lx, còn B là tập hợp tất cả cácphần tử b ∈ B sao cho bx ∈ A Khi đó Bx ⊆ A Vì mỗi phần tử thuộc A códạng yx với y nào đó thuộc L và mỗi phần tử như vậy thuộc B nên Bx = A.Nếu b ∈ B và s ∈ S thì sbx ∈ sA ⊆ A và sb ∈ sL ⊆ L Do đó sb ∈ B, từ đósuy ra B là một iđêan trái của S Do tính 0 - tối tiểu của iđêan L nên hoặc

B = 0 hoặc B = L và tương ứng hoặc A = 0 hoặc A = Lx

1.2.10 Định lí Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử 0 và M là iđêan 0

- tối tiểu của S chứa ít nhất một iđêan 0 - tối tiểu của S Khi đó M là hợpcủa tất cả các iđêan trái 0 - tối tiểu của S chứa trong M

Chứng minh Giả sửA là hợp của tất cả các iđêan trái 0- tối tiểu củaS chứatrong M Ta chứng tỏ rằng A = M Rõ ràng A là một iđêan trái của S Tachứng minh A là iđêan phải của S Giả sử a ∈ A và x ∈ S Theo định nghĩacủa A, a ∈ L trong đó L là một iđêan 0 - tối tiểu của S chứa trong M Theo

Bổ đề 1.2.9, Lx = 0 hoặc Lx là một iđêan trái 0 - tối tiểu của S Dễ thấy

Lx ⊆ M x ⊆ M và vì vậy Lx ⊆ A Do đó ax ∈ A, A 6= 0 vì M chứa ít nhấtmột iđêan trái tối tiểu Do đó A là iđêan hai phía khác không của S đượcchứa trong M, từ đó A = M do tính 0 - tối tiểu của M

1.2.11 Bổ đề Nếu M là một iđêan 0 - tối tiểu của một nửa nhóm S vớiphần tử 0 sao cho M2 6= 0 và L là một iđêan trái khác không của S chứatrong M thì L2 6= 0

Chứng minh Vì LS là một iđêan của S chứa trong M nên hoặc LS = 0

hoặc LS = M Nếu LS = 0 thì do L là iđêan trái của S nên L = M

và do đó M2 = LM ⊆ LS = 0 trái giả thiết Do đó LS = M và từ

M = M2 = LSLS ⊆ L2S suy ra L0 6= 0

1.2.12 Định lí Giả sử M là một iđêan 0 - tối tiểu của một nửa nhóm S vớiphần tử 0 sao cho M2 6= 0 Giả thiết rằng M chứa ít nhất một iđêan trái 0 -tối tiểu của S Khi đó mỗi iđêan trái của M cũng là iđêan trái của S.

Chứng minh Giả sửL là một iđêan trái khác không củaM và a ∈ L \ 0 Khi

đó M a 6= 0 Thật vậy, nửa nhóm M là 0 - đơn theo Định lý 1.2.6 và do đó

M aM = M theo Bổ đề 1.2.5

Theo Định lý 1.2.10, tồn tại một iđêan 0 - tối tiểu L0 của S sao cho a ∈

L0 ⊆ M Vì M alà một iđêan trái khác không củaS chứa trongL0 nên ta kếtluận được rằng M a = L0 và nói riêng a ∈ M a Từ đó L = ∪{M a : a ∈ L}.Nhưng khi đó hợp L của các iđêan trái của S cũng là iđêan trái của S

1.3 Nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn

Giả sử E là tập hợp các lũy đẳng của một nửa nhóm S Nếu e, f ∈ E thì

ta đặt e ≤ f nếu và chỉ nếu ef = f e = e Thế thì ≤ là một quan hệ thứ tự

bộ phận trên S Nếu S chứa phần tử 0 thì 0 ≤ e với mỗi e ∈ E Lũy đẳng

f ∈ E được gọi là lũy đẳng nguyên thủy nếu f 6= 0 và nếu từ e ≤ f kéo theo

do đó E 6= ∅ Hơn nữa, E 6= 0 vì nếu trái lại mỗi phần tử của S đều là phần

tử lũy linh (nghĩa là tồn tại số nguyên dương n sao cho Sn = 0), trái với giảthiết S2 = S Thế thì tập sắp thứ tự bộ phận E \ 0 hữu hạn sẽ chứa mộtphần tử tối tiểu, đó là lũy đẳng nguyên thủy

Trong phần này chúng ta sẽ chứng tỏ rằng nửa nhóm 0 - đơn là 0 - đơnhoàn toàn nếu và chỉ nếu S chứa ít nhất một iđêan trái 0 - tối tiểu và ít nhất

một iđêan phải 0 - tối tiểu Ngoài ra ta cũng tìm hiểu được các đặc trưngkhác của nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn.

1.3.2 Bổ đề Nếu L là một iđêan trái 0 - tối tiểu của nửa nhóm S với phần

tử 0 thì L \ 0 là một L - lớp của S

Chứng minh Giả sử a ∈ L \ 0 Khi đó hoặc Sa = L hoặc Sa = 0 Nếu

Sa = L với mỗi a ∈ L \ 0 thì S1a = S1b với a, b tùy ý thuộc L \ 0 nên

L \ 0 ⊆ La Khi đó với mỗi c ∈ La thì c ∈ S1a = L nên La ⊆ L \ 0 Do đó

1.3.3 Bổ đề Giả sử S là một nửa nhóm 0 - đơn chứa iđêan trái 0 - tối tiểu

và iđêan phải 0 - tối tiểu Thế thì mỗi iđêan trái 0 - tối tiểu của S ứng với ítnhất một iđêan phải 0 - tối tiểu R của S sao cho LR 6= 0

Chứng minh Chú ý rằng LS là một iđêan (hai phía) của S, do đó hoặc

LS = S hoặc LS = 0 Nếu LS = 0 thì L2 = 0 trái với Bổ đề 1.2.11 Do đó

LS = S Đặc biệt Lc 6= 0 với c nào đó thuộc S Theo Định lý đối ngẫu vớiĐịnh lý 1.2.10, S là hợp của các iđêan phải tối tiểu Do đó c ∈ R đối với mỗiiđêan phải 0 - tối tiểu R nào đó của S và rõ ràng LR 6= 0

1.3.4 Bổ đề Giả sử L là một iđêan trái 0 - tối tiểu của nửa nhóm 0 - đơn

S và a ∈ L \ 0 Thế thì Sa = L

Chứng minh Vì Sa là một iđêan trái của S chứa trong L nên Sa = 0 hoặc

Sa = L Trường hợp Sa = 0 trái với Bổ đề 1.2.5

1.3.5 Bổ đề Giả sử S là một nửa nhóm 0 - đơn L và R tương ứng là cáciđêan trái và phải 0 - tối tiểu của S sao cho LR 6= 0 Thế thì

(i) LR = S;

(ii) RL là một nhóm với phần tử không;

(iii) RL = R ∩ L

Giả sử e là đơn vị của nhóm RL \ 0 Thế thì

(iv) R = eS, L = Se và RL = eSe;

(v) e là lũy đẳng nguyên thủy của nửa nhóm S

Chứng minh (i) Vì LR là iđêan hai phía khác không của nửa nhóm 0 - đơn

S nên LR = S

(ii) Từ đẳng thức S = S2 = LRLR suy ra RL 6= 0 Ta chứng minh RL làmột nhóm với phần tử không Muốn vậy chỉ cần chứng minh RLa = aRL =

RLvới mọi phần tử akhác không củaRL Giả sử a ∈ RL\0 Khi đóa ∈ R\0

và do đó aS = R theo Bổ đề đối ngẫu với Bổ đề 1.2.3 Từ S = LR = LaS

suy ra La 6= 0 Vậy La là một iđêan trái khác không của S chứa trong L (vì

a ∈ L) và do đó La = L Thành thử RLa = RL Bằng lập luận đối ngẫu, có

aRL = RL

(iii) Giả sửelà đơn vị của nhómRL\0 Theo Bổ đề 1.3.2 có(R\0)∩(L\0)

là một H - lớp của S Nó chứa lũy đẳng e nên theo Định lý Grin nó là mộtnhóm Do đóR∩Llà một nhóm với phần tử0 Nếua ∈ R∩Lthìa = ae ∈ RL

vì a ∈ R và e ∈ L Vậy R ∩ L ⊆ RL Bao hàm thức ngược lại là hiển nhiên.(iv) Vì e ∈ L \ 0nên theo Bổ đề 1.3.4,Se = L Một cách đối ngẫu,eS = R

và từ đó RL = eSSe = eSe

(v) Giả thiết rằng f là một lũy đẳng của S sao chof ≤ e Khi đó f ∈ eSe.Theo (iv) có eSe = RL, hơn nữa theo (ii) RL là một nhóm với phần tử 0

Vì trong một nhóm với phần tử không chỉ có hai lũy đẳng là 0 và đơn vị nên

f = 0 hoặc f = e, do đó f là lũy đẳng nguyên thủy

1.3.6 Bổ đề Giả sử S là một nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn và e là lũy đẳngnguyên thủy của nó Thế thì L = Se và R = eS là các iđêan trái và phải 0

- tối tiểu tương ứng của S, hơn nữa RL(= eSe = R ∩ L) là một nhóm vớiphần tử 0 mà đơn vị là e.

Chứng minh Ta chứng minh rằng iđêan R = eS là 0 - đơn tối tiểu Trướchết ta chú ý rằng R 6= 0 vì e ∈ R Giả sử A là một iđêan phải khác khôngcủa S chứa trong R và giả sử a ∈ A \ 0 Giả sử S là 0 - đơn và a 6= 0 nên ta

có SaS = S (theo Bổ đề 1.2.5), vì vậy tồn tại x0, y0 ∈ S sao cho x0ay0 = e.Đặt x = ex0e, y = ey0e ta được xay = e, ex = xe = x, ye = y

Nếu đặt f = ayx ta được f2 = ay(xay)x = ayex = ayx = f; ef =(ea)yx = ayx = f; f e = ay(xe) = ayx = f Hơn nữa f 6= 0 Vậy f là lũyđẳng khác không, f ≤ e nên f = e (vì e là lũy đẳng nguyên thủy) và khi đó

e = ayx ∈ aS, từ đó R = eS ⊆ aS2 ⊆ A Vậy A = R, nghĩa là R là iđêan 0

- tối tiểu

Một cách đối ngẫu, ta chứng minh được L là iđêan 0 - tối tiểu Vì LR =SeS = S 6= 0 nên từ Bổ đề 1.3.6 suy ra RL là một nhóm với phần tử không

Vì e = eSe = eS2e = RL và e 6= 0 nên e là đơn vị của RL

1.3.7 Định lí Giả sử S là một nửa nhóm 0 - đơn Khi đó S là 0 - đơn hoàntoàn nếu và chỉ nếu S chứa ít nhất một iđêan trái 0 - tối tiểu và một iđêanphải 0 - tối tiểu

Chứng minh Nếu S là nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn thì nó chứa lũy đẳngnguyên thủy e Theo Bổ đề 1.3.6, L = Se và R = eS tương ứng là các iđêantrái và phải 0 - tối tiểu của S

Đảo lại, giả sử S chứa ít nhất một iđêan trái 0- tối tiểu và một iđêan phải

0 - tối tiểu Giả sử L là iđêan 0 - tối tiểu của S Theo Bổ đề 1.3.3, tồn tạimột iđêan phải 0 - tối tiểu R sao cho LR 6= 0 Theo Bổ đề 1.3.5 (v), S làchứa lũy đẳng nguyên thủy và do đó S là nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn.1.3.8 Hệ quả Một nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn là hợp của các iđêan trái(phải) 0 - tối tiểu của nó

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Định lý 1.3.7 và Định lý 1.2.10.

1.3.9 Hệ quả Giả sử M là một iđêan 0 - tối tiểu của nhóm S sao cho

M2 6= 0 Hơn nữa, giả thiết rằng M chứa ít nhất một iđêan 0 - tối tiểu của

S và chứa ít nhất một iđêan phải 0 - tối tiểu của S Thế thì M là một nửanhóm con 0 - đơn hoàn toàn của S

Chứng minh Theo Định lý 1.2.6, M là một nửa nhóm 0 - đơn của S TheoĐịnh lý 1.2.12, mỗi iđêan trái (phải) 0 - tối tiểu của S chứa trong M cũng

là một iđêan trái (phải) 0 - tối tiểu của M Thế thì theo Hệ quả 1.3.9, M lànửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn

Ta nhắc lại rằng một nửa nhóm S được gọi là D - đơn hoặc song đơn nếu

S chỉ gồm một D - lớp Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quynếu mọi phần tử củaS đều là phần tử chính quy, nghĩa là với mọi a ∈ S, tồntại x ∈ S sao cho axa = a

1.3.10 Định lí Một nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn là 0 - song đơn và chínhquy

Chứng minh Giả sửS là một nửa nhóm0- đơn hoàn toàn Giả sửa, b ∈ S \0

Ta chứng tỏ aDb Theo Hệ quả 1.3.8, a thuộc một iđêan trái 0 - tối tiểu L

nào đó của S và b thuộc một iđêan phải 0 - tối tiểu R nào đó của S Theo

Bổ đề 1.3.4, L = Sa và R = bS Theo Bổ đề 1.3.3 và đối ngẫu của nó,

La = L \ 0 và Rb = R \ 0 Từ a ∈ L và b ∈ R suy ra bSa ⊆ R ∩ L Vì

S là nửa nhóm 0 - đơn và a 6= 0, b 6= 0 nên SaS = S và SbS = S Do đó

S = S2 = SbSSaS ⊆ S(bSa)S suy ra bSa 6= 0 Vì Rb ∩ La chứa tập conkhác rỗng bSa \ 0 nên aDb Vậy S là nửa nhóm 0 - song đơn

Theo Định nghĩa của nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn, D - lớp S \ 0 chứa lũyđẳng (nguyên thủy), do đó mỗi phần tử thuộc S \ 0 là phần tử chính quy Vì

0 cũng là phần tử chính quy nên S là nửa nhóm chính quy