nghiên cứu didactic về pơheps kéo theo và phép tương đương trong dạy học toán thpt

Q2: Khái niệm phép kéo theo, phép tương đương được trình bày như thế nào trong chương trình và sách giáo khoa Toán lớp 7 nói riêng và các lớp ở trung học cơ sở nói chung?. - Chương 3: Ng

-

LÂM THỊ NGỌC DUNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh-2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Lương Công Khanh, người đã tận tình chỉ bảo tôi về mặt nghiên cứu khoa học và đã cho tôi những ý kiến đóng góp quý giá giúp tôi hoàn thành luận văn này Xin trân trọng cám ơn: GS Claude Comiti, GS Annie Bessot, GS Alain Birebent, PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PSG.TS Lê Văn Tiến, TS Nguyễn Chí Thành, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung và các quý Thầy Cô đã nhiệt tình và tận tâm khi tham gia giảng dạy lớp cao học chuyên nghành Didacdtic Toán khóa 17

Xin chân thành cám ơn : Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ toán trường trung học chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (thành phố Vĩnh long)

đã giúp đỡ và tạo mọi điểu kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này Xin chân thành cám ơn các bạn cùng lớp Didactic Toán khóa 17 đã luôn chia sẻ với tôi những buồn vui và khó khăn trong suốt thời gian học tập

Cuối cùng, tôi cũng xin chân thành cám ơn gia đình và những người thân thiết của tôi đã luôn động viên và ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua

Lâm Thị Ngọc Dung

II Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Chúng tôi xin được bắt đầu bằng một bài toán hình học trong sách giáo khoa Toán lớp 8 như sau:

“Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,

BC, CD, DA Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành Tìm điều kiện của ABCD để tứ giác MNPQ là:

a/ hình chữ nhật

b/ hình thoi

c/ hình vuông

Chúng tôi ghi nhận được lời giải của một số học sinh lớp 8 sau đây:

“Nếu tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (sau khi đã chứng minh được MNPQ là hình bình hành) thì MN MQ 

Lí luận tương tự, các em cũng kết luận rằng:

“Vậy tứ giác MNPQ là hình thoi thì hai đường chéo AC và BD bằng nhau”

“ Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông thì hai đường chéo AC và BD vừa bằng nhau vừa vuông góc với nhau”

Như vậy, trong lời giải thật ra các em mới tìm được một điều kiện cần trong khi yêu cầu của bài toán là phải tìm điều kiện cần và đủ Nói cách khác, học sinh chỉ mới đưa ra được một điều kiện để MNPQ là hình chữ nhật (tương ứng hình thoi, hình vuông) mà chưa chứng minh được rằng ngoài điều kiện đã

Từ những ghi nhận ban đầu đó, chúng tôi thấy cần thiết phải đặt ra các câu hỏi sau đây:

- Phép kéo theo và phép tương đương được sách giáo khoa đưa vào ở thời điểm nào, bằng cách nào, và nhằm mục đích gì?

- Quan hệ giữa phép kéo theo và phép tương đương được thể hiện như thế nào trong sách giáo khoa?

- Cách trình bày của sách giáo khoa đã ảnh hưởng thế nào đến việc tiếp thu của học sinh? Tri thức này được học sinh vận dụng như thế nào?

- Có những qui tắc nào của hợp đồng didactic về phép kéo theo và phép tương đương đã ảnh hưởng sâu sắc đến việc dạy và học khái niệm này? Nó có tạo những khó khăn cho học sinh khi vận dụng chúng để giải các bài tập cụ thể hay không? Ứng xử của giáo viên trước những “sai lầm” về mặt lôgic như

đã nêu trong phần trên?

III Phạm vi lí thuyết tham chiếu

Để tìm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong lí thuyết didactic toán, cụ thể là :

 Lí thuyết nhân chủng học didactic

 mối quan hệ thể chế , cách tiếp cận sinh thái

 mối quan hệ cá nhân

 các tổ chức toán học

 Khái niệm hợp đồng didactic

IV.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu

Q1: Những đặc trưng khoa học luận nào của khái niệm phép kéo theo, phép tương đương có thể được phân tích và tổng hợp từ các công trình nghiên cứu

đã có? Những kiểu tình huống, những kiểu bài toán nào làm cho phép kéo theo, phép tương đương được xuất hiện? Những đối tượng toán học nào có ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển khái niệm này?

Q2: Khái niệm phép kéo theo, phép tương đương được trình bày như thế nào trong chương trình và sách giáo khoa Toán lớp 7 nói riêng và các lớp ở trung học cơ sở nói chung? Những dạng bài tập nào được sách giáo khoa, sách bài tập ưu tiên đưa ra trong hệ thống bài tập mà ở đó phép kéo theo, phép tương đương có khả năng vận hành tốt nhất?

Q3: Cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm này của học sinh? Đâu là những chướng ngại của học sinh khi học khái niệm này?

Q4: Những qui tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên

và học sinh trong quá trình dạy- học khái niệm này?

V Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài này là đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã nêu ra ở trên

Để làm được điều đó, chúng tôi tiến hành các nghiên cứu sau đây:

- Phân tích, tổng hợp các tài liệu hoặc các công trình đã được công bố

về lịch sử toán học hay về khoa học luận để làm rõ nghĩa của phép kéo theo, phép tương đương Kết quả này sẽ là câu trả lời cho câu hỏi Q1 và là cơ sở tham chiếu cho mối quan hệ thể chế nghiên cứu ở phần sau

tổ chức toán học có liên quan đến khái niệm phép kéo theo, phép tương đương để làm rõ các câu hỏi Q2, Q3, Q4 Từ đó, có thể đưa ra các giả thuyết nghiên cứu

- Triển khai một thực nghiệm để kiểm chứng về tính thỏa đáng của các giả thuyết nghiên cứu nêu ra ở trên và làm rõ ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế của khái niệm này lên mối quan hệ cá nhân của học sinh

VI Tổ chức của luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm có bốn chương:

- Mở đầu: những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

- Chương 1: Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm phép kéo

theo, phép tương đương

- Chương 2: Nghiên cứu khoa học luận về các khái niệm phép kéo

theo, phép tương đương

- Chương 3: Nghiên cứu sự vận hành của phép kéo theo, phép tương

đương trong việc giải một số bài toán hình học tiêu biểu và trong việc giải các phương trình có chứa căn, các phương trình có chứa ẩn ở mẫu và các bài toán có tham số

- Chương 4: Thực nghiệm để kiểm tra rính thỏa đáng của các giả thuyết nghiên cứu đã nêu ở trên

- Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3, 4 và nêu một số hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn

Chương 1

Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với các khái niệm

phép kéo theo, phép tương đương

Chương này phân tích chương trình hiện hành, sách giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập Toán các lớp 7, 8, 9 để làm rõ mối quan hệ thể chế với các khái

niệm phép kéo theo, phép tương đương và những điều kiện, ràng buộc của thể chế

đối với các khái niệm này Trong khi phân tích, chúng tôi xem sách giáo viên không những là văn bản chính thức giải thích cho chương trình và sách giáo khoa mà còn

là tài liệu cơ bản có ảnh hưởng lớn đến việc thực hành giảng dạy của giáo viên trong lớp học

1.1 Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán trung học cơ sở

Chương trình Toán trung học cơ sở không đưa vào các khái niệm Phép kéo theo, phép tương đương như là hai đối tượng tri thức với đầy đủ tên gọi và định

nghĩa của chúng Việc này được thực hiện trễ hơn ở trung học phổ thông Tuy

nhiên, một số yếu tố liên quan đến phép kéo theo, phép tương đương được đưa dần

vào chương trình trung học cơ sở, bắt đầu từ phân môn Hình học lớp 7 Tại sao chương trình lại chọn Hình học thay vì Đại số, chọn lớp 7 thay vì một lớp khác để

đưa vào phép kéo theo, phép tương đương? Chúng tôi sẽ phân tích sự lựa chọn này

trong phần sau

1.1.1.Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán 7

Tiến độ thực hiện chương trình Toán 7 được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định như sau:

2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết

1tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết

tiết

1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết

3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết

Cả năm (148 tiết)

4 tiết x 37 tuần = 148 tiết

Đại số (74 tiết) Hình học (74 tiết)

Định lí - bài đầu tiên liên quan đến phép kéo theo - được xếp cuối chương I

(Đường thẳng vuông góc Đường thẳng song song) của phân môn Hình học, rơi vào tiết 12, tuần thứ 6 của học kỳ 1 Mục tiêu về kiến thức, kỹ năng cơ bản, tư duy của bài học là “biết cấu trúc của một định lí (giả thiết, kết luận), biết thế nào là chứng minh một định lí, biết đưa một định lí về dạng ‘Nếu thì ’, làm quen với mệnh đề

lôgic p  q” [2, tr 102]

Trong chương II (Tam giác), thông qua việc giới thiệu định lí Py-ta-go và

định lí Py-ta-go đảo, chương trình đưa vào các thuật ngữ định lí thuận, định lí đảo

nhằm “giúp học sinh biết quan hệ thuận, đảo của hai mệnh đề và hiểu rằng có những định lí không có định lí đảo” [2, tr.133] Đa số định lí trong chương II được thừa nhận trong khi hầu hết các định lí trong chương III (Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác Các đường đồng quy trong tam giác) được chứng minh để học sinh quen dần với phép chứng minh toán học Tuy nhiên, chứng minh phản chứng và một số chứng minh phức tạp không được đưa vào chương trình Như vậy, chương trình Toán 7 chưa sử dụng phép chứng minh phản chứng như là một kỹ thuật để giải quyết cho kiểu nhiệm vu “Chứng minh một mệnh đề toán học” Có sự thiếu vắng yếu tố công nghệ nào khiến kỹ thuật này không thể vận hành? Điều này ảnh hưởng thế nào đến các bài toán chứng minh trong phần bài tập? Chúng tôi sẽ cố gắng trả lời câu hỏi này khi phân tích sách giáo khoa

Tóm lại, thông qua các khái niệm định lí, định lí thuận, định lí đảo, chương trình Toán 7 tìm cách đưa vào một số yếu tố ban đầu của phép kéo

theo, phép tương đương trong điều kiện không đề cập đến các thuật ngữ liên

quan Sự xuất hiện của các khái niệm này tạo ra một yếu tố công nghệ mới giúp nosphere tạo ra sự nối khớp giữa hình học trực quan của hình học lớp 6

và hình học suy diễn của hình học lớp 7, giúp học sinh rèn luyện năng lực tư duy Còn tại sao nosphere lại lựa chọn cách tiếp cận thông qua chương trình hình

học mà không phải là đại số? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi bắt buộc phải quan tâm đến đặc trưng khoa học luận của các khái niệm này

1.1.2.1 Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán 8

Tiến độ thực hiện chương trình Toán 8 được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định như sau:

2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết

1 tiết x 4 tuần cuối = 4tiết

2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết

3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết

Cả năm (148 tiết)

4 tiết x 37 tuần = 148 tiết Đại số (74 tiết) Hình học (74 tiết)

Phần hình học, trong chương I: Tứ giác, mục tiêu của chương là “ rèn luyện kỹ

năng lậpluận và chứng minh hình học do đó, hầu hết các định lí trong chương được chứng minh hoặc gợi ý chứng minh” [4, tr.93]

Trong chương này, chúng tôi còn thấy xuất hiện một kiểu nhiệm vụ mới” dựng hình” thông qua cấu trúc logic của bài toán dựng hình:” Dựng hình H có tính chất

 ”như sau:

- Phân tích: Chứng tỏ rằng nếu hình H có tính chất  thì hình H có tính chất



- Cách dựng: Dựng hình K có tính chất  (theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản)

- Chứng minh: Chứng tỏ rằng hình K có tính chất  ( K ≡ H )

- Biện luận: Xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra của bài toán

Trong đó, sách giáo viên có nêu rõ “phân tích là điều kiện cần (đảm bảo không dựng thiếu hình), chứng minh là điều kiện đủ (đảm bảo không dựng thừa hình) của

hình phải dựng” Như vậy, thông qua bài toán dựng hình , sách giáo viên có giới

thiệu các thuật ngữ điều kiện cần và điều kiện đủ Chúng tôi đặt câu hỏi có phải

đây là hai phần thuận và đảo của một vấn đề mà giáo viên cần phải làm rõ khi dạy học khái niệm này?.Việc “giảm tải” cho học sinh trình bày phần phân tích và biện luận trong bài làm nói lên mối ràng buộc nào của thể chế khi dạy học khái niệm này? (có phài là hình luôn dựng được và khi đó, chỉ có một nghiệm hình…) Những câu hỏi này là những định hướng cho chúng tôi khi đi vào phân tích sách giáo khoa hình học lớp 8

Sự xuất hiện của định lí Thales thuận , định lí Thales đảo trong chương II :Tam giác đồng dạng, cùng với ghi nhận trong sách giáo viên “Chỉ cần cho học

sinh tiếp cận với định lí bằng cách nhận xét trên hình vẽ rồi rút ra các cặp tỉ số bằng nhau, rồi cho học sinh thừa nhận định lí vì cách chứng minh dài dòng và phức tạp… Đây không phải là chứng minh định lí mà chỉ cho học sinh tiếp cận dần với định

lí.” [4, tr.67-69] cho phép chúng tôi kết luận kỹ thuật chứng minh bằng phản

chứng vẫn chưa được sử dụng ở năm lớp 8 Như vậy, phải chăng trong chương

trình lớp 8, nosphere vẫn chưa giới thiệu yếu tố công nghệ cho phép kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng xuất hiện và vận hành cùng với kỹ thuật chứng minh trực tiếp đã giới thiệu ở năm lớp 7?

Chuyển sang phần đại số, “Trong chương trình, có nêu định nghĩa hai phương trình, bất phương trình tương đương nhưng không đưa vào các định lí về

các phép biến đổi tương đương mà chỉ giới thiệu các phép biến đổi tương đương

một số dạng phương trình cụ thể “Lần đầu tiên, kí hiệu “” được sử dụng để chỉ

sự tương đương của hai phương trình, bất phương trình Giáo viên cần lưu ý cho

học sinh không dùng kí hiệu này một cách tùy tiện: “Biết dùng đúng chỗ, đúng lúc

kí hiệu “” [4, tr.3, tr.53]

Như vậy, cùng với khái niệm phương trình, bất phương trình tương đương,

học sinh còn được tiếp cận với phép biến đổi tương đương và kí hiệu”” được

xem là hai công cụ chủ yếu của kỹ thuật giải các phương trình trong đại số Đến đây, chúng tôi đặt ra câu hỏi: có những ràng buộc nào của thể chế được đặt ra ở đây, khi sách giáo viên không đưa vào đầy đủ yếu tố công nghệ để biện minh cho kỹ

thuật giải phương trình, bất phương trình? mà vẫn đảm bảo kỹ thuật này vận hành tốt nhất?

Việc đề nghị giáo viên lưu ý học sinh sử dụng kí hiệu ”” này một cách hết sức cẩn trọng phải chăng là lưu ý có một quy tắc hợp đồng ngầm ẩn nào đó, giữa giáo viên và học sinh khi dạy học khái niệm này? Đây là những câu hỏi giúp chúng tôi định hướng khi phân tích chương trình lớp 8

1.1.3.Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán 9

Tiến độ thực hiện chương trình Toán 9 được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định như sau:

2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết

1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết

2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết

3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết

Cả năm (148 tiết)

4 tiết x 37 tuần = 148 tiết

Đại số (74 tiết) Hình học (74 tiết)

Về kỹ năng, “ yêu cầu về chứng minh định lí được nâng cao hơn so với các lớp dưới, nhiều định lí được chứng minh đầy đủ” [6, tr.121]

Giải thích cho nhận định trên, chúng tôi ghi nhận so với chương trình lớp 8, chương trình lớp 9 có mật độ xuất hiện các định lí thuận và định lí đảo dày đặc hơn Một vài

chứng minh, sách giáo khoa có trình bày bằng phương pháp phản chứng (ở

chương II: Đường tròn , bài vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn,

cách xác định đường tròn…) mà không thừa nhận như ở lớp 7 và lớp 8.Như vậy,

sách giáo khoa đã bổ sung yếu tố công nghệ nào để kỹ thuật nảy có thể vận hành?

Nó được trình bày ra sao? câu hỏi này sẽ được chúng tôi trả lời khi phân tích sách giáo khoa

Chương III: Góc với đường tròn, ở bài cung chứa góc , học sinh tiếp cận

với bài toán quỹ tích thông qua bài toán quỹ tích “ cung chứa góc”.Sách giáo viên

có đề nghị lời giải một bài toán quỹ tích bao gồm phần thuận, phần đảo và kết luận

Thuật ngữ “điều kiện ắt có và điều kiện đủ” được giới thiệu trong Sách giáo viên

ở bài tứ giác nội tiếp nhằm giới thiệu cho học sinh điều kiện để tứ giác nội tiếp

(điều kiện ắt có và điều kiện đủ) Tuy nhiên,” sách giáo khoa chưa sử dụng cụm từ

“điều kiện ắt có và đủ” [6, tr.106]

Như vậy, trong chương trình lớp 9

- Có xuất hiện thêm các thuật ngữ mới điều kiện ắt có và điều kiện đủ

- Kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng được đưa vào giảng dạy cho

học sinh

Qua phân tích chương trình các lớp 7, 8, 9, chúng tôi nhận thấy so với chương trình trung học phổ thông, khái niệm phép kéo theo và phép tương đương được đưa vào một cách không đầy đủ , nhiều tính chất, đặc trưng quan trọng của phép kéo theo và phép tương đương cũng không được nêu rõ ràng trong cả sách giáo viên và sách giáo khoa Chính sự thiếu vắng các yếu tố công nghệ- lí thuyết này đã làm hạn chế nhiều việc giảng dạy khái niệm này ở trung học cơ sở

Nhằm có thể tìm kiếm câu trả lời cho một loạt các câu hỏi đã nêu ra và minh chứng cho những điều ghi nhận ở trên chúng tôi xin được đi vào phân tích sách giáo khoa

1.2 Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa

1.2.1 Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Toán 7

Ở chương I: Đường thẳng vuông góc- Đường thẳng song song, bài Định

lí, sách giáo khoa Toán 7, tập 1, tr99-100, có ghi:

Định lí

- Tính chất “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” được khẳng định là đúng không phải bằng đo trực tiếp mà bằng suy luận Một tính chất như thế là một định

lí Ta có thể hiểu: Định lí là một khẳng định suy ra từ những khẳng định được coi là đúng

- Khi định lí được phát biểu dưới dạng “Nếu … thì …”, phần nằm giữa từ

“Nếu” và từ “thì” là phần giả thiết (GT), phần sau từ “thì” là phần kết luận (KL)

Chứng minh định lí

Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận

Sau đó, , sách giáo khoa giới thiệu chứng minh một định lí

Ví dụ: Chứng minh định lí:

Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông

Giải (h.35)

Om là tia phân giác của xOz

On là tia phân giác của zOy

“ chứng minh một mệnh đề là :

-nêu các bước, mỗi bước gồm một khẳng định và căn cứ của khẳng định đó,

- nối chúng lại bằng các liên từ :…ta có, vì… nên, suy ra…”

Qua phần trình bày của sách giáo khoa, phép kéo theo được giới thiệu

thông qua định lí được viết dưới dạng “ Nếu … thì…” và học sinh ghi nhận thông qua các ví dụ cụ thể Một chú ý là sách giáo khoa không giới thiệu kí hiệu

“” khi nói về phép kéo theo nhưng trong các phần chứng minh về sau thì kí hiệu

này được sử dụng rất phổ biến, nhằm tạo ra sự nối khớp giữa các suy luận trong chứng minh Phải chăng sách giáo khoa ngầm quy ước việc giới thiệu kí hiệu này thuộc về trách nhiệm của giáo viên?

Chương II: Tam giác, trước bài Định lí Py- ta- go, trong phần bài đọc

thêm, tr 128, sách giáo khoa có ghi:

GT và KL của định lí 1 và dịnh lí 2 ở tr 126 có thể viết như sau:

Ta thấy, là GT của định lí 2 nhưng là KL của định lí 1.AB=AC là KL của định lí 2 nhưng là GT của định lí 1 Nếu gọi định lí 1 là định lí thuận thì định lí 2 là định lí đảo

C

Bˆ  ˆ

Ta có thể viết gộp hai định lí 1 và 2 như sau:

Với mọi ABC: AB=AC Bˆ Cˆ

Kí hiệu “” đọc là khi và chỉ khi

Nếu có XY và có YX thì ta có thể viết XY

Sau đó, sách giáo khoa có đưa một số ví dụ về định lí thuận và định lí đảo

Ví dụ: xét hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ ba

Định lí thuận: Nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song

Định lí đảo: Nếu hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau

Chú ý rằng không phải định lí nào cũng có định lí đảo

Chẳng hạn với định lí : Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, câu phát biểu đảo : Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh không đúng, nó không phải là một định lí

Vậy làm thế nào để giải thích cho nhận định « Hai góc bằng nhau thì đối

đỉnh » là không đúng, sách giáo viên có ghi rõ : « Để chứng tỏ một mệnh đề toán học là sai, ta bác bỏ nó Cách bác bỏ thông dụng là dùng phản ví dụ, là một tình huống thỏa mãn giả thiết nhưng không thỏa mãn kết luận ».[1, tr 103]

Qua phần trình bày trên, sách giáo khoa đã cho HS tiếp cận với một tính chất

quan trọng của phép kéo theo, là không có tính giao hoán đồng thời giới thiệu

cho học sinh một kỹ thuật giải quyết cho kiểu nhiệm vụ « Giải thích một mệnh

đề toán học là sai » bằng bác bỏ thông qua phản ví dụ

Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu Bài Định lí Py- ta- go cho HS bao gồm

định lí Py- ta- go và định lí Py- ta- go đảo

Định lí Py- ta- go được giới thiệu thông qua hai hoạt động :

- HĐ 1 : Vẽ một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 3cm và 4cm Đo

độ dài cạnh huyền

- HĐ 2 : Gấp hình để rút ra nhận xét về quan hệ giữa c2, a2 + b2

Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu định lí Py- ta- go :

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình

phương của hai cạnh góc vuông

Định lí Py- ta- go đảo được giới thiệu thông qua hoạt động

HĐ : Vẽ tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm Hãy dùng thước đo góc để xác định số đo của góc BAC

Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu định lí Py- ta- go đảo :

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông

∆ABC ,BC 2 = AB 2 + BC 2  ∆ABC vuông tại A

Như vậy, phép tương đương được tiếp cận trong sach1 giáo khoa lớp 7 thông qua định lí thuận và định lí đảo, được giới thiệu cho học sinh bằng các ví

dụ cụ thể và được kí hiệu bằng dấu «”

Ở chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng

quy trong tam giác, ở bài Tính chất tia phân giác của một góc có giới thiệu hai

định lí sau:

Định lí 1 (định lí thuận)

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó Chứng minh: (h 29)

hình 29

Hai tam giác vuông MOA và MOB có:

- Cạnh huyền OM chung,

- MÔA = MÔB (theo giả thiết)

Do đó, ∆MOA = ∆MOB (cạnh huyền, góc nhọn), suy ra MA = MB

- Kẻ tia OM

- Chứng minh hai tam giác MOA và MOB bằng nhau

Từ đó suy ra MÔA = MÔB hay OM là tia phân giác của góc xOy

Nhận xét: Từ định lí 1 và định lí 2, ta có: Tập hợp các điểm nằm bên trong một

góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó

Sau đó, sách bài tập lớp 7 có đưa vào bài toán “ Cho hai đường thẳng AB và CD

cắt nhau tại O Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng AB và CD” [10,

tr.29]

Như vậy, ở lớp 7, chúng tôi ghi nhận có một kiểu nhiệm vụ mới xuất hiện có

liên quan đến định lí thuận và định lí đảo Đó là kiểu nhiệm vụ”Tìm tập hợp các

điểm có tính chất nào đó” mà kỹ thuật để giải quyết là chứng minh hai phần

thuận và đảo, như minh họa của sách giáo khoa

Chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy

trong tam giác, các định lí đảo xuất hiện nhiều hơn so với chương II, và các định lí

này được chứng minh hoặc gợi ý chứng minh.Tuy nhiên, chúng tôi ghi nhận có vài

định lí được thừa nhận mà không chứng minh, ví dụ: định lí:”Trong một tam giác,

cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn” mà ta có thể chứng minh bằng phản

chứng dựa vào định lí 1 và tính chất của tam giác cân Chính việc không đưa vào

khái niệm mệnh đề phản đảo của một mệnh đề và chỉ ra sự tương đương của

mệnh đề và mệnh đề phản đảo của nó, trong chương trình sách giáo khoa lớp 7,

mà phép chứng minh phản chứng đã không thể vận hành

1.2.1 a Bảng thống kê các định lí và định lí đảo được chứng minh hoặc

thừa nhận trong chương II và III, sách giáo khoa hình học 7

Chương Số dịnh lí Số địnhlí đảo Chứng minh Thừa nhận

viên và học sinh có thể tham khảo cách trình bày đó để trình bày lời giải bài toán

chứng minh được gọn gàng và đầy đủ” [2, tr 113] Phần trình bày này, càng làm

rõ quy tắc hợp đồng sau:

“ chứng minh một mệnh đề là :

-nêu các bước, mỗi bước gồm một khẳng định và căn cứ của khẳng định đó,

- nối chúng lại bằng các liên từ (từ…ta có, vì… nên, suy ra…)”

T31 : Vẽ hình ( nêu cách vẽ hình H) là kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T3

« Dựng hình H có tính chất α » mà chúng tôi sẽ phân tích ở chương trình lớp 8

τ31 : Cách dựng : Nêu tuần tự các bước dựng hình và thể hiện các nét dựng trên hình

1.2.1.b Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ của chương II và III trong sách giáo khoa và Sách bài tập lớp 7

2/33 6.06

0

0

4/33 12.12

1/58 1.73

6/33 18.18

6/58 10.34

2/53 3.77

3/43 6.98

3/53 5.67

0

0

2/53 3.77

Như vậy, trong chương trình lớp 7:

- Học sinh tiếp cận với khái niệm phép kéo theo và phép tương đương thông

qua các thuật ngữ định lí, định lí thuận, định lí đảo, hệ quả

- Sách giáo khoa có nói đến một đặc trưng của phép kéo theo là không có tính giao hoán nhưng ngầm ẩn thông qua các định lí không có định lí đảo

- Sách giáo khoa có nói đến hai kỹ thuật chứng minh: chứng minh trực

tiếp( hoặc bác bỏ) và chứng minh bằng phản chứng, nhưng chỉ vận hành kỹ

thuật chứng minh trực tiếp

1.2.2 Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Toán 8

Trong phần hình học, chương I: Tứ giác, có giới thiệu định nghĩa, tính chất

và các dấu hiệu nhận biết các loại tứ giác đặc biệt như: hình thang cân (sau khi giới thiệu hình thang), hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông Vì cách trình bày của SGK khi dạy học các khái niệm này là tương tự nhau nên chúng tôi

chỉ lược trích một bài làm ví dụ để phân tích, chẳng hạn, bài hình vuông.[3,

tr.107-109]

Bài này được giới thiệu ngay sau khi học sinh học xong bài hình chữ nhật và hình thoi

1 Định nghĩa:

Tứ giác ABCD trên hình 104 có và AB = BC = CD = DA là một hình vuông

D C B

D C B

Aˆ ˆ ˆ ˆ

Tứ giác ABCD là hình vuông

Từ định nghĩa hình vuông, ta suy ra:

- Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau

- Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông

Như vậy, hình vuông vừa là hình chữ nhật , vừa là hình thoi

Xuất phát từ nhận xét trên, SGK suy ra tính chất của hình vuông

2.Tính chất

Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi

Như vậy, các dấu hiệu nhận biết một hình vuông cũng chính là dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật và hình thoi mà học sinh đã được giới thiệu trong các bài học trước Cụ thể:

3.Dấu hiệu nhận biết

1 Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông

2 Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông

3 Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông

4 Hình thoi có một góc vuông là hình vuông

5 Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông

Đến đây thì giáo viên có thể đề nghị học sinh tự chứng minh các dấu hiệu nhận biết trên

Cuối cúng, sách giáo khoa có nêu nhận xét sau:

Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông

Tuy nhiên, trong phần bài tập, sách giáo khoa có đưa ra một số bài tập có liên

quan đến việc tìm điều kiện để một tứ giác trở thành tứ giác đặc biệt, ví dụ bài 88,

SGK toán 8, t.1, tr.111

Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA

Các đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD có điều kiện gì thì EFGH là :

a) Hình chữ nhật? b) Hình thoi? c) Hình vuông?

Chúng tôi ghi nhận lời giải sau đây trong SGV toán 8, t.1, tr 153

Học sinh đã được giao về nhà làm bài này Trước hết cho học sinh chứng minh: EFGH là hình bình hành, các cạnh của hình bình hành EFGH song song và bằng nửa các đường chéo của tứ giác ABCD Sau đó, gọi HS trả lời các câu hỏi a), b), c) của bài 88

a) Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật EHEF ACBD (vì EH // BD, EF //AC)

Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau

b) Hình bình hành EFGH là hình thoi EF = EH AC = BD (vì EF =

21

BD AC

Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC và BD bằng nhau và vuông góc với nhau

Qua phần trình bày của sách giáo viên, chúng tôi ghi nhận lời giải mong đợi

là học sinh tìm được điều kiện cần và đủ (sách giáo viên sử dụng kí hiệu “”) để

hình bình hành EFGH trở thành các tứ giác đặc biệt như hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông Tuy nhiên, trong phần bài học, chúng tôi không tìm thấy thuật ngữ này được đưa vào và sử dụng trong sách giáo khoa Phải chăng có một sự quy ước ngầm

ẩn của sách giáo khoa khi nói về thuật ngữ này “”được hiểu là điều kiện cần và

đủ (hay khi và chỉ khi)?

Tiếp theo, nhằm hệ thống lại các bài toán dựng hình được giới thiệu rải rác trong phần lí thuyết và bài tập ở lớp 6, lớp 7, sách giáo khoa lớp 8 giới thiệu bài

Dựng hình bằng thước và compa Dựng hình thang, SGV Toán 8, t.1, tr.116 có

nêu: “Ở toán dựng hình, những hình cho trước coi là dựng được, việc dựng hình dựa trên các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản.”

Giải bài toán dựng hình là chỉ ra một số hữu hạn các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, rồi chứng tỏ rằng hình dựng được có đủ các tính chất

mà bài toán đòi hỏi.”

Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu bài toán dựng hình thang sau:

- B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD

- B cách A một khoảng 3cm nên nằm trên đường tròn tâm A bán kính 3cm.

Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD

Hình thang ABCD có CD = 4cm, D = 70 0 , AD = 2cm, AB = 3cm nên thỏa mãn yêu cầu của bài toán

d) Biện luận

Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện của đề bài

Thông qua cấu trúc logic của bài toán dựng hình:” Dựng hình H có tính chất

- Biện luận: Xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra của bài toán

Trong đó, sách giáo viên có nêu rõ “phân tích là điều kiện cần (đảm bảo không dựng thiếu hình), chứng minh là điều kiện đủ (đảm bảo không dựng thừa hình) của hình phải dựng”.Tuy nhiên, “theo chương trình quy định, không yêu cầu học sinh viết các phần phân tích và biện luận trong bài làm” [4, tr.113-117]

Như vậy, sách giáo khoa lớp 8 có trình bày một kỹ thuật để giải quyết cho kiểu

nhiệm vụ: T 3 “Dựng hình thỏa tính chất cho trước” mà kỹ thuật τ3 bao gồm hai bước :

- Cách dựng: Nêu tuần tự các bước dựng hình và thể hiện các nét dựng trên

hình vẽ

- Chứng minh: Bằng lập luận chứng tỏ rằng với cách dựng như trên, hình đã

dựng thỏa các điều kiện của đề bài

Chúng tôi ghi nhận: “các bài tập trong sách giáo khoa đều cho độ dài đoạn thẳng và số đo góc bằng số cụ thể để không phải xét nhiều trường hợp sách giáo khoa chỉ giới thiệu một bài (bài tập 34) có hai hình thỏa mãn đề bài để học sinh làm quen với trường hợp hình thỏa mãn đề bài không phải là duy nhất” [4, tr.117 ]

Đây chính là ràng buộc của thể chế để đảm bảo cho kỹ thuật này vận hành tốt nhất

Sau đó, Trong bài Đường thẳng song song với một đường thẳng cho

trước , sau khi giới thiệu định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia

SGK nêu tính chất:

Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song

song với b và cách b một khoảng bằng h [3, tr.101]

Sau đó, sách giáo khoa xét bài toán: “ Xét các tam giác ABC có cạnh BC cố định,

đường cao ứng với cạnh BC luôn bằng 2cm (h.95) Đỉnh A của các tam giác đó nằm

trên đường nào?”, [3, tr.101]

h.95

Từ đó, sách giáo khoa nêu nhận xét : Tập hợp các điểm cách một đường

thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với

đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h

Ở đây chúng tôi ghi nhận có một kiểu nhiệm vụ con T 41: ““ Cho một điểm

chuyển động trên một đường Tìm xem một điểm khác (phụ thuộc vào điểm đó) di

chuyển trên đường nào”, của kiểu nhiệm vụ T4 “chứng minh quỹ tích (tập hợp) các

điểm M thỏa mãn tính chất τ là một hình H nào đó” mà chúng tôi sẽ phân tích trong

sách giáo khoa lớp 9

1.2.2 a Bảng thống kê các định lí và định lí đảo được chứng minh hoặc

thừa nhận trong chương II và III, sách giáo khoa hình học 8

Chương Số dịnh lí Số địnhlí đảo Chứng minh Thừa nhận

H

B

1.2.2 b Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ của chương II và III trong

sách giáo khoa và sách bài tập lớp 8

2/55 3.64

5/131

0

5/55 9.09

2/1311.52

6/55 10.91

22/131 16.67

3/55 5.05

0

0

2/24 8.33

4/36 11.11

0

0

0

0

Vậy trong sách giáo khoa lớp 8,

- HS tiếp cận một cách ngầm ẩn với khái niệm phép kéo theo và phép

tương đương thông qua thuật ngữ điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ (SGV có nói đến nhưng SGK không sử dụng)

- sách giáo khoa có xây dựng các kiểu nhiệm vụ mà kỹ thuật giải quyết là

chứng minh hai phần thuận và đảo

- sách giáo khoa chỉ giới thiệu kỹ thuật chứng minh trực tiếp mà chưa đưa

vào kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng

Chuyển sang phần Đại số, sách giáo khoa lớp 8 có giới thiệu thuật ngữ tương

đương thông qua khái niệm phương trình tương đương, bất phương trình tương

đương và các phép biến đổi tương đương trong chương III: Phương trình bậc

nhất một ẩn và chương IV: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Mục tiêu của chương là ”Học sinh có kỹ năng giải và trình bày lời giải các phương trình, bất phương trình có dạng quy định trong chương trình Biết dùng đúng lúc, đúng chỗ kí hiệu “””.[4, tr.3]

Phương trình tương đương- Bất phương trình tương đương

Ta gọi hai phương trình có cùng tập nghiệm là hai phương trình tương đương với nhau [3, tr.6]

Để chỉ hai phương trình tương đương với nhau, ta dùng kí hiệu “” chẳng hạn:

Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn- Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình dạng ax+b= 0, với a và b là hai số đã cho và a 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn[3, tr.7]

Trong một phương trình , bất phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ

vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó

b Quy tắc nhân với một số

Trong một phương trình , bất phương trình ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai

vế với cùng một số khác không

- giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương

- đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm [3, tr.8, tr.44]

Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn- Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ta thừa nhận rằng: Từ một phương trình , bất phương trình dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được phương trình , bất phương trình mới tương đương với phương trình , bất phương trình đã cho

Ví dụ 1: giải phương trình: 3x-9= 0

Phương pháp giải:

3x-9= 03x= 9 (chuyển -9 sang vế phải và đổi dấu)

x= 3 (chia cả hai vế cho 3)

thể, sách giáo khoa đều ngầm thể hiện ý: biến đổi phương trình , bất phương trình theo các quy tắc này đều giữ nguyên tập nghiệm [3 ,tr 53]

Các tác giả chỉ nêu ra hai phép biến đổi hay dùng và gọi chúng là quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số, đồng thời thừa nhận chúng là các phép biến đổi tương đương Hai quy tắc này được sử dụng trong suốt chương như một công cụ

chủ yếu để giải phương trình , bất phương trình [4 , tr.8]

Ở đây sách giáo khoa có ghi :”chỉ xét các phương trình , bất phương trình mà hai vế

là hai biểu thức hữu tỉ của ẩn và không chứa ẩn ở mẫu Điều đó loại trừ mọi hạn chế khi thực hiện các phép tính đại số đã học để thu gọn các biểu thức có trong

phương trình ”.[4, tr.8 ] Đây chính là ràng buộc của thể chế, yêu cầu GV có

trách nhiệm lựa chọn các phương trình, bất phương trình có dạng quy định

trong chương trình và HS có trách nhiệm giải bằng các sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương đã học

Như vậy,ở đây tồn tại một kiểu nhiệm vụ T: “Giải phương trình hoặc bất

phương trình “ mà kỹ thuật τ để giải phương trình , bất phương trình bậc nhất một

ẩn là phối hợp hai quy tắc biến đổi tương đương: quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân

Như vậy, trong sách giáo khoa lớp 8, học sinh được tiếp cận một cách ngầm

ẩn với phép tương đương theo hai quan điểm :

- trong hình học : thông qua điều kiện cần và đủ

- trong đại số : thông qua định nghĩa hai phương trình (bất phương trình)

tương đương và phép biến đổi tương đương phương trình và bất phương trình

và cùng được biểu đạt thông qua kí hiệu “ ”

Vì cách tiếp cận là ngầm ẩn, nên sách giáo khoa không tập trung làm rõ nghĩa của phép kéo theo và phép tương đương mà chủ yếu là giới thiệu cho học sinh một đặc trưng quan trọng của phép tương đương là trong lí luận (lập luận suy diễn) hoàn toàn có thể thay thế một mệnh đề bằng mệnh đề tương đương với nó Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc chứng minh , trong việc giải các phương trình và bất phương trình

1.3 Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Toán 9

Mục tiêu chung của chương trình vẫn là giúp học sinh phát triển khả năng tư duy logic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình Đến lớp 9, học sinh đã được chuẩn bị kiến thức một cách căn bản từ các lớp 6, 7, 8 Vì vậy cần chú trọng:

- Tăng cường rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng thực hiện các phép biến đổi…

- Tăng cường rèn luyện suy luận, chứng minh

- Mở rộng, đi sâu và hệ thống những kiến thức đã học ở các lớp 6, 7, 8 [6

,tr.9]

Như vậy, khái niệm phép kéo theo và phép tương đương đã được mở rộng,

đi sâu và hệ thống như thế nào để giúp học sinh tăng cường rèn luyện suy luận, chứng minh? Những đặc trưng nào của phép kéo theo và phép tương đương được tiếp tục làm rõ trong sách giáo khoaToán 9? Những đặc trưng này có tạo nên yếu tố

công nghệ- lí thuyết mới để hình thành nên các kỹ thuật chứng minh mà sách giáo khoamuốn rèn luyện cho học sinh ?

Trong chương III: Góc với đường tròn, bài Cung chứa góc có giới thiệu

bài toán quỹ tích “cung chứa góc”[5, tr.83-85]

1 Bài toán quỹ tích “cung chứa góc”

Bài toán: Cho đoạn thẳng AB và góc α (00 < α < 1800) Tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn A ˆ M B= α (Ta cũng nói quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới góc α)

Sách giáo khoa có nêu các hoạt động thực hành giúp học sinh dự đoán quỹ đạo chuyển động của điểm M Theo dự đoán, ta sẽ chứng minh quỹ tích cần tìm là hai cung tròn

M

A

x

h 40

Giả sử M là điểm thỏa mãn A ˆ M B= α và nằm trong nửa mặt phẳng đang xét Xét cung AmB đi qua ba điểm A, M, B

Sau khi chứng minh tâm O của đường tròn chứa cung đó là một điểm cố định (không phụ thuộc vào M) Vậy M thuộc cung tròn AmB cố định

b) Phần đảo:

Lấy điểm M’ thuộc cung tròn AmB (h 41), ta chứng minh được A ' Mˆ B= α

Tương tự, trên nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng đang xét, ta còn có cung AmB đối xứng với cung AmB qua AB cũng có tính chất như cung AmB (h 42)

Mỗi cung trên được gọi là cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng AB, tức là cung

mà với mọi điểm M thuộc cung đó, ta đều có A ˆ M B= α

2 Cách giải bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất τ là một hình

H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất τ đều thuộc hình H

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất τ

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất τ là hình H

Như vậy, đến lớp 9, học sinh được làm quen với một kiểu nhiệm vụ mới T4:

“chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất τ là một hình

H nào đó” mà kỹ thuật τ4 là chứng minh :

- phần thuận: chứng minh điều kiện cần của bài toán

- phần đảo: chứng minh điều kiện đủ của bài toán

công nghệ là θ2: Đặc trưng của phép tương đương

Như vậy, học sinh tiếp cận với phép tương đương một cách ngầm ẩn

thông qua kiểu nhiệm vụ “giải bài toán quỹ tích”.Yếu tố công nghệ được sử dụng để kỹ thuật này được vận hành chính là đặc trưng của phép tương đương

Trong chương II: Đường tròn, ở bài Sự xác định đường tròn Tính chất

đối xứng của đường tròn, khi nêu cách xác định đường tròn:

Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn

Sách giáo khoa lớp 9 có trình bày một chứng minh bằng phản chứng như sau:

Thật vậy, giả sử có đường tròn (O) đi qua ba điểm thẳng hàng A, B, C (h 54)

và d 2 , mâu thuẫn.[5, tr 98]

Ngoài ra, chúng tôi ghi nhận sách giáo khoa còn sử dụng chứng minh phản

chứng trong một vài chứng minh khác, ví dụ: đường thẳng và đường tròn tiếp xúc

nhau

Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a Gọi H là chân đường vuông góc kẻ

từ O đến đường thẳng a, khi đó OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a

Khi đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung C, ta nói đường thẳng

a và đường tròn (O) tiêp xúc nhau Ta còn nói đường thằng a là tiếp tuyến của

đường tròn (O) Điểm C gọi là tiếp điểm

Khi đó, H trùng với C, OC a và OH = R 

Thật vậy, giả sử H không trùng với C, lấy điểm D thuộc đường thẳng a sao

cho H là trung điểm của CD Khi đó, C không trùng với D Vì OH là đường trung

trực của CD nên OC = OD Ta lại có OC = R nên OD = R

Như vậy, ngoài điểm C ta còn có điểm D cũng là điểm chung của đường

thẳng a với đường tròn (O), điều này mâu thuẫn với giả thiết là đường thẳng a và

đường tròn (O) chỉ có một điểm chung

Vậy H phải trùng với C Điều đó chứng tỏ OC a và OH = R [5, tr 108]

1.2.3 a Bảng thống kê các định lí và định lí đảo được chứng minh hoặc

thừa nhận trong chương II và III, sách giáo khoa Toán 9

Chương Số dịnh lí Số địnhlí đảo Chứng minh Thừa nhận

1.2.3.b Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ của chương II và III trong

sách giáo khoa và sách bài tậpToán 9

T 1 T 12 T 2 T 3 T 31 T 4

O

D H

Ca

O

C=Ha

SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT

II 17/20

85

47/5782.46

3/20

15

9/57 15.79

1/44 2.27

5/44 11.36

4/40

10

Như vậy, trong chương trình lớp 9

- Có xuất hiện thêm các thuật ngữ mới điều kiện ắt có và điều kiện đủ

- Kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng được đưa vào giảng dạy cho

học sinh

1.3 Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Pháp

Để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức trong mỗi

hệ thống dạy- học, chúng tôi xin được tiến hành so sánh đối chiếu với sách giáo khoa của Pháp

Sách giáo khoa được chọn phân tích là:

1 Mathématiques 5e, COLLECTION TRIANGLE, 1998, Hatier [a]

2 Mathématiques 4e, COLLECTION TRIANGLE, 1998, Hatier [b]

3 Mathématiques 3e, COLLECTION TRIANGLE, 1998, Hatier [c]

Lí do lựa chọn:

Đây là sách giáo khoa làm căn cứ cho việc soạn thảo sách giáo khoa Toán lớp 7, lớp

8, lớp 9 dùng cho các lớp song ngữ ở Việt Nam

3.1 Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Pháp lớp 7 (5 e )

Bài Lập luận suy diễn

1 Những quy tắc chứng minh toán học [[a], tr.127]

Trong toán học, để nhận biết một phát biểu là đúng hay sai, người ta sử dụng một vài quy tắc:

(1) Một phát biểu toán học thì hoặc là đúng hoặc là sai

(2) Những ví dụ để kiểm chứng cho một phát biểu chưa đủ để chứng minh rằng

Ví dụ: Nếu hai đường thẳng vuông góc thì chúng cắt nhau

Điều kiện của phát biểu trên đây là “ hai đường thẳng vuông góc” còn kết luận của nó là “ chúng cắt nhau”

Mệnh đề đảo của phát biểu trên là:

Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì chúng vuông góc

Phát biểu này là sai

Người ta nhận được mệnh đề đảo của một mệnh đề bằng cách hoán vị điều kiện

và kết luận của phát biểu đó

Chú ý: mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không phải luôn luôn đúng Ví dụ, phát biểu trên đây là đúng nhưng mệnh đảo của nó lại sai

Như vậy, sách giáo khoa có nói đến một đặc trưng của phép kéo theo là không có tính giao hoán, nhưng tiếp cận một cách ngầm ẩn, thông qua các ví dụ

Như vậy, sách giáo khoa trình bày một kỹ thuật bác bỏ một mệnh đề toán

học là sai là tìm một phản ví dụ Đó là một trường hợp thỏa điều kiện nhưng không thỏa kết luận

Như vậy, sách giáo khoa tiếp tục cho học sinh tiếp cận với nghĩa của phép kéo theo là chỉ sai khi mệnh đề kéo theo sai Nhưng cũng hoàn toàn ngầm

ẩn thông qua các ví dụ

Ví dụ: ABC là một tam giác, kẻ đường cao xuất phát từ A, cắt BC tại H Kẻ đường thẳng (d) vuông góc với BC đi qua C

Chứng minh rằng AH và (d) song song

- Ta biết rằng AH vuông góc với BC, theo định nghĩa của đường cao trong tam giác Ta cũng biết rằng, (d) vuông góc với BC (đề bài cho)

- Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song

(tính chất )

- Vậy, AH và (d) song song ( kết luận )

Như vậy trong một luận chứng luôn sử dụng các tính chất.[ [a], tr 92]

3 Chứng minh một phát biểu đại số là đúng

Những ví dụ không cho phép chứng minh những phát biểu đại số là đúng

Để chứng minh một phát biểu đại số là đúng, ta thường sử dụng các phép biến đổi đại số

Nhân kết quả với 3 (x+6) x 3

Trừ đi ba lần số ban đầu (x+6) x 3 -3x

Đơn giản biểu thức này nhờ vào các tính chất của luật phân phối:

( x+6 ) x 3-3x = 18

Như vậy, ta luôn nhận được số 18, với mọi số đã chọn ban đầu

Ngoài ra trong chương 10 : Tam giác, sách giáo khoa có giới thiệu bất đẳng

thức tam giác và các đường đặc biệt trong tam giác như :các đường cao, các đường phân giác, các đường trung trực, nhưng chỉ giới thiệu các định nghĩa mà không đưa vào các tính chất Chỉ đưa vào tính chất của đường trung trực trong tam giác để xây dựng khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác.Sau đó, sách giáo khoa có giới thiệu cách vẽ tam giác nếu biết :

- hai cạnh và một góc xen giữa ;

- hai góc và một cạnh kề với hai góc đó ;

- ba cạnh

Ở chương 13 : Tứ giác, sách giáo khoa giới thiệu tâm đối xứng của hình

bình hành là giao điểm của hai đường chéo Sau đó, suy ra các tính chất của hình bình hành và thiết lập các mệnh đề đảo của các tính chất cho phép :

- kiểm tra hình tính của một tứ giác ;

- nhận biết một hình bình hành ;

- kẻ một hình bình hành

Các tổ chức toán học được xây dựng

T1: Chứng minh một mệnh đề toán học là đúng

τ11:Thực hiện chuỗi mắt xích suy luận sau :

- Ta biết rằng (giả thiết hoặc kết luận ở trên)

- Nếu thì (tính chất)

- Như vậy (kết luận)

T11: Hoàn thành chuỗi suy luận diễn dịch bằng cách điền vào chỗ trống

T2: Kiểm tra tính đúng sai của một mệnh đề

τ21 : Dùng lập luận để chứng minh mệnh đề đúng

τ22 : Dùng một phản ví dụ để bác bỏ mệnh đề sai

Ví dụ : Bài tập 6 [[a], tr.131]

Đây là một phát biểu:” nếu một số là bội số của 4 thì nó là bội số của 8”

Phát biểu này là đúng hay sai ?

T31 : « Vẽ hình H có tính chất α »

τ31 : - Nêu tuần tự các bước dựng hình và thể hiện các nét dựng trên hình vẽ

- Kiểm tra lại tính chính xác của hình vẽ bằng cách kiểm tra rằng tất cả các số

đo là thỏa mãn đề bài

1.3.1.a Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa Pháp lớp

1.3.1.b Phân tích sự chuyển đổi didactic của phép kéo theo và phép

tương đương trong sách giáo khoa Pháp & Việt Nam

sách giáo khoa Pháp sách giáo khoa Việt Nam Cách tiếp