KHẢO SÁT MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ XUÂN ANH KHẢO SÁT MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHU

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ XUÂN ANH

KHẢO SÁT MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH

PARABOLIC PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ : 1.01.01

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

12 -1997

Nguyễn Thị Xuân Anh

Ban Toán - Tin học, Trường Đại học Đại cương TP.Hồ Chí Minh

LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI :

HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VÀN THẠC SỸ TOÁN HỌC

TRƯỜNG ĐAI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LỜI CẢM ƠN

Lời đ ầu tiên, tôi xi n đư ợc g ởi đ ến Thầy PTS Nguyễn Thành Long, Ban Toán

- Tin học, trường Đại học Đại cương Thành phố Hồ Chí Minh, ngư ời đã t ận t ình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn lòng biết

ơn chân thành và sâu sắc nhất

Xin chân t hành c ả m ơn các Quý T h ầ y :

PGS TS Trần Hữu Bổng, PTS Nguyễn Bích Huy, PTS Lê Hoàn Hoa, Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, PTS Nguyên Đình Huy, Ban Toán - Tin học, trường Đại học Đại cương Thành phố Hồ Chí Minh đã đọ c và đó ng góp nhi ều ý ki ến quý giá cho b ản l uận văn này

Xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các Quý Thầy, Cô thuộc Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt và chỉ bảo cho tôi những kiến thức quý giá trong suốt thời gian học tại Trường

Xin chân t hành c ả m ơn các Quỷ Thầy, Cô tr ong Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, các Quý Thầy, Cô trong Phòng Nghiên cứu Khoa học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình gi úp đ ỡ và t ạo mọi đi ều ki ện thu ận l ợi để tôi có thể họ c t ập và hoàn t hành lu ậ n văn này

Xin chân t hành c ả m ơn các Thầy PGS TS Đỗ Công Khanh, PGS PTS Võ Đăng Thảo cùng các Thầy, Cô và các Bạn trong Ban Toán - Tin học trường Đại học Đại cương Thành phố Hồ Chí Minh đã quan tâm và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học t ập

Chân thành cả m ơn s ự quan lâm, giúp đ ỡ của các Bạn cùng lớp Cao học Toán 4A trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Cuối cùng xin g ởi đến Gia đình tôi, những ngư ời l uôn đ ộng vi ên và t ạo mọi đi ều ki ện cho t ôi trong s u ốt quá trì nh họ c t ập và làm vi ệc lời cả m ơn thân thương nhất

Một lần nữa, tôi xin đư ợc g ởi lời cảm ơn chân t hành đ ến các Quý Th ầy,

Cô, B ạn hữu và Gi a đình đã giúp tôi hoàn thành b ản lu ận văn này

Thành ph ố Hồ C hí Minh, tháng 12 năm 1997

Nguyễn Thị Xuân Anh

CHƯƠNG I: PHẦN MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG II: CÁC KHÔNG GIAN HÀM 4

CHƯƠNG III: KHẢO SÁT BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN T – TUẦN HOÀN 8

III.1 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN 9

III.2 SỰ TÙY THUỘC LIÊN TỤC CỦA LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN ĐỐI 19

VỚI CÁC HÀM a(t),h(t).f(r,t) VÀ HẰNG SỐ ũ0 19

III.3 THUẬT GIẢI TÌM LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN 21

CHƯƠNG IV: KHẢO SÁT BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN ĐẦU 25

IV 1 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT LỜI GIẢI 25

IV.2 LỜI GIẢI BÀI TOÁN DỪNG: 36

VI.3 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA u(r,t) KHI t +∞ 40

CHƯƠNG V PHẦN KẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

Phần mở đầu

CHƯƠNG I: PHẦN MỞ ĐẦU

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và các tính chất liên quan đến lời giải của phương trình parabolic phi tuyến chứa toán tử Bessel thuộc dạng :

(1.1)

liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất : (1.2)

và kèm theo điều kiện đầu :

u(r,t) là nhiệt độ tại mọi điểm trên mặt cầu

tại thời điểm t với r < l , 0 < t < T a(t) xuất hiện trong phương trình (1.1) là hệ số truyền nhiệt, f(r,t) - F(u) là nguồn nhiệt

Điều kiện biên (1.2) trên mặt cầu đơn vị S1 mô tả sự trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài, mà môi trường bên ngoài (bên ngoài quả cầu đơn vị) có nhiệt độ cố định

Sau đó, Lauerova trong [3] đã chứng minh sự tồn tại của một lời giải yếu T-tuần hoàn của bài toán (1.2), (1.5) với ũ0 = 0

Để xét trường hợp phi tuyến, N.T.Long và Alain Phạm trong [5] đã nghiên cứu bài toán:

(1.6)

liên kết với điều kiện biên (1.2), (1.4) với ũ0 = 0 Trong trường hợp ũ0 = 0 ,

đủ nhỏ, các tác giả trong [5] đã chứng minh bài toán (1.2), (1.4), (1.6) có duy nhất một lời giải yếu T-tuần hoàn trong các không gian hàm Sobolev có trọng lượng thích hợp Hơn nữa, lời giải thu được phụ thuộc liên tục vào các hàm a(t) và h(t) [5]

Trong luận văn này chúng tôi khảo sát hai bài toán (1.1) - (1.3) và (1.1), (1.2), (1.4) và các tính chất liên quan đến các lời giải của các bài toán này

Trong luận văn chúng tôi chia làm một số chương mục sau :

 Chương 1 là phần mở đầu, chúng tôi giới thiệu tổng quát về bài toán và sơ nét về một

 Chương 4 : Chúng tôi khảo sát bài toán (1.1) - (1.3) với một số điều kiện trên các hàm

F, f(r,t), a(t), h(t), u0(r) chúng tôi chứng minh bằng phương pháp Galerkin và compact yếu rằng bài toán (1.1) - (1.3) có duy nhất một lời giải yếu u(r,t) trên Sau

đó, chúng tôi khảo sát dáng điệu tiệm cận của lời giải u(r,t) khi t  ∞ tùy theo dáng điệu tiệm cận của các hàm a(t), h(t), f(r,t) khi Mạnh hơn nữa, chúng tôi chứng minh rằng tồn tại các hằng số sao cho

(1.7)

Phần mở đầu

Kết quả về tính duy nhất (phần 4.1) của lời giải được thiết lập với công cụ tương tự như [8] là một kết quả không tầm thường

Ngoài kết quả về sự tồn tại u∞(r) (xem [7]) thì kết quả thu được trong chương 4 chưa được công bố ở một nơi nào

• Chương 5 là phần tóm lược các kết quả thu được trong luận văn và kết luận

trong đó u∞(r) là lời giải yếu duy nhất của bài toán dừng sau

(1.8)

CHƯƠNG II: CÁC KHÔNG GIAN HÀM

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kí hiệu, các không gian hàm Sobolev có trọng lượng và các tính chất về các phép nhúng giữa các không gian hàm có liên quan

II 1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM

trong đó là đạo hàm theo nghĩa phân bố Các chuẩn trong H và V sinh ra

bởi các tích vô hướng tương ứng được kí hiệu lần lượt là ||.|| và ||.||v

Khi đó ta có :

Bổ đề 2.1 : V nhúng liên tục và nằm trù mật trong H Chứng minh :

Bổ đề 2.2 : Ta đồng nhất H với H' (đối ngẫu của H) Khi đó ta có

Các hàm không gian

(2.4)

(2.5)

trong đó

Chú thích 2.2 : Ta có thể định nghĩa V nhƣ là đầy đủ hoá của không gian

đối với chuẩn ||.||v (Xem [1]) Do đó, ta chỉ cần chứng minh (2.3)-(2.5) đúng vớ mọi u 

II.2 KHÔNG GIAN HÀM L P (0,T;B), 1 ≤ p ≤ ∞

Cho B là không gian Banach thực đối với chuẩn ‖.‖ B Ta kí hiệu LP(0,T;B), 1≤ p ≤∞

là tập các lớp tương đương chứa hàm : f : (0,T) B đo được sao cho

Hay

Ta trang bi LP(0,T;B) bởi chuẩn :

Khi đó ta có :

Bổ đề 2.5 : (Xem J.L.Lions [4])

là không gian Banach

Cho ba không gian B0 , B1 , B với , B0,B1, là phản xạ, phép nhúng là

Các hàm không gian

Ta trang bị W(0,T) với chuẩn :

Khi đó, W là không gian Banach

Cho Q là tập mở, bị chặn của Rn, G, Gm p(Q), 1< p <∞ sao cho (C là hằng

số độc lập với m), và Gm G a.e trong Q

Khi đó:

Gm  G trong Lp(Q) yếu

Bổ đề 2.8 : (Xem [4])

Cho p : RN RN liên tục thỏa :

Khi đó, tồn tại x0 sao cho thỏa P(x0) = 0

trong đó <.,.> là tích vô hướng trong RN

và ||.|| là chuẩn của RN sinh bởi tích vô hướng tương ứng

CHƯƠNG III: KHẢO SÁT BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN T – TUẦN HOÀN

Trong chương này ta xét bài toán giá trị biên và điều kiện T-tuần hoàn

Cho T > 0 ta thành lập các giả thiết sau:

(H1) ũ0R

(H2) a(t), h(t) là các hàm thực T-tuần hoàn thỏa

i a, h  W1,∞ (0,T) = {a  L∞ (0,T) / a'  L∞ (0,T)};

ii Tồn tại các hằng số a0 > 0, h0 > 0 sao cho : a(t) >a0>0, h(t) >h0>0

(H3) f(r,t) là hàm thực T-tuần hoàn theo t sao cho f  Y

(H4) F : R R liên tục sao cho tồn tại các hằng số 1 < P < 3 , C1> 0, C2 > 0

thỏa :

Lời giải yếu của bài toán (3.1) - (3.3) được thành lập từ bài toán biến phân sau

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

(3.4)

trong đó : A : X  X' là toán tử tuyến tính liên tục xác định bởi: (3.5)

Ta tìm lời giải xấp xỉ của bài toán (3.4), (3.5) theo dạng : (3.7)

trong đó các hàm Cmj(t) , l ≤ j ≤ m , thỏa hệ phương trình vi phân thường phi tuyến :

(3.8)

và thỏa điều kiện T-tuần hoàn :

(3.9)

Bước 2 : Sự tồn tại lời giải của hệ (3.8) (3.9)

Ta xét với m cố định và hệ (3.8) với điều kiện đầu :

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

(3.17)

Từ (3.17) ta suy ra :

(3.18)

Nhân 2 vế của (3.18) với eC3t rồi lấy tích phân theo t, ta đƣợc

Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một số thực R>0 sao cho

(3.23)

Vậy nếu

thì từ (3.23) ta có :

(3.24)

Ta suy ra Tm=T , với mọi m

Gọi là quả cầu đóng tâm O, bán kính R trong không gian m-chiều

sinh bởi w,, w2, , wm với chuẩn ||.||

Xét ánh xạ :

Ta sẽ chứng minh Fm là ánh xạ co

Trước hết, ta coi u0m , và gọi um(t) và vm(t) là hai lời giải của hệ

(3.8) trên [0,T] thỏa lần lượt các điều kiện đầu :

Khi đó thỏa hệ phương trình vi phân sau đây :

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

Từ giả thiết (H4,iii) về tính không giảm của F ta có số hạng thứ 3 của vế trái của (3.27) là không âm và chú ý rằng ‖.‖ ≤ ‖.‖v Do đó, ta có từ (3.27) rằng :

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

Do đó, từ (3.37), (3.38) ta thu đƣợc :

Cuối cùng từ (3.31) và (3.39), ta có :

(3.40)

với C5 là hằng số độc lập với m

Bước 3 : Qua giới hạn

Từ (3.30) - (3.32) và (3.40) ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của {um} cũng kí hiệu là {um}

và tồn tại u thỏ L∞

trong trong trong trong

do đó (3.48) tương đương với

u(0) = u(T)

Hilbert L2(0,T)

Khi đó {qiWj} (i,j=l,2,…….) cũng là cơ sở trực chuẩn của X

Nhân (3.8) với qi(t), rồi lấy tích phân theo t, 0 ≤ t ≤ T , ta được :

Do định lý Riesz-Ficher, ta có thể lấy ra từ {um} một dãy con cũng kí hiệu là {um} sao cho : (3.53) : um u a.e trong QT

Do F liên tục, nên từ (3.53) ta có :

(3.54) F(um)F(u) a.e trong Qt

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

Mặt khác, từ (3.32) và giả thiết (H4,ii) ta có :

Vậy sự tồn tại lời giải được chứng minh Bước 4 : Tính duy nhất lời giải

Giả sử bài toán (3.4), (3.5) tồn tại hai lời giải u1,u2 Ta sẽ chứng minh u1 = u2.Đặt w = u1 -

u2 Khi đó w thỏa :

Lấy v = w trong (3.60) ta thu đƣợc :

Tính duy nhất lời giải đƣợc chứng minh

Tóm lại định lý 3.1 đƣợc chứng minh hoàn tất

Chú thích 3.1 : Dãy xấp xỉ Galerkin {um} xác định bởi bài toán (3.8), (3.9) hội tụ yếu về li theo nghĩa (3.41) - (3.44) thay vì dãy con của nó

Thực vậy, nếu ngƣợc lại, giả sử dãy {um} không hội tụ về u trong L∞(0,T;H) yếu* tức là tồn tại một dãy con của {um} là {umk } và một g L1(0,T;H) sao

cho :

(3.64 ) với mọi k

(3.60)

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

Vì {umk} cũng bị chặn theo nghĩa như (3.30) - (3.32) và (3.40) nên ta lý luận tương tự như quá trình trên là tồn tại một dãy con của {umk} là {umkj} hội tụ

về lời giải u trong L∞(0,T;H) yếu *

Điều này mâu thuẫn với (3.64)

Chú thích 3.2 : Dãy um hội tụ về u trong X mạnh

là lời giải của bài toán (3.4), (3.5) thỏa (3.6) ứng với (a, h, f, ũ0 ) = (ai, fi, ũi), i=1,2

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

(3.89) là dãy Cauchy trong không gian H

(3.90) là dãy Cauchy trong không gian Banach sau :

Qua giới hạn khi từ (3.93) - (3.95) ta suy ra rằng là lời giải của bài

Khi đó, ta có kết quả sau:

Mệnh đề 3.3 : Với các giả thiết (H1) - (H4)

Lời giải um của bài toán T-tuần hoàn (3.8), (3.9) có thể xấp xỉ bằng một dãy hội tụ mạnh trong W nhờ vào bài toán (3.8) với giá trị banđầu um(0) đƣợc xấp xỉ bằng một dãy quy nạp theo nguyên tắc ánh xạ co Hem nữa ta có các đánh giá sai số cho bởi (3.97)

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu

CHƯƠNG IV: KHẢO SÁT BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN ĐẦU

Như trong phần 3.3 của chương III Việc giải bài toán T-tuần hoàn (3.8), (3.9) được dẫn đến

việc giải bài toán điều kiện đầu (3.8), (3.10) Trong chương này ta xét bài toán biên với điều

kiện đầu sau :

Lời giải yếu của bài toán (4.1) - (4.3) được thành lập như sau: Tìm u  X  L∞(0,T;H) sao

cho :

IV 1 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT LỜI GIẢI

Ta thành lập các giả thiết sau

Chứng minh : Ta chia chứng minh làm nhiều bước

Bước 1 : Xấp xỉ Galerkin

Gọi {wj} là cơ sở đếm được của V

Ta tìm lời giải xấp xỉ um(t) dưới dạng:

Từ giả thiết của định lý 4.1 hệ (4.8), (4.9) tồn tại một nghiệm um(t) xác định hầu hết trên 0 ≤ t

≤Tm , 0 < Tm ≤T Ta sẽ bằng các đánh giá tiên nghiệm sau đây để chứng tỏ rằng Tm = T với mọi m

Bước 2 : Đánh giá tiên nghiệm

Nhân (4.8) với Cmj(t) rồi lấy tổng theo j và tích phân theo t và nhờ vào (4.10) ta thu được đánh giá giống như (3.17)

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu

Hai tích phân đầu tiên của vế phải của (4.19) đƣợc đánh giá nhờ vào (2.4) và (4.11) nhƣ sau :

Tổ hợp (4.19) - (4.23) ta thu đƣợc:

(4.23)

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu

trong LP(QT) yếu ; trong L∞(0,T;V) yếu * : trong Y yếu

Sử dụng bổ đề (2.6) về tính compact của J.L.Lions, từ (4.33) (4.34) ta có thể lấy ra từ {um} một dãy con vẫn gọi là {um} sao cho:

(4.35) tum tu trong Y mạnh

Sau đó sử dụng định lý Riesz - Ficher ta có thể lấy ra một dãy con của {um} vẫn kí hiệu là {um} sao cho:

Lý luận giống nhƣ đoạn (3.54) - (3.56) ta thu đƣợc :

Nhân (4.8) với φ C1 ([0,T]), φ(T) = 0, rồi lấy tích phân từng phần theo t ta có:

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu

Nhân (4.40) với ψ  D([0,T]), ψ(T)=0 sau đó tích phân tùng phần theo t ta thu đƣợc:

So sánh (4.39) và (4.41) ta đƣợc

Điều này nghĩa là u(0) = u0

Vậy sự tồn tại lời giải đƣợc chứng minh

Bước 4 : Sự duy nhất của lời giải

Giả sử u, v là hai lời giải yếu của bài toán (4.1) - (4.3) thỏa (4.6) Khi đó w = u - v là lời giải yếu của bài toán

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu

tích phân từng phần trong vế phải của đẳng thức cuối của (4.57) và sau đó sử dụng điều kiện (4.44) cho w(r,t) ta đƣợc:

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu

Lấy t2 = t  (0,T) và t1 < 0 Khi đó vế phải của (4.62) là không Sau đó cho t1 0- ta thu đƣợc :

Chú ý rằng từ tính đơn điệu của F ta có:

Giống nhƣ (3.13) ta có:

Từ (4.63) - (4.64) ta thu đƣợc:

do đó w = 0 tức là u = v

Cuối cùng, định lý 4.1 đƣợc chứng minh hoàn tất

Ta đặt thêm các giả thiết để bài toán (4.1) - (4.3) có lời giải yếu trên 0 < t < ∞ Giả thiết:

Tiếp theo phần này, chúng tôi muốn khảo sát dáng điệu của lời giải u(t) khi

Trước tiên, chúng tôi đặt một số giả thiết về dáng điệu của các dữ kiện a(t), h(t), f(r,t) khi

Trước hết ta xét bài toán dừng sau đây:

IV.2 LỜI GIẢI BÀI TOÁN DỪNG:

Xét bài toán dừng sau:

Tìm hàm sao cho:

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu

(4.69)

Lời giải yêu của bài toán (4.69) đƣợc thành lập từ bài toán biến phân sau đây:

Tìm sao cho, thỏa :

(a) Sử dụng một cơ sở {Wj} của V nhƣ đã dùng ở chứng minh định lý 4.1 Ta tìm lời giải xấp

xỉ Galerkin của (4.70) theo dạng:

(4.76)

Từ giả thiết (H4) và sử dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có P liên tục

Tích vô hướng trong Rm

của P(dm) với dm ta có : (4.77)

là một chuẩn trong Rm của vectơ dm  Rm tương đương với chuẩn

Do đó tồn tại các hằng số C1m > 0, C2m > 0 sao cho:

(4.82)

Vậy từ (4.77) - (4.82) ta thu được:

Ta chú ý rằng