CÁC BẤT BIẾN CỦA MỘT LỚP CON CÁC ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC 4 CHIỀU

HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thu Trang CÁC BẤT BIẾN CỦA MỘT LỚP CON CÁC ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC 4 CHIỀU Chuyên ngành : Hình học và Tôpô LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.T

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Thu Trang

CÁC BẤT BIẾN CỦA MỘT LỚP CON CÁC ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC 4 CHIỀU

Chuyên ngành : Hình học và Tôpô

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Anh Vũ Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, vì Thầy đã tạo cơ hội cho tôi làm quen với lý thuyết về nhóm Lie và đại số Lie, hiểu được thuật toán tính các bất biến của đại số Lie và từ đó tự giải quyết bài toán của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình

độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học Cao học

Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Huệ, Bến Cầu, Tây Ninh cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Tp Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2008

Tác giả

Lê Thị Thu Trang

C G : Không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên G *

Aut(G) : Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G

End(V) : Không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V

Der(G) : Tập hợp các toán tử vi phân trên G

F

 : Quỹ đạo Kirillov qua F

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số Lie thực với số chiều thấp có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực Toán học và Vật lí học Cụ thể như sự phân loại các lớp đẳng cấu của các đại số Lie với số chiều thấp là nền tảng và cơ sở ban đầu để hình thành một phương pháp tính các bất biến của đại số Lie bằng cách thay đổi hệ tọa độ

Lý thuyết biểu diễn là một ngành thuộc lĩnh vực Hình học – Tôpô Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số Lie Vấn

đề nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie là một hướng nghiên cứu lớn trong lĩnh vực này Để giải quyết bài toán này, năm

1962, A A Kirillov (xem [Ki]) phát minh ra phương pháp quỹ đạo và nó nhanh chóng trở thành phương pháp hiệu quả nhất để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm Lie Phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu diễn bất khả quy unitar của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ K – quỹ đạo nguyên của nó Trong khoảng thập niên 60 và 70 của thế kỷ trước, phương pháp quỹ đạo Kirillov được nghiên cứu cải tiến, mở rộng và áp dụng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie bởi nhiều nhà toán học trên thế giới như L Auslander, B Kostant, Đỗ Ngọc Diệp,…

Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo là các K – quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp Do đó, việc nghiên cứu K – biểu diễn của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông giải được, có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie

Các nhóm Lie và đại số Lie giải được có cấu trúc không quá phức tạp, tuy nhiên việc phân loại chúng cho đến nay vẫn chưa được giải quyết triệt để

Năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp đã đề nghị xét một lớp con các nhóm Lie và đại số Lie thực giải được mà rất đơn giản về phương diện phân tầng các K – quỹ đạo Đó là lớp các MD – nhóm và MD – đại số Một nhóm Lie thực giải

được mà các K – quỹ đạo của nó hoặc không chiều hoặc chiều cực đại được gọi là MD – nhóm Khi số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm còn được gọi là MD– nhóm Đại số Lie của một MD – nhóm (tương ứng, MD– nhóm) được gọi là MD – đại số (tương ứng, MD– đại số)

Năm 1982, Hồ Hữu Việt đã phân loại triệt để lớp các MD– đại số Lớp này chỉ gồm các đại số Lie giao hoán n – chiều n (n 1) , đại số Lie 2 – chiều aff và đại số Lie 4 – chiều aff

Việc phân loại lớp các MD – đại số đến nay vẫn còn là một bài toán

mở Để đơn giản hơn, ta phân nhỏ lớp các MD – nhóm và MD – đại số theo

số chiều Tức là xét các lớp con MDn – nhóm (và MDn – đại số) gồm các MD – nhóm (và MD – đại số) n – chiều Vì tất cả các đại số Lie dưới 4 – chiều đã được liệt kê hết từ lâu nên ta chỉ xét các lớp MDn – nhóm và MDn – đại số với n 4

Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) đã liệt kê toàn bộ lớp các MD4 – đại số Đến năm 1990, trong các bài báo và luận án Tiến sĩ của mình, Lê Anh

Vũ (xem [Vu1], [Vu2], [Vu3]) đã phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4 – đại số này Hiện tại, lớp các MD5 – đại số vẫn chưa được liệt kê và phân loại đầy đủ Tuy nhiên, lớp con các MD5 – đại số với ideal dẫn xuất giao hoán đã được Lê Anh Vũ liệt kê và phân loại năm 2006

Mới đây, trong bài báo: “Computation of Invariants of Algebras by

Means of Moving frames”, arXiv: math–ph/0602046 v2 11 Apr 2006, các tác giả Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đã giới thiệu một phương pháp mới cho việc tính toán các toán tử bất biến (toán tử Casimir tổng quát) của đại số Lie – thuật toán tính các toán tử Casimir tổng quát của đại số Lie Thuật toán này sử dụng phương pháp thay đổi tọa độ của Cartan và kiến thức về nhóm của phép tự đẳng cấu trong của mỗi đại số Lie Đặc biệt,

thuật toán này được ứng dụng để tính toán các bất biến của đại số Lie

thực số chiều thấp Khác với các phương pháp thông thường là nó không dẫn đến việc giải hệ phương trình vi phân mà thay bằng việc giải hệ phương trình đại số, tức là chúng ta chỉ làm việc trong lĩnh vực đại số thuần túy – đây là thuận lợi chủ yếu của phương pháp này Hơn nữa, việc tính toán đơn giản hơn hay không phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở của đại số Lie

Hiện tại vẫn chưa có ai giải quyết vấn đề tính các bất biến của các MD–đại số Bởi vậy chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu về các bất biến của MD–đại số Cụ thể, chúng tôi muốn hệ thống lại các khái niệm về đại số Lie, lớp MD–đại số Lie Đồng thời trên cơ sở thuật toán của các tác giả Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đã đưa ra trong bài báo

“Computation of Invariants of Algebras by Means of Moving frames”, chúng tôi sẽ cố gắng tính các bất biến của vài MD4–đại số Bởi vậy, đề tài của

chúng tôi mang tên: “Các bất biến của một lớp con các đại số Lie giải được

4 chiều”

2 Mục đích

Dùng thuật toán do các nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và

Roman Popovych đưa ra để nghiên cứu các bất biến của các đại số Lie

3 Đối tượng và nội dung nghiên cứu

Lớp con các MD4–đại số với ideal dẫn xuất giao hoán và các bất biến của chúng

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn

Tính được tường minh cơ sở của các bất biến của một lớp con các MD4–đại số với ideal dẫn xuất giao hoán Và chúng ta cũng có thể áp dụng thuật toán ở trên để tính toán các bất biến của các MD5–đại số, MD6–đại số

và một vài MDn (5 < n) đặc biệt

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung

và phần kết luận Cụ thể:

Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu

Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản về đại số Lie, nhóm Lie,

và lớp các MD – nhóm, MD – đại số Phần này chỉ trình bày những kiến thức cần thiết liên quan đến bài toán đang xét

Chương 2: Giới thiệu một thuật toán được các nhà toán học

Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych nghiên cứu để tính toán các bất biến của các đại số Lie

Chương 3: Áp dụng thuật toán trên để tính các bất biến của một lớp con các đại số Lie giải được 4 chiều

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu tiếp sau đề tài

Các nghiên cứu đạt được dựa trên việc tính toán thuần tuý đại số và sự trợ giúp của máy tính

Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu)

Chương 1 ĐẠI SỐ LIE VÀ NHÓM LIE

Chương này chủ yếu đưa ra những cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu là lớp các MD – nhóm và lớp các MD – đại số mà chúng ta quan tâm Trước hết, ta

sẽ nhắc lại các khái niệm và những tính chất cơ bản về đại số Lie (thực) và nhóm Lie

Một số mệnh đề và định lý được phát biểu nhưng không chứng minh Độc giả nào quan tâm đến các chứng minh hoặc muốn tìm hiểu sâu về các khái niệm xin xem các tài liệu [Ha-Sch], [Ki]

1.1 Đại số Lie

1.1.1 Định nghĩa

Cho K là trường và G là không gian vectơ trên K Ta bảo G là một đại

số Lie trên K hay K – đại số Lie nếu trên G đã cho một phép nhân mà gọi là móc Lie:

 ., :G G G

 x, y  x, y (tích Lie hay móc Lie của x và y)

sao cho các tiên đề sau đây thoả mãn:

(L1) Móc Lie là hoán tử song tuyến tính Tức là:

Nếu K là trường có đặc số khác 2 thì (L2) tương đương với

 L : x, y2      y, x , x,  yG

Nếu [x,y] = 0, x,  yG thì ta bảo móc Lie tầm thường và G là đại

số Lie giao hoán

Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G

Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường K Giả sử số chiều của G là n Cấu trúc đại số Lie trên G có thể được cho bởi móc Lie của từng

cặp vectơ thuộc cơ sở e e1, , ,2 e đã chọn trước trên n G như sau:

Khi K là trường số thực thì G được gọi là đại số Lie thực Nội dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nếu không sợ nhầm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie để chỉ đại số Lie thực

1.1.2 Ví dụ

a Không gian n với móc Lie  x, y  (tầm thường) hiển nhiên 0

là một đại số Lie Và được gọi là đại số Lie thực giao hoán n – chiều

b Không gian 3 với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực 3 – chiều

c Cho A là một đại số (kết hợp) trên trường K Với mọi cặp

 x, y  , ta định nghĩa A  x, y xy yx , khi đó A trở thành một đại số Lie

Nói riêng ta có đại số Mat(n,K) các ma trận vuông cấp n trên K là một đại số

Lie với móc Lie A B,  AB BA , A, B Mat n,K  

d Đặc biệt, xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên K – không gian vectơ V Khi đó, End(V) trở thành đại số Lie với móc Lie được xác định

như sau: f g,  f g g f   , f g End V,   

e Cho A là một đại số trên trường K Toán tử tuyến tính : A  Ađược gọi là toán tử vi phân trên A nếu:

 x, y  x y x y 

Kí hiệu Der(A) là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên A Khi đó

Der(A) trở thành một đại số trên K với phép nhân là phép hợp thành ánh xạ Der(A) trở thành một đại số Lie trên K với móc Lie được định nghĩa là :

       1, 2 1 2 2 1

1.1.3 Đồng cấu và đẳng cấu đại số Lie

Cho G và 1 G là hai K– đại số Lie và : 2 f G 1G là một ánh xạ 2

Ta bảo f là một đồng cấu đại số Lie nếu:

(i) f là ánh xạ K– tuyến tính

(ii) f bảo toàn móc Lie, tức là: f   x, y f    x , f y , x,   yG 1

Nếu f còn là một song ánh thì f được gọi là đẳng cấu đại số Lie

Các đại số Lie trên trường K lập thành một phạm trù với các cấu xạ chính là các đồng cấu đại số Lie

Mỗi đồng cấu đại số Lie f :G 1 End(V) (End(V) là đại số Lie các toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V) được gọi là biểu diễn tuyến tính của G 1 trong không gian vectơ V, kí hiệu (f,V) Nếu dimV = n < , khi ta cố định cơ sở nào đó của V thì ta có f :G1 End V  Mat n ,  Để đơn giản thì đôi khi người ta dùng thuật ngữ “biểu diễn” thay cho thuật ngữ “biểu diễn tuyến tính”

Khi f là một đơn cấu thì f được gọi là biểu diễn khớp

1.1.4 Biểu diễn chính quy của đại số Lie

Cho G là đại số Lie Der(G) = {f: G G / f là toán tử vi phân} là đại

Xét đại số Lie G = 3 với móc Lie là tích có hướng thông thường Khi

đó,  v a,b,cG = 3 ta có biểu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận như sau:

000

Dễ thấy rằng, tâm của G là tầm thường, do đó biểu diễn ad ở đây là khớp Nói cách khác, đại số Lie G = 3 với móc Lie là tích có hướng thông thường đẳng cấu với đại số Lie các trận thực phản xứng cấp 3

1.1.5 Đại số Lie giải được và đại số Lie luỹ linh

Cho G là một đại số Lie và M là một không gian con của G Ta bảo M

là đại số con của G nếu M,MM

Ta bảo M là ideal của G nếu G,MM Trong đó ký hiệu:

a G Gk, k là các ideal dẫn xuất thứ k của G (k=1,2,3,…)

b Ta có các dãy bao hàm thức sau:

G Chỉ số n nhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại

số Lie giải được (tương ứng, luỹ linh) G

Cho f là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được G

trong không gian vectơ V trên trường đóng đại số K Khi đó f tương đương

với biểu diễn ma trận tam giác trên, tức là f x T n,K , x   G

Hệ quả

Nếu G là đại số Lie giải được thì G 1 G, G là đại số Lie luỹ linh

1.2.1.1 Định nghĩa đa tạp vi phân

gọi là một đa tạp tôpô n – chiều nếu: với mỗi x M , tồn tại lân cận mở U của

x và đồng phôi :U (U ) n ( (U ) là tập mở trong n)

Khi đó:

 U ,  là bản đồ địa phương trong lân cận của x

 Một họ các bản đồ  U , i i i I được gọi là một atlat của M nếu

 U i i I là một phủ mở của M

 Gom tất cả các bản đồ ta được một atlat cực đại

(b) Ta nói rằng atlat  U , i i i I khả vi lớp Cr (hay thuộc lớp Cr) nếu các bản đồ của atlat tương thích nhau “ một cách Cr” (ở đây r > 0) Tức là:

(c)Hai atlat khả vi thuộc lớp Cr gọi là tương đương nhau nếu hợp của chúng vẫn là một atlat khả vi lớp Cr

Đó là một quan hệ tương đương trên tập các atlat khả vi lớp Cr Nó định

ra một sự chia lớp trên tập hợp các atlat khả vi lớp Cr trên M

Mỗi lớp tương đương như vậy gọi là một cấu trúc vi phân (hay cấu trúc khả vi) lớp Cr trên M

j i

 

Do đó S trở thành đa tạp vi phân lớp C n  (n – chiều)

1.2.1.3 Ánh xạ khả vi trên các đa tạp vi phân

a Hệ toạ độ địa phương

Cho M là đa tạp tôpô n – chiều, U ,  là bản đồ địa phương của x Khi

địa phương nêu trên

b Hàm trên đa tạp tôpô

Cho M là một đa tạp tôpô n – chiều, A =  U ,    là một atlat,

xét hàm tuỳ ý f : M  , với mỗi   , xét f U :U

Ở đó, U ;x ,x , ,x 1 2 n là hệ toạ độ địa phương ứng với bản đồ U , ,

f được gọi là biểu diễn địa phương của f trong hệ toạ độ địa phương

Cho M là một đa tạp vi phân m – chiều và N là một đa tạp vi phân n – chiều

Xét ánh xạ liên tục f : M N Với mỗi cặp bản đồ U ,  trên M (ứng với hệ toạ độ địa phương U ;x ,x , ,x1 2 n) và V ,  (ứng với hệ toạ độ địa phương V ; y , y , ,y1 2 m) tương thích đối với f, tức là f U  Ta xét V

  gọi là biểu diễn địa phương của ánh xạ f trong cặp bản đồ

U ,  , V,  tương thích với f Các hàm thành phần f , f , , f gọi là 1 2 m

các thành phần địa phương của f trong hệ toạ độ địa phương

U ;x ,x , ,x1 2 n

Ta thường đồng nhất f U và  f U 1 Tức là xem f U như là ánh

xạ đi từ   U vào   V với các thành phần f , f , , f :1 2 m   U 

d Ánh xạ khả vi trên các đa tạp vi phân

U ,  , V ,  tương thích đối với f, biểu diễn địa phương f U  f U 1

của f là một ánh xạ khả vi theo nghĩa thông thường từ   U vào   V

Lúc đó các thành phần địa phương f , f , , f :1 2 m   U  của f là

m hàm khả vi n biến thực

Đặc biệt khi M, N đều n – chiều; f song ánh và f , f1 đều khả vi thì ta

bảo f là vi phôi

e Xét trường hợp đặc biệt N  (với cấu trúc vi phân tự nhiên)

Với mỗi cặp x0M và tập U mở trong M ta đặt:

 F x0 : Đại số các hàm khả vi trong lân cận x (0 x0M )

1.2.1.4 Vectơ tiếp xúc – Không gian vectơ – Trường vectơ

Ta bảo c là đường (cong) khả vi trên M nếu bản thân c là ánh xạ khả vi Một vectơ tiếp xúc với c tại x0 c t 0 là một ánh xạ:

b Không gian tiếp xúc

Cho M là đa tạp vi phân n – chiều và x0M là một điểm tuỳ ý

Vectơ tiếp xúc của M tại x là một vectơ tiếp xúc X của một đường 0

cong c nào đó tại x sao cho 0 c t 0  x0 t0 I

Không gian tiếp xúc của M tại x là tập hợp các vectơ tiếp xúc của M 0

Gọi là trường vectơ trên U Khi U = M ta nhận được khái niệm trường vectơ

Nhận xét

Cho   t t – nhóm 1 – tham số các phép biến đổi Với mỗi x M sẽ

(ii) G là đa tạp thực khả vi;

(iii) Phép toán nhóm G G G, x,y xy1 khả vi

Ta không cần chú ý đến lớp khả vi của đa tạp G, vì rằng theo định lý Gleason – Montgomery – Zippin, trên mọi nhóm Lie lớp C (tức là đa tạp 0

tôpô) có thể đưa vào cấu trúc đa tạp lớp C tương thích với cấu trúc nhóm

Nhóm Lie G được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán

Số chiều của nhóm Lie G chính là số chiều của đa tạp khả vi G

Vì nhóm Lie vừa có cấu trúc nhóm, vừa là đa tạp khả vi nên ta có thể đưa nhiều công cụ của đại số, giải tích, tôpô, hình học vi phân, … để nghiên cứu cấu trúc của nhóm Lie

1.2.2.2 Các ví dụ

a Đường tròn đơn vị S1 với phép toán (.) (có thể xem S1 là tập hợp các

số phức có môđun bằng 1) là một nhóm Lie giao hoán

b Tập hợp GL n,  các ma trận vuông cấp n không suy biến với phép toán nhân ma trận cũng là một nhóm Lie (không giao hoán khi n2) Đặc biệt, khi n=1 thì GL , 1  *

c Nếu G ,G , ,G1 2 m là những nhóm Lie thì G G G 1 2  G mlà một nhóm Lie nếu ta cho nó cấu trúc nhóm tích và cấu trúc đa tạp vi phân tích của các cấu trúc G , và ta nói rằng G là nhóm Lie tích của các G i

d Nhóm các phép biến đổi affine của đường thẳng thực với tôpô tự nhiên chính là một nhóm Lie Nhóm này được kí hiệu là aff Cụ thể nhóm aff =  a,b / a * ,b 

1.3 Liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie

1.3.1 Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho

Cho G là một nhóm Lie Ta ký hiệu T G e là không gian tiếp xúc của G tại điểm đơn vị e G Không gian này thường được kí hiệu là G Khi đó G

trở thành một đại số Lie với móc Lie được xác định bởi toán tử như sau:

Tức là: X ,Y f  X Yf Y Xf ,  X,  Y  G, f C G

Trong đó C G là đại số các hàm trơn trên G nhận giá trị thực

Như vậy, mỗi nhóm G sẽ xác định duy nhất một đại số Lie G và G

được gọi là đại số Lie của G (nói cách khác G được gọi là đại số Lie tương ứng với G)

Ngoài cách định nghĩa trên, ta còn có thể xem đại số G như là đại số

Lie con các trường vectơ bất biến trái trên G Cách xây dựng đại số G như sau:

Gọi X(G) là đại số Lie các trường vectơ khả vi trên G Khi đó

phôi trên G, đồng thời cảm sinh thành các ánh xạ

Gọi G = {XX(G)/ X là trường vectơ bất biến trái}, thì G là đại số Lie

con của X(G) và gọi là đại số Lie của nhóm Lie G Đôi khi ta ký hiệu là

G =Lie(G)

Các ví dụ

Ví dụ 1: Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G = ( ,+) là G = Lie(G) =

Ví dụ 2: Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G = ( *, ) là G = Lie(G) =

Ví dụ 3: Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G = GL(n, ) là

G = Lie(G) = Mat(n, )

1.3.2 Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie

Với cách xây dựng như trên thì ta thấy, mỗi nhóm Lie sẽ xác định một đại số Lie duy nhất Ngược lại thì ta có định lý sau:

Định lý

a Cho G là đại số Lie thực bất kì Khi đó luôn tồn tại duy nhất nhóm Lie liên thông đơn liên G sao cho đại số Lie của G chính là G

b Nếu G là một nhóm Lie liên thông nhận G làm đại số Lie thì tồn tại

nhóm con chuẩn tắc rời rạc D của G sao cho G G D

Nhóm Lie G được gọi là giải được (tương ứng, luỹ linh) nếu đại số Lie G

của nó là giải được (tương ứng, luỹ linh)

Định lý (về tính chất của ánh xạ exp)

(i) Ánh xạ exp là vi phôi địa phương

(ii) Ánh xạ exp có tính chất tự nhiên Tức là biểu đồ sau đây giao hoán

A : gọi là tự đẳng cấu trong của G ứng với g G

Tự đẳng cấu này cảm sinh ánh xạ

là biểu diễn của nhóm Lie G trong G Và được gọi là biểu diễn đối phụ hợp *

của G trong G hay K– biểu diễn của nhóm Lie G *

Định nghĩa 1.3.4.2 Mỗi quỹ đạo của K– biểu diễn gọi là K– quỹ đạo của G

Vì thế, với mỗi F *, : K F/ g G  g  

F

qua F Số chiều mỗi K – quỹ đạo của một nhóm Lie tùy ý luôn là một số chẵn

1.3.5 Các MD – nhóm và MD – đại số

Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được, G là đại số Lie của G

Định nghĩa

Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD – nhóm nếu các K – quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại Trường hợp

số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính

chất MD hay còn gọi là MD – nhóm Đại số Lie thực giải được G ứng với

MD – nhóm (tương ứng MD – nhóm) được gọi là MD – đại số (tương ứng

MD – đại số)

Thuật ngữ MD – nhóm, MD – đại số được dùng lần đầu tiên bởi Đỗ

Ngọc Diệp năm 1980 Ngay sau đó, lớp các MD – đại số và MD – đại số đã

được Vương Mạnh Sơn và Hồ Hữu Việt xét năm 1982 Hồ Hữu Việt đã phân

loại triệt để lớp MD – đại số; Vương Mạnh Sơn đã đưa ra một điều kiện cần

để một đại số Lie thực giải được là MD – đại số

Mệnh đề

Giả sử G là một MD – đại số Khi đó G 2     G, G G, G là một đại số , con giao hoán trong G

Chương 2 THUẬT TOÁN TÍNH CÁC BẤT BIẾN CỦA CÁC ĐẠI SỐ

LIE BẰNG PHƯƠNG PHÁP THAY ĐỔI HỆ TOẠ ĐỘ

Trong chương này chúng tôi giới thiệu một thuật toán được các nhà

toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đã nghiên cứu để

tính toán các bất biến của các đại số Lie Thuật toán này sử dụng phương pháp thay đổi hệ tọa độ Cartan và kiến thức về nhóm phép tự đẳng cấu trong của mỗi đại số Lie Đặc biệt, thuật toán này được ứng dụng để tính toán các bất biến của đại số Lie thực có số chiều thấp Nhưng trước hết, chúng ta sẽ tìm hiểu thế nào là các bất biến của một đại số Lie?

2.1 Khái niệm về các bất biến của đại số Lie

Xét đại số Lie G có số chiều dim G = n < trên trường hoặc và

G là nhóm Lie liên thông tương ứng Ở đây ta chỉ xét trong trường hợp đại số Lie thực

Bất kỳ cơ sở (cố định) e 1 , e 2 , …, e n của G cũng đều thỏa mãn các hệ

thức [e ,e ] = i j c e ij k k , trong đó c là các thành phần tensor của các hằng số ij k

cấu trúc của G trong cơ sở đã chọn, với 1  i j n, 1 k n

Xét không gian đối ngẫu G* của không gian vectơ G Nhắc lại rằng

ánh xạ K = Ad : G * GL( G * )

g  Ad f, a * g    f, Ad a , f g -1    G * , a G

gọi là biểu diễn đối phụ hợp của nhóm Lie G; ở đây Ad: G GL( G ) là biểu