Một số tính chất của vành chính quy mạnh

Điềukiện này tương đương với một trong các điều kiện sau: i Mọi iđêan trái phải chính đều sinh bởi một phần tử lũy đẳng;ii Mọi iđêan trái phải hữu hạn sinh đều sinh bởi một phần tửlũy đẳ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Người hướng dẫn khoa học:

TS ĐINH ĐỨC TÀI

Nghệ An, 2015

MỞ ĐẦU

Năm 1936, trong [6], John von Newmann đã đưa ra khái niệm vànhchính quy: vành R được gọi là vành chính quy (von Newmann regularring - VNR) nếu với mọi a ∈ R, tồn tại b ∈ R sao cho a = aba Điềukiện này tương đương với một trong các điều kiện sau:

(i) Mọi iđêan trái (phải) chính đều sinh bởi một phần tử lũy đẳng;(ii) Mọi iđêan trái (phải) hữu hạn sinh đều sinh bởi một phần tửlũy đẳng;

(iii) Mọi iđêan trái chính là hạng tử trực tiếp của R-môđun trái(phải) R;

(iv) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp của R-môđuntrái (phải) R;

(v) Mọi môđun con hữu hạn sinh của R-môđun trái (phải) xạ ảnhđều là hạng tử trực tiếp của chính nó

Các ví dụ về lớp vành này chúng ta có: mọi trường đều là vànhchính quy vì với mọi a 6= 0 chúng ta có thể lấy b = a−1 thỏa mãnaba = aa−1a = a Một ví dụ khác về vành chính quy, chẳng hạn

Mn(K) Với mọi A ∈ Mn(K) với rank(A) = r, khi đó tồn tại các matrận khả nghịch U, V sao cho A = U

h Ir 0

0 0

i

V Đặt B = V−1U−1,khi đó ta có

ABA = U h I0 0r 0 iV V−1U−1U h I0 0r 0 iV = Uh I0 0r 0 iV = A.Lớp vành chính quy đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhànghiên cứu lý thuyết vành trên thế giới với số lượng đáng kể các kếtquả nghiên cứu được công bố trên các tạp chí có uy tín Lớp vành

chính quy (theo nghĩa von Newmann) cũng đã được mở rộng theonhiều hướng khác nhau: vành P - chính quy (mọi iđêan nguyên tố hữuhạn sinh là hạng tử trực tiếp của RR); vành chính quy yếu (weaklyvon Newmann regular rings: mọi iđêan hữu hạn sinh I và J của Rthỏa mãn I ⊆ J R, nếu J sinh bởi một phần tử lũy đẳng của Rthì I cũng sinh bởi phần tử lũy đẳng đó), đặc biệt, trong [3], M P.Drazin đã đưa ra khái niệm vành chính quy mạnh: vành R được gọi làvành chính quy mạnh (strongly regular ring) nếu với mọi a ∈ R, tồntại b ∈ R sao cho a = a2b Chúng ta có thể tham khảo các kết quảnghiên cứu về lớp vành chính quy mạnh của các tác giả trong [2], [5],

Trên cơ sở tài liệu tham khảo [9], chúng tôi lựa chọn đề tài nghiêncứu: "Một số tính chất của vành chính quy mạnh" nhằm mục đích cóthêm sự hiểu biết về hai lớp vành này

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, cấu trúc luậnvăn gồm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Nội dung chính của chương này chủ yếu trình bày các khái niệm,các tính chất cơ bản nhằm phục vụ nội dung của Chương 2

Chương 2 Vành chính quy mạnh và một số đặc trưng của vành

V-Nôi dung của Chương 2 được trình bày trong 2 phần:

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn của TS Đinh Đức Tài Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn tới:các Thầy giáo, Cô giáo trong Bộ môn Đại số, Khoa Toán, Trường Đạihọc Vinh; Phòng Đào tạo Sau đại học; gia đình và bạn bè đồng nghiệp

về sự giúp đỡ, động viên cả về tinh thần lẫn vật chất, tạo mọi điềukiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học này

Nghệ An, tháng 8 năm 2015

Tác giả

A ,→e B : A là môđun con cốt yếu của B

A  B : A là môđun con bé của B

A ∼= B : A đẳng cấu với B

A ⊕ B : Tổng trực tiếp của môđun A và môđun B

ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm)

E(M ) : Bao nội xạ của môđun M

Soc(M ) : Đế của môđun M

End(M ) :Vành các tự đồng cấu của môđun M

u-dim(M ) : Chiều Goldie của môđun M

Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh của đồng cấu f (tương ứng)

M(I) : ⊕i∈IM (tổng trực tiếp của I bản sao của M )

MR(RM ) : M là một R-môđun phải (trái)

Mn(S) : Vành các ma trận vuông cấp n với các hệ tử trên S

M od-R: Phạm trù các R-môđun phải

Rad(M ) : Căn của môđun M

J (R) : Căn Jacobson của vành R

Z(M ) : Môđun con suy biến của môđun M

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, vành R luôn đượchiểu là vành kết hợp, có đơn vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét làmôđun unita phải hoặc trái

Trước hết, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bảncủa Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại Các khái niệm và tínhchất này đã được giới thiệu trong nhiều tài liệu khác nhau, chúng tôichủ yếu tham khảo trong các tài liệu [8], [7]

1.1.1 Định nghĩa

Cho vành R Một phần tử a ∈ R được gọi là phần tử:

? ước không trái (phải) nếu ab = 0(ba = 0), với mọi 0 6= b ∈ R

? ước của không nếu nó là ước không trái hoặc phải

? lũy đẳng nếu a2 = a

? lũy linh nếu ak = 0, với k ∈ N nào đó

? chính quy nếu tồn tại b ∈ R sao cho aba = a

? khả nghịch trái (phải) nếu tồn tại b ∈ R sao cho ba = 1(ab = 1)

? khả nghịch nếu nó khả nghịch trái và phải Tập hợp tất cả cácphần tử khả nghịch của vành R được ký hiệu là U (R)

? tâm nếu ab − ba = 0; ∀b ∈ R

1.1.2 Nhận xét.

? Với mọi vành R, 0 và 1 là các phần tử lũy đẳng

? Với mọi vành R, e ∈ R lũy đẳng khi và chỉ khi (1 − e) lũy đẳng.Thật vây

Từ e lũy đẳng ta có: e2 = e ⇔ e2 − e = 0 ⇔ e2 − 2e + 1 = 1 − e ⇔(1 − e)2 = 1 − e Hay (1 − e) là phần tử lũy đẳng

1.1.3 Định nghĩa

Hai phần tử lũy đẳng e, f ∈ R được gọi là trực giao nếu ef =

f e = 0

Phần tử lũy đẳng trong R được gọi là lũy đẳng nguyên thủy nếu

nó không thể biểu diễn thành tổng của hai phần tử lũy đẳng trực giaokhác không

Kết quả sau là một đặc trưng của vành chính quy von Neumann(VNR)

1.1.4 Bổ đề Cho R là một vành, các điều kiện sau tương đương:(a) R là VNR;

(b) Mọi R- môđun trái là nội xạ chính;

(c) Mọi R- môđun trái xiclic là nội xạ chính

1.1.5 Mệnh đề Trên vành R, các điều kiện sau tương đương:

(a) R là VNR không chứa các phần tử lũy linh khác không;

(b) Mọi R- môđun đơn là nội xạ chính và mọi iđêan trái của R làiđêan hai phía

Trên vành R, một R- môđun phải M được gọi là môđun đơn ple) nếu M 6= 0 và không có môđun con nào khác ngoại trừ 0 và chính

(sim-nó Môđun M được gọi là môđun nửa đơn (semisimple) nếu thỏa mãnmột trong các điều kiện tương đương sau:

1 Mọi môđun con của M là một tổng của các môđun con đơn.

2 M là tổng của các môđun con đơn

3 M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn

4 Mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M

Tổng tất cả các môđun con đơn của R- môđun phải M được gọi là

đế phải của môđun MR Ký hiệu Soc(MR) hoặc Sr(M )

Đối ngẫu với khái niệm đế của một môđun chúng ta có khái niệmcăn của môđun Căn của MR, kí hiệu Rad(MR), là giao của tất cả cácmôđun con tối đại của MR, là tổng của tất cả các môđun con bé của

MR Nếu MR không chứa môđun con tối đại nào thì ta định nghĩaRad(MR) = M Đặc biệt, Rad(RR) = Rad(RR) = J (R) Do đó không

sợ nhầm lẫn, ta kí hiệu J (R) để chỉ căn Jacobson của vành R và cũng làRadical của RR Nếu MR là môđun hữu hạn sinh thì Rad(MR)  MR.Cho R- môđun M khác không Một dãy hữu hạn n + 1 các môđuncon của M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = 0 được gọi là dãy hợp thành

có độ dài n (composition series of length n) nếu Mi−1/Mi là đơn.Liên quan đến dãy hợp thành và là cơ sở của việc hình thành kháiniệm về độ dài của một môđun, chúng ta có Định lý Jordan- H¨older:1.1.6 Định lý Nếu môđun M có dãy hợp thành có độ dài hữu hạn thìmọi dãy hợp thành của M đều có cùng độ dài

Một môđun M có dãy hợp thành có độ dài hữu hạn được gọi làmôđun có độ dài hữu hạn và độ dài của dãy hợp thành được gọi là độdài của M , ký hiệu lg(M ) hoặc length(M ) Sau đây là định nghĩa vàmột số tính chất của dãy khớp

1.1.7 Định nghĩa Một cặp các đồng cấu M0 →f M →g M ” đượcgọi là khớp (exact) tại M nếu Im(f ) = Ker(g) Dãy khớp có dạng

0 → M0 →f M →g M ” → 0 được gọi là dãy khớp ngắn (short exactsequence).

Đối với dãy khớp chúng ta có một số tính chất sau:

1.1.8 Mệnh đề Cho M và N là các R-môđun và f : M → N là mộtđồng cấu Khi đó:

1 0 → M →f N là dãy khớp nếu và chỉ nếu f là đơn cấu

2 M →f N → 0 là dãy khớp nếu và chỉ nếu f là toàn cấu

3 0 → M →f N → 0 là dãy khớp nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu.1.1.9 Định nghĩa Nếu f : M → N , f0 : N → M là các đồng cấuthỏa mãn f ◦ f0 = 1N thì ta nói rằng f là một toàn cấu chẻ (splitepimorphism) và f0 là một đơn cấu chẻ (split monomorphism)

Dãy khớp ngắn 0 → M0 →f M →g M ” → 0 được gọi là dãy khớp ngắnchẻ (split exact) nếu f là đơn cấu chẻ và g là toàn cấu chẻ

Trong lý thuyết vành, một trong những lớp iđêan đặc biệt đó làlinh hóa tử Nhiều tính chất của các lớp vành cũng như các đặc trưngcủa chúng đã được nghiên cứu thông qua lớp iđêan này

1.1.10 Định nghĩa Cho vành R và A ⊂ R là tập con khác rỗng Linhhóa tử (annihilator) phải (trái) của tập A trong R là tập hợp r(A) :={b ∈ R|ab = 0; ∀a ∈ A} (tương ứng, l(A) := {b ∈ R|ba = 0; ∀a ∈ A}).Một cách tự nhiên chúng ta có linh hóa tử của phần tử a là trườnghợp đặc biệt khi tập A = {a} và linh hóa tử của tập A là tập hợp thỏamãn tính chất linh hóa tử cả hai phía trái và phải

Đối với linh hóa tử ta có một số tính chất cơ bản sau:

1.1.11 Bổ đề Cho A là một tập con khác rỗng của vành R Khi đó

ta có:

1 Linh hóa tử trái l(A) là iđêan trái của R Tương tự đối với linhhóa tử phải r(A).

2 Nếu A là tập con của Z(R) (tâm của vành R) thì l(A) = r(A) làmột iđêan của vành R

3 Nếu A là một iđêan trái (phải) của vành R thì l(A) (r(A)) là mộtiđêan của vành R

Vào cuối những năm của thập kỷ hai mươi của thế kỷ trước, E.Noether và E Artin đã giới thiệu các khái niệm ACC và DCC Từ đây,Artin đã chứng minh được định lý mô tả cấu trúc của lớp vành nửađơn và được gọi là Định lý Wedderburn - Artin, đánh dấu cho việcphát triển của lý thuyết vành một cách có hệ thống

1.1.12 Định nghĩa

• Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện ACC (Ascending ChainCondition) nếu với mọi dãy tăng các môđun con:

M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆

tồn tại số tự nhiên n sao cho Mn+i = Mn với mọi i = 1, 2,

• Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện DCC (Descending ChainCondition) nếu với mọi dãy giảm các môđun con:

• Vành R được gọi là vành Artin (Noether) phải nếu RR là môđunArtin (tư Noether) Chúng ta định nghĩa hoàn toàn tương tự chovành Artin và vành Noether trái.

Cho M là R-môđun phải Một phần tử m ∈ M được gọi là phần tửsuy biến phải của M nếu iđêan phải rR(m) ,→e RR Tập hợp các phần

tử suy biến của M được gọi là môđun con suy biến của M và kí hiệu

là Z(MR) Như vậy chúng ta có

Z(MR) = {m ∈ M |mI = 0, với I là iđêan phải cốt yếu của R } haynói cách khác Z(MR) = {m ∈ M |rR(m) ,→e RR} Chúng ta kí hiệu

Zr(R) và Zl(R) lần lượt là các iđêan phải, trái suy biến của R

Môđun M được là môđun suy biến nếu Z(M ) = M Nếu Z(M ) = 0,

ta gọi M là môđun không suy biến Chúng ta lưu ý rằng, môđun M -suybiến nếu và chỉ nếu M ∼= A/B, trong đó B là một môđun con cốt yếucủa A

Phần tử x của vành R được gọi là lũy linh (nilpotent) nếu tồn tạimột số tự nhiên m > 0 sao cho xm = 0 Khi đó số nguyên dương nhỏnhất n sao cho xn = 0 được gọi là chỉ số lũy linh của x Tập con Acủa vành R được gọi là lũy linh nếu tồn tại một số tự nhiên n > 0 saocho với mọi dãy x1, x2, , xn ∈ A ta có x1.x2 xn = 0 Tập con A củavành R được gọi là iđêan lũy linh nếu mọi phần tử của nó là phần tửlũy linh

Iđêan một phía A của vành R được gọi là T-lũy linh (T-nilpotent)trái (phải) nếu tồn tại một số tự nhiên n sao cho với mọi dãy a1, a2, , an ∈

A ta có a1.a2 an = 0 (tương ứng, an a1 = 0) Như vậy T-lũy linh làiđêan lũy linh nhưng điều ngược lại không hoàn toàn đúng

Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu x2 = x Giả sử I

là một iđêan của vành R và g + I là một phần tử lũy đẳng của R/I Tanói rằng phần tử lũy đẳng này có thể nâng tới modulo I hay lũy đẳngnâng modulo I nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho g + I = e + I

Đặc biệt, nếu I là iđêan lũy linh, nghĩa là mọi phần tử của I là lũylinh (xn = 0, ∀n ∈ N ), thì mọi phần tử lũy đẳng của R/I đều là lũyđẳng nâng.

Cặp các phần tử lũy đẳng e1, e2 của vành R được gọi là trực giao(orthogonal) nếu e1.e2 = e2.e1 = 0 Một phần tử lũy đẳng e ∈ R đượcgọi là lũy đẳng nguyên thủy (primitive idempotent) nếu e 6= 0 và vớimọi cặp các lũy đẳng trực giao e1, e2 thỏa mãn e = e1 + e2 thì e1 = 0hoặc e2 = 0 Một iđêan phải (trái) của vành R được gọi là iđêan nguyênthủy nếu nó có dạng eR (tương ứng, Re) với mọi lũy đẳng nguyên thủy

e ∈ R

Vành R được gọi là vành nguyên tố (prime ring) nếu R thỏa mãnmột trong các điều kiện tương đương sau:

(a) Mọi iđêan phải (trái) khác không I là iđêan trung thành, nghĩa

là r(I) = 0 (tương ứng, l(I) = 0);

(b) Với mỗi cặp các iđêan I1, I2 6= 0 ta có I1.I2 6= 0;

(c) Với mọi x, y ∈ R thỏa mãn xRy = 0 ta có x = 0 hoặc y = 0.Iđêan P của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R/P là vànhnguyên tố Hay nói cách khác, P nguyên tố nếu và chỉ nếu với mỗi

x, y ∈ R thỏa mãn xRy ⊆ P thì x ∈ P hoặc y ∈ P Giao của tất

cả các iđêan nguyên tố của vành R được gọi là căn nguyên tố (primeradical /lower nil radical) của vành R, kí hiệu N (R) Vành R được gọi

là nửa nguyên tố (semiprime) nếu N (R) = 0

1.2.2 Mệnh đề Cho R là vành chính quy Khi đó

a) Tất cả các iđêan một phía đều lũy đẳng

b) Tất cả các iđêan một phía đều nửa nguyên tố

c) J (R) = 0 với J (R) là căn Jacobson của R

Trước khi nhắc lại tính chất của iđêan trong vành chính quy tanhắc lại khái niệm iđêan chính quy như sau:

1.2.3 Định nghĩa Một iđêan hai phía J của vành R được gọi là chínhquy nếu với mỗi x ∈ J , tồn tại y ∈ J sao cho xyx = x

1.2.4 Mệnh đề Cho J ≤ K là các iđêan hai phía của vành R Khi

đó K là chính quy nếu và chỉ nếu J, K/J đều chính quy

1.2.5 Mệnh đề Tích trực tiếp hữu hạn của các vành chính quy làvành chính quy

1.2.6 Mệnh đề Cho vành R và M là iđêan chính quy Khi đó

a) M là iđêan hai phía chính quy của vành R

b) M chứa tất cả các iđêan hai phía chính quy của R

c) Vành thương R/M không chứa iđêan hai phía chính quy khác 0.Như chúng ta đã biết, iđêan của vành chính quy là chính quy.Nhưng vành con của vành chính quy chưa hẳn là vành chính quy.Chẳng hạn, ta xét vành các số hữu tỷ Q Vì trường là vành chính quynên Q là vành chính quy nhưng một vành con của Q là vành các sốnguyên Z không là vành chính quy (phần tử 2 ∈ Z không phải là phần

tử chính quy vì iđêan 2Z không được sinh bởi lũy đẳng nào, chỉ có hailũy đẳng là 0 và 1) Tuy nhiên đối với các vành con đặc biệt, ta có:1.2.7 Mệnh đề Tâm của vành chính quy là vành chính quy

1.2.8 Định lý Một vành chính quy R 6= 0 không phân tích được nếu

và chỉ nếu tâm của nó là trường

1.2.9 Định lý Vành R là chính quy nếu và chỉ nếu các điều kiện sauđây đồng thời xảy ra:

a) R là nửa nguyên tố

b) Hợp của một dây chuyền bất kỳ các iđêan nửa nguyên tố của R làiđêan nguyên tố

c) R/p là chính quy với mọi iđêan nguyên tố p của R

1.2.10 Hệ quả Vành R là chính quy nếu và chỉ nếu mọi iđêan haiphía của R là lũy đẳng và R/P là chính quy với mọi iđêan nguyên tố

P của R

1.2.11 Định lý Cho vành R Các tính chất sau là tương đương:(1) R là vành chính quy Nghĩa là, mọi phần tử của R là phần tử chínhquy

(2) Mọi iđêan trái chính được sinh bởi phần tử lũy đẳng;

(3) Mọi iđêan trái chính là một hạng tử trực tiếp trong R;

(4) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp của R

(2), (3) và (4) đúng cho các iđêan phải

Một môđun MR 6= 0 được gọi là đều (uniform) nếu mọi môđuncon khác không của MR cốt yếu trong MR Hay nói cách khác, MR làđều nếu với mọi môđun con khác không U và V của M , ta luôn có

U ∩ V 6= 0 Chúng ta nói rằng M có chiều Goldie hữu hạn (chiều đềuhữu hạn) nếu nó không chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun conkhác không Nếu M có chiều Goldie hữu hạn thì tồn tại một số hữuhạn bé nhất n sao cho M không chứa một tổng trực tiếp có nhiều hơn

n môđun con khác không Khi đó, số n được gọi là chiều Goldie của

M Kí hiệu u-dim(M ) = n Môđun M có u-dim(M ) = n nếu và chỉnếu tồn tại một tổng trực tiếp n môđun con đều cốt yếu trong trong

M Như vậy, chiều Goldie của mọi mở rộng cốt yếu của M đều bằngchiều Goldie của môđun M

Sau đây là một số tính chất của chiều Goldie của các môđun