260 bài toán phương trình và hệ phương trình trong ôn thi THPT quốc gia

Giải phương trình 2xlog4x 8log2 x.

t 2t 2

0(t 1)

2  

ab

31

1

log 11

3

3 4 3 log 4( 1)( 3) 5( 3)

11/Giải phương trình: log (2 x21)(x25)log(x21) 5 x20 

Giải: Đặt log(x21)y. PT y2(x25)y5x2 0 y 5 y x2;  Nghiệm: x  99999; x = 0  12/  Giải phương trình:   3 1

8x 1 2 2x 1  

2 2

( 1) 2( 3) 2 4 0 (1)

2 1

.  

   Khi m = 1: Hệ PT  

2 2 2

2 1 0

( ) 2

y x

4  

1



  hoặc x < 0  19/ Giải hệ phương trình:  

2

2

1 ( ) 4( 1)( 2)

x

x y y

   Với m 0, (1) có nghiệm duy nhất x  1< 0  loại.  

   1 ≤ x ≤ 

369

49 (thoả)    

23/ Giải phương trình:   2 2

2x 1 x x 2(x1) x 2x30 Giải: 

    BPT có  tập nghiệm S= 

 

x

. 

6  

1, 01

30

2 313

31

 



     x  1 28/ Giải hệ phương trình:     

2

13

   Phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên từng khoảng  1 1

1 01

8  

10  

2log [(1 )( 2)] 2 log (1 ) 6 log ( 2) log (1 ) 2 0 (1)

log ( 5) log ( 4)       = 1 log ( 5) log ( 4)      = 1 (2)

   Với x     y2   (thoả (*)). 1

  Vậy hệ có nghiệm duy nhất x 2, y  1

44/ Giải bất phương trình:    x x  x x x

1 2

2.2 3 0log 1 0

2

2

2 3log 1

2 3log 1

2

2

log 312log 3102

2

log 3102

     

a a

5

5

log 0

1log

4

115

4 0log ( 2) 0

4 0( 2) 1

23

 

  

  (**) 

  PT  log3x2– 423 log (3 x2)    log ( – 2)2 3 x 24  

   log (3 x2)23 log (3 x2)2 4 0     log (3 x2)2 4 log (3 x2)2 10 

    log (3 x2)2 1  (x2)2   3  x  2 3 

  Kiểm tra điều kiện (**) chỉ có x  2 3 thỏa mãn.  

  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x  2 3 

12  

2

16

5 45

x y

14  

x x

6

x x

Khi sin 2  x  y  1   1, thay vào (1), ta được: 2x = 0 (VN) 

  Khi sin 2 x  y1 1, thay vào (1), ta được: 2x = 2  x = 1.  

16  

1

22

2

22

2 0

x x

x

x x

x x

u v

x x

y y x y x

)2)(

1(

4)(1

2 2

      (x, y  R ) 

Giải:  

2) Hệ phương trình tương đương với

2 2

x

x y y

2vu

1y

log

2

1

2 1 2

;(0

7

054

2

x

x x

x x

   x(7;5)(1) 

Từ (1) 

7

1log2)54(

1

3 2 2

3 3

y xy y x

y x

  Giải:  

2

)1(1

22

1

2 2

3 3

3 3 3

2 2

3 3

xy y x y x

y x y

xy y

2

)3(1

2 3

3 3

y

x y

x y

x

y x

18  

2

11

x

y x

3

32

3 3

x y

y x

x x

x x x

x x x x x

x x

f x x

.)

11(2

)

11(

)1(2

)1(2

1)1(2)('1

2 2

3

2 2

3 2 3

11(2

)

11(1

x

)1)(

1(

1lim

1

1lim

)1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

1log

11

log

1log

13

3 3

x x

x

)1(loglog

1

3 3

3 3 3

3

x

0

2 2 2

1log

431)

3(5)3)(

x t

t t

2

10

20  

log

0

2 2 2

1log

431)

3(5)3)(

x t

t t

2

10

10 3 25

.

3

2 2

2 2

2 2

x x

x x

x

x x

1 0 1 5

3

0 3 5

1 5

.

3

2 2

2 2

x

x

x x

x x

3

1 log 2 3

1 5

1  x2   x   5   5   2  5x2   x  3 

Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm x = 2 nên là nghiệm duy nhất. Vậy Pt có nghiệm là: x = 2  log53 và x = 2 

  2/     log  cos x  sin x   log1 cos x  cos 2 x   0

x

0 sin cos

1 0

x x

x x

2cossin

2

x x

x x

2 2

2 2

2

2 2

k x

k x

x

k x

2 1

x x x

1

8 8

log

2

1

8 8

22  

C Đ

3 3 2 2 2

2

     hoặc m   1 71/   1.Giải bất phương trình: 

x x    

x x

x x



 0x  6

24  

3 4 sin 2x2cos x2 1 2 sin x  Biến đổi phương trình về dạng 2sin x3 2sin x1  2sin x10 

14.69.3

14

3 x  x  x  x

. Giải: Giải phương trình  2 9 1

4

14.69.3

14

26  

2

t

t t

28  

x y

x y

6)12(log)22

(log2

2 1

2 2 1

x y

x x y

x xy

y x

y x

6)12(log)22

(log2

2 1

2 2 1

x y

x x y

x xy

y x

y x

y

y

x x

Đưa phương trình thứ nhất của hệ về dạnglog1x(2y)log2y1x2 

Đặtt log1x(2y), Tìm được T=1, kết hợp với phương trình thứ hai của hệ, đối chiếu với điều kiện trên, tìm được nghiệm x;y  2;1 . 

86/ Giai3 phuong trình:  x log x 1 log 4x

4

1)3(log2

1

2 8 4

3

3 2 2

Giải: Giải phương trình:  2log5(3x1)1log3 5(2x1). 

3 5

2 5

)12()13(5

)12(log)13(5log

x x

0 9 6 4

2 2

2 2 4

y x y x

y y x x

.  Giải:    

2(

4)3()2(

2 2

2 2

2

x y x

 Thế vào cách đặt ta được các nghiệm của hệ là: 2

3

x y

x   x  x    Giải:   Giải bất phương trình:       2 2

x   x  x          BPT tương đương 

30  

Đặt t = x + 1  t[0; 2]; ta có (1)   t3  3t2 = y3  3y2. 

Hàm số f(u) = u3  3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:  

ĐK y 0

2 2

3 3

x y

y x x

32  

96/ Giải phương trình  log 9 2 2 log 2 log 3 2

21

7)(

3)

(4

y x x

y x y x xy

2 u   u 1 0u  1 xy   1

Vậy với m=3, hệ phương trình đã cho có nghiệm là1; 2 , 2; 1 ,     1; 1. 

3)

(4

y x x

y x y x xy

3 1 x x 3 1 x  1 x  Giải:1  ĐK: ax + a > 0 ;  Bpt tương đương  2

1 ( 1)

x  a x  Nếu a>0 thì X+1>0, ta có 

2

11

x

a x

x

a x

x x



  với x ­ 1 y’ = 

34  

Đề 106.   a) Giải bất phương trình: log (log (2x 4 x4)) 1  

Giải:a) Giải bất phương trình: log (log (2x 4 x4)) 1  

2( 5 )'( )

+    Phương trình có 1 nghiệm   24 (8; )

t 2t 2

0(t 1)

log x  x 1 log x2xx  2) Giải bất phương trình: (log 8 log x ) logx  4 2 2 2x     0

Giải: 

2

2 3

log x3

36  

Giải: Giải phương trình: 3 22 2 1 6

x

x x

        Lấy logarit theo cơ số 3 cho hai vế ta được:  2

log 2 1 log 2

2 1

x x x

2 2

2 x x   x   Giải:   Giải bất phương trình  log22 xlog2 x2 3 5(log4 x2 3) 

log

0

2 2 2

1log

431)

3(5)3)(

x t

t t

6)2)(

1)(

1(

2 2

y x y x

y x y x

6)2)(

1)(

1(

2 2

y x y x

y x y x

6)(0

5

6)(0

5)1()

1

(

6)11)(

1)(

1

(

2 2

2 2

2

uv v

u

v u uv v

u

v u uv y

x

y x y x

1

y v

x u

52

6

S P

S

S P

111

1

212

1

y

x y

x X

X

  Vậy nghiệm của hệ: (3 ; 2), (2 ; 3) 

105/ 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4x – 4m(2x – 1) = 0 

       2.Tìm m để phương trình: 4log  log 0

2 1 2

2 x  xm  có nghiệm trong khỏang (0 ; 1). 

Giải: 

      ­         0      ĐS : m 

4

1

   106/ Giải bất phương trình     2

4x 3 x 3x48x   6Giải:    

       bất phương trình:   2

4x 3 x 3x48x6(1)        (1)    2 

1

8 8

1

8 8

2

y y'

38  

       log ( 1) 3log (4 )

4

1)3(log2

1

8 8

       3 1x2 2 x3 2x2 1m  (m  R). 

Giải:Đặt  f x 3 1x2 2 x32x21, suy ra f x  xác định và liên tục trênđoạn  1;

12

C Ñ

3 3 2 2 2

3y x

3x y

3y x

3x y

       Trừ  vế theo vế hai phương trình ta được: (x­y)(3xy+x+y) = 0 x y thay lại phương trình  Giải tìm được nghiệm của hệ là: (1;1). 

1

;0)32(

2)

22(

2)

12(

2)

x x

3,11

,2

12

; 3 ) 2

 và 6 – 5x = 

3

8 5t3

   Phương trình trở thành : 



       t = ­2. Vậy x = ­2   111/ Gỉai hệ phương trình :  2 2

40  

  113/       1.  Giải phương trình 2xlog4x 8log2 x  

       2 Giải bất phương trình 2 1 log  2xlog4xlog8x  0

   Giải  1. ĐK : x   Ta có: 0 1 log 2xlog4x3log2 x.  Đặt tlog2x.Ta có: 

1; 4

x x

x x

2

3 3

x y

y x x

x x f

x x

x m

x

21

23)(

21

23)1(2

21

42  

2 2 2

44  

3

19

1218

y xy

x xy

23

19

320

1212

18

2

2 2

x y y

x y xy

x x

x xy

13

)(

0

x x

f

x

x       (a + b + c = 0)   

(*)0

)

2

(

,013ln3)

x

x x

x x

46  

3 4

u v

v v

u v

14

3 x  x  x x        

19

1218

y xy

x xy

        Giải:    

23

19

320

1212

18

2

2 2

x y y

x y xy

x x

x xy

   2 Giải phương trình: log 3 1 log 3 2

2 x 2 x    x

Giải:       Nhận xét:  10x2 8 4



 x = 2(2x+1)2 +2(x2 +1) Phương trình tương đương với :  2 ( ) 2 0

1

12()1

12

2 2

12

138/   Giải bất phương trình :   2 

x  x        (2) .    Giải:   

48  

1 0

x x

x x x

13

13

a

a a

1

11

50  

      Đặt   X = 4 1

1

x x



      0 ≤ X < 1         Vậy hệ có nghiêm khi phương trình: X2 – 2X + m = 0 có nghiệm   0 ≤ X < 1  

       Đặt f(X)  = X2 – 2X    f’(X) = 2X – 2       hệ có nghiệm   ­1 < m ≤ 0  

149/   1)  Giải hệ phương trình:  

2 2

1 2 2

 :         1/ 22 2 1/ 2

x y

5 1( )

Phương trình tương đương với :  2 ( ) 2 0

1

12()1

12

2 2

52  

2x ­ x(2

x

+1) =0       8

  Đặt y =  x 5 x x7 x16 14      => y’ =  1 1 1 1 0

2 x52 x 2 x72 x16   Hàm số đồng biến    phương trình y=0 có 1 nghiệm duy nhất. Ta có y(9) = 14  x= 9 

m m

157/ Giải bất phương trình:   log ( 32 x 1 6) 1 log (7  2  10x) 

    Với x = y     x = y = log 3 12   

54  

u v

163/ : 1.   Giải phương trình:   log(10.5x 15.20x) xlog25. 

.155.10

  10.5x 15.20x 25.10x   15.4x25.2x100  (chia  hai  vế  của  phương  trình  cho 5x)  Đặt   t2x(t0),  Ta  có  pt  : 

)(1

tm t

tm t

223

3

.        ĐK: ­1 ≤ x  ≤ 9 và x ≠ 0 

Bpt 

)11)(

11(

92)

11)(

21(

)21)(

21(

x x

x

x x

11

9221

81

39

91

)(

8(

56  

165/ Giải phương trình   log (9 x  1)2 log 32  log 3 4  x  log (27 x  4)3

    Giải: log9(x + 1)2 + log 32log 3 4x log (27 x4) (1)3  

1

x x

58  

172/ Giải phương trình: log228x3 – 9log24x2 – 36log42x = 0 

   Giải:  Giải phương trình: log228x3 – 9log24x2 – 36log4 2x = 0(1) Điều kiện  x > 0 

       (1 )  33log2 x2922log2 x181log2 x0 

         9log22 x18log2x 27  0    log2x = ­1  hoặc log2x  =3  x = 1/2   hoặc x=8 

y x

42

9

2 2

3 3

x

y x

126

33

9

2 2

3 3

174/ 1) Giải phương trình :  3 1

8x 1 2 2x 1      2) Giải bất phương trình:   2 

60  

x

u v

176 /Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 

232

3 x x  x    Giải: 

2/   Điều kiện:  x  1 . 

       9 Phương trình đã cho tương đương với phương trình 

Giải: Giải phương trình 

x 2

log x 1 2

x2 2 x12x1 

02

62  

      2. Giải phương trình:   log(10.5x 15.20x)xlog25. 

      3. Giải bất phương trình 1 log 2xlog (2 x2)log (62 x) 

u v

.155.10

)(1

tm t

tm t

 Với t 1  2x 1  x0        

223

Ta có:  3 log 2x212 log2x3 log 2x2. 

       Do đó f(t)=0 có nghiệm:  2

3log

0 9 6 4

2 2

2 2 4

y x y x

y y x x

      2. Giải phương trình:    2  3

8 2

2

(

4)3()2

(

2 2

2 2

2

x y x

y x

33)(

42

(

4)3()

2

(

2 2

2 2

2

x y

x

y x

33)(

42(

4)3()2(

2 2

2 2

2

x y

x

y x

4

2 2

v u v u

v u

x x

64  

2 24

x x

u v

.155.10

  10.5x 15.20x 25.10x   15.4x25.2x100 (chia hai vế của phương trình cho 5x) 

tm t

tm t

  Với t1  2x 1  x0        

223

66  

+Nếu

6

10

7)1(log21

1671

2

x x

x x

7)1(log

1

;1(,16

7)1(log)

1

;1(,0)16(

422

ln)1(

1)

6

1(   

+Hàm số đồng biến trên  )

6

1

;1(   nên phương trình có nhiều nhất một nghiệm trên  )

6

1

;1(   

+Hàm số đồng biến trên  ; )

6

1(   nên phương trình có nhiều nhất một nghiệm trên  ; )

6

1(   

+Nếu 

6

10

1

6x   x  ;Pt : 7 0

6

5log

)348)(

1(03712

15 27

68  

0log 4

x x

198/   1.  Giải hệ phương trình: 

2 2 2

70  

x y y

u y

  2/  Đk: 

12

PT   2(3x1) 2x2110x2 3x6 

72  

232)12(412

;2

61

5 5x 24 5x  5 0  5x2   x5 2

 > 1  1

1

x x

x y x y

Giải bất phương trình : 

5x  5x  > 24.       (2) (2)     2 2  2

74  

x x

27

76  

k x  0 :  Bpt log log 1 log log 1 0

210.      1.Giải hệ phương trình : 

11

9 72 0

x x

2 1 2

3

2.322

2

3 2

1 3

x xy x

x y y

1x2

1x0)1x(2

1x01xx

0x

2

1

2 2

1x1)x1(2

0x

1)x1(2

0x

0)x1(2log

0x

0)x1(2log

0x

01)x1

)1( 2

.322

2

x y 2 y 1 x

(

11

13

01

2

y x x

x x

xy x

x

78  

x x

013

822.12282.32

x

31

1 thay y = 1 – 3x vào (1) ta được: 23x123x1 3.2  

183log3

1x8

3t

i

¹lo83t01t6t6t

log 3 log log 3 2

log 12 log log 12 3

4 3

log 2

2 log 2

x y

( ; 5) (5; )

1 52; 1 52

x x x x x

Giải: a)  92x x2134.152x x2 252x x2109.32( 2x x 2)34.32x x 2.52x x 2 25.52(2x x 2)     0

2 2

80  

x log 1

4 3

log x log 2

3 x

43

logxlog2

3 x

4x

log

1xlog2

3 3

4x

log2

xlog2

3 3

1 ĐK :  y 0  

82  

x x

x x

1

2log (5 2 ) 0

2

x x

84  

0log 4

x x

4 Đk: x > ­ 1 ;    bất phương trình 

3 3

x x

(log

log)7(log1)(log

2

2 2

2

y x y

x

y y

x y

x

Giải:  

 2. ĐK xy0 

xy y x y

xy y x xy y

2

02

xy y

x

xy y x

Với 

0

223

x x

y x

2

x x x

y x

6822

01)2(log2

2

2

x x

07

0

y

y x

y x

 ; Biến đổi phương trình đầu ta được log2 2(xy)2 log2(7xy)y 

x y y

xy

x

20

3

  Với y  x thế vào phương trình thứ hai ta được log2(2x2)4 x9 

suy ra x  y 9, thoả mãn điều kiện

Với y2x thế vào phương trình thứ hai ta được log2(x2)42xlog2(x2)2x40 

42)2

y x

86  

BPT trở thành  22 22

4 t 2 t 200. Đặt y =  22

2 t  ; y  1. BPT trở thành y2 + y ­ 20  0  ­ 5  y  4. 

Đối chiếu điều kiện ta có : 22t2 42t2 2t2    ­ 1  t  1. 1

1(

2

y xy x

x y y y

x x

1log)23(

1

y xy x

y x

4

y xy x

y x

(Hệ PT vô nghiệm)       Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm  (x; y) = (1; 0) và  (x; y) = (­1; ­2)      

4.Điều kiện: x > 1 Thì Pt  

1 2 3

x 1) 1 4 2.3(

023

2log3

x

x

; Vậy PT có nghiệm x = 

34

a b

434

a b

88  

 Nếu 

434

33

2 4

2

3 6 4

2

y x

x y y

xy

Giải:  

4442123

92

)(2)(

2

2 2

23)12()3( x  f  x  x x  x

4

) 1 ( 2

2

2

) (

y x

x y y

xy

Từ (1) 2 y2( x  y2)  ( y2  x )( y4  xy2  x4)     

2 2

4 2 4 2

0 ) 2 )(

4)3()

1(

2

y xy x

x y y y

x x

1log)23(

1

y xy x

y x

4

y xy x

y x

(Hệ PT vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm  (x; y) = (1; 0) và  (x; y) = (­1; ­2) 

4/ Điều kiện: x > 1 

2 1

3

243

1log

90  

x 1) 1 4 2.3(

023

xy

y y

3 2 2

92  

Đề số 245 Giải phương trình:  2log5(3x1)1log3 5(2x1). 

Giải Giải phương trình:  2log5(3x1)1log3 5(2x1). 

3 5

2 5

)12()13(5

)12(log)13(5log

x x

6)2)(

1)(

1(

2 2

y x y x

y x y x

6)2)(

1)(

1(

2 2

y x y x

y x y x

6)(0

5

6)(0

5)1()

1

(

6)11)(

1)(

1

(

2 2

2 2

2

uv v

u

v u uv v

u

v u uv y

x

y x y x

1

y v

x u

52

6

2

P

S P

S

S P

111

1

212

1

y

x y

x X

X

  Vậy nghiệm của hệ: (3 ; 2), (2 ; 3) 

Đặt:f(x)= 3x2x  g(x)=x 1 1

x

       (x  0) Dùng pp kshs =>max  f(x)=3;  min g(x)=3=>PT f(x)= g(x)    max  f(x)= min g(x)=3 tại x=1 

log x3

7)(

3)(

4

y x x

y x y x xy

94  

7)(

3)(

4

y x x

y x y x xy

Vậy HPT đã cho có 2 nghiệm 

2

08log11

x y

2 log 3 2 2

x y

Đề số252  Giải bất phương trình: log (log (2x 4 x4)) 1  

96  

      5. Giải hệ phương trình  2010

2 2

2( 1)log

x

y x y

2 1

x x x

2 2

log

0

2 2 2

x

 Bất phương trình đã cho tương đương với  log22 xlog2 x2 3 5(log2 x3) (1) 

1log

431)

3(5)3)(

x t

t t

2

10

(log2

2 1

2 2 1

x y

x x y

x xy

y x

y x

4,Giải phương trình:  x log x 1 log 4x

4

1)3(log2

1

2 8 4

6)12(log)22

(log2

2 1

2 2 1

x y

x x y

x xy

y x

y x

y

y

x x

 Đưa phương trình thứ nhất của hệ về dạng : log1x(2y)log2y1x2 

Đặt tlog1x(2y), tìm được T=1 kết hợp với phương trình thứ 2 của hệ, đối chiếu với điều kiện trên, tìm được nghiệm :x;y  2;1

4Giải phương trình:  x log x 1 log 4x

4

1)3(log2

1

2 8 4

1

8 8

1

8 8

4

)4(log3)1(log4

1)

98  

1. Giải hệ phương trình sau: 

2 2 2 2

1

;0)32(

2)

22(

2)

12(

2)

x x

3,11

,2

12

; 3 ) 2

3 3

 và 6 – 5x = 

3

8 5t3

   Phương trình trở thành :