bài tập ôn tập cuối kỳ môn giải tích 1 có hướng dẫn giải phần 1

Tích phân hàm lượng giác x cos dx 1 dx... Tính độ dài của đường cong... Ứng dụng hình học.

1 x e

2

x sin

dx

e

1 1 x

2 x

x sin x3

1 x

x

x 1

x arcsin

e)  cos(ln x ) dx f)  

dx e

x sin 2 x

3 Tích phân hàm hữu tỷ

) 2 x ( ) 1 x

(

1 x 2 x

)(

1 x (

xdx

) 1 x

1 x

6

4

2 x

x

x x

3 9

2 5

4 Tích phân hàm lượng giác

x cos

dx 1

(

dx

3

6 Tính tích phân bất định sau đây

x 1

x 1 x

x arcsin

2

2

x 1

x arctan x

2 4

) x 1 (

) x x 1

x ln

x 1

2 2

k n

)!

n 2 ( n

1



lim

n / 1 n

1 k

2

2) n

k 1

( n

x 1 (

1

2x 1

xdx cos

1

0

2 x

xdx cos

e 2

c) Đạo hàm hàm cận trên

) x

x / 1

2dt ) t

2dt ) t

e

)



lim 





n

1 1

1

n

dt t 1

8 Chứng minh các đẳng thức

a)  x > 0, 1 

x

2t 1

dt

= 1/x 

1

2t 1 dt

tdt

+ cotanx 

e / 1

2

) t 1 ( t

dt

= 1

c) Hàm f lẻ thì a

a -

dx ) x (

f = 0, hàm f chẵn thì a

a -

dx ) x (

f = 2a

0

dx ) x ( f

d) Hàm f là T – tuần hoàn thì  a  ℝ : aT

a

dx ) x (

f = T

0

dx ) x ( f

e) /4

0

dx ) x

ln(

f) 

0

dx ) x (sin

xf = /2

0

dx ) x (sin

0

x cos 1

x sin x

e) ln5  

0

x

x x

dx 3

e

1 e

) x 1

𝜋 4

𝜋 4

d) /4

0

2

xdx 2 cos

x 1

0

x

xdx cos e

11 Cho n  ℕ*, tính các tích phân sau đây

a) 1 

0

n 2

dx ) x 1

xdx tan

Giải

 tan2nx = tan2(n-1)x(1 + tan2x– 1)

dx e

0

mxdx cos

nx cos

12 Khảo sát tích phân suy rộng loại 1

a)   

1

) 1 x (

x

1 x

Giải

1

2x 1

2 dx x

x ln

) x 1

ln(

0

x 2

xdx cos

i)  

1

dx x x 2

x

1 sin

3 2

𝑥52f(x) = 𝑥 sin (1

𝑥) 𝑥

3 2

13 Khảo sát tích phân suy rộng loại 2

dx x e

9 x

dx

0

dx x

x sin ln

1 3

e

) x 1

ln(

 K = 1 > ,  = 1  1 : TPPK theo TC Riemann (loại 2)

14 Tính độ dài của đường cong

d) x = a(t2 + 1), y = 𝑎

3 (t3 – 3t) với –1  t  1 e) r = 1– cos nằm trong đường tròn r = 1

f) r = acos3(𝜑

2) với 0 g) x2 = 4y, 9z2 = 16xy nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 4

i) x = t – sint, y = 1 – cost, z = 4cos(𝑡

2) nằm giữa hai giao điểm với mặt phẳng Oxz

15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong

a) y = x2, y = 1

2 x2, y = 2x b) y2 = 2x, y2 = 4(x – 1)3

c) x = 2t – t2, y = 2t2 – t3

d) x = 2cost – cos2t, y = 2sint – sin2t

e) r2 = a2sin2 f) r = √3sin, r = 1 – cos

d) hình phẳng y = x, y = x + sin2x, 0  x  quay quang Oy

e) hình phẳng x = acost, y = asin2t, y = 0 quay quang Ox

f) hình phẳng x = acos3t và y = asin3t quay quang Ox

g) hình phẳng r = asin2 quay quang trục cực

h) hình phẳng r2 = a2cos2 quay quang trục cực

17 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường cong

a) 4x2 + y2 = 4 quay quanh Ox

13

b) 9y2 = 4x3 (0  x  1) quay quanh Oy

c) x = 3cost – cos3t, y = 3sint – sin3t quay quanh Ox

d) x = a(t – sint), y = a(1 – cost) quay quanh trục đối xứng

e) r = a(1 + sin) quay quanh trục cực

d) r = a2sin2 quay quanh trục cực

𝑔(𝑥)= 1

2−𝑥   x10 1 = K

K < , Tp g(x) hội tụ, suy ra TP f(x) hội tụ

21

5 Ứng dụng hình học