Đây có lẽ cũng là một trong các lý do mà trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp thường xuyên có mặt các bài toán phải sử dụng nguyên lý này.. Ở mỗi cấp học nguyờn lý này lại được phỏt bi
Trang 1Nguyên lý Điricle có nội dung khá đơn giản song nó lại là một công cụ vô cùng hiệu quả trong việc chứng minh nhiều bài toán từ cụ thể đến trừu tượng mà khó có thể có một công cụ nào thay thế Trong rất nhiều trường hợp nó giúp ta thấy được một sự vật, một sự việc chắc chắn tồn tại song không thể chỉ ra được một cách tường minh Chính điều đó đã kích thích
tư duy, óc tưởng tượng phong phú của học sinh, làm cho học sinh cảm thấy yêu thích hơn với bộ môn toán Đây có lẽ cũng là một trong các lý do
mà trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp thường xuyên có mặt các bài toán phải sử dụng nguyên lý này
MỤC LỤC
đề: Tr2
Lý do chọn đề tài Tr2
Mục đích và phạm vi nghiên cứu Tr3
Thời gian thực hiện đề tài Tr4
Khảo sát thực tiễn Tr4
đề Tr5
Giải pháp thực hiện Tr7
Hệ thống bài tập:
Sự trùng lặp Tr7
Sự chia hết Tr9
Toán tô màu Tr13
Toán về sự tương hỗ Tr15
Toán có nội dung hình học Tr17 Kết quả thực hiện đề tài Tr19
Kết luận và kiến nghị Tr20
Trang 2PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1 Lý do chọn đề tài:
Là một giỏo viờn nhiều năm được nhà trường phõn cụng nhiệm vụ dạy đội tuyển và bồi dưỡng học sinh giỏi toỏn lớp 6 tụi luụn suy nghĩ làm thế nào
để vừa đỏp ứng được cỏc kiến thức cơ bản theo chương trỡnh chuẩn của BGD đồng thời phỏt triển tư duy ở trỡnh độ cao phự hợp với khả năng và trớ tuệ của cỏc em học sinh Từ những trăn trở đú tụi đã tham khảo nhiều
đề thi HSG và cỏc chuyờn đề bồi dưỡng HSG Tụi nhận thấy một thể loại toỏn được đề cập khỏ nhiều trong cả một quỏ trỡnh học tập từ Tiểu học cho đến khi vào Đại học đú là dạng toỏn ứng dụng nguyờn lý Điricle
Ở mỗi cấp học nguyờn lý này lại được phỏt biểu bằng một ngụn ngữ khỏc nhau sao cho phự hợp với tư duy và lứa tuổi của cỏc em mà vẫn giữ nguyờn được bản chất của kiến thức trong nguyờn lý
Nguyờn lý Điricle cú nội dung khỏ đơn giản song nú lại là một cụng cụ vụ cựng hiệu quả trong việc chứng minh nhiều bài toỏn từ cụ thể đến trừu tượng mà khú cú thể cú một cụng cụ nào thay thế Trong rất nhiều trường hợp nú giỳp ta thấy được một sự vật, một sự việc chắc chắn tồn tại song khụng thể chỉ ra được một cỏch tường minh Chớnh điều đú đó kớch thớch
tư duy, úc tưởng tượng phong phỳ của học sinh, làm cho học sinh cảm thấy yờu thớch hơn với bộ mụn toỏn Đõy cú lẽ cũng là một trong cỏc lý do
mà trong cỏc kỳ thi học sinh giỏi cỏc cấp thường xuyờn cú mặt cỏc bài toỏn phải sử dụng nguyờn lý này
Vớ dụ:
Đề thi vào lớp 6 trường Amsterdam năm 2005:
Cú 6 bạn thi giải Toỏn, mỗi người phải làm 6 bài Mỗi bài đỳng được 2 điểm, mỗi bài sai bị trừ 1 điểm, nhưng nếu số điểm bị trừ nhiều hơn số điểm đạt được thỡ học sinh đú bị coi là 0 điểm Cú thể chắc chắn ớt nhất hai bạn cú số điểm bằng nhau được khụng? Giải thớch tại sao?
Đề thi HSG lớp 6 Quận Hà Đụng năm 2012:
Cho 14 số tự nhiờn cú 3 chữ số Chứng tỏ rằng trong 14 số đó cho tồn tại hai số mà khi viết chỳng liờn tiếp nhau ta được một số cú 6 chữ số chia hết cho 13
Đề thi HSG lớp 6 Quận Hà Đụng năm 2012:
Người ta chia một hỡnh vuụng thành 16 ụ vuụng nhỏ bằng nhau
Viết vào mỗi ụ vuụng của bảng một trong cỏc số 2013; -2013; 0
Sau đú tớnh tổng cỏc số theo hàng ngang, cột dọc và đường chộo
Chứng tỏ rằng trong cỏc số đú luụn tồn tại hai tổng cú giỏ trị bằng nhau
Đề thi HSG lớp 6 trường THCS Lờ Lợi năm 2011:
Trang 3Có tồn tại hay không số tự nhiên là bội số của 2011 Mà số tự nhiên đó được viết bởi toàn chữ số 1 và chữ số 0?
Đề thi HSG lớp 6 quận Ba Đình năm 1996:
Cho 4 số tự nhiên tùy ý Chứng minh rằng ta có thể chọn được hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5
Đề thi HSG lớp 6 quận Ba Đình năm 1997:
Cho 7 sè tù nhiªn tuú ý Chøng minh r»ng bao giê ta còng cã thÓ chän
®-îc 4 sè mµ tæng cña chóng chia hÕt cho 4
Đề thi HSG lớp 6 quận Ba Đình năm 1999:
Chứng tỏ rằng tồn tại số tự nhiên chỉ gồm chữ số 1 và chữ số 0 chia hết cho 1999
…
Chỉ mất 1 phút ta có thể tìm thấy hàng chục đề thi HSG lớp 6 trong các năm gần đây có ứng dụng nguyên lý Điricle Điều đó cho thấy sự cần thiết
với mỗi giáo viên phải nghiên cứu về chuyên đề này Đây cũng là lý do để tôi chọn đề tài: “Một số bài toán ứng dụng nguyên lý Điricle trong bồi dưỡng HSG toán 6”
2 Mục đích và phạm vi nghiên cứu: Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6.
3 Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu chương trình toán tiểu học, chương trình toán lớp 6
- Nghiên cứu về cơ sở khoa học của nguyên lý Điricle để từ đó nhận dạng được những bài toán có thể áp dụng nguyên lý phù hợp với đối tượng học sinh
- Phân loại bài tập theo 2 mảng số học và hình học Với mỗi mảng bài tập này lại chia tiếp thành từng dạng với hệ thống bài tập đi từ đơn giản đến phức tạp
- Nghiên cứu về phương pháp giảng và cách giải phù hợp cho học sinh
- Lường trước những khó khăn học sinh thường gặp phải, đặt mình vào vị trí các em để hình dung được thái độ học tập của các em, những băn khoăn của các em từ đó có sự điều chỉnh về phương pháp, về tình cảm, về kiến thức phù hợp
4 Thời gian thực hiện đề tài:
Bắt đầu từ tuần thứ 12 đến hết tuần 36 của năm học Xen kẽ vào các giờ học chính khóa và 4 buổi học bồi dưỡng riêng cho đội tuyển
5 Tình hình thực tiễn trước khi thực hiện đề tài:
* Đối với giáo viên: Ban đầu tôi cảm thấy khá khó khăn trong việc lựa chọn ngôn ngữ trình bày lời giải cho từng thể loại Khó khăn trong việc sử dụng phương pháp truyền đạt tới các em học sinh, từng thể loại bài tập nên dạy vào thời điểm nào, mức độ tới đâu là phù hợp? Và nhiều lần tôi
Trang 4cú ý nghĩ lảng trỏnh, bỏ qua dạng bài tập này Khụng chủ quan lắm tụi thấy đú cũng là tõm lý chung của nhiều giỏo viờn giảng dạy bộ mụn toỏn
* Đối với học sinh: Khảo sỏt sơ lược với 25 học sinh của đội tuyển toỏn 6:
Số HS đó được làm quen với nguyờn lý Điricle: 02 – Tỉ lệ 8%
Số HS cú nghe tờn nguyờn lý nhưng chưa được học: 15 – Tỉ lệ 48%
Số HS chưa biết về nguyờn lý: 8 – Tỉ lệ 44%
Thử sức với bài tập: Cú 6 bạn thi giải Toỏn, mỗi người phải làm 6 bài Mỗi bài đỳng được 2 điểm, mỗi bài sai bị trừ 1 điểm, nhưng nếu số điểm bị trừ nhiều hơn số điểm đạt được thỡ học sinh đú bị coi là 0 điểm
Cú thể chắc chắn ớt nhất hai bạn cú số điểm bằng nhau được khụng? Giải thớch tại sao?
“Đề thi vào lớp 6 trường Amsterdam năm 2005” Kết quả: cả 25 em học sinh đội tuyển đều khụng làm được
à 100% học sinh mong muốn được tỡm hiểu nội dung nguyờn lý và cỏch giải cho một số dạng bài tập
Phần Ii: giảI quyết vấn đề
I Cỏc giải phỏp thực hiện:
Giải phỏp thứ nhất:
Khơi gợi trong cỏc em tỡnh yờu với bộ mụn Toỏn, sự cần thiết phải học bộ mụn toỏn thụng qua nhiều con đường:
1 Giới thiệu về nhà toỏn học Điricle:
Mục đớch:
- Tạo niềm tin, niềm ước mơ cho cỏc em cú thể trở thành một nhà toỏn học trong tương lai
- Cho cỏc em thấy rằng Điricle là một con người cú thật, với những
cố gắng, nỗ lực khụng ngừng nghỉ trong cuộc đời của mỡnh ụng đó để lại cho nhõn loại những sản phẩm trớ tuệ vụ cựng quý giỏ mà chỳng ta là những người đang được thừa hưởng
- Giỏo dục lũng biết ơn sõu sắc với thế hệ đi trước cho xó hội loài người ngày càng văn minh, tiến bộ
Cỏch tiến hành:
- Học sinh sưu tầm, viết thành bài thuyết trỡnh trờn phần mềm Powerpoint
về nhà toỏn học Điricle trong giờ sinh hoạt đội
Dirichlet (1805 – 1859) là nhà toỏn học người Đức Ngay từ khi 12 tuổi ụng đó dựng tiền tiết kiệm của mỡnh để mua sỏch về toỏn học Người bỏn hàng núi với ụng rằng ụng sẽ khụng
Trang 5hiểu được nội dung của quyển sách đó đâu Ông trả lời: Dù sao tôi cũng
sẽ đọc chúng cho tới khi tôi hiểu chúng Niềm đam mê môn toán đã theo ông trong suốt cuộc đời
Trong quá trình nghiên cứu và giảng dạy ở các trường phổ thông ông đã đưa ra một nguyên lý rất hữu hiệu và được sử dụng nhiều trong tất cả các
bộ môn số học, hình học và đại số Ngày nay ta thường gọi nguyên lý này
theo tên của ông: “Nguyên lý Dirichlet”.
2 Thử sức với một bài tập khi các em chưa nghiên cứu về nguyên
lý này:
Có 6 bạn thi giải Toán, mỗi người phải làm 6 bài Mỗi bài đúng được 2 điểm, mỗi bài sai bị trừ 1 điểm, nhưng nếu số điểm bị trừ nhiều hơn số điểm đạt được thì học sinh đó bị coi là 0 điểm Có thể chắc chắn ít nhất hai bạn có số điểm bằng nhau được không? Giải thích tại sao?
“Đề thi vào lớp 6 trường Amsterdam năm 2005”
Khi các em không làm được bài tập này điều đó sẽ thúc đẩy các em phải tìm hiểu về nội dung kiến thức áp dụng Đây cũng là lý do chính đáng
để GV bắt đầu quá trình đưa nội dung chuyên đề vào học tập
Giải pháp thứ hai:
Giáo viên phải nghiên cứu về chuyên đề để cung cấp cho các em những kiến thức cần thiết.
I- LÝ THUYẾT
1 Nội dung nguyên lý: Có thể phát biểu dưới 3 dạng cơ bản sau
* Dạng đơn giản:
Nếu nhốt 7 con thỏ vào 3 cái lồng thì tồn tại một lồng chứa ít nhất 3 con thỏ
* Dạng tổng quát:
Nếu nhốt n con thỏ vào m cái lồng, mà n > m (n, m Î N*) thì tồn tại một lồng chứa ít nhất 2 con
Nếu nhốt n con thỏ vào k cái lồng (n, k Î N*, k ¹ 0) mà phép chia n: k được thương là q và còn dư thì tồn tại một lồng chứa ít nhất q + 1 con thỏ
2 Để giải các bài toán áp dụng nguyên lý Điricle ta cần lưu ý một
số đặc điểm sau :
- Các bài toán sử dụng nguyên lý Điricle thường là các bài toán chứng minh sự tồn tại của một sự vật, sự việc mà không cần phải chỉ ra một cách tường minh sự vật, sự việc đó
Trang 6- Để giải bài toỏn ỏp dụng nguyờn lý Điricle nhiều khi ta phải ỏp dụng phương phỏp chứng minh phản chứng
- Khi giải bài toỏn ỏp dụng nguyờn lý Điricle hoặc dự đoỏn phải ỏp dụng nguyờn lý này ta cần suy nghĩ hoặc biến đổi bài toỏn để làm xuất hiện khỏi niệm “thỏ” và “lồng”, khỏi niệm “nhốt thỏ vào lồng” nhưng khi trỡnh bày ta
cố gắng trỡnh bày theo ngụn ngữ riờng của bài toỏn
- Nhiều bài toán chỉ áp dụng đợc nguyên lý Điricle sau khi biến đổi qua một bước trung gian hoặc thành lập dãy số mới (hoặc phải tạo ra các
“chuồng” nhốt thỏ)
Giải phỏp thứ ba:
Giỏo viờn xõy dựng hệ thống bài tập theo từng mức độ phự hợp với từng giai đoạn học tập của học sinh Hệ thống bài tập gồm:
1 Bài tập củng cố kiến thức.
2 Bài tập vận dụng kiến thức.
3 Bài tập phỏt triển tư duy.
II BÀI TẬP:
PHẦN I: SỐ HỌC
DẠNG 1: SỰ TRÙNG LẶP
Đõy là dạng bài tập ứng dụng nguyờn lý một cỏch đơn giản nhất giỳp cỏc
em làm quen với nguyờn lý một cỏch tự nhiờn và dễ hiểu
Yờu cầu:
- Học sinh thuộc nội dung nguyờn lý Đọc bài toỏn và phõn biệt được yếu
tố nào đúng vai trũ là “thỏ”, yếu tố nào đúng vai trũ là “lồng” Học sinh chỉ
ra được số thỏ, số lồng
- Cỏch phõn biệt đơn giản nhất: Số thỏ luụn lớn hơn số lồng
Bài tập cú phõn tớch và cỏch giải:
Bài 1 Một trường học cú 24 lớp gồm 900 học sinh Chứng minh rằng cú
một lớp với sĩ số 38 học sinh trở lờn
Phõn tớch: Chia 900 học sinh vào 24 lớp cú ý nghĩa tương tự như nhốt
900 con thỏ vào 24 cỏi lồng Từ đú cú thể ỏp dụng ngay nội dung nguyờn
lý để giải bài toỏn:
Giải:
Cú 900 học sinh được chia vào 24 lớp, mà 900: 24 = 37 (dư 12) ị Theo nguyờn lý Điricle sẽ tồn tại một lớp cú từ 37 + 1 = 38 (học sinh) trở lờn
Trang 7Bµi 2 Trong lớp học có 30 học sinh Khi viết chính tả một em phạm 14
lỗi, các em khác phạm số lỗi ít hơn CMR có ít nhất 3 học sinh mắc số lỗi bằng nhau (kể cả những người mắc 0 lỗi)
Phân tích: Trong bài toán này “thỏ” là 29 học sinh (trừ đi 1 em mắc 14 lỗi), “lồng” là các loại lỗi (gồm 14 loại: 0 lỗi, 1 lỗi, 2 lỗi, …, 13 lỗi)
Giải:
Có 30 học sinh trong đó 1 em phạm 14 lỗi, số còn lại là 29 em phạm các lỗi từ 0 đến 13 lỗi (14 loại lỗi)
Do 29: 14 = 2 (dư 1)
Theo Nguyên lý Điricle có ít nhất 3 em mắc cùng số lỗi như nhau
Bµi 3 Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2, chỉ
có 2 học sinh được điểm 10 CMR ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên từ 0 đến 10) Phân tích: “thỏ” là 43 học sinh, “lồng” là các loại điểm từ 2 đến 9
Giải:
Có 45 – 2 = 43 (học sinh) được 8 loại điểm từ 2 đến 9
Do 43 : 8 = 5 (dư 3)
Theo Nguyên lý Điricle có ít nhất 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau
Bµi 4 Trong một kỳ thi toán học có 6 thí sinh được vào chung khảo Thể
lệ của cuộc thi như sau: Mỗi thí sinh phải giải 5 bài toán Mỗi bài toán đúng được tính 4 điểm Mỗi bài toán sai hoặc không làm được đều bị trừ 2 điểm Hãy chứng tỏ rằng trong 6 thí sinh đó có ít nhất 2 thí sinh bằng điểm nhau Biết rằng điểm thấp nhất là điểm 0
Phân tích: số “thỏ” dường như là 6 học sinh, nhưng “lồng” là gì nhỉ? Ta
phải đặc biệt chú ý đến nội dung câu hỏi “ ít nhất2 thí sinh bằng điểm nhau” và liên tưởng đến nội dung nguyên lý nó giống như 2 thỏ nhốt chung một lồng Từ đó tìm ra yếu tố lồng ở đây là
số điểm đạt được
Giải:
Vì mỗi thí sinh phải giải 5 bài toán Mỗi bài toán đúng được tính 4 điểm Mỗi bài toán sai hoặc không làm được đều bị trừ 2 điểm nên ta có 5 trường hợp sau:
Nếu đúng 5 bài thì số điểm được là: 5 4 = 20 (điểm)
Nếu đúng 4 bài thì số điểm được là: 4 4 - 2 = 14 (điểm)
Nếu đúng 3 bài thì số điểm được là: 3 4 – 4 = 8 (điểm)
Nếu đúng 2 bài thì số điểm được là: 2 4 – 6 = 2 (điểm)
Nếu đúng 1 bài hoặc không đúng bài nào thì đều được 0 điểm
Như vậy có 6 thí sinh dự thi nhưng chỉ có 5 loại điểm nên theo nguyên lý Điricle sẽ có ít nhất 2 thí sinh bằng điểm nhau
Trang 8Bài tập tự luyện:
Bµi 1 Lớp 6A có 30 học sinh Khi làm bài trắc nghiệm có 1 em làm sai 12
câu Các em khác làm sai ít hơn Chứng minh rằng có ít nhất 3 học sinh có
số câu làm sai như nhau
Bµi 2 Lớp 6A có 49 học sinh Chứng tỏ rằng luôn có ít nhất 5 em học sinh
có cùng tháng sinh
Bµi 3 Một trường học có 1115 học sinh Chứng tỏ rằng luôn có ít nhất 4
em có cùng ngày sinh
Bµi 4 Tổ 1 có 13 học sinh đều phải trực nhật trong một tuần học Chứng
tỏ rằng tồn tại một ngày có ít nhất 3 học sinh cùng trực nhật (một tuần học được tính từ thứ hai đến thứ bảy)
DẠNG 2: SỰ CHIA HẾT Đây là loại toán được xuất hiện khá nhiều trong các đề thi HSG các cấp.
Yêu cầu: Ngoài việc nắm vững nguyên lý Điricle các em cần nắm được
các dấu hiệu chia hết và các tính chất chia hết trong Z
+ Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 8; 9; 11; 25; 125
+ Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích và một số tính chất mở rộng
Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích:
Tính chất mở rộng:
1 Hai số có cùng số dư trong phép chia cho m thì hiệu của chúng chia hết cho m
2 Tổng các số dư của các số trong phép chia cho m mà chia hết cho m thì tổng các số đó chia hết cho m
3 Nếu , mà ƯCLN(a,m) = 1 thì
DẠNG 3: BÀI TOÁN TÔ MÀU Bµi 1 Trong mặt phẳng cho 6 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng
hàng Các điểm này được nối với nhau bằng các đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ Chứng minh rằng luôn có một tam giác mà các cạnh cùng màu
Trang 9Phân tích: Có nên tính số tam giác hay tính số đoạn thẳng hay không? Câu trả lời là không vì tam giác ABC là hình tạo bởi 3 đoạn thẳng liên kết với nhau AB, BC, CA khi 3 điểm A, B, C không thẳng hàng nên việc tìm ra
số tam giác hay số đoạn thẳng không giải quyết được câu hỏi của đề bài Hãy thử nối 1 điểm với 5 điểm còn lại bằng 2 màu xem sao?
Giải:
Gọi 6 điểm đó là O, A, B, C, D, E Từ điểm O nối với 5 điểm còn lại Þ Có 5 đoạn thẳng mà chỉ có 2 màu Þ Theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 3 đoạn thẳng cùng màu, giả sử đó là 3 đoạn thẳng OA, OB, OC cùng màu xanh Xét tam giác ABC (có 3 cạnh AB, AC, BC được vẽ bởi 2 màu):
TH1: nếu 3 cạnh của tam giác cùng màu thì bài toán đã được giải
TH2: 3 cạnh của tam giác không cùng màu thì sẽ có ít nhất 1 cạnh có màu xanh giả sử đó là cạnh AB à tam giác OAB có ba cạnh cùng màu xanh Tương tự với 3 đoạn thẳng OA, OB, OC có cùng màu đỏ
Vậy bài toán đã được chứng minh
Bµi 2 Cho 17 điểm nằm trong mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào
thẳng hàng Nối các điểm đó bằng các đoạn thẳng màu xanh; đỏ; vàng Chứng tỏ rằng tồn tại một tam giác có các cạnh cùng màu
Phân tích: Tư duy tương tự như trên Thử nối 1 điểm với 16 điểm còn lại bằng 3 màu xem sao?
Giải:
Giả sử từ điểm A trong 17 điểm đã cho nối với 16 điểm còn lại bằng 3 loại màu Þ Theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 6 đoạn thẳng cùng một màu, giả
sử đó là các đoạn thẳng AB1; AB2; …;AB6 cùng được tô màu đỏ
Nếu có 2 trong 6 điểm B1; B2; ; B6 được nối với nhau bằng màu đỏ thì bài toán được chứng minh Nếu không có 2 điểm nào được nối với nhau bằng màu đỏ thì 6 điểm này được nối với nhau bằng hai màu xanh hoặc vàng
Từ điểm B1 ta nối với 5 điểm còn lại Þ Có 5 đoạn thẳng mà chỉ có 2 màu Þ Theo nguyên lý Diricle có ít nhất 3 đoạn thẳng cùng màu, giả sử đó là 3 đoạn thẳng B1B2, B1B3, B1B4 có cùng màu xanh
Xét tam giác B2B3B4
TH1: nếu 3 cạnh của tam giác này cùng màu thì bài toán đã được giải xong
TH2: 3 cạnh của tam giác không cùng màu thì sẽ có ít nhất 1 cạnh có màu xanh giả sử đó là cạnh B2B3 Þ Tam giác B1B2B3 có ba cạnh cùng màu xanh Vậy bài toán được chứng minh
Bµi 3 Cho 66 điểm trong mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng
hàng Nối các điểm này bằng các đoạn thẳng và tô các màu xanh; đỏ;
Trang 10vàng hoặc tím Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có các cạnh cùng màu (3 lần Diricle)
Bài toán tổng quát của các bài 1; 2; 3:
6 điểm tương ứng 3 màu sử dụng 1 lần Điricle
(6 – 1) 3 + 2 = 17 (điểm) tương ứng 4 màu sử dụng 2 lần Điricle
(17 – 1) 4 + 2 = 66 (điểm) tương ứng 5màu sử dụng 3 lần Điricle
(66 – 1) 5 + 2 = 327 (điểm) tương ứng 6 màu sử dụng 4 lần Điricle
…
Bµi 4 Cho 6 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng tạo
nên một tam giác có độ dài 3 cạnh khác nhau Chứng minh rằng tồn tại một cạnh vừa là cạnh nhỏ nhất của tam giác này vừa là cạnh lớn nhất của tam giác khác
Hướng dẫn:
Xét các tam giác được tạo từ 3 trong 6 điểm đã cho Trong mỗi tam giác này ta tô màu đỏ cho cạnh ngắn nhất, các cạnh khác không tô màu Ta chứng tỏ có 1 tam giác có 3 cạnh đều màu đỏ thì cạnh lớn nhất của tam giác này là cạnh cần tìm
Thật vậy từ điểm A trong 6 điểm đã cho với 5 điểm còn lại bằng các đoạn thẳng mầu đỏ hoặc không có màu à tồn tại 3 đoạn thẳng cùng màu đỏ hoặc không có màu Giả sử đó là 3 đoạn thẳng AB, AC, AD
TH1 : Nếu 3 đoạn thẳng đó có màu đỏ ta xét tiếp tam giác BCD phảI tồn tại 1 cạnh bé nhất có màu đỏ giả sử đó là cạnh CD à tam giác ACD có 3 cạnh cùng màu đỏ à cạnh lớn nhất của ACD đồng thời là cạnh nhỏ nhất của một tam giác khác
TH2 : Nếu 3 đoạn thẳng đó không được tô màu
à ABC có AB, AC không được tô màu thì BC phải được tô màu đỏ
ABD có AB, AD không được tô màu thì BD phải được tô màu đỏ
ACD có AD, AC không được tô màu thì DC phải được tô màu đỏ
à BCD có 3 cạnh được tô màu đỏ à ĐPCM
DẠNG 4 TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG HỖ (TOÁN LÀM QUEN).
Chú ý: A quen B thì B cũng quen A Nhưng A quen B, B quen C thì không
thể khẳng định A quen C
Tương tự với thi đấu hoặc trao đổi với nhau về công việc
Một số bài có thể liên hệ tương tự như toán tô màu VD: A nối với B bằng màu xanh thì B nối với A cũng bằng màu xanh
Bài tập có phân tích và cách giải: