Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabolic

Áp dụng cho hệ nhiều điện tửvà lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm Parabolic Bởi: TS.. Nguyễn Hồng Quang Phương trình Hartree-Fock cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống Tro

Áp dụng cho hệ nhiều điện tử

và lỗ trống trong chấm lượng

tử dạng đĩa với thế giam cầm

Parabolic

Bởi:

TS Nguyễn Hồng Quang

Phương trình Hartree-Fock cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống

Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng bài toán trong hệ N điện tử tự do cho bài toán tổng

quát: hệ nhiều điện tử và lỗ trống tương tác với nhau trong chấm lượng tử parabolic Bài toán bây giờ trở nên phức tạp hơn vì ngoài tương tác giữa các điện tử với nhau còn có thêm tương tác giữa điện tử với lỗ trống và lỗ trống với lỗ trống

Hamilton toàn phần của hệ có dạng

^

H =

N

∑

i = 1

h( →r

i)+

M

∑

k = 1

h'(→r

k)+

N

∑

i < j

e2

ϵr ij +

M

∑

k < l

e2

ϵr kl −

N

∑

i = 1

M

∑

k = 1

e2

ϵr ik,

h( →r

i) là Hamiltonian đơn điện tử trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabolic đặt trong từ trường

h( →r

i) = − ∇i2

2m e* +

m e*

2 (ωe2+ ωc e

2

4 )r i2+ 12ωc e L^

zi,

với năng lượng riêng

ϵnm= Ωe(2n + | m | + 1)+ 12mω c e

1/17

Tương tự, đối với lỗ trống

h'( →r

k) = − ∇k2

2m h* +

m h*

2 (ωh2+ ωc h

2

4 )r k2− 12ωc h L^

zk,

với năng lượng riêng

ϵnm= Ωh(2n + |m | + 1)− 12mω c h

Các kí hiệu Ωe2= ωe2+ 14ωc2evµ Ωh2 = ωh2+ 14ωc2h,

ωc e, ωc hlà tần số cyclotron của điện tử và lỗ trống,

m e*, m h* là khối lượng hiệu dụng của điện tử và lỗ trống,

^

L zlà thành phần z của toán tử momen động lượng của điện tử hoặc lỗ trống,

ϵ là hằng số điện môi

Đơn vị chiều dài được dùng là bán kính Born hiệu dụng a B = ℏ2ϵ

m e*e2, đơn vị năng lượng là

2 lần năng lượng Rydberg 2Ry = m e

*e4

ℏ2ϵ2

Hàm sóng của hệ được tìm trực tiếp từ hàm sóng của N điện tử với hàm sóng của M lỗ trống (Hàm sóng của N điện tử và hàm sóng của M lỗ trống phải có dạng phản đối xứng

để chúng thỏa mãn nguyên lí loại trừ Pauli của hệ các hạt đồng nhất) Hàm sóng của hệ

có dạmg

Ψ(ξe1, , ξe N, ξh1, , ξh M) = |ψ1(ξe1), , ψN(ξe N) |

× |ψ1(ξh1), , ψM(ξh M) |

E =∫Ψ*(ξe1, , ξe N, ξh1, , ξh M)HΨ^ (ξe1, , ξe N, ξh1, , ξh M)

Các hàm ψ(ξ)thỏa mãn điền kiện trực giao chuẩn hóa

∫ψi*(ξe i)ψj(ξe j)dξ e i dξ e j = δe i e j ≡ δij

∫¯ψ

k

*

(ξh k)¯ψl(ξh l)dξ h k dξ h l = δh k h l ≡ δkl

Hàm sóng ψ(ξ) được viết dưới dạng

ψi(ξe i) = { ϕiα( →r )α(σ)

ϕiβ( →r )β(σ)

đốivớiđiệntửcóspinlên(↑)

đốivớiđiệntửcóspinxuống( ↓ )

i = 1, , N

¯

ψk(ξh k) = { ¯

ϕk

α

( →r )α(σ)

¯

ϕk

β

( →r )β(σ)

đốivớilỗtrốngcóspinlên(↑)

đốivớilỗtrốngcóspinxuống( ↓ )

k = 1, , M

ThayH và Ψ vào biểu thức của E, tiến hành tính toán ta thu được:^

E =

N

∑

i = 1 ∫ϕi*( →r

1)h( →r

1)ϕi( →r

1)d( →r

1)+

M

∑

k = 1 ∫¯

ϕk

*

( →r

1)h'( →r

1)¯

ϕk( →r

1)d( →r

1)

3/17

−

+

−

−

1

2

N

i, j = 1 ∫|ϕi( →r

1) |2

e2

ϵr12|ϕj( →r

2) |2

d( →r

1)d( →r

2)

1

2

N

i, j = 1 ↑ ↑ ∫ϕi*( →r

1)ϕj( →r

1) e2

ϵr12ϕj*( →r

2)ϕi( →r

2)d( →r

1)d( →r

2)

1

2

M

k, l = 1 ∫|¯ϕk( →r

1) |2

e2

ϵr12|¯

ϕl( →r

2) |2

d( →r

1)d( →r

2)

1

2

M

k, l = 1 ↑ ↑ ∫¯

ϕk*( →r

1)¯

ϕl( →r

1) e2

ϵr12

¯

ϕl*( →r

2)¯

ϕk( →r

2)d( →r

1)d( →r

2)

N

∑

i = 1

M

∑

k = 1 ∫|ϕi( →r

1) |2

e2

ϵr12|¯

ϕk( →r

2) |2

d( →r

1)d( →r

2)

Trong đó kí hiệu ∑' là tương ứng cho các giá trị của i ≠ j, k ≠ l

Viết dưới dạng khai triển theo Nα, Nβ, Mα, Mβ với Nα, Mα, Nβ, Mβ là số điện tử và lỗ

trống có spin lên ( ↑ ) và spin xuống ( ↓ ) ( Nα+ Nβ = N, Mα+ Mβ = M)

E =

Nα

∑

i = 1

〈ϕiα(1) | h(1) | ϕiα(1) 〉+ 12

Nα

i, j = 1 〈ϕiα(1)ϕjα(2) | e2

ϵr12 | ϕiα(1)ϕjα(2) 〉 +

Nβ

∑

i = 1

〈ϕiβ(1) | h(1) | ϕiβ(1) 〉+ 1

2

Nβ

i, j = 1 〈ϕiβ(1)ϕjβ(2) | e2

ϵr12 | ϕiβ(1)ϕjβ(2) 〉 +

Mα

∑

k = 1 〈¯

ϕk

α

(1) | h'(1) | ¯

ϕk

α

(1) 〉+ 12

Mα

k, l = 1 〈¯

ϕk

α

(1)¯ϕl

α

(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕk

α

(1)ϕlα(2) 〉 +

Mβ

∑

k = 1 〈¯

ϕk

β

(1) | h'(1) | ¯

ϕk

β

(1) 〉+ 12

Mβ

k, l = 1 〈¯

ϕk

β

(1)¯ϕl

β

(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕk

β

(1)¯ϕl

β

(2) 〉

2

Nα

∑

i = 1

Nβ

∑

j = 1 〈ϕiα(1)ϕjβ(2) | e2

ϵr12 | ϕiα(1)ϕjβ(2) 〉 +12

Nβ

∑

i = 1

Nα

∑

j = 1 〈ϕiβ(1)ϕjα(2) | e2

ϵr12 | ϕiβ(1)ϕjα(2) 〉

−12

Nα

∑

i = 1

Nα

∑

j = 1 〈ϕiα(1)ϕjα(2) | e2

ϵr12 | ϕjα(1)ϕiα(2) 〉

−12

Nβ

∑

i = 1

Nβ

∑

j = 1 〈ϕiβ(1)ϕjβ(2) | e2

ϵr12 | ϕjβ(1)ϕiβ(2) 〉 +12

Mα

∑

k = 1

Mβ

∑

l = 1 〈¯

ϕk

α

(1)¯ϕl

β

(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕk

α

(1)¯ϕl

β

(2) 〉

+1

2

Mβ

∑

k = 1

Mα

∑

l = 1 〈¯

ϕk

β

(1)¯ϕl

α

(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕk

β

(1)¯ϕl

α

(2) 〉

−12

Mα

∑

k = 1

Mα

∑

l = 1 〈¯

ϕk

α

(1)¯ϕl

α

(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕl

α

(1)¯ϕk

α

(2) 〉

−12

Mβ

∑

k = 1

Mβ

∑

l = 1 〈¯ϕkβ(1)¯ϕlβ(2) | e2

ϵr12 | ¯ϕlβ(1)¯ϕkβ(2) 〉

−12

Nα

∑

i = 1

M

∑

k = 1 〈ϕiα(1)¯ϕk(2) | e2

ϵr12 | ϕiα(1)¯ϕk(2) 〉

−12

Nβ

∑

i = 1

M

∑

k = 1 〈ϕiβ(1)¯ϕk(2) | e2

ϵr12 | ϕiβ(1)¯ϕk(2) 〉

−1

2

Mα

∑

k = 1

N

∑

i = 1 〈¯

ϕk

α

(1)ϕi(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕk

α

(1)ϕi(2) 〉

−12

Mβ

∑

k = 1

N

∑

i = 1 〈¯

ϕk

β

(1)ϕi(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕk

β

(1)ϕi(2) 〉

5/17

Từ đó ta có

E =

+

−

+

+

−

+

+

−

+

+

−

Nα

∑

i = 1 { 〈ϕiα(1) | h(1) | ϕiα(1) 〉+ 1

2

Nβ

∑

j = 1 〈ϕiα(1)ϕjβ(2) | e2

ϵr12 | ϕiα(1)ϕjβ(2) 〉

1

2

Nα

∑

j = 1 〈ϕiα(1)ϕjα(2) | e2(1 −P^12)

ϵr12 | ϕjα(2)ϕiα(1) 〉

1

2

M

∑

k = 1 〈ϕiα(1)¯ϕk(2) | 1

r12 | ϕiα(1)¯ϕk(2) 〉 }

Nβ

∑

i = 1 { 〈ϕiβ(1) | h(1) | ϕiβ(1) 〉+ 12

Nα

∑

j = 1 〈ϕiβ(1)ϕjα(2) | e2

ϵr12 | ϕiβ(1)ϕjα(2) 〉

1

2

Nβ

∑

j = 1 〈ϕiβ(1)ϕjβ(2) | e2(1 −P^12)

ϵr12 | ϕjβ(2)ϕiβ(1) 〉

1

2

M

∑

k = 1 〈ϕiβ(1)¯ϕk(2) | e2

ϵr12 | ϕiβ(1)¯ϕk(2) 〉 }

Mα

∑

k = 1 { 〈¯

ϕk

α

(1) | h'(1) | ¯

ϕk

α

(1) 〉+ 1

2

Mβ

∑

l = 1 〈¯

ϕk

α

(1)¯ϕl

β

(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕk

α

(1)¯ϕl

β

(2) 〉

1

2

Mα

∑

l = 1 〈¯

ϕk

α

(1)¯ϕl

α

(2) | e2(1 −P^12)

ϕl

α

(2)¯ϕk

α

(1) 〉

1

2

N

∑

j = 1 〈¯

ϕkα(1)ϕj(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕkα(1)ϕj(2) 〉 }

Mβ

∑

k = 1 { 〈¯

ϕkβ(1) | h'(1) | ¯

ϕkβ(1) 〉+ 12

Mα

∑

l = 1 〈¯

ϕkβ(1)¯ϕlα(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕkβ(1)¯ϕlα(2) 〉

1

2

Mβ

∑

l = 1 〈¯ϕkβ(1)¯ϕlβ(2) | e2(1 −P^12)

ϵr12 | ¯ϕlβ(2)¯ϕkβ(1) 〉

N

∑

j = 1 〈¯

ϕk

β

(1)ϕj(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕk

β

(1)ϕj(2) 〉 }

7/17

Biểu thức năng lượng của hệ có dạng

E = 12{ ∑Nα

i = 1

〈ϕiα(1) | h(1) | ϕiα(1) 〉+

Nα

∑

i = 1

〈ϕiα(1) | fα(1) | ϕiα(1) 〉

+

Nβ

∑

i = 1

〈ϕiβ(1) | h(1) | ϕiβ(1) 〉+

Nβ

∑

i = 1

〈ϕiβ(1) | fβ(1) | ϕiβ(1) 〉

+

Mα

∑

k = 1 〈¯

ϕk

α

(1) | h'(1) | ¯

ϕk

α

(1) 〉+

Mα

∑

k = 1 〈¯

ϕk

α

(1) | ¯fα

(1) | ¯

ϕk

α

(1) 〉

+

Mβ

∑

k = 1 〈¯

ϕk

β

(1) | h'(1) | ¯

ϕk

β

(1) 〉+

Mβ

∑

k = 1 〈¯

ϕk

β

(1) | ¯fβ

(1) | ¯

ϕk

β

(1) 〉 }

trong đó

fα(1) = h(1)

fβ(1) = h(1)

+

−

+

−

Nα

∑

j = 1 〈ϕjα(2) | e2(1 −P^12)

ϵr12 | ϕjα(2) 〉+

Nβ

∑

j = 1 〈ϕjβ(2) | e2

ϵr12 | ϕjβ(2) 〉

M

∑

l = 1 〈¯

ϕl(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕl(2) 〉,

Nβ

∑

j = 1 〈ϕjβ(2) | e2(1 −P^12)

ϵr12 | ϕjβ(2) 〉+

Nα

∑

j = 1 〈ϕjα(2) | e2

ϵr12 | ϕjα(2) 〉

M

∑

l = 1 〈¯

ϕl(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕl(2) 〉

(1) = h'(1)

¯fβ

(1) = h'(1)

+

−

+

−

Mα

∑

l = 1 〈¯

ϕl

α

(2) | e2(1 − P^12)

ϕl

α

(2) 〉+

Mβ

∑

l = 1 〈¯

ϕl

β

(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕl

β

(2) 〉

N

∑

j = 1 〈ϕj(2) | e2

ϵr12 | ϕj(2) 〉

Mβ

∑

l = 1 〈¯

ϕl

β

(2) | e2(1 −P^12)

ϕl

β

(2) 〉+

Mα

∑

l = 1 〈¯

ϕl

α

(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕl

α

(2) 〉

N

∑

j = 1 〈ϕj(2) | e2

ϵr12 | ϕj(2) 〉,

trong đó kí hiệu P^12 là toán tử trao đổi biến (được đưa vào để tiện cho việc tính toán)

^

P12χμ(1)ϕα(2) = χμ(2)ϕα(1)

Lấy biến phân δE theoϕiα *(1) (tính với chỉ số α, các chỉ số khác tính tương tự), sau đó

cho δE = 0, ta được

δE =〈δϕiα(1) | {h(1)+

Nα

∑

j = 1 〈ϕjα(2) | e2(1 −P^12)

ϵr12 | ϕjα(2) 〉

+

Nβ

∑

j = 1 〈ϕjβ(2) | e2

ϵr12 | ϕjβ(2) 〉−

M

∑

l = 1 〈¯

ϕl(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕl(2) 〉 } | ϕiα(1) 〉= 0

Từ điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng

〈ϕiα(1) | ϕjα(1) 〉= δijta có〈δϕiα(1) | ϕjα(1) 〉= 0 với mọi i, j

Nhân thừa số −λijαvào rồi lấy tổng theo j :

9/17

j

λijα〈δϕiα(1) | ϕjα(1) 〉= 0

Cộng với đẳng thức δE = 0, ta được

〈δϕiα(1) | {h(1)+

Nα

∑

j = 1 〈ϕjα(2) | e2(1 −P^12)

ϵr12 | ϕjα(2) 〉+

Nβ

∑

j = 1 〈ϕjβ(2) | e2

ϵr12 | ϕjβ(2) 〉

−

M

∑

l = 1 〈¯

ϕl(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕl(2) 〉 } | ϕiα(1) 〉−∑

j

λijα〈δϕiα(1) | ϕjα(1) 〉= 0

Vì ta có thể chọn ma trận λijlà chéo, kí hiệu λiiα = ϵiα

∑

j

λijα | ϕjα(1) 〉= ∑

j

ϵiαδij|ϕj(1) 〉=ϵiα|ϕiα(1) 〉

nên

〈δϕiα(1) | {h(1) +

−

Nα

∑

j = 1 〈ϕjα(2) | e2(1 −P^12)

ϵr12 | ϕjα(2) 〉+

Nβ

∑

j = 1 〈ϕjβ(2) | e2

ϵr12 | ϕjβ(2) 〉

M

∑

l = 1 〈¯

ϕl(2) | e2

ϵr12 | ¯

ϕl(2) 〉−ϵiα} | ϕiα(1) 〉= 0

Bằng cách tương tự chúng ta nhận được phương trình Hartree - Fock cho hàm sóng tự

hợp của điện tử và lỗ trống trong hệ nhiều Exciton (N điện tử và M lỗ trống) Đây là

phương trình tổng quát cần giải

Nα

∑

j = 1

(J jα− K jα)+

Nβ

∑

j = 1

J jβ−

M

∑

l = 1

J l h}ϕiα(1)

{h(1)+

Nβ

∑

j = 1

(J jβ− K jβ)+

Nα

∑

j = 1

J jα−

M

∑

l = 1

J l h}ϕiβ(1)

=

=

ϵiαϕiα(1)

ϵiβϕiβ(1)

{h'(1)+

Mα

∑

l = 1 (¯J

l

α

−¯K lα)+

Mβ

∑

l = 1

¯J

l

β

−

N

∑

j = 1

J j e}¯

ϕk

α

(1)

{h'(1)+

Mβ

∑

l = 1 (¯J

l

β

−¯K lβ)+

Mα

∑

l = 1

¯J

l

α

−

N

∑

j = 1

J j e}¯

ϕk

β

(1)

=

=

¯

ϵk

α¯

ϕk

α

(1)

¯

ϵk

β¯

ϕk

β

(1)

trong đóϕiα, β(1) ≡ ϕiα, β( →r

e1)¯

ϕkα, β(1)≡ ¯ϕkα, β( →r

h1)

và

J jγϕiγ'(1) = e2

ϵ ∫ϕjγ *(2)ϕjγ(2)d

→r

2

r12 ϕiγ'(1)-sốhạngtươngtácđẩyCoulomb

r12= |→r

1− →r 2|; γ, γ' = α, β

K jγϕiγ(1) =

=

∫ϕjγ *(2)ϕiγ(2)d

→r

2

r12 ϕjγ(1)

e2

ϵ ∫ϕjγ *(2)d

→r

2

r12 P^12ϕjγ(2)ϕiγ(1),

số hạng tương tác trao đổi hai hạt ở trạng thái có spin song song (cho điện tử)

Tương tự cho lỗ trống

¯

J l

γ¯

ϕkγ

'

(1) = e

2

ϵ ∫¯

ϕlγ *(2)¯ϕlγ(2)d r→r 2

12

¯

ϕkγ

' (1)-sèh¹ngt-¬ngt¸c®ÈyCoulomb

11/17

r12= |→r

1− →r 2|

¯

K lγ¯ϕk

γ

(1) =

=

e2

ϵ ∫¯

ϕl

γ *

(2)¯ϕk

γ

(2)d

→r

2

r12

¯

ϕl

γ

(1)

e2

ϵ ∫¯

ϕl

γ *

(2)d

→r

2

r12

^

P12¯

ϕl

γ

(2)¯ϕk

γ

(1),

số hạng tương tác trao đổi hai chuẩn hạt ở trạng thái có spin song song (cho lỗ trống) Phương trình (30) được viết lại:

fα(1)ϕiα(1)

fβ(1)ϕiβ(1)

¯fα

(1)¯ϕk

α

(1)

¯fβ

(1)¯ϕk

β

(1)

=

=

=

=

ϵiαϕiα(1)i = 1, , Nα

ϵiβϕiβ(1)i = 1, , Nβ

¯

ϵk

α¯

ϕk

α

(1)k = 1, , Mα

¯

ϵk

β¯

ϕk

β

(1)k = 1, , Mβ

2 Hình thức luận Roothaan

Trong hình thức luận Hartree - Fock - Roothaan chúng ta tìm ϕi vµ ¯ϕk dưới dạng khai triển theo hệ hàm cơ sở nào đó Trong trường hợp chấm lượng tử hai chiều với thế giam cầm parabolic đặt trong từ trường ngoài ta có thể chọn hệ hàm cơ sở χν,¯χνnày là hệ hàm riêng của Hamiltonian đơn điện tử[link]và Hamiltonian đơn lỗ trống[link]

ϕiα(1)

ϕiβ(1)

=

=

∑

ν

C νiαχν(1)

∑

ν

C νiβχν(1)

bởi vì các hàm χνcó thể giải được chính xác (xem phụ lục I):

χν( →r ) = χn e m e(r e, ϕe)

√2πe

im eϕe

√ 2n e!

(n e+ | m e | )!αe(αe r e) |m e|e−(αere)2

2 L n

e

|m e| ( (αe r e)2), với năng lượng riêng

ϵnm= Ωe(2n e+|m e|+ 1)+ 12m eωc e,

ở đó

αe

Ωe

ωc e

=

=

=

√m e*Ωe,

√ωe2+ 14ωc2e,

eB

m e*.

¯

χν(→r ) = ¯χn h m h(r h, ϕh)

√2πe

im hϕh

√ 2n h!

(n h+ | m h | )!αh(αh r h) |m h|e−(αhrh)2

2 L n

h

|m h| ( (αh r h)2)

và năng lượng

ϵn h m h= Ωh(2n h+|m h|+ 1)− 12m hωc h

với

αh

Ωh

ωc h

=

=

=

√m h*Ωh,

√ωh2+ 14ωc2h,

eB

m h*.

13/17

Thay các biểu thức khai triển này vào phương trình trên (tính với chỉ số α rồi sau đó tính tương tự cho các chỉ số còn lại) ta có:

fα(1) ∑

ν

C νiαχν(1)

∑

ν

C νiαfα(1)χν(1)

=

=

ϵiα∑

ν

C νiαχν(1),

ϵiα∑

ν

C νiαχν(1)

Nhân hai vế phương trình trên về phía phải với χμ*(1) rồi lấy tích phân theo toàn bộ không gian∫d→r 1χμ*(1) và sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hoá〈χμ(1) | χν(1) 〉= δμν

ta thu được:

∑

ν

C νiα〈χμ(1) | fα(1) | χν(1) 〉= ϵiαC μiα

∑

ν

C νiβ〈χμ(1) | fβ(1) | χν(1) 〉=ϵiβC μiβ

Tương tự cho lỗ trống:

∑

ν

¯

C νk

α

〈¯χ

μ(1) | ¯fα

(1) | ¯χ

ν(1) 〉= ¯ϵkα¯C μk

α

∑

ν

¯

C νk

β

〈¯χ

μ(1) | ¯fβ

(1) | ¯χ

ν(1) 〉=¯ϵkβ¯C μk

β

Kí hiệu

Fμνα

Fμνβ

¯α

=

=

〈χμ(1) | fα(1) | χν(1) 〉

〈χμ(1) | fβ(1) | χν(1) 〉

ν

C νiαFμνα =ϵiαC μiα,

∑

ν

C νiβFμνβ = ϵiβC μiβ,

∑

ν

¯

C νkα¯Fμνα =¯ϵk

α¯C

μk

α

,

∑

ν

¯

C νk

β ¯F

μν

β

=¯ϵkβ¯C μk

β

hay

FαCα

FβCβ

¯

Fα¯Cα

¯

Fβ¯Cβ

=

=

=

=

ϵαCα,

ϵβCβ,

¯

ϵα¯Cα,

¯

ϵβ¯Cβ

Đây là phương trình Hartree-Fock dưới dạng ma trận cho hệ các điện tử và lỗ trống Hệ phương trình này cho phép xác định các hệ số khai triển hàm sóng tự hợp của điện tử và

lỗ trống C νi vµ ¯C νk Giải hệ phương trình ma trận này bằng phương pháp chéo hoá ma

trận ta tính được các hệ số C νi vµ¯C νk và khi biết các hệ số này thì có nghĩa là ta đã tìm được hàm sóng của hệ

Thay thế biểu thức từ (23) - (26) của fα, β(1) vµ¯fα, β(1) vào công thức [link] ta tính và

thu được biểu thức cuối cùng cho các yếu tố ma trận Fμνα, βvà ¯Fμν

α, β

:

15/17

Fμνβ

¯

Fμνα

=

−

−

=

−

−

=

−

−

〈χμ(1) | h(1) | χν(1) 〉+∑

λ, σ

PλσT 〈χμ(1)χσ(2) | e2

ϵr12 | χν(1)χλ(2) 〉

∑

λ, σ

Pλσα 〈χμ(1)χσ(2) | e2

ϵr12 | χλ(1)χν(2) 〉

∑

λ, σ

¯

Pλσ

T

〈χμ(1)¯χσ(2) | e2

ϵr12 | χν(1)¯χλ(2) 〉

〈χμ(1) | h(1) | χν(1) 〉+∑

λ, σ

PλσT 〈χμ(1)χσ(2) | e2

ϵr12 | χν(1)χλ(2) 〉

∑

λ, σ

Pλσβ 〈χμ(1)χσ(2) | e2

ϵr12 | χλ(1)χν(2) 〉

∑

λ, σ

¯

PλσT 〈χμ(1)¯χσ(2) | e2

ϵr12 | χν(1)¯χλ(2) 〉

〈¯χ

μ(1) | h'(1) | ¯χ

ν(1) 〉+∑

λ, σ

¯

PλσT 〈¯χ

μ(1)¯χσ(2) | e2

ϵr12 | ¯χ

ν(1)¯χλ(2) 〉

∑

λ, σ

¯

Pλσα 〈¯χ

μ(1)¯χσ(2) | e2

ϵr12 | ¯χ

λ(1)¯χν(2) 〉

∑

λ, σ

PλσT 〈¯χ

μ(1)χσ(2) | e2

ϵr12 | ¯χ

ν(1)χλ(2) 〉

¯

Fμν

β

=

−

〈¯χ

μ(1) | h'(1) | ¯χ

ν(1) 〉+∑

λ, σ

¯

Pλσ

T

〈¯χ

μ(1)¯χσ(2) | e2

ϵr12 | ¯χ

ν(1)¯χλ(2) 〉

∑

λ, σ

¯

Pλσ β

〈¯χ

μ(1)¯χσ(2) | e2

ϵr12 | ¯χ

λ(1)¯χν(2) 〉

PλσT = Pλσα + Pλσβ ¯Pλσ

T

= ¯Pλσ

α

+¯Pλσ β

Pλσα = Pσλα =

Nα

∑

i = 1

C λiαC σiα *Pλσβ = Pσλβ =

Nβ

∑

i = 1

C λiβC σiβ *

¯

Pλσ

α

=¯Pσλ

α

=

Mα

∑

k = 1

¯

C λk

α ¯C

σk

α *¯P

λσ

β

=¯Pσλ

β

=

Mβ

∑

k = 1

¯

C λk

β ¯C

σk

β *

,

với μ, ν, λ, σ ≡{n, m} là số lượng tử đặc trưng cho trạng thái của điện tử hoặc lỗ trống

3 Biểu thức năng lượng của hệ

Năng lượng cơ bản của hệ nhiều điện tử và lỗ trống được tính theo biểu thức [link] Thay các biểu thức của (32) vào (22) và sử dụng các công thức (23) - (26), (39) và

(41) - (44) ta thu được biểu thức của năng lượng E biểu diễn qua các yếu tố ma trận

Fνμα , Fνμβ , ¯Fνμα , ¯Fνμβ như sau

E = 12∑

μ, ν {PμνT hνμ+ Pμνα Fνμα + Pμνβ Fνμβ +¯PμνT hνμ' +¯Pμνα ¯Fνμα +¯Pμνβ ¯Fνμβ }

= 12∑

μ, ν

{δμνPμνT[Ωe(2n + | m | + 1)+ mω c e ] + Pμνα Fνμα + Pμνβ Fνμβ }

+12∑

μ, ν {δμν¯PμνT [Ωh(2n + | m | + 1)− mω c h] +¯Pμνα ¯Fνμα +¯Pμνβ ¯Fνμβ }

trong đó hνμ≡〈χν(1) | h(1) | χμ(1) 〉hνμ' ≡〈¯χ

ν(1) | h'(1) | ¯χ

μ(1) 〉

Công thức[link] là công thức tổng quát cho phép ta tính năng lượng cơ bản của hệ với

số điện tử và lỗ trống tuỳ ý Các tham số của bài toán như độ lớn của thế giam cầm (và

tỷ lệ với nó là bán kính của chấm lượng tử), độ lớn của từ trường ngoài cũng như các thông số của vật liệu như khối lượng hiệu dụng của điện tử và lỗ trống, hằng số điện môi, được biểu diễn gián tiếp, không tường minh qua các yếu tố ma trận

17/17