Nghiên cứu thực hành giảng dạy khái niệm xác suất trong các lớp song ngữ và các lớp phổ thông ở Việt Nam

Trong khi Xác suất đang còn được tiếp cận theo một cách thức xa rời với thực tế như thế thì việc dạy học Thống kê, khoa học có gắn bó mật thiết với Xác suất, đã thể hiện quan điểm này rấ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRẦN TÚY AN

Nghiên cứu thực hành giảng dạy khái niệm xác suất trong các lớp song ngữ và các lớp phổ thông ở

Việt Nam

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chi Minh – 2007

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRẦN TÚY AN

Nghiên cứu thực hành giảng dạy khái niệm xác suất trong các lớp song ngữ và các lớp phổ thông ở

Thành phố Hồ Chí Minh – 2007

MỤC LỤC

TRANG PHỤ BÌA

LỜI CẢM ƠN

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM XÁC SUẤT 8

1.1 Quan điểm được thừa nhận trong các chương trình những năm 90 của Pháp 9

1.2 Quan hệ của thể chế I1 với khái niệm xác suất 12

1.2.1 Khái niệm xác suất trong chương trình song ngữ Pháp-Việt 12

1.2.2 Khái niệm xác suất trong sách giáo khoa của hệ song ngữ Pháp-Việt 15

1.2.3 Các kết luận 33

1.3 Tóm tắt các kết quả nghiên cứu về mối quan hệ thể chế I2 với đối tượng xác suất 34

1.3.1 Về cách tiếp cận xác suất 35

1.3.2 Về phạm vi tác động của khái niệm xác suất và các đối tượng liên quan đến khái niệm xác suất 35

1.3.3 Về các tổ chức toán học xung quanh đối tượng xác suất 36

1.4 So sánh hai thể chế I1 và I2 36

1.4.1 Tiến trình đưa vào khái niệm Xác Suất 37

1.4.2 Phép thử ngẫu nhiên 38

1.4.3 Các tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ :tính xác suất 38

CHƯƠNG 2 NGHIÊN CỨU HOẠT ĐỘNG GIẢNG DẠY THỰC TẾ CỦA GIÁO VIÊN ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM XÁC SUẤT 40

2.1 Thực tế giảng dạy khái niệm xác suất ở thể chế I2 40

2.1.1 Tổ chức didactic: Một quan điểm động 41

2.1.2 Tổ chức didactic: một quan điểm tĩnh 52

2.1.3 Đánh giá tổ chức toán học 54

2.1.4 Kết luận 56

2.2 Thực tế giảng dạy khái niệm xác suất ở thể chế I1 56

2.2.1 Tổ chức didactic : một quan điểm động 57

2.2.2 Tổ chức diactic : một quan điểm tĩnh 65

2.2.3 Đánh giá tổ chức toán học 65

2.2.4 Kết luận 66

2.2.5 Quan điểm so sánh 67

2.3 Kết luận chung 67

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM 1 69

3.1 Mục tiêu 69

3.2 Đối tượng của thực nghiệm 69

3.3 Mô tả thực nghiệm 69

3.4 Phân tích a priori hệ thống câu hỏi 70

3.4.1 Phân tích a priori tổng quát 70

3.5 Phân tích aposteriori các bài toán thực nghiệm 73

3.5.1 Các kết quả ghi nhận ở thể chế I2 73

3.5.2 Các kết quả ghi nhận ở thể chế I1 76

3.6 Kết luận 77

CHƯƠNG 4 THỰC NGHIỆM 2 79

4.1 Mục đích 79

4.2 Dàn dựng kịch bản 80

4.2.1 Hoạt động 1 80

4.2.2 Hoạt động 2 81

4.2.3 Hoạt động 3 82

4.3 Biến 86

4.4 Các chiến lược có thể .86

4.5 Phân tích kịch bản 87

4.6 Diễn tiến thực nghiệm 90

4.6.1 Hoạt động 1 91

4.6.2 Hoạt động 2 91

4.6.3 Hoạt động 3 91

KẾT LUẬN 97

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Thị Hoài Châu vì

Cô là người đã dẫn dắt tôi bước vào con đường nghiên cứu khoa học và là người đã tận tình chỉ dẫn, động viên tôi, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn : PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến,

TS Đoàn Hữu Hải, PGS TS Claude Comiti, PGS TS Annie Bessot, TS Alain Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc giúp chúng tôi có thể tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên ngành nghiên cứu rất thú vị - Didactic Toán

Tôi xin chân thành cảm ơn :

 Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, ban

chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học

 Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP.HCM), trường

THPT Nguyễn Hiền (TP.HCM) và trường THPT Trần Hưng Đạo (TP.HCM)

đã hỗ trợ giúp tôi tổ chức thực nghiệm 1 và thực nghiệm 2

 Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT chuyên Lê

Hồng Phong đã tạo điều kiện để tôi có thể hoàn thành luận văn này

 Chị Vũ Như Thư Hương, người đã động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình

thực hiện luận văn này

Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những buồn vui và khó khăn trong quá trình học tập

Cuối cùng, tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình, đặc biệt là Bố, Mẹ và hai em trai yêu quí Người đã, đang và

sẽ mãi mãi là chỗ dựa vững chắc nhất cho tôi về mọi mặt

Trần Túy An

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Từ những năm đầu của thập kỷ 90, một vài nhà nghiên cứu giáo dục Việt Nam đã có

tư tưởng đưa Xác suất vào chương trình môn toán dạy ở trường phổ thông Tuy nhiên, phải đến năm học 2007-2008, lần đầu tiên một số kiến thức về xác suất mới chính thức

có mặt trong chương trình Toán bậc trung học được áp dụng trên toàn quốc Để thuận

tiện, trong luận văn này chúng tôi quy ước gọi đây là “chương trình mới”

Nói là “chính thức” và “trên toàn quốc” vì hai lý do Thứ nhất, chương trình mới được hình thành từ chương trình thí điểm, đã được thử nghiệm từ năm học 2003-2004, ở

một số trường trung học phổ thông (THPT) Năm nay, 2006-2007, là năm thứ ba Xác suất được giảng dạy ở lớp 11 tại các trường sử dụng sách giáo khoa (SGK) viết theo chương trình thí điểm Và SGK sẽ được sử dụng trên toàn quốc cho lớp 11 vào năm học tới không có sự khác biệt gì lớn so với SGK thí điểm Thứ hai, vì thực ra thì Xác suất đã được đưa vào chương trình dành cho các lớp song ngữ Việt-Pháp sớm hơn, từ

1997

Liên quan đến Xác suất, không ít vấn đề đã được nêu lên từ thực tế của 2 năm dạy theo chương trình thí điểm Nhiều giáo viên cảm thấy lúng túng trong thực hành dạy học Bản thân tôi, một giáo viên đang giảng dạy theo chương trình song ngữ và sẽ phải giảng dạy theo chương trình mới còn có thêm một lúng túng khác : dường như hai chương trình tiếp cận khái niệm xác suất theo hai quan điểm không hoàn toàn như nhau

Điều này làm nảy sinh trong tôi những thắc mắc sau : đâu là điểm giống nhau và khác nhau giữa hai cách trình bày khái niệm xác suất trong SGK thí điểm và SGK song ngữ

ở Việt Nam ? Trên thực tế, giáo viên dạy theo chương trình song ngữ và giáo viên dạy theo chương trình thí điểm tiến hành giảng dạy khái niệm xác suất như thế nào ? Sự lựa chọn của họ ảnh hưởng ra sao đến việc hiểu và sử dụng khái niệm xác suất của học sinh ?

Quả thực, việc đi tìm lời giải đáp cho các câu hỏi trên đây sẽ rất có ích cho hoạt động giảng dạy của chúng tôi, đặc biệt là trong bối cảnh chương trình mới sẽ được triển khai

ở lớp 11 vào năm học tới (2007-2008) Vì vậy, chúng tôi quyết định chọn đề tài

“Nghiên cứu thực hành giảng dạy khái niệm xác suất trong các lớp song ngữ và các lớp phổ thông ở Việt Nam”

Những thắc mắc nêu trên chính là ba câu hỏi xuất phát của chúng tôi Để thuận lợi cho việc trình bày, chúng tôi dùng các ký hiệu Q’1, Q’2, Q’3 để chỉ lần lượt các câu hỏi này

và diễn đạt lại chúng như sau:

 Q’1: Sự giống nhau và khác nhau giữa hai cách trình bày khái niệm xác suất trong SGK thí điểm SGK song ngữ ở Việt Nam?

 Q’2: Trên thực tế, giáo viên dạy theo chương trình song ngữ Việt-Pháp và giáo viên dạy theo chương trình thí điểm tiến hành giảng dạy khái niệm xác suất như thế nào?

 Q’3: Sự lựa chọn của họ ảnh hưởng ra sao đến việc hiểu và sử dụng khái niệm xác suất của học sinh?

2 Khung lí thuyết tham chiếu

Tiếp xúc với lý thuyết didactic toán, chúng tôi hiểu rằng, để nghiên cứu hoạt động dạy học một tri thức nào đó, vấn đề đầu tiên cần tìm hiểu là bản thân tri thức với tư cách là một tri thức toán học, và sau đó với tư cách là tri thức cần dạy Như thế, trong trường hợp của chúng tôi, sẽ phải có 3 nghiên cứu cần thực hiện:

 Nghiên cứu tri thức luận về khái niệm xác suất

 Nghiên cứu khái niệm này với tư cách là một tri thức cần dạy,

 Trên cơ sở đó, tiến hành quan sát và phân tích thực hành của giáo viên

Thực hiện cả ba nghiên cứu trên là điều vượt quá khuôn khổ một luận văn thạc sỹ May mắn thay, đã có một số công trình tiến hành nghiên cứu thứ nhất Hơn thế, với nghiên cứu thứ hai, chúng tôi còn có thể sử dụng kết quả của Vũ Như Thư Hương (2004), người đã đưa ra một phân tích khá đầy đủ về sự lựa chọn của chương trình và SGK thí điểm đối với khái niệm xác suất

Như vậy, để tìm những yếu tố trả lời cho những câu hỏi nêu trên, công việc còn lại của chúng tôi là phân tích chương trình, SGK dành cho các lớp song ngữ - trong sự so sánh với chương trình, SGK thí điểm, sau đó tìm hiểu thực tế dạy học của giáo viên

Trước hết, chúng tôi trình bày tóm lược dưới đây khung lý thuyết mà chúng tôi lấy làm tham chiếu để phân tích chương trình, SGK và nghiên cứu thực tế dạy học Đó chính

là “Lý thuyết nhân chủng học” do Chevallard xây dựng Tại sao lại là “Lý thuyết nhân chủng học”? Bởi vì cả 3 câu hỏi của chúng tôi đều liên quan đến những khái niệm cơ bản của lý thuyết này: quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức,

tổ chức toán học và tổ chức diddactic

Đặc biệt, chúng tôi sẽ tập trung nói về các khái niệm tổ chức toán học, tổ chức

didactic, hai khái niệm không thể thiếu cho những nghiên cứu liên quan đến việc quan

sát thực hành của giáo viên Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình Để trình bày các khái niệm này, chúng tôi dựa vào những bài giảng didactic sẽ được công bố trong cuốn sách song ngữ Didactic toán

2.1 Quan hệ cá nhân đối với một đối tƣợng tri thức

Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với một đối tượng tri thức O, ký hiệu R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O R(X, O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu như thế

nào O, X có thể thao tác O ra sao

Theo quan điểm này việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O là sự điều chỉnh mối quan hệ của X đối với O Cụ thể, việc học tập xẩy ra nếu quan hệ R(X, O) bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại)

2.2 Quan hệ thể chế đối với một đối tƣợng tri thức Phân tích sinh thái

Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong

ít nhất một thể chế Từ đó suy ta việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X Hơn thế, giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào Nói cách khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác O

sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy Theo cách tiếp cận sinh thái

(écologie) thì O chỉ có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại (raison d’être), nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan hệ, những ràng buộc ấy

Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ

tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O R(I,O) cho biết O xuất hiện

ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, … Phân tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I,O) ấy Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan

hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R(I,O)

Với những định nghĩa trên thì trả lời cho câu hỏi Q’1 chính là làm rõ quan hệ của các thể chế mà chúng tôi quan tâm đối với đối tượng O Đối tượng O ở đây là “khái niệm xác suất”, còn thể chế dạy học mà chúng tôi quan tâm là dạy học theo chương trình song ngữ và dạy học theo chương trình thí điểm

Để thuận tiện trong trình bày, chúng tôi dùng các ký hiệu I1, I2 để chỉ lần lượt hai thể chế đó Những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q’3 sẽ được tìm thấy không chỉ qua việc làm

rõ quan hệ thể chế mà còn qua cả nghiên cứu quan hệ cá nhân của học sinh đối với O,

vì, như đã nói trên, tác động của thể chế lên chủ thể X (tồn tại trong thể chế) thể hiện qua quan hệ của X với O Một câu hỏi được đặt ra ngay tức thì : làm thế nào để vạch

rõ quan hệ thể chế R(I,O) và quan hệ cá nhân R(X,O) ?

2.3 Tổ chức toán học

Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội Do đó, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie

Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, , ,], trong đó :

T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T ,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật  ,  là lí thuyết giải thích cho  , nghĩa là công nghệ của công nghệ  Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique) Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành

thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O:

“Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định” (Bosch M và Chevallard Y., 1999)

Hơn thế, cũng theo Bosch M và Chevallard Y., việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của

một chủ thể X tồn tại trong O, bởi vì:

“Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời ), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”

Trong luận văn này, việc xác định các tổ chức toán học gắn với đối tượng O trước hết

sẽ cho phép chúng tôi:

 Vạch rõ các quan hệ thể chế R (I1,O) và R(I2,O)

 Hình dung được quan hệ mà các cá nhân chủ chốt (giáo viên và học sinh) trong mỗi thể chế I1, I2 duy trì đối với O

Hơn thế, chúng tôi sẽ căn cứ vào những tổ chức toán học đã chỉ ra để phân tích hoạt động của giáo viên trên lớp học, xác định sự chênh lệch (nếu có) giữa tổ chức toán học được giảng dạy với đòi hỏi của thể chế

2.4 Tổ chức didactic

Câu hỏi Q’2 liên quan đến thực hành của giáo viên

Theo Chevallard, để phân tích thực hành của giáo viên, nhà nghiên cứu cần phải trả lời hai câu hỏi :

 Làm thế nào để phân tích một tổ chức toán học được xây dựng trong một lớp học nào đó ?

 Làm thế nào để mô tả và phân tích một tổ chức didactic mà một giáo viên đã triển khai để truyền bá một tổ chức toán học cụ thể trong một lớp học cụ thể ?

Ta thấy xuất hiện ở đây thuật ngữ tổ chức didactic Đó là một praxéologie mà kiểu

nhiệm vụ cấu thành nên nó là kiểu nhiệm vụ thuộc loại nghiên cứu Cụ thể hơn, một tổ chức didactic là một câu trả lời cho câu hỏi thuộc kiểu “ Nghiên cứu tác phẩm O như thế nào ? ”

Công cụ lý thuyết mà Chevallard đưa ra để giúp nhà nghiên cứu trả lời hai câu hỏi trên

chính là khái niệm các thời điểm nghiên cứu Theo ông, dù không phải là mọi tổ chức

toán học đều được tổ chức tìm hiểu theo một cách thức duy nhất, thì vẫn có những thời điểm mà tất cả các hoạt động nghiên cứu đều phải trải qua Cụ thể, ông cho rằng một

tình huống học tập nói chung bao gồm 6 thời điểm, và ông gọi chúng là các thời điểm

nghiên cứu (moment d’étude) hay thời điểm didactic (moment didactique)

Thời điểm thứ nhất : là thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với tổ chức toán học OM được

xem là mục tiêu đặt ra cho việc học tập liên quan đến đối tượng O

Sự gặp gỡ như vậy có thể xẩy ra theo nhiều cách khác nhau Tuy nhiên, có một cách gặp, hay « gặp lại », hầu như không thể tránh khỏi, trừ khi người ta nghiên cứu O rất hời hợt, là cách gặp thông qua một hay nhiều kiểu nhiệm vụ Ti cấu thành nên O Sự

« gặp gỡ lần đầu tiên » với kiểu nhiệm vụ Ti có thể xẩy ra qua nhiều lần, tùy vào môi

trường toán học và didactic tạo ra sự gặp gỡ này : người ta có thể khám phá lại một

kiểu nhiệm vụ giống như khám phá lại một người mà người ta nghĩ rằng mình đã biết

rõ

Thời điểm thứ hai : là thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ T i được đặt ra, và xây

dựng nên một kỹ thuật i cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ này

Thông thường, nghiên cứu một bài toán cá biệt, làm mẫu cho kiểu nhiệm vụ cần nghiên cứu, là một cách thức tiến hành để triển khai việc xây dựng kỹ thuật tương ứng

Kỹ thuật này sau đó sẽ lại là phương tiện để giải quyết mọi bài toán cùng kiểu

Thời điểm thứ ba : là thời điểm xây dựng môi trường công nghệ- lý thuyết [/]

liên quan đến i, nghĩa là tạo ra những yếu tố cho phép giải thích kỹ thuật đã được thiết lập

Thời điểm thứ tƣ : là thời điểm làm việc với kỹ thuật

Thời điểm này là thời điểm hoàn thiện kỹ thuật bằng cách làm cho nó trở nên hiệu quả nhất, có khả năng vận hành tốt nhất - điều này nói chung thường đòi hỏi chỉnh sửa lại công nghệ đã được xây dựng cho đến lúc đó Đồng thời đây cũng là thời điểm làm tăng khả năng làm chủ kỹ thuật : thời điểm thử thách kỹ thuật này đòi hỏi phải xét một tập hợp thích đáng cả về số lượng lẫn chất lượng các nhiệm vụ

Thời điểm thứ năm : là thời điểm thể chế hóa

Mục đích của thời điểm này là chỉ ra một cách rõ ràng những yếu tố của tổ chức toán học cần xây dựng Những yếu tố này có thể là kiểu bài toán liên quan, kỹ thuật được giữ lại để giải, cơ sở công nghệ-lý thuyết của kỹ thuật đó, cách ghi hay ký hiệu mới

Thời điểm thứ sáu : là thời điểm đánh giá

Thời điểm đánh giá nối khớp với thời điểm thể chế hóa Trong thực tế, việc dạy học phải đi đến một thời điểm mà ở đó người ta phải « điểm lại tình hình » : cái gì có giá trị, cái gì đã học được,…6 thời điểm nghiên cứu nêu trên cho phép mô tả kỹ thuật

thực hiện kiểu nhiệm vụ dạy một tổ chức toán học như thế nào ?

Phân tích một tổ chức didactic có nghĩa là phân tích cách thức mà sáu thời điểm nghiên cứu trên đã được thực hiện (hay không được thực hiện)

Lưu ý rằng Chevallard không áp đặt phải thực hiện các thời điểm theo đúng trình tự

đã nêu Chẳng hạn, có thể đi đến thời điểm thứ tư rồi lại quay trở lại với thời điểm thứ hai

Khái niệm thời điểm nghiên cứu sẽ mang lại cho chúng tôi một mô hình lý thuyết thỏa

đáng để quan sát hoạt động của giáo viên nhằm tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi Q’2

3 Trình bày lại hệ thống câu hỏi

Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, các câu hỏi cấu thành nên mục đích nghiên cứu của chúng tôi có thể được trình bày lại như sau:

 Q1: Những kiểu nhiệm vụ nào đặc trưng cho khái niệm xác suất được xây dựng trong thể chế I1 (thể chế dạy học theo chương trình song ngữ)? Kĩ thuật nào được sử dụng ? Có hay không các yếu tố công nghệ giải thích cho kĩ thuật ? Những tổ chức toán học nào được xây dựng và cần phải dạy trong thể chế đó ?

 Q2: Sự giống nhau và khác nhau trong quan hệ của thể chế I1 và I2 đối với đối tượng O ?

 Q3: Tổ chức didactic nào được giáo viên thiết lập để tiến hành giảng dạy các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm xác suất ? Có hay không sự chênh lệch giữa tổ chức toán học cần giảng dạy với tổ chức toán học được xây dựng trong lớp học

 Q4: Sự lựa chọn của thể chế và hoạt động giảng dạy của giáo viên ảnh hưởng ra sao đến quan hệ cá nhân của học sinh trong mỗi thể chế đối với đối tượng O ?

4 Trình bày lại cấu trúc luận văn

Nghiên cứu thực hiện ở Chương 1 nhằm tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1 và

Q2

Đối với Q1, chúng tôi sẽ làm rõ quan điểm lựa chọn cách tiếp cận O của thể chế I1 Muốn thế, cần phải phân tích chương trình và sách giáo khoa sử dụng trong các lớp song ngữ Trong phân tích này, vấn đề cơ bản là xác định những tổ chức toán học cần giảng dạy theo sự lựa chọn của I1

Như đã nói, quan hệ của thể chế I2 (thể chế giảng dạy theo chương trình thí điểm) đối với O đã được nghiên cứu bởi Vũ Như Thư Hương (2004) Chúng tôi sẽ sử dụng kết quả của tác giả này để chỉ rõ những tổ chức toán học cần dạy trong thể chế I2 Trên cơ

sở đó chúng tôi cố gắng chỉ ra những điểm giống nhau và khác nhau của hai mối quan

hệ thể chế R(I1,O) và R(I2,O)

Chương 2 dành cho nghiên cứu các hoạt động giảng dạy của giáo viên ở cả hai thể chế

I1 và I2, nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q3

Nghiên cứu thể chế thực hiện ở chương 1 cho phép dự đoán những gì có thể tồn tại trong lớp học, những ràng buộc trên hoạt động dạy của giáo viên, sự tiến triển và thời điểm quan trọng nhất của việc học,… Đây là cơ sở để chúng tôi lựa chọn các tiết học cần quan sát

Khi quan sát, vấn đề đầu tiên của chúng tôi là xác định những tổ chức toán học thực sự được triển khai trong lớp học và tổ chức didactic mà giáo viên đã thiết lập để triển khai

nó Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ :

 Chỉ rõ những kiểu nhiệm vụ liên quan đến O mà học sinh phải giải quyết, những kĩ thuật mà giáo viên đã trao cho họ, những yếu tố công nghệ - lý thuyết giải thích cho các kỹ thuật ấy ;

 Xác định các thời điểm nghiên cứu cấu thành nên tổ chức didactic mà giáo viên được quan sát đã triển khai ;

 Tìm sự chênh lệch (nếu có) giữa tổ chức toán học được xây dựng trong lớp học

và tổ chức toán học cần giảng dạy

Nghiên cứu thực hiện ở chương 1 và 2 sẽ cho phép chúng tôi đưa ra những giả thuyết liên quan đến câu hỏi cuối cùng (Q4) : mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm xác suất hình thành như thế nào dưới những ràng buộc của thể chế và hoạt động

giảng dạy của giáo viên trên lớp Chương 3 được dành cho việc kiểm chứng tính thỏa

đáng của giả thuyết này qua một nghiên cứu thực nghiệm

Với mong muốn tạo ra những điều kiện thuận lợi để quan hệ cá nhân của học sinh đối với O được hình thành theo hướng phù hợp với đặc trưng khoa học luận của tri thức O cần dạy, chúng tôi đề nghị một sự bổ sung cho tổ chức didactic quan sát được Tổ chức

didactic bổ sung đó được giới thiệu trong chương 4 của luận văn Tổ chức này tạo nên

một tiểu đồ án didactic nhằm hình thành những kỹ thuật cần thiết để giải quyết kiểu

nhiệm vụ tính xác suất, kiểu nhiệm vụ cơ bản được đề cập trong các tiết học được

quan sát, và cũng là kiểu nhiệm vụ mang lại nghĩa cho khái niệm xác suất

Tính khả thi của tiểu đồ án đó được chúng tôi kiểm chứng qua một thực nghiệm Do khuôn khổ có hạn của luận văn, chúng tôi chỉ trình bày một phân tích sơ bộ thực tế xẩy

ra trong lớp học để chỉ ra rằng quả là tổ chức toán học được thiết lập qua tiểu đồ án đó hoàn chỉnh hơn tổ chức toán học được xây dựng trong những tiết học mà chúng tôi đã quan sát

CHƯƠNG 1 : QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ VỚI KHÁI

NIỆM XÁC SUẤT

Nghiên cứu ở chương này nhằm mục đích tìm kiếm những yếu tố trả lời cho câu hỏi 1,

2 Muốn thế, nghiên cứu đó phải làm rõ những đặc trưng của quan hệ mà mỗi thể chế I1, I2duy trì đối với O Chúng tôi nhắc lại rằng O là khái niệm xác suất, I1là thể chế dạy học theo chương trình song ngữ Pháp-Việt, I2là thể chế dạy học theo chương trình thí điểm của Việt Nam, chương trình sẽ được triển khai cho các lớp 11 trên toàn quốc vào năm học 2007-2008 Việc làm rõ quan hệ thể chế sẽ được thực hiện thông qua phân tích chương trình và SGK mà mỗi thể chế sử dụng Đặc biệt, để xây dựng cơ sở cho việc quan sát và phân tích thực hành của giáo viên, chúng tôi sẽ cố gắng xác định những tổ chức toán học liên quan đến O được xây dựng trong SGK

Cần phải nói rằng do ảnh hưởng của sự lựa chọn được thực hiện ở Pháp mà chương trình song ngữ chứa đựng một số nội dung không có mặt trong dạy học toán ở các trường THPT Việt nam thời kỳ 1990-2000 Xác suất nằm trong số các nội dung ấy Hơn thế nữa, đối với những nội dung này, người ta chọn một trong những bộ SGK đang được sử dụng ở Pháp thời kỳ sau 1990 - bộ Terracher, xuất bản năm 1995, làm tài liệu cho giáo viên và học sinh các lớp song ngữ Điều đó có nghĩa là đối với khái niệm xác suất, chương trình song ngữ hoàn toàn tuân thủ cả về nội dung cũng như quan điểm tiếp cận của thể chế dạy học ở Pháp giai đoạn những năm 90

Vì lẽ đó, chúng tôi nghĩ rằng, trước khi nghiên cứu quan hệ của thể chế I1 đối với O, cần phải tìm hiểu quan điểm được thừa nhận trong chương trình của Pháp ở giai đoạn này về cách tiếp cận khái niệm xác suất

Việc làm rõ quan điểm lựa chọn của noosphère Pháp về cách tiếp cận O sẽ giúp chúng tôi thực hiện phần thứ hai của chương, dành cho nghiên cứu R(I1,O) Hơn thế, nó còn mang lại những yếu tố cho phép thực hiện một sự so sánh các quan hệ thể chế R(I1,O)

và R(I2,O) Nghiên cứu so sánh này thực hiện ở phần thứ tư – phần cuối cùng của chương, sẽ là một trong những cơ sở để chúng tôi đánh giá thực hành của giáo viên trong hai thể chế Ở đây, đối với R(I2,O), chúng tôi sử dụng kết quả đã được Vũ Như Thư Hương (2004) nghiên cứu Như thế, đối với I2,chúng tôi chỉ trình bày lại một cách ngắn gọn, trong phần thứ ba của chương, những vấn đề mà tác giả này đã làm rõ

về sự lựa chọn cách tiếp cận O và những tổ chức toán học được thiết lập trong SGK

1.1 Quan điểm được thừa nhận trong các chương trình những năm 90 của Pháp

Trước khi phân tích chương trình và SGK, cần phải nói rõ là khái niệm xác suất có thể được tiếp cận theo ba cách khác nhau : tiếp cận tiên đề, tiếp cận Laplace và tiếp cận tần suất1

Tư liệu chủ yếu mà chúng tôi sử dụng ở đây là bài viết “Xác suất và thống kê ở trường

phổ thông từ xưa đến nay” (Les probabilités et les statistiques dans le secondaire d’hier à aujourd’hui) của tác giả Bernard PARZYSZ, in trong cuốn Dạy xác suất ở phổ thông trung học (Enseigner les probabilités au lycée, 1997)

Theo ghi nhận của Bernard Parzys, chương trình 1990 mang lại một sự thay đổi lớn cho việc giới thiệu khái niệm Xác suất ở Pháp Cụ thể là người ta trình bày khái niệm này theo cách tiếp cận “tần suất” :

“Để giới thiệu khái niệm xác suất, người ta dựa trên việc nghiên cứu các chuỗi thống kê có được bởi việc lặp đi lặp lại một phép thử ngẫu nhiên, quan sát các tính chất của tần suất và sự ổn định của tần suất một biến cố cho trước khi phép thử được lặp đi lặp lại một số lần rất lớn” ( B Parzys, 1997,

trang 30)

Sự lựa chọn này hoàn toàn khác với tất cả các chương trình trước đó Cụ thể, nếu xét

từ năm 1970 đến 1990 thì việc dạy học khái niệm xác suất ở Pháp, chủ yếu dựa trên hai cách tiếp cận : tiếp cận tiên đề và tiếp cận Laplace

Cách tiếp cận xác suất theo quan điểm tiên đề là sự lựa chọn của các chương trình áp dụng ở Pháp giai đoạn 1970-1980, giai đoạn cải cách toán học hiện đại Theo khuynh

hướng chủ đạo cuộc cải cách đó thì “một số ít tiên đề có thể cho phép nhận được một

số lượng lớn các kết quả ” (Dạy xác suất ở phổ thông trung học, trang 19) Vì vậy, ở

giai đoạn này, khái niệm xác suất được định nghĩa qua một hệ tiên đề Mô hình toán

học được sử dụng ở đây nhằm “mô hình hóa việc đồng khả năng của các biến cố sơ

cấp, dựa trên sự quan sát tính đối xứng của tình huống được nghiên cứu” (Dạy xác suất ở phổ thông trung học, trang 19), ví dụ như đồng xu hay con súc sắc đồng chất và

cân đối

Giai đoạn 1981-1990 là giai đoạn chống lại cuộc cải cách toán học hiện đại trước đó

Có một sự tiến triển tổng quát của chương trình, mà liên quan đến xác suất thì tiếp cận tiên đề nhường chỗ cho cách tiếp cận Laplace rõ ràng là thực dụng hơn Tuy nhiên, cách tiếp cận này đòi hỏi không gian mẫu của các phép thử phải gồm những biến cố sơ cấp đồng khả năng Việc tính toán xác suất vì thế mà được qui về việc sử dụng các phép đếm của Đại Số Tổ Hợp Như Bernard Parzysz đã nói, cách tiếp cận này không cho phép xác suất can thiệp vào các vấn đề của thực tế, vì tất cả các mô hình mà học sinh được tiếp xúc theo cách này đều là những mô hình toán học

1 Về vấn đề này, đã có nhiều công trình nghiên cứu Những kết quả chủ yếu được tổng hợp lại trong Vũ Như Thư hương (2004)

“[…] cách tiếp cận Laplace chỉ đóng khung trong những không gian mẫu mà các biến cố sơ cấp đều đồng khả năng Điều này khiến chúng ta dừng lại ở các mô hình toán học […] thô cứng” (Dạy xác suất ở phổ thông trung học, trang 36)

Ở đây, thuật ngữ mô hình toán học được hiểu theo nghĩa là mô hình đã được tác động

để làm cho các biến cố sơ cấp trở nên đồng khả năng Khi đó thì không gian mẫu của phép thử thuộc phạm vi hợp thức của cách tiếp cận Laplace Cụ thể, người ta đã tác động bằng cách nào ? Gợi ý của Hubert trả lời cho chúng ta câu hỏi đó

“[…] tưởng tượng một cách thức nào đó để làm cho chúng trở nên quan sát được (đánh số các hạt ngũ cốc, tô màu các con súc sắc, các đồng xu, )” (Dạy xác suất ở phổ thông trung học, trang 241)

Cách làm này cũng được tác giả Bernard DANTAL gợi lại trong bài viết “Analyse

d’activités d’introduction et de sujets de baccalauréat” (Dạy xác suất ở phổ thông

trung học, trang 384)

Theo cách làm ấy, người ta phân biệt hai không gian cùng mô tả một phép thử T, đó là

không gian các kết quả quan sát được và không gian các kết quả có thể Ở đây “không gian các kết quả quan sát được” là tập hợp những kết quả mà người ta có thể nhìn thấy

khi thực hiện phép thử trong thực tế Trái lại, “không gian các kết quả có thể” thì không nhìn thấy được, và để chỉ rõ các phần tử của không gian này thì người ta dùng

phương pháp đã được Hubert gợi ý là tô màu hay đánh số các đồng xu, quả bóng, con

súc sắc, để làm cho chúng trở nên phân biệt Không gian các kết quả có thể còn

được gọi là “không gian mịn nhất”

Chẳng hạn, nếu phép thử T là tung hai đồng xu cân đối, đồng chất thì không gian các kết quả quan sát được có 3 phần tử (1 mặt sấp, 1 mặt ngửa – 2 mặt sấp – 2 mặt ngửa), còn không gian mịn nhất lại có 4 phần tử mà ta có thể ký hiệu là (S, N), (N, S), (S, S), (N, N), với S là “mặt sấp”, N là “mặt ngửa

Chính việc chuyển từ không gian các kết quả có thể sang không gian mịn nhất cho phép người ta bước từ thí nghiệm thực tế sang một mô hình toán học, trong đó các kết quả liên quan đến phép thử T có thể được giả định là đồng khả năng

Trong dạy học xác suất ở giai đoạn 1981 – 1990 ở Pháp, bước chuyển từ thí nghiệm thực tế sang mô hình toán học đã được tác giả SGK hay thầy giáo can thiệp trực tiếp bằng cách tô màu súc sắc hay làm cho hai đồng xu phân biệt Bàn luận về sự lựa chọn này của thể chế, Bernard PARZYSZ viết :

“[ ] trong cách tiếp cận Laplace cổ điển [ ], học sinh luôn được đặt trước một mô hình đồng khả năng (được chọn lựa kĩ lưỡng…bởi thầy giáo), và người ta bỏ mặc ở đằng sau những thắc mắc của học sinh là tại sao phải tô các con súc sắc bằng nhiều màu sắc” (Dạy xác suất ở phổ thông trung học,

trang 37)

Hơn thế nữa, trong thực tế, không phải bao giờ cũng tìm được không gian mịn nhất của mọi phép thử Nói cách khác, không phải bao giờ cũng chuyển được từ phép thí nghiệm thực tế vào mô hình toán học Cách tiếp cận Laplace vì thế mà đã làm mất đi nhiều ứng dụng của khoa học xác suất trong thực tế :

“Trong các bài tập truyền thống, việc tính toán xác suất được xem như là một ứng dụng của Đại số Tổ hợp, học sinh dường như bị đánh lừa bởi vì họ không nhận thấy được các ứng dụng của xác suất trong những tình huống ngẫu nhiên thực tế và phức tạp” (Michel Henry, 1997)

Vậy mà gắn liền toán học với thực tế lại là một quan điểm chỉ đạo cuộc cải cách bắt đầu thực hiện từ những năm đầu của thập kỷ 80 nhằm chống lại toán học hiện đại Trong khi Xác suất đang còn được tiếp cận theo một cách thức xa rời với thực tế như thế thì việc dạy học Thống kê, khoa học có gắn bó mật thiết với Xác suất, đã thể hiện

quan điểm này rất rõ ngay từ chương trình 1986 :

“Chúng tôi nhận thấy trong giai đoạn này có một độ chênh lệch lớn giữa việc dạy Thống Kê và dạy Xác Suất : Thống Kê thì ngày càng gắn với thực tiễn, trong khi Xác Suất vẫn đóng khung trong các mô hình toán Vấn đề đặt ra là tạo nên một không gian cân bằng giữa việc dạy Thống Kê với việc dạy Xác Suất” (Dạy xác suất ở trường phổ thông, trang 28)

Vấn đề đặt ra lúc này là làm cho học sinh vận dụng được công cụ Xác suất để giải các bài toán trong thực tiễn Muốn thế, phải cung cấp cho họ công cụ cho phép giải quyết những trường hợp không thuộc phạm vi hợp thức của công thức Laplace Đây là lý do khiến người ta quyết định đưa vào chương trình 1990 của Pháp cách tiếp cận xác suất theo tần suất Các phép đếm của Đại số Tổ hợp không còn là một công cụ tiên quyết cho việc học xác suất nữa Cũng vì thế mà Đại số Tổ hợp lúc này được tách ra khỏi chương “Xác Suất”

Cách tiếp cận theo tần suất cho phép xác suất can thiệp vào các bài toán thực tế mà công thức cổ điển của Laplace không giải quyết được Nó làm cho lớp các tình huống được nghiên cứu trong lớp học thực sự được mở rộng Người ta tìm thấy trong các sách giáo khoa ở giai đoạn này những phép thử mà xác suất “tiên nghiệm” của biến cố không thể dự đoán trước được - ví dụ điển hình nhất chính là thí nghiệm “gieo đinh mũ”2

Ngoài lý do trên, lợi ích của cách tiếp cận tần suất còn tìm thấy ở ý muốn trao lại cho học sinh việc thực hiện bước chuyển từ các mô hình trong thực tế sang các mô hình toán học, thay vì thầy giáo trực tiếp tác động như vẫn làm trước đây

Giải thích cho ý muốn này, ta có thể viện dẫn đến bài toán mà D’Alembert đã từng

nghiên cứu trong lịch sử Vấn đề là “Tung hai đồng xu liên tiếp, tính cơ hội nhận được

ít nhất một mặt ngửa” Giải quyết vấn đề này, cùng một lúc D’Alembert đưa ra hai mô

hình, tương ứng với hai loại không gian mà ta đã nói trên : không gian các kết quả quan sát được và không gian các kết quả có thể

Trong mô hình tương ứng với không gian thứ nhất (gồm 3 kết quả N-S, N-N, S-S), ông nói rằng xác suất cần tìm là 2/3 Trong mô hình thứ hai (gồm 4 kết quả N-S, N-N, S-N, S-S), kết quả thu được lại là 3/4 Trong lập luận của mình, D’Alembert đã thừa

2Thí nghiệm gieo đinh mũ : thực hiện gieo đinh mũ thì có hai kết quả xuất hiện là đầu tròn cắm xuống đất hoặc đinh nằm nghiêng

nhận quan niệm cho rằng “tất cả các biến cố sơ cấp của một phép thử đều đồng khả năng” cho cả hai mô hình ở trên Chính điều này đã gây ra hai kết quả mâu thuẫn nhau

Về sau, Laplace chọn mô hình thứ hai, nhưng không đưa ra được một cách giải thích thỏa đáng cho sự lựa chọn của mình, chỉ nói rằng “hiển nhiên thấy được kết quả là đồng khả năng” Nhưng nhiều người vẫn thấy mô hình mà Laplace lựa chọn không diễn đạt được đúng thực tế của việc gieo hai đồng xu (tuân thủ nghiêm ngặt luật chơi), như mô hình tương ứng với không gian các kết quả quan sát được

Về vấn đề này, Jean-Claude THIENARD cho rằng chỉ có duy nhất một câu trả lời có

thể được trang bị ở đây là tiến hành thực nghiệm với một số lần rất lớn và quan sát tần suất xuất hiện mặt ngửa” Quả vậy, chính là nhờ thực nghiệm, người ta chứng

minh được kết quả là 3/4, và do đó nhận ra quan niệm “tất cả các biến cố sơ cấp của một phép thử đều đồng khả năng” đã được vận dụng sai lầm cho mô hình tương ứng với không gian các kết quả quan sát được, bởi các kết quả này là không đồng khả năng xuất hiện Vận dụng vào dạy học, Parzysz và Fabregas-Bechler cho rằng :

“Trong một lớp học ở bậc phổ thông, cả hai mô hình trên đều có cơ hội xuất hiện và điều này có thể gây ra một sự xung đột xã hội-nhận thức Sự xung đột này chỉ được giải quyết triệt để nhờ vào việc thực hiện phép thử với số lần rất lớn (tiếp cận tần suất) Tần suất “tiến về” giá trị 0.75 cho phép loại

bỏ mô hình 3 phần tử mà D’alembert nói tới ở trên”. (Parzysz, Fabregas-Bechler, 1999)

Tóm lại, có ít nhất hai lý do giải thích cho sự cần thiết phải cho học sinh tiếp cận với khái niệm xác suất theo tần suất : nhu cầu gắn liền toán học với thực tế trong dạy học toán đòi hỏi học sinh phải có khả năng giải bài toán xác suất khi các biến cố không đồng khả năng xẩy ra, và tiến trình sư phạm để chuyển từ thí nghiệm thực tế vào mô hình toán học, từ không gian các kết quả quan sát được vào không gian các kết quả có thể trong trường hợp có thể vận dụng công thức Laplace

Tuy nhiên, không thể loại trừ tiếp cận Laplace :

“Cả hai cách tiếp cận (Laplace và tần suất) vừa mâu thuẫn nhưng cũng vừa hỗ trợ cho nhau Vì vậy cần một tiến trình sư phạm gắn bó hai cách tiếp cận này, sao cho tận dụng được quan niệm “ban đầu” của học sinh đồng thời giải quyết được các vấn đề trong thực tế Chúng tôi [ ], mong chờ giáo viên sẽ làm cách mạng trong việc giảng dạy của họ theo nghĩa này” (B Parzysz, 1997, trang 36)

1.2 Quan hệ của thể chế I1 với khái niệm xác suất

1.2.1 Khái niệm xác suất trong chương trình song ngữ Pháp-Việt

Trước hết, cần phải lưu ý rằng việc dạy học trong hệ thống song ngữ phải tuân thủ cùng lúc 2 chương trình : chương trình dành cho các lớp thường (không nằm trong hệ song ngữ Pháp-Việt) và chương trình xây dựng riêng cho các lớp song ngữ Lý do là cuối lớp 12 học sinh bắt buộc phải dự kỳ thi tốt nghiệp để lấy bằng tú tài do Bộ Giáo dục và Đào tạo cấp Ngoài ra, nếu muốn, họ sẽ dự kỳ thi lấy bằng BAC của Pháp Trong luận văn này, chúng tôi sẽ gọi chương trình thứ hai là chương trình song ngữ

Chương trình song ngữ đầu tiên được xây dựng vào tháng 6 năm 1997 Hàng năm, chương trình được điều chỉnh theo định hướng tạo nên một sự hài hòa với chương trình dành cho các lớp thường Vì lẽ đó, những thay đổi của chương trình dành cho các lớp thường cũng kéo theo sự thay đổi của chương trình song ngữ

Theo chương trình mới dành cho các lớp thường, bắt đầu áp dụng vào năm học

2006-2007, Thống kê được dạy ở lớp 10 và xác suất ở lớp 11 Đây là hai nội dung mới của chương trình dành cho các lớp thường, nhưng không mới đối với chương trình song ngữ Tuy nhiên, thay đổi này vẫn kéo theo một một sự sắp xếp lại chương trình song ngữ ở hai phần Thống kê và Xác suất Cụ thể, Thống kê vốn được giảng dạy ở cuối học kì 2 của lớp 11 thì bây giờ chuyển vào chương trình lớp 10 Các kiến thức về Xác suất vốn được giảng dạy vào đầu học kì 1 của lớp 12, bây giờ được phân thành hai phần, gọi là Xác suất 1 và xác suất 2 Xác suất 1 thuộc chương trình lớp 11, Xác suất 2 nằm trong chương trình lớp 12

Điều quan trọng cần nói là chương trình chỉ thay đổi về mặt kết cấu thời gian, còn nội dung và sự phân bố các tiết dạy hai phần Thống Kê và Xác Suất không thay đổi Hơn thế nữa, SGK vẫn là bộ sách đã được chọn từ năm 1997, mà như chúng tôi đã nói trong phần mở đầu, đó là bộ TERRACHER xuất bản năm 1995

Sự phân chia dạy học Xác suất thành hai giai đoạn của chương trình song ngữ

2006-2007 như vậy hoàn toàn phù hợp với chương trình mà bộ TERRACHER tuân thủ : Xác suất được dạy ở Premier và Terminale Vì những lý do trên, khi nghiên cứu chương trình song ngữ (từ nay chúng tôi sẽ gọi tắt là chương trình với cách viết CT), đôi khi cần thiết thì chúng tôi cũng tham khảo thêm hai sách giáo viên đi kèm bộ TERRACHER tương ứng với hai phần Xác Suất 1, Xác Suất 2, kí hiệu là P1 và P2

 Xác suất của biến cố

 Các công thức liên quan đến xác suất

 Giới thiệu qui tắc nhân

Công thức Laplace được đưa vào ở phần “Các công thức liên quan đến xác suất” Tuy

nhiên, sự ưu tiên cho cách tiếp cận tần suất được khẳng định ngay từ đầu trong P1, khi

nói về đối tượng dạy học :

“Để giới thiệu khái niệm Xác suất, chúng ta dựa trên sự nghiên cứu các chuỗi thống kê và đặc biệt chú ý đến các tính chất của tần suất, nhất là sự ổn định của tần suất của một biến cố cho trước khi mà phép thử được tiến hành với một số lần rất lớn” (P1, trang 6)

Đại số tổ hợp được khẳng định không là công cụ chủ yếu :

“Mô tả các phép thử dẫn đến việc tổ chức các dữ liệu : chỉ giới hạn trên các ví dụ đơn giản, không bao gồm các khó khăn của Đại số tổ hợp.” (P1, trang 6)

Thay cho các kiến thức của Đại số Tổ hợp, sơ đồ cây và các bảng hai chiều được

sử dụng :

“Các ví dụ đơn giản hướng dẫn cách phân chia và biểu diễn (sơ đồ cây, các bảng,…) để tổ chức và đếm các số liệu liên quan đến việc mô tả phép thử” (P1, trang 7)

Mục tiêu, kĩ năng học sinh phải đạt được sau khi học xong chương này là :

“Biết mô tả vài phép thử ngẫu nhiên và tính toán xác suất” (P1, trang 6)

Lời hướng dẫn của chương trình song ngữ cũng cùng quan điểm như trên :

“Về xác suất, chúng ta cần nhấn mạnh tầm quan trọng gia tăng của các hiện tượng ngẫu nhiên trong tất cả các ngành khoa học và vị trí của nó trong việc giảng dạy Việc giới thiệu này dựa trên sự nghiên cứu các chuỗi thống kê đã được học ở lớp 10” (CT, trang 14)

Như vậy, chúng ta thấy rõ mục đích cách tiếp cận tần suất là quan điểm được I1 lựa chọn cho việc dạy học Xác suất 1

■ Xác suất 2

Xác suất 2 được giảng dạy ở lớp 12, được xếp giảng dạy sau chương Tổ Hợp Chương này được tiến hành dạy trong 11 tiết gồm các nội dung sau :

 Xác suất có điều kiện, công thức “Xác suất toàn phần”

 Biến ngẫu nhiên

 Kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn

Mục tiêu, kĩ năng học sinh phải đạt được sau khi học xong chương này là “tiếp tục

nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên bằng cách sử dụng công cụ của Đại Số Tổ Hợp” (sách P2, tr 16)

Yêu cầu của chương trình đối với phần này là “Nhận biết các tình huống có sử dụng

xác suất có điều kiện, biết cách sử dụng định lí xác suất toàn phần” (CT, trang 16)

Như thế, việc nghiên cứu Xác suất được phân thành hai giai đoạn Giai đoạn 1 đề cập khái niệm xác suất theo tần suất và sử dụng khái niệm này trong những tình huống đơn giản, không cần kiến thức của Đại số Tổ hợp Giai đoạn 2 tập trung vào tính toán xác suất có điều kiện Để tính xác suất, chương trình không nói rõ là cách tiếp cận nào (tần suất hay Laplace) được ưu tiên ở đây

Khái niệm xác suất trong sách giáo khoa của hệ song ngữ Pháp-Việt

Vì hai nội dung Thống kê và Xác suất không có mặt trong chương trình song ngữ đầu

tiên, nên về sau những nội dung này được trình bày trong một tài liệu có tên “Activités propédeutiques.Classes: 11ème -12ème Dossier thématique : Statistiques / Probabilités”, xuất bản bởi Bộ giáo dục và đào tạo Việt Nam tháng 6 năm 1998 Đây

là tài liệu chính thức cho giáo viên và học sinh song ngữ Để thuận tiện, chúng tôi quy ước gọi tài liệu này là M Tài liệu này cũng chỉ là bản photocopy của các phần tương ứng trong SGK TERACHER Première và Terminale Nội dung dạy học được phân thành 4 phần theo đúng quy định của chương trình : người ta đã lấy bốn phần Thống

kê 1, Thống kê 2, Xác suất 1, Xác suất 2

Để có thể trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2, khi phân tích SGK của chúng tôi sẽ tập trung vào việc làm rõ tiến trình hình thành khái niệm xác suất và tổ chức toán học liên quan đến khái niệm này

Trong hoạt động 2, người ta cho học sinh xét ba phép thử

• Phép thử đầu tiên được xem xét là “gieo đinh mũ” Về phép thử này, SGK trình bày như sau

1 Phép thử ngẫu nhiên

Người ta gieo một cái đinh mũ (loại đinh một đầu có mũ và một đầu nhọn) và quan sát các kết quả xảy

ra khi đinh rơi xuống đất Phép thử này có hai kết quả : kết quả 1 (đầu có mũ rơi xuống đất) và kết quả 2 (đinh nằm nghiêng).

Như vậy, bước 1 của hoạt động này cho học sinh một cái nhìn đầu tiên về khái niệm

« phép thử ngẫu nhiên » thông qua ví dụ gieo đinh mũ Đây là một phép thử mà việc

ước lượng « cơ hội » xảy ra của mỗi kết quả khó có thể đoán trước bằng cảm giác và

« khả năng » xuất hiện mỗi kết quả là không đồng đều như nhau

Bước ba là một kiểu nhiệm vụ mà học sinh đã được làm quen ở phần thống kê, đó là xác định tần số xuất hiện kết quả 1 và vẽ đường biểu diễn của các cặp (n, f n), trong đó

n là số lần thực hiện phép thử và f n là tần số xuất hiện kết quả 1 tương ứng

Ở bước 4, sách M yêu cầu học sinh quan sát đồ thị ở bước 3 Theo Sách giáo viên P1 thì đối với bước này, người ta mong muốn xuất hiện nhận xét “giá trị tần số khi tiến hành thực nghiệm với số lần thử càng lớn thì ngày càng ổn định và tiến gần đến con số 5

8” (P1, trang 24) Phân tích hoạt động này, chúng tôi nghĩ rằng sự quan sát đồ thị khó mà dẫn học sinh (HS) đến với nhận xét trên Số lần tiến hành phép thử là 200 - một con số chưa phải là lớn, và dù cho số lần thử là rất lớn thì HS vẫn có thể băn khoăn : tại sao lại là giá trị

Hơn nữa, phép thử này lại được sách M cung cấp sẵn các kết quả thu được và học sinh chỉ việc thao tác trên các kết quả này để đưa ra các kết luận Việc làm này có thể gây

ra những nghi ngờ ở học sinh : thầy giáo biết trước kết quả là 5/8 và lựa chọn các kết

quả sao cho phù hợp với ý đồ của thầy Về điều này, B PARRSYSZ nói :

“[…] học sinh đứng trước các kết quả cho trước mà người ta thường nói là nhờ thực nghiệm chúng ta

có được Điều này không có gì là chắc chắn, học sinh có tất cả lí do để tin ngược lại là các kết quả này được tạo ra để phục vụ những nhu cầu định sẵn.” (Dạy Xác suất ở trường phổ thông, trang 24)

Sau đó sách M đưa vào bảng “luật xác suất” tương ứng với hoạt động trên như sau: Cho xác suất này (xác suất của kết quả 1) giá trị là 5

8 (hợp lí) và chúng ta có được bảng sau:

8 gắn liền với kết quả 1 của phép thử này, còn con số 3

8 gắn liền với kết quả 2 lại được giải thích rất tự nhiên nhờ vào « nguyên tắc tần suất » (principe des fréquences) đã được học ở chương thống kê trước đó Sau bảng “luật xác suất” này, sách M đưa ra thêm qui ước về kí hiệu p(wi) là xác suất của kết quả wi Như vậy chúng

ta có thể nhận thấy rõ «con số 5

8 gắn với kết quả w1 » chính là xác suất xuất hiện của kết quả 1 với ý nghĩa là « giá trị ổn định của dãy tần suất khi số lần tiến hành phép thử

là rất lớn»

• Phép thử thứ hai và thứ ba mà M xét trong phần Hoạt động 2 chính là “gieo đồng

tiền” và “tung súc xắc với 6 kết quả : 1, 2, 3, 4, 5, 6” Hai phép thử đó được đưa ra sau

nhận xét sau :

«Đối với việc tung đinh mũ, chỉ có thực nghiệm mới cho phép tính gần đúng xác suất của một kết quả May mắn thay việc này diễn ra theo một cách khác đối với các phép thử loại khác»

Như vậy, SGK muốn nói đến tính phức tạp của kĩ thuật vừa nêu khi tìm xác suất một

kết quả qua từ được dùng « may mắn thay » Và một kĩ thuật khác (« theo một cách

khác ») cho các phép thử loại khác được đưa ra

Sách M nhận xét như sau về hai phép thử trên :

« Trong trò chơi « tung đồng xu với hai mặt sấp và ngửa », chúng ta luôn giả sử rằng đồng xu được sử dụng là đủ đối xứng (suffisamment symétrie) để cơ hội (chance) xuất hiện các mặt sấp

và ngửa là như nhau »

« « Thảy một con súc sắc » Luôn luôn là những lí do đối xứng và đồng chất để chúng ta có được cơ hội xảy ra 6 mặt là như nhau»

Thông qua cách viết hình thức ở bảng 1.2 và 1.3 thì chúng ta có thể thay thế từ “cơ hội” ban đầu thành từ “xác suất” của các kết quả : sấp, ngửa hay kết quả : 1, 2, 3, 4, 5,

6 Và như đã phân tích ở trên thì xác suất của các kết quả này là như nhau

1 6

1 6

1 6

1 6

Như vậy, chúng tôi nhận thấy rõ các con số p(wi) gắn liền với các kết quả wi trong bảng 1.2 và bảng 1.3 mang một ý nghĩa khác so với các con số p(wi) xuất hiện ở bảng 1.1 Các con số p(wi) ở bảng 1.2 hay bảng 1.3 bằng nhau và được biện minh dựa trên tính chất vật lí là sự đối xứng của con súc sắc và đồng xu Các con số này mang ý nghĩa « cơ hội » hay « khả năng » có thể xuất hiện trước của các kết quả wi khi tiến hành phép thử

Hoạt động 3 với phép thử ngẫu nhiên được mô tả như sau :

« Trong một hộp đen, người ta đặt 12 quả banh không thể phân biệt được khi chạm vào (indiscernable

Chúng tôi nhận thấy rằng sách giáo viên P1 không giải thích lí do tồn tại của các con

số p(wi) (kí hiệu là pi) gắn liền với các kết quả wi trong bảng phân phối xác suất trên Sách M lấy bảng “luật xác suất” của tình huống trong hoạt động 3 và lưu ý đến biến cố

« quả banh rút được trong bình mang số lẻ » Kí hiệu A là biến cố này, ghi lại

A={1,3,5} Sách M dẫn dắt như sau : « Vì xác suất của các kết quả 1, 3, 5 lần lượt là :

Kết thúc hoạt động 4, sách M đưa vào nhận xét sau :

«Trong một vài trường hợp (« sấp hay ngửa », con súc sắc, hay quay số), tất cả các kết quả là có cùng xác suất : chúng ta gọi là đồng xác suất»

Sách M còn chú thích thêm rằng, trong trường hợp phép thử là đồng xác suất bao gồm

N kết quả thì xác suất của tất cả các kết quả giống nhau và bằng 1

N

Bổ sung thêm lí do các kết quả của các phép thử này là đồng xác suất, sách M cũng

đưa ra thêm lập luận là : « Các phát biểu như « đồng xu cân đối », « súc sắc đồng chất », « lấy quả banh ngẫu nhiên » « với cùng cơ hội như nhau » …mang nghĩa các kết quả là đồng xác suất… Chúng ta tôn trọng truyền thống » (M, trang 25)

Cuối cùng, sách M đưa vào ghi chú: « Chúng ta nhận thấy rằng, trong trường hợp đồng xác suất, xác suất của biến cố A là tỉ số giữa các kết quả thuộc vào A với số các kết quả của toàn bộ không gian mẫu » (M, trang 25) Đây chính là công thức cổ điển của Laplace

Nhận xét chung cho phần 1 – Hoạt động chuẩn bị:

Hoạt động 2 được thiết kế với 3 phép thử : gieo đinh mũ, gieo đồng xu và gieo xúc sắc cân đối Hoạt động này mang lại ý nghĩa xác suất của các biến cố sơ cấp liên quan đến

mỗi phép thử Cụ thể :

Phép thử loại 1 là gieo đinh mũ Phép thử này gồm hai biến cố sơ cấp là kết quả 1 và

kết quả 0 Xác suất p1, p2 của hai biến cố sơ cấp này được tìm kiếm thông qua kĩ thuật

« tần suất » Kĩ thuật này không được thể chế hóa cụ thể nhưng thông qua cách thức tiến hành ở hoạt động 2, chúng tôi có thể rút ra các bước tiến hành như sau : thứ nhất, thực hiện phép thử nhiều lần trong điều kiện như nhau ; thứ hai, thiết lập dãy tần suất xuất hiện biến cố khi tiến hành phép thử ; thứ ba, quan sát sự ổn định của dạy tần suất khi số lần tiến hành phép thử là rất lớn và tìm ra giá trị gần đúng của xác suất Như vậy, ý nghĩa của các con số pi là « giá trị gần đúng của dãy tần suất khi số lần tiến hành phép thử là rất lớn »

Phép thử loại 2 (gieo đồng xu và gieo con súc sắc) Kĩ thuật tìm xác suất pi của các biến cố sơ cấp liên quan đến phép thử loại này : nhờ vào tính đối xứng của cấu trúc vật

lí để biện minh cho kết luận « các kết quả là cùng cơ hội » Xác suất trong trường hợp này chính là « cơ hội », « khả năng » có thể xảy ra của mỗi biến cố sơ cấp liên quan đến phép thử Như vậy, khái niệm xác suất ở đây được tiếp cận theo « hình học ngẫu nhiên », nguồn gốc của công thức cổ điển Laplace3

Hoạt động 3 trưng ra một ví dụ về cách tính xác suất của biến cố A từ xác suất của các biến cố sơ cấp có được liên quan đến phép thử T Ví dụ này có vai trò như một hoạt động dẫn nhập cho định nghĩa xác suất của biến cố A ở phần Bài Học Cuối cùng, trong phần này, sách M cũng đưa ra các phát biểu thừa nhận tính đồng khả năng ở các biến cố sơ cấp của 3 loại phép thử quen thuộc, chúng có một vai trò rất quan trọng trong lịch sử hình thành khái niệm xác suất : « gieo đồng xu cân đối », « gieo xúc sắc

cân đối » và « lấy ngẫu nhiên quả banh »

■ Phần 2 - Bài học

Mục đích tổng quát của phần này là trình bày các định nghĩa, khái niệm, định lí liên

quan đến tri thức cần giảng dạy

• Các khái niệm liên quan đến xác suất

Phép thử ngẫu nhiên

Sách M mô tả khái niệm này thông qua hai phép thử với tính chất : gồm hữu hạn các biến cố sơ cấp đồng khả năng xuất hiện (« gieo đồng xu » và « lấy ngẫu nhiên quả banh ») làm đại diện đặc trưng cho khái niệm phép thử ngẫu nhiên trong phần Bài học, sách M không chú trọng đến phép thử loại hữu hạn biến cố sơ cấp « không đồng khả

năng » đã nêu ở hoạt động 2

Biến cố gắn liền với phép thử ngẫu nhiên

Sách M định nghĩa biến cố là tập hợp con của không gian mẫu Và định nghĩa biến cố

sơ cấp (événement élémentaire) là biến cố mà chỉ gồm duy nhất một kết quả (issue)

Sách P1 đồng nhất hai từ « issue » và « événement élémentaire » và qui ước là sử dụng

từ « issue » trong chương trình vì lí do rõ ràng và đơn giản (sách P1, tr 50)

Cuối cùng mối liên hệ giữa biến cố và các tập con của không gian mẫu được trình bày trong bảng ở sách M, tr 26 Thông qua bảng này, sách M cũng định nghĩa biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố hợp, biến cố giao, biến cố xung khắc

3 Định nghĩa tiếp cận « hình học ngẫu nhiên » được nêu lên trong sách Mathématiques 1 re s thuộc collection Dimathème, xuất bản năm 2001 trang 271 : “Khi diễn đạt xác suất dựa trên các lí luận về sự đối xứng (chẳng hạn như hình dạng của con súc sắc) thì được gọi tiếp cận hình học ngẫu nhiên” Michel Henry bổ sung thêm trongDạy học xác suất ở trường phổ thông, trang 337 « … « hình học ngẫu nhiên » được hiểu là đồng khả năng trên các kết quả của phép thử » Bernard PARZYSZ khẳng định công thức cổ điển của Laplace dựa trên « hình học ngẫu nhiên » của Pascal (trongDạy học xác suất ở trường phổ thông, trang 36)

• Khái niệm xác suất

Luật xác suất

Chọn lại hai bảng phân phối xác suất đã tìm được ở hoạt động 2 để mô tả cho khái

niệm « luật xác suất » Sách M ghi là « bảng mà cho biết xác suất của mỗi kết quả

(biến cố sơ cấp) là luật xác suất »

1 6

1 6

1 6

1 6Bảng 1.6

Bảng 1.5: bảng phân phối xác suất của việc gieo súc sắc gồm 6 kết quả {1,2,3,4,5,6}

Sáu biến cố sơ cấp này có cơ hội xuất hiện như nhau nhờ vào tính đối xứng và đồng chất của con xúc sắc

Bảng1.6 : là bảng phân phối xác suất của phép thử chọn quả cầu trong túi đen, phép

thử này gồm hữu hạn biến cố sơ cấp không đồng khả năng xuất hiện, việc giải thích

cho sự xuất hiện của các con số pi gắn liền với các biến cố sơ cấp này không được trình bày một cách tường minh

Theo chúng tôi, vai trò của việc hình thành các bảng « luật xác suất » này chính là việc

thiết lập một tương ứng giữa các kết quả wi của một phép thử với các con số pi (xác suất xuất hiện kết quả wi) Việc hình thành các bảng này cũng là lời thuyết phục của 2 nhận xét sau trong M

 Xác suất của mỗi kết quả là một con số nằm giữa 0 và 1

 Tổng tất cả xác suất của các kết quả một phép thử là 1

Tiếp theo, M đưa ra định nghĩa 2 về đồng xác suất như sau :

« Khi tất cả các kết quả (biến cố sơ cấp) của phép thử có cùng xác suất thì người ta gọi là đồng xác suất và trong trường hợp này, nếu không gian mẫu có N thành phần thì xác suất của kết quả w là

P(w)=1/N »

Nhận xét :

Trong định nghĩa trên, chúng ta nhận thấy để giải quyết nhiệm vụ : chứng minh phép

thử là đồng xác suất Theo tiến trình phân tích đến lúc này thì rõ ràng chúng tôi nhận

thấy có hai kĩ thuật như sau :

Kĩ thuật thứ nhất : dùng kĩ thuật tần suất để tính xác suất của các biến cố sơ cấp liên quan đến phép thử Nếu xác suất của các biến cố sơ cấp này bằng nhau thì kết luận là phép thử đồng xác suất, ngược lại thì không

Kĩ thuật thứ hai : Dựa trên tính chất đối xứng của các vật thể tham gia trong phép thử (đồng xu, súc sắc, trái banh,…) để kết luận về xác suất của mỗi biến cố sơ cấp Cũng

từ các xác suất của các biến cố sơ cấp này để kết luận phép thử có đồng xác suất hay không

Định nghĩa Xác suất của biến cố A

Sách M đưa ra định nghĩa « xác suất của biến cố A » là tổng của tất cả các xác suất của các biến cố sơ cấp thuộc vào A và nêu ra hai tính chất của định nghĩa này nhưng không chứng minh

 Đối với biến cố chắc chắn , P  1

 Đối với mỗi biến cố A, 0P A 1

Hai nhận xét này chính là nội dung của hai tiên đề đầu tiên của hệ tiên đề Kolmogorov

về xác suất

Cuối cùng, sách M đưa ra công thức cổ điển của Laplace về « xác suất của biến cố A » như sau :

Khi tất cả các kết quả là đồng xác suất, chúng ta có :

P (A) = số phần tử của A/số phần tử của 

Rõ ràng, kết quả này dễ dàng đươc chứng minh nhờ vào định nghĩa « đồng xác suất »

và định nghĩa xác suất của biến cố A Cuối cùng, sách M đưa ra các công thức tính xác

suất của biến cố hợp, biến cố đối và hai biến cố xung khắc

Nhận xét cho phần 2 – Bài học

Hình thức trình bày khái niệm xác suất trong phần Bài học có thể tổng quát như sau: Với mỗi phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn biến cố sơ cấp w w1, 2 , ,w nthì luôn tồn tại một bộ số thựcp p1, 2, ,p ntương ứng với mỗi kết quả trên thỏa hai điều kiện sau :

 Loại 1 : Đối tượng của phép thử có cấu trúc vật lí là « đối xứng » thì các biến cố

sơ cấp là đồng khả năng (tức là các con số pi bằng nhau) Các số pi mang nghĩa

« cơ hội » hay « khả năng » xảy ra

 Loại 2 : Đối tượng của phép thử có cấu trúc vật lí là không đối xứng (đinh mũ) thì phải dùng kĩ thuật tần suất để tìm xác suất Các con số pi mang ý nghĩa là

« giá trị gần đúng của dãy tần suất khi số lần tiến hành phép thử là rất lớn » Sau đó, nhờ vào sự tồn tại xác suất pi của mỗi biến cố sơ cấp (kết quả) wi liên quan đến phép thử T Sách M đưa vào định nghĩa xác suất của biến cố A là P(A)=  

1

m ij j

suất của biến cố A chính là công thức cổ điển của LaplaceP A( ) CardA

■ Phần 3 – Luyện tập

Mục đích tổng quát của phần này là giới thiệu các dạng toán quen thuộc và lời giải chi tiết liên quan đến tri thức cần giảng dạy Qua đó, xây dựng các kĩ thuật để dưới phần đóng khung “point méthode”

Cụ thể, trong phần này, sách M đưa ra một kĩ thuật để tính xác suất : kĩ thuật liên quan đến công thức cổ điển của Laplace (kí hiệu là kĩ thuật La) và 3 công cụ dùng để hỗ trợ cho phép đếm các kết quả của phép thử ngẫu nhiên : sơ đồ cây, bảng hai chiều và qui tắc nhân

Ví dụ được sách giáo khoa M đưa ra nhằm hình thành và củng cố kĩ thuật tính xác suất bằng công thức Laplace như sau :

Người ta rút, ngẫu nhiên, một lá bài trong một bộ bài 52 lá Xét các biến cố sau :

A : « lá bài rút ra là con bích »

B : « lá bài rút ra là màu đỏ »

C : « lá bài rút ra là một cái hình (già, đầm, bồi) »

Tính xác suất của biến cố A, B, C, AB A, C B, C

Lời giải sách M đưa ra như sau :

Tình huống trên rõ ràng là tình huống « đồng xác suất » Xác suất của một biến cố là :

Hiển nhiên là “rút ngẫu nhiên 52 lá bài” thì gồm 52 kết quả có thể

Tính xác suất biến cố A: Vì một bộ bài có 13 con bích nên 13 1

Như vậy, sách M hiển nhiên thừa nhận tình huống trên là gồm 52 biến cố sơ cấp

« đồng xác suất » Phép đếm các kết quả thuộc vào biến cố A, B, C dễ dàng thực hiện nhờ kĩ thuật “liệt kê”

Tiếp theo, sách M đưa ra hai kĩ thuật để hỗ trợ cho phép đếm : « Xem xét một vài kĩ

thuật đồ thị (sơ đồ cây, bảng) để đếm các kết quả của một phép thử ngẫu nhiên một cách có phương pháp”

Bài toán 1: Tung một đồng xu 4 lần liên tiếp Ta kí hiệu mỗi mặt của đồng tiền là (P=Pile, F=face) Biến cố nào có khả năng xảy ra nhiều hơn : A hay B

A : Sự phân chia 2-2 (2piles và 2 faces)

B : Sự phân chia 3-1 (3 pliles và 1 face, hay 3 faces và 1 pile)

Sau đó sách giáo khoa (P1, tr 31) đưa ra lời giải chi tiết gồm hai bước :

Tìm tất cả các kết quả bằng sơ đồ hình cây :

Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một đường đi từ gốc đến ngọn cây Vậy thì chúng ta chỉ việc

« đọc » theo các con đường có thể và đếm

Theo cây trên, có tất cả 16 kết quả là đồng khả năng, vậy đủ để chúng ta đếm (tức là dùng công thức

cổ điển của Laplace)

Có tất cả 6 con đường thuộc vào biến cố A, vậy P(A) =

Kết luận : biến cố B có khả năng xảy ra nhiều hơn

Kết luận cho bài toán 1 được đóng khung dưới dạng « point méthode », sách M có ghi

nhận như sau : « Phương pháp này thay thế cách liệt kê Kĩ thuật này cho thấy tính

tiết kiệm và chắc chắn hơn kĩ thuật liệt kê »

Bài toán 2 giới thiệu kĩ thuật sử dụng bảng khi phép thử ngẫu nhiên được thực hiện gồm hai giai đoạn

Các kết quả của phép thử “gieo hai con súc sắc và ghi chú tổng số điểm nhận được” được sắp xếp trên một bảng như sau:

Kết luận của phần “point méthode” được nêu lại trong sách M trang 31 như sau:

“Phương pháp này được dùng cho các phép thử ngẫu nhiên mà gồm hai phép thử đơn Kết quả của phép thử dạng này thông thường được kí hiệu bởi một cặp”

Cuối phần 2 này, sách M cũng nêu ra hạn chế của hai kĩ thuật trên là không thể thực hiện khi số giai đoạn thực hiện lập lại phép thử quá lớn :

Ví dụ « khi gieo con súc sắc ngẫu nhiên 3 lần thì chúng ta cần một bảng 3 chiều » hay «gieo đồng xu

10 lần » thì chúng ta cần một cây mà có tới 210=1024 cái ngọn » (sách M, trang 32 )

Sau nhận xét này, sách giáo khoa vào phần 3 nhằm giới thiệu qui tắc nhân

« Nếu một công việc gồm hai hay nhiều giai đoạn, với p cách chọn ở giai đoạn 1, q cách chọn ở giai đoạn 2… Vậy có tất cả p.q… kết quả (xem sơ đồ cây minh họa) » (sách M, trang 33)

Như vậy bằng sơ đồ cây, sách giáo khoa M đã thuyết phục học sinh chấp nhận “qui tắc nhân” Công cụ “qui tắc nhân” hỗ trợ phép đếm trong trường hợp số kết quả của một phép thử là quá lớn

 Bước 2 : Đếm số kết quả (biến cố sơ cấp) thuộc vào không gian mẫu

 Bước 3 : Đếm số kết quả thuộc vào biến cố A

 Bước 4 : Lấy kết quả bước 2 chia cho kết quả bước 3

Tuy nhiên, nhiệm vụ con ở bước 1 « kiểm tra phép thử đồng xác suất » không được tiến hành theo đúng kĩ thuật đã trích ra trong định nghĩa « đồng xác suất » mà được sách M hiển nhiên thừa nhận tính đồng xác suất

Ngoài ra, để hỗ trợ cho phép đếm ở bước 2, 3 sách M cung cấp thêm ba kĩ thuật bổ sung (sơ đồ cây, các bảng và qui tắc nhân) ngoài kĩ thuật liệt kê đã sử dụng trước đó

trong các hoạt động phía trước phần Bài Học

Câu hỏi : Có phải thể chế ưu tiên kĩ thuật liên quan đến công thức cổ điển của Laplace cho nhiệm vụ « tính xác suất » ?

■ Phần 4: Bài tập

Chúng tôi nhận thấy, có tất cả 4 kiểu nhiệm vụ hiện diện trong sách M

T1 : Mô tả không gian mẫu Ω

T2 : Mô tả các kết quả thuận lợi của biến cố A

T3 : Tính xác suất của một biến cố

T4 : Lập bảng “luật xác suất”của mỗi phép thử ngẫu nhiên

 Các tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1 : Mô tả không gian mẫu Ω

Có ba kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này

τ1a: Liệt kê mọi phần tử của không gian mẫu Ω

θ1a: Biểu diễn tập hợp bằng cách liệt kê mọi phần tử của tập hợp

τ1b: Sơ đồ cây (bài toán 1 của phần Luyện Tập)

Ví dụ : Tung một đồng xu 4 lần liên tiềp (M, phần 3 luyện tập, trang 30)

τ1c: Bảng hai chiều

Ví dụ : Gieo liên tiếp hai lần một con súc sắc (M, phần Luyện tập, trang 31)

Nhận xét:

Kĩ thuật τ1b hoặc τ1c được dùng để mô tả không gian mẫu của các phép thử gồm

nhiều giai đoạn Mỗi giai đoạn là một phép thử con (gieo một đồng xu, gieo một con súc sắc,…) Tính đồng khả năng của các biến cố sơ cấp thuộc mỗi phép thử con được

biện minh nhờ vào tính đối xứng “hình học” Các kết quả tìm được nhờ kĩ thuật τ1b hoặc τ1c của phép thử gồm nhiều giai đoạn ban đầu được thừa nhận là đồng khả năng

Kết luận này hiện diện hầu hết trong các lời giải của sách P1

Kiểu nhiệm vụ T1 là kiểu nhiệm vụ giúp thực hiện một trong hai mục tiêu giảng dạy

phần Xác suất 1 là : mô tả một phép thử ngẫu nhiên Tuy nhiên, theo kết quả ghi

nhận ở phần thứ nhất của chương này, đầu năm 1990, Pháp đã tiến hành thay thế cách tiếp cận khái niệm xác suất : từ tiếp cận Laplace sang tiếp cận tần suất với mục đích là giải quyết các vấn đề trong thực tế Trong đó, có một vấn đề là trao lại cho học sinh thực hiện bước chuyển từ các mô hình trong thực tế về các mô hình toán học thay vì thầy giáo trực tiếp tác động như vẫn làm trước đó

Sau đây, chúng tôi làm một phân tích nhỏ về tập hợp các không gian mẫu được đề cập đến trong sách giáo khoa M nhằm tìm hiểu việc khai thác vai trò của kĩ thuật “tần

suất” ở đây được thực hiện như thế nào ?

Các phép thử ngẫu nhiên

Chúng tôi liệt kê ra ở đây 4 loại mô hình được nhắc đến trong sách giáo khoa M:

Mô hình TH1: Mô hình này gồm các phép thử đơn (1 giai đoạn), các biến cố sơ cấp

gắn liền với phép thử được chấp nhận là đồng xác suất nhờ vào tính đối xứng “hình học” và được chỉ ra nhờ kĩ thuật “liệt kê” Không gian mẫu của các phép thử loại này

là phạm vi hợp thức của công thức cổ điển của Laplace Sách M nêu ra 3 mô hình cơ bản có vai trò quan trọng trong lịch sử hình thành khái niệm xác suất

Ví dụ 1 : Gieo đồng xu cân đối, đồng chất Ta được 2 biến cố sơ cấp đồng khả năng là Sấp và Ngửa

Ví dụ 2 : Gieo con súc sắc cân đối, đồng chất Ta được 6 biến cố sơ cấp đồng khả năng

là : 1,2,3,4,5,6

Ví dụ 3 : Lấy ngẫu nhiên một quả banh (không phân biệt được khi tiếp xúc) trong một bình kín đựng 10 quả banh Ta được 10 kết quả đồng khả năng

Tính đồng xác suất của các biến cố sơ cấp được thể chế hóa bằng lời và dựa trên việc

tôn trọng truyền thống của lịch sử hình thành khái niệm xác suất “Các phát biểu như «

đồng xu cân đối », « súc sắc đồng chất », « lấy quả banh ngẫu nhiên » « với cùng cơ

hội như nhau » …mang nghĩa là các kết quả đồng xác suất… Chúng ta tôn trọng truyền thống » ( M, trang 25)

Đây là các phép thử với các điều kiện rất lí tưởng, các điều kiện này không thể tồn tại trong thực tế vì trong thực tế Chúng chỉ tồn tại trong phạm vi toán học, chúng tôi gọi

là mô hình toán học loại 1

Mô hình TH2: Mô hình này bao gồm các loại phép thử mà gồm từ hai giai đoạn trở

lên, trong đó mỗi giai đoạn sẽ là một phép thử đơn Các phép thử đơn có thể giống nhau hoặc khác nhau Để đếm số phần tử của các phép thử loại này, sách P1 gợi ý dùng sơ đồ cây, bảng hai chiều hoặc qui tắc nhân Các kết quả của phép thử dạng này được thừa nhận là đồng khả năng Trong các lời hướng dẫn giải trong sách P1 chúng tôi thường xuyên bắt gặp « …tất cả các kết quả trên hiển nhiên là đồng xác suất » hoặc không đề cập đến điều kiện này

Phần lớn các phép thử loại này là gộp của hai hay nhiều phép thử gieo đồng xu, xúc sắc, lấy ngẫu nhiên quả banh

Ví dụ 1 : (bài 38/39) « Gieo hai con súc sắc Quan tâm đến tích của các số thu được »

Ví dụ 2 : (bài 2/32, thuộc phần TP2): Hai người –gọi là X và Y- thực hiện phép thử như sau: X gieo một con xúc sắc và Y rút ngẫu nhiên một quả banh trong bình chứa 8 quả banh : 5 quả kí hiệu là 1 và 3 quả kí hiệu là 0 Lập bảng luật xác suất của tổng các điểm thu được

Ví dụ 3: (bài 50/41) « Một bình kín chứa 5 quả banh màu đỏ và 3 quả màu xanh Lấy một quả ngẫu nhiên và để banh lại trong bình Bằng cách thực hiện n lần, tính xác suất

để không rút được banh màu xanh »

Mô hình TT: Có duy nhất một phép thử thuộc mô hình này được nói đến trong sách M

đó chính là phép thử « gieo đinh mũ », hai kết quả của phép thử này là không đồng khả năng và là mô hình thường gặp trong thực tế Mô hình loại này không thuộc phạm vi

hợp thức của kĩ thuật “cổ điển”

Mô hình TT-TH: Mô hình này bao gồm các phép thử có tính chất như sau :

Liên quan tới mỗi phép thử gồm hai không gian mẫu

Không gian các kết quả có thể quan sát được (issues observables) : các kết quả này được thu nhận qua lời mô tả của phép thử, tức là mô hình hóa lại những gì diễn ra trên thực tế

Không gian các kết quả có thể (issues possibles) : các kết quả này không phải là sự mô hình hóa của thực tế, nhưng các kết quả loại này là đồng khả năng và do đó có thể tận dụng được công thức cổ điển của Laplace

Trong lập luận toán học của Laplace, việc ông khẳng định tính « rõ ràng » và « hiển nhiên » của sự lựa chọn cho mô hình các kết quả có thể cho bài toán D’alembert (phân tích phần 1) đã bị Henry lên tiếng chỉ chích là không mang tính thuyết phục vì không đúng với những gì diễn ra trên thực tế Tuy nhiên, phần lớn các phép thử được tìm kiếm trong sách M thuộc loại này đều được sách P1 hiển nhiên đưa ra không gian các

kết quả có thể mà không giải thích tại sao lại phải dùng đến không gian loại này trong khi nó lại không là mô hình hóa của những gì được mô tả trong phép thử

Ví dụ : (bài tập 9/36) (bài tập này đã được phân tích trong phần « Các tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T4 »)

Mô hình Hoạt động +Bài học Luyện tập Bài tập Tổng cộng

tế Chỉ có duy nhất bài toán của Ngài bá tước Toscane cũng được nhắc lại ở đây với cách giải quyết cho thấy một phần quan trọng của lí thuyết thống kê ở bài toán này

Ngài bá tước Toscane hỏi Galilée: “tại sao khi người ta gieo 3 lần một con súc sắc (3 con súc sắc không phân biệt) thì cơ hội nhận được “tổng 10” là nhiểu hơn “tổng 9” mặc dù cả hai tổng này đều có 6 kết quả xuất hiện như sau :

« cổ điển » Vì liên quan đến cùng một phép thử “gieo ngẫu nhiên 3 con súc sắc không phân biệt (gieo liên tiếp 3 lần một con súc sắc)” nói trên, tồn tại hai không gian mẫu được ngầm xét đến

Không gian các kết quả có thể quan sát được Trong không gian này, hai biến cố “tổng 9” và “tổng 10” cùng bao gồm 6 kết quả vì họ không phân biệt 6-2-1, 6-1-2, … Đây là

mô hình mà Toscane nói đến

Không gian các kết quả có thể gồm các kết quả thu được khi Galilé làm cho 3 con súc sắc trở nên phân biệt Lúc này, hai kết quả 6-2-1 và 6-1-2 được coi như là phân biệt Chính vì vậy mà “tổng 9” được tạo thành từ 25 kết quả và “tổng 10” được tạo thành từ

27 kết quả Nhưng mô hình này không diễn đạt được thực tế diễn ra phép thử

Bước chuyển từ không gian các kết quả có thể quan sát được sang không gian các kết quả có thể cho học sinh thấy vai trò của kĩ thuật “tần suất” trong vấn đề chọn lựa một

mô hình thích hợp cho các vấn đề của thực tế

Tóm lại,

Các phép thử tạo điều kiện vận dụng kĩ thuật « cổ điển » chiếm tuyết đại đa số (37+3/42_95.24%), chỉ có 2 phép thử có sự can thiệp của lí thuyết thống kê (tần suất) Qua số liệu thống kê ở trên chúng tôi nhận thấy rằng sách M tạo nên môi trường là phạm vi hợp thức của công thức cổ điển Laplace

Chúng tôi nhận thấy rằng :

1 Môi trường của sách M tạo thành phạm vi hợp thức của công thức cổ điển Laplace

2 Môi trường được thiết lập ở đây chưa cho thấy vai trò của kĩ thuật « tần

suất » trong việc lựa chọn mô hình toán học tương thích với vấn đề trong thực tế

 Các tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T2: Mô tả các kết quả thuận lợi của biến cố A

τ2: Thực hiện τ1a, τ1b 1 hoặc τ1b 2

 Mô tả không gian các biến cố sơ cấp của phép thử

 Tìm các con số pi gắn vào mỗi kết quả quan sát được như sau :

 Khi các biến cố sơ cấp của phép thử T là thực sự không đồng khả năng thì các con số pi tìm được thông qua luật số lớn trong cách tiếp cận tần suất

Ví dụ : bảng “luật xác suất” trong tình huống 1 của hoạt động 2 Sở dĩ chúng tôi phải lấy lại ví dụ này là vì không còn một ví dụ nào khác tồn tại trong sách M

 Khi các biến cố sơ cấp của phép thử T là đồng khả năng : gieo súc sắc, gieo đồng xu thì các con số pi là dễ dàng tìm được (chính là 1/N, trong đó N là số phần tử của không gian mẫu)

 Khi các biến cố sơ cấp wi mà không đồng khả năng nhưng có thể chọn lựa một không gian khác liên kết với nó mà có các kết quả vi là đồng khả năng Khi đó, các con số pi được tìm được nhờ vào kĩ thuật pi=(số kết quả vi thuộc vào wi)/tổng số kết quả vi thu được Kĩ thuật này không được giải thích, chúng tôi rút ra nhờ việc phân tích phép thử “lấy ngẫu nhiên 1 quà banh trong 12 quả banh Quan sát số xuất hiện trên quả banh” nói trên

Ví dụ: bài tập 9, sách M trang 36

“Một bình kín chứa 4 thẻ kí hiệu là:

Người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ và đặt cạnh nhau từ trái sang phải Kết quả của phép thử này là

“một từ” gồm hai chữ”

Sách P1 trang 52 có lời giải như sau:

Các kết quả (issues), mà cũng có thể hiểu là các biến cố sơ cấp theo qui ước của sách P1, là:

Chúng tôi nhận thấy rõ là liên quan đến phép thử này có hai không gian mẫu :

Không gian các kết quả quan sát được gồm 3 phần tử AA, AN, NA

Không gian các kết quả có thể gồm 12 phần tử tạo thành từ việc đánh số thứ tự cho các chữ A

Sách P1 không giải thích tại sao phải làm cho các chữ A trở nên phân biệt bằng cách đánh thứ tự cho chúng Cách làm này để lại những thắc mắc rất khó giải thích : tại sao phải phân biệt các chữ cái A bằng thứ tự, tại sao lại phải chọn mô hình với 12 kết

quả,

 Các tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T3: Tính xác suất của biến cố A

Tính P(A), A là biến cố

 3a: Kĩ thuật định nghĩa (dùng định nghĩa xác suất của biến cố A) gồm ba bước sau :

 Lập bảng phân phối xác suất của phép thử ngẫu nhiên gắn với biến cố A

 Liệt kê các kết quả thuộc vào biến cố A Ví dụ:w wi1, i2, w im

 Tính P(A)=  

1

m ij j

A A

Nhận xét: Kĩ thuật này không được triển khai trong các bài tập mà chỉ được mô tả duy

nhất một lần trong một ví dụ của họat động 3, hoạt động dẫn đến định nghĩa xác suất của biến cố A Như vậy, chúng tôi nhận thấy là dường như thể chế không ưu tiên cho

kĩ thuật  3a đối với kiểu nhiệm vụ tính xác suất của biến cố A

 3b : Kĩ thuật La (triển khai các bước của công thức Laplace) gồm

 B1: Kiểm tra tính đồng khả năng xuất hiện các kết quả liên quan đến phép thử ngẫu nhiên

 B2: Tính số phần tử của không gian mẫu nhờ các kĩ thuật τ1a, τ1b 1 , τ1b 2 hay

dùng qui tắc nhân

 B3: Tính số phần tử của tập con mô tả biến cố đang xét nhờ kĩ thuật τ2

 B4: Lấy kết quả của bước ba chia cho kết quả của bước hai

θ3b: Công thức tính xác suất của một biến cố theo Laplace

Một ví dụ đã được trích dẫn trong phần Luyện tập

Đặc trưng lời giải của các bài tập được dùng kĩ thuật 3b:

Việc kiểm tra tính đồng khả năng của các kết quả trong một phép thử phần lớn là được thừa nhận, không được chứng minh hay giải thích theo kĩ thuật đã trình bày ở phần : định nghĩa “đồng xác suất”

 3c : Kĩ thuật “tần suất” (kí hiệu kĩ thuật Ts) gồm 3 bước

 Tiến hành phép thử nhiều lần trong cùng một điều kiện

 Lập dãy tần suất xuất hiện biến cố A

 Quan sát sự ổn định của dãy tần suất khi số lần thử rất lớn và tìm ra giá trị gần đúng của xác suất

Công nghệ : Luật số lớn

Nhận xét : Kiểu nhiệm vụ này chỉ xuất hiện một lần duy nhất khi tìm xác suất của

biến cố sơ cấp trong phép thử gieo đinh mũ ở hoạt động 2, không thấy được triển khai trong phần Luyện Tập cũng như phần Bài Tập

Ngoài ra, trong sách giáo khoa M còn xuất hiện các kiểu nhiệm vụ : tính xác suất của biến cố đối, tính xác suất của biến cố giao, biến cố hợp… Vì luận văn này đặt trọng tâm vào vấn đề giảng dạy khái niệm xác suất nên chúng tôi tạm không nói đến các tổ chức toán học nói trên Chúng tôi chỉ phân tích trên đây các tổ chức toán học liên quan đến hai nhiệm vụ trọng tâm được đề ta ban đầu trong nghiên cứu chương trình đó chính là : mô tả phép thử ngẫu nhiên và tính xác suất của biến cố

Luận văn này chỉ nghiên cứu vấn đề giảng dạy khái niệm xác suất Tuy nhiên, trọng tâm của phần Xác Suất 2 là : sử dụng xác suất có điều kiện và công thức tính xác suất toàn phần Do đó chúng tôi không đi sâu vào phân tích chi tiết phần Xác Suất 2 mà chỉ lướt qua về bố cục trình bày

Hoạt động 2, 3 có mục đích giới thiệu khái niệm « Xác suất có điều kiện » và « Biến

ngẫu nhiên »

■ Phần « Bài học »

Phần 1 sách M nhắc lại tất cả lí thuyết của lớp 11 về khái niệm xác suất, trong đó đặc biệt nhấn mạnh đến kĩ thuật tính xác suất bằng công thức cổ điển của Laplace P(A)= CardA

Card Chúng tôi không thấy nhắc lại cách tính xác suất bằng kĩ thuật “tần

suất”

Lƣợc sơ phần Luyện Tập và phần Bài Tập

Phần lớn các bài tập được tập trung rèn luyện kĩ năng vận dụng công thức tính xác suất

có điều kiện và công thức tính xác suất toàn phần phù hợp với yêu cầu đặt ra khi phân tích chương trình Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy có sự xuất trở lại duy nhất một tổ chức toán học của phần Xác suất 1 đó là : (T3,3b) trong đó T3 là kiểu nhiệm vụ tính

xác suất của biến cố A với kĩ thuật là công thức cổ điển của Laplace (có 1 bài trong phần 3 : Luyện Tập và có 6/23 bài trong phần 4 : Bài Tập)

Phân tích tới đây chúng tôi nhận thấy :thể chế ưu tiên kĩ thuật dùng công thức cổ điển của Laplace cho nhiệm vụ “tính xác suất của một biến cố”

Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ của Xác Suất 1

Phần Travaux pratiques

Phần Bài Tập

T2: Liệt kê các kết quả

thuận lợi cho biến cố

Sau khi hình thành khái niệm xác suất cho các biến cố sơ cấp, sách M trình bày định nghĩa xác suất của biến cố A, trong đó P(A)=  

1

m ij j

p w



 với wij là các biến cố sơ cấp thuộc vào biến cố A

Cuối cùng, xét riêng trong trường hợp các biến cố sơ cấp là đồng xác suất, sách M đưa

ra công thức cổ điển của Laplace Với cách trình bày như trên, công thức cổ điển Laplace chỉ là một trường hợp đặc biệt của định nghĩa xác suất của biến cố

■ Quan hệ giữa các tổ chức toán học trong phần Xác Suất 1

Vai trò của các kiểu nhiệm vụ T1, T2, T3

T1 giúp thực hiện một trong hai mục tiêu trọng tâm của phần giảng dạy Xác suất 1 là

mô tả các phép thử ngẫu nhiên

T1, T2 là hai nhiệm vụ thứ cấp trong kĩ thuật  3b khi thực hiện kiểu nhiệm vụ T3: Tính xác suất của một biến cố

T4 xuất hiện như là những minh họa trực quan cho định nghĩa xác suất của biến cố A

và là một thành phần của kĩ thuật  3a khi thực hiện kiểu nhiệm vụ T3 Tuy nhiên

trong toàn bộ hệ thống bài tập không có một bài tập nào được sử dụng kĩ thuật  3a, kĩ

thuật này chỉ xuất hiện một lần duy nhất trong hoạt động dẫn nhập để đưa vào định

nghĩa xác suất

Vị trí và vai trò của kiểu nhiệm vụ T3

T3 giúp thực hiện một mục tiêu bậc nhất trong phần Xác Suất 1 là tính toán Xác Suất Thể chế ưu tiên triển khai kiểu nhiệm vụ này (34/56) chiếm tỉ lệ 60.7%, trong đó kiểu nhiệm vụ T1, T2 là hai kiểu nhiệm vụ hỗ trợ cho kiểu nhiệm vụ T3 Nếu tính đến cả yếu tố này thì chúng tôi nhận thấy tòan bộ trọng tâm của phần Bài Tập là dồn vào việc triển khai và thực hành T3 (54/56), chiếm tỉ lệ đa số 96.43%

Chúng tôi nhận thấy không có một bài tập nào thuộc kiểu nhiệm vụ T3 với kĩ thuật Ts

hay kĩ thuật định nghĩa được nhắc đến trong phần Luyện Tập lẫn phần Bài Tập

■ Quan hệ giữa phần lí thuyết và phần bài tập của Xác suất 1

Chúng tôi nhận thấy rằng :

Từ sau khi công thức Laplace được đưa vào thì chúng tôi nhận thấy mọi kiểu nhiệm vụ

và các kĩ thuật được triển khai trong phần bài tập điều nhắm đến một điều duy nhất là

sử dụng công thức cổ điển của Laplace

Không có một hoạt động nào trong phần Luyện tập nhằm gợi lại kiểu nhiệm vụ T3 với

kĩ thuật Ts và kĩ thuật định nghĩa, cũng như trong phần Bài tập không thấy xuất hiện một bài tập nào phải sử dụng hai kĩ thuật này

Phân tích tới đây làm củng cố giả thuyết của chúng tôi : “Thể chế mong muốn học sinh sử dụng công thức Laplace cho kiểu nhiệm vụ “tính xác suất” của biến cố”

■ Quan hệ giữa phần Xác suất 1 và phần Xác suất 2

Trọng tâm được chương trình nhắc đến cho Xác suất 2 là : “Tiếp tục nghiên cứu các

hiện tượng ngẫu nhiên bằng cách sử dụng công cụ của Đại Số Tổ Hợp”

Vai trò của Đại Số Tổ Hợp trong phần này được thay đổi thành công cụ để nghiên cứu Xác Suất (các hiện tượng ngẫu nhiên) Thật vậy, Đại Số Tổ Hợp dùng làm công cụ để thực hiện phép đếm, phục vụ cho công thức cổ điển của Laplace

Vì vậy, chúng tôi nhận thấy tất cả những gì mà thể chế mong muốn học sinh giữ lại từ phần Xác suất 1 để có thể tiếp tục nghiên cứu Xác suất 2 là công thức cổ điển của

Laplace

■ Về các đối tƣợng liên quan đến Xác Suất

Đại Số Tổ Hợp (ĐSTH)

Đại Số Tổ Hợp không còn giữ vai trò là công cụ tiên quyết trong việc học xác suất 1 vì

đã có việc hỗ trợ của kĩ thuật “sơ đồ cây” , “bảng hai chiều” và qui tắc nhân Tuy nhiên, trong phần Xác Suất 2, khi số phần tử của các phép thử là rất lớn thì phải dùng đến ĐSTH làm công cụ để đếm

Bộ sách là không đáng kể Hơn nữa, trong luận văn này, tác giả đã làm một phân tích rất chi tiết về các tổ chức toán học xung quanh khái niệm xác suất thuộc Bộ 1, còn các kết quả thuộc Bộ 2 chỉ được nói đến dựa trên quan điểm so sánh với Bộ 1 Chính vì thế

để tận dụng các kết quả sẵn có, chúng tôi chỉ nêu ra ở đây các tổ chức toán học xung

quanh khái niệm xác suất được triển khai ở Bộ 1 Các kết quả này cũng là một trong những cơ sở cho việc lựa chọn các tiết học được quan sát ở chương 3

dễ dàng hơn) cũng như việc xây dựng các kỹ thuật đặc trưng cho nghĩa này

Về phạm vi tác động của khái niệm xác suất và các đối

tƣợng liên quan đến khái niệm xác suất

Khái niệm xác suất xuất hiện trong sách giáo khoa một cách độc quyền trong phạm vi

số học và đại số tổ hợp Các bài toán gắn liền với khái niệm này đều yêu cầu tính xác

suất xuất hiện của biến cố, tức tính khả năng xảy ra của biến cố

Đối tượng phép thử ngẫu nhiên có mặt trong sách giáo khoa chỉ gồm loại phép thử có các kết quả đồng khả năng xuất hiện

Bảng thống kê các loại phép thử trong sách M1 (bảng này được chúng tôi thiết lập bổ sung)

Mô hình Ví dụ Bài tập

trong M1

Bài tập trong E1

Tất cả các phép thử đều thuộc vào mô hình toán học, mặc dù có hai phép thử được gợi

ý dùng đến khái niệm tần suất để tính toán xác suất Tuy nhiên, hai phép thử này lại là hai phép thử đã được nhắc đến trong mô hình toán học : « gieo đồng xu », « gieo con súc sắc » Như vậy, lúc này có hai kĩ thuật cùng được chọn lựa để giải quyết cho vấn

đề trên : kĩ thuật  là dùng công thức cổ điển của Laplace và kĩ thuật 'là dùng khái niệm tần suất Sự lựa chọn hai phép thử loại này để tiến hành giải quyết theo kĩ thuật

'

 thì không thấy rõ được lí do tồn tại của kĩ thuật' Ngược lại, sự lựa chọn này gây ra việc cạnh tranh giữa hai kĩ thuật trên : kĩ thuật  tỏ rõ ưu thế hơn vì phù hợp với quan