Luật số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiêntrong không gian Banach p-trơn đều

9 2 Luật số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều 11 2.1.. Trên cơ sở đọc và tìm hiểu tài liệu tham khảo, chúng tôi nghiên cứu đề tài Luật số lớn

MỤC LỤC

1.1 Không gian Banach p-trơn đều 4

1.2 Mảng phù hợp và mảng các hiệu martingale 5

1.3 Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên và bị chặn theo xác suất 6

1.4 Một số bổ đề 7

1.5 Một số bất đẳng thức 9

2 Luật số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều 11 2.1 Luật yếu số lớn 11

2.2 Luật mạnh số lớn 18

Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24

LỜI NÓI ĐẦU

Luật số lớn đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong Lý thuyết Xác suất.Luật số lớn đầu tiên của J Bernoulli được công bố vào năm 1713 Về sau kếtquả này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov, mở rộng Trong nhữngnăm qua có một hướng nghiên cứu Luật số lớn là mở rộng các kết quả về Luật

số lớn trong trường hợp dãy (một chỉ số) ra cho trường hợp nhiều chỉ số Smythe(1972) đã thu được luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy nhiều chỉ số các biếnngẫu nhiên Luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với dãy nhiều chiều đượcGut (1987), Klesov (1996) thiết lập Thời gian gần đây có nhiều bài báo nghiêncứu trong trường hợp hai chỉ số cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực (Hongand Volodin (1999), L V Thanh (2005), N V Quang and N N Huy (2008))hoặc nhận giá trị trên không gian Banach (N V Quang and L H Son (2006),Rosalsky and L V Thanh (2006), N V Quang and N V Huan (2008)) Trên

cơ sở đọc và tìm hiểu tài liệu tham khảo, chúng tôi nghiên cứu đề tài Luật

số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gianBanach Bố cục khóa luận gồm 2 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bàycác khái niệm về không gian Banach p-trơn đều, các khái niệm về tính bị chặnngẫu nhiên và bị chặn theo xác suất, đặc biệt là đã xây dựng được khái niệmmảng các hiệu martingale Đồng thời chúng tôi cũng đưa ra một số bổ đề vàcác bất đẳng thức, đây chính là chìa khóa để có được các kết quả về luật số lớntrong khóa luận

Chương 2 Luật số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiêntrong không gian Banach p−trơn đều Nội dung chính của khóa luận đượctrình bày trong chương này, bao gồm hai tiết Tiết 2.1 chúng tôi trình bày Luậtyếu số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach

p-trơn đều đối với trường hợp chỉ số tất định và chỉ số ngẫu nhiên Kết quảtrong tiết này đã được trình bày ở bài báo [8] mà tác giả đã viết chung với thầygiáo Nguyễn Văn Quảng Tiết 2.2 chúng tôi thiết lập Luật mạnh số lớn chomảng các hiệu martingale, luật số lớn kiểu Marcinkiewicz cho mảng phù hợpcác phần tử ngẫu nhiên Một số kết quả của chúng tôi đưa ra là tổng quát hơncác kết quả trước đó.

Khóa luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntình, chu đáo của Thầy giáo, PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin đượcbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiếnthức, kinh nghiệm trong học tập, nghiên cứu khoa học và các bài học trong cuộcsống Nhân dịp này tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo, Th.S LêVăn Thành đã giúp đỡ tác giả về những tài liệu tham khảo Đồng thời tác giảxin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáotrong khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập Cuốicùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân và tất cả bạn bè đã động viêngiúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập vàhoàn thành khóa luận

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên khóa luậnchắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận đượcnhững lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và góp ý của bạn đọc để khóaluận được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 5 năm 2009

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ khóa luận, ta luôn giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất đầy

đủ cố định Với a, b ∈ R, min{a, b} và max{a, b} được kí hiệu là a ∧ b và a ∨ b

Kí hiệu C là một hằng số dương, nhưng hằng số đó không nhất thiết phải giốngnhau trong các lần xuất hiện Kí hiệu log chỉ logarit cơ số 2 và log+x = log(1∨x).Với x > 0, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x

1.1.1 Định nghĩa Không gian Banach khả li X được gọi là không gian Banachp-trơn đều (1 6 p 6 2) nếu

ρ(τ ) = supnkx + yk + kx − yk

2 − 1; ∀ x, y ∈ X ; kxk = 1, kyk = τo 6 Cτpvới C là một hằng số nào đó

Nhận xét Đường thẳng thực R là trường hợp đặc biệt của không gianBanach p-trơn đều với p = 2

Định lý sau đây của Assouad đưa ra điều kiện cần và đủ để một không gianBanach khả li X là không gian Banach p-trơn đều

1.1.2 Định lý (Assouad) Không gian Banach khả li X là p-trơn đều (1 6

p 6 2) nếu và chỉ nếu với mọi q > 1, tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọimartingale {Sn, Fn, n > 1} nhận giá trị trên X đều có

1.1.3 Định lý (Assouad, Hoffmann Jφrgensen) Không gian Banach nhận giátrị thực X là p-trơn đều (1 6 p 6 2) khi và chỉ khi tồn tại số dương L sao chovới mọi x, y ∈ X , ta có

kx + ykp+ kx − ykp 6 2kxkp+ Lkykp (1.1.2)

Cho (Ω, F , P) là không gian xác suất, X là không gian Banach khả li và B(X )

là σ-đại số tất cả các tập Borel trong X Cho mảng hai chiều {Fmn, m > 1, n >1} các σ-đại số con của F với chỉ số trong N × N Khi đó mảng hai chiều{Xmn, Fmn, m > 1, n > 1} được gọi là mảng phù hợp nếu thỏa mãn các điềukiện sau:

Ví dụ 1 Cho {Xmn, m > 1, n > 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập

có kì vọng 0 Với mọi m > 1, n > 1, gọi Fmn là σ-đại số sinh bởi Xmn, khi đóE(Xmn|Fmn∗ ) = EXmn = 0 và {Xmn, Fmn, m > 1, n > 1} lập thành một mảngcác hiệu martingale

Ví dụ 2 Cho dãy (Xn, Fn, n > 1) là một hiệu martingale nào đó nhưng (Xn, n >1) không độc lập Với mọi n > 1, đặt

Từ hai ví dụ trên ta thấy rằng tập hợp tất cả mảng các hiệu martingale thực

sự rộng hơn tập hợp tất cả mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0

suất

1.3.1 Định nghĩa Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn, m > 1, n > 1} đượcgọi là bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số C < ∞thỏa mãn

P{kXmnk > t} 6 CP{kXk > t}, với mọi t > 0, m > 1, n > 1 (1.3.1)1.3.2 Nhận xét Nếu {Xmn, m > 1, n > 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiêncùng phân phối thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X11 và khi

1.4 Một số bổ đề

Bổ đề sau đây cho ta một cách chứng minh sự hội tụ hầu chắc chắn của mảngcác phần tử ngẫu nhiên và rất hay sử dụng trong quá trình chứng minh sự hội

tụ hầu chắc chắn của mảng các phần tử ngẫu nhiên

1.4.1 Bổ đề Giả sử {Xmn, m > 1, n > 1} là mảng hai chiều các phần tử ngẫunhiên

Nếu ω /∈ A thì tồn tại k0 sao cho ω /∈ Ak0 hay kXmn(ω)k 6 ε với mọi

m ∨ n > k0, điều này kéo theo lim

EkXmnkp < ∞ (do giả thiết)

Theo ý thứ nhất ta suy ra Xmn → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞

Bổ đề sau đây sẽ thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng các hiệu martingaletrong không gian Banach p-trơn đều

1.4.2 Bổ đề Cho 0 < p 6 2 Cho {Xij; 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n} là họ mn phần

tử ngẫu nhiên trong không gian Banach khả li Khi 1 < p 6 2 ta giả thiết thêm{Xij, Fij; 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n} là mảng các hiệu martingale trong không gianBanach p-trơn đều thì

E

max

16k6m 16l6n

với hằng số C không phụ thuộc vào m và n

Chứng minh Trong trường hợp 1 < p 6 2 :

Đặt Skl = Pk

i=1

Pl j=1Xij, Yl = max

16k6mkSklk với mỗi l = 1, 2, , n Nếu σl là σ-đại

số sinh bởi {Xij; 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 l} thì σl ⊂ Fi,l+1∗ với mọi i > 1, điều nàykéo theo

E(Xi,l+1|σl) = E(E(Xi,l+1|Fi,l+1∗ )|σl) = 0 h.c.c

Do đó ta có

E(Sk,l+1|σl) = E(Skl + X1,l+1 + · · · + Xk,l+1|σl)

= E(Skl|σl) + E(X1,l+1|σl) + · · · + E(Xk,l+1|σl) = Skl h.c.c.

Suy ra {Skl, σl; 1 6 l 6 n} là martingale Vì {kSklk, σl; 1 6 l 6 n} là martingaledưới không âm với mỗi k = 1, 2, , m Vì vậy { max

16k6mkSklk = Yl, σl; 1 6 l 6 n}

là martingale dưới không âm Theo bất đẳng thức Doob (xem [11], tr 255)

E

max

16k6m 16l6n

16k6m 16l6n

Các bổ đề sau đây là một số bất đẳng thức sơ cấp và một số kết quả về chuỗi

số, sẽ được sử dụng trong quá trình thiết lập các luật số lớn

1.5.1 Bổ đề (xem [7], Bổ đề 2.4) Với mọi p ∈ [1, 2] và với mọi k ∈ N ta cócác bất đẳng thức sau

ipr −1

dx >

Z i i−1

xpr −1dx =

Z k 0

ipr −2

dx 6

Z i i−1

Luật yếu số lớn cho dãy phù hợp các phần tử ngẫu nhiên được đưa ra bởi N.

V Quang and L H Son trong [5] Sau đó luật yếu số lớn cho mảng phù hợpcác biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực với quan hệ thứ tự tần số trên N2 đượcthiết lập bởi N V Quang and N N Huy (xem [6]) Kết quả này đã được N

V Quang and N V Huan mở rộng cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiêntrên không gian Banach (xem [7]) Trong tiết này chúng tôi sẽ thiết lập các luậtyếu số lớn với chỉ số tất định và chỉ số ngẫu nhiên với các mảng phù hợp cácphần tử ngẫu nhiên (theo định nghĩa chúng tôi đã đưa ra ở chương trước) Cáckết quả chính trong phần này đã được chúng tôi công bố trong [8]

Sau đây là luật yếu số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trongkhông gian Banach p-trơn đều

2.1.1 Định lý Cho {Xmn, Fmn, m > 1, n > 1} là mảng phù hợp trong khônggian Banach p-trơn đều X (1 6 p 6 2), {bmn, m > 1, n > 1} là mảng các sốthực dương Đặt Yij = Xij I{kXijk 6 bmn} Ta có

Đến đây ta thu được (2.1.5).

Dễ dàng nhận thấy rằng nếu Xmn −→ X khi m ∨ n −→ ∞, thì XP 1n −→ XPkhi n → ∞ Hơn nữa, chú ý rằng

P

nmax

16i6m 16j6n

EkXni − E{Xni|Fi−1}kp −→ 0

Nhận xét: Trong trường hợp đặc biệt, khi X = R, hệ quả trên thật sự mạnhhơn Định lý 2.13 của Hall và Heyde được nêu ra trong [10]: cũng đưa ra kết quảtương tự nhưng với giả thiết mạnh {Pni=1Xi, Fn; n ≥ 1} là martingale (xem ví

dụ để chứng tỏ điều này trong [5])

Định lý tiếp theo thiết lập luật số lớn cho mảng các phần tử ngẫu nhiên vớichỉ số ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều Định lý này là một dạng

tương tự của Định lý 4.2 trong [2], tuy nhiên Định lý 4.2 trong [2] chỉ xét chomảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập còn Định lý sau đây xét cho mảng phùhợp các phần tử ngẫu nhiên Ngoài ra, phép chứng minh của chúng tôi cũng sửdụng một số kĩ thuật khác so với kĩ thuật được trình bày trong [2].

2.1.3 Định lý Cho {Xmn, Fmn; m > 1, n > 1} là mảng phù hợp trong khônggian Banach p-trơn đều X , (1 6 p 6 2) Giả sử {Xmn, m > 1, n > 1} bị chặnngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X Cho {Tn; n > 1} và {τn; n > 1} là dãycác đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương sao cho

Tn = OP(n) và τn = OP(n)Cho số thực r ∈ (0, p) Đặt Yij = Xij I{kXijk 6 m1rn1r} Nếu

lim

λ→∞λP{kXk > λ1r} = 0 (2.1.6)thì ta có luật yếu số lớn

Vì ε > 0 là tùy ý nên ta nhận được (2.1.7).

m1rn1r

> ε)

6 P

PTmi=1

Pτnj=1 Yij − E{Yij|Fij∗}

mar-Kết hợp (1.1.2) và bất đẳng thức Jensen cho kì vọng có điều kiện ta thu được

EkYij − E{Yij|Fij∗}kp 6 E 2kYijkp+ LkE{Yij|Fij∗}kp

6 2EkYijkp+ L E E{kYijkp|Fij∗}
= (L + 2)EkYijkp (2.1.9)Bởi vậy

Vì ε > 0 là tùy ý nên ta nhận được (2.1.8)

2.1.4 Hệ quả Cho {Xmn, Fmn; m > 1, n > 1} là mảng phù hợp trong khônggian Banach p-trơn đều X , (1 6 p 6 2) Giả sử {Xmn, m > 1, n > 1} bị chặnngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X Cho {Tn; n > 1} và {τn; n > 1} là dãycác biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương và

Tn = OP(n) và τn = OP(n)Cho số thực α, β ∈ (0, p) Đặt Yij = Xij I{kXijk 6 mα1nβ1} Nếu

lim

λ→∞λP{kXk > λmax{α,β}1 } = 0thì ta có luật số lớn

PTm

i=1

Pτnj=1 Xij − E{Yij|Fi,j∗ }

mα1n1β

P

−→ 0 khi m ∨ n −→ ∞, (2.1.11)

Chứng minh Trong trường hợp α = β, theo Định lý 2.1.3, ta có (2.1.11).

Trong trường hợp α 6= β, ta giả sử rằng α < β

Dễ dàng chứng minh được rằng

PTmi=1

Pτnj=1(Xij − Yij)

Pτnj=1 Yij − E{Yij|Fij∗}

2.2.1 Định lý Cho α > 0, β > 0 và 0 < p 6 2 Cho {Xij; 1 6 i 6 m, 1 6 j 6n} là họ mn phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach khả li Khi 1 < p 6 2

ta giả thiết thêm {Xij, Fij; 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n} là mảng các hiệu martingaletrong không gian Banach p- trơn đều Nếu

P2lj=1EkXijkp

S2k 2 l

(2αk2βl) −→ 0 h.c.c khi k ∨ l → ∞ (2.2.3)Tiếp theo, với ε > 0 tùy ý, ta có

P{|Tkl| > ε} 6 P kS2k2lk

(2αk2βl) >

ε2

+ P

max

+ P

max

ε2



6 P



kS2k 2 lk > (2

αk2βl)ε2

+ P

max

16m62 k+1

16n62 l+1

kSmnk > (2

αk2βl)ε2

Kết hợp (2.2.3) và (2.2.4) với (2.2.5) ta có (2.2.2)

Nhận xét: Trong trường hợp đặc biệt, khi X = R và mảng các hiệu tingale thay bởi mảng các biến ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0 thì ta nhận đượcĐịnh lý 2.1 đối với sự hội tụ hầu chắc chắn của L V Thanh (xem [3]) như là

mar-hệ quả của Định lý 2.2.1 ở trên

Định lý sau đây thiết lập kiểu luật mạnh số lớn Marcinkiewicz cho mảng haichiều các phần tử ngẫu nhiên

2.2.2 Định lý Cho 1 < r < p 6 2 và {Xmn, Fmn; m > 1, n > 1} là mảng phùhợp trong không gian Banach p-trơn đều X Giả sử {Xmn, m > 1, n > 1} bị

chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X Nếu EkXkr log+kXk < ∞ thì1

Xij − E{Xij|Fij∗} = (Xij00 − E{Xij00|Fij∗}) + (Xij0 − E{Xij0 |Fij∗}) (2.2.7)

Đầu tiên ta chứng minh rằng

Z (ij)10

6 C

Z ∞

0

xrlog+|x| dF (x) 6 CEkXkrlog+kXk < ∞

Theo Định lý 2.2.1 khi α = β = 1r ta thu được (2.2.8)

Tiếp theo ta sẽ chứng minh

Z ∞ (ij)1

|x|rlog+|x| dF (x) 6 CEkXkrlog+kXk < ∞

Theo Định lý 2.2.1 khi α = β = 1r và p = 1 ta thu được (2.2.9)

Kết hợp (2.2.7) và (2.2.8) với (2.2.9) ta có (2.2.6)

Nhận xét Trong trường hợp riêng, khi Fmn = σ{Xij; i < m hoặc j < n}

ta nhận được Định lý 3.3 đối với 1 < r < p 6 2 ở [4]

KẾT LUẬN

1 Kết quả chính

Khóa luận nghiên cứu về Luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn cho mảng haichiều các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều

Khóa luận đã đưa ra được khái niệm mảng các hiệu martingale- là một hướng

mở rộng cho khái niệm mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0

Khóa luận đã thiết lập được Luật yếu số lớn cho mảng các phần tử ngẫunhiên với chỉ số tất định và với chỉ số ngẫu nhiên trong không gian Banachp-trơn đều Đó là Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.3 và Hệ quả 2.1.4 Thiết lập đượcLuật mạnh số lớn cho mảng các hiệu martingale, đó là Định lý 2.2.1, kết quảnày mở rộng Định lý 2.1 đối với sự hội tụ hầu chắc chắn trong [3] Luật mạnh

số lớn kiểu Marcinkiewicz-Zygmund được thiết lập trong Định lý 2.2.2

2 Hướng phát triển khóa luận

Sử dụng khái niệm mảng các hiệu martingale để thiết lập các định lý hội tụtheo trung bình, đặc biệt là các Luật số lớn

Mở rộng các kết quả cho mảng đa trị

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[3] L V Thanh (2005), Strong law of large numbers and Lp-convergence fordouble arrays of independent random variables, Acta Math Vietnam, 30,

No 3, pp 225-232

[4] L V Dung, N D Tien and A Volodin, Marcinkiewicz-type law of largenumbers for double arrays of random elements in martingale type p Banachspaces, preprint

[5] N V Quang and L H Son (2006), On the weak law of large numbers forsequences of Banach space valued random elements, Bull Korean Math.Soc 43, No 3, pp 551-558

[6] N V Quang and N N Huy (2008), Weak law of large numbers for adpteddouble arays of random variables, J Korean Math Soc 45, No 3, pp.795-805

[7] N V Quang and N V Huan (2008), On the weak law of large numbers fordouble arrays of Banach space valued random elements, Journal of Proba-bility and Statistical Science, 6, No 2, pp 125-134

[8] N V Quang and N T Thuan (2009), On the weak law of large numbersfor double adapted array of random elements in p-uniformly smooth Ba-nach space, Lobachevski Journal of Mathematics, 30, No 2, pp 159-167(accepted).

[9] O I Klesov (1996), Almost sure convergence of multiple series of dent random variables, Theory Probab Appl., 40, No 1, pp 52-65

indepen-[10] P Hall, C C Heyde (1980), Martingale limit theory and its application,Academic Press, New York

[11] Y S Chow and H Teicher (1997), Probability Theory: Independence, terchangeability, Martingales, 3rd Ed Springer-Verlag, New York