NGUYÊN LÝ BANHACH – CACCIOPPOLI TRONG KHÔNG GIAN K - METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Luận văn trình bày hướng mở rộng của nguyên lý ánh xạ co cho các ánh xạ tác động trong các không gian K-metric dạng: thỏa mãn điều kiện trong đó là một ánh xạ từ vào Với một số điều kiện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

VÕ VIẾT TRÍ

NGUYÊN LÝ BANHACH –

CACCIOPPOLI TRONG KHÔNG

GIAN K - METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2007

MỞ ĐẦU

Nguyên lý ánh xạ co cổ điển của Banach-Caccioppoli tuy đơn giản nhưng có những ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học nói riêng và trong khoa học kỹ thuật nói chung Nguyên lý này đã được mở rộng theo nhiều hướng khác nhau để có thể áp dụng cho các lớp bài toán mới

Cho là một không gian vectơ dược xếp thứ tự bởi nón và là một tập

hợp khác rỗng bất kỳ, ánh xạ gọi là K-metric trên

nếu thỏa các tiên đề sau:

(a)

(b)

(c)

(d)

Khi đó: Cặp gọi là không gian K-metric

Luận văn trình bày hướng mở rộng của nguyên lý ánh xạ co cho các ánh xạ tác động trong các không gian K-metric dạng:

thỏa mãn điều kiện trong đó là một ánh xạ từ vào

Với một số điều kiện đặt lên và không gian , luận văn trình bày sự tồn tại

điểm bất động của ánh xạ Đây là hướng nghiên cứu chưa được trình bày rộng rãi

Nội dung luận văn gồm 4 chương Chương 1 trình bày khái niệm không gian K-metric và không gian K-định chuẩn đồng thời nhắc lại một số kết quả của giải tích hàm được sử dụng trong các chương tiếp theo Ngoài ra, với mục đích mở rộng định lý Krasnolselski trong không gian K-định chuẩn, chương

này còn xây dựng tô pô trên không gian K-định chuẩn, chứng minh một kết quả mở rộng của định lý Schauder về điểm bất động của toán tử trong không gian K-định chuẩn Nội dung nguyên lý Banach-Caccioppoli được trình bày trong chương 2 và chương 3 tập trung vào các định lý 1, định lý 2, định lý 3, đây cũng là các định lý được nêu trong bài báo [2], luận văn trình bày chứng minh các định lý trên một cách chi tiết Chương cuối cùng của luận văn nhằm mục đích đưa ra một vài ví dụ về vận dụng nguyên lý Banach-Caccioppoli cho toán tử tương đối cụ thể, đồng thời trình bày chứng minh một kết quả là mở rộng của định lý Krasnoselski cho không gian K-định chuẩn

Chương 1 KHÔNG GIAN K-METRIC VÀ K-ĐỊNH CHUẨN

Mục đích chương này chỉ trình bày một số khái niệm về không gian metric và không gian K-định chuẩn và một số kết quả sẽ được dùng trong các chương sau Ngoài ra, còn nhắc lại một số kết quả của giải tích hàm, phương trình vi phân và một số ví dụ được dùng đến ở những chương tiếp theo

Trong không gian tuyến tính với nón , ta xét quan hệ như sau:

Ta thấy quan hệ có các tính chất: phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Như vậy là một quan hệ thứ tự trên

Như vậy bộ ba ( ) là không gian tuyến tính có thứ tự

Các kí hiệu được sử dụng như thông thường

Trong không gian tuyến tính có thứ tự, ta có thể định nghĩa các khái niệm

phần tử nhỏ nhất, phần tử lớn nhất, cận trên, cận dưới, cận trên nhỏ nhất, cận dưới lớn nhất của một tập hợp và các khái niệm dãy tăng, dãy giảm, dãy

bị chặn trên, dãy bị chặn dưới, dãy bị chặn như thông thường

1.1.3 Ánh xạ đơn điệu, ánh xạ dương

Định nghĩa 2

Cho là không gian tuyến tính với thứ tự sinh bởi nón , ánh xạ

1 gọi là đơn điệu nếu như dẫn đến ( )

2 gọi là ánh xạ dương nếu như

1.1.4 Không gian tuyến tính có thứ tự cùng với sự hội tụ

Cho là không gian tuyến tính có thứ tự sinh bởi nón ta qui ước sự hội tụ

có các tính chất sau đây:

(a) Mỗi dãy hội tụ có duy nhất một giới hạn , ký hiệu

( ta cũng nói là dãy hội tụ về và ký hiệu: )

(f) Tích của dãy hội tụ (trong ) , và dãy hội tụ

Trong các phần sau ta qui ước gọi không gian tuyến tính thứ tự theo nghĩa

gồm bộ ba , trong đó là không gian tuyến tính, là nón trong và

sự hội tụ có các tính chất nói trên

1.1.5 Ánh xạ thỏa tính chất Fatou

Định nghĩa 3

Trong không gian tuyến tính thứ tự , ánh xạ gọi là có

tính chất Fatou trên (Fatou dưới) nếu như dãy thỏa:

Nón trong không gian định chuẩn gọi là nón chuẩn nếu tồn tại số

sao cho:

Với số gọi là hằng số phổ dụng

1.2 Không gian K-metric và K-định chuẩn

Giả sử là không gian tuyến tính có thứ tự sinh bởi nón và sự hội tụ

1.2.1 Không gian K-metric

Định nghĩa 5

Cho là một tập hợp khác rỗng bất kỳ, ánh xạ gọi là

K-metric trên nếu thỏa các tiên đề sau:

(a) ( là zero của ),

gọi là hội tụ về phần tử (Ký hiệu ) nếu như

dãy hội tụ về trong nghĩa là:

Định nghĩa 6

Cho không gian K-metric

1 Tập con của gọi là tập đóng nếu hoặc có tính chất sau:

Nếu dãy và thì

Bằng cách kiểm tra các tiên đề xác định tô pô, ta có:

là một tô pô trên , và gọi là tô pô sinh bởi K-metric

2 Quả cầu tâm bán kính là tập hợp:

1.2.2 Không gian K-định chuẩn

Định nghĩa 7

Cho là một không gian tuyến tính (trên trường số thực ) Ánh xạ

gọi là K-chuẩn trên nếu thỏa các tiên đề sau:

(a)

(b)

(c)

(d)

Cặp = , ở đây là một không gian tuyến tính, là một K-chuẩn

trên gọi là không gian K-định chuẩn

Cho dãy , ta ký hiệu để chỉ chuổi tương ứng là hội tụ

(trong ), nghĩa là dãy tổng riêng là hội tụ (trong ), và

cũng viết:

Định nghĩa 8

1 Dãy gọi là dãy cơ bản nghĩa Weierstrass nếu

Không gian K-metric gọi là đầy đủ theo nghĩa Weierstrass, nếu mỗi dãy

cơ bản nghĩa Weierstrass là hội tụ

2 Dãy gọi là dãy cơ bản nghĩa Kantorovich, nếu tồn tại dãy

sao cho:

( )

Không gian K-metric gọi là đầy đủ theo nghĩa Kantorovich nếu mỗi dãy

cơ bản nghĩa Kantorovich là hội tụ

1.3 Một số ví dụ và kết quả được dùng

1.3.1 Tính chất của thứ tự và sự hội tụ

1 Cho không gian tuyến tính thứ tự , nón

(i) (zero của )

(iii) Nếu và thì

(iv) Nếu dãy là tăng (giảm) và hội tụ về thì

2 Cho không gian tuyến tính thứ tự , nón Nếu là ánh xạ tuyến tính, dương thì là đơn điệu

3 Cho không gian định chuẩn , có thứ tự bởi nón Khi đó sự hội

theo chuẩn trong có các tính chất của sự hội tụ ngoại trừ tính chất Weierstrass

4 Cho không gian định chuẩn , thứ tự bởi nón chuẩn (hằng số phổ dụng là ) Nếu

và thì

Chứng minh:

Từ

suy ra

vì

nên

mà nên suy ra:

1.3.2 Kết quả của giải tích hàm được sử dụng

(iv) Với mỗi tồn tại sao cho với mọi

Thì khi đó, tồn tại duy nhất một tô pô trên sao cho đối với tô pô này họ

là họ tất cả các lân cận của điểm ( )

2

Cho là không gian tô pô thỏa tiên đề đếm được thứ nhất (tại mỗi điểm đều

có cơ sở lân cận đếm được) Khi đó: Nếu compact thì compact theo dãy (mọi dãy trong đều chứa dãy con hội tụ)

3

Cho là không gian tô pô thỏa tiên đề đếm được thứ nhất Khi đó: Tập con khác rỗng của là đóng khi và chỉ khi mọi dãy và

thì

4

Cho là không gian tuyến tính tô pô, và là một lân cận (mở) của

gốc, khi đó: là lân cận (mở) của

5

Không gian tuyến tính tô pô là không gian Hausdorff khi và chỉ khi:

Với mọi tồn tại lân cận của gốc không chứa

6

là không gian metric compact, là không gian định chuẩn,

là ánh xạ liên tục, khi đó

7

là không gian định chuẩn, là không gian metric compact,

là không gian các hàm liên tục từ vào , với chuẩn

Giả sử dãy và hội tụ đều về ánh xạ thì

8

Cho và là các không gian Banach, là một ánh xạ tuyến tính, liên tục và nếu là song ánh thì liên tục

9

Cho là không gian Banach, dãy nếu chuổi hội

tụ thì chuổi hội tụ

10.(Định lý Brouwer)

Cho là tập lồi, đóng, bị chặn trong không gian ( ), ánh xạ

liên tục, khi đó có điểm bất động trong

11

Trên không gian tuyến tính hữu hạn chiều, chỉ có duy nhất một tô pô lồi địa phương và Hausdorff, đó là tô pô Euclide thông thường (tô pô thông thường trên )

và chuẩn thông thường:

Khi đó là không gian Banach

Đặt là một tập đóng trong và là nón chuẩn (hằng số phổ dụng )

Sự hội tụ được xét đến trong là sự hội tụ theo chuẩn

Cho là không gian Banach và là một số thực dương

là tập các hàm liên tục trên đoạn và nhận giá trị trong

Ta phân hoạch đoạn như sau , ký hiệu

Trước hết ta nhận xét: với vì

là liên tục trên tập compact nên là hàm bị chặn, tức là

ánh xạ là xác định

1

Việc kiểm tra các tiên đề của một K-chuẩn không mấy khó khăn, chẳng hạn

ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác

Với , theo bất đẳng thức tam giác của chuẩn trong ta có:

với cho trước, do chuổi hội tụ trong không gian Banach

, nên tồn tại số tự nhiên sao cho:

với thì

Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác ta suy ra:

và do là nón chuẩn (với hằng số phổ dụng ) nên ta có

và do đó:

với mọi thì:

(1.1)

Như vậy, với mỗi , dãy là dãy cơ bản trong do

là không gian Banach nên tồn tại sao cho

(hội tụ trong ), ta xác định được hàm

Từ (1.1) cho ta có:

khi thì với mọi (1.2)

Tức là hội tụ đều về trên , và do liên tục trên nên liên tục trên

, tức là

Từ (1.2) suy ra:

khi , suy ra:

với ta có ( )

Suy ra:

với ta có Vậy hay

trong không gian K-định chuẩn

1.4 Mở rộng định lý Schauder về điểm bất động trong không gian định chuẩn

K-Cho không gian K-định chuẩn với K-chuẩn ở đây

là không gian định chuẩn có thứ tự sinh bởi nón

1.4.1 Tô pô trên không gian K-định chuẩn

Trong trường hợp là nón chuẩn (hằng số phổ dụng là ) ta sẽ chứng tỏ tô

pô sinh bởi metric tương thích với cấu trúc đại số trên , hơn nữa, là tô pô lồi địa phương, Hausdorff và thỏa tiên đề đếm được thứ nhất (có cơ sở lân cận địa phương đếm được)

Trước hết ta định nghĩa một số ký hiệu:

Mệnh đề 2

pô này là

ta có:

, suy ra:

tức là suy ra Vậy

Như vậy tồn tại tô pô duy nhất trên sao cho với họ chứa tất cả các lân cận của theo định nghĩa họ ta có ngay họ

là một cơ sở lân cận của Do với mỗi số , tồn tại số hữu tỷ

2 Chứng tỏ ánh xạ liên tục

là lân cận của đặt:

khi đó:

với thỏa ta có:

suy ra:

với chú ý ta suy ra:

3 Chứng tỏ tồn tại cơ sở lân cận của gốc gồm toàn những tập lồi

Theo kết quả trước thì họ:

là họ tất cả các lân cận của gốc

Xét họ ( chỉ bao lồi của )

Ta chứng minh là một cơ sở lân cận của gốc Thật vậy,

đặt:

ta có:

suy ra Vậy là một cơ sở lân cận của gốc gồm toàn những tập lồi

là tập đóng (đóng đối với tô pô ),

suy ra suy ra Vậy là tập đóng

2 Chứng tỏ liên tục

là tập đóng, (chỉ bao đóng của đối với tô pô ),

do thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nên tồn tại dãy

Vậy là tập đóng

1.4.2 Mở rộng định lý Schauder cho không gian K-định chuẩn

Cho là không gian K-định chuẩn, với là không gian định chuẩn có thứ tự sinh bởi nón chuẩn (hằng số phổ dụng là ) Trên ta xét tô pô

Định nghĩa 9

Tập gọi là bị chặn nếu như tồn tại số sao cho

Mệnh đề 6 (mở rộng định lý Brouwer)

Chứng minh:

Giả sử do tô pô là lồi địa phương và Hausdorff, nên theo một

kết quả của giải tích hàm, đẳng cấu với với tô pô Euclide thông thường, nghĩa là tồn tại một song ánh, tuyến tính, liên tục hai chiều

Với mỗi cho trước, tồn tại tập hữu hạn và một

liên tục (vì theo mục trước ánh xạ là liên tục),

nếu thì do đó ngược lại,

nếu thì

Đặt định bởi:

thì liên tục và ta có:

( ), suy ra:

do đó:

( )

Mệnh đề 8 (mở rộng định lý Schauder)

Đặt là thu hẹp của trên tập như vậy, là tập lồi, đóng,

bị chặn trong và chứa

và ta có là liên tục, áp dụng kết quả mệnh đề 6 cho không gian

K-định chuẩn thì tồn tại sao cho

suy ra:

với chú ý , nên suy ra:

do và là compact nên tồn tại dãy con hội tụ về cho

Chương 2 NGUYÊN LÝ BANACH-CACCIOPPOLI VỚI ĐIỀU KIỆN

ở đây, là ánh xạ từ vào dương và liên tục tại (theo nghĩa nếu

thì dẫn đến ), ta xét đến trong hai trường hợp:

(i) là là ánh xạ tuyến tính

(ii) là ánh xạ thỏa , đơn điệu

2.1 Điểm bất động của ánh xạ thỏa điều kiện Lipschitz là ánh xạ tuyến tính

Cho là ánh xạ tuyến tính, liên tục tại ta định nghĩa các tập hợp:

(2.2)

(2.3)

Ta định nghĩa ánh xạ định bởi:

( ) (2.4)

Định lí 1

thỏa điều kiện Lipschitz (2.1)

với hệ số Lipschitz là một ánh xạ tuyến tính tác động trong , dương liên tục tại

Đặt , theo giả thiết

Bằng qui nạp theo ta chứng minh được

(2.7)

Thật vậy,

, , ( là ánh xạ đồng nhất) nên

tức là (2.7) đúng khi Giả sử khi đó:

Do , nên Suy ra dãy tăng và bị chặn trên,

theo tính chất Weierstrass thì dãy này hội tụ, tức là

Do là không gian K-metric đầy đủ theo nghĩa Weierstrass nên dãy hội

tụ, suy ra tồn tại để cho:

( ) Suy ra:

cho trong bất đẳng thức trên với chú ý (vì

) ta có bất đẳng thức (2.5) và đặc biệt với trong bất đẳng thức này cho ta nằm trong quả cầu tâm bán kính

2 Chứng tỏ là điểm bất động của

Ta có

(với ), cho trong bất đẳng thức trên với chú ý liên tục tại và

thì ta có Vậy

3 Chứng minh điểm bất động nếu có trong tập nếu có là duy nhất

Giả sử là các điểm bất động của

Trước hết bằng qui nạp theo n ta chứng tỏ:

( )(2.8)

Thật vậy, hiển nhiên bất đẳng thức (2.8) đúng khi

giả sử ta có

(nhờ tính đơn điệu của ), tức

ta suy ra Vậy

2.2 Điểm bất động của ánh xạ thỏa điều kiện Lipschitz là ánh xạ không tuyến tính

Cho ánh xạ dương, đơn điệu, và liên tục tại Ta định nghĩa các tập sau:

(2.9)

(2.10)

(2.11)

ở đây, ( ) (2.12)

ký hiệu để chỉ dãy tăng và hội tụ (Tính chất tăng là

do bản thân định nghĩa dãy)

1 Nếu và là không gian đầy đủ theo nghĩa Weierstrass

ngoài ra,

(2.16)

và thỏa:

( ) (2.17)

2 Nếu , liên tục tại và là không gian đầy đủ theo nghĩa Kantorovich thì có điểm bất động nằm trong quả cầu tâm bán

Giả sử và là đầy đủ theo nghĩa Weierstrass

1 Chứng minh sự tồn tại và thỏa bất đẳng thức (2.17)

Bằng qui nạp như trong chứng minh định lý 1 ta chứng tỏ được

( ) Suy ra

( )

Do nên ,

và do dó theo tính chất Weierstrass ta suy ra:

Do là không gian đầy đủ theo nghĩa Weierstrass nên dãy hội tụ, tức là tồn tại để cho:

Bây giờ ta chứng tỏ có bất đẳng thức (2.17)

Với , đặt:

( ) Trước hết bằng qui nạp theo ta chứng tỏ:

(2.20)

trong đó , ( )

Thật vậy, với

Vì , nên bất đẳng thức (2.20) là đúng, giả sử , khi đó:

Vậy bất đẳng thức (2.20) được chứng minh

Từ bất đẳng thức (2.20) và bất đẳng thức

ta suy ra:

cho trong bất đẳng thức trên với chú ý và

Vậy bất đẳng thức (2.22) được chứng minh

Từ tính chất đơn điệu của dãy và bất đẳng thức (2.22) ta suy ra

Vậy dãy là dãy cơ bản nghĩa Kantorovich, do là không gian đầy đủ theo nghĩa Kantorovich nên dãy này hội tụ, tức là tồn tại để cho Bây giờ ta chứng tỏ có bất đẳng thức (2.18), thật vậy:

Ta có:

suy ra:

( ) Cho trong bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức (2.18) và từ bất đẳng thức này, đặc biệt với ta có phần tử thuộc quả cầu tâm bán kính

Vậy bất đẳng thức (2.25) được chứng minh

Bây giờ giả sử là các điểm bất động của Khi đó, áp dụng bất đẳng thức (2.25) ta suy ra:

Trong trường hợp là không gian Banach có thứ tự bởi nón chuẩn

và nếu chuổi hội tụ tuyệt đối thì ta cũng có kết quả: chuổi

hội tụ mà không cần tính chất Weierstrass Thật vậy, ta chứng minh mệnh đề sau đây:

Chứng minh:

Do là nón chuẩn với hằng số phổ dụng , nên ta có:

( ),

do chuổi hội tụ nên chuổi hội tụ, suy ra chuổi

hội tụ, do là không gian Banach nên chuổi hội tụ

Hệ quả (từ nhận xét trên và định lý 1)

là không gian K-metric đầy đủ theo nghĩa Weierstrass với K-metric

ở đây là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón

thỏa điều kiện Lipschitz: