GIÁ TRỊ ĐẦU CỦA NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HÀM RÀNG BUỘC TUẦN HOÀN

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày việc phân loại đầy đủ của tập những giá trị đầu theo dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình 1.. Đặc biệt, chúng tôi chỉ ra việc phân loại đầy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Đình Tường Long

GIÁ TRỊ ĐẦU CỦA NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HÀM RÀNG BUỘC TUẦN HOÀN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Lê Hoàn Hoá

Thành phố Hồ Chí Minh - 2007

LỜI NÓI ĐẦU

Tính chất tiệm cận của nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính x t Ax t  f t  (1), trong

đó A M d  và f :  d là hàm không tầm thường liên tục tuần hoàn chu kì  , đã được nhiều tác giả nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày việc phân loại đầy đủ của tập những giá trị đầu theo dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình (1) Đặc biệt, chúng tôi chỉ ra việc phân loại đầy đủ của tập những giá trị đầu theo tính chất bị chặn và tính chất tuần hoàn

Nội dung luận văn được trích trong một báo cáo ở Hội nghị Quốc tế về phương trình vi phân tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh năm 2004 Trong báo cáo này, nhiều chi tiết, bổ đề

và định lí chỉ được phát biểu ngắn gọn cho nên chúng tôi cố gắng làm sáng tỏ các chi tiết và chứng minh đầy đủ các định lí và bổ đề Ngoài ra, luận văn còn chứng minh ý tưởng phát triển mà tác giả đã đề xuất cuối bài báo cáo

Luận văn này ngoài lời nói đầu, phần kết luận, phần tài liệu tham khảo và mục lục sẽ được trình bày trong

Cho phép tôi được gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Hoàn Hoá, người thầy đã tận tình giúp

đỡ, hướng dẫn tôi trong quá trình học tập cũng như trong quá trình thực hiện luận văn này Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy cô đã tận tình truyền thụ kiến thức cho tôi trong quá trình học tập tại trường và quý Thầy cô trong Hội đồng bảo vệ luận văn đã dành nhiều thời gian để đọc và cho tôi nhiều ý kiến sâu sắc và quí báu Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn đến quý Thầy cô phòng KHCN- SĐH đã nhiệt tình giúp đỡ chúng tôi hoàn tất các thủ tục bảo vệ luận văn

Cuối cùng, cho tôi cảm ơn đến tất cả bạn bè, đồng nghiệp luôn luôn động viên, cổ vũ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tp Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2007

Tác giả luận văn Nguyễn Đình Tường Long

b e f s ds



 

 (2) Nhiều tác giả nghiên cứu tính chất tiệm cận của nghiệm của (1) Chẳng hạn, Massera đã đưa ra kết quả sau:

Định lí: Nếu phương trình (1) có nghiệm bị chặn trên 0,+ , thì phưong trình (1) tồn tại nghiệm tuần 

k

f k

Từ sự biểu diễn trên, ta có thể tính toán lần lượt mỗi thành phần của nghiệm w của phương trình với b f

đã cho Tuy nhiên, trong trường hợp này nó không rõ ràng để chỉ ra rằng nghiệm w được biểu diễn bởi:

k

k f k

Mục đích của luận văn là đưa ra một sự phân loại đầy đủ của tập những giá trị đầu theo dáng điệu tiệm cận của nghiệm của phương trình (1) Đặc biệt, chúng tôi chỉ ra sự phân loại đầy đủ của tập những giá trị đầu theo tính chất bị chặn và tính chất tuần hoàn

Phần còn lại của luận văn bao gồm: chương 2, chương 3, chương 4, chương 5 và chương kết luận

Chương 2: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính, nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính, số Bernoulli, không gian riêng suy rộng, … để sử dụng cho các chương sau

Chương 3: Biểu diễn nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

Trình bày phương pháp và ý tưởng cơ bản của luận văn trên phương trình vi phân tuyến tính một chiều Sau đó, dựa trên phương pháp và ý tưởng này để xây dựng cách biểu diễn nghiệm của phương trình

vi phân tuyến tính (1) Hơn nữa, chúng tôi cũng chỉ ra rằng cách biểu diễn nghiệm này có sự tương ứng với cách biểu diễn nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính

Chương 4: Dáng điệu tiệm cận, tính bị chặn, tính tuần hoàn

Chương này bao gồm hai mục: 4.1 và 4.2

Mục 4.1 Trình bày sự phân loại đầy đủ của tập những giá trị đầu theo tính bị chặn và tính tuần hoàn của

nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính (1) Sự phân loại này, có sự tương ứng đến sự phân loại của

tập những giá trị đầu theo tính bị chặn của nghiệm phương trình sai phân tuyến tính

Mục 4.2 Trình bày sự phân loại đầy đủ của tập những giá trị đầu theo dáng điệu tiệm cận của nghiệm

phương trình (1)

Chương 5: Phát triển

Chương này trình bày về cách biểu diễn và tính bị chặn của nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính tổng quát x n1Bx nb và của phương trình vi phân tuyến tính x t  A t x t    f t  có sự tương ứng với nhau

Chương kết luận nêu vắn tắt một số kết quả trình bày trong luận văn và những hướng nghiên cứu dự định

trong tương lai

Cuối cùng là tài liệu tham khảo

Trong chương này, chúng tôi qui ước một số kí hiệu và nêu lại một số kiến thức chuẩn bị cần thiết

để sử dụng đến trong các chương sau

7 N(A) Nhân của A

8 R(A) Miền giá trị của A

C B

2.3 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính

Nghiệm của hệ (2.3.1), (2.3.2) viết dưới dạng:

y t  w e f s ds Thay vào (2.3.3), ta có:

x t e we  f s ds Vậy nghiệm của hệ (2.3.1), (2.3.2) là:

     

0

t

t s A tA

x t e we  f s ds.

2.4 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

Xét phương trình sai phân tuyến tính

x n qx n1 , n = 1, 2, … b

x0 a

với b, q 0 là các hằng số

0

n

n k n

k

x aq b  q



2.5 KHÔNG GIAN RIÊNG SUY RỘNG

2.5.1 Vec tơ riêng và giá trị riêng của một tự đồng cấu

Cho :V  là một tự đồng cấu của không gian vectơ V trên trương K Vectơ V  x0 của V mà

 x x

  , với một  nào đó của K, gọi là một vectơ riêng của  ứng với giá trị riêng  của 

Tập tất cả các vectơ riêng của  ứng với cùng một giá trị riêng  cùng với vectơ 0K  làm thành một không gian vectơ của V, kí hiệu là  và gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng  của ;



 chẳng qua là   N  I V

Đa thức đặt trưng của tự đồng cấu  kí hiệu là P  và được xác định bởi P  det  Id V

2.5.2 Không gian riêng suy rộng của một tự đồng cấu

a Định nghĩa: Cho tự đồng cấu  của K-không gian vectơ hữu hạn chiều V Với mỗi  , xét tập K

x V / m 0,m :   Id V m x 0 thì đó là một không gian vectơ con của V Khi nó khác  0 thì

nó được gọi là không gian riêng suy rộng của  ứng với  và kí hiệu M K 

b Tính chất:

1 Rõ ràng nếu  là một giá trị riêng của  thì không gian riêng   M Với mọi không gian riêng suy

rộng M,  phải là một giá trị riêng của 

2. Với mỗi giá trị riêng của , dim gọi là số chiều hình học của  , dim M gọi là số chiều đại số của  Số chiều đại số của  bằng bội của nghiệm  của đa thức đặc trưng

c Định lí:  là một tự đồng cấu của một không gian vectơ hữu hạn chiều V trên trường K mà đa thức đặc

trưng P phân tích được thành tích những nhân tử tuyến tính:

    1  2 

1 s 2 s s m

m

P         ( các (k k1,2, , )m khác nhau từng cặp) thì V là tổng trực tiếp các không gian riêng suy rộng:

Đặt K 0, Khi đó, K là tập compact trong

Vì f là ánh xạ liên tục nên f K  là tập compact trong n n Do đó, f bị chặn trên K

Vì f tuần hoàn chu kì  nên suy ra f bị chặn trên 

Chương 3: BIỂU DIỄN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN TUYẾN TÍNH

3.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU

Phương pháp và ý tưởng cơ bản của luận văn sẽ được trình bày với phương trình vi phân tuyến tính một chiều:

dx ax t  f t 

dt   , x 0 w (5) với a là hằng số và f là hàm vô hướng liên tục tuần hoàn chu kì 

Nghiệm của phưong trình (5) được biểu diễn:

x t x t  e we  f s ds (6)

Tuy nhiên, cách biểu diễn trên không dể thấy dáng điệu tiệm cận của nghiệm Do đó, chúng ta cần đưa ra một sự biểu diễn khác của nghiệm mà với cách biểu diễn này chúng ta dể dàng nhận biết được dáng điệu

tiệm cận của nghiệm

Định lí 3.1: Nghiệm x t   của phưong trình (5) được biểu diễn như sau:

  , thì u t b , f là nghiệm tuần hoàn chu kì 

2) Giả sử e a  Nếu công thức (6) được viết lại: 1

t

v t b  e b e  f s ds , thì v t b , f là một hàm tuần hoàn chu kì  ,

tuy nhiên, nó không cần thiết là một nghiệm của (5)

a t a t s

f a

a t s

at at

f f a

t

a t s at

f a

a) Nếu Re a  , thì nghiệm ( ;0, )0 x t w hội tụ đến nghiệm u t b , f tuần hoàn chu kì  khi t  

b) Nếu Re a  , thì nghiệm ( ;0, )0 x t w hội tụ đến nghiệm u t b , f tuần hoàn chu kì  khi t  

c) Nếu Re a  , thì nghiệm ( ;0, )0 x t w là á tuần hoàn

II) Trường hợp e a  1

1) Nếu b f  , thì mỗi nghiệm ( ;0, )0 x t w là một nghiệm tuần hoàn chu kì 

2) Nếu b f  , thì tất cả nghiệm ( ;0, )0 x t w là không bị chặn

Ý tưởng cơ bản đã được phát biểu một cách đơn giản trong định lí 3.1 Chúng tôi sẽ tổng quát hoá những kết quả ở trên đến phương trình (1) Khi đó vấn đề là tìm những hàm tưong ứng với 1

1

at

f a

g t z t e  f s ds và sẽ tìm một hàm z(t) sao cho g(t) trở nên một hàm tuần hoàn chu kì 

f j

f a

an n

aj

a j

e e

Do đó, nếu chọn  

1

as f a

Vì  liên tục trên t0,t0 và c liên tục trên nên nghiệm z(t) liên tục trên

* Chứng minh tính duy nhất nghiệm:

Giả sử phương trình (11) còn có nghiệm z t 

3.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH.

Ta xem xét trở lại việc biểu diễn nghiệm của phương trình

x  Ax t  f t  (1)

Để áp dụng ý tưởng ở trên đối với phương trình (1) với x 0 w là điều kiện đầu của nghiệm, ta sẽ tịnh

tiến nghiệm x t ;0,w của phương trình (1) như sau: 

M N AE

là không gian riêng suy rộng của A ứng với giá trị riêng i Khi đó ta có sự phân tích tổng trực tiếp

d M1M2  Mr

Đặt Pi là phép chiếu từ d lên Mi cảm sinh từ sự phân tích này

Để tính toán đơn giản, ta gọi  là một trong các giá trị riêng của A và m là số chỉ số của 

Xét phương trình

    tA

f

P z t   P z t  P e b (18) Đặt z s  s ,   s  ,0

Nếu t s n   , s  ,0, n = 1, 2, …, khi đó từ định lí 3.2, phương trình (18) có nghiệm duy nhất

 

 ,

i i

1 !

m

m m

1 !

m

m m

i i

3.3.2 BIẾN ĐỔI ĐẾN TRƯỜNG HỢP LIÊN TỤC

Để tính toán đơn giản, đặt b f  Gọi b x n 0 là nghiệm của

Do đó c t :P z t  e X tA là tuần hoàn chu kì , và P z t   e X c t tA   

* Bây giờ ta kiểm tra hàm ban đầu

u t  e X A P b e  P f s ds là một nghiệm tuần hoàn chu kì 

0

1 1

0 0

j k

i k j i

i k k

i

i k k i k

i k

   

1 1

0 1 !

j

s n m

j j

s n e

A E Y j

0 1 !

j

s n m

j j

Từ P     0 c 0   , điều kiện c  P 0 P   P e A b tương đương

0 1 !

j m

j j

e

A E Y j

0

1

1 ! !1

i A

0 1 !

t m j

j j

0 1 !

t m j j j

A E Y c t j

1

0 1 !

t m j

j t

0 1 !

t m j

j j

A E Y e P f s ds j

Tóm lại những kết quả trên, ta có kết quả sau:

Định lí 3.4: Cho x t  là nghiệm của phương trình (1):

x  Ax f t   ,

với x 0 w và    

0

s A f

0

t

t s A tA

v t b , f

1 1

3) Nếu Re= 0 và Im k với một vài số nguyên k, thì P x n bị chặn nếu và chỉ nếu

i

n i n

và nếu điều kiện (28) vẫn đúng thì khi đó P x n P x 0

3) Nếu Re= 0 và Im k với một vài số nguyên k, ta có:

     nên P x n là bị chặn với bất kì x0 nào 

Định lí 4.2: Các phát biểu sau là tương đương:

1) Phương trình (21) có nghiệm bị chặn

2) P b ik A ik E M   ik với ik   A

Chứng minh định lí 4.2:

1) 2)

Giả sử phương trình (21) có nghiệm bị chặn Áp dụng định lí 4.1, ta có:

A ik E P x   ik 0Y ik A P b ik  với một vài số nguyên k (30) 0

0

!

i m

i i

Giả sử P b ik A ik E M   ik với ik   A Dễ dàng chứng minh được (30), khi đó theo định lí 4.1, ta

có P x n bị chặn, suy ra Phương trình (21) có nghiệm bị chặn 

4.1.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH (1):

x  Ax t  f t 

Chúng ta có kết quả tương ứng với định lí 4.1

Định lí 4.3: Trong phương trình (1), những phát biểu sau là đúng

1 ) Nếu Re> 0, thì nghiệm P x t  ;0,w   bị chặn trên 0, nếu và chỉ nếu 

Hơn nữa, nếu điều kiện (31) vẫn đúng thì rõ ràng P x t  ;0,w u t , ,w b f 

3) Nếu Re= 0 và Im k với một vài số nguyên k, ta có:

t

i m

f i

Một kết quả dưới đây có tương ứng với định lí 4.2

Định lí 4.4: Những phát biểu sau là tương đương:

1) Phương trình (1) có nghiệm bị chặn trên 0, 

k

f R A ik E  với mọi k 

i i

m i i

m i i

Định lí 4.5: Cho P x t   là phép chiếu của nghiệm x t  với x 0 w lên M

I) Trường hợp  i .

(1) Cho Re> 0.

Nếu m   , 0 P x t   là tuần hoàn chu kì 

Nếu m   , 1 P x t   không bị chặn trên 0,  sao cho

Nếu m   , 0 P x t   là tuần hoàn chu kì 

Nếu m   , 1 P x t   là tiệm cận tuần hoàn chu kì  sao cho

Nếu m   , 0 P x t   là tuần hoàn chu kì 

Nếu m   , 1 P x t   là á tuần hoàn

Nếu m   , 2 P x t   không bị chặn trên 0, cũng như trên  ,0 sao cho

(1) Nếu m   , 0 P x t   là tuần hoàn chu kì 

(2) Nếu m   , 1 P x t   không bị chặn trên 0, cũng như trên ,0 sao cho       1    1  , ,  0  

t s i

f i

f i

i

t s i

f i

f i

1 !

m

f m

t

P b m

A E

e P f s ds e P f s ds m

n

n

e e P f s ds e P f s ds e

1111

1

n n

n

n

e e P f s ds e P f s ds e

A E t

0 !

i m

i

t s i

f i

f i

0 !

i m

i

t s i

e P f s ds e P f s ds

e m

e P f s ds e P f s ds

e m

A E Y P P b A E j

Chương 5: PHÁT TRIỂN

Xét phương trình sai phân tuyến tính tổng quát có dạng:

x n1Bx nb, x0 w (34)

Nếu đặt B = U(,0), b b  f , các định lí được phát biểu sau đây sẽ chỉ ra rằng: phương trình (34) có

sự tương ứng (về cách biểu diễn và tính bị chặn của nghiệm) đến phương trình vi phân tuyến tính:

M N B E

là không gian riêng suy rộng của B ứng với giá trị riêng  i

Đặt Qi là phép chiếu từ d lên Mi

Để tính toán đơn giản, ta gọi  là một trong các giá trị riêng của B và d0 là chỉ số của 

Nghiệm tổng quát của phương trình (34) là

d

i i

k i k k n i k n

0

1

!

i i

n i k k

i

n i k n

i k

n i

0 0

0

1 1

1

1 1

1

1 1 0

d d

n i

Tóm lại các kết quả trên, ta có

Định lí 5.1: Cho    B Nghiệm x nw, của phương trình (34) được biểu diễn: b

I) Nếu  , khi đó 1

i i

KẾT LUẬN

Qua quá trình thực hiện luận văn này, tôi học được cách truy cứu tài liệu, học được phương

pháp nghiên cứu để đào sâu và mở rộng kiến thức cho bản thân, đây cũng là cơ hội để vận dụng những kiến thức quí báu đã được Thầy cô truyền đạt trong quá trình học tập ở trường và đồng thời cũng là cơ hội cho tôi bước đầu tập tiếp cận với nghiên cứu khoa học cơ bản

Trong quá trình thực hiện luận văn, bản thân tôi đã cố gắng, nổ lực làm việc với mong muốn hoàn thành luận văn một cách tốt nhất

Về cơ bản, luận văn đã hoàn thành các yêu cầu đặt ra và đồng thời thu được các kết quả sau:

+ Trong chương III, chúng tôi đã cung cấp chứng minh bổ đề 3.1.1 ( bài báo [7] chỉ nêu

ra mà không chứng minh )

+ Trong chương IV, chúng tôi đã cung cấp chứng minh chi tiết hầu hết các kết quả từ bài báo [7], chẳng hạn như các định lí 4.1, 4.3, 4.4, 4.5 (bài báo [7] chỉ nêu ra mà không chứng minh )

+ Trong chương V, chúng tôi đã cung cấp chứng minh chi tiết ý tưởng phát triển của tác giả bài báo [7], chẳng hạn như định lí 5.1 ( bài báo [7] chỉ nêu mà không chứng minh ) Hơn nữa, chúng tôi đã phát biểu và chứng minh hai định lí 5.2, 5.3

Trong tương lai, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu thêm

