Điều kiện KuhnTucker mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu lipschitz địa phương

Đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu, người ta muốn nhận đượccác điều kiện Kuhn -Tucker mà tất cả các nhân tử Lagrange ứng với tất cả các thành phần của hàm mục tiêu là dương.. Maeda đã đ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THẾ PHONG

ĐIỀU KIỆN KUHN-TUCKER MẠNH CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THẾ PHONG

TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS ĐỖ VĂN LƯU

Thái Nguyên - Năm 2014

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Đỗ VănLưu Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, ngườihướng dẫn khoa học của mình, PGS TS Đỗ Văn Lưu, người đã đưa ra đềtài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả Đồngthời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, khoa Sauđại học - Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điềukiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bảnluận văn này Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn trong lớpCao học Toán k20a, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

Mục lục

1 Dưới vi phân Clarke và dưới vi phân suy rộng 31.1 Dưới vi phân Clarke 31.2 Dưới vi phân suy rộng 7

2 Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho bài toán tối ưu đa mục

2.1 Phát biểu bài toán 112.2 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh 13

3 Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho bài toán tối ưu đa mục

3.1 Điều kiện chính quy Guignard suy rộng và điều kiện Kuhn

-Tucker mạnh 203.2 Các điều kiện đủ cho điều kiện chính quy Guignard suy rộng 29

Mở đầu

1 Lý do chọn luận văn

Lý thuyết các điều kiện tối ưu đóng vai trò quan trọng trong lý thuyếttối ưu hóa Đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu, người ta muốn nhận đượccác điều kiện Kuhn -Tucker mà tất cả các nhân tử Lagrange ứng với tất

cả các thành phần của hàm mục tiêu là dương Ta gọi đó là các điều kiệnKuhn-Tucker mạnh Năm 1994, T Maeda đã đưa ra điều kiện chính quyGuignard suy rộng cho bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc bất đẳngthức, với các hàm khả vi liên tục và nhận được các điều kiện Kuhn -Tuckermạnh Khái niệm dưới vi phân suy rộng không lồi (convexificator) của V.Jeyakumar - D.T Luc [6] tổng quát hóa một số khái niệm dưới vi phân đãbiết như các dưới vi phân Clarke, Michel-Penot, Mordukhovich, Các điềukiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn dưới ngôn ngữ dưới

vi phân suy rộng được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu (xem chẳng hạn[4], [6]-[8] và các tài liệu tham khảo trong các bài báo đó) X.F Li và J.Z.Zhang (2005) đã phát triển các kết quả của Maeda cho bài toán có ràngbuộc bất đẳng thức với các hàm Lipschitz địa phương dưới ngôn ngữ dưới

vi phân suy rộng Đây là đề tài được nhiều tác giả trong và ngoài nước quantâm nhiên cứu Chính vì vậy, tôi chọn đề tài: “Điều kiện Kuhn-Tucker mạnhcho bài toán tối ưu đa mục tiêu Lipschitz địa phương” Luận văn trình bàycác kết quả nghiên cứu về các điều kiện Kuhn-Tucker mạnh của X.F Li vàJ.Z Zhang (2005), T Maeda (1994)

2 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm và đọc tài liệu từ các sách, tạp chí toán học trong nước và quốc

tế liên quan đến bài toán tối ưu véc tơ Qua đó, tìm hiểu và nghiên cứu vềvấn đề này

3 Mục đích của luận văn

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu về điều kiện Kuhn - Tucker mạnhcho bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc bất đẳng thức trong hai trườnghợp: trường hợp thứ nhất cho các hàm khả vi và trường hợp thứ hai chocác hàm Lipschitz địa phương Cụ thể, chúng tôi đọc hiểu và trình bày lạimột cách tường minh hai bài báo sau:

1) T Maeda, Constraint qualifications in multiobjective optimization lems: Differentiable case , J.Optim Theory Appl, vol 80 (1994), 483-500.2) X.F Li, J.Z Zhang, Stronger Kuhn-Tucker type conditions in nons-mooth multiobjective optimization: Locally Lipschitz case, J.Optim.TheoryAppl, Vol 127 (2005), 367-388

prob-4 Nội dung của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương, kết luận và danh mục các tàiliệu tham khảo

Chương 1 Dưới vi phân Clarke và dưới vi phân suy rộng

Trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân Clarke trong [1] vàdưới vi phân suy rộng trong [6]

Chương 2 Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêukhả vi

Trình bày các điều kiện Kuhn - Tucker mạnh của T Maeda [9] cho bàitoán tối ưu đa mục tiêu khả vi có ràng buộc bất đẳng thức với điều kiệnchính quy Guignard suy rộng

Chương 3 Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêuLipschitz địa phương

Trình bày các điều kiện Kuhn - Tucker mạnh của X.F Li và J.Z Zhang[7] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc bất đẳng thức với các hàmLipschitz địa phương và điều kiện chính quy Guignard suy rộng không trơn.Mối quan hệ giữa các điều kiện chính quy không trơn cũng được trình bàytrong chương này

Chương 1

Dưới vi phân Clarke và dưới vi phân suy rộng

Trong chương này chúng tôi trình bày khái quát những kiến thức về dưới

vi phân Clarke và dưới vi phân suy rộng cho lớp các hàm Lipschitz địaphương Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo trongcác tài liệu [1], [6]

Giả sử X là không gian Banach, f : X → R.

Định nghĩa 1.1.1

a) Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x ∈ X¯ nếu tồn tại lân cận

Đạo hàm suy rộng Clarke của hàm f theo phương v ∈ X tại x¯, kí hiệu là

Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương trên không gian Banach X (f :

X → R); X∗ là không gian liên hợp của X (X∗ gồm các phiếm hàm tuyếntính liên tục trên X)

Định lý 1.1.14 ([1])

Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương với hằng số K tại x¯ Khi đó,

Hàm f được gọi là chính quy tại x¯, nếu:

a) Với mỗi v ∈ X, tồn tại đạo hàm theo phương thông thường f0(¯x; v) và

Định lý 1.1.21 ([1])

Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x¯ Khi đó:

(i) f lồi ⇒ f chính quy tại x¯;

Giả sử X là không gian Banach thực Không gian đối ngẫu của X được

ký hiệu là X∗ và X∗ được trang bị tôpô yếu∗

Định nghĩa 1.2.1

Nón tiếp liên hoặc nón Bouligand của tập S tại x ∈ clS là tập hợp đượcđịnh nghĩa như sau

trong đó clS là bao đóng của tập S.

Trong trường hợp f là hàm Lipschitz địa phương tại x thì f−(x; v) và

Hàm f được gọi là khả vi theo phương tại x ∈ X nếu với mọi phương v ∈ Xđạo hàm theo phương một phía

của f tại x theo phương v tồn tại và hữu hạn

Hiển nhiên, nếu f khả vi theo phương tại x ∈ X thì với mọi v ∈ X,

Tiếp theo ta trình bày khái niệm của dưới vi phân suy rộng trên ficator) (xem [6]), để sử dụng trong chương 3

(convexi-Định nghĩa 1.2.3

Hàm số f : X → R được gọi là có dưới vi phân suy rộng trên ∂∗f (x) ⊆ X∗

con khác ∅, compact yếu∗ của X∗ Ta có, f−(x; v)5 sup

hx∗, vi, vì vậy

dưới vi phân Clarke ∂Cf (x) là dưới vi phân suy rộng trên lồi compact yếu∗của f tại x Với một hàm Lipschitz địa phương, nhiều dưới vi phân quantrọng là dưới vi phân suy rộng trên.

Ví dụ 1.2.4

Xét hàm số f :R2 →R cho bởi f (x, y) = |x| − |y|

Ta có f Lipschitz địa phương tại x = 0 và tập

tử của X∗ thì với ∀v ∈ X, f0(x; v) tồn tại và bằng hDf (x), vi

Rõ ràng, tập một phần tử {Df (x)} ⊂ X∗ là một dưới vi phân suy rộngtrên của f tại x Sau đây chúng ta trình bày về tính lồi suy rộng của hàm.Định nghĩa 1.2.5

(i) Hàm số f : X → R được gọi là giả lồi (tương ứng, giả lồi mạnh) tại

(tương ứng,

(ii) Hàm f được gọi là giả lõm (tương ứng, giả lõm mạnh) tại x ∈ X nếu

−f là giả lồi (tương ứng, giả lồi mạnh) tại x ∈ X

Nhận xét 1.2.6

(i) Vì (−f )−(x; v) = −f+(x; v) với ∀x, v ∈ X, từ định nghĩa (1.2.5) suy

ra hàm f là giả lõm (tương ứng giả lõm mạnh) tại x ∈ X nếu và chỉ nếu

(tương ứng

(ii) Trong trường hợp f khả vi theo phương tại x ∈ X, vì f−(x; v) =

ứng, tính giả lõm và giả lõm mạnh) của f tại x quy về tính giả lồi (tươngứng, giả lõm) của f tại x cho hàm khả vi theo phương

Giả sử Rn là không gian Euclid n chiều và x = (x1, x2, xn), y =

Với hai véc tơ x, y ∈ Rn, chúng ta sẽ quy ước như sau:

• x 5 y nếu và chỉ nếu xi 5 yi, ∀i = 1, , n,

Trong chương 2 chúng ta giả thiết rằng fi, i = 1, , l và gj, j = 1, , m

là các hàm khả vi liên tục trên Rn và kí hiệu gradients của fi vàgj tạix ∈ Rnbởi 5fi(x) và 5gj(x)

Xét bài toán tối ưu véc tơ sau:

x ∈ X,trong đó X = {x ∈ Rn|g(x) 5 0}

Định nghĩa 2.1.1

Điểm x0 ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán (P) nếu không tồn

Định nghĩa nón tiếp tuyến sau đây được sử dụng rộng rãi

trong đó clQ kí hiệu bao đóng của Q

Ta thấy rằng, T (Q; x0) là nón đóng, khác rỗng và nếu Q là tập lồi thì

2.2 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh

Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày điều kiện chính quy để dẫn điềukiện cần Kuhn - Tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toán (P)

Giả sử x0 ∈ X là điểm chấp nhận được của bài toán (P), và kí hiệu

trong đó,

nghĩa, tồn tại dãy {xm}∞m=1 ⊆ Qi và {tm}∞m=1 ⊆ R, với tm > 0, ∀m, sao cholim

Trong mệnh đề 2.2.2, bao hàm thức ngược lại nói chung không đúng Do

đó, chúng ta đưa vào điều kiện

Theo giả thiết, ta có d ∈ clcoT (Q1; x0).

Vì vậy, tồn tại dãy {dm}∞m=1 ⊆ coT (Q1; x0) sao cho lim

lim

n→∞tnmk(xnmk − x0) = dmk.Đặt,

dnmk = tnmk(xnmk − x0)

Khi đó, với mọi n, ta có

Điều này cho ta một mâu thuẫn

Nhắc lại: m × n ma trận B được gọi là không rỗng (nonvacuous matrix)

chứng minh định lí 2.2.5

nhưng không đồng thời xảy ra.

Từ Định lí 2.2.3, ta có điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh sau đây.Định lý 2.2.5

Giả sử x0 ∈ X là điểm chấp nhận được của bài toán (P), và giả sử rằng(GGCQ) đúng tại x0 ∈ X, x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệu của bài toán (P).Khi đó, tồn tại véc tơ λ = (λ1, , λl) ∈ Rl và µ = (µ1, , µm) ∈ Rm saocho

λ > 0, µ = (µ1, µ2, , µm) = 0.

Mặt khác, vìgj(x0) = 0, j ∈ I(x0), chúng ta cóµjgj(x0) = 0, j = 1, 2, , m.Điều này kéo theo rằng µ, g(x0) = 0

Để kết thúc mục này, ta đưa ra ví dụ sau

Ví dụ 2.2.7 Xét bài toán sau:

Do đó h = 0

Do vậy: C(Q; x0) = {0}

Theo hệ quả 2.2.6, nhân tử Lagrange λ1 và λ2 phải dương

Thật vậy, với hai nhân tử Lagrange λ1 = 0 và λ2 = 0, và không đồng thờibằng 0, ta có

Chương 3

Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho bài toán tối ưu đa mục tiêu

Lipschitz địa phương

Chương 3 trình bày các điều kiện Kuhn - Tucker mạnh của X.F Li vàJ.Z Zang [7] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm Lipschitz địaphương với điều kiện chính quy Guignard suy rộng dưới ngôn ngữ dưới viphân suy rộng Mối quan hệ giữa các điều kiện chính quy không trơn cũngđược trình bày trong chương này

kiện Kuhn - Tucker mạnh

Giả sử X là không gian Banach thực, X∗ là đối ngẫu tôpô của X vớitôpô yếu∗ Ta xét bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn:

Ký hiệu J (x) là tập các chỉ số của tất cả các ràng buộc tích cực tại x ∈ X,tức là J (x) = {j ∈ J |gj(x) = 0}.

Véc tơ x ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP) nếu khôngtồn tại y ∈ X sao cho f (y) ≤ f (x)

Trong phần này, chúng ta trình bày điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnhcho nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP) với điều kiện chính quy Guignardsuy rộng

2 Ta trình bày mối liên hệ của C(Q(x), x), C(Qi(x), x) và nón tiếp liên

trường hợp fi và gj(i ∈ I, j ∈ J ) là các hàm khả vi

Mệnh đề 3.1.2

Giả sử x ∈ X và các hàm fi−(x; ) và gj−(x; ) với i ∈ I và j ∈ J (x) là cáchàm dưới tuyến tính trên X Khi đó,

Vì fi, gj là các hàm Lipschitz tại x nên fi−(x; ), gj−(x; ), i ∈ I, j ∈ J (x)liên tục Ta suy ra C(Qi(x), x) là tập đóng Mặt khác, theo giả thiết,

lồi Do vậy, C(Qi(x), x) là tập lồi, đóng ⇒ C(Qi(x), x) = clcoC(Qi(x), x)

tồn tại dãy (tn, dn) → (0+, d) sao cho x + tndn ∈ Qi(x) Theo định nghĩacủa Qi(x), với j ∈ J (x), ta có

Vì d ∈ coT (Qi0(x0); x0) nên tồn tại hữu hạn d1, , dp ∈ T (Qi 0(x0), x0) vàcác số thực λ1, , λp với λl > 0, l ∈ L = {1, , p} và P

Ở đây, Li0 là hằng số Lipschitz của fi0 trong lân cận của x0

Vì Li0|du− d1| dần tới 0 khi u → +∞ nên ta có:

Vì vậy, tồn tại dãy con {x0 + tvdv} của dãy {x0 + tudu} sao cho,

Định lý 3.1.4 (Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh)

Giả sử x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP) Giả sử rằng tại x0:(a) fi và gi tương ứng nhận các dưới vi phân suy rộng trên ∂∗fi(x0) và

∂∗gj(x0) với i ∈ I và j ∈ J (x0);

đó thuộc I và fk0(x0; ) dưới tuyến tính với ∀k ∈ I\{i0};

(c) g−j (x0; ) dưới tuyến tính với j ∈ J (x0)

Nếu (GGCQ) đúng tại x0 thì tồn tại các số thực αi > 0 và βj = 0, với i ∈ I



X

không tương thích trong X Ngược lại, giả sử rằng ∃d ∈ X thoả mãn

hệ trên Khi đó, d ∈ C(Q(x0), x0) Vì (GGCQ) đúng tại x0 nên d ∈T

Vì hệ trên không tương thích, và vì fi0(x0; ) và g−j (x0; ), với i ∈ I và

Vì fi khả vi theo phương tại x0 nên fi0(x0; v) = fi−(x0; v) = fi+(x0; v)

Do đó, theo định nghĩa của dưới vi phân suy rộng trên, ta có:

Khi đó, áp dụng định lí tách [2] cho các tập lồi đóng sau



X

clco



X

Lý luận trên cũng cho ta điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho bài toán(VP) dưới ngôn ngữ đạo hàm theo phương (Dini) của các hàm mục tiêu vàhàm ràng buộc

Định lý 3.1.5 (Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh)

Giả sử x0 là nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP) Giả sử rằng tại x0,

I và fk0(x0; ) dưới tuyến tính với ∀k ∈ I\{i0};

(b) g−j (x0; ) dưới tuyến tính với j ∈ J (x0)

Nếu (GGCQ) đúng tại x0 thì tồn tại các số thực αi > 0 và βj = 0, với i ∈ I

Nhận xét 3.1.6.

Trong định lí 3.1.4 nếu các dưới vi phân suy rộng ∂∗fi(x0) và ∂∗gj(x0) với

lí 3.1.4 là: tồn tại các số thực αi > 0 và βj = 0 sao cho

Clarke ∂Cfi(x0) và ∂Cgj(x0) là tập compact yếu∗ và tương ứng là các dưới

vi phân suy rộng trên lồi của fi và gj tại x0, và tập một phần tử {Dfi(x0)}

là dưới vi phân suy rộng trên của fi tại x0 khi fi khả vi Gâteaux tại x0 Dễdàng chứng minh được hai hệ quả sau của định lí 3.1.4, trong đó các điềukiện Kuhn - Tucker mạnh diễn đạt dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke

Hệ quả 3.1.7

Giả sử x0 là nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP) Giả sử tại x0:

đó thuộc I và fk0(x0; ) dưới tuyến tính với mọi k ∈ I\{i0};

(b) g−j (x0; ) dưới tuyến tính hoặc gj chính quy tại x0, j ∈ J (x0)

Nếu (GGCQ) đúng tại x0 thì tồn tại các số thực αi > 0 và βj = 0, với

Giả sử x0 ∈ X là nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP) Giả sử tại x0,

(a) fi có đạo hàm Gâteaux Dfi(x0), i ∈ I;

(b) g−j (x0; ) dưới tuyến tính hoặc gj chính quy tại x0, j ∈ J (x0)

Nếu (GGCQ) đúng tại x0 thì tồn tại các số thực αi > 0 và βj = 0, với

3.2 Các điều kiện đủ cho điều kiện chính quy

Guig-nard suy rộng

Trong mục này, chúng ta trình bày một số điều kiện chính quy mà chúng

là suy rộng của điều kiện chính quy cho trường hợp khả vi (xem [9]) Sau

đó trình bày các điều kiện đủ cho (GGCQ) Do đó, các điều kiện cần Kuhn

- Tucker mạnh cho nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP) cũng đúng

Giả sử x ∈ M là điểm chấp nhận được của bài toán (VP)

(GACQ1) Điều kiện chính quy Abadie suy rộng 1,

(GCCQ) Điều kiện chính quy Cottle suy rộng

Các hàm fi−(x; ) và gj−(x; ) với i ∈ I, j ∈ J (x) dưới tuyến tính; với mỗi

có nghiệm d(i) ∈ X

(GSCQ) Điều kiện chính quy Slater suy rộng

Các hàm fi−(x; ) và gj−(x; ) với i ∈ I và j ∈ J (x) dưới tuyến tính; các

có nghiệm x(i) ∈ X

(GLCQ) Điều kiện chính quy tuyến tính suy rộng

Các hàm fi và gj với i ∈ I, j ∈ J (x) đều là giả lõm mạnh tại x

(GLOCQ) Điều kiện chính quy hàm mục tiêu tuyến tính suy rộng

Hàm fi là giả lõm mạnh tại x với ∀i ∈ I Các hàm fi−(x; ) và gj−(x; )

có nghiệm d ∈ X

(GMFCQ) Điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz suy rộng

Các hàm fi−(x; ) và gj−(x; ) với i ∈ I và j ∈ J (x) dưới tuyến tính; với