Một số kết quả đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trong không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH F -BÙI VĂN ĐỨC MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH NGHIỆMPHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH NGƯỢCTHỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

F

-BÙI VĂN ĐỨC

MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH NGHIỆMPHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH NGƯỢCTHỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

F

-BÙI VĂN ĐỨC

MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH NGHIỆMPHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH NGƯỢCTHỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN ĐỨC

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 5

1.1 Bài toán đặt không chỉnh 5

1.2 Nửa nhóm giải tích 10

Chương 2 Một số kết quả đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trong không gian Banach 20

2.1 Tổng quan các kết quả đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trong không gian Banach 20

2.2 Đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Banach 24

KẾT LUẬN 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO 30

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất hiện trong

lý thuyết truyền nhiệt, khi ta cần xác định nhiệt độ tại một thời điểm nào

đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiện tại Bàitoán này đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard Một bài toán được gọi

là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn ba điều kiện a) nó có nghiệm, b) nghiệmduy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo một tôpô nào đó) theo dữkiện của bài toán Nếu như ít nhất một trong ba điều kiện này không thỏamãn, thì ta nói rằng Bài toán đặt không chỉnh Lĩnh vực bài toán đặtkhông chỉnh đã thu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong vàngoài nước bởi nó là mô hình của nhiều bài toán trong thực tiễn

Một trong những hướng nghiên cứu về phương trình parabolic ngượcthời gian là việc tìm các đánh giá ổn định Các đánh giá này cho ta biếtbài toán "xấu" đến mức nào, để từ đó có thể đưa ra các phương pháp sốhữu hiệu Ngoài ra, các đánh giá ổn định cũng rất quan trọng trong việcchứng minh sự hội tụ và các đánh giá sai số của các phương pháp chỉnhkhi giải bài toán đặt không chỉnh Cho đến nay, các đánh giá ổn định chophương trình parabolic ngược thời gian nhận được chủ yếu trong khônggian Hilbert, rất ít kết quả nhận được trong không gian Banach

Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tài liệu

về việc đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tuyến tính ngượcthời gian trong không gian Banach, trên cơ sở các bài báo [4], [6] và [7],chúng tôi lựa chọn đề tài cho Luận văn của mình là : "Một số kết quảđánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính

ngược thời gian trong không gian Banach".

Mục đích chính của luận văn nhằm tìm hiểu các kết qủa đánh giá ổnđịnh nghiệm của phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trongkhông gian Banach, từ đó đề xuất và chứng minh một số kết quả mới Vớimục đích đó luận văn này được chia thành 2 chương:

Chương 1: Trình bày khái niệm bài toán đặt không chỉnh cùng một

số ví dụ minh họa Sau đó chúng tôi trình bày về nửa nhóm giải tích, ví

dụ minh họa cùng các tính chất cơ bản để làm cơ sở cho việc trình bàychương 2

Chương 2: Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày tổng quancác kết qủa đánh giá ổn định nghiệm của phương trình parabolic tuyếntính ngược thời gian trong không gian Banach Sau đó chúng tôi đề xuất

và chứng minh các kết quả đánh giá ổn định nghiệm của phương trìnhparabolic tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trongkhông gian Banach

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn của thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc của mình đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơnBan chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm Toánhọc và cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, khoa Sư PhạmToán học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gianhọc tập và hoàn thành luận văn này Cuối cùng, tác giả cám ơn gia đình,đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 21 Giải tích

đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập vànghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa các thầy, cô giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An,tháng 8 năm 2015

Tác giả

CHƯƠNG 1MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Chương này trình bày một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bàyChương 2 Các kiến thức trong chương này được chúng tôi tham khảotrong các tài liệu [1] và [8]

1.1 Bài toán đặt không chỉnh

1.1.2 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f với f ∈ Y và A là ánh

xạ đơn ánh đi từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y Phần tử

x0 ∈ X được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = f nếu A(x0) = f.Đặt

R(A) = {y ∈ Y : tồn tại x ∈ X thỏa mãn A(x) = y}

Khi đó tồn tại ánh xạ R : R(A) −→ X xác định bởi công thức R(f ) =

x ∈ X, ∀f ∈ R(A) Khi đó việc tìm nghiệm x ∈ X của phương trìnhA(x) = f dựa vào dữ kiện ban đầu f ∈ Y thường được xem xét dưới dạngphương trình x = R(f )

1.1.3 Định nghĩa Cho (X, dX), (Y, dY) là hai không gian mêtric Bàitoán tìm nghiệmx = R(f )của phương trìnhA(x) = f được gọi là ổn địnhtrên cặp không gian (X, Y )(hay được gọi là liên tục theo dữ kiện của bàitoán) nếu ∀f1, f2 ∈ R(A), ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho dY(f1, f2) ≤ δ(ε) thì

dX(R(f1), R(f2)) ≤ ε

1.1.4 Định nghĩa Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Yđược gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y ) nếui) Với mỗi f ∈ Y thì tồn tại nghiệm x ∈ X;

ii) nghiệm x đó là duy nhất;

iii) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y )

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn bài toán tìmnghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh Đôi khi người ta gọi là bàitoán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn

1.1.5 Ví dụ 1) Xét phương trình tích phân Fredholm loại I

Mặt khác sự thay đổi vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian

L2[c, d], tức là khoảng cách giữa hai hàm f1(t), f2(t) trong L2[c, d] đượcbiểu thị bởi

.Giả sử phương trình có nghiệm là ϕ0(s) Khi đó với vế phải

= |N |

r

b − a

2ω sin(ω(b − a)) cos(ω(b + a)).

Dễ dàng nhận thấy hai số N và ω có thể chọn sao cho dL2[c,d](f0, f1) rấtnhỏ nhưng vẫn cho kết quả dL2[c,d](ϕ0, ϕ1) rất lớn Đây là bài toán không

với hệ số (a0, a1, , an, ) ∈ l2 được cho xấp xỉ bởi cn = an+ nε, n ≥ 1

và c0 = a0 Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng

Do đó khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ bất kỳ vì ε cóthể lấy nhỏ tùy ý Trong khi đó,

có thể làm cho lớn bao nhiêu cũng được Ví dụ tại t = 0 chuỗi phân kỳ.Điều đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f1 và f2 được xéttrong không gian các hàm với độ đo đều thì bài toán tính tổng của chuỗiFourier là không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ Tuy nhiênnếu xét trong không gian L2[0, π], thì

2.Như vậy,bài toán lại ổn định, tức là khi dữ liệu ban đầu an cho xấp xỉ cnvới sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng cũng sai khác nhaukhông nhiều trong L2[0, π]

3) Xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều

u2(x, y) ≡ 0 Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được xéttrong độ đo đều, ta có

dC(f1, f2) = sup

x

|f1(x) − f2(x)| = 0

dC(ϕ1, ϕ2) = sup

x

|ϕ1(x) − ϕ2(x)| = 1

a.Với a khá lớn thì khoảng cách giữa hai hàm ϕ1 và ϕ2 lại khá nhỏ Trongkhi đó, khoảng cách giữa các nghiệm

ổn định

1.2.1 Định nghĩa Cho X là một không gian Banach Họ một tham sốcác toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X, T (t), 0 6 t < ∞ được gọi làmột nửa nhóm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X nếu

i) T (0) = I, (I là toán tử đồng nhất trên X),

ii) T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s > 0

1.2.2 Định nghĩa Nửa nhóm của các toán tử tuyến tính liên tục T (t)được gọi là liên tục đều nếu lim

t↓0 kT (t) − Ik = 0.1.2.3 Định nghĩa Toán tử tuyến tính A được xác định bởi

D(A) = {x ∈ X : lim

t↓0

T (t)x − x

t tồn tại}và

t=0 với mọi x ∈ D(A)được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm T (t), D(A) được gọi là miền xácđịnh của A

1.2.4 Định nghĩa Nửa nhóm các toán tử tuyến tính liên tục trên X,

T (t), 0 6 t < ∞, được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh nếu lim

t↓0 T (t)x = xvới mọi x ∈ X

1.2.5 Định nghĩa Nửa nhóm liên tục mạnh các toán tử tuyến tính liêntục trên X được gọi là một nửa nhóm lớp C0 hay đơn giản là nửa nhóm

C0

1.2.6 Định lý Toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của một nửanhóm liên tục đều các toán tử tuyến tính bị chặn khi và chỉ khi A làtoán tử tuyến tính bị chặn

Chứng minh Giả sử A là toán tử tuyến tính bị chặn trên X Đặt

kT (t) − Ik 6 tkAketkAkvà

h−1(T (h) − I)

Z ρ 0

T (s)ds = h−1

Z ρ 0

T (s + h)ds −

Z ρ 0

T (s)ds



= h−1

Z ρ+h ρ

T (s)ds −

Z h 0

T (s)ds

!

Do đó

h−1(T (h) − I) = h−1

Z ρ+h 0

T (s)ds − h−1

Z h 0

T (s)ds

!

Z ρ 0

T (s)ds

−1

.(1.2)

Từ (1.2) ta thấy h−1(T (h) − I) hội tụ theo chuẩn (và do đó hội tụ mạnh)tới toán tử tuyến tính bị chặn (T (ρ) − I) R0ρT (s)ds
−1 khi h ↓ 0 Do đótoán tử tuyến tính bị chặn (T (ρ) − I) R0ρT (s)ds
−1 là toán tử sinh của

T (τ )Axdτ =

Z t s

AT (τ )xdτ

Chứng minh Phần a) được suy trực tiếp từ tính liên tục của ánh xạ

t → T (t)x Để chứng minh b), lấy x ∈ X và h > 0 Khi đó,

T (h) − I

h

Z t 0

T (s)xds = 1

h

Z t 0

(T (s + h)x − T (s)x)ds (1.3)

= 1h

Z t+h 0

T (s)xds − 1

h

Z h 0

T (s)xds (1.4)

Chú ý rằng khi cho h ↓ 0 vế phải của đẳng thức trên tiến tới T (t)x − x.

Do đó phần b) được chứng minh Để chứng minh phần c) lấy x ∈ D(A)

1.2.8 Hệ quả Nếu A là toán tử sinh của một nửa nhóm C0 thì miềnxác định D(A) của toán tử A, trù mật trong X và A là toán tử tuyếntính có đồ thị đóng

Chứng minh Với mỗi x ∈ X đặt xt = 1

t

Rt

0 T (s)xds Theo phần b) củaĐịnh lý 1.2.7, xt ∈ D(A) với mọi t > 0 và theo phần a) của Định lý này

ta có t ↓ 0 Do đó, D(A) ≡ X với D(A) là bao đóng của D(A) Tínhtuyến tính của A là hiển nhiên Để chứng minh tính đóng của nó ta lấy

xn ∈ D(A), xn → x và Axn → y khi n → ∞.parTừ phần d) của Định

lý 1.2.7 ta có

T (t)xn − xn =

Z t 0

Nếu ω = 0 thì T (t) được gọi là nửa nhóm C0 bị chặn đều Nếu ω = 0

và M = 1 thì T (t) được gọi là nửa nhóm co C0

1.2.10 Định lý (Hille-Yosida) Một toán tử tuyến tính (không bị chặn)

A là toán tử sinh của một nửa nhóm co C0 T (t), t> 0 nếu và chỉ nếu(i) A là đóng và D(A) = X

(ii) Tập các giá trị chính qui ρ(A) của A chứa R+ và với mỗi λ > 0,

ta có

kR(λ : A)k 6 1

λ,

ở đây R(λ : A) = (λI − A)−1 với I là toán tử đồng nhất trên X

Cho X là không gian Banach và X∗ là không gian đối ngẫu của nó Ta

kí hiệu giá trị của x∗ ∈ X∗ tại x là hx∗, xi hoặc hx, x∗i Nếu A là toán tửtuyến tính trên X thì miền giá trị số (numerical range) của A là tậpS(A) = {hx∗, Axi : x ∈ D(A), kxk = 1, x∗ ∈ X∗, kx∗k = 1, hx∗, xi = 1}

1.2.11 Định lý Cho A là một toán tử tuyến tính đóng với miền xácđịnh D(A) trù mật trong X Gọi S(A) là miền giá trị số số của A và

P là phần bù của S(A) trong C Khi đó, nếu λ ∈ P thì λI − A là đơnánh, miền giá trị của λI − A là tập đóng Hơn nữa, nếu P

0 là mộtthành phần của P thỏa mãn ρ(A) ∩P0 6= ∅ thì phổ của A được chứatrong phần bù S0 của P

0 và

kR(λ : A)k 6 1

d(λ : S(A),)trong đó d(λ : S(A)) là khoảng cách từ λ tới S(A)

1.2.12 Định nghĩa Trong mặt phẳng phức cho hình quạt

Nửa nhóm T (t) được gọi là giải tích nếu nó là giải tích trong một hìnhquạt 4 nào đó chứa nửa trục thực không âm

1.2.13 Định lý Hạn chế của một nửa nhóm giải tích trên trục thực

là một nửa nhóm C0

1.2.14 Định lý Cho T (t) là một nửa nhóm C0 bị chặn đều Cho A

là toán tử sinh của T (t) và giả sử 0 ∈ ρ(A) Khi đó, các khẳng địnhsau là tương đương

a) T (t) có thể mở rộng thành nửa nhóm giải tích trong hình quạt

∆δ = {z : |argz| < δ} và T (t) bị chặn đều trong mỗi hình quạt conđóng ∆¯δ0, δ0 < δ, của ∆δ;

b) Tồn tại một hằng số C sao cho với mỗi σ > 0, τ 6= 0 ta có

kR(σ + iτ : A)k 6 C

|τ |;

c) Tồn tại 0 < δ < π

2 và M > 0 sao choρ(A) ⊃ X = {λ : | arg λ| < π

Cho Ω là một miền bị chặn với biên trơn ∂Ω ⊂ Rn và A(x, D) làtoán tử vi phân bậc hai đối xứng được xác định bởi

Chúng ta giả thiết rằng các hệ số ak,l(x) = al,k(x) nhận giá trị thực vàkhả vi liên tục trên Ω¯ Ngoài ra, ta giả thiết thêm rằng A(x, D) là ellipticmạnh, nghĩa là tồn tại một hằng số C0 > 0 sao cho

D(Ap) = W2,p(Ω) ∩ W01,p(Ω) và Apu = A(x, D)u với u ∈ D(Ap).Khi đó, toán tử Ap được gọi là toán tử liên kết với toán tử A(x, D).1.2.16 Định lý Miền xác định D(Ap) của Ap trù mật trong Lp(Ω) và

Ap là toán tử đóng trong Lp(Ω)

1.2.17 Bổ đề Toán tử Aq, q = p/(p − 1) liên kết với toán tử A(x, D)trên Lq(Ω) là toán tử liên hợp của Ap

1.2.18 Định lý Nếu p ∈ [2, +∞) thì −Ap là toán tử sinh của mộtnửa nhóm giải tích co trên Lp(Ω).

Chứng minh Vì 2 6 p < ∞ nên 1 < q = p/(p − 1) < ∞ Ký hiệutích phân trên Ω của tích hai hàm thuộc Lp(Ω) và Lq(Ω) bởi h , i Nếu

u ∈ D(Ap) thì hàm u∗ = |u|p−2u ∈ L¯ q(Ω) và hu, u∗i = kukp0,p Sử dụngcông thức tích phân từng phần ta được

=Z

=Z

|= hApu, u∗i |

|< hApu, u∗i | 6

|p − 2|M

ρ

2|α|2 + 1

2ρ|β|2



C0((p − 1)|α|2 + |β|2) (1.12)

với mọi ρ > 0 (<, = lần lượt là ký hiệu phần thực và phần ảo của sốphức) Chọn ρ = √

p − 1 thay vào (2.17) ta được

|= hApu, u∗i |

|< hApu, u∗i | 6 M |p − 2|

2C0√

Từ (1.11) suy ra với mọi λ > 0 và u ∈ D(Ap), ta có

λkuk0,p 6 k(λI + Ap)uk0,p (1.14)

Do đó, λI + Ap là đơn ánh và miền giá trị của nó là tập đóng với mỗi

λ > 0

Vì (1.14) đúng với mọi 2 6 p < ∞ nên λI + Ap, λ > 0 là toànánh Thật vậy, nếu v ∈ Lq(Ω) thỏa mãn h(λI + Ap)u, vi = 0 với mọi

u ∈ D(Ap) thì theo Bổ đề 1.2.17, ta có v ∈ D(Aq), q = p/(p − 1) và

hu, (λI + Aq)vi = 0 với mọi u ∈ D(Ap) Vì D(Ap) trù mật trong Lp(Ω)nên ta suy ra (λI + Aq)v = 0 Sử dụng (1.14) với p được thay thế bởi q

ta suy ra v = 0 Điều này chứng tỏ λI + Ap là toàn ánh Do đó λI + Ap

là song ánh Vì vậy, từ (1.14) ta có

k(λI + Ap)−1k0,p 6 1

λ với mọi λ > 0 (1.15)Định lý 1.2.10 khẳng định rằng −Ap là toán tử sinh của một nửa nhóm

co trên Lp(Ω) với 2 6 p < ∞ Cuối cùng, để chứng minh nửa nhóm sinhbởi −Ap là giải tích chúng ta để ý rằng từ (1.11) và (2.18), miền giá trị sốS(−Ap) của −Ap được chứa trong tập Sv1 = {λ : |argλ| > π − v1}, trong

d(λ : S(−Ap)) > Cv|λ| với mọi λ ∈ Sv

Vì λ > 0 nằm trong tập các giá trị chính qui ρ(−Ap) của −Ap nên từĐịnh lý 1.2.11 suy ra ρ(−Ap) ⊃ Sv và

k(λI + Ap)−1k0,p 6 1

Cv|λ| với mọi λ ∈ Sv.

Sử dụng Định lý 1.2.14 (c) ta khẳng định được −Ap là toán tử sinh củamột nửa nhóm giải tích trên Lp(Ω) với mọi p thỏa mãn 2 6 p < ∞.1.2.19 Định lý (Định lý ánh xạ phổ) Giả sử A là toán tử sinh củanửa nhóm giải tích T (t), t > 0 Khi đó, ta có

etσ(A) = σ(T (t)) \ {0}, t > 0

CHƯƠNG 2MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH NGHIỆMPHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH NGƯỢCTHỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày một số kết quả đánhgiá ổn định cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trongkhông gian Banach dựa vào các tài liệu tham khảo [4], [6] và [7] Sau đóchúng tôi đề xuất và chứng minh một số kết quả mới về đánh giá ổn địnhcho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời giantrong không gian Banach

2.1 Tổng quan các kết quả đánh giá ổn định nghiệm

phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trong không gian Banach

Mặc dù phương trình parabolic ngược thời gian xuất hiện từ những nămđầu thập niên 50 của thế kỉ trước và các kết quả ổn định cho phương trìnhparabolic ngược thời gian trong không gian Hilbert ra đời gần như ngaysau đó Theo chúng tôi, đến năm 1975, kết qủa đầu tiên về đánh giá ổnđịnh cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trong khônggian Banach mới được đề xuất bởi Keith Miller Cụ thể, kết quả của KeithMiller như sau

2.1.1 Định lý ([7]) Cho −A là toán tử sinh của một nửa nhóm giảitích góc ψ (0 < ψ 6 π/2) trên một không gian Banach X Nếu u(t)

Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết đánhgiá ổn định cho phương trình. .. ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời giantrong không gian Banach

2.1 Tổng quan kết đánh giá ổn định nghiệm< /h3>

phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian khơng gian. .. trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trongkhơng gian Banach dựa vào tài liệu tham khảo [4], [6] [7] Sau đóchúng tơi đề xuất chứng minh số kết đánh giá ổn địnhcho phương trình parabolic ngược