BẢN CHỮ NHẬT CHỊU TẢI TRỌNG TRONG MẶT PHẲNG CỦA NÓ.TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ BIÊN

Bài toán bản chữ nhật chịu tải trọng trong mặt phẳng của nó là bài toán mô hình hóa của rất nhiều kết cấu thường gặp trong thực tế: kết cấu dưới dạng vách, màng hay hệ xàvách… Bản chịu tải trong mặt phẳng của nó vì thế đã trở thành kết cấu chính trong các công trình xây dựng dân dụng hay công nghiệp như các kết cấu màng nằm ngang hay thẳng đứng trong các khối nhà siêu cao tầng, các bồn chứa, hầm lò, ụ tầu hay bến cảng… Trong đa số các trường hợp kể trên, bản có dạng hình chữ nhật. Việc tinh toán phân tích phân bố ứng suất, biến dạng hay chuyển dịch của những bản loại này với một số dạng tương tác với nền móng hay đặt tải khác nhau đã được trình bày khá chi tiết trong 1 , phương pháp tính toán được sử dụng trong 1 là phương pháp sai phân hữu hạn.

LỜI NÓI ĐẦU

Bài toán bản chữ nhật chịu tải trọng trong mặt phẳng của nó là bài toán mô hìnhhóa của rất nhiều kết cấu thường gặp trong thực tế: kết cấu dưới dạng vách, mànghay hệ xà-vách… Bản chịu tải trong mặt phẳng của nó vì thế đã trở thành kết cấuchính trong các công trình xây dựng dân dụng hay công nghiệp như các kết cấumàng nằm ngang hay thẳng đứng trong các khối nhà siêu cao tầng, các bồn chứa,hầm lò, ụ tầu hay bến cảng…

Trong đa số các trường hợp kể trên, bản có dạng hình chữ nhật Việc tinh phân tích phân bố ứng suất, biến dạng hay chuyển dịch của những bản loại này vớimột số dạng tương tác với nền móng hay đặt tải khác nhau đã được trình bày kháchi tiết trong [ 1 ] , phương pháp tính toán được sử dụng trong [1] là phương phápsai phân hữu hạn

toán-Trong bản luận văn này , tác giả đã lựa chọn hai bài toán cụ thể về bản chữ nhậtchịu tải trọng trong mặt phẳng của nó để giải Bài toán thứ nhất là một bài toán về

một hệ vách không gian đưa được về bài toán ứng suất phẳng , bài toán thứ hai là bài toán bản chịu ứng suất trước ở các vị trí khác nhau ( mô hình hóa của kết cấu

bê tông cốt thép có những sợi cốt thép chịu ứng suất trước) Phương pháp số đượcchọn ở đây là phương pháp phần tử biên một phương pháp số khá mới mẻ xong cónhiều các ưu thế vượt trội so với các phương pháp số đã biết

3333

Hình 1: Mô phỏng các phương pháp số

Các phương pháp số

sử dụng rời rạc hóa trong không gian

Như đã biết, liên quan đến việc tính xấp xỉ bằng cách rời rạc hóa miền hình họccủa vật thể , có ba phương pháp số thông dụng : phương pháp sai phân hữu hạn,phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp phần tử biên ( Hình 1 ) , ưu thế củaphương pháp phần tử biên là việc rời rạc hóa miền hình học chỉ thực hiện trênbiên, nó cho phép giảm số chiều của bài toán cần giải, các giá trị nút của chuyểndịch và ứng suất được xác định riêng rẽ trên biên trước và xác định ở các điểmtrong miền sau, rất thuận lợi để giảm kích thước của bài toán ở mỗi bước giải Cáckết quả tính toán thu được trong bản luận văn này tỏ ra khá phù hợp với những kếtquả đã công bố trong [1] khi tính toán bằng phương pháp sai phân hữu hạn.

Bản Khóa Luận này gồm hai chương

Chương I: Phương Pháp Phần Tử Biên Giải Bài Toán Đàn Hồi Tĩnh

Nội dung chương này dành cho việc trình bày lại cơ sở toán học và các thủ tục đểgiải một bài toán đàn hồi phẳng bằng phương pháp phần tử biên.Xuất phát từphương trình vi phân cân bằng Navier, bằng việc sử dụng nguyên lý tương hỗMaxwell-Betti và “ nghiệm cơ bản” dạng Kelvin, chúng ta chuyển về việc giải mộtphương trình tích phân biên, sau đó bằng việc rời rạc hóa miền biên hình họcthành các phần tử nhỏ và thay thế chuyển dịch, ứng xuất trên mỗi phần tử biênbằng các biểu thức xấp xỉ thông qua các hàm dạng, ta dẫn về một hệ phương trìnhđại số tuyến tính xác định các giá trị nút trên biên của chuyển dịch và ứngsuất.Giai đoạn hai sẽ dành cho việc tính toán phân bố ứng suất, biến dạng vàchuyển dịch ở các điểm trong của miền khi đã biết tất cả các giá trị biên của cácđại lượng đó.Việc xử lý các dạng tích phân kỳ dị trong các hệ thức tích phân biên ,đặc biệt tại những điểm biên không trơn , đã được trình bày khá chi tiết ở đây

Chương II : Phương Pháp Phần Tử Biên Giải Bài Toán Bản Chịu Tải Trong

Mặt Phẳng Của Nó.

Đây là nội dung chính của bản Khóa Luận này Ở đây đã dùng phương pháp phần

tử biên ( được trình bày trong chương I) để giải hai bài toán thường gặp trong lĩnh

vực xây dựng : Tính toán hệ vách không gian và bản chịu ứng suất trước ( mô

hình hóa của tấm bê tông có cốt thép chịu ứng suất trước ) Cả hai bài toán đềuđưa về bài toán bản chịu tải trong mặt phẳng của nó.Việc sử dụng phương phápphần tử biên cho phép có thể thay đổi khá dễ dàng các điều kiện tương tác trênbiên mà không cần phải thay đổi nhiều các chương trình tính toán Các kết quả thuđược được trình bầy tường minh ở dạng các đồ thị, chúng rất trùng hợp với nhữngkết quả đã được công bố trước đây khi tính toán theo các phương pháp số khác(xem [1])

chuyển vị u(x) với các ràng buộc về chuyển vị tại phần biên u(   q u).

b(x), q(x) và u(x) có các thành phần theo các trục tọa độ x ( m = 1,2,3), như sau m

q (x)(x) q (x)

u (x)(x) u (x)



 

( m,k = 1,2,3 )trên miền 

Điều kiện biên tự nhiên về chuyển vị trên q :

nk cos(n, x )k , với n là pháp tuyến ngoài của phần biên q ;

qm - là áp lực bề mặt theo phương x tác động trên qm  Điều kiện biên chính yếu về áp lực trên u :

Quan hệ ứng suất - biến dạng trong trường hợp đồng nhất và đẳng hướng :

,

  - là các hằng đàn hồi Lamé :

E(1 )(1 2 )

 - tỷ số Poisson; E – môđun Young; kl ,mk - delta Kronecker

Từ (1.4) và (1.5) có thể biến đổi (1.1) thành hệ phương trình vi phân cho chuyển

vị, hệ phương trình vi phân chủ đạo của bài toán có dạng:

bm2

Nghiệm cơ bản wih k| (x) ứng với (1.6) :

(x, x )eh2

( k,h = 1,2 )(x)

ih

w là chuyển vị khả dĩ do thành phần lực thể tích khả dĩ đơn vị ifh theo phương xh tại điểm i gây ra

Ký hiệu ir là bán kính véc tơ của điểm đang xét đối với gốc i.

Tại điểm j, ta có bán kính vectơ jir và j wih wihj (x )j

Trong trạng thái khả dĩ đó, ứng suất ihj |mk tương ứng với áp lực p | (x) trên ih k

mặt biên  theo (1.1) và ta đi đến kết quả cho bài toán 2 chiều là :

Ký hiệu jp |ih kp | (x )ihj k j là áp lực khả dĩ tương ứng theo phương xk tại điểm j khi có thành phần lực thể tích khả dĩ đơn vị fh tại điểm i Ta có thể viết theo quy tắc lấy tổng như sau :

Khi vật đàn hồi cân bằng tĩnh với phương trình vi phân (1.1) và các điều kiện biên (1.2) và (1.3) theo nguyên lý công khả dĩ, ta có thể viết biểu thức tổng công của ngoại lực ( b ,qk k ) trên chuyển vị khả dĩ w và công của nội lực ( ứng suất k mk) trên biến dạng khả dĩ mk bằng 0 :

Qua vài bước lấy tích phân từng phần của phép biến đổi Green ta nhận được :

uh  p | u dih k k  q wk ih k| d  b wk ih k| d

( k,h = 1,2 ) (1.18)Với u là chuyển vị theo phương x h tại điểm i.ih

Khi lấy tích phân biên tại điểm i trên  mà tại đó trơn tru miền tích phân tại lân cận x x i được thay thế bởi  là phần bán cầu có bán kính vô cùng bé Lấy tíchphân trên phần  -  rồi trên phần bán cầu  và tìm giới hạn khi   0 Lấy tích phần thứ nhất của vế phải (1.18) ta được :

Với iqk q (x )k i là giá trị của qk tại điểm i

Khi  0, nghiệm cơ bản wih k là vô cùng lớn cấp 1/  , vi phân d là vô cùng |

i k

Khi  0, P |ih là vô cùng bé cấp k 1/  và vi phân d là vô cùng bé cấp 2  2

như đã nhắc ở trên, nên

1

20

Trong trường hợp điểm i nằm ở chỗ không trơn tru trên biên  ta đi đến công thứcsau :

i i

c uh  p | u dih k k  q wk ih k| d  b wk ih k| d

( k,h = 1,2 )Hiển nhiên ci 12 ứng với điểm gốc i chỗ trơn tru Ngoài ra khi gốc i ở chỗ không trơn tru thì ci sẽ nhận giá trị khác

3- Bài toán đàn hồi phẳng

3.1 Những phương trình cơ bản

Xét những bài toán đàn hồi phẳng mà ở đó ta có thể bỏ qua một tọa độ không gian,chẳng hạn tọa độ x3, các đại lượng cơ học được coi như chỉ phụ thuộc vào tọa độđiểm trong mặt phẳng, chẳng hạn mặt phẳng Ox x1 2 Việc bỏ qua như vậy tuy cólàm giảm chút ít mức chính xác của bài toán nhưng lại đơn giản rất nhiều về toánhọc và cơ học và cũng khá phù hợp với những yêu cầu về độ chính xác trongnhững bài toán thực tế

Ta viết lại các Wi(x),Pi(x) dưới dạng các ma trận cấp 2x2 như sau:

u = u(x )i là vec tơ chuyển vị tại điểm gốc i

( chú ý ma trận Wi(x) vừa được định nghĩa ở (1.26) khác với véctơ wih k| (x) đã được định nghĩa ở (1.7) );

3.2 Phân chia biên thành các phần tử

Ở đây ta sử dụng các phần tử “hằng “, tức là trên mỗi phần tử biên ta coi như

chuyển vị u và ngoại lực q, b là hằng trong từng phần tử Mỗi phần tử có một

điểm nút ở chính giữa

Chia biên  thành một số ( hữu hạn ) N các phần tử hằng  , (j=1,2,…,N), với L j

điểm nút, ( L=N ) , đồng thời chia miền  thành một số M các ô f , (f=1,2,

Những tích phân biên trong các ma trận H và ji*ij G nói chung được xác định

bằng số nhờ công thức Gauss Chỉ khi i=j những tích phân biên trong iiG chứa yếu



 



ri sinx2

q, u là các vec tơ ngoại lực và chuyển vị cỡ ( 2Nx1 ) tại các nút j trên toàn biên .

H, G là các ma trận tích phân biên cỡ ( 2Nx2N ) cho tàn biên 

là vec tơ liên quan đến ngoại lực b(x) trong ô s

Từ (1.37) ta có thể đưa về hệ phương trình sau :

s s

Khi đã biết các giá trị chuyển vị u (x) và áp lực q (x)k k trên biên  ta lại dùng

phương trình (1.18) để xác định chuyển vị u (x) và ứng suất k mk(x) tại các

điểm bên trong 

Ứng suất mk(x) tại điểm i trong miền  được tính bằng công thức ( trong [3] )

nk là côsin chỉ phương của n theo phương xk

ri là môđun bán kính vectơ ir ( gốc là điểm I trông miền  và ngọn là

điểm trên biên)

TRỌNG TRONG MẶT PHẲNG CỦA NÓ

Chương này dành cho việc tính toán bằng phương pháp phần tử biên hai bài toán

mà các kỹ sư kết cấu thường gặp trong thực tế

Bài toán thứ nhất là bài toán của một hệ vách không gian , nó được xem là mô

hình một ngôi nhà với 4 bức tường, trong đó hai bức đối diện nhau là tường chịulực, còn hai bức kia đóng vai trò các vách ngăn phòng không chịu lực

Bài toán thứ hai dành cho việc tính toán những bản chịu ứng suất trước Đó là mô

hình của các kết cấu bê tông cốt thép chịu ứng lực trước, việc cho các cốt thépdạng sợi ( thiết diện tròn hay vuông ) chịu ứng lực trước sẽ giúp không chỉ tăng

độ bền chống nén , chống uốn của bê tông ( và giúp tiết kiệm vật liệu) mà còn tăngkhả năng chống xuất hiện các vết nứt rạn trong bê tông

1- BÀI TOÁN HỆ VÁCH KHÔNG GIAN

Hình 2: Cấu trúc không gian ba chiều của bản

Giả thiết rằng độ cứng chống uốn của các vách ngăn là rất nhỏ theo hướng trực giao với mặt phẳng trung bình của các vách ngăn Vì vậy chúng ta xem rằng các phản lực tương hỗ của các vách ngăn chỉ là các lực cắt phân bố dọc các cạnh của

nó Và như vậy trạng thái ứng suất trong các tấm vách là trạng thái ứng suất

phẳng Nền được giả thiết là đàn hồi theo mô hình Winkler (xem trong [4] )

Theo các giả thiết trên chúng ta có :

Hình 3: Chuỗi các vách ngăn của kết cấu

1.2 Giải bài toán bằng phương pháp phần tử biên

Việc giải bài toán cấu trúc 3 chiều của bản ( Hình 2 ) ta đưa về giải bài toán 2 chiều hình chữ nhật chịu tải trọng ở trên ( Hình 3 )

Trong bài toán này lực thể tích b(x)=0 Để đơn giản ta chọn phần tử biên là phần

tử hằng Tức là xấp xỉ hàm u(x) đơn giản nhất là hằng ju trong từng phần tử biên.

Ta chia biên hình chữ nhật ra thành N = 64 phần tử hằng như hình vẽ ( Hình 3 ).Điều kiện biên của bài toán là :

 4x q35x q36x 0; q33y q34y q35y q36y 0

q37x q38x q39x q40x 0; q37y q38y q39y q40y p

q41x q42x q43x q44x 0; q41y q42y q43y q44y 0

q45x q46x q47x q48x 0; q45y q46y q47y q48y p

Chọn nút j là điểm giữa của “phần tử hằng” j Trong phần tử đó ju và q là j

     





(1.47)Trong đó: l ,j  lần lượt là độ dài phần tử biên jk  và trọng số tương ứng với điểm thứ k trong tích phân Gauss

K- số điểm lấy tích phân Gauss trên phần tử biên j

Khi i=j thì tại đó các điểm biên không trơn nên khi tính tích phân H và G tại đó ta gặp yếu tố kỳ dị phương trình ( 1.47 ) không tính được nên ta đi xác định H và G bằng phương pháp giải tích như sau :

Gọi n là pháp tuyến ngoài của biên Trục tọa độ ở phần tử hằng i vuông góc với pháp tuyến n Ta có :

1.2 Kết quả tính toán bằng số

Cho chiều dài a = 1.6 m; chiều rộng b = 0.4m; P=1000 N; Hệ số Poisson  0.25;

hệ số t a  1

Kết quả tính toán được như sau :

Tọa độ điểm chia phần tử (x,y) và tọa độ điểm nút (xm,ym) là :

Từ kết quả tính toán được ở trên ta vẽ đồ thị biểu diễn chuyển dịch trên biên của các bản A, B và A’, B’.

chuyen dich Ux tren bien cua ban A'

Hình 4: Biểu diễn chuyển dịch theo phương x trên biên y=0 của 2 bản A, A’

chuyen dich Uy tren bien cua ban A'

Hình 5: Biểu diễn chuyển dịch theo phương y trên biên y=0 của 2 bản A, A’

chuyen dich Ux tren bien cua ban B'

Hình 6: Biểu diễn chuyển dịch theo phương x trên biên y=0 của 2 bản B, B’

chuyen dich Uy tren bien cua ban B'

Hình 7: Biểu diễn chuyển dịch theo phương y trên biên y=0 của 2 bản B, B’

chuyen dich Ux tren bien cua ban A'

Hình 8: biểu diễn chuyển dịch theo phương x trên biên y=0.4m của 2 bản A, A’

chuyen dich Uy tren bien cua ban A'

Hình 9: biểu diễn chuyển dịch theo phương y trên biên y=0.4m của 2 bản A, A’

chuyen dich Ux tren bien cua ban B'

Hình 10 biểu diễn chuyển dịch theo phương x trên biên y=0.4m của 2 bản B,B’

chuyen dich Uy tren bien cua ban B'

Hình 11 biểu diễn chuyển dịch theo phương y trên biên y=0.4m của 2 bản B,B’

Các đồ thị được biểu diễn trong hình 4, hình 5, hình 6, hình 7, hình 8, hình 9, hình

10, hình 11 chứng tỏ chuyển vị theo cả 2 phương x, y trên y = 0 và y = 0.4m của bản A đối xứng với bản A’ và trên bản B đối xứng với bản B’ ( điều này phù hợp

về mặt cơ học khi đặt bài toán như hình 2 )

Ta đi tính ứng suất Qx tại một số điểm của bản A với x = a/8 = 0.2m Sau đó nội suy ta thu được đồ thị biểu diễn ứng suất tương ứng :

Do thi bieu dien ung suat Qx tai x= 0.2m

ket qua tinh toan bang pp sai phan ket qua tinh toan bang pp PTB

Hình 12: Biểu diễn ứng suất Qx tại một số điểm bên trong bản A tại x = 0.2m Đường màu đỏ là kết quả của phương pháp sai phân trong [1], đường màu xanh là kết quả tính toán của phương pháp phần tử biên.

Do tính đối xứng giữa 2 bản A và A’ nên từ hình 12 ta suy ra ứng suất trên bản A’ cũng diễn biến tương tự

2- BÀI TOÁN BẢN CHỊU ỨNG SUẤT TRƯỚC

Hình 13 : Bản chịu ứng suất trước

Các kết cấu chịu ứng suất trước ( ví dụ bê tông cốt thép chịu ứng lực trước - hình 13) được sử dụng rộng rãi trong thực tế do tính kinh tế của nó

Ngoài lý do kinh tế còn có lý do kỹ thuật : nếu vật liệu của bản có khả năng chịu kéo kém thì việc tạo ra ứng suất trước cho phép tăng độ bền của kết cấu, tránh được các hiện tượng mỏi hay nứt gãy

Xét một bản vuông có độ dày t = 1, chịu ứng suất trước bằng một sợi dây cáp căngtheo theo chiều ngang cách cạnh dưới một khoảng cách bằng e

Chúng ta giả thiết sợi cáp sau khi đã được kéo căng ra sẽ có xu hướng co lại và tácdụng vào bản thông qua hai điểm neo ở hai bên cạnh thẳng đứng như hình vẽ.Trạng thái ứng suất của bản vì vậy chỉ phụ thuộc vào giá trị của lực S và khoảng cách e, để đơn giản cho việc tính toán ta chọn S = 1

Ta xét 6 bài toán nhỏ sau, tương ứng với các trường hợp e = 0, e = 1,…, e = 5.

2.1 Bài toán 1 ( e = 0 )

Khi e = 0 bài toán bản chịu ứng suất trước có dạng sau đây :

Ta chia biên thành 20 phần tử hằng với điều kiện biên như sau

Tính toán bằng matlab ta thu được kết quả sau đây :

Tọa độ điểm chia (x,y) và tọa độ điểm nút (xm,ym) là :

1x 10

-3

chuyen dich Ux tren bien y=a

Hình 14: Biểu diễn chuyển dịch theo phương x trên 2 cạnh y = 0 và y = a.

7x 10

-5

chuyen dich Uy tren bien y=a

Hình 15 : Biểu diễn chuyển dịch theo phương y trên 2 cạnh y = 0 và y = a.

Ung suat Qx tren bien y=a

Hình 16 : Biểu diễn ứng suất theo phương x trên 2 biên y = 0 và y = a.

Ung suat Qy tren bien y=a

Hình 17 : Biểu diễn ứng suất theo phương x trên 2 biên y = 0 và y = a.

Từ các đồ thị hình 9, 10, 11, 12 ta thấy rằng chuyển dịch và ứng suất trên 2 biên

y = 0 và y = a là đối xứng nhau

Ta đi tính ứng suất ( Qx,Qy,Qxy ) tại x =a/2 Sau đó nội suy ta thu được đồ thị biểu diễn của ứng suất tương ứng

Tọa độ điểm trong (xi,yi)