Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán - cuộc sống ngầm ẩn của tính toán đại số ở thpt

Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn Để đạt được các mục đích nghiên cứu nêu trên và trả lời được các câu hỏi đặt ra, chúng tôi thấy cần thiết phải thực hiện hai phần sau: Ph

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Trịnh Duy Trọng

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến,

TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Chí Thành đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ cần thiết và hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi làm quen, học tập và nghiên cứu về didactic toán trong suốt khóa học

- Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Trường Chinh nơi tôi công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM

đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học

- Ban Giám hiệu cùng các thầy, cô trong tổ toán Trường THPT Nguyễn Hữu Cầu, Trường THPT Trường Chinh đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt

TRỊNH DUY TRỌNG

[ĐS10] : Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục

[BT-ĐS10] : Nguyễn Huy Đoan (2008), “Bài tập Đại số 10 Nâng cao”,

cao”, NXB giáo dục [SGV-GT12] : Đoàn Quỳnh (2008), “Giải tích 12 Nâng cao – Sách giáo

viên”, NXB giáo dục

MỞ ĐẦU

1 Những vấn đề đặt ra

1.1 Tính toán đại số: hình thái hình thức và hình thái hoạt động

Thuật ngữ tính toán đại số được dùng để chỉ những tính toán trên các biểu

thức đại số

Trong bài viết Bước chuyển từ số học sang đại số trong giảng dạy toán học ở

cách biểu diễn khác nhau của cùng một biểu thức đại số Chẳng hạn, khi nghiên cứu hàm số xác định bởi biểu thức f(x) = 32 2 2

x x

hợp với việc xác định tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

 Nhưng để tìm nguyên hàm của hàm số thì dừng lại đó là chưa đủ mà phải tiếp tục biến đổi 222 36

số đã được sử dụng để đưa biểu thức f(x) về dạng được xem là phù hợp này Lựa chọn các tính toán đại số cần thực hiện như thế nào là hoàn toàn do yêu cầu nội tại

1 Le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans l’enseignement des mathématiques au collège, Petit

X, n o 19

của nhiệm vụ đang giải quyết quy định chứ không phải do những yêu cầu, những chỉ dẫn cho trước

Tiếp tục đi sâu nghiên cứu vấn đề này, Chevallard đã đề cập đến hai mặt hình thức và hoạt động (hình thái hình thức và hình thái hoạt động) của tính toán đại

số Tác giả phân biệt sự khác nhau giữa hai hình thái này như sau:

Tính toán hình thức là tính toán mà học sinh thực hiện một cách rất bình

thường để đáp ứng một trong những chỉ dẫn, yêu cầu cổ điển của tính toán như thực hiện phép tính, rút gọn, phân tích thành nhân tử, khai triển, … Đó là những thao tác

biến đổi các biểu thức đại số không nhằm mục đích gì ngoài việc tính toán đại số Tác giả đã đưa ra một số ví dụ và phân tích như sau để làm rõ quan điểm của mình:

“Tính biểu thức: (2a + 1) + (2a + 3)”

Câu trả lời mong đợi là câu trả lời nảy sinh qua giảng dạy, được tạo thành từ kết quả sau:

(2a + 1) + (2a + 3) = … = 4a + 4

Một trong những dấu hiệu hình thức ở đây là tiêu chí để kết thúc phép tính: tại sao coi tính toán là trọn vẹn khi nhận được biểu thức 4a + 4? Tại sao người ta không thực hiện tiếp để viết như sau:

(2a + 1) + (2a + 3) = … = 4a + 4 = 4(a + 1)

Trong trường hợp dạng của kết quả tính toán không đáp ứng bất cứ yêu cầu nào ngoài tính toán, với tư cách tính toán hình thức, việc kết thúc được xác định bởi

cái mà người ta có thể gọi là “quy tắc hướng dẫn tính toán đại số” (quy tắc mà ở

đây chúng ta không xem xét động lực và nguồn gốc của nó) thuyết phục rằng 4a + 4

là dạng “đẹp” trong số tất cả các dạng

Nhiều cái sẽ thay đổi nếu tính toán trên xuất hiện như “hoạt động” (fonctionnel), tức là xuất hiện ở một thời điểm trong lời giải của bài toán mà yêu cầu không chỉ đơn thuần là tính toán

Chẳng hạn, xét bài toán “Chứng minh rằng: tổng của 2 số nguyên lẻ liên tiếp

là bội của 4”

Thực hiện các thao tác biến đổi, các tính toán đại số trên biểu thức (2a + 1) + (2a + 3) có thể mang lại câu trả lời cho câu hỏi trên Nhưng ở đây, việc kết thúc tính toán ở điểm nào được xác định bởi bài toán mà người ta cố gắng giải quyết, nó nằm ngoài việc tính toán Dạng 4a + 4 không được xem như một dạng tối

ưu nữa mà dạng 4(a + 1) mới là hợp thức

Như vậy, chính mặt “hoạt động” của tính toán đại số và việc sử dụng nó như một công cụ để giải toán cho phép mang lại nghĩa của tính toán đại số

1.2 Tính toán đại số ở trường phổ thông: khó khăn của học sinh

Theo tài liệu “Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques”, công bố ở Pháp, bước chuyển từ tính toán số sang tính toán đại số

thực sự là một cuộc cách mạng Việc xác định một đại lượng chưa biết, thay đổi, chưa xác định bởi một chữ và đưa các chữ này vào các tính toán tương tự như các đại lượng đã biết làm tăng khả năng của tính toán

Phương pháp đại số buộc học sinh phải xem lại một cách sâu sắc những chiến lược tính toán của chúng Trong số học, nó phát triển từ cái đã biết đến cái chưa biết bằng cách tạo ra dần dần những kết quả trung gian Trong đại số, phải thiết lập mối liên hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết, sau đó tính toán trên những mối liên hệ này đến khi nhận được kết quả cần tìm Chính sự đảo ngược về tư tưởng này khiến việc giảng dạy thường gặp phải khó khăn

Bên cạnh đó, cách thức điều khiển tính toán cũng thay đổi Nếu như các tính toán số nhắm đến việc tìm ra giá trị số của một biểu thức số, thì tính toán đại số lại nhắm đến một kết quả tổng quát cho tất cả những biểu thức đạt được bằng cách gán giá trị cụ thể cho các chữ có mặt trong biểu thức Trong trường hợp này, tính thỏa đáng của kết quả do nhiệm vụ cần giải quyết quy định, bởi ở đây tính toán không phải là mục đích mà là công cụ Nói cách khác, tính toán đại số được điều khiển bởi

ý nghĩa của tình huống Sức mạnh của nó thể hiện ở khả năng thoát khỏi nghĩa “bên ngoài” và các biến đổi được thực hiện trên những quy tắc rõ ràng Điều này tạo ra một sự điều khiển tính toán khác, làm tác động đến nghĩa bên trong của các biểu thức

Tuy nhiên, phần lớn các tính toán này, đặc biệt là tính toán gắn liền với vấn

đề tìm nghiệm đúng của các phương trình, bất phương trình sẽ nhanh chóng được algorith hóa, thậm chí được tự động hóa Việc thiếu sự kiểm soát nghĩa của các tính toán đại số khiến cho nghĩa đó bị che dấu Ấy thế mà khả năng thực hiện tính toán đại số trên các mối liên hệ lại đòi hỏi một sự kiểm soát nghĩa của các tính toán được thao tác, sự nhận biết các dạng của chúng (phân tích thành nhân tử, khai triển, đưa

về dạng chính tắc hay hằng đẳng thức đáng nhớ, …) Mỗi dạng mang những thông tin đặc thù trên đối tượng mà nó xác định, và gần hay xa với lời giải cần tìm

Theo Chevallard, nhiều sai lầm tái diễn của học sinh đã chỉ ra khó khăn mà

họ gặp phải khi chiếm lĩnh các tính toán này

1.3 Tính toán đại số và hàm số: câu hỏi nghiên cứu

Ta biết rằng có ít nhất là bốn cách để biểu thị một hàm số: lời, bảng, đồ thị

và biểu thức giải tích Hai cách biểu diễn đầu tiên đã có từ thuở ban đầu của lịch sử toán học, khi người ta quan tâm đến sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đại lượng biến thiên Nhưng chính cách biểu diễn cuối cùng mới mang lại nhiều thuận lợi cho việc nghiên cứu hàm số Trong lịch sử toán học, nó chỉ xuất hiện sau khi hệ thống ký hiệu của đại số ra đời Sự hình thành nên hệ thống ký hiệu này giúp cho việc giải quyết các vấn đề của toán học trở nên dễ dàng hơn nhiều so với việc sử dụng các hệ thống biểu đạt đã tồn tại trước đó Sức mạnh của hệ thống biểu đạt của đại số đã khiến Descartes và Fermat tìm cách “du nhập” nó vào hình học và từ đó xây dựng nên ngành Hình học giải tích Cũng chính nhờ hệ thống biểu đạt này mà Giải tích – ngành toán học có hàm số là đối tượng nghiên cứu cơ bản – phát triển nhanh chóng

Như vậy, nghiên cứu hàm số qua biểu thức giải tích biểu diễn nó là một phương pháp mang lại nhiều hiệu quả Có lẽ đó chính là nguyên nhân khiến cho ở Việt Nam sự lựa chọn truyền thống của các chương trình là ưu tiên xem xét hàm số được biểu diễn bằng biểu thức giải tích

Nghiên cứu hàm số biểu diễn ở dạng này bắt buộc người ta phải thao tác trên các biểu thức, phải thực hiện các tính toán đại số Thế nhưng, như Chevallard đã nói, việc các tính toán này thường được algorit hóa dẫn đến chỗ nhiều khi học sinh không hiểu được nghĩa của các tính toán đại số, mà hậu quả là họ có thể không biết khai thác các tính toán này để giải quyết vấn đề theo một cách thức tối ưu hơn

Khi nghiên cứu vị trí, vai trò của tính toán đại số trong chương trình Toán THPT ở Pháp, tác giả Claude RIQUET (2004) trong khóa luận “Mặt hoạt động của tính toán đại số ở lớp 10”2 cũng đã chỉ ra rằng:

“Tính toán số và tính toán đại số không được hệ thống thành một chương mà được tìm thấy qua nhiều chương khác nhau Đặc biệt, nó được trình bày trong mối

2 Un aspect fonctionnel du calcul algebrique en classe de 2 nde

quan hệ hẹp với việc nghiên cứu hàm số Giống như hình học, các hoạt động tính toán phải là cơ hội để phát triển suy luận và chứng minh”

Những phân tích trên đã hướng sự quan tâm của chúng tôi đến đề tài Cuộc sống của tính toán đại số trong dạy học hàm số ở Trung học phổ thông Và, bởi vì

nghĩa của các tính toán đại số thường bị che dấu, nên để rõ hơn, chúng tôi xác định

đề tài nghiên cứu là Cuộc sống ngầm ẩn của tính toán đại số trong dạy học hàm số

ở Trung học phổ thông

Những câu hỏi đầu tiên mà chúng tôi tự đặt ra cho mình là:

– Tính toán đại số hiện diện ra sao trong thực tế dạy học ở trường phổ thông Việt Nam?

– Các tính toán đại số được sử dụng như thế nào trong việc nghiên cứu hàm số? Nghĩa của tính toán đại số có được thể hiện thông qua việc nghiên cứu hàm số hay không?

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán, cụ thể

là “Lý thuyết nhân chủng học” và khái niệm “Hợp đồng didactic” Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày sơ lược một số khái niệm cơ bản3 của “Lý thuyết nhân chủng học”

và khái niệm “Hợp đồng didactic” Đồng thời, chúng tôi cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn của mình

2.1 Lý thuyết nhân chủng học

 Quan hệ cá nhân

Một đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân X Quan

hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O, R(X, O), là tập hợp những tác động

qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, … R(X, O) chỉ rõ cách thức mà X biết O

Một con người là một cá nhân, ở một thời điểm xác định của lịch sử của nó,

và một tập hợp các mối quan hệ cá nhân với những đối tượng mà nó biết

Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân

X với O Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc quan hệ này bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại) Sự học tập này làm thay đổi con người

3 Những khái niệm này được trình bày trong cuốn sách song ngữ Việt – Pháp “Những yếu tố cơ bản của Didactic toán” của các tác giả Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến

 Quan hệ thể chế

Một cá nhân X không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong

ít nhất một thể chế I Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X Hơn thế, giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định

Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào Nói cách khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác O sinh

ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy Theo cách tiếp cận sinh thái

(écologie) thì O chỉ có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại (raison d’être), nếu

nó được nuôi dưỡng trong những quan hệ, những ràng buộc ấy

Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu

R(I,O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, … Phân tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy

Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R (I, O)

Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan hệ cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học sẽ cung cấp cho chúng ta công

cụ để thực hiện công việc đó

 Tổ chức toán học

Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội Do đó, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie

Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, , ,], trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật  ,  là lí thuyết giải thích cho  , nghĩa là công nghệ của công nghệ 

Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique)

Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O:

“Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định”

Hơn thế, cũng theo Bosch M và Chevallard Y, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ

cá nhân của một chủ thể X (tồn tại trong I) với O, bởi vì:

“Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”

Như vậy, với những công cụ của Lý thuyết nhân chủng học chúng tôi có thể phân tích và làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học Toán ở Việt Nam với đối tượng tính toán đại số, đối tượng hàm số và hai đối tượng này có những quan hệ, ràng buộc nào; đồng thời, tìm hiểu rõ mối quan hệ cá nhân của học sinh với các đối tượng nêu trên Điều này sẽ cho phép trả lời những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi đã đặt ra

2.2 Hợp đồng didactic

Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy – học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên,

về một tri thức được giảng dạy” toán học được giảng dạy

Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua

Để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành như sau:

 Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ được

gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách:

– Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức

– Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó

– Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức đang xét không thể giải quyết được

– Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà

họ mong đơi ở học sinh

 Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại bằng cách: – Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học

– Phân tích các đánh giá của học sinh trong việc sử dụng tri thức

– Phân tích các bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong SGK

Như vậy, việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan đến việc sử dụng các tính toán đại số trong nghiên cứu các vấn đề về hàm số sẽ cho phép chúng tôi “giải mã” các ứng xử của học sinh và tìm ra ý nghĩa của các hoạt động mà họ tiến hành Điều này cho phép trả lời phần nào câu hỏi 2 đã đặt ra ở trên

Tóm lại, vệc đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Lý thuyết nhân chủng học và khài niệm hợp đồng didactic theo chúng tôi là thỏa đáng

3 Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - mục đích nghiên cứu

Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là trọng tâm nghiên cứu của luận văn nà:

 Q1: Trong chương trình THCS, vai trò của hình thái hoạt động của tính toán đại số được xác định ra sao?

 Q2: Hình thái hoạt động của tính toán đại số tác động như thế nào lên việc nghiên cứu hàm số?

 Q3: Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành trong dạy học khái niệm hàm số?

4 Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Để đạt được các mục đích nghiên cứu nêu trên và trả lời được các câu hỏi đặt

ra, chúng tôi thấy cần thiết phải thực hiện hai phần sau:

Phần 1 trình bày một nghiên cứu thể chế về hai đối tượng hàm số và tính toán đại số với hai chương 1 và 2

Chương 1 trình bày các kết quả nghiên cứu về hai đối tượng này trong chương trình THCS, cấp học mà tính toán đại số và hàm số được đưa vào 1 cách tường minh Thông qua việc phân tích chương trình chúng tôi sẽ làm rõ vai trò của hình thái hoạt động của tính toán đại số và tác động của nó đến việc nghiên cứu hàm số ở cấp độ này

Ở bậc THPT, hình thái hoạt động của tính toán đại số có tác động đến việc nghiên cứu hàm số giống như ở bậc THCS hay không? Nếu có sự khác biệt thì điều

đó được thể hiện như thế nào? Các câu trả lời sẽ được chúng tôi đưa ra sau khi tiến hành phân tích chương trình và SGK THPT Những nghiên cứu này cũng giúp chúng tôi xác định rõ mối quan hệ thể chế đối với đối tượng hàm số; đồng thời cho phép chúng tôi hình thành giả thuyết về sự tồn tại của các quy tắc hợp đồng didactic liên quan đến việc dạy học hàm số Đó là những nội dung chúng tôi trình bày trong chương 2

Phần 2 trình bày một nghiên cứu thực nghiệm về tính toán đại số và hàm số Thật vậy, để kiểm chứng tính thích đáng của giả thuyết đã đặt ra ở trên và phần nào giúp học sinh hiểu được nghĩa của các tính toán đại số, việc xây dựng các bài toán thực nghiệm và tổ chức thực nghiệm trên các chủ thể của hệ thống dạy học là một điều cần thiết

Chương trình lớp 6 và đầu lớp 7 tiếp tục hoàn thiện quá trình xây dựng tập

hợp số nguyên, số hữu tỷ, số thực và các phép toán số học trên chúng

Chương trình đại số lớp 7 gồm các chương:

- Chương 1: Số hữu tỉ và số thực

- Chương 2: Hàm số và đồ thị

- Chương 3: Thống kê

- Chương 4: Biểu thức đại số

Khái niệm biểu thức đại số được đề cập một cách tường minh trong chương

4 Yêu cầu đặt ra cho việc dạy học chương 4 là:

“Học sinh nhận biết được biểu thức đại số (trong biểu thức đại số, coi chữ là “đại diện” cho số), biết cách tính giá trị của biểu thức đại số Nhận biết được đơn thức, đa thức đồng dạng, biết thu gọn đơn, đa thức; biết cộng, trừ đa thức, đặc biệt là đa thức một biến

…”.(SGV Toán 7, tập 1, tr 5)

Có lẽ ở thời điểm này, thời điểm các biểu thức đại số cùng những phép toán trên chúng mới được giới thiệu, thì mức độ yêu cầu như vậy là hợp lý Vậy, ở những lớp sau, hình thái hoạt động của tính toán đại số có được đề cập? Học sinh có thể sử dụng tính toán đại số như một công cụ để giải quyết những bài toán ngoài tính toán hay không?

Chương trình đại số lớp 8 đề cập đến những nội dung sau:

- Chương 1: Phép nhân và phép chia đa thức

- Chương 2: Phân thức đại số

- Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn

- Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Liên quan đến tính toán đại số, chương trình xác định mục đích dạy học là làm cho học sinh:

– nắm vững và thực hành tốt các quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức Nắm vững bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và vận dụng được các hằng đẳng thức đó trong tính nhẩm, trong việc phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức (SGV Toán 8, tập 1, tr 4)

– nắm vững và vận dụng các phương pháp thông dụng để phân tích đa thức thành nhân tử : phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hẳng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng tử và phối hợp nhiều phương pháp trên Việc biến tổng thành tích chủ yếu

là thành hai nhân tử, không nên đưa ra dạng quá ba nhân tử (SGV Toán 8, tập 1, tr 4)

– nắm vững quy tắc chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức, chia

đa thức cho đa thức đã sắp xếp (chủ yếu là phép chia hết của các đa thức có cùng một biến) (SGV Toán 8, tập 1, tr 4)

Như vậy, yêu cầu chủ yếu của chương trình lớp 8 vẫn là thực hiện các tính toán đại số ở hình thái hình thức, còn việc nắm vững quy tắc, thực hiện thành thạo các phép tính, nắm các phương pháp phân tích thành nhân tử để làm gì thì không được nói rõ

Tóm lại, trích dẫn trên cho thấy, liên quan đến tính toán đại số, trong giai đoạn đầu, chương trình dành trọng tâm cho việc xây dựng các quy tắc tính toán trên các biểu thức đại số Người ta chỉ đưa ra yêu cầu thực hiện các tính toán đại số ở

hình thái hình thức: biết cộng, trừ đa thức, thực hành tốt các quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, vận dụng được các phương pháp thông dụng

để phân tích đa thức thành nhân tử,… Điều này là tự nhiên, vì không có kỹ năng

thực hiện các thao tác tính toán hình thức thì không thể nói đến hình thái hoạt động

của những tính toán ấy Tuy nhiên, cũng rất hợp lý nếu đặt ra câu hỏi: người ta có tổ chức cho học sinh nghiên cứu các quy tắc tính toán (phương diện hình thức của tính toán đại số) trong mục đích xây dựng nghĩa của chúng thông qua việc xét chúng ở hình thái hoạt động hay không? Chẳng hạn, rút gọn biểu thức, hay phân tích biểu

thức thành nhân tử, … có được gắn với một mục đích nào đó không?

Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi đã phân tích sâu hơn các chương tiếp theo của chương trình Đại số lớp 8 và lớp 9 Hai nội dung chủ yếu được nghiên cứu

sau khi giới thiệu Biểu thức đại số là hàm số và phương trình bậc nhất, bậc hai

Những nội dung về hàm số sẽ được chúng tôi trình bày riêng ở phần II Ở đây

chúng tôi chỉ bàn về vai trò của tính toán đại số trong nghiên cứu đối tượng phương trình ở THCS

Trong chương trình Đại số lớp 8, “Phương trình bậc nhất một ẩn” được trình bày ở chương 3 Đúng như tiêu đề của chương, các phương trình được nghiên cứu đều có dạng hoặc có thể đưa về dạng bậc nhất một ẩn Liên quan đến phương trình

ở đây, điều đầu tiên cần nói là không có một giải thích nào của nossphère đề cập một cách tường minh về vai trò của tính toán đại số Tuy nhiên, khi giới thiệu các dạng phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu số (khi giải đều đưa về dạng bậc nhất) dường như nossphère không muốn chỉ dừng lại ở việc thực hiện các tính toán đại số ở hình thái hình thức Bởi để đưa phương trình tích, phương trình chứa

ẩn ở mẫu số về dạng bậc nhất không thể không sử dụng tính toán đại số Các tính toán đại số này được thực hiện như thế nào là tùy thuộc vào mỗi phương trình, nó trở thành công cụ để biến đổi phương trình về dạng bậc nhất

Chương trình Đại số lớp 9 gồm:

- Chương 1: Căn bậc hai Căn bậc ba

- Chương 2: Hàm số bậc nhất

- Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Chương 4: Hàm số y = ax2 (a0) – Phương trình bậc hai một ẩn

Tương tự như khi giới thiệu phương trình bậc nhất một ẩn, chương 4 của Chương trình Đại số lớp 9 các phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn được giới thiệu ngay sau phương trình bậc hai một ẩn Đương nhiên, để giải các phương trình này cũng bắt buộc phải sử dụng các tính toán đại số Nhưng không giống như ở lớp 8, bây giờ nossphère chính thức đề cập đến vai trò của tính toán đại

số: “Biết giải các phương trình quy về phương trình bậc hai (chỉ xét các trường hợp đơn giản: biến đổi vế trái về dạng tích của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai (vế phải bằng 0)…)”.(SGV Toán 9, tập 1, tr5)

Như vậy, có thể nói hình thái hoạt động của tính toán đại số đã được xem xét

đến, trong một chừng mực nào đó, khi nghiên cứu chủ đề phương trình ở THCS

hiện hành

Cùng với nội dung Phương trình, tính toán đại số tác động như thế nào vào

việc nghiên cứu hàm số trong chương trình này Dưới đây, chúng tôi sẽ tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi đó

1.2 Tính toán đại số với việc nghiên cứu hàm số trong chương trình THCS

Liếc qua tên các chương của chương trình lớp 7, ta có thể đặt ngay ra câu hỏi: khi chưa đưa vào khái niệm biểu thức đại số thì người ta trình bày khái niệm hàm số như thế nào?

Tìm câu trả lời cho câu hỏi đó, chúng tôi thấy khái niệm hàm số được hình thành từ việc xem xét các đại lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch Liên hệ giữa hai đại lượng x, y được cho qua các bảng, nhằm dẫn đến ghi nhận về sự phụ thuộc giữa hai đại lượng, từ đó hình thành nên khái niệm hàm số Như thế là dù chưa nghiên cứu

biểu thức đại số, các ký hiệu bằng chữ đã được sử dụng Việc làm này thực ra đã

từng có ở bậc tiểu học và lớp 6 Lúc đó, thao tác trên những biểu thức chứa chữ được thực hiện nhờ các quy tắc tính toán trên số (chẳng hạn như tìm số bị trừ khi biết hiệu và số trừ, tìm số bị chia khi biết thương và số chia, tìm một số hạng khi biết tổng và số hạng kia, …)

Như thế thì việc biểu thị hàm số bằng một biểu thức đại số – đối tượng chưa được định nghĩa tường minh ở thời điểm này, có thể không gây nên sự gián đoạn khi hình thành khái niệm hàm số Tuy nhiên, việc nghiên cứu hàm số bậc nhất ngay sau đó sẽ tiến hành ra sao? Ở đấy người ta khai thác như thế nào các tính toán đại số? Chúng tôi không tìm thấy trong chương trình một sự nói rõ nào về vấn đề này

Để trả lời câu hỏi đặt ra, chúng tôi xét những nội dung được đề cập ở đây: khái niệm hàm số, giá trị của hàm số, đồ thị hàm số Các hàm số đều được cho rất

cụ thể và đơn giản (bằng bảng, bằng công thức) Việc tính giá trị của hàm số tại một giá trị của biến số (hoặc kiểm tra một điểm có thuộc đồ thị hàm số hay không) chỉ cần các tính toán số

Hàm số còn được chương trình THCS đề cập ở lớp 9 với hai hàm số cụ thể là hàm số y = ax + b (a 0) và y = ax 2 (a0) Ở đây, ngoài các vấn đề như ở lớp 7 chương trình còn giới thiệu thêm các vấn đề khác của hai hàm số trên: sự biến thiên,

sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số, xác định các hệ số của hàm số Tuy nhiên, tất

cả các vấn đề trên đều có thể dễ dàng giải quyết bằng cách sử dụng các tính toán số (như lớp 7) hoặc hệ số a của hàm số

Như vậy, khi nghiên cứu các vấn đề của hàm số ở THCS hoàn toàn chưa sử dụng đến tính toán đại số

1.3 Kết luận

Phân tích chương trình THCS chúng tôi thấy rằng:

– Ở cấp THCS, các tính toán đại số được giới thiệu tương đối đầy đủ Nó cũng được đề cập đến ở cả hai hình thái như sự phân biệt của Chevallard: hình thái hình thức và hình thái hoạt động

– Nhưng, yêu cầu chủ yếu của chương trình là học sinh biết thực hiện các tính toán đại số hình thức Tính toán và biến đổi chỉ thuần túy là những thao tác biến đổi hình thức và được thực hiện theo những yêu cầu nêu rõ, đã được chuẩn hóa, như “thực hiện phép tính”, “rút gọn biểu thức”, “phân tích biểu thức thành nhân tử”, …

– Hình thái hoạt động của tính toán đại số không nằm trong “phạm vi yêu cầu” của chương trình, hay nói chính xác hơn là khi nghiên cứu hàm số

Trong thực tế, không chỉ phân tích chương trình, chúng tôi còn nghiên cứu

cả các sách giáo khoa toán ở THCS Trong khuôn khổ của luận văn, để tránh sự dàn trải, chúng tôi không trình bày kết quả đạt được qua nghiên cứu này Tuy nhiên, một cách ngắn gọn, chúng tôi cũng muốn thông báo rằng trong các sách giáo khoa toán THCS, loại bài tập sử dụng tính toán đại số ở hình thái hình thức hoàn toàn áp đảo

so với loại bài tập sử dụng tính toán đại số ở hình thái hoạt động Tính toán đại số đơn thuần chỉ là những tính toán, các biến đổi chỉ mang tính hình thức, không vì mục đích gì cả Mặt hoạt động của tính toán đại số chỉ tác động ở một số rất ít bài

toán có nội dung thực tế, hay những bài toán toán học thuần túy như “chứng minh rằng (n + 2) 2 – 4 chia hết cho 5” và “giải phương trình”

Tóm lại, người ta đặt trọng tâm trước hết vào những kỹ năng thực hiện các tính toán đại số Hình thái hoạt động của tính toán đại số dường như chỉ có mặt khi nghiên cứu vấn đề giải phương trình và việc giải các bài toán có nội dung thực tế Nhưng nghiên cứu loại toán này không được chương trình nêu ra khi giải thích mục đích dạy học Có lẽ vì thế mà nó cũng hiện diện một cách yếu ớt trong các sách giáo khoa Hầu như tính toán đại số không được khai thác trong nghiên cứu hàm số ở THCS Phải chăng vì các hàm số hiện diện trong chương trình này là những hàm số đơn giản, và đây chỉ là giai đoạn khởi đầu của việc nghiên cứu hàm số? Nếu thế thì

vai trò của tính toán đại số có thay đổi hay không trong dạy học chủ đề hàm số ở trường THPT, nơi mà hàm số đã trở thành một nội dung xuyên suốt chương trình và

nhiều hàm số phức tạp hơn được xem xét? Tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi này

là mục đích nghiên cứu được đặt ra cho chương tiếp theo của luận văn

Chương 2:

TÍNH TOÁN ĐẠI SỐ TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ

Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.1 Mở đầu

Trong chương này, mục đích của chúng tôi là làm rõ mối quan hệ thể chế với hàm số, qua đó tìm hiểu những tác động của hình thái hoạt động của tính toán đại số trong việc nghiên cứu hàm số ở THPT Ở đây, khái niệm hàm số được chúng tôi xem xét trên phương diện đối tượng: nó được định nghĩa như thế nào, các tính chất được khai thác ra sao, vấn đề nào được nghiên cứu, … Chúng tôi chia việc nghiên cứu hàm số ở chương trình THPT thành ba giai đoạn:

Giai đoạn 1: Hàm số được nghiên cứu bằng phương pháp sơ cấp (ứng với

chương trình năm lớp 10 và đầu lớp 11) Giai đoạn này, khái niệm hàm số, hàm số lượng giác, tập xác định, đồ thị của hàm số, hàm số đồng biến – nghịch biến được trình bày lại một cách chính xác hơn; đồng thời khái niệm hàm số chẵn – hàm số lẻ

và phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số cũng được bổ sung Tuy nhiên, các vấn đề của hàm số đều được nghiên cứu bằng phương pháp sơ cấp

Giai đoạn 2: Các công cụ giới hạn, đạo hàm được xây dựng để chuẩn bị cho

việc nghiên cứu hàm số bằng phương pháp cao cấp (ứng với chương trình cuối năm lớp 11)

Giai đoạn 3: Hàm số được nghiên cứu bằng phương pháp cao cấp (ứng với

chương trình năm lớp 12) Bằng phương pháp cao cấp, nhiều loại hàm số và vấn đề của nó được xét tới

Cần phải nói rõ rằng, trong khuôn khổ của luận văn chúng tôi chỉ có thể quan tâm, làm rõ vai trò của tính toán đại số khi nghiên cứu hàm số (chủ yếu là các hàm

số cho bằng biểu thức giải tích), đặc biệt là vai trò đó thay đổi như thế nào khi phương pháp nghiên cứu chuyển từ sơ cấp sang cao cấp Vì vậy, chúng tôi sẽ tiến

hành phân tích hai bộ sách Đại số 10 nâng cao và Giải tích 12 nâng cao chương

trình môn Toán THPT hiện hành Trong đó, chúng tôi tập trung nghiên cứu chủ yếu các hàm số trong giai đoạn 1 và giai đoạn 3

2.2 Hàm số và tính toán đại số trong chương trình THPT

2.2.1 Trong thể chế dạy học Toán ở Việt Nam

Hàm số là một trong những đối tượng có vai trò quan trọng được đề cập trong mọi cấp học (ngầm ẩn hoặc tường minh) Tác giả Nguyễn Bá Kim đã viết:

“Hàm số là một trường hợp đặc biệt của khái niệm hàm – một trong những khái niệm cơ bản của toán học; nó giữ vị trí trung tâm trong chương trình môn toán ở trường phổ thông Toàn bộ việc dạy học toán ở trường phổ thông đều xuay quanh khái niệm hàm”

([11], tr107)

Thật vậy, ngay từ lớp 7 học sinh đã được biết về hàm số như một khái niệm toán học để mô tả tương quan phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên và xét cụ thể hai hàm số y = ax, y = a

x Đến lớp 9, học sinh được học đầy đủ về các hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) và hàm số bậc hai dạng y = ax 2 (a0) Tiếp nối chương trình THCS, chương trình THPT hệ thống, ôn tập và bổ sung thêm về các vấn đề của hàm

số (chúng tôi chia thành ba giai đoạn và đã trình bày ở trên)

Khi bàn về vấn đề “Dạy học khảo sát hàm số” ở trường phổ thông, tác giả Nguyễn Bá Kim trình bày:

“Cùng với việc hình thành cho học sinh những hiểu biết đúng đắn về khái niệm hàm số, giáo trình toán học ở trường phổ thông dành một phần quan trọng cho việc khảo sát một loạt những hàm số cụ thể, chủ yếu là những hàm số sơ cấp Hiểu theo nghĩa ở trường phổ thông thì khảo sát hàm số bao gồm các nội dung sau:

- Tìm miền xác định;

- Xét đặc tính biến thiên;

- Vẽ đồ thị và nhận xét đồ thị

Những nội dung này, nói một cách chính xác hơn, nội dung thứ hai và thứ

ba, được nghiên cứu với mức độ nông sâu khác nhau tùy yêu cầu từng bậc học Nói chung những nội dung này đòi hỏi nhiều kĩ năng, kĩ xảo phức tạp Để học sinh có thể giải tốt những bài toán khảo sát hàm số, ta cần chăm lo rèn luyện cho họ hệ thống kĩ năng, kĩ xảo cần thiết bao gồm ba nhóm sau đây: tính toán, vẽ đồ thị và đọc đồ thị”

([11], tr118)

Ngay sau đó, tác giả trình bày rõ hệ thống kĩ năng, kĩ xảo cần thiết bao gồm

ba nhóm: tính toán, vẽ đồ thị và đọc đồ thị Trong đó, nhóm tính toán phục vụ khảo sát hàm số tác giả viết:

“Nhóm này bao gồm những kĩ năng, kĩ xảo thực hiện các phép toán số học

và đại số, những phép biến đổi đồng nhất, giải phương trình, xét dấu nhị thức, tam thức, …

Điều đó nói lên mối liên hệ mật thiết giữa chủ đề hàm số với các chủ đề khác: các hệ thống số, biến đổi đồng nhất, phương trình và bất phương trình Những kĩ năng, kĩ xảo vừa nói trên đều không thể xem nhẹ được…

Thầy giáo không được có thái độ khoan nhượng trước những sai lầm tính toán của học sinh, không được gây cho họ tâm lý coi nhẹ tính toán

Ta cần chăm lo rèn luyện cho học sinh những kĩ năng, kĩ xảo này trong khi dạy học các hệ thống số, biến đổi đồng nhất, phương trình và bất phương trình, tạo

Qua những ý kiến, nhận định trên của tác giả Nguyễn Bá Kim, chúng ta có thể thấy rõ vai trò quan trọng của tính toán (trong đó có tính toán đại số) trong việc dạy học hàm số Tuy nhiên, điều này hoàn toàn không được thể hiện trong chương trình Những mục tiêu, yêu cầu của chương trình khi giới thiệu khái niệm hàm số (cũng như tính toán đại số) cũng không cho thấy bất kì mối liên hệ nào giữa tính toán đại số và hàm số

2.2.2 Trong thể chế dạy học Toán ở Pháp

Khi nghiên cứu vị trí, vai trò của tính toán đại số trong chương trình Toán THPT ở Pháp, tác giả Claude RIQUET (2004) trong khóa luận “Mặt hoạt động của tính toán đại số ở lớp 10” (Un aspect fonctionnel du calcul algebrique en classe de

2nde) đã chỉ ra rằng:

“Tính toán số và tính toán đại số không hệ thống thành một chương mà nó được tìm thấy qua nhiều chương khác nhau Đặc biệt, nó được trình bày trong mối quan hệ hẹp với việc nghiên cứu hàm số Giống như hình học, các hoạt động tính toán phải là cơ hội để phát triển suy luận và chứng minh”

Cụ thể, tác giả đã nêu những mức độ cần đạt của chương trình thể hiện mối quan hệ giữa tính toán đại số và nghiên cứu hàm số “Tính toán và hàm số” (Calcul

et fonction) như sau:

Nội dung Mức độ cần đạt Ghi chú

Hàm số

- Xác định biến và TXĐ của một hàm số xác định bởi đường cong, bảng giá trị hay biểu thức Xác định ảnh của một số

- Biến đổi, khai triển, rút gọn một biểu thức theo mục đích mong muốn

- Những hoạt động tính toán phải là cơ hội để suy luận và chứng minh Người ta tránh những hoạt động quá máy móc và cố gắng phát triển những chiến lược dựa trên quan sát, dự đoán và hiểu biết về tính toán

- Những hoạt động gắn với hàm số, phương trình và bất phương trình làm nổi bật thông tin được cho bởi một biểu thức và thúc đẩy việc tìm kiếm một cách viết phù hợp

Sau khi phân tích chương trình và tài liệu kèm theo chương trình tác giả đã

kết luận:

“Qua phân tích, chúng ta thấy chương trình nhấn mạnh mặt hoạt động của

tính toán đại số qua nhiều nội dung khác nhau, điều này thể hiện ở việc sử dụng các

thuật ngữ “biến đổi một biểu thức đại số”, “thông tin được cho bởi một biểu thức”,

“tìm một cách viết phù hợp”,… Ở đây, những chỉ dẫn (yêu cầu) không còn chuẩn

mực nữa, và việc thao tác trên những biểu thức đại số là không đủ, nó là một công

cụ để giải quyết các bài toán”

Tóm lại, chương trình của Pháp không những đề cập một cách tường minh

mà còn nhấn mạnh vai trò của tính toán đại số, cụ thể là các tính toán đại số ở hình thái hoạt động trong nghiên cứu hàm số Ngược lại, chương trình của Việt Nam không những không nêu rõ vai trò của tính toán đại số mà còn không thể hiện bất kỳ mối liên hệ nào giữa tính toán đại số và nghiên cứu hàm số Như vậy, trong thể chế dạy học Toán ở Việt Nam, hàm số được giới thiệu như thế nào ở cấp THPT? Những vấn đề nào của hàm số được nghiên cứu? Tính toán đại số được sử dụng như thế nào khi nghiên cứu các vấn đề của hàm số? Việc nghiên cứu các vấn đề của hàm số

có cho thấy nghĩa của tính toán đại số hay không?

Để trả lời phần nào các câu hỏi trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích bộ SGK Đại số 10 nâng cao và Giải tích 12 nâng cao chương trình hiện hành môn Toán THPT Khi phân tích mỗi bộ sách chúng tôi trình bày thành hai phần:

Phấn lý thuyết: Chúng tôi sẽ tóm tắt các nội dung được SGK trình bày, xác

định mối quan hệ thể chế với hàm số và có gắng tìm câu trả lời cho những sự lựa chọn của thể chế khi giới thiệu hàm số

Các tổ chức toán học: Phân tích hệ thống bài tập của chúng tôi tiến hành

theo cách tiếp cận của Lý thuyết nhân chủng học và Hợp đồng didactic Thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học hiện diện trong SGK, chúng tôi sẽ trả lời cho những câu hỏi, củng cố hay bác bỏ những nhận định mà chúng tôi đã trình bày trong phần nghiên cứu lý thuyết Qua đó, chúng tôi tìm hiểu cuộc sống của tính toán đại

số, vai trò của nó trong dạy học hàm số; đồng thời đưa ra những quy tắc của hợp đồng didactic, những giả thuyết liên quan đến khái niệm hàm số

2.3 Hàm số và tính toán đại số trong SGK Đại số 10 nâng cao

– Câu hỏi và bài tập ôn tập chương II

Bài 1, khái niệm hàm số được nhắc lại và bổ sung Trong phần “Những điều cần lưu ý” của Bài 1, SGV-ĐS10 cho chúng ta thấy rõ những bổ sung và khác biệt của đối tượng hàm số so với các lớp dưới:

“Học sinh đã được học khái niệm hàm số từ lớp dưới Trong bài này, khái niệm hàm số được chính xác hoá thêm một bước Cụ thể là:

– Đưa vào khái niệm tập xác định của hàm số

– Coi hàm số là một quy tắc, nhờ đó mỗi giá trị của x thuộc tập xác định đều tương ứng với một số thực y duy nhất” (SGV-ĐS10, tr69)

Như vậy, ngoài việc chính xác hóa khái niệm hàm số ĐS10 còn giới thiệu tập xác định của hàm số Sau đó, ĐS10 đã đề cập đến các cách thường dùng để cho một hàm số Tuy không trình bày thành một hệ thống nhưng chúng ta có thể rút ra 4 cách cho một hàm số được đề cập đến: cho bằng bảng (ví dụ 1, tr35 – ĐS10), cho bằng biểu đồ (bài tập 2, tr44 – ĐS10), cho bằng đồ thị (ví dụ 2, tr37 – ĐS10) và cho bằng biểu thức (ví dụ 3, tr37 – ĐS10) Trong đó, cách cho thứ 3 và thứ 4 chiếm ưu thế hơn, đặc biệt là cách cho thứ 3 – cho bằng đồ thị – là một trong những cách cho hàm số hoàn toàn mới so với chương trình những năm trước đây Đồ thị của hàm số trở thành một “công cụ hữu hiệu” khi nghiên cứu những tính chất của hàm số Điều này được SGV-ĐS10 khẳng định trong phần “Những điều cần lưu ý trong chương”:

“Với tư tưởng từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, đồ thị được xem là phương tiện chủ yếu để khảo sát hàm số …

Cách tiếp cận này phù hợp với định hướng về đổi mới phương pháp dạy học: giáo viên tổ chức các hoạt động trên lớp cho học sinh để qua đó dẫn dắt cho học sinh tự khám phá, rút ra những kết luận khoa học cần thiết”

(SGV-ĐS10, tr67)

Như vậy, SGK đặc biệt quan tâm đến vai trò của đồ thị trong việc nghiên cứu các vấn đề của hàm số Sự chọn lựa này chắc chắn sẽ hạn chế việc sử dụng các tính toán đại số trong nghiên cứu hàm số

Cũng trong bài 1, ĐS10 lần lượt giới thiệu các khái niệm sự biến thiên của hàm số, hàm số chẵn – hàm số lẻ và sơ lược về tịnh tiến đồ thị song song với trục toạ độ

Từ nhận xét đồ thị của hàm số, ĐS10 giới thiệu tính chất của đồ thị của một hàm số đồng biến, nghịch biến, hàm số chẵn, hàm số lẻ như sau:

“Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên;

Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống”

(ĐS10, tr38)

“Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

(ĐS10, tr41)

Sau những tính chất này, phương pháp đồ thị chính thức được sử dụng để nghiên cứu sự biến thiên, tính chẵn – lẻ của hàm số

Ngoài ra, phương pháp đại số cũng ĐS10 giới thiệu, như:

“Để khảo sát sự biến thiên của hàm số f trên K, ta có thể xét dấu của tỉ số

Một nội dung hoàn toàn mới so với những chương trình trước đây mà ĐS10

giới thiệu coi như là “một sự chuẩn bị cho các bài học sau, nhất là bài học về hàm

số bậc hai” chính là Tịnh tiến đồ thị Phần này, ĐS10 chỉ trình bày sơ lược và rất

trực quan để học sinh có thể hiểu thế nào là tịnh tiến một đồ thị – bằng trực giác Sau đó, các kết quả tổng quát về mối quan hệ giữa các hàm số mà đồ thị của hàm số này có được bằng cách tịnh tiến đồ thị của hàm số kia được thừa nhận:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đồ thị (G) của hàm số y = f(x); p và q là hai số dương tuỳ ý Khi đó:

1 Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f(x) + q;

2 Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f(x) – q;

3 Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f(x + p);

4 Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f(x – p)

(ĐS10, tr43)

Tuy ĐS10 trình bày một cách trực quan cho học sinh dễ hiểu phép tịnh tiến

đồ thị hàm số nhưng khi xác định hàm số có đồ thị là ảnh của một đồ thị hàm số khác qua phép tịnh tiến cho trước vẫn cần đến các tính toán đại số Hơn nữa, việc xác định phép tịnh tiến biến đồ thị của hàm số này thành đồ thị hàm số khác càng sử dụng nhiều tính toán đại số, thậm chí là những tính toán đại số phức tạp

Trong các bài tiếp theo, ĐS10 giới thiệu hai hàm số cụ thể là hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai và nghiên cứu những vấn đề cụ thể của hai hàm số này

Bài 2, ĐS10 tái hiện, củng cố các tính chất và đồ thị của hàm số y = ax + b Phần còn lại, ĐS10 giới thiệu hàm số y = ax b Hàm số y = ax b được giới thiệu sau phần hàm số bậc nhất trên từng khoảng, nó là sự “lắp ghép” của hai hàm

số bậc nhất khác nhau Các tính chất của nó được tìm hiểu thông qua đồ thị của nó

Ở đây, một lần nữa phương pháp đồ thị được nhấn mạnh

Toàn bộ về hàm số bậc hai được ĐS10 giới thiệu trong Bài 3 Hàm số y = ax2

(a 0) là một trường hợp riêng của hàm số bậc hai, nó đã được giới thiệu đầy đủ trong chương trình lớp 9, trong bài này các tính chất của nó được nhắc lại và “mở rộng” thành những tính chất của hàm số bậc hai tổng quát

bx + c Tuy nhiên, việc vẽ được đồ thị của hàm số bậc hai sau đó đơn giản hơn nhiều khi kĩ thuật vẽ được ĐS10 “thuật toán hoá” Từ đồ thị, nhiều tính chất của hàm số bậc hai cũng được thừa nhận theo đúng “tinh thần” của phương pháp đồ thị

+ Tập xác định của hàm số là tập tất cả các giá trị x tìm được

Công nghệ TXD : Quy ước: “Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất

cả các số thực x sao cho giá trị của biểu thức f(x) được xác định”, (ĐS10, tr36)

Với kĩ thuật TXD, vai trò của tính toán đại số được thể hiện rõ hơn Khó có thể dùng “trực giác” để tìm được những giá trị x mà biểu thức f(x) có nghĩa Ở đây, các tính toán đã được sử dụng để tìm kết quả của nhiệm vụ đề ta Cụ thể, các tính toán đại số được sử dụng để biến đổi biểu thức đại số f(x), g(x), hay giải các

phương trình, bất phương trình Xét Bài 1a (ĐS10, tr44):

Q x là Q(x) 0 (với P(x) và Q(x) là những đa thức) nên để tìm tập xác

định của hàm số này có thể thực hiện như sau:

Bảng 2.1: Thống kê số lượng các nhiệm vụ thuộc T TXD

T TXD Kiểu nhiệm vụ

Kĩ thuật SBT.TS : Sử dụng tỉ số biến thiên

Đồ thị hàm số đi lên: hàm số đồng biến trên K

Đồ thị hàm số đi xuống: hàm số nghịch biến trên K

Công nghệ SBT.ĐT : Tính chất của đồ thị hàm số, Tr38 – ĐS10

Kĩ thuật SBT.HS1 : Sử dụng khi hàm số là hàm số bậc nhất y = ax + b

Xét hệ số a:

và đồng biến khi x >

2

b a



a < 0: hàm số nghịch biến khi x >

2

b a



và đồng biến khi x <

2

b a



Công nghệ SBT.HS2 : Kết quả ĐS10 suy ra từ đồ thị của hàm số bậc hai – tr57 Như đã phân tích ở trên, “với tư tưởng từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, đồ thị của hàm số được xem là phương tiện chủ yếu để khảo sát hàm số”, kĩ thuật SBT.ĐT đã được giới thiệu Kĩ thuật này không đòi hỏi phải sử dụng các tính toán đại số Đây là một kĩ thuật hoàn toàn mới so với chương trình trước đây

Sử dụng thành thạo kĩ thuật này cũng là yêu cầu chủ yếu mà thể chế mong muốn Điều này được khẳng định trong SGV-ĐS10:

“Yêu cầu chủ yếu của bài này là học sinh phải biết dựa vào đồ thị để suy ra

sự biến thiên của hàm số, đồng thời biết cách lập bảng biến thiên của hàm số ”

(SGV-ĐS10, tr70)

Sự lựa chọn này của thể chế có phải sẽ làm cho vai trò của tính toán đại số bị xem nhẹ và mờ nhạt khi giải quyết các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ TSBT?

Đi tìm câu trả lời cho câu hỏi này chúng tôi đã thống kê tất cả các hàm số

được yêu cầu xét sự biến thiên trong Bài 1 Đại cương về hàm số Kết quả thống kê

làm chúng tôi bất ngờ Chỉ có 6 hàm số (4 trong ĐS10 và 2 trong BT-ĐS10) cho biết đồ thị và yêu cầu suy ra sự biến thiên của hàm số

Trong khi đó, có 12 hàm số (8 trong ĐS10 và 4 trong BT-ĐS10) yêu cầu xét

sự biến thiên nhưng chỉ cho biểu thức f(x) và không cho đồ thị (trong đó có nhiều hàm số học sinh chưa thể vẽ đồ thị của nó) Đặc biệt, cả 4 hàm số trong BT-ĐS10 –

một quyển sách được viết với mục đích “vừa củng cố kiến thức đang học, vừa nâng

bằng cách sử dụng tỉ số biến thiên Điều này làm cho chúng tôi nghĩ ở đây kĩ thuật

SBT.TS lại được nhấn mạnh

Thật vậy, trong các lời giải của ĐS10 và phần “gợi ý trả lời câu hỏi và bài tập” của SGV-ĐS10 đều sử dụng tỉ số biến thiên để xét sự biến thiên của hàm số Ví

dụ, xét sự biến thiên của hàm số y = x2 + 2x – 2 trên mỗi khoảng và

được hướng dẫn giải như sau:

= f(x) = ax2 (a > 0) lại được ĐS10 đưa vào ví dụ minh họa cho kĩ thuật SBT.TS

Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) = ax 2 (a > 0) trên mỗi khoảng ;0 và 0;

Giải: Với hai số x v x1 à 2 khác nhau, ta có:

Khi sử dụng kĩ thuật SBT.TS, vấn đề đặt ra là làm thể nào có thể suy ra dấu của

tỉ số biến thiên một cách nhanh nhất Ở đây, vai trò của tính toán đại số trở nên rất quan trọng Chúng được sử dụng để biến đổi và xác định dấu của tỉ số biến thiên Các tính toán đại số thường được sử dụng là: khai triển, rút gọn, phân tích đa thức

thành nhân tử, so sánh, … Như lời giải 4a trình bày ở trên, để lập được tỉ số biến thiên đòi hỏi phải tính được f(x1) và f(x2):

Tóm lại, tuy yêu cầu chủ yếu của bài 1 là sử dụng SBT.ĐT để xét sự biến thiên của các hàm số nhưng thực tế thì trong cả ĐS10 lẫn BT-ĐS10 kĩ thuật SBT.TS vẫn chiếm ưu thế hơn hẳn Một trong những lý do có thể là do SGK muốn nhấn mạnh đến việc xét sự biến thiên của một hàm số cho bằng biểu thức – cách cho hàm số chiếm ưu thế trong SGK Toán ở bậc THPT Thực tế này có mâu thuẫn với “yêu cầu chủ yếu” mà SGV-ĐS10 đã nêu trong Bài 1 như đã trình bày ở trên không? Hay chỉ với 6 hàm số (có thể suy ra sự biến thiên dựa vào đồ thị của nó) thể chế có thể đạt được “yêu cầu chủ yếu” mong muốn và sau này học sinh có thể sử dụng thành thạo

SBT.ĐT? Để có được câu trả lời cho những câu hỏi này, chúng tôi tiếp tục tìm hiểu các nhiệm vụ thuộc TSBT trong Bài 2 và Bài 3

Kết quả cho thấy, trong Bài 1 khi giới thiệu về các hàm số nói chung thì

SBT.TS chiếm ưu thế Nhưng trong Bài 2 và Bài 3, khi giới thiệu các hàm số cụ thể

(hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai) thì SBT.ĐT lại hoàn toàn chiếm ưu thế Sự thay

đổi này có lẽ là do các hàm số trong Bài 2 và Bài 3 được đề cập đều là các hàm số

mà có thể dễ dàng vẽ được đồ thị Việc ưu tiên sử dụng SBT.ĐTđược thể hiện tường

minh trong SGK (SGK yêu cầu vẽ đồ thị của hàm số trước khi yêu cầu xét sự biến

thiên) Khi hàm số đã có đồ thị, việc SBT.ĐTchiếm ưu thế là hoàn toàn thỏa đáng

Ngoài ra, những kết quả suy từ đồ thị hàm số đã hình thành kĩ thuật mới

SBT.HS2 Các kĩ thuật SBT.HS1, SBT.HS2 được sử dụng trong những trường hợp cụ thể:

hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai Chỉ cần xét dấu của hệ số a kết hợp với các tính

toán số đơn giản có thể suy ra sự biến thiên của hàm số

Bảng 2.2: Thống kê số lượng các nhiệm vụ thuộc T SBT

T SBT Kiểu nhiệm vụ

T CL Kiểu nhiệm vụ

Công nghệ TTĐT : Định lý về tịnh tiến đồ thị được ĐS10 thừa nhận ở Tr43

Sử dụng TTĐT mọi nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ TTTĐT đều dễ dàng được thực hiện Chỉ với những tính toán đại số thông thường là cộng (hoặc trừ) f(x) với k hay thay x bởi x + k (hoặc x – k) ta sẽ có được g(x) Ví dụ:

“Nếu tịnh tiến đường thẳng (d): y = 2x – 1 sang phải 3 đơn vị thì ta được đồ thị hàm số nào?

Giải Kí hiệu f(x) = 2x – 1 Theo định lí trên, khi tịnh tiến (d) sang phải 3 đơn vị, ta được (d 1 ), đó là đồ thị hàm số y = f(x – 3) = 2(x – 3) – 1 tức là hàm số y

Tuy nhiên, để thực hiện được các dạng toán ngược lại, tức là tịnh tiến đồ thị (H) của f(x) như thế nào để có được đồ thị (H’) của g(x), đòi hỏi kĩ năng về tính toán đại số phức tạp hơn nhiều Kiểu nhiệm vụ ngược với TTTĐT này chúng tôi xem

là kiểu nhiệm vụ TTTĐT.N:

Bảng 2.4: Thống kê số lượng các nhiệm vụ thuộc T TTĐT

T TTĐT Kiểu nhiệm vụ

Biến đổi biểu thức g(x):

+ g(x) = f(x) k, (k > 0): (H) có được khi tịnh tiến (H) lên trên (hoặc xuống dưới) k đơn vị



+ g(x) = f(x k), (k > 0): (H) có được khi tịnh tiến (H) sang trái (hoặc sang phải) k đơn vị



Công nghệ TTĐT.N : Định lý được ĐS10 thừa nhận ở tr43

Như vậy, để xác định phép tịnh tiến nào đã “biến” (H) thành (H’) đòi hỏi phải biến đổi biểu thức g(x) thành dạng f(x) k hoặc f(x k) Theo chúng tôi, việc biến đổi này đòi hỏi những kĩ năng thực hiện những tính toán đại số “khá phức tạp”, đặc biệt là trong những trường hợp biểu thức f(x) và g(x) “phức tạp” hoặc để có được (H’) cần phải thực hiện nhiều hơn 1 phép tịnh tiến

Ta xét lại việc suy ra đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c từ đồ thị của hàm số

y = ax2 được trình bày trong ĐS10:

Ta đã biết:

2 2 2

Do đó, nếu đặt:  b2  c4a ,

2

b p

Chúng tôi cho rằng việc học sinh tự thực hiện các tính toán đại số như trên là

không hề dễ dàng Có lẽ, không chỉ có chúng tôi có suy nghĩ như vậy

Trong bài 30 tr59 – ĐS10, tại sao SGK lại yêu cầu “viết mỗi hàm số sau đây

thành dạng y = a(x – p) 2 + q” trước khi yêu cầu xác định phép tịnh tiến đã biến đồ

thị của một hàm số thành đồ thị của một hàm bậc hai y = ax2 + bx + c? Có thể coi

yêu cầu “viết mỗi hàm số sau đây thành dạng y = a(x – p) 2 + q” là một hướng dẫn,

định hướng giúp giảm bớt những khó khăn cho học sinh khi phải thực hiện các tính

toán đại số trong việc giải quyết các nhiệm vụ thuộc TTTĐT.N (mặc dù trong phần lý

thuyết SGK đã trình bày rất kĩ các tính toán đại số này)?

Trong bài 1 của BT-ĐS10 hoàn toàn không thấy xuất hiện những bài toán

thuộc kiểu nhiệm vụ TTTĐT.N này Trong bài 1 của ĐS10, có duy nhất bài tập 15 tr47

thuộc kiểu nhiệm vụ TTTĐT.N được đặt ra cho học sinh với hai hàm số f(x) = 2x và

g(x) = 2x – 3 khá đơn giản Tất cả các bài toán khác thuộc TTTĐT.N đều được ĐS10

“tự giải quyết” Như ví dụ 7:

x Hỏi muốn có đồ thị của hàm số

y = 2x 1

Sau đó ĐS10 đưa ra lời giải:

Kí hiệu g(x) = 1

x , ta có 2x1   2 1

của hàm số y = 2x1

Bảng 2.5: Thống kê số lượng các nhiệm vụ thuộc T TTĐT.N

T TTĐT.N Kiểu nhiệm vụ

+ Lập các phương trình chứa các hệ số

ác hệ số

nhất và hàm số bậc hai

Với kiểu nhiệm vụ này, các tính toán đại số được sử dụng nhiều trong quá trình g

+ Giải hệ phương trình mới lập để tìm c

Công nghệ HS : Định nghĩa, tính chất của hàm số bậc

iải các phương trình với ẩn số là những hệ số của hàm số Ví dụ, xét bài 43:

“Xác định hệ số a, b, c để hàm số y = ax 2 + bx + c đạt giá trị nhỏ nhất bằng

3

SGV-ĐS10 hướng dẫn giải như sau:

ướng bề lõm của parabol;

giao điểm của parabo

l với các trục toạ độ và các điểm đối xứng của chúng qua trục đối xứng); Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng của parabol để “nối”

ậc hai (có thể có kèm theo iện):

+ Vẽ đồ thị hàm số x) (xóa đi phần đồ thị không thỏa điều kiện)

+ Phần đồ thị còn lại chính là đồ thị của hàm số

Công n

thể xác định được tọa độ của những điểm đặc b

ồ thị của hàm số đòi hỏi học sinh phải sử dụng tí

m số tại x0 hoặc tính x0 khi biết giá trị của hàm số tại đó

Bảng 2.7: Thống kê số lượng các nhiệm vụ thuộc

số được đặc biệt “quan tâm”

và đồ

n từ việc phân tích ĐS10: Những trên

+ Tuy không nêu rõ vai trò

+ Tính toán đại số xuất hiện trong quá trình nghiên cứu các vần đề về hàm số không phải là các tính toán được thực hiện theo yêu cầu cho trước, mà nó “tự

rong quá trình giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, nó phụ thuộc vào tình huống của bài toán Nói cách khác, hình thái hoạt động của tính toán đại số đã được thể hiện trong quá trình nghiên cứu các vấn đề về hàm số

+ Để phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học SGK đã thay

đổi “cách tiếp cận” hàm số, vai trò của đồ thị của hàm

phần nào SGK muốn giảm bớt việc thực hiện các tính toán đại số, đặc biệt là các tính toán đại số “phức tạp” trong việc nghiên cứu các vấn đề của hàm số Như vậy, liệu học sinh có nắm được nghĩa của tính toán đại số thông qua việc nghiên cứu các vấn đề của hàm số hay không?

2.4 Hàm số và tính toán đại số trong SGK Giải tích 12 nâng cao

 Phần lý thuyết:

Ở lớp 12, ngoài việc tiếp tục nghiên cứu các vấn đề của hàm số đã được giới

khác của hàm iới thiệu như: cực trị, giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số

số Điều này được chính SGK khẳng

định khi chương I được đặt tên “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của

đường tiệm cận của đồ thị; từ đó khảo sát sự

Trong luận văn này, chúng tôi không có điều kiện để phân tích toàn bộ bộ sách GT12, hơn nữa gần như mọi vấn đề của hàm số đều được đề cập ở chương I nên việc nghiên cứu của chúng tôi chỉ dừng lại ở chươn

Chương I: “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số”

– Bài 1 Tính đơn điệu của hàm số

– Bài 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

– Bài 4 Đồ thị của hàm số và phép

– Bài 5 Đường tiệm cận của

– Bìa 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số h

– Bài 7 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một s

– Bài 8 Một số bài toán thường gặp về đồ th

– Câu hỏi và bài tập ôn tập chương I

Đạo hàm của hàm số được giới thiệu ở lớp 11

cụ chủ yếu để nghiên cứu các vấn đề của hàm

hàm số” và được giới thiệu như sau:

“Trong chương này, chúng ta ứng dụng đạo hàm và giới hạn để xét một số tính chất quan trọng của hàm số và đồ thị: tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và các

( GT12, tr13)

Câu hỏi đặt ra lúc này là, vai trò của tính toán đại số còn qua

lớp 10

Sau đây, chúng tôi sẽ phân tích sơ lược các nội dung trong Chương I – GT12:

nhiên, công cụ để xét sự

ảng I

n trọng như ở

? Nghiên cứu hàm số bằng phương pháp cao cấp có tạo điều kiện cho nghĩa tính toán đại số thể hiện không?

“Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số”

Trong bài 1, tính đơn điệu của hàm số được nhắc lại Tuy

biến thiên của hàm số bây giờ không phải là “trực giác” hay “tỉ số biến thiên” như ở lớp 10 Như giới thiệu ở phần trên, đạo hàm trở thành công cụ duy nhất để xét sự biến thiên của hàm số

“Giả sử hàm số f có đạo hàm trên kho

Nếu f’(x) > 0 với mọi x  I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I

Nếu f’(x) < 0 với mọi x  I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

Nếu f’(x) = 0 với mọi x  I thì hàm số f không đổi trên khoảng I.”

c m số đều được giải quyết bằng công cụ đạo hàm Chính GT12 đã xác nhận:

“Qua định lí này, ta thấy việc xét chiều biến thiên của một hàm số có đạo

Ví dụ: “Xét chiều biến thiên của hàm số y = x + 4

Bài 2, GT12 trình bày về Cực trị của hàm số, một trong những vấn đề mới

mà GT12 giới thiệu nhằm chuẩn bị cho việc khảo sát một hàm số cũng như tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Các khái niệm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số, … lần lượt được giới thiệu Bên cạnh đó, GT12 cũng rõ nêu các quy tắc để tìm cực trị của một hàm số Đương nhiên, công cụ để xét cực trị của hàm số vẫn là đạo hàm

Khái niệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số được giới thiệu

trong Bài 3 Tuy các khái niệm này đã được sử dụng ở các lớp dưới nhưng đến lớp

12 chúng mới được định nghĩa một cách chính xác:

Nếu tồn tại một điểm x 0 D sao cho

f(x)  f(x 0 ) với mọi x D thì số M = f(x ) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là: 0

Nhưng ở đây, ngay mở đầu của bài 3, GT12 chỉ rõ: “Trong bài này ta s

Trong Bài 4, GT12 trình bày về Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa

độ So với các lớp dưới, trong GT12 đề cập đến nhiều loại hàm số hơn, đồ thị của

chúng cũng phức tạp hơn và có nhiều vấn đề để nghiên cứu hơn Phép tịnh tiến hệ

tọa độ này đã được giới thiệu ở ĐS10 (trong Bài đọc thêm) Việc sử dụng phép tịnh

Sau đó, các loại tiệm cận của đồ thị hàm số cũng lần lượt được giới thiệu:

tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên Việc xác định các tiệm cận của đồ thị hàm số yêu cầu phải sử dụng các kỹ thuật tìm giới hạn của hàm số đã được giới thiệu ở lớp 11

Cuối cùng, GT12 nêu các bước để khảo sát, vẽ đồ thị của một số hàm số đơn giản: hàm đa thức, hàm hữu tỉ và các vấn đề liên quan đến đồ thị của hàm số như:

sự tương giao và sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số

Số nghiệm của phương trình trên bằng s giao điểm của hai đồ thị

Tr53 – GT12: Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và

Khảo sát hàm số là đi xét các vấn đề của nó mà chúng tôi giới thiệu ở trên

đó Tuy nhiên, chương trình phổ thông chỉ giới hạn ở việc khảo sát 4 loại hàm số cơ bản: h