THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU HARTOGS Hình học và tôpô

Trên thế giới có nhiều nhà toán học quan tâm và giải quyết vấn đề này như Ivashkovitch, Shiffman, Nguyễn Thanh Vân, Zeriahi, … Ở Việt Nam thì hình thành một nhóm khá mạnh nghiên cứu về b

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đào Quốc Tuấn

THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU HARTOGS

Chuyên ngành: Hình học và tôpô

Mã số: 60 46 10

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THÁI SƠN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010

THƯ

VIỆN

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Thác triển chỉnh hình là một trong những bài toán trung tâm của giải tích phức hữu hạn chiều cũng như vô hạn chiều Trên thế giới có nhiều nhà toán học quan tâm và giải quyết vấn đề này như Ivashkovitch, Shiffman, Nguyễn Thanh Vân, Zeriahi, … Ở Việt Nam thì hình thành một nhóm khá mạnh nghiên cứu về bài toán này, trong đó tập trung các nhà toán học như Hà Huy Khoái, Lê Mậu Hải, Đỗ Đức Thái, …

Cho đến thời điểm gần đây, việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng chú ý

Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay người ta còn gọi là thác

triển chỉnh hình kiểu Hartogs Trong đó trường hợp đặc biệt (nhưng quan trọng) là với

điều kiện nào của không gian phức X thì mọi ánh xạ chỉnh hình từ H r2  có thể X

thác triển chỉnh hình tới  , ở đây 02   và r 1

2 1, 2 : 1 1 1, 2 : 1 1, 2 1

H r  z z  z   z z  z  z   r

Với   z : z 1

Dạng 2: Thác triển chỉnh hình qua tập mỏng, chẳng hạn qua điểm kì dị cô lập, qua siêu

mặt hoặc qua tập đa cực đóng Thác triển kiểu này người ta còn gọi là thác triển chỉnh hình kiểu Riemann

Trong đa số các trường hợp thì thác triển chỉnh hình kiểu Riemann tỏ ra khó hơn rất nhiều so với thác triển kiểu Hartogs, tuy nhiên nghiên cứu bài toán thác triển kiểu Hartogs hi vọng cho chúng ta những phương pháp nhầm tiếp cận bài toán thác triển kiểu Riemann

Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển của lý thuyết thế vị, chẳng hạn bài toán thác triển trên biên dựa vào hàm đa điều hòa dưới, việc nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình đã có những bước tiến mạnh mẽ Nhiều công trình của các nhà toán học như Shiffman, Suzuki, Đỗ Đức Thái, … đã làm xuất hiện một đối tượng mới cho bài toán thác triển chỉnh hình Đó là khảo sát việc thác triển qua tập đa cực và tập có dung lượng bằng 0

Vào những năm 80 của thế kỉ trước, D Vogt đã đưa ra nhiều kết quả nghiên cứu về các bất biến tôpô Các bất biến này mở ra nhiều ứng dụng cho giải tích phức Một trong những ứng dụng đó là nghiên cứu tính chỉnh hình của ánh xạ chỉnh hình theo từng biến, một trong những bài toán được đặt ra bởi nhà toán học Hartogs vào năm 1906 Từ năm 1972, Nguyễn Thanh Vân lần đầu tiên đã chỉ ra rằng cơ sở Schauder của một vài không gian hàm chỉnh hình có thể dùng

để giải được bài toán về thác triển chỉnh hình của hàm chỉnh hình theo từng biến Từ phát hiện

đó, năm 1976, Zaharjuta đã nghiên cứu tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến trên các tập có dạng đặc biệt m n Các kết quả sau đó được tổng quát hóa thực sự bởi Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi từ năm 1983 Gần như đồng thời, năm 1981, Siciak bằng một phương pháp tiếp cận khác là sử dụng công thức nội suy Lagrange để nhận được một kết quả tương tự Phương pháp này sau đó được Siffmann vận dụng bằng cách phát triển lý thuyết thế vị phức được xây dựng bởi Siciak để mở rộng các kết quả nói trên vào năm 1989, trong đó ông cải thiện các điều kiện về L-chính quy

Như vậy, phương hướng đầu tiên để nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình đó là nghiên cứu bài toán thác triển kiểu Hartogs Công trình đầu tiên được Hartogs công bố đầu thế

kỉ 20 về bài toán này là ánh xạ cần thác triển là hàm số mà miền xác định là tập mở trong  2Tiếp đó các nhà toán học như Andreotti, Stoll, … đã phát triển và mở rộng kết quả này bằng cách thay thế miền xác và miền giá trị bởi các đa tạp phức khác Năm 1971, Siffmann đưa ra khái niệm "điều kiện lồi – đĩa" và dạng yếu hơn gọi là "điều kiện lồi – đĩa yếu", sau đó dùng điều kiện lồi – đĩa yếu ông đã chứng minh được giả thuyết của S.S.Chern đưa ra vào năm 1970 khi miền xác định là một lân cận của một siêu cầu đơn vị và miền giá trị là một đa tạp phức được trang bị một metric Hermit đầy đủ và có độ cong thiết diện không dương Cùng năm đó, độc lập với Siffmann, Griffiths cũng đã chứng minh được giả thuyết của Chern

Như vậy, các kết quả của Siffmann và Griffiths đã giải quyết được giả thuyết của Chern trong trường hợp hữu hạn chiều Mối chốt để giải quyết bài toán là điều kiện lồi – đĩa yếu Từ đây xuất hiện bài toán là tìm lớp không gian vô hạn chiều thỏa mãn điều kiện thác triển chỉnh hình Hartogs Vào những năm 80, những công trình của Siffmann, Ivashkovitch, … đã chỉ ra những đặc trưng hình học cho phép nhận biết một không gian kiểu như thế, chẳng hạn vào năm

1987 Ivashkovitch [7] chỉ ra rằng đó là các đa tạp Kahler lồi chỉnh hình không chứa đường cong hữu tỉ nào Kết quả này sau đó được mở rộng bởi Đỗ Đức Thái sang trường hợp không gian phức

Sau đó, năm 1994, Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hương đã chứng minh được rằng nếu

X là đa tạp Banach giả lồi và có các  phân hoạch đơn vị và X không chứa các đường thẳng 1phức thì X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs Kết quả này lại được phát triển bởi Đỗ

Đức Thái và Nguyễn Thái Sơn [30] cho các đa tạp rộng hơn, đó là lớp các đa tạp là hợp tăng của các miền giả lồi

Dựa vào lịch sử của các vấn đề được nêu trên, chúng tôi nhận thấy vai trò mấu chốt của việc cần nghiên cứu một cách cẩn thận bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs như là điểm

khởi đầu cho việc nghiên cứu rộng hơn cho lớp các bài toán thác triển khác Do đó, bài toán đặt

ra cho luận văn là nghiên cứu các chứng minh chi tiết của các công trình gần đây của một tác giả liên quan đến bài toán thác triển này để tìm ra cách giải quyết cho bài toán thác triển khác

Và cũng vì lý do đó mà luận văn được mang tên "Thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs"

2 Mục đích nghiên cứu :

Nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu :

Tôpô và hình học giải tích phức

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài

Tìm hiểu bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs, từ cơ sở đó tìm hiểu một cách toàn diện bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình

5 Cấu trúc của đề tài :

Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận Cụ thể:

Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu

Chương 1: Trình bày các định nghĩa và các kết quả về bài toán thác triển Hartogs Trong đó nội

dung chính là định lý mở rộng trên lớp các đa tạp là hợp tăng của các miền giả lồi và mối quan

hệ giữa bài toán thác triển Hartogs và bài toán thác triển trên các siêu mặt

Chương 2 và chương 3: Trình bày những kết qua sâu sắc hơn về bài toán thác triển Hartogs,

bao gồm các kết quả liên quan đến điều kiện lồi – đĩa và lồi – đĩa yếu cho bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs trên các tập đa cực và trên các không gian Hyperbolic Vấn đề cuối cùng được đề cập là định lý thác triển hội tụ dạng Noguchi cho  n d, - tập

Phần kết luận: đưa ra những nhận xét và những vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu trong thời

gian tới

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Thái Sơn, người thầy tận tâm và rất nghiêm khắc trong công việc Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính yêu đã từng bước hướng dẫn tác giả làm quen với các kiến thức về giải tích phức, hình học Hyperbolic, … để dần nắm bắt bài toán nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn các thầy trong tổ hình học, Khoa toán – tin Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học Chân thành cảm ơn ban giám hiệu, phòng tổ chức hành chính, Phòng Khoa học công nghệ và sau đại học, Phòng Kế hoạch - tài chính Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

Chương 1 THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRÊN SIÊU MẶT VÀ MỐI

QUAN HỆ VỚI THÁC TRIỂN HARTOGS VÔ HẠN CHIỀU

Như trong phần mở đầu chúng tôi đã nói, hướng tiếp cận đầu tiên cho việc nghiên cứu bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình đó là thác triển lên bao chỉnh hình hay người ta còn gọi là thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Phần mở đầu chương này chủ yếu chúng tôi sẽ nhắc lại một

số khái niệm liên quan đến tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs, khái niệm điều kiện lồi - đĩa

và điều kiện lồi – đĩa yếu của Shiffman sử dụng để chứng minh Giả thuyết Shiing – Shen Chern Phần sau sẽ trình bày một số kết quả khác liên quan đến thác triển của ánh xạ chỉnh hình trên siêu mặt và trên hợp tăng các miền giả lồi mà chứng minh của chúng có sử dụng điều kiện lồi – đĩa yếu

1.1 Các định nghĩa và các kết quả đã biết

Đầu tiên chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa không gian phức (hữu hạn chiều) có tính chất thác triển Hartogs (viết tắt là HEP), được đưa ra bởi Ivashkovich [7]

1.1.1 Định nghĩa Một không gian phức X được gọi là có tính chất thác triển Hartogs nếu

mọi ánh xạ chỉnh hình f từ  vào X với  là miền Riemann trong  đều có thể thác triển n

chỉnh hình được đến bao chỉnh hình   của 

Định nghĩa trên có thể được mở rộng một cách tự nhiên cho trường hợp không gian Banach giải tích bằng việc thay thế  bởi một không gian Banach B nào đó Tuy nhiên, vì n

những lý do mang tính kĩ thuật nên ta cần thêm điều kiện mọi miền giả lồi Riemann trên một

không gian Banach B đều tồn tại Ví dụ cho trường hợp này là không gian Banach có cơ sở

Schauder ( xem Mujica [18, Định lý 54.12, Trang 390]) Do đó, trong trường hợp vô hạn chiều

ta có định nghĩa sau

1.1.2 Định nghĩa Một không gian Banach giải tích X được gọi là có tính chất thác triển

Hartogs nếu với mọi ánh xạ chỉnh hình từ một miền Riemann  trên không gian Banach B với

cơ sở Schauder vào X đều có thể được thác triển chỉnh hình đến bao chỉnh hình   của 

Về lịch sử, ví dụ đầu tiên được Hartogs đưa ra đầu thế kỷ 20 về ánh xạ chỉnh hình thác triển được là hàm số mà miền xác định là một tập mở trong  Cho đến nay, kết quả này đã 2

được phát triển mở rộng cho nhiều ánh xạ chỉnh hình khác với miền xác định và miền giá trị là các đa tạp phức có cấu trúc phức tạp hơn

1.1.3 Giả thuyết Shiing – Chen Chern Trong hội nghị Nice năm 1970, Shiing – Chen Chern

đã đưa ra giả thuyết sau:

Cho X là một đa tạp phức với mêtric Hermit đầy đủ và có độ cong thiết diện chỉnh hình không dương Gọi  2 2 

Một không gian Banach giải tích X được gọi là lồi – đĩa yếu nếu mọi dãy

 f n Hol,X sẽ hội tụ trong Hol,X khi dãy  f n r1 hội tụ trong Holr1,X với

Một dạng yếu của điều kiện lồi – đĩa mà dưới đây ta gọi là điều kiện lồi – đĩa yếu

1.1.5 Định nghĩa Một không gian phức X được gọi là lồi – đĩa yếu nếu mọi dãy

 f n Hol,X hội tụ trong Hol,X khi dãy  f n * H*,X hội tụ trong

 *, 

Hol  X Ở đây  và   * \ 0  lần lượt là kí hiệu của đĩa đơn vị và đĩa đơn vị thủng trong 

Dùng điều kiện lồi – đĩa yếu, Shiffman đã chứng minh được định lý sau

1.1.6 Định lý Cho X là đa tạp phức sau cho đa tạp phủ phổ dụng của nó có một mêtric

Hermit đầy đủ với độ cong thiết diện chỉnh hình không dương Gọi D là một tập mở của đa tạp Stein M sao cho M là bao chỉnh hình của D Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình : f D  đều X

1.1.7 Định lý Cho M là đa tạp phức có một mêtric Hermit đầy đủ với độ cong thiết diện

chỉnh hình không dương Khi đó hiện tượng Hartogs đúng với M , nghĩa là mọi ánh xạ chỉnh hình : f N U\  đều có một thác triển chỉnh hình lên N , ở đây N là một đa tạp phức liên X thông và U là một lân cận mở đủ nhỏ của một đa tạp con S của N

Như vậy, xuất phát từ Giả thuyết của Chern, Shiffman và Griffiths đã đồng thời giải quyết bài toán trong trường hợp hữu hạn chiều Trong đó để chứng minh Định lý 1.1.6 ở trên, Shiffman đã dùng điều kiện lồi – đĩa yếu, từ điều kiện này ông cũng đã chứng minh được kết quả tổng quát hơn như sau

Cho X là một đa tạp thỏa mãn điều kiện lồi - đĩa yếu D là một tập con của một đa tạp Stein M sao cho M là bao chỉnh hình của D Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình : f D  đều X

có một thác triển chỉnh hình lên M

1.2 Tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs trên hợp tăng các miền giả lồi

1.2.1 Định lý Cho X là một không gian giải tích Banach thỏa mãn điều kiện lồi – đĩa yếu

Khi đó X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs

Chứng minh Gọi :f   là ánh xạ chỉnh hình, ở đây  là một miền Riemann trên một X

không gian Banach B có cơ sở Schauder Xét sơ đồ giao hoán sau:

ở đây  chỉ miền tồn tại của f f

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau

1.2.2 Bổ đề Ánh xạ f: f X là giả lồi địa phương, tức là với mọi x X  tồn tại một lân

cận giả lồi V của x trong X sao cho f1 V là giả lồi

Chứng minh Cho x X  Chọn một lân cận V của x trong X sao cho V đẳng cấu với một

tập giải tích trong quả cầu mở của không gian Banach Xét ánh xạ hạn chế f f 1 V Gọi

f  X là giả lồi địa phương

Bây giờ ta tiếp tục chứng minh định lý

Vì B có cơ sở Schauder nên để chỉ ra    chúng ta chỉ cần chứng minh f ^ p1 E giả lồi với mọi không gian con hữu hạn chiều của B Muốn vậy ta phải kiểm chứng p1 E thỏa mãn điều kiện lồi - đĩa yếu

Thật vậy, gọi  k Hol ,p 1 E  sao cho dãy  k * hội tụ về  trong

Chọn một lân cận giả lồi V của  0 trong X sao cho V đẳng cấu với một tập giải tích

trong quả cầu mở của không gian Banach và f1 V giả lồi Vì f1 V là miền Riemann giả

lồi trên không gian Banach B với cơ sở Schauder nên f1 V là miền chỉnh hình Dể dàng thấy rằng tồn tại số k và 0   0 sao cho f k   V với mọi k k và 0    , ở đây  V

    Suy ra   1 

    với mọi k k Điều này dẫn tới 0 k  

trong Hol , f1 V  (xem [6, Định lý 5 và Bổ đề 6]) Do đó dãy  k hội tụ trong

 

Hol   f  E Đến đây định lý đã được chứng minh hoàn toàn

Vào những năm 80 của thế kỷ trước, những công trình của Shiffmann, Ivashkovitch,

đã chỉ ra những đặc trưng hình học cho phép nhận biết một không gian có tính chất thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Chẳng hạn vào năm 1987, Ivashkovitch đã chứng minh được một đặc trưng hình học rất quan trọng cho tính thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs của những đa tạp Kahler lồi chỉnh hình đó là:

Một đa tạp Kahler lồi chỉnh hình X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs khi và chỉ khi X không chứa đường cong hữu tỉ

Năm 1994, Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hương đã chứng minh được rằng nếu X là

một đa tạp Banach lồi có các  - phân hoạch đơn vị và X không chứa các đường thẳng phức 1thì X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs

Năm 1998, Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thái Sơn [30] tiếp tục mở rộng kết quả trên cho các lớp đa tạp rộng hơn, đó là lớp các đa tạp là hợp tăng của các miền giả lồi

1.2.3 Định lý Cho X là không gian Banach giải tích và là hợp tăng dần các miền giả lồi Giả

sử X không chứa đường thẳng phức nào Khi đó X có thác triển Hartogs

1.2.4 Bổ đề Ánh xạ : f  f X là giả lồi địa phương

Để chỉ ra rằng    chúng ta chỉ cần kiểm tra f ^  thỏa mãn điều kiện lồi – đĩa yếu f

Thật vậy, gọi  k Hol  sao cho dãy , f   k * hội tụ về  trong Hol  *, f 

Và X là giả lồi và mọi tập mở compact tương đối trong X không chứa đường thẳng phức nào

nên X thỏa mãn điều kiện giả lồi – đĩa yếu (xem [29, Mệnh đề 2.3]) Do đó dãy

f kHol,X hội tụ về f  trong  Hol,X

Chọn một lân cận giả lồi V của f  0 đẳng cấu với một tập giải tích trong quả cầu

mở của không gian Banach và f1 V giả lồi Vì f1 V là miền Riemann giả lồi trên không

gian Banach B với cơ sở Schauder, f1 V là miền chỉnh hình Dể dàng thấy rằng tồn tại số

    với mọi k k Điều này dẫn tới dãy 0

 k   trong  Hol , f1 V  ( xem [6, Định lý 5 và Bổ đề 6]) Do đó dãy  k hội tụ trong Hol  , f 

(ii) Giả sử

1

n n

Theo (i), với mỗi 1n ánh xạ f n  f n thác triển được tới ánh xạ chỉnh hình

^f n:^ X n Dể dàng thấy rằng với mỗi n tồn tại duy nhất ánh xạ chỉnh hình địa phương 1

 như là một miền Riemann trên

B Do đó ta có thể định nghĩa các ánh xạ f : limind^ n X và :   B bởi công thức : f ^n  fˆn với mọi n và 1 ^

n n

   với mọi n Vì 1 n là đồng phôi địa phương với 1

n nên  cũng đồng phôi địa phương

Hơn nữa, ta có d z n d n1e z n   với mọi ^z  và n n , ở đây 1 d n là kí hiệu khoảng cách biên tương ứng : ^n   với 1n B n

n

e

^ 1

Vì ^ là giả lồi nên logn  d n là đa điều hòa dưới với mọi n Do đó hàm 1

X  X



 với X n là đa tạp Stein

Thật vậy, với mỗi n đặt:

Hiển nhiên, X là các đa tạp đóng của n  do đó 3 X là đa tạp Stein Với mỗi n xét ánh n

xạ n:X n X n1 được định nghĩa như sau:

n



 Ta sẽ chứng minh X không giả lồi Giả sử X giả lồi, suy ra X thỏa

mãn điều kiện lồi – đĩa yếu Gọi  f n  Hol,X là dãy các ánh xạ được định nghĩa như sau:

,

k n

1

n n

k

p f

Với mỗi ,  k

n

n k f hội tụ trong 1

,1 1

    với ,p q là các số tự nhiên và p q Do đó ta có thể định nghĩa ánh xạ f :  bởi * X f z  f k z với mọi 1

,1 1

p  Do đó X không giả lồi

1.3 Thác triển của ánh xạ chỉnh hình trên siêu mặt

Chúng ta xét bài toán ánh xạ thác triển chỉnh hình trên các siêu mặt và bài toán thác triển đến bao chỉnh hình, tức là bài toán thác triển chỉnh hình Hartogs Cả hai bài toán đều có mối tương quan với nhau

Trong [13], Kwack đã chỉ ra rằng nếu f là ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị bị đâm thủng

*

 vào một đa tạp hyperbolic X sao cho với một dãy thích hợp các điểm *

k

z  hội tụ về gốc

tọa độ, f z hội tụ về điểm  k p0 thì f mở rộng đến ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị  vào X

X

Cũng từ kết quả đó, Kwack đã đưa ra một quy tắc tổng quát và hiệu quả thúc đẩ việc nghiên cứu bài toán thác triển các ánh xạ chỉnh hình Từ đó có nhiều hướng được mở rộng hơn Trong đó bài toán thác triển chỉnh hình trên siêu mặt cũng đã được nghiên cứu

Do đó việc mở rộng kết quả của kwack trong trường hợp vô hạn chiều là thực sự cần thiết và tạo cơ sở để nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình trong trường hợp vô hạn chiều

Trong phần này chúng ta sẽ xét bài toán khi nào thì một ánh xạ chỉnh hình có thể được thác triển trên siêu mặt trong đa tạp Banach phức

Vì đa tạp Banach phức không có tính chất compact địa phương nên kỹ thuật chứng minh định lý Kwack trong trường hợp vô hạn chiều đòi hỏi có những thay đổi Trong các định lý dưới đây, Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thái Sơn [30] đã dùng một kỹ thuật khác của giải tích phức,

đó là quy tắc cực đại cho hàm đa điều hòa dưới

1.3.1 Định lý Cho X là một không gian Banach giải tích hyperbolic và : \f Z H  là một X ánh xạ chỉnh hình, trong đó H là một siêu mặt trong đa tạp Banach phức Z Giả sử với mọi

z H  tồn tại  z n Z H\ hội tụ về z sao cho dãy f z k  hội tụ về x z  Khi đó f thác X triển chỉnh hình được tới Z

Chứng minh

(i) Đầu tiên xét trường hợp Z   và H  0 Chọn một lân cận tọa độ giả lồi W của x trong 0

X đẳng cấu với một tập con giải tích của quả cầu mở trong không gian Banach B Đặt

/ 2

V W

Bài toán chỉ ra rằng, với một số dương thích hợp , đĩa z: 0 z  được ánh xạ

vào W bởi f Giả sử có dãy con  z sao cho n  z n đơn điệu giảm Xét tập các số nguyên n

sao cho ảnh của hình khuyên z n1  z z n bởi f không chứa hoàn toàn trong V Nếu tập các

số nguyên này là hữu hạn thì f chuyển đĩa 0   vào trong V Giả sử tập các số nguyên z 

này là vô hạn, ta sẽ suy ra điều ngược lại Do đó ta có thể giả sử với mọi n ảnh của hình

khuyên z n1  z z n bởi f không chứa hoàn toàn trong V

 và từ các giới hạn d f X  n 0, 0d f X  n  , không mất tính tổng quát

ta có thể giả sử f  n  và x1 f  n  Theo định nghĩa của x2 r và n s suy ra n

(ii) Giả sử H không chứa điểm kì dị nào

Không mất tính tồng quát ta có thể giả sử rằng đa tạp  có dạng U   với U là một tập

mở trong không gian Banach và H U  0

Với mỗi phần tử z U , xét ánh xạ f z:  được xác định: * X

(iii) Gọi  là một điểm bất kì của H Khi đó tồn tại một lân cận U đẳng cấu với một lân H

cận V   của 0 B e  và đa thức Weierstrass     1  

Zero  P H  với B được phân tích U B E Ce

Ta có H U Zero P  Zero P Zero P  Zero P \Zero P

Theo (ii) thì f thác triển tới ánh xạ f U Zero1: \ P X

   sao cho d U H\ z z n, n Khi đó dãy 0  z thỏa n

mãn yêu cầu trên

Tương tự f có thể thác triển được đến các tập U Zero\ 22P

Định lý đã được chứng minh hoàn toàn

1.3.2 Định lý Cho X là không gian Banach giải tích hyperbolic đầy đủ theo nghĩa của

cauchy và f Z H: \  là một ánh xạ chỉnh hình, ở đây H là một siêu mặt trong đa tạp X Banach phức Z Giả sử với mọi H của H tồn tại z Reg H  và dãy  z n n 1 Z H\

(i) Đầu tiên ta sẽ chứng minh X thỏa mãn điều kiện lồi – đĩa yếu , tức là nếu mọi dãy

 n Hol,X hội tụ trong Hol,X nếu dãy  n * hội tụ trong Hol*,X, trong đó

Hol X Y là kí hiệu của không gian các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y với tôpô compact mở

Thực vậy, cho  n Hol,X sao cho n  trong  *, X Vì:

và n  trong  Hol*,X, điều này dẫn tới n 0  hội tụ về x0X khi n  Định nghĩa ánh xạ :  X như sau: * 

(iii) Giả sử H là một nhánh của H và z Reg H  như là giả thuyết của định lý 1.3.2 ta sẽ

chứng minh f thác triển chỉnh hình được trên lân cận mở W của z trong Z

Vì bài toán chỉ mang tính chất địa phương nên ta có thể giả sử Z    với B

 0

H  B , ở đây B là quả cầu đơn vị trong không gian Banach E , gọi z n z  x,0

Gọi F là không gian con hữu hạn chiều bất kì của E chứa X Ta viết

z z  x     Đặt :B P E  là phép chiếu tuyến tính liên tục của E lên F Ta F

giả sử rằng Px n   với mọi B F n 1

f x  f x  Suy ra f Px n,n p khi n   Chọn lân cận tọa độ giả lồi W của

p trong X đẳng cấu với một quả cầu mở trong không gian Banach B Đặt / 2 V W

B F

f f

 

 Đặt B F   Theo cách đưa ra dãy conB F  z n ta có thể giả sử dãy

 z n Tương tự với cách chứng minh định lý 1.3.1 (phần (i)),giả sử với mọi n ảnh của tập hợp

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng:

B f

Theo định nghĩa của r và n s , suy ra n  1, 2 và V  1, 2  p Chọn hàm tuyến tính

liên tục u sao cho u   1 ,u 2 u p   0

Do đó ˆf liên tục, điều này suy ra tính chất chỉnh hình của ˆf Định lý đã được chứng

minh hoàn toàn

1.3.3 Chú ý Định lý 1.3.2 đã được chứng minh bởi Fujimoto [4] khi Z là không gian phức

hữu hạn chiều và X là không gian phức hằng Tuy nhiên, vì tính hằng không được định nghĩa

trong trường họp vô hạn chiều, giả thiết về tính chỉnh hình đầy đủ của X là sự thay thế một

cách tự nhiên

Chương 2 THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH TRÊN TẬP ĐA CỰC NHIỀU CHIỀU

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày bài toán thác triển chỉnh hình trên tập đa cực

nhiều chiều Cho S là một tập đa cực trong một đa tạp phức Z và X là không gian phức Nếu

: \

f Z S  là ánh xạ chỉnh hình, câu hỏi đặt ra là khi nào có thể tìm ra được thác triển chỉnh X

hình :f Z  của ánh xạ f Bài toán này đã được nhà toán học nghiên cứu (xem [8], [24], X

[25], [34],…)

2.1 Các định nghĩa và kết quả chính

2.1.1 Định nghĩa Cho X là không gian phức Ta nói X có tính chất n - thác triển chỉnh hình

trên các tập đa cực nếu với mọi đa tạp phức Z n - chiều, ánh xạ hạn chế

R H Z X H Z S X là toàn ánh với mọi tập đa cực đóng S trong Z

Ở đây H Z X là kí hiệu của không gian các ánh xạ chỉnh hình từ Z vào X được trang  , 

siêu mặt của mọi ánh xạ f tồn tại khi và chỉ khi X là hyperbolic (xem P.K Ban [1])

Trong trường họp X là mặt Riemann và \ Z S là đĩa chấm thủng 0  trong  , bài z 1toán được nghiên cứu bởi Royden [22] Gần đây là Jarvi [8] đã tổng quát hóa kết quả của

Royden cho trường họp các tập con compact có lực lượng bằng 0 trong miền Z   Bài toán

thác triển được đề cập trên trong trường hợp nhiều chiều, tức là Z là một đa tạp phức bất kì

Bài toán thác triển này cũng được nghiên cứu bởi Suzuki [25] Tuy nhiên chứng minh của Suzuki [25] trong trường họp nhiều chiều không chính xác Sau đó, Đỗ Đức Thái đã phát triển các kết quả trên và cải tiến lại chứng minh của Suzuki trong trường họp nhiều chiều Điều này thể hiện qua 2 định lý dưới đây

2.1.2 Định lý: Cho X là một không gian phức có tính chất 1- thác triển chỉnh hình chặt trên

tập cực Khi đó X sẽ có tính chất n- thác triển chỉnh hình chặt trên các tập đa cực với n  2

Chứng minh

(i) Đầu tiên quan sát thấy rằng giả thiết X thỏa mãn điều kiện đĩa yếu Nghĩa là nếu

 f n H,X, trong đó H,X là đĩa đơn vị mở trong  , hội tụ về f trong H*,X

với   * \ 0  thì f có thể thác triển chỉnh hình đến  và f n  trong f H,X Theo [6],

Khi đó, S và ' S tương ứng là các tập đa cực trong U và W Thật vậy, ta chỉ cần kiểm ''

tra tính chất này đối với S', còn S'' thì tương tự

0

z  , gọi S w0 sao cho W z w0, 0 Vì S là tập đa cực nên ta có thể tìm được S

một lân cận U0W0 của z w trong U W0, 0  và một hàm đa điều hòa dưới  trên U0W0 sao cho  SU W0 0   và z w0, 0 

Nếu ta đặt  z z w, 0 với z U thì 0  là hàm đa điều hòa dưới trên U sao cho 0

 z z w, 0

    với mọi z U 0 và S   z0  z w0, 0 

Ta đặt: S W  z U : ,z wS với mỗi w W và S z w W : ,z wS với mỗi

z U

Thì S là tập đa cực với mỗi w S W  và tương tự S z cũng là tập đa cực với mỗi z S

Vì w S  nên tồn tại a S sao cho a w,  Theo định lý Josefson ta có thể tìm được S

một hàm đa điều hòa dưới  trên U W sao cho  S  và a w,  

Định nghĩa hàm đa điều hòa dưới  trên U bởi  z z w z U, , 

Suy ra    và W

S

  

Bây giờ xét một chuổi  f các ánh xạ chỉnh hình trên k U W S \ vào X hội tụ đến f

trong H U W S X  \ ,  Với mỗi w S và mỗi 1k xét ánh xạ chỉnh hình f k w:U S\ W  X

được cho bởi

w

z f z  f z w

Theo giả thiết quy nạp thì f k w f k trong H U X , 

Tương tự, với mỗi z S , chuổi các ánh xạ chỉnh hình  f k z, H W S X \ ,  được cho

bởi công thức: f k z,  w  f z w k , , hội tụ về f z trong H U X ,  Do đó ta có thể định nghĩa ánh xạ chỉnh hình:

Đầu tiên ta chỉ ra rằng f và 1 f là chỉnh hình Theo Shiffman [23] và khả năng thác triển 2

chỉnh hình của X thì đủ để kiểm tra rằng f1 ( tương ứng f2) là chỉnh hình trong z U S \(tương ứng w W S \ ) Ta chứng minh phát biểu đúng cho f1, còn trong trường hợp f2 là

tương tự Cố định w W Gọi  z p U S z\ , p  z U S\  Vì S đóng nên ta có tập

Hơn nữa, f w z  f z w1 ,  f z w f2 ,   w z với z U S \ và w W S \ nghĩa là f 1

chỉnh hình tách được trên U S\   W S\  Theo Shiffman [23], f1 chỉnh hình trên

U S\   W S\  Tương tự, f cũng chỉnh hình 2 U S\   W S\ 

Do tính liên tục của f và 1 f tương ứng trên \2 U S W và U W S \ nên từ biểu thức

 * ta có thể định nghĩa một hàm f trên U S W\    U W S \  được xác định như sau:

f và ˆf lần lượt được xác định bởi f và f Suy ra, k fˆk U S\  fˆ U S\  trong H W X và do  , 

đó f k U S W\   f U S W\  Hoàn toàn tương tự ta cũng có f k  trong f H U W X  , 

Định lý được chứng minh hoàn toàn

2.1.3 Định lý Mọi miền Siegel D dạng 2 trong không gian Banach B có tính chất thác triển đồng luân trên tạp đa cực trong đa tạp Banach

Trong đó, miền Siegel dạng 2 trong B là miền có dạng

Cho u w1, 1 , u w điểm trên D sao cho 2, 2 u1 Không mất tính tổng quát ta có thể u2

giả sử rằng Reu1Reu2 Chọn  sao cho I *  * 

x u  x u Gọi *  *

z A iA được cho bởi z x iy*   x x* ix y* 

k k

k  và  k k g u kw k 0, 0 khi k1   Điều này không thể xảy ra Do đó D là một miền lồi

không chứa đường thẳng phức nào

(iv) Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra D có tính chất 1- thác triển chỉnh hình chặt Cho

 f k H\ ,S D với f k  trong f H\ ,S D Gọi z0 Vì S phân cực, dim S S  và 0

do đó tồn tại lân cận U của 0 z sao cho 0 U0   Gọi U là lân cận của z trong Z sao cho 0

0

U  S U Cho  là một hàm  trong lân cận của U sao cho 0   1,  S U  và 01

 trong lân cận của U

Theo định lý Sard, tồn tại 0  sao cho r 1  1 r là đường cong  Đặt:

đó  x* B* được chọn sao cho DRex* 

Chúng ta có thể giả sử rằng 0 D và   với mọi 0  Từ (ii) ta có: I kerx*  0



và suy ra g k W S\  f k W S\ với mọi 1k

Do đó f được thác triển đồng luân đến k z0 Vì S z được chọn bất kì nên 0 f được k

thác triển đến hàm chỉnh hình ˆf trên Z Hơn nửa ˆ k f k  trong f k H Z B Ta kiểm tra  , 

Định lý đã được chứng minh hoàn toàn

Chứng minh Theo Jarvi [8], ánh xạ hạn chế R H Z X:  , H Z S X \ ,  là một toàn ánh từ

mọi đường cong phức Z và mọi tập cực S trong Z Từ tính chất hyperbolic hoàn toàn của X ,

suy ra H Z S X \ , H X  Định lý 2.1.2 dẫn tới H Z S X \ , H X  với mọi đa tạp phức

Z và mọi tập cực S trong Z

2.2.2.Định lý Cho M là đa tạp compact phức sao cho:

(i) M có một phủ phổ dụng  song chỉnh hình đến một miền có biên trong  n

(ii) Mọi song chỉnh hình của phủ phổ dụng  M có thể thác triển chỉnh hình đến một lân cận của 

Khi đó M có tính chất n-thác triển chỉnh hình chặt trên các đa tạp cực với mọi n  1

Chứng minh Đầu tiên lưu ý rằng M là hyperbolic

Theo kết quả Suzuki [25], định lý áp dụng với 1n Định lý 2.1.2 chỉ ra rằng Định lý 2.2.2 đúng cho mọi 1n

Chương 3 TÍNH CHẤT LỒI – ĐĨA CỦA KHÔNG GIAN BANACH GIẢI TÍCH

Tính lồi – đĩa của không gian Banach là một trong những dạng lồi phức Do đó nó trở thành đối tượng được quan tâm nghiên cứu, cụ thể nó là công cụ hữu dụng cho việc nghiên cứu bài toán thác triển các ánh xạ chỉnh hình

Trong chương này chúng tôi sẽ tìm hiểu tính chất lồi – đĩa của không gian Banach giải tích và mối liên quan giữa tính chất hyperbolic Banach và tính chất lồi – đĩa của không gian Banach giải tích

3.1 Tính mở của tính chất hyperbolic Banach dưới ánh xạ chỉnh hình riêng

Trong phần này chúng ta sẽ giải quyết bài toán Kobayashi [12] trên tính mở của tính chất hyperbolic Banach giải tích Định lý trong trường hợp hữu hạn chiều đã được Urata [33] chứng minh Một chứng minh khác cũng được Zaidenberg đưa ra một cách độc lập

3.1.1 Định nghĩa. Cho X là một  - đa tạp Banach Ta nói X có k  phân hoạch đơn vị nếu k

với mọi phủ mở  U i i I của X thì tồn tại họ các hàm   k 

khoảng cách Kobayashi trên X Trừ trường hợp hữu hạn chiều, tồn tại một đa tạp Banach X

mà trên đó giả khoảng cách Kobayashi là một khoảng cách nhưng nó không định nghĩa tôpô

của X Ta nói X là hyperbolic nếu d là khoảng cách xác định tôpô của X x

3.1.2 Định lý Cho : X  là ánh xạ chỉnh hình riêng từ một đa tạp Banach X có Y C - 1

phân hoạch đơn vị vào không gian Banach giải tích Y Giả sử 1 

 là một atlat của X sao cho i là đẳng cấu từ U vào một quả cầu i

mở trong không gian Banach với mọi i I Theo giả thiết, tồn tại C - phân hoạch đơn vị 1

 h i i I phụ thuộc với phủ  U i i I