GIẢI QUYẾT MỘT BÀI TOÁN ĐẶT RA KHI TÌM HIỂU SÂU VỀ ĐỊNH LÝ FROBENIUS

Herstein khi muốn làm sáng tỏ định lý của Wedderburn-Artin về cấu trúc các vành Artin nửa đơn trong bổ đề 2.1.5 Herstein có nói “Cho K là một trường đóng đại số.. Nếu D là đại số chia

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Việt Mười

GIẢI QUYẾT MỘT BÀI TOÁN ĐẶT RA KHI TÌM HIỂU SÂU VỀ ĐỊNH LÝ

LờI CảM ƠN

Lời nói đầu tiên tôi xin được bμy tỏ lòng biết ơn chân thμnh

đến Ban giám hiệu, Ban lãnh đạo Phòng KHCN & Sau đại học vμ Ban lãnh đạo khoa Toán - Tin học của Trường Đại học Sư phạm Thμnh phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện cho học viên cao học đại số khóa 16 hoμn thμnh tốt nhiệm vụ học tập của mình Xin chân thμnh cám ơn các thầy: PGS TS Bùi Tường Trí, PGS TS Mỵ Vinh Quang, TS Trần Huyên, TS Bùi Xuân Hải …

ở khoa Toán - Tin học của hai trường Đại học Sư phạm vμ Đại học Khoa học Tự nhiên Thμnh phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy vμ giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập

Đặc biệt, xin bμy tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy

PGS.TS Bùi Tường Trí, người đã ra đề tμi vμ trực tiếp hướng

dẫn để tôi hoμn thμnh tốt luận văn nμy.

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Năm 1843 khi nghiên cứu để tìm cách nhân những bộ ba số (a, b, c) thuộc R3, Sir William Rowan Hamilton đã tình cờ phát hiện ra quaternions Sau này, quaternions được biết đến như là một ví dụ chuẩn về vành chia thật

sự Thậm chí, nó còn được chứng minh là vành chia vô hạn (Joseph Henry Maclagan Wedderburn chứng minh vào năm 1905) Dựa trên nền tảng của quaternions năm 1877 Frobenius đã xác định đại số đại số có phép chia trên trường số thực R và đưa đến định lý nổi tiếng - Định lý Frobenius

Khi nghiên cứu về định lý Frobenius chúng ta thấy rõ trường số phức C

là trường mở rộng bậc 2 của trường số thực R, thể quaternions H là mở rộng của trường số phức C và nó có số chiều trên C là 2, số chiều trên R là 4 Tuy

nhiên, trong quyển Lý thuyết các vành không giao hoán (Noncommutative rings) của I N Herstein khi muốn làm sáng tỏ định lý của Wedderburn-Artin

về cấu trúc các vành Artin nửa đơn trong bổ đề 2.1.5 Herstein có nói “Cho K

là một trường đóng đại số Nếu D là đại số chia được, đại số trên K thì D=K”

và trong quyển Đại số (Algebra) của Pierre Grillet có bổ đề 10.6.8 được Grille phát biểu “Cho D là một vành chia được hữu hạn chiều trên một trường con K Nếu K là đóng đại số thì D=K” Vậy phải chăng từ các kết quả

này ta suy ra H=C

2 Mục đích nghiên cứu

Giải quyết bài toán được đặt ra và hiểu rõ, sâu sắc hơn về định lý Frobenius

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Kết hợp giữa đại số hiện đại và lý thuyết vành

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài

Giải quyết mâu thuẫn đặt ra giữa định lý Frobenius và hai bổ đề: Bổ đề

2.1.5 trong quyển Lý thuyết các vành không giao hoán (Noncommutative rings) của I N Herstein, Bổ đề 10.6.8 trong quyển Đại số (Algebra) của

Pierre Grillet

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung của luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Các kiến thức cơ sở

Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về vành, vành chia, trường, đại số trên một trường, trường đóng đại số, một số tính chất của vành chia… Đặc biệt trong chương cũng xây dựng thể quaternions H, đại số quaternions H và chứng minh lại định lý Frobenius

Chương 2: Định lý Wedderburn - Artin và các hệ quả của nó

Nội dung của chương trình bày một số định nghĩa của đại số không giao hoán và chứng minh một số kết quả cơ bản của đại số không giao hoán

để làm cơ sở chứng minh định lý Wedderburn - Artin và các hệ quả của nó Đặc biệt trong chương cũng phát biểu và chứng minh lại bổ đề 2.1.5 trong

quyển Lý thuyết các vành không giao hoán (Noncommutative rings) của I N Herstein, bổ đề 10.6.8 trong quyển Đại số (Algebra) của Pierre Grillet để làm

cơ sở cho chương 3

Chương 3: Giải quyết mâu thuẫn đặt ra ở cuối chương 2

Xây dựng khái niệm đa thức trên một thể và một số tính chất để làm cơ

sở giải quyết vấn đề Mâu thuẫn giữa định lý Frobenius và các bổ đề 2.1.5 của

I N Herstein, bổ đề 10.6.8 trong quyển Algebra của Pierre Grillet đã được

giải quyết ở mục 3.4 của luận văn

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

(R1) R là một nhóm abel đối với phép toán cộng

(R2) Phép nhân có tính kết hợp

(R3) Phép nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng:

(x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy với mọi x, y, z  R Khi hai phép toán điều đã rõ, ta sẽ nói đơn giản: R là một vành

Nhóm (R, +) được gọi là nhóm cộng của vành Phần tử trung lập của nó

ký hiệu bởi 0, phần tử đối của x  R được ký hiệu là (-x) Ký hiệu x - y := x+(-y)

1.1.2 Định nghĩa

Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó giao hoán Vành

R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, tức là có phần tử 1 

R sao cho

1.x = x.1 = x, x  R

1.1.3 Ví dụ

(a) Mỗi tập hợp số sau đây Z, Q, R, C đều lập thành một vành (giao

hoán, có đơn vị) đối với hai phép toán cộng và nhân các số như thường lệ

(b) Tập hợp N các số tự nhiên không lập nên một vành với hai phép toán trên, vì N không khép kín đối với phép trừ

(c) Ta trang bị cho nhóm cộng Z/n các số nguyên modulo n (n > 0) một

phép nhân như sau:

Dễ kiểm tra rằng định nghĩa này không phụ thuộc đại biểu Nhóm cộng Z/n

cùng với phép nhân đó lập thành một vành giao hoán, có đơn vị là [1], được gọi là vành các số nguyên modulo n

(d) Gọi M(n, R) là tập hợp tất cả ma trận vuông cấp n (n > 0) với các phần tử trong một vành R Cùng với hai phép toán cộng và nhân các ma trận, M(n, R) là một vành Nó có đơn vị nếu R có đơn vị Nhưng M(n, R) nói chung không giao hoán nếu n > 1, ngay cả khi R giao hoán

Chẳng hạn 10 0101 1110 1111 0101 1110 01, trong M(2,R), với giả thiết rằng 1  0 trong R

(e) Giả sử A là một nhóm abel (với phép toán viết theo lối cộng) Gọi End(A) là tập hợp các tự đồng cấu của nhóm A Tập này cùng với hai phép toán sau đây

( )(x) =  (x) +  (x), (  )(x) =  ( (x)), , End(A), x A,

lập nên một vành, gọi là vành các tự đồng cấu của A

Phần tử 0 của End(A) là đồng cấu 0, còn phần tử đơn vị là đồng cấu đồng nhất idA

1.1.4 Định nghĩa

Cho R là một vành giao hoán, phần tử a thuộc R được gọi là bội của phần tử b thuộc R (hay a chia hết cho b, ký hiệu a  b) nếu có c thuộc R sao cho a=bc

Trong trường hợp này ta còn nói rằng b là ước của a (hay b chia hết a,

ký hiệu b | a)

1.1.5 Định nghĩa

Nếu a0, b0 là các phần tử của một vành R với tích ab = 0, thì a

được gọi là một ước trái của 0 và b được gọi là một ước phải của 0 Nếu vành

R giao hoán thì a và b được gọi là các ước của 0

Chằng hạn, [2] và [3] là các ước của 0 trong Z/6 vì [2]0, [3]0 nhưng [2][3] = [6] = [0]

1.1.6 Định nghĩa

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị ký hiệu là 1, một phần tử a

thuộc R được gọi là ước của đơn vị nếu tồn tại một phần tử b thuộc R sao cho ab=1 Một phần tử như thế cũng gọi là khả nghịch, nghịch đảo của nó được ký

(a) Vành có đơn vị R được gọi là một thể (vành chia được) nếu 1  0

và mọi phần tử khác 0 trong R đều khả nghịch, nói cách khác, nếu R\{0} là một nhóm đối với phép nhân

(b) Mỗi thể giao hoán được gọi là một trường

Như vậy trường là một vành giao hoán, có đơn vị 1  0 sao cho mọi phần tử khác 0 của nó đều khả nghịch Điều kiện 1  0 tương đương với điều kiện R không tầm thường: R  {0}

(c) Giả sử K là một trường Khi đó, M(n,K) không là một trường nếu n>1, vì vành này không giao hoán

(d) Thể quaternion: Gọi H là không gian véctơ thực 4 chiều Các phần

tử của H là những bộ số thực được sắp thứ tự (a, b, c, d) Đặt = (1,0,0,0), i=(0,1,0,0), j=(0,0,1,0), k=(0,0,0,1) thì { , i, j, k} là một cơ sở của H Mỗi

phần tử q=(a,b,c,d) của H được biểu diễn duy nhất dưới dạng: q= a + bi + cj + dk = a + bi + cj + dk

Phép cộng trên H được định nghĩa như sau:

k j

i -

ij = k, jk = i, ki = j, ji = -k, kj = -i, ik = -j Quy tắc trên cho ta:

(a+bi+cj+dk)(x+yi+zj+tk) = (ax-by-cz-dt) + (ay+bx+ct-dz)i +(az-bt+cx+dy)j + (at+bz-cy+dx)k

Với mọi phần tử q=(a+bi+cj+dk) thuộc vào H ta đều có:

(a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk) = a2 + b2 + c2 + d2 Đặt |q|2 = a2 + b2 + c2 + d2 và q = a - bi - cj - dk ta được

q

d j q

c i q

b q

a q

nghịch đảo của phần tử q=a+bi+cj+dk thuộc H

Chúng ta dễ dàng kiểm tra được với phép toán cộng và phép toán nhân

trên thì H là một thể, gọi là thể quaternion, nhưng không phải là trường

1.2.3 Định nghĩa

Một vành giao hoán R có đơn vị 10 và không có ước của 0 được gọi

là một miền nguyên

1.2.4 Mệnh đề

(a) Một vành giao hoán R có đơn vị 10 là một miền nguyên khi và chỉ khi trong R có luật giản ước: ab = ac, a0  b = c, với mọi a, b, c  R

(b) Mỗi trường đều là một miền nguyên

1.2.5 Ví dụ

(a) Z là một miền nguyên, nhưng không phải là một trường

(b) Z/n là một miền nguyên nếu và chỉ nếu n là một số nguyên tố Thật vậy, nếu n là một hợp số thì nó có thể phân tích thành n = a.b trong đó 0<a,b<n Hay [a][b] = [n] = 0 trong Z/n Vậy Z/n có ước của 0 Ngược lại, giả

sử n là một số nguyên tố, và [a][b] = 0 trong Z/n Khi đó n chia hết a.b, nên hoặc n chia hết a (tức là [a]= 0), hoặc là n chia hết b (tức là [b] = 0) Do đó Z/n không có ước của 0

Kết hợp điều này với ví dụ 1.2.2 (b) ta thấy Z/n là miền nguyên nếu và chỉ nếu nó là một trường

(c) M(n,R) không là một miền nguyên nếu n > 1 Chẳng hạn với n = 2

0000

00

0

0 a a

, với mọi a  R

1.2.6 Bổ đề

Cho R là một miền nguyên, ta có các tính chất sau:

i a | a với mọi a thuộc R

ii c | b và b | a thì c | a với mọi a, b, c thuộc R

iii Cho u thuộc R, nếu u là phần tử khả nghịch thì u | a với mọi a

thuộc R

iv Cho b, u là các phần tử của R, nếu b | u và u là phần tử khả

nghịch thì b là phần tử khả nghịch

v Cho x, x' là hai phần tử thuộc R Một quan hệ S xác định như

sau: xSx' khi tồn tại một phần tử khả nghịch u của R sao cho

x'=ux, là một quan hệ tương đương; x và x' gọi là liên kết

1.2.7 Bổ đề

Cho R là một miền nguyên, hai phần tử x, x’ của R liên kết khi và chỉ khi x | x’ và x’ | x

1.2.8 Định nghĩa

Các phần tử liên kết với phần tử x thuộc miền nguyên R và các phần tử

khả nghịch trong R là các ước không thật sự của x, còn các ước khác của x được gọi là ước thật sự của x

1.3 Trường đóng đại số

Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1 Gọi A là tập hợp gồm tất cả các dãy vô hạn f = (a0, a1, a2, …) trong đó aiR và các ai đều bằng 0, trừ ra một số hữu hạn chỉ số i Ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân trong A như sau Giả sử g = (b0, b1, b2, …)A Khi đó:

f+g = (a0+b0, a1+b1, a2+b2, …)

f.g = (c0, c1, c2, …) trong đó ck = i j

k j i

b a

0, ,

0 , 1, 0, 0, …)

a.Xn = (0, ,0, a, 0, 0, …) với mọi aR

Lúc này ta có f = (a0, a1, a2, …, an, 0, …, 0) = a0 + a1x + … + anxn Đây

là cách biểu thị duy nhất đối với mọi phần tử fA Mặt khác f là phần tử 0 nếu và chỉ nếu a0= a1= a2= …= an=0

1.3.1 Định nghĩa

Vành A nói trên gọi là vành đa thức của ẩn x với các hệ số trong R và

được ký hiệu là R[x] Mỗi phần tử của R[x] được gọi là một đa thức của ẩn x Giả sử f = a0 + a1x + … + anxn với an0 khi đó ta nói f có bậc n và viết deg(f)=n Phần tử ai được gọi là hệ số thứ i của f, còn an gọi là hệ số cao nhất của f

1.3.4 Định nghĩa

Giả sử R là một miền nguyên Phần tử a khác 0 và không khả nghịch

của R được gọi là bất khả quy nếu a không có ước thật sự Mọi phần tử không bất khả quy thì được gọi là khả quy

1.3.5 Định nghĩa

Giả sử F là một trường Ta nói phần tử c thuộc F là một nghiệm của đa thức f(x) = a0 + a1x + … + anxn thuộc F[x] hay là một nghiệm của phương trình f(x) = 0 nếu f(c) = a0 + a1c + … + ancn = 0

Trường F được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức ẩn x có bậc dương

với hệ số trong F đều phân tích được thành tích của các nhân tử tuyến tính trong F[x]

Nói khác đi, trường F là đóng đại số khi và chỉ khi mọi đa thức bất khả quy trong F[x] đều là đa thức bậc nhất

Ví dụ: Trường số phức C là trường đóng đại số

1.4 Đặc số của vành

1.4.1 Định nghĩa

Giả sử R là một vành có đơn vị Ta nói đặc số của R bằng n > 0 nếu n

là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho n.1 = 0 Nếu không có số nguyên dương

nào như thế thì ta nói R có đặc số bằng 0 Đặc số của R được ký hiệu là char

R

Như thế, nếu char R = n 0, thì vành con của R sinh bởi 1 (gồm tất cả các bội nguyên của 1) đẳng cấu với Z/n

1.4.5 Định lý

Giả sử F là một trường Khi đó trường con của F sinh bởi phần tử đơn

vị hoặc là đẳng cấu với Z/p nếu Char F = p, hoặc là đẳng cấu với Q nếu Char F = 0 Nói cách khác mọi trường đều là một mở rộng hoặc của trường Z/p hoặc của trường Q tùy theo đặc số của nó bằng p hay bằng 0

1.4.6 Một vài tính chất của vành chia được

Cho K là một vành chia được, F = {xK: xy = yx với mọi y  K} = Z(K) là tâm của nó, S = { 

K víix x

x2 2

1 } Dễ thấy S có các tính chất sau:

S + S  S

S.S  S

12

Giả sử K không là trường Khi đó tồn tại a, b  K sao cho

abba Đặt c = ab + ba, ta được c  0

Ta có c = ab + ba = (a + b)2 - a2 - b2 nên c  F Hơn nữa ca=(ab+ba)a = a(ba) + (ba)a = (a + ba)2 - a2 - (ba)2 nên ca  F Từ đây cho ta a  F, tức là ta có được ab = ba Điều này cho ta sự mâu thuẫn

Vậy K là một trường

Bổ đề 2:

Nếu K không phải là trường đặc trưng 2 thì S = K

Chứng minh

Nếu Char K  2 thì

2

12

a , aK nên aS do đó S =

K Vậy ta chỉ cần chứng minh điều khẳng định khi Char K = 2 và K không là trường

Với mọi phần tử m, n bất kỳ thuộc K ta có thể phân tích phần tử mn +

nm như sau: mn + nm = (m + n)2 - m2 - n2 Điều này chứng tỏ mọi phần tử dạng mn + nm đều thuộc S

Theo bổ đề 1 thì tồn tại phần tử x  K sao cho x2  F Do đó có thể tìm được phần tử y  K sao cho x2y  yx2 Khi đó phần tử c = x2y + yx2 S

Mọi thể hữu hạn đều là trường

1.5 Đại số trên một trường

(x, y)  xy (c) Phép nhân với vô hướng (trong K):

: K  A  A (, x)  x

A được gọi là một đại số trên K nếu các điều kiện sau được thoả mãn:

(A1) A cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành một vành

(A2) A cùng với phép cộng và phép nhân với vô hướng lập thành một không gian vectơ trên K

(A3) Hai cấu trúc vành và không gian véctơ ở trên A ràng buộc nhau bởi điều kiện:

 (xy) = ( x)y = x( y), với mọi  K, x,y A

Nói cách khác, A là một đại số trên K nếu nó vừa là một vành vừa là một không gian vectơ, trong đó phép cộng của vành A trùng với phép cộng trong không gian vectơ A còn phép nhân của vành A thì liên hệ với phép nhân

vô hướng trong không gian vectơ A bởi công thức

 (xy) = ( x)y = x( y), với mọi  K, x,y A

1.5.2.Ví dụ

(a) Mỗi trường mở rộng của trường K là đại số trên trường K

(b) Vành đa thức K[X] là một đại số trên trường K

(c) Tập hợp M(n, K) các ma trận vuông cấp n với các phần tử trong K lập nên một đại số trên K đối với các phép toán thông thường trên ma trận

(d) Giả sử V là không gian véctơ trên K Tập hợp End(V) các tự đồng cấu của V là một đại số trên K đối với các phép toán thông thường trên tự đồng cấu (trong đó phép nhân là phép hợp thành các đồng cấu)

(e) Đại số Quaternion H:

Xét không gian vectơ thực 4 chiều

H = RRiRjRk, với cơ sở {1, i, j, k} Ta định nghĩa một phép nhân trên H bằng cách thác triển những đẳng thức sau đây, sao cho các điều kiện (A1) và (A3) được thoả mãn:

1

2 2

2  j k 

i , ij = k, jk = i, ki = j, ji = -k, kj = -i, ik = -j

Như thế, H là một đại số trên R, được gọi là đại số Quaternion

Có một diễn đạt khác của đại số này như sau:

H = :a,b C M(2,C)

a b

b a

Trong đó a là liên hợp phức của a, còn các phép toán (cộng, nhân, nhân với

vô hướng) trên H là thu hẹp của các phép toán tương ứng trên M(2,C) Các phần tử 1, i, j, k được đặt tương ứng với các ma trận sau:

,10

01

1  ,

10

01

10

10

Dễ kiểm tra lại rằng các ma trận này thoả mãn các quan hệ về tích giữa 1, i, j,

k nói trên Hơn nữa

01

1

ở đây Re(a) và Im(a) chỉ phần thực và phần ảo của của số phức a

Nhận xét rằng mọi phần tử khác 0 trong H đều khả nghịch Cụ thể là

b a b b a a a

1.5.3.Định nghĩa

Cho A là một đại số trên trường K Một tập con của A được gọi là một đại số con nếu nó vừa là vành con vừa là không gian vectơ con của A

Cho tập con S  A Giao của tất cả các đại số con của A chứa S được

gọi là đại số con của A sinh bởi S Đó chính là đại số con nhỏ nhất của A

chứa S

Tập con B A được gọi là một iđêan của đại số A nếu nó vừa là một

iđêan của vành A vừa là một không gian vectơ con của A

Khi đó có thể định nghĩa đại số thương A/B với các phép toán sau đây

trên tập các lớp kề của B trong A:

(x + B) + (y + B) = (x + y) + B, (x + B)(y + B) = (xy) + B,

 (y + B) = ( x) + B, trong đó x, y  A,   B

Giả sử A, A’ là các đại số trên K, ánh xạ :  : A  A’ được gọi là một

đồng cấu đại số nếu nó vừa là một đồng cấu vành vừa là một đồng cấu K- không gian vectơ Các khái niệm đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu được định

nghĩa tự nhiên

Nếu  : A  A’ là một đồng cấu đại số, thì ker  là một iđêan của đại

số A Hơn nữa có đẳng cấu đại số duy nhất  A/ker :  Im làm giao hoán biểu đồ sau đây

Số chiều của không gian vectơ A trên K được gọi là số chiều của đại số

Cho D là một đại số trên trường K, phần tử aD được gọi là đại số trên

K nếu tồn tại một đa thức p(x) K[x], p(x)0 sao cho p(a) = 0

D được gọi là đại số, đại số trên K nếu mọi phần tử aD đều là đại số

Lấy phần tử a  D và giả sử dimFD = n

Ta có tập các lũy thừa a, a2, a3, …, an+1 của a không thể độc lập tuyến tính Do đó tồn tại các iF sao cho 1a + 2a2 + … +n1an+1 =

0 mà ở đó có ít nhất một i 0

Như vậy a thỏa một đa thức thuộc F[x] khác 0 như sau: p(x)=1x + 2x2 + … +n1xn+1 Do đó, a là phần tử đại số trên F

Vậy D là một đại số, đại số trên F

Lấy D là một đại số chia được hữu hạn chiều trên trường số thực

Ta giả sử dimRD 2 (nếu không thì D =R)

Lấy  D\R thì R[ ] thật sự là một mở rộng đại số của R vì thế R[ ] C

Cố định một bản sao của C trong D và xem D như là một không gian véctơ trái trên C

Lấy aD ta luôn có d+ := ia + aiD+ và d- := ia - aiD-

Mà d++d- = 2ia nên chúng ta có a=(2i)-1(d++d-)D++ D-

Lấy phần tử bất kỳ d+ D+ thì C[d+] là một trường mở rộng đại

số của C vì thế nó chính là C Điều này cho ta D+ = C

Nếu D- = 0 thì chúng ta chứng minh xong Giả sử D-0, cố định một phần tử zD-\{0} Xét ánh xạ C_tuyến tính  :D  Dthỏa

Nếu z2 > 0 thì tồn tại rR sao cho z2 = r2 Điều này cho ta z

=rR (điều này là vô lý)

Ngược lại nếu z2<0 chúng ta có thể viết z2 = -r2 với rR* Đặt j = z/r chúng ta có được j2 = -1 = i2, ji = -ij và D = C Cj =

RRiRjRij

Chương 2 : ĐỊNH LÝ WEDDERBURN-ARTIN VÀ CÁC HỆ QUẢ

2.1 Định nghĩa

Cho R là một vành và  là tập con khác rỗng của R Ta nói  là một

ideal phải của R nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

Ta nói  là một ideal của R nếu nó vừa là ideal phải của R, vừa

là ideal trái của R Nếu R là vành giao hoán thì các khái niệm ideal phải, ideal trái, ideal là trùng nhau

Mọi vành R đều có hai ideal tầm thường là {0} và chính nó

2.2 Định nghĩa

Cho R là một vành và  là một ideal của R

a  là một ideal nguyên tố của R nếu các điều kiện sau được thỏa

mãn:

a1   R a2 Nếu 1, 2 là hai ideal của R mà 12  thì 1  hoặc

2

  

b  là một ideal tối đại của R nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

b1   R

b2 Nếu ' là một ideal của R,   , '   ' thì ' =R

2.3 Định nghĩa

Cho R là một vành

a Phần tử r thuộc R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu r2 = r

b Phần tử r thuộc R được gọi là phần tử lũy linh nếu có nN, n > 0

thỏa rn = 0

c Một ideal  của R được gọi là nil ideal nếu mọi phần tử của nó đều

là phần tử lũy linh

d Một ideal  của R được gọi là một idean lũy linh nếu có số nguyên

dương n sao cho n= {0}

e Một ideal phải  của R được gọi là ideal chính quy nếu có phần tử

aR sao cho x-ax với mọi xR

f Phần tử r thuộc R được gọi là phần tử tựa chính quy phải nếu tồn tại r’ thuộc R sao cho r + r’ + rr’ = 0 Phần tử r’ còn được gọi là tựa nghịch đảo phải của a (Tương tự nếu r + r’ + r’r = 0 thì r gọi là phần tử tựa chính quy trái)

g Một ideal phải  của R được gọi là ideal tựa chính quy phải nếu

mọi phần tử của nó đều tựa chính quy phải

Mọi ideal lũy linh đều là nil ideal

Nếu R là vành có đơn vị (chỉ cần đơn vị trái) thì tất cả các ideal phải đều chính quy

Nếu  là ideal phải chính quy thật sự của R thì  được chứa trong một ideal phải tối đại, chính quy nào đó

Vì  là chính quy nên tồn tại a  R: x-ax với mọi xR Rõ ràng a không thuộc  vì nếu trái lại ax từ đó x với mọi xR do đó  = R (mâu thuẫn giả thuyết)

Gọi ={i ở đó i là ideal phải thật sự của R và  } Ta i

có  vì   Phần tử ai với mọi i vì nếu khác thì i = R

Áp dụng bổ đề Zorn trong  cho ta 0 là phần tử tối đại trong

 Hiển nhiên 0 là chính quy vì x-ax  0 và 0 là một ideal tối đại trong R vì nếu có ideal /

(R)m =R.R…R = R(R)(R)…(R)  m (0) tức R

là một ideal lũy linh

Cho R là một vành không có ideal lũy linh khác (0) và  (0)

là một ideal phải tối tiểu của R thì tồn tại e là phần tử lũy đẳng của

R sao cho  = eR

Ta phải có 2 (0) vì nếu khác thì  là một ideal phải lũy linh

khác (0) của R nên trong R tồn tại ideal hai phía lũy linh khác (0)

(kết quả vừa được chứng minh ở trên) Điều này trái với giả thuyết

Do 2 (0) nên tồn tại x :  x (0) mà x là một ideal phải

của R thỏa x   và do tính tối tiểu của cho tax  Điều này cho ta sự tồn tại của phần tử e : xe = x Vì xe = xe 2 nên x(e-e2) =

0

Xét 0={a : xa = 0} Dễ thấy được  0 là một ideal phải của

R và 0   Ta cũng có 0   vì trái lại thì x (0)(mâu thuẫn) Do tính tối tiểu của  cho ta 0= (0)

Vì e-e2 nên e-e0 2 = 0 tức e2 = e Như vậy e là phần tử lũy đẳng của R

Vì e nên eR  Lại có  ee2 eR

0 nên eR (0) Do tính tối tiểu của  cho ta = eR

Cho R là một vành và a là phần tử thuộc R sao cho a 2 -a lũy linh thì hoặc a lũy linh hoặc tồn tại đa thức q(x) với hệ số nguyên sao cho e = aq(a) là lũy đẳng khác 0

Do a2-a lũy linh nên tồn tại k sao cho (a2-a)k = 0 Khai triển đẳng thức trên cho ta ak = ak+1p(a) ở đó p(x) là đa thức với hệ số nguyên

Bằng cách thay thế ak = ak+1p(a) vào vế phải của đẳng thức trên ta được ak=a(ak)p(a)=a(ak+1p(a))p(a)=a2(ak)[p(a)]2=…=akak[p(a)]k Như vậy ak = a2k[p(a)]k

Nếu ak = 0 thì a là lũy linh

Nếu ak 0 thì đặt e = ak[p(a)]k ta có e 0 và

e2=[ak[p(a)]k]2=(a2k[p(a)]k )p(a)k=akp(a)k=e Như vậy e là phần tử lũy đẳng và e = akp(a)k = a[ak-1p(a)k]=aq(a) ở đó q(x) = xk-1p(x)k là đa thức với hệ số nguyên

Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính quy

Giả sử a là phần tử lũy linh của R Khi đó tồn tại nN sao cho

an=0 Ta đặt b = -a +a2 - a3 + … + (-1)n-1an-1 thì a+b+ab=0 và a+b+ba=0 nên a là tựa chính quy

2.4 Định nghĩa

Cho R là một vành tùy ý và M là một nhóm cộng aben M được gọi là

R-môđun phải nếu có ánh xạ

MxR  M (m, r)  mr

Thỏa mãn các điều kiện sau đây: