Trường THPT Võ Văn Kiệt GV: Phan Văn TuấnA- ĐẶT VẤN ĐỀ I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương pháp đổi mới kiểm tra là một hình thức rất khả quan đối với từng cá nhân, nhằm giúp nhà trường đánh giá
Trang 1Trường THPT Võ Văn Kiệt GV: Phan Văn Tuấn
SƠ LƯỢC VỀ LÝ LỊCH KHOA HỌC
I- THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1- Họ Và Tên: Phan Văn Tuấn
2- Ngày tháng năm sinh: 1979
3- Quê quán: Ấp TT A1, TT Hòa Bình, Huyện Hòa Bình, Tỉnh Bạc Liêu
4- Nơi cư trú: Ấp TT A1, TT Hòa Bình, Huyện Hòa Bình, Tỉnh Bạc Liêu
6- Chức vụ: Giáo viên
II- TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Trình độ chuyên môn: Đại học
- Năm nhận bằng: 2002
- Chuyên nghành đào tạo: Sư phạm Toán
III- KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn: TOÁN
- Số năm có kinh nghiệm: 11
Trang 2Trường THPT Võ Văn Kiệt GV: Phan Văn Tuấn
A- ĐẶT VẤN ĐỀ I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương pháp đổi mới kiểm tra là một hình thức rất khả quan đối với từng cá nhân, nhằm giúp nhà trường đánh giá thực chất việc dạy và học của giáo viên và học sinh Nhưng bên cạnh đó củng có nhiều hạn chế việc làm được và chưa làm được củng nhờ vào nhiều phần trách nhiệm của từng giám thị để dẫn đến kết quả.
II- TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1- Cơ sở lý luận
Chuyên đề: Phương pháp ôn tập kiểm tra toán 11 Tôi đưa ra để giúp học sinh
tự ý thức của chính mình, với tinh thần đổi mới căn bản về cách học, phát huy nội lực lấy
tự học, tự đọc sách, tự trang bị kiến thức của học sinh làm cốt lỗi.
2- Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Nội dung chủ đề gồm ba phần Trong đó mỗi dạng Toán được phân loại cụ thể
Về kiến thức cơ bản
Đưa ra từng dạng Toán và phương pháp giải cụ thể từng bài Do đó học sinh đọc nên hiểu và nhớ kỹ để vận dụng giải bài tập
Bài tập cơ bản
Phân loại các dạng Toán, chọn các bài tập tiêu biểu trong sách giáo khoa và một số sách khác Từ đó hướng dẫn cách vận dụng kiến thức cơ bản để giải
Bài tập rèn luyện
Giúp các em ôn và luyện giải các bài tập tương tự.
Trang 3Trường THPT Võ Văn Kiệt GV: Phan Văn Tuấn
B- NỘI DUNG
Chương: GIỚI HẠN
I Lý Thuyết
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
A- GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1 Các giới hạn đặc biệt
a) lim
n
1
= 0 ; lim k
n
1
= 0 ; limn k = +, với k nguyên dương
b) limq n = 0 nếu q 1; lim q n = + nếu q > 1
c) limc = c (c: là hằng số)
2 Định lí về giới hạn hữu hạn
a) Nếu limun = a và limvn = b, thì:
* lim(un + vn) = a + b * lim(un - vn) = a - b ;
* lim(unvn) = ab * limu v b a
n
n
(nếu b0)
b) Nếu u n 0 n và limun = a , thì a ≥ 0 và lim u n a
3 Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực
a) Nếu limun = a và limv thì lim n 0
n
n
v
u
b) Nếu limun = a > 0, limv và v n 0 n > 0, n thì lim
n
n
v
u
c) Nếu limun = + và limv thì limu n 0 nvn = +
1 Các giới hạn đặc biệt
0
limx x
x
b) c c
x
lim
c) x cc
lim
d) lim 0
c
x (c: là hằng số)
e)
k
xlim x với k nguyên dương
f)
k
xlim x với k nguyên lẻ
g)
k
xlim x với k nguyên chẵn
Trang 4Trường THPT Võ Văn Kiệt GV: Phan Văn Tuấn
2 Quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) b) Quy tắc giới hạn của thương g f((x x))
ý:
Khi gặp các dạng vô định: ;0 ; ; 0
0
ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách:
chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;…
C- HÀM SỐ LIÊN TỤC
1/ Hàm số liên tục tại một điểm
Để chứng minh f(x) liên tục tại x o , ta qua 3 bước:
B 1 : Tính f(x o )
0
lim
x x f x
B 3 : So sánh f(x o ) và
0
lim
x x f x
0
lim
x x f x
= f(x o) thì kết luận f(x) liên tục tại điểm x x 0
2/ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình.
Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên
đoạn [a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a ; b)
II BÀI TẬP
Bài 1: Tìm các giới hạn
a/ 2
lim 4n 7n13 b/ 3 2
lim 5 n 7n 1 c/lim 2n5 53 2
n
d/ 3 2
lim 2n n n 3
e/lim2 3
3 7
n n
f/
2 2
3 7 1 lim
4 7
n
g/
5
7 3 1 lim
8 10 17
k/lim 4 2 29
3 5 3
n
i/lim 4 4 23 2 1
2 7
n
m/lim 26 3 2 1
7 3
n/lim 3 2 1
10 3
n
o/lim 45 103 11
n n
Hướng dẫn:
a, b, c, d: Đặt n có số mũ cao nhất ra làm thừa số đưa về dạng tích
e, f, k, l, n, o: Chia cả tử và mẫu cho n có số mũ cao nhất
g, m: có thể đưa về dạng tích
Ví dụ: a/
3 4 1
lim
n n
=
4
4 3
3
4 1 3
lim
1 2 5
n
n n n
n n
3
4 1 3
lim
1 2 5
n n n
n n
=
)
(
lim
0
x
f
x
x
) ( lim
0
x g x
0
x g x f x x
L > 0 + ∞ + ∞
L < 0 + ∞ - ∞
- ∞ + ∞
) ( lim
0
x f x x
) ( lim
0
x g x x
Dấu của g(x) ( )
) ( lim
0 g x
x f
x x
L > 0
0
Trang 5Trường THPT Võ Văn Kiệt GV: Phan Văn Tuấn
Vì: lim n , 4
3
4 1
1 2 5 5
n n
n n
b/ lim 4
3 1
n n
n
2
3
1 1 lim
1 3
n
n n n
1 1 lim
1 3
n n
n
vì: lim n , 3
1 1
1
1 3 3
n
n
Bài 2: Tìm các giới hạn:
a/lim 2n23n 1 7n3 b/lim 10 n 4 4n2 3n4 c/
lim n n 4n n 10 d/lim 9n2 1 n25n 7
e/lim n2 n 1 n f/lim 9n2 4n 2 3 n
g/lim 4 n 1 16n22n 3 h/lim 2n23n 2n21 k/lim n43n2 1 n2 1
Hướng dẫn:
a, b, c, d: Đặt thừa số đưa về dạng tích Đáp số theo thứ tự: ; ; ;
e, f, g, h, k: Nhân lượng liên hợp biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt Đáp số theo thứ tự là:1
2
;2
3;
3
4;
3 2
4 ;
5 2
Đặc điểm nhận biết:
Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp biến đổi đưa về các giớí hạn đặc biệt
Hệ số không phải là hai số đối nhau ta đặt thừa số đưa về dạng tích.
Ví dụ: a/lim 5n2 n 11 2 n3
Nhận xét: 2n có hệ số là -2 và 5n2 5n có hệ số là 5
Hệ số không phải là hai số đối nhau → Đưa về dạng tích
lim 5n n 11 2 n3 1 112 3
limn 5 2
Vì:lim n và lim 5 1 112 2 3 5 2 0
lim n 10n 1 n1 Nhận xét:n có hệ số là -1; n2 có hệ số là 1.n
Hệ số là hai số đối nhau → Nhân lượng liên hợp
Giải
b/lim n210n 1 n1 2 2
2
lim
10 1 1
lim 2 8
10 1 1
n
8
10 1 1
Trang 6Trường THPT Võ Văn Kiệt GV: Phan Văn Tuấn
Bài 3: Tìm các giới hạn
a/ lim2.3 5.4
3.4 2
b /lim 3.2 7
10.7 5.4
c/
1
2
2 7 4 lim
3 6 4
n
d/
1
6.3 6 lim
n n
Hướng dẫn
Biến đổi đưa về cùng số mũ Trong công thức có chứa , ,a b c chọn n n n max a b c, ,
Giả sử là a ta chia cả tử và mẫu cho a biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt n
Đáp số: a/ 5
3; b/
1
10; c/
7 24
; d/ - 6
Bài 4: Tìm các giới hạn
a/
2 9 lim
3 2n
n n
b/
2 2
1 lim
2
3 5
3
n n
c/
2
2 1 3 3 lim
1
n
n
d/
2 3
lim
4
2 5
3
n
n
Hướng dẫn: Biến đổi đưa về dạng tích
Đáp số: a/ 0 ; b/ ; c/ ; d/ 0
Ví dụ:
3 3
5 1 lim
2
3
n
n n
5 1
lim
1 5 2 4
n
n n
n n
Vì: 2 3
5 1
1 5 4 4
n n
n n
và lim 3
2
n
2/ Giới hạn hàm số
Bài toán 1: Tìm giới hạn hàm số khi x x0(tương tự cho trường hợp x x0 ;x x0
)
Dạng 1: Nếu f x xác định tại x thì 0
lim
x x f x f x
Áp dụng:
a/ 2
1
lim 2 15 7
b/ 2
2
4 3 lim
1
x
x x
c/ 2
3
lim 3 7 2
d/ 2
3
2 3 1 lim
3 5
x
x
Dạng 2:
0
lim
x x
f x
g x
với f x 0 g x 0 0
Cách giải:
* Nếu f x g x là những đa thức thì phân tích , f x x x f x 0 1 ,g x x x g x 0 1 khi đó:
0
lim
x x
f x
g x
0
1 1
lim
x x
f x
g x
* Nếu f x hoặc g x có chứa căn bậc hai ta nhân lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau
a/
3 2 2
8 lim
4
x
x x
2 2
lim
2 2
x
2 2
2 4
2
x
x
Trang 7Trường THPT Võ Văn Kiệt GV: Phan Văn Tuấn
b/ 2
6
4 1 5
lim
7 6
x
x
6
4 1 5 4 1 5 lim
7 6 4 1 5
x
6
4 6 lim
1 6 4 1 5
x
x
lim
25
1 4 1 5
Áp dụng
Bài 1: Tìm các giới hạn sau
a/
2 5
25 lim
x
x
x x
b/
3 2 1
11 10 lim
1
x
x
c/
2 2 3
5 6 lim
9
x
x
d/
5 1
1 lim
1
x
x x
e/
2 2 4
2 13 20 lim
16
x
x
3 2 1
3 2 lim
10 9
x
g/
3 2 2
5 2 lim
3 2
x
h/
3 2 3
10 3 lim
7 12
x
k/
3 2 3
3 3 lim
3
x
x
Đáp số: a/ 5
3
; b/ -4 ; c/ 1
6 ; d/ 5 ; e/
3 8
; f/ 0 ; g/ 7 ; h/ -17 ; k/ 3 3
Bài 2: Tìm các giới hạn sau
a/ 2
0
2 1 1 lim
3
x
x
b/ 2
1
4 5 3 lim
1
x
x x
c/
3
2 3 lim
3
x
x
d/ 2
8
1 3 lim
2 15 8
x
x
e/
4
3 4 4
lim
4 9 5
x
x x
f/
3 2
8 lim
6 4 4
x
x x
g/ 2
2
3 12 1 lim
6
x
x x
h/ 2
4
6 1 2 3 lim
16
x
x
Đáp số:
a/1
3 ; b/
1 3
; c/ 2
3
; d/ 1
102; e/
15
16; f/ -16 ; g/
1 25
; h/ 7
40
Dạng 3:
0
lim
x x
f x
g x
với f x 0 0; g x 0 0
Cách giải: Sử dụng quy tắc b (trang 131).
Ví dụ: Tìm giới hạn:
3
5 8 lim
3
x
x x
Giải
Ta có: *
3
lim 5 8 7 0
x x
*
3
lim 3 0
vàx 3 0, x 3
Do đó
3
5 8 lim
3
x
x x
Áp dụng:
a/
2
2 11 lim
2 4
x
x x
b/
2 5
10 lim
5
x
x x x
c/
2
2
2 5 lim
2
x
x x
d/ 2
4
2 1 7 lim
16
x
x x
e/ 3
2
2 7 lim
2 3
x
x x
Bài toán 2: Tìm giới hạn hàm số khi x (x )
Dạng 1:lim
Với f x là một đa thức.
Cách giải: Đặt x có số mũ cao nhất ra làm thừa số, đưa về dạng tích ( khi x giải tương tự)
Ví dụ:lim 2 3 1
x x
Trang 8Trường THPT Võ Văn Kiệt GV: Phan Văn Tuấn
Áp dụng
a/ lim 20 3 3 2 4
x
c/
4 2
4
x
x
d/ lim 2 7 5 1
Dạng 2:
lim
x
f x
g x
Với f x , g x là một đa thức.
Cách giải: Chia cả tử và mẫu cho x có số mũ cao nhất, biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt
(tương tự cho trường hợp x )
Ví dụ:
a/
2 2
3 7 1 lim
4 7
x
x
2
7 1
lim
4
x
x x x
b/ lim 52 1
4 3
x
x
= 4 5
3 1
4 3 1
x
x x
x x
Tuy nhiên nếu f x là đa thức bậc cao hơn g x thì ta có thể đưa về dạng tích
Ví dụ:
3
lim
4 2 1
x
x x
=
6
3
1 3 10
lim
2 1 4
x
x
x x x
x x
1 3 10
lim
2 1 4
x
x x x
x x
1 3
2 1 2 4
x
x x
x x
Áp dụng:
a/
4 5 4 lim
2 3 7
x
b/
3
lim
2 3 5
x
x x
c/
2
2 3 lim
4 6 9
x
x
d/
2
7 6 13
lim
x
x x
e/
3
lim
4 10 7
x
x x
f/
6
10 5 3 lim
3 2 1
x
Dạng 3: lim
với f x có chứa căn bậc hai thì tùy mỗi bài ta có thể đưa về dạng tích
hoặc
nhân lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt
(Tương tự cho trường hợpx )
Đặc điểm nhận biết:
Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp
Hệ số không phải là hai số đối nhau→Đặt thừa số đưa về dạng tích.
Ví dụ: a/ 2
Nhận xét: x có hệ số là-1; vìx nên x2 x có hệ số là 1x
Hai hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp
Giải: a/lim 2 1
2
lim
1
x
lim 2 1
1
x
x
1 lim
1 1 1
x
x
x x
2
1 1 lim
1 1
x
x
x x
1 2
b/ lim 4 2 3 1
có hệ số là -2 hệ số không là hai số đối nhau→Đưa về dạng tích
Trang 9Trường THPT Võ Văn Kiệt GV: Phan Văn Tuấn
lim 4 3 1
lim 4 3 1
x
Vì: * limx x
*lim 4 1 3 1 1 0
c/ 3 2
lim 3 2 9 1
Nhận xét: 3x bậc ba vì3 x nên 9x2 3x 3x bậc nhất→Không cùng bậc→Đưa về dạng tích
Giải:
lim 3 2 9 1
lim 3 2
x x
lim 3 3 2 3 94 16
x x
3
2 9 1 lim 3
vì: *xlim x3
*lim 3 23 94 16 3 0
Áp dụng:
a/ lim 2 2 3 5 2
b/ lim 1 2 10 3
d/ lim 2 3 2 1
e/ lim 2 1 2 2 3
Hướng dẫn:
a, b, c, d, k: Nhân lượng liên hợp biến đổi
Đáp số theo thứ tự là:3 2
4 ; 6;
5
2; 0;
7 6
e, f, g, h: Đặt thừa số đưa về dạng tích
Đáp số theo thứ tự là: ; ; ;
3/ Hàm số liên tục
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số f x tại x 0
Cách giải:
Dùng định nghĩa: Nếu f x xác định tại x và 0
lim
x x f x f x
thì f x liên tục tại x0
Ví dụ: Cho hàm số
16
neáu x
Xét tính liên tục của h/số f x tại x 0 16
Giải: Ta có f x xác định tại x và 0 16 f 16 15
2
17 16 lim lim
16
f x
x
lim16 1 15 16
Vậy f x liên tục tại x 0 16
Trang 10Trường THPT Võ Văn Kiệt GV: Phan Văn Tuấn
Áp dụng
Xét tính liên tục của ham số f x tại x trong các trường hợp sau:0
a/
2
0
3 3
x x neáu x
neáu x
12
x neáu x x
neáu x
Dạng 2: Định tham số để hàm số liên tục tại x0
Cách giải: Tính f x , 0
0
lim
x x f x
, lập phương trình
lim
x x f x f x
giải tìm tham số
Ví dụ: Cho hàm số
2 2
6
Tìm m để h/số f x liên tục tại x 0 6
Giải:
Ta có hàm số f x xác định tại x và 0 6 f 6 2m2 7m10
2
7 6 lim lim
6
f x
x
lim6 1 5
Hàm số f x liên tục tại x khi chỉ khi0 6
6
1 5 2
m m
Áp dụng:
Tìm m để hàm số f x liên tục tại x trong các trường hợp sau0
a/
2
0 2
3 3
x x neáu x
m m neáu x
b/
2
0
2 2
x x neáu x
m neáu x
Dạng 3: Chứng minh rằng phương trình f x có ít nhất một nghiệm thuộc 0 a b;
Cách giải:
Xét hàm số yf x , chứng minh yf x liên tục trêna b và ; f a f b 0
x a b f x
Kết luận : f x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 0 a b;
Ví dụ: CMR phương trình: 4x3 5x 3 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng0; 2
Giải: Xét hàm số f x 4x3 5x 3 liên tục trên R nên liên tục trên đoạn0; 2
Ta có: f 0 3 , f 2 19 suy ra f 0 f 2 57 0
x0 0;2 : f x 0 0 Vậy 4x3 5x 3 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng0 ; 2
Áp dụng:
1/ Chứng minh rằng phương trình: 7 5
3 2 0
x x có ít nhất một nghiệm 2/ Chứng minh rằng phương trình: 2
sin 1 0
x x xcox thuộc 0; 3/ Chứng minh rằng phương trình: 3
3 1 0
x x có 3 nghiệm phân biệt
Trang 11Trường THPT Võ Văn Kiệt GV: Phan Văn Tuấn
C- KẾT LUẬN I- HIỆU QỦA CỦA ĐỀ TÀI
Sau khi tôi nghiên cứu thực hiện chủ đề này, bản thân cảm thấy rút ngắn được thời gian về sự chuẩn bị và học sinh cảm thấy có sự đam mê hơn trong giờ ôn tập Đây là kết quả đạt được rất tương đối, tuy học sinh không đạt loại giỏi nhiều Nhưng về học sinh yếu đạt lên mức trung bình tiến bộ rất rõ rệt Đối với năm học 2013-2014 Đây là chủ đề tôi áp dụng đối với học sinh yếu, kém.
Lần 1: Không áp dụng cho học sinh
Lần 2: Áp dụng cho học sinh
Lần 3: Áp dụng cho học sinh
Lần 4: Áp dụng cho học sinh thi HKII
II- ÁP DỤNG:
Sử dụng cho tất cả học sinh khối 11 trong việc ôn tập trước khi kiểm tra định kì.
III- KẾT LUẬN:
Cuối cùng cho dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo các tài liệu hiện nay để viết, cùng với việc tiếp thu ý kiến của đồng nghiệp Nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp qúy báu của đồng nghiệp.
KIẾN NGHỊ:
Phước long, ngày 06 tháng 01 năm 2015
NGƯỜI THỰC HIỆN
Phan Văn Tuấn