Một số lý thuyết định lý hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên dưới điều kiện khả tích theo trọng số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH- - - - F -NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH VÀ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH THEO TRỌNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH

VÀ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH THEO TRỌNG SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH

VÀ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH THEO TRỌNG SỐ

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán học

Mã số: 60.46.01.06

LUÂN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TS Nguyễn Văn Quảng

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

1.1 Không gian xác suất 5

1.1.1 Không gian đo và độ đo xác suất 5

1.1.2 Các tính chất của xác suất 6

1.1.3 Tính độc lập của các biến cố 7

1.2 Biến ngẫu nhiên 7

1.2.1 Ánh xạ đo được 7

1.2.2 Biến ngẫu nhiên 8

1.2.3 Phân phối xác suất 9

1.2.4 Hàm phân phối 10

1.2.5 Kỳ vọng 10

1.3 Phần tử ngẫu nhiên 11

1.3.1 Định nghĩa 11

1.3.2 Tính chất 12

1.3.3 Kỳ vọng 12

1.3.4 Kỳ vọng có điều kiện 13

1.3.5 Martingale và hiệu martingale 14

2 Một số định lý hội tụ theo trung bình và Luật yếu số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên dưới điều kiện

khả tích theo trọng số 152.1 Các dạng khả tích đều 152.2 Một số định lý hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với

các biến ngẫu nhiên tương quan âm 252.3 Một số định lý hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với

các biến ngẫu nhiên ϕ - mixing 332.4 Định lý hội tụ trung bình của Gut và luật yếu số lớn trong không

gian Banach 37

LỜI NÓI ĐẦU

Luật số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên đóng vai trò trung tâm trongcác định lý giới hạn của Lý thuyết Xác suất Điều kiện độc lập, cùng phânphối của các biến ngẫu nhiên là nền tảng trong các kết quả cổ điển Từ

đó, các thử nghiệm quan trọng được thực hiện nhằm giảm nhẹ những điềukiện mạnh này Ví dụ, điều kiện độc lập được giảm nhẹ bằng điều kiện độclập đôi một hay không tương quan dương đôi một, thậm chí là thay thế bởicác điều kiện phụ thuộc như phụ thuộc mixing hay martingale Để giảmnhẹ điều kiện cùng phân phối, một vài điều kiện khác đã được xem xét,như điều kiện biến ngẫu nhiên bị chặn hay điều kiện khả tích đều

Landers và Rogge [9] đã chứng minh rằng điều kiện khả tích đều là đủ

để một dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một tuân theo luật yếu số lớn.Chandra [8] đã thu được luật yếu số lớn dưới điều kiện yếu hơn khả tíchđều, đó là điều kiện khả tích đều theo nghĩa Cesàro

Cabrera [4], bằng việc nghiên cứu sự hội tụ yếu cho tổng có trọng sốcác biến ngẫu nhiên, đã đưa ra điều kiện khả tích đều liên quan tới trọng

số, điều kiện này yếu hơn điều kiện khả tích đều theo nghĩa Cesàro Dướiđiều kiện này, một luật yếu số lớn cho tổng có trọng số các biến ngẫu nhiênđộc lập đôi một được thiết lập

Chandra và Goswami [6] đã đưa ra điều kiện Cesàro α - khả tích (α > 0),

và chỉ ra rằng với bất kỳ α > 0 nào thì Cesàro α - khả tích cũng yếu hơnCesàro khả tích đều Đặc biệt, dưới điều kiện Cesàro α - khả tích với α > 1

2,Chandra và Goswami đã thu được luật yếu số lớn cho dãy các biến ngẫunhiên độc lập đôi một Chandra và Goswami cũng chứng minh được rằngCesàro α - khả tích với α thích hợp cũng đủ để thu được luật yếu số lớncho dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc đặc biệt đã biết

Trong luận văn, chúng tôi nghiên cứu về điều kiện h - khả tích cho mộtmảng các biến ngẫu nhiên liên quan đến một mảng các trọng số là hằng

số Mục đích của luận văn là nghiên cứu "một số định lý hội tụ theotrung bình và luật yếu số lớn đối với tổng có trọng số các biếnngẫu nhiên dưới điều kiện khả tích theo trọng số"

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn đượcchia thành hai chương.

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất

cơ bản của không gian xác suất, biến ngẫu nhiên và phần tử ngẫu nhiên,các đặc trưng như là kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện, martingale, Các kếtquả của chương này sẽ được sử dụng ở Chương 2

Chương 2 Một số định lý hội tụ theo trung bình và luật yếu sốlớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên duới điều kiệnkhả tích theo trọng số

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương 2 trình bày vềcác dạng khả tích đều, một số định lý hội tụ theo trung bình và luật yếu

số lớn đối với các biến ngẫu nhiên tương quan âm, ϕ - mixing,

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntrực tiếp của GS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến thầy về sự quan tâm và nhiệt tình hướng dẫn mà thầy đãdành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong Bộ mônXác suất thống kê và Toán ứng dụng, Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Sauđại học, gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện, tận tình giúp đỡ, động viêncho tác giả trong quá trình học tập tại trường

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi các thiếusót Tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo, những ý kiến đóng gópcủa quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 10 năm 2015

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất

cơ bản của không gian xác suất, biến ngẫu nhiên và phần tử ngẫu nhiên,các đặc trưng như là kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện, martingale, Các kếtquả của chương này sẽ được sử dụng ở chương sau

1.1 Không gian xác suất

1.1.1 Không gian đo và độ đo xác suất

Giả sử Ω là một tập tùy ý khác rỗng Ký hiệu P(Ω) là họ tất cả các tậpcon của Ω

Định nghĩa 1.1.1 Họ các tập con F ⊂ P(Ω) được gọi là một σ - đại số(hay σ - trường) nếu:

(i) Ω ∈ F (hay ∅ ∈ F );

(ii) Nếu A ∈ F thì Ω\A ∈ F ;

(iii) Nếu {An, n = 1, 2, } ⊂ F thì S∞n=1An ∈ F

Khi đó, cặp (Ω, F ) được gọi là một không gian đo

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo Một ánh xạ

P: F → R được gọi là độ đo xác suất trên F nếu:

(i) P(A) ≥ 0 với ∀A ∈ F (tính không âm);

(ii) P(Ω) = 1 (tính chuẩn hóa);

Tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp.

σ - đại số F được gọi là σ - đại số các biến cố

Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố

Biến cố Ω ∈ F gọi là biến cố chắc chắn

Biến cố ∅ ∈ F gọi là biến cố không thể có

Biến cố A = Ω\A được gọi là biến cố đối lập của biến cố A

Nếu A ∩ B = AB = ∅ thì A, B được gọi là các biến cố xung khắc.Không gian xác suất (Ω, F ,P) gọi là không gian xác suất đầy đủ nếumọi tập con của biến cố có xác suất không đều là biến cố Từ nay về sau,khi nói đến không gian xác suất (Ω, F ,P), ta luôn xem đó là không gianxác suất đầy đủ

Chú ý 1.1.3 Điều kiện (ii) trong định nghĩa trên đảm bảo rằng biến cốchắc chắn có xác suất bằng 1 Tuy nhiên, có những biến cố có xác suấtbằng 1 nhưng chưa chắc chắn đã là biến cố chắc chắn Những biến cố nhưvậy gọi là biến cố hầu chắc chắn

8 (Tính liên tục của xác suất)

(i) Nếu (An, n ≥ 1) là dãy đơn điệu tăng, A1 ⊂ A2 ⊂ ⊂ An ⊂ ,thì tồn tại

(ii) Nếu (An, n ≥ 1) là dãy đơn điệu giảm, A1 ⊃ A2 ⊃ ⊃ An ⊃ ,thì tồn tại

Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất

Định nghĩa 1.1.4 Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu

P(AB) = P(A)P(B)

Tính chất 1.1.5

1 Giả sử biến cố A có P(A) > 0 và biến cố B có P(B) > 0 Khi đó, A,

B độc lập khi và chỉ khi P(A/B) = P(A) hoặc P(B/A) = P(B) với

P(A/B) là xác suất của A với điều kiện B

2 Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi một trong các điều kiện sauthỏa mãn

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử (Ω1, F1) và (Ω2, F2) là hai không gian đo Ánh xạ

X : Ω1 → Ω2 gọi là ánh xạ F1/F2 đo được nếu với mọi B ∈ F2 thì

X−1(B) ∈ F1

Tính chất 1.2.2 Giả sử (Ω1, F1), (Ω2, F2) và (Ω3, F3) là các không gianđo.

1 Giả sử ánh xạ X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1/F2 đo được Khi đó

(i) Nếu F1 ⊂ G1 thì X là G1/F2 đo được

(ii) Nếu G2 ⊂ F2 thì X là F1/G2 đo được

2 Giả sử X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1/F2 đo được, Y : Ω2 → Ω3 là ánh xạ

F2/F3 đo được Khi đó Y ◦ X : Ω1 → Ω3 là ánh xạ F1/F3 đo được

3 Giả sử F2 = σ(C) Khi đó X : (Ω1, F1) → (Ω2, F2) là F1/F2 đo đượckhi và chỉ khi X−1(C) ∈ F1 với mọi C ∈ C

Hệ quả 1.2.3 Giả sử (Ω1, τ1), (Ω2, τ2) là các không gian tôpô, ánh xạ

X : Ω1 → Ω2 liên tục Khi đó X là ánh xạ B(Ω1)/B(Ω2) đo được

1.2.2 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất, G là σ - đại sốcon của σ - đại số F Khi đó ánh xạ X : Ω →R được gọi là biến ngẫu nhiên

G - đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi B ∈ B(R)thì X−1(B) ∈ G)

Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị, thì nó được gọi là biếnngẫu nhiên đơn giản

Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F - đo được, thì

X được gọi một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên

Hiển nhiên, biến ngẫu nhiên G - đo được là biến ngẫu nhiên Mặt khác,

dễ thấy rằng nếu X là biến ngẫu nhiên thì họ

σ(X) = {X−1(B) : B ∈ B(R)}

lập thành một σ - đại số con của σ - đại số F , σ - đại số này gọi là σ - đại

số sinh bởi X Đó là σ - đại số bé nhất mà X đo được Từ đó suy ra rằng

X là biến ngẫu nhiên G - đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G

Định lý 1.2.5 X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi một trong các điềukiện sau đây thỏa mãn

(i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F với mọi a ∈ R

(ii) (X ≤ a) := (ω : X(ω) ≤ a) ∈ F với mọi a ∈ R

(iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R.

(iv) (X ≥ a) := (ω : X(ω) ≥ a) ∈ F với mọi a ∈ R

Định lý 1.2.6 Giả sử X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xác địnhtrên (Ω, F ,P), f : Rn →R là hàm B(Rn)/B(R) đo được Khi đó

Y = f (X1, , Xn) :Ω → R

ω 7→ f (X1(ω), , Xn(ω))

là biến ngẫu nhiên

Hệ quả 1.2.7 Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên(Ω, F ,P), f : R → R là hàm liên tục, a ∈ R Khi đó aX; X ± Y ; XY ; |X|;

f (X); X+ = max(X, 0); X− = max(−X, 0);X

Y , (Y 6= 0) đều là các biếnngẫu nhiên

Định lý 1.2.8 Giả sử (Xn, n ≥ 1) là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xácđịnh trên (Ω, F ,P) Khi đó, nếu infnXn, supnXn hữu hạn thì infnXn,supnXn, limXn, limXn, limn→∞Xn (nếu tồn tại) đều là biến ngẫu nhiên.Định lý 1.2.9 Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại dãy biếnngẫu nhiên đơn giản, không âm (Xn, n ≥ 1) sao cho Xn ↑ X (khi n → ∞).Chú ý rằng các tính chất trên của biến ngẫu nhiên có thể mở rộng chobiến ngẫu nhiên G - đo được bất kỳ

1.2.3 Phân phối xác suất

Định nghĩa 1.2.10 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất, X : Ω → R

là biến ngẫu nhiên Khi đó hàm tập

PX : B(R) → R

B 7→PX(B) =P(X−1(B))được gọi là phân phối xác suất của X

Tính chất 1.2.11

1 PX là độ đo xác suất trên B(R)

2 Nếu Q là độ đo xác suất trên B(R) thì Q là phân phối xác suất củamột biến ngẫu nhiên nào đó

Chú ý 1.2.12 Tương ứng giữa biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất củachúng không phải là tương ứng 1-1 Những biến ngẫu nhiên có cùng phânphối xác suất được gọi là những biến ngẫu nhiên cùng phân phối

1.2.4 Hàm phân phối

Định nghĩa 1.2.13 Giả sử (Ω, F ,P) là một không gian xác suất,

X : Ω →R là biến ngẫu nhiên Khi đó, hàm số

F (x) = FX(x) = P(X < x) = P(ω : X(ω) < x)được gọi là hàm phân phối của X

Định nghĩa 1.2.16 Giả sử X : (Ω, F ,P) → (R, B(R)) là biến ngẫu nhiên.Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là

kỳ vọng của X và ký hiệu là EX Vậy

8 (Bất đẳng thức cr) Giả sử X, Y ∈ Lr, r > 0 Khi đó,

E|X + Y |r ≤ cr(E|X|r +E|Y |r) ,trong đó cr = max(1; 2r−1) chỉ phụ thuộc vào r

1.3 Phần tử ngẫu nhiên

1.3.1 Định nghĩa

Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất đầy đủ, E là không gian Banachthực khả ly, E∗ là không gian đối ngẫu của E

Định nghĩa 1.3.1 Một ánh xạ X : Ω → E được gọi là phần tử ngẫu nhiên

G - đo được nếu X là ánh xạ G/B(E) đo được (nghĩa là với mọi B ∈ B(E)thì X−1(B) ∈ G)

Phần tử ngẫu nhiên F - đo được sẽ được gọi một cách đơn giản là phần

tử ngẫu nhiên Hiển nhiên, nếu X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được thì

X là phần tử ngẫu nhiên Mặt khác, dễ dàng thấy rằng nếu X là phần tửngẫu nhiên thì họ

σ(X) = {X−1(B) : B ∈ B(E)}

lập thành một σ - đại số con của σ - đại số F σ - đại số này được gọi là

σ - đại số sinh bởi X Hơn nữa, σ(X) là σ - đại số bé nhất mà X đo được

Do đó X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G

Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → E được gọi là phần tử ngẫu nhiên rờirạc nếu |X(Ω)| không quá đếm được Đặc biệt, nếu |X(Ω)| hữu hạn thì Xđược gọi là phần tử ngẫu nhiên đơn giản (trong đó |X(Ω)| là lực lượng củatập hợp X(Ω)).

Định nghĩa 1.3.2 Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là hội

tụ đến ánh xạ X : Ω → E (khi n → ∞), nếu Xn(ω) → X(ω) (theo chuẩn,khi n → ∞) với mọi ω ∈ Ω

Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn(h.c.c) đến ánh xạ X : Ω → E (khi n → ∞), nếu tồn tại tập N ∈ F sao cho

P(N ) = 0 và Xn(ω) → X(ω) (theo chuẩn, khi n → ∞) với mọi ω ∈ Ω \ N 1.3.2 Tính chất

1 Giả sử ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G - đo được Khi đó,ánh xạ kXk : Ω → R là biến ngẫu nhiên G - đo được

2 Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ khi với mọi f ∈ E∗thì f (X) là biến ngẫu nhiên

3 Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên G - đo được, a, b ∈ R, ξ : Ω → R

là biến ngẫu nhiên G - đo được Khi đó, aX + bY và ξX là các phần

tử ngẫu nhiên G - đo được

4 Nếu {Xn, n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên G - đo được và Xn → Xkhi n → ∞ thì X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được

1.3.3 Kỳ vọng

Định nghĩa 1.3.3 Giả sử X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên Phần tử

m ∈ E được gọi là kỳ vọng của X nếu với mọi f ∈ E∗ ta có

2 Tồn tại E(aX) và E(aX) = aEX,

Định nghĩa 1.3.5 Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất, E là khônggian Banach thực khả ly, B(E) là σ - đại số Borel X : Ω → E là phần tửngẫu nhiên, G là σ - đại số con của σ - đại số F Khi đó, phần tử ngẫunhiên Y : Ω → E gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với G nếu:

(i) Y là phần tử ngẫu nhiên G - đo được,

(ii) E(YIA) =E(XIA), với mọi A ∈ G

1.3.5 Martingale và hiệu martingale

Định nghĩa 1.3.7 Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên,{Fn, n ≥ 1} là dãy tăng các σ - đại số con của σ - đại số F Khi đó,dãy {Xn, Fn, n ≥ 1} gọi là

• martingale nếu:

(i) Xn là phần tử ngẫu nhiên Fn - đo được và Xn khả tích với mọi

n ≥ 1,

(ii) Với mọi m > n thì E(Xm|Fn) = Xn

• hiệu martingale nếu thỏa mãn (i) và

(ii0) Với mọi m > n thì E(Xm|Fn) = 0

3 Nếu {Xn, Fn, n ≥ 1} và {Yn, Fn, n ≥ 1} là martingale thì{aXn ± bYn, Fn, n ≥ 1} (a, b ∈R) cũng là martingale

4 Nếu {Xn, Fn, n ≥ 1} là martingale thì {EXn, n ≥ 1} không đổi

5 Nếu {Xn, Fn, n ≥ 1} là hiệu martingale thì EXm = 0 với mọi m > 1

6 Nếu {Xn, Fn, n ≥ 1} là martingale khả tích bậc p ≥ 1 thì{kXnkp, Fn, n ≥ 1} là martingle dưới

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH

VÀ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH THEO TRỌNG SỐ

Trong chương này ta luôn giả sử rằng {un, n ≥ 1} và {vn, n ≥ 1} làhai dãy số nguyên thỏa mãn vn > un với mọi n ≥ 1 và vn − un → ∞ khi

n → ∞; C là hằng số dương và giá trị của nó có thể khác nhau trong cáclần xuất hiện

2.1 Các dạng khả tích đều

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử {Xnk, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là mảng cácbiến ngẫu nhiên và {ank, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1} là mảng các hằng số mà

k=u n|ank| ≤ C với ∀n ∈ N, C > 0

Đặt Φ = {φ : (0, ∞) → (0, ∞), φ(t)

t ↑ ∞ khi t ↑ ∞} Khi đó, mảng cácbiến ngẫu nhiên {Xnk, un ≤ k ≤ vn, n ≥ 1}} là {ank} - khả tích đều khi vàchỉ khi tồn tại φ ∈ Φ sao cho

Chứng minh (i) Giả sử tồn tại hàm φ thỏa mãn điều kiện trên Ta cầnchứng minh {Xnk} là mảng {ank} - khả tích đều, có nghĩa là cần chứngminh

g(x)dx + +

Z n−1 n−2

g(x)dx +

Z t n−1

g(x)dx.Xét x ∈ (0, 1] thì g(x) = g1 nên R01g(x)dx =R01g1dx = (1 − 0).g1 = g1

Tương tự

R2

1 g2dx = g2,

Rn−1 n−2 gn−1dx = gn−1.Xét x ∈ (n − 1, t], do (n − 1, t] ⊂ (n − 1, n] nên g(x) = gn, suy ra

Z t

n−1

gxdx =

Z t n−1

do đó tồn tại a > 0 sao cho