Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến THPT NGHÈN hà TĨNH

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀIBất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là bài toán có mặt ở hầu hết trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học.. Trong chương trình giảng

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là bài toán

có mặt ở hầu hết trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học Không những thế nó còn là bài toán hay và khó nhất trong các đề thi.

Trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người dạy lẫn người học Việc giảng dạy để làm sao học sinh học tốt chủ đề này luôn là một vấn đề khó Chủ đề này thường dành cho học sinh giỏi nên các bài toán đưa ra thường hay và khó.

Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

có nhiều phương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải được mọi bài toán mà chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các bài toán mà thôi.Một trong những phương pháp khá hiệu quả là dung đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng cơ bản là khảo sát lần lượt từng biến, bằng cách xem các biến còn lại là tham số cố định Không có một thuật giải chi tiết nào cho phương pháp này mà chỉ thong qua ví dụ để học sinh rèn luyện để tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bài toán

cụ thể và từ đó tìm thấy sơ đồ giải riêng cho mình.

Vì những lí do trên tôi viết chuyên đề này nhằm giúp học sinh có cái nhìn rộng hơn về phương pháp sử dụng đạo hàm trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN.

NỘI DUNG

1 Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán hai biến.

Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ giữa chúng rồi tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức đã cho về hàm một biến để khảo sát.

Thí dụ 1 ( CĐ Khối A, B – 2008 ) Cho x y, là số thực thỏa mãn 2 2

2

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= 2(x3 +y3 ) 3 − xy

Hoạt động khám phá:

- Từ giả thiết x2 +y2 = 2 Có thể đưa bài toán về một ẩn không?

- Ta nghĩ tới hằng đẳng thức x2 +y2 = + (x y) 2 − 2 ; xy x3 +y3 = + (x y x)( 2 − +xy y2 ).

- Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất hiện x2 +y2 để sử dụng giả thiết.

- Biến đổi biểu thức P và thế vào x2 +y2 = 2 ta có :

= 2( )(2 ) 3

- Từ giả thiết 2 ( )2 2

2

x y

Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa P về hàm một biến số nếu ta đặt :

t = +x y .

Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: 2 2 ( )2

2

x y

Lời giải

Ta có :

= 2( )(2 ) 3

Ta có : ( )2 2

2

x y

xy= + − , vì thế sau khi đặt t= +x y thì:

3 2

P t = t − − − − = − −t t + +t

Ta có 2 2 ( )2 2

2

x y

x +y ≥ + ⇒ +x y ≤ ⇒ − ≤ ≤t .

Xét hàm số 3 3 2

2

P t = − −t t + +t với − ≤ ≤ 2 t 2

Ta có P t'( ) = − 3t2 − + 3t 6

1 '( ) 0

2

t

P t

t

=



= ⇔  = −

Ta có bảng biến thiên như sau

t -2 1 2 P’(t) + 0

-P(t)

13

2

-7 1 Vậy

[ 2;2 ]

min ( )P t P( 2) 7

− = − = − khi x= = −y 1

[ 2;2 ]

;

( ) (1)

;

−







Thí dụ 2 ( ĐH Khối D – 2009 )Cho x≥ 0,y≥ 0 và x y+ = 1.Tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

S = (4x2 + 3 )(4y y2 + 3 ) 25x + xy

Hoạt động khám phá :

- Từ giả thiết x y+ = 1 có thể đưa bài toán về một ẩn không ?

- Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện x y+ để sử dụng giả thiết.

- Chú ý các hằng đẳng thức :

Sau khi khai triển và thế vào x y+ = 1 , ta có : S = 16x y2 2 − 2xy+ 12

- Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa S về hàm một biến số nếu ta đặt : t=xy

- Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức : 0 ( )2

4

x y

Lời giải.

Ta có : S = (4x2 + 3 )(4y y2 + 3 ) 25x + xy= 16x y2 2 + 12(x3 +y3 ) 34 + xy

= 16x y2 2 + 12(x y x+ )( 2 − +xy y2 ) 34 + xy

= 16x y2 2 + 12[(x y+ ) 2 − 3 ] 34 , do xy + xy x y+ = 1

= 16x y2 2 − 2xy+ 12

Đặt t=xy Do x≥ 0;y≥ 0 nên 0 ( )2 1 0 1

x y

Xét hàm số f t( ) 16 = t2 − + 2 12t với 0 1

4

t

≤ ≤ .

Ta có f t'( ) 32 = t− 2.

1 '( ) 0

16

f t = ⇔ =t .

Bảng biến thiên

t 0

1

16 1

4

f(t)

2

191

16

Vậy :

1

0;

4

1 191 min ( ) ( )

16 16

 

 

 

;

x= + y= − hoặc 2 3 2 3

;

1

0;

4

1 25 ( ) ( )

4 2

 

 

 

2

Thí dụ 3 ( ĐH Khối B – 2009) Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A= 3(x4 +y4 +x y2 2 ) 2( − x2 +y2 ) 1 + .

với x y, là các số thỏa mãn điều kiện : (x y+ ) 3 + 4xy≥ 2.

Hoạt động khám phá :

- Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để sử dụng

dễ dàng hơn Chú ý hằng đẳng thức :

Và (x y+ ) 2 ≥ 4xy Khi đó điều kiện bài toán trở thành : x y+ ≥ 1

Ta biến đổi được A như sau :

4 4 2 2 2 2

≥ 3 2 2 2 3( 2 2 2) 2 2

( do 4 4 ( 2 2 2)

2

4

- Vì vậy ta có thể nghĩ đến việc đưa A về hàm một biến bằng cách đặt t=x2 +y2.

- Tìm điều kiện của biến t ta sử dụng bất đẳng thức 2 2 ( )2

2

x y

Lời giải.

Ta luôn có kết quả : (x y+ ) 2 ≥ 4xy, từ đó ta có :

(x y+ ) + 4xy≥ ⇒ + 2 (x y) + + (x y) ≥ + (x y) + 4xy≥ 2

2

( ) 1 ( ) ( ) 2 0 ( ) 1 0

x y

⇒ + −  + + + + ≥

⇒ + − ≥

Do

2

 + + + +  = + + + ≥ ∀

Bài toán được đưa về tìm max, min của :

Với x y, thỏa mãn x y+ ≥ 1.

Ta biến đổi biểu thức A như sau :

3 2 2 2 3( 2 2 2) 2 2

( do 4 4 ( 2 2 2)

2

Hay 9 2 2 2 2 2

4

Vì 2 2 ( )2

2

x y

x +y ≥ + ( do x y+ ≥1) nên 2 2 1

2

Đặt 2 2

t=x +y Ta có hàm số 9 2

4

f t = t − +t với 1

2

9 '( ) 2 2

4 '( ) 0

9

= −

= ⇔ =

Ta có bảng biến thiên như sau :

t 4

9

1

2 +∞

'( )

( )

f t

+∞

9 16

Vậy 1

2

1 9 min ( ) ( )

2 16

t

≥

= = đạt được khi 1

2

t=

Suy ra 9

16

A≥ Mặt khác, ta dễ thấy 1

2

x= =y thì 9

16

Kết luận : min 9

16

A= khi 1

2

x= =y và không có giá trị lớn nhất.

Thí dụ 4 (ĐH Khối A- 2006) Cho hai số thực x y, ≠ 0 thay đổi thỏa mãn điều

(x y xy x+ ) = +y −xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 3

1 1

A

= +

Hướng dẫn:

A

Đặt x ty= Từ gải thiết ta có: (x y xy x+ ) = 2 +y2 −xy⇒ + (t 1)ty3 = (t2 − +t 1)y2

Do đó 2 2 1; 2 1

1

Từ đó

2

2 2

2

1

A

=  + ÷ =  − + ÷

2

Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN của A là: 16 đạt được khi 1

2

Thí dụ 5 (ĐH Khối B- 2011) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn

2 2

2(a +b ) +ab= + (a b ab)( + 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4 a b 9 a b

P

=  + ÷ − + ÷

Hướng dẫn:

- Biến đổi giả thiết:

2 2

2(a +b ) +ab= + (a b ab)( + 2)

a b

b a

⇔  + ÷+ = + + +

1 1

2 a b 1 (a b) 2

⇔  + ÷+ = + +  + ÷

- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

(a b) 2 2 2(a b) 2 2 a b 2

+ +  + ÷≥ +  + ÷=  + + ÷

2

 + + ≥  + + ⇒ + ≥

Đặt t a b

b a

= + , 5

2

t≥ Ta được : P= 4(t3 − 3 ) 9(t − t2 − = 2) 4t3 − 9t2 − 12 18t+ Xét hàm số: f t( ) 4 = t3 − 9t2 − 12t+ 18

'( ) 6(2 3 2) 0,

2

f t = t − − ≥ ∀ ≥t t

Suy ra 5;

2

5 23 min ( )

 

+∞÷

 

 

=  ÷= −

Vậy min 23

4

P= − đạt đươc khi và chỉ khi 5

2

a b

a b

+ =  + ÷

( ; ) (2;1)a b = hoặc ( ; ) (1; 2)a b =

Thí dụ 6 (Thi HKI 2010-2011- Khối 12- Sở GD- ĐT Bắc Giang) Cho x, y là hai

số thay đổi thỏa mãn điều kiện 2(x2 +y2 ) =xy+ 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4

2 1

T xy

+

= +

Hướng dẫn:

- Đặt t=xy từ giả thiết suy ra 4 1 1 1

xy ≤xy+ ⇔ − ≤xy≤ Vậy 1 1;

5 3

 .

Chú ý: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x và y ta được x2 +y2 ≥ 2 xy

- Biến đổi và biểu diễn theo biến t ta được: 7 2 2 1

8 4

T

t

− + +

=

- Xét hàm số ( ) 7 2 2 1

8 4

f t

t

− + +

=

+ ,

1 1

;

5 3

 .

- Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên ta tìm được

1 1;

5 3

1

ax ( ) (0)

4

− 

 

 

= = và

1 1;

5 3

min ( )

− 

 

 

   

= − ÷=  ÷=

   

Từ đó kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nho nhất của T

2 Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến trong bài toán ba biến.

 Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta có thể khảo sát lần lượt từng biến một bằng cách chọn một biến làm tham số biến thiên và cố định các biến còn lại, bài toán lúc này trở thành bất đẳng thức một biến Luôn có tâm thế nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dưới dạng là một hàm số để ta sử dụng được công cụ hiệu quả trong bài toán là đạo hàm.

 Sơ đồ tổng quát.

Giả sử tìm cực trị của biểu thức ba biến x y z, , là P x y z( , , ) với điều kiện T nào đó.

 Bước 1 Xem P x y z( , , ) là hàm theo biến x , còn y z, là hằng số Khảo sát hàm này tìm cực trị với điều kiện T Ta được:

P x y z( , , ) ≥g y z( , ) hoặc P x y z( , , ) ≤g y z( , )

 Bước 2 Xem g y z( , )là hàm biến y , còn z là hằng số Khảo sát hàm này với điều kiện T Ta được : g y z( , ) ≥h z( ) hoặc g y z( , ) ≤h z( ).

 Bước 3 Cuối cùng khảo sát hàm số một biến h z( ) với điều kiện T ta tìm được min, max của hàm này.

Ta đi đến kết luận : P x y z( , , ) ≥g y z( , ) ≥h z( ) ≥m

hoặc P x y z( , , ) ≤g y z( , ) ≤h z( ) ≤M .

Thí dụ 7 (ĐH Khối A-2011) Cho ba số thực x y z, , ∈[ ]1; 4 và x y x z≥ , ≥ Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức.

P 2 x3 y z

Hoạt động khám phá:

- Khảo sát từng biến như thế nào ?

- Xem P là một hàm theo biến z, còn x, y là hằng số Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho suy ra giá trị nhỏ nhất của P, tức là : P x y z( , , ) ≥P x y( , ).

- Khảo sát hàm P x y( , ), ở đây có thể đưa P x y( , )về hàm số một biến không ?

- Bằng cách đặt ẩn phụ t x

y

= để đưa P x y( , ) về hàm một biến Tìm GTLN của hàm số một biến này.

- Vậy ( , , ) ( , ) ( ) 34

33

Lời giải.

Ta có : P 2 x3 y z

Xem đây là hàm theo biến z ; còn x y, là hằng số

'( )

P z

Theo giả thiết x y≥ ⇒ − ≥x y 0 nếu P≥ ⇔ ≥ 0 z xy (do x y z, , ∈[ ]1; 4 )

Z xy

'( )

P z - 0 +

( )

P z

min

Từ bảng biến thiên:

2 ( )

2 3

2 =

2 3 1

y x

x y

+

Đặt t x

y

= , do x y x z≥ , ≥ và x y z, , ∈[ ]1; 4 nên 1 ≤ ≤t 2 Xét hàm ( ) 22 2

2 3 1

t

f t

+ + Ta có

[ ]

2 4 ( 1) 3(2 3)

(2 3) (1 )

−  − + − + 

Suy ra f t( ) giảm trên [ ]1; 2 , do đó ( ) ( ) (2) 34

33

Đẳng thức xảy ra : 4, 1, 2

2

x t y

 =







Vậy min 34

33

P= khi

Thí dụ 8 Cho ba số thực , , 1;3

3

∈    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P a b c

a b b c c a

Hoạt động khám phá:

- Xem P là một hàm theo biến a, còn b, c là hằng số Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho suy ra giá trị lớn nhất của P, tức là : P a b c( , , ) ≤g b c( , ).

- Khảo sát hàm g b c( , )là một hàm theo biến c, còn b là hằng số Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho, suy ra GTLN của g b c( , ), tức là g b c( , ) ≤h b( ).

- Tiếp theo khảo sát hàm h b( ) suy ra ( ) 8

5

- Vậy ( , , ) ( , ) ( ) 8

5

Lời giải:

Đặt P a( ) a b c

a b b c c a

Xem đây là hàm số theo biến a, còn b c, là hằng số

2

'( )

P a

Trường hợp 1: a b c≥ ≥ và , , 1;3

3

∈    Suy ra 2

b c− ≥ a −bc≥ nên P a'( ) 0 ≥ Do đó P a( ) tăng trên 1;3

3

 

 

 . 3

b b c c

+ + + (xem đây là hàm theo biến c)

2

3 ( 3)(3 )

( ) ( 3) ( ) ( 3)

g c

+ + + + Do đó g c( ) giảm trên

1

;3 3

 

 

 .

Suy ra: ( ) ( )1 3 3 1 ( )

3 3 3 1 10

b

+ + .( xem h(b) là hàm số theo biến b)

'( ) (3 2) ( 3) (3 1) ( 3)

h b

Ta có bảng biến thiên

3 1 3

'( )

-( )

h b

Suy ra ( ) (1) 8

5

Vậy ( , , ) (3, , ) (3, , )1 (3,1, )1 8

3

Trường hợp 2 : c b a≥ ≥ và , , 1;3

3

∈   

Từ kết quả của trường hợp 1, ta có: ( , , ) 8

5

Mặt khác : ( , , ) ( , , ) ( )( )( ) 0

( )( )( )

a b b c a c

a b b c a c

8 ( , , )

5

P a b c

5

MaxS= , đạt được khi ( , , ) 3;1;1 , 1;3;1 , 3; ;11

a b c =     ÷   ÷  ÷ 

Thí dụ 9 Cho a b c, , là ba số thực thỏa mãn điều kiện abc a c b+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 2 2

P

Hoạt động khám phá:

- Từ giả thiết abc a c b+ + = có thể đưa bài toán về ít ẩn hơn không ?

- Biến đổi giả thiết (1 ) 0

1

a c

ac

+ + = − > ⇒ =

− có thể đưa P về 2 biến (

1

a c

< ).

- Khi đó

2

a c

+

- Xem P là hàm theo biến a còn c là hằng số.

- Khảo sát hàm biến a là f a( ) với 0 a 1

c

< < suy ra 2 2

1 1

c

c c

+

- Tiếp tục khảo sát hàm g(c) với 0 c< < +∞ suy ra ( ) 10

3

Lời giải :

Theo giả thiết ta có (1 ) 0

1

a c

ac

+ + = − > ⇒ =

− và

1

a c

<

Thay vào biểu thức P ta được :

2

2 , (0 )

a c

+

Xét hàm số :

2

1 ( 1)( 1)

x c

f x

+

1

0 x

c

< < và coi c là tham số c>0

Ta có :

2

2 0

2 2 2

(1 ) (1 )

= + + = ⇔ = − + + ∈ ÷

Ta có bảng biến thiên

x

0 x0 1

c

'( )

f x + 0 -

( )

f x f x( ) 0

Từ bảng biến thiên ta có : ( ) ( ) 0 2

1

c

c

+ .

Ta có : 2 2 2 2 0 ( )

8 (1 ) (3 1 )

c

−

Bảng biến thiên :

c 0 c0 +∞

g c'( ) + 0 -

g c( ) g c( ) 0

Từ bảng biến thiên suy ra : g c( ) ≤g c( ) 0

0

10 ( ) ( )

3

Vậy với 1 , 2, 2

2 8

c= a= b= thì ax 10

3

Thí dụ 10 Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện 21ab+ 2bc+ 8ca≤ 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 2 3

a b c

= + + .

Hoạt động khám phá:

- Hãy suy nghĩ để chuyển bài toán về ẩn mới?

- Có thể biểu diễn để biểu thức P và giả thiết đơn giản hơn hay không?

- Nếu đặt : x 1,y 1,z 1

= = = bài toàn như thế nào?

- Có thể chuyển bài toán sao cho ít ẩn hơn được không?

- Từ giả thiết : 2 8 21 12 2 8

12 21

xy

+

− và

7 4

x y

>

- Khi đó: 2 2 8 ( )

xy

+

- Khảo sát hàm số f x( ) xem y như tham số cố định Ta được

2 0

32 14 9

y

+

- Tiếp tục khảo sát hàm một biến g(y)

- Ta đi đến kết luận : ( ) ( ) 15

2

Lời giải :

Đặt x 1,y 1,z 1

= = = ⇒x y z, , > 0; 2x+ 8y+ 21z≤ 12xyzvà S= +x 2y+ 3z

12 21

xy

+

− và

7 4

x y

> .

Từ biểu thức S suy ra được: 2 2 8 ( )

xy

+

−

2 2

14 32

(4 7)

y

f x

xy

−

−

2 0

32 14

;

y

x x

Bảng biến thiên:

4 y x0 +∞

f’(x) - 0 +

f x( )

0

( )

f x

Khi đó từ bảng biến thiên , ta có:

( ) ( ) 20 9 32 2 14 ( )

y

+

(8 9) 32 14 28

4 32 14

g y

+

Đặt t= 32y2 + 14 thì phương trình g y'( ) 0 = ⇔ (8y2 − 9) 32y2 + 14 28 0 − =

50 122 0 8

4

⇔ − − = ⇔ = ⇔ = Ta có bảng biến thiên:

y 0 5

4 +∞

g’(y) - 0 +

g y( )

15 2 5