Trong chương I hình học 11 , các phép biến hình đã là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán quỹ tích , dựng hình ....Đây là một vấn đề khó khăn vì học sinh lần đầu tiên làm quen với khái
Trang 1Sở GD&ĐT Quảng Nam TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN
ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐẺ GIẢI MỘT
SỔ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH LỚP 11
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Người thực hiện: TÔ THỊ MINH TRÚC
m Ậ m r m *
TÔ Toán Tin
Trang 2I/ LÝ DO CHỌN ĐÈ TÀI:
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ
sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu
và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam
Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VTĨĨ Đảng cộng sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền vãn hoá mới
và con người mới ”
“Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề ”
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan ừọng là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ
Trong chương I hình học 11 , các phép biến hình đã là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán quỹ tích , dựng hình Đây là một vấn đề khó khăn vì học sinh lần đầu tiên làm quen với khái niệm biến hình và hầu hết các em đều “ngại” làm những bài toán liên quan đến quỹ tích
Nhưng nội dung của phép biến hình đưa vào chương trình không chỉ là công cụ
để để giải toán mà còn giúp các em làm quen với phương pháp tư duy và suy luận mới biết nhìn sự vật hiện tượng xung quanh với quan điểm vận động biến đổi góp phần rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo trong học tập Do vậy
với đề tài: “ứng dụng phép biến hỉnh để giải một sổ bài toán quỹ tích ỉớp 11” tôi
Trang 32 rất mong muốn một phần nào đó giúp học sinh thích thú hơn trong học toán
II/ MỤC TIÊU VÀ PHẠM VI ỨNG DỤNG:
1. Mục tiêu :
Với đặc điểm của chương này là: Kiến thức mới, học sinh tiếp cận khá khó khăn và chất lượng học sinh không đồng đều Mặc dù chương ừình mới đã giảm
tải về mặt lý thuyết rất nhiều Nhưng để áp dụng được lý thuyết để giải một sổ bài
toán quỹ tích thì thực sự là một vấn đề khó khăn đối với nhiều học sinh Do vậy
qua quá trình giảng dạy, để đảm bảo được mục đích dạy học là tất cả đối tượng học sinh , đồng thời phát hiện được năng lực học tập đối với một số cá nhân học sinh đòi hỏi người thầy phải có phương pháp truyền thụ thích hợp đến mọi đối tượng học sinh Từ đó nâng cao được chất lượng học tập của học sinh ừong các tiết học
2. Phạm vỉ thực hiện :
Mọi đối tượng học sinh
3. Phạm vỉ đề tài:
Một số bài tập về quỹ tích ở chương biến hình
4. Hướng phát triển :
Hoàn thiện hệ thống bài tập đa dạng phong phú hơn, bổ sung thêm phép đồng dạng
5. Phương pháp nghiên cứu :
Nghiên cứu các loại tài liệu có liên quan đến đề tài
Phương pháp điều tra
Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và học sinh)
Phương pháp quan sát (công việc dạy và học của giáo viên và học sinh) ố.Thời
gian thực hiện đề tài:
Bắt đầu từ năm 2011 đến nay
NỘI DUNG
LCƠ SỞ LÝ LUẬN :
Trang 4Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển Vì vậy trong quá trình giúp đố học sinh, giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập để các em thấy được những điều mình chưa biết và khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo trong việc lĩnh hội ừi thức Từ đó kích thích các em phát triển tốt hơn
2. Cơ sở tâm lý học :
Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí thì
từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định Một số học sinh có khả năng
và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương
và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác Ngoài ra còn có những học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt
Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về các phép biến hình và
ứng dụng nó để giải bài toán quỹ tích, các em thường có tâm lí: không biết ứng dụng
của phép biến hình để làm gì, nói cách khác các em không gắn được lý thuyết vào thực hành, do đó các em không muốn học phần này Vì vậy Giáo viên cần chỉ rõ, cụ thể và hướng dẫn cho học sinh ứng dụng các phép biến hình vào giải bài toán Quỹ tích
3. Cơ sở giáo dục học:
Để giúp các em học tốt hơn GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi Giáo viên biết định hướng, giúp đỡ từng đối tượng học sinh
II THựC TRẠNG CỦA ĐÈ TÀI:
1. Thời gian và các bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2011-2012; 2012-2013; 2013-2014
2. Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học:
Thông qua bài khảo sát chất lượng đầu năm tôi thu được kết quả như sau: Trên trung bình 25%
3. Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Trang 54 Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức
và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Các em còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép biến hình
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc
- Khả năng tưởng tượng, tư duy lôgíc còn hạn chế
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em Thực sự là khó không chỉ đối với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc ừuyền tải kiến thức
tới các em Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn hình học trong đời sống
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán
Trang 6III: GIẢI QUYÉT VẤN ĐÈ:
Trong các giờ học về phần: Các phép biến hình, ứng dụng của nó để giải các bài toán quỹ tích , học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu bản chất Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh Để các
em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một vài bài toán quỹ tích sử dụng phép phép biến hình để giải trong chương I, hình học lớp 11
1.
Phép tinh tiến :
Định nghĩa : M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ V khi
và chỉ khi MM' = V
Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ ra được vectơ V cố định, xét phép
tịnh tiến T-, điểm M’ cần tìm quỹ tích là ảnh của điểm M.
Biết M chạy trên đường (C) thì M’ chạy trên đường (C’) là ảnh của
(C) qua phép T- .Vậy quỹ tích điểm M’ là đường (C’)
V _ )
Bài toán 1:
Cho hai điểm B,c cổ định ừên đường tròn (0;R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC
Hướns dẫn : Nhìn nhận được vẩn đề là điểm H “liên quan ” với điểm A qua phép tịnh tiến với véciơ nào?
- Nếu BC là đường kính thì ừực tâm H của tam giác ABC chính là A Vậy H nằm ừên đường tròn (0;R)
- Nếu BC không là đường kính , vẽ đường kính BB’ của đường tròn Ta có :
AH = B'C ( Do tứ giác AHCB’ là hình bình hành )
Trang 7mà B'C cố định Vậy T~ biến A thành H
T • J BC
Do đó A chạy ừên đường tròn (0;R) o H chạy trên đường tròn (O’; R) , O’ được xác định : OO' = B'C
Kểt luận : Quỹ tích điểm H là đường tròn tâm O’, bán kính R là ảnh của đường tròn
(0;R) qua phép tịnh tiến theo vectơ B'C.
Bài toán 2:
Cho đường tròn (Ỡ;R) và một điểm M chạy trên đường tròn đó, cho một đoạn AB có A,B không nằm ừên đường tròn đỏ Tìm quỹ tích các điểm M’ là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABMM’
Hướns dẫn : Hướng cho học sinh tìm thẩyM có mối quan hệ với điểm
nào?
Ta có tứ giác ABMM’ là hình bình hành nên : MM' = BA , mà BA cố định Vậy phép T—
: biến M
thành M’ Do đó M chạy trên đường
tròn (0;R) o M’ chạy trên đường tròn
(0’;R) O’ được xác định: Õd = BÃ
Kết luận : Quỹ tích điểm M’ là đường
tròn tâm O’, bán kính R là ảnh của
đường tròn (0;R) qua
phép tịnh tiến theo vectơ BA.
Bài tâp tư ỉuyên :
1) Cho hình bình hành ABCD có AB cố định , đường chéo AC có độ dài bằng
m không đổi Khi c thay đổi, tìm quỹ tích điểm D
2) Cho đường tròn tâm o và hai điểm A,B Một điểm M thay đổi trên đường
tròn (O) Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho \ẰẩM' + ẰẩA = MB
Trang 83) Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD Cho biết A và B
cố định, AD=a, DC=b (a,b là hằng số dương) Tìm quỹ tích điểm D và c 4) Cho đường tròn (0;R) cố định AB là đường kính cố định, MN là đường kính lưu động Tiếp tuyến với đường tròn tại B cắt AM, AN lần lượt tại p và Q Tìm quỹ tích ừực tâm H của tam giác MPQ
5) Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định, vẽ tam giác đều CDN với MyA.3 ở cùng phía đối với CD Tìm quỹ tích của D và M biết: a) Điểm c chạy ừên đường thẳng d
b) Điểm c chạy trên đường tròn (0;R)
6) Cho hình bình hành ABCD có A cố định, B và D lưu động trên đường tròn tâm o bán kính R=OA, dây BD= ' 2
a) Chứng minh trực tâm K của tam giác BCD cố đinh
b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABD
c) Tìm quỹ tích điểm c
2.
Phép đổi xứng truc :
Định nghĩa: M’ là ảnh của M qua phép đổi xứng trục d khi và
chỉ khi d là đường trung trực của MM’
Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ ra một đường thẳng d cố định Điểm
M cần tìm quỹ tích là ảnh của điểm M’ qua phép Đ d , biết M’ chạy trên
đường (C’) thì M chạy trên đường (C) là ảnh của (C’) qua phép Đd
Bài toán h
Cho hai điểm B,c cổ định trên đường tròn (0;R) và mội điểm A thay đồi trên
đường tròn đỏ Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC
Hướns dẫn i
Trang 9Gọi I, H’ theo thứ tự là giao của tia AH với BC và
đường tròn
Ta có :
ZBAH = ZHCB (tương ứng vuông góc)
ZBAH = ZBCH' (cùng chắn một cung)
Vậy tam giác CHH’ cân tại c, suy ra H và
H’ đối xứng nhau qua đường thẳng BC
Khi A chạy trên đường tròn (O) thì H’ cũng
chạy trên đường tròn (O) Do đó H phải chạy
ừên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn
(O) qua phép đối xứng qua đường thẳng BC
Kết luận : Quỹ tích điểm H là đường tròn tâm O’, bán kính R là ảnh của đường
tròn (0;R) qua phép đối xứng qua đường thẳng BC
3.
Phép quay và phép đổi xứng tâm:
Định nghĩa phép quay: Điểm M’ là ảnh củM qua phép quay
Định nghĩa phép đổi xứng tâm : M’ là ảnh của M qua phép đối xứng
tâm o khi và chỉ khi OM + OM' = 0
Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ ra một điểm o cố định và một góc lượng
giác Ầ không đổi Điểm M cần tìm quỹ tích là ảnh của điểm M’ qua phép
<2(0,1), biết M’ chạy trên đường {(p) thì M chạy trên đường (ẹ’) là ảnh của (ộ?) qua phépQ(o,Ă) Phép đối xứng tâm là trường hợp đặc biệt của phép
quay với góc quay là 180°
Bài toán 1:
Cho hai điểm B,c cổ định trên đường tròn (0;R) và mội điểm A thay đồi frên đường tròn đỏ Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC
Hướns dẫn i
Trang 10Gọi I là trung điểm của BC vẽ đường kính AM của đường tròn, rồi chứng
minh I là trung điểm của HM Ta đi tìm quỹ tích của điểm H dựa vào phép đối
xứng tâm I Bài toán 2 :
Xác địnlnM' sao cho MM' =MA+MB Tìm quỹ tích điểm M' khiM chạy frên (0;R)
Hướne dẫn:
định và
MĂ+MB = 7MỈ.
Do vậy :
MM'=MĂ+MB <^MM' = 2MÌ tức là
phép Đi biến M thành M\
đường tròn (0;R) thì quỹ tích điểm M’ là đường ừòn (0’,R) là ảnh của đường tròn
(0;R) qua phép Đi 0’được xác địnhỡ'7 = IO Bài toán 3:
Cho nửa đường tròn tâm o đường kính BC Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF Tìm quỹ tích điểm E
Hướnsdẫn :
Xem E là ảnh của A qua phép quay Q(B,90°) Khi A chạy ừên nửa đường tròn (O), thì E chạy trên nửa đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép Q(B590°)
Bài toán 4:
Trang 11M2
Cho đường tròn (O) và tam giác ABC Một điểm M thay đổi trên đường tròn(O) Gọi Mi là điểm đối xứng của M qua A, M2 là điểm đối xứng của Mi qua
B, M3 là điểm đối xứng của M2 qua c Tìm quỹ tích của điểm M3.
Hướns dẫn :
Gọi D là trung điểm của MM3 thì
ABCD là hình bình hành Do đó
điểm D cố định Phép đối xứng qua
điểm D biến M thành M3
Do đó Quỹ tích điểm M3 là ảnh của
đường tròn (O) qua phép
đối xứng tâm D
Bài tâp tư luvên :
1) Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm ừên đường tròn đó Với mỗi điểm A thay đổi trên đường tròn , dựng hình vuông ABCD có tâm I
a) Tìm quỹ tích điểm c
b) Tìm quỹ tích mỗi điểm B và D
c) Khi I trùng với o có nhận xét gì về ba quỹ tích nói trên
2) Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a Với mỗi điểm A nằm ừên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm G Tìm quỹ tích hai điểm B và c
khi A chạy trên a
3) Cho đường tròn (O) và tam giác ABC Một điểm M thay đổi trên (O) Gọi Mi
là điểm đối xứng của M qua A, M2 là điểm đối xứng của Mi qua B, M3 là điểm đối xứng của của M2 qua c Tìm quỹ tích điểm M3.
4.
Phép vi tu :
Trang 12Phương pháp: Chỉ ra được một điểm cố định o, một hằng số k,
Xét phép vị tự tâm O t ỉ s ố k ( Ẵ T ^ O ) điểm M’ cần tìm quỹ tích là
ảnh của M Biết M chạy trên đường (C) thì M’ chạy ừên đường
(C’) là ảnh của (C) qua V(0,k)
Bài toán 1 :
Cho tam giác ABC nội tiểp đường tròn tâm o bán kính R Các đỉnh B,c cố định càn A chạy trên đường tròn đó Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC Hướne dẫn:
Gọi I là trung điểm của BC Do B,c cố định nên I cố định
Ta có : IG = -IA Vậy G là ảnh của A qua qua
phép vị tự tâm I, tỉ số vị tự -, mà A chạy trên
đường tròn (0;R) nên G chạy ừên đường tròn (O’;
^R) O’ được xác định: IO' = -IO Kết luận: Quỹ
tích điểm G là đường tròn tâm
O’, bán kính -R
3
Bài toán 2 :
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cẳt nhau tại A và B.MỘÍ đường thẳng thay đồi đi qua A cẳt (O) ỞM, cẳt (Of) iạiM’ Gọi p vàP’ lần lượt là trung điểm của AM
và AM’
a) Tìm quỹ tích trung điểm I cửa đoạn thắng PP'.
b) Tìm quỹ tích trung điểm J của đoạn thắng MM'.
Hướng dẫn i
Trang 13a) Gọi Q là trung điểm của OO' thì QI1IA Suy ra QT điểm I là đường ừòn đường kính AQ
b) Vì J là trung điểm của MM' nên:
~ÃT = -(ÃM + ÃM')=ÃP + ÃP' = 2ÃÌ
Vậy phép vị tự tâm A tỉ số 2 biến điểm I thành điểm J Do đó,quỹ tích điểm J
là ảnh của đường tròn đường kính AQ qua phép vị tự V (A 2).
Bài tâp tư luyên:
1) Trong tam giác ABC có hai đỉnh B,c cố định còn A chạy ừên đường tròn (0;R) cố định không có điểm chung với đường BC Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC
2) Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định, điểm A lưu động trên một đường thẳng d sao cho BC không cắt đường thẳng d Tìm tập hợp
a) Trọng tâm G của tam giác ABC
b) Trung điểm I của BC
3) Cho đường tròn (0;R) đường kính AB cố định , MN là đường kính lưu động, c là trung điểm của bán kính OA Tìm tập hợp các điểm Q là giao điểm của NC và BN
Trang 14dây cung BC thay đổi của (O) nhưng có độ dài không đổi bằng R\3 Tìm quỹ
tích trọng tâm của tam giác PBC
5) Cho tam giác ABC cố định , M là điểm lưu động trên cạnh BC sao cho M không trùng B Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác MAB
6) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A Đường kính vẽ từ A gặp (O) ở В và (O’) ở c Một đường thẳng thay đổi đi qua A và cắt (O) tại M
và (O’) tại N Tìm tập hợp giao điểm I của BN và c
KẾT LUẬN
•
I KÉT QUẢ THựC NGHIỆM:
Trong các năm học vừa qua , với phân phối chương ừình bộ môn toán là 4 tiếưl tuần và một tiết bám sát Ở chương I hình họcl 1, trong các giờ học hình, sau khi đã giới thiệu lý thuyết và làm bài tập tôi dành thời gian luyện tập cho các em giải các bài tập như đã hệ thống ở trên, tôi thấy học sinh rất dễ hiểu và tích cực làm bài tập hơn
Xong mỗi phần đưa bài tập về nhà có khoảng 60% đến 70% học sinh làm bài đầy đủ , và có hứng thú hơn Kết quả thực nghiệm khi hoàn thành bài kiểm tra một tiết chương I- hình học 11 cụ thể như sau :
II KÉT LUẬN :
Với những kinh nghiệm dù là rất nhỏ của mình nhằm hệ thống cho học sinh một phần kiến thức trong chương 1, để các em nắm chắc kiến thức hơn và sáng tạo hơn trong học tập Mặc dù đã đầu tư thời gian để có được một số bài tập
Năm học Lớp ГГ1 Ẳ Ắ
2011-2012 11C2 50 5(10%) 8(16%) 13(26%) 20(40%) 2012-2013 11C3 51 10(19,6%) 17(33,3%) 10(19,6%) 14(27,5%) 2013-2014 11C9 40 3(7,5%) 10(25%) 12(30%) 15(37,5%)