PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 7,0 điểm Câu I.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m 2.. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SA, hai mặt phẳng SAC và SDM
Trang 1ĐỀ 9
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 4 3 2 1
(2 1) ( 2)
y x m x m x có đồ thị (C m), m là tham số
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m 2
2 Gọi A là giao điểm của (C m ) với trục tung Tìm m sao cho tiếp tuyến của (C m) tại
A tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1
3
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: (2cos 1)cot 3 2sin
sin cos 1
x
x x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
x y x x
y y y x x x x x
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân:
2
2
sin 1 os ( sin 1) I
(1 cos )( cos )
x x c x x x
dx
x x x
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a và
2
AC a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SA, hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Mặt phẳng (SBD) hợp với đáy một góc
45o Tính thể tích khối chóp S ABCD. và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BN
theo a
Câu 6 (1,0 điểm) ): Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( 1)( 1)( 1) 1
P
a b c
a b c
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc
phần B)
Trang 2Câu 7.a (1,0 điểm) Cho tam giác ABC biết A(5;2), đường trung trực cạnh BC có
phương trình : 2x y 5 0 ; đường trung tuyến từ C có phương trình: x y 6 0 Tìm tọa độ đỉnh B và C
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;0), B(2;1;1) và đường thẳng ( ) : 1 2
d Viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua A vuông
góc với (d) và khoảng cách từ B đến ( ) bằng 2
Câu 9.a (1,0 điểm) Có 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc một
cách ngẫu nhiên Tính xác suất để không có hai học sinh nữ nào đứng cạnh nhau và học sinh đứng đầu hàng là nam
Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn
( ) : (C x 1) (y 1) 25, điểm M(7;3) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A B, sao cho MA 3MB
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1; 0), đường thẳng
:
x y z
và mặt phẳng ( ) :P x y z 2 0 Tìm tọa độ điểm A thuộc mặt
phẳng ( )P biết đường thẳng AM vuông góc với và khoảng cách từ điểm A đến đường
thẳng bằng 33.
2
Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z 41 i
z
Tính giá trị A 1 1 i z
- Hết
-Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:…………
Trang 3ĐÁP ÁN:
điểm
điểm
Câu 1
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m 2 1,0
điểm
Với m=2, hàm số trở thành 4 3 2 1
5 4
y x x x
TXĐ: D
Sự biến thiên: + Giới hạn: limx y,limx y 0,25 + Chiều biến thiên: 2
1 ' 4 10 4, ' 0 2
2
x
y x x y
x
Hàm số ĐB trên các khoảng ( ; ) & (2;1 )
2
và NB trên khoảng 1
( ;2)
2
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x 12 5
4
cd
y ; cực tiểu tại
2, ct 1
x y
0,25
BBT
x 1/ 2 2
'
y 0 0
y
0,25
1
5 4
E
K N
H M
A
D S
J I P
O
Trang 4
0,25
Tìm m sao cho tiếp tuyến của (C m) tại A tạo với hai trục tọa
độ một tam giác có diện tích bằng 1
3.
1,0 điểm
Ta có (0; )1
3
A và 2
' 4 2(2 1) 2
y x m x m Suy ra y'(0) m 2.
Tiếp tuyến của đồ thị tại A là : ( 2) 1
3
d y m x 0,25
Đường thẳng d cắt Ox tại ( 1 ;0).
3 6
B m
và cắt t Oy tại A
0,25
Khi đó diện tích của tam giác tạo bởi d với hai trục tọa độ là
.
S OA OB
0,25
O
1
2 1
y
2
4 5
x
Trang 5Theo giả thiết ta có 1 1 2 1
18m 2 3 m 6
13 6
m hoặc 11
6
m
0,25
Câu 2 Giải phương trình: 3 2sin
(2cos 1)cot
sin cos 1
x
x x
1,0 điểm
Điều kiện: sinx 0
Với điều kiện đó phương trình đã cho 2cos2 cos 3 2sin
0,25
(2cosx 3)sin x 2sin x sinx 0
2
Với: cos 1
2
3
x k
Vậy phương trình có nghiệm: 2 ,( )
3
x k k
0,25
Câu 3
Giải hệ phương trình:
8 6 3 11 0 (1)
2 8 6 3 (3 2 ) 1 11 (2)
x y x x
y y y x x x x x
1,0 điểm
ĐK: 0 x 1
Từ (1) Ta có: 6 x2 3x x2 8y2 11 thế vào (2)
2y y (3 2 ) 1 x x 2y y 2 (1 x) 1 x (3)
0,25
Xét hàm số: f t( ) 2 t3 t f t'( ) 6 t2 1 0, t f t( ) đồng biến trên
R Từ (3) ta có: y 1 x x 1 y y2 , 0 thế vào (1) ta được:
x x x x (4)
0,25
x=0 không là nghiêm.
Trang 6Với x 0
3 2
3 4
x x
x x
+) Víi x 3 2
x
ta cã x =1 , x = 3
+) víi x 3 4
x
ta cã x 8 61,x 8 61.
Vậy hệ có nghiệm (x;y) là: (1;0); (8 61; 61 7)
0,25
Câu 4 Tính tích phân:
2
2
sin 1 os ( sin 1) I
(1 cos )( cos )
x x c x x x
dx
x x x
1 sin I
(1 cos ) ( cos )
2 2
ln( cos ) | ln ( cos )
x
x x
0,25
2 2
cot cot | cot
2
x x
0,25
2
2 2ln sin | 2ln
x
Vậy ln2 2 2ln 2
I
0,25
Câu 5
Tính thể tích khối chóp S ABCD. và khoảng cách giữa hai
đường thẳng SD và BN theo a.
1,0 điểm
Gọi H (SAC) ( SDM) SH (ABCD) SH là đường cao của hình
chóp và Hlà trọng tâm ABD
Chứng minh được SHO vuông cân và SH HO16AC3a
0,25
Trang 73 2
.
V SH S a
0,25 Goi E là trung điểm của
/ /( ) ( , ) ( ,( )) ( ,( ))
AD SD BNE d SD NB d D BNE d A BNE
Gọi K là trung điểm của AH NK (ABCD) và
( ,( )) 2 ( ,( ))
d A BNE d K BNE
0,25
Gọi J là hình chiếu của K trên BE, P là hình chiếu của K trên
NJ Chứng minh được KP (BNE) d K BNE( ,( )) KP
Gọi I là hình chiếu của A trên BE
Ta có: BE2 AB2 AE2 2AB AE c os120o 7a2
2
ABE
KJ AI
BE a
Ta có: 12 1 2 12 3 ( , ) 3
KP a d SD NB a
KP KN KJ
0,25
Câu 6
Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
( 1)( 1)( 1) 1
P
a b c
a b c
1,0 điểm
Áp dụng BĐT Côsi ta có
0,25
O
Trang 83 ( 1)( 1)( 1)
3
a b c
a b c
P
a b c a b c
Đặt t a b c 1,t 1 Khi đó ta có 3
2 54 ( 2)
P
t t
0,25
2 54 ( )
( 2)
f t
t t
trên (1; ) Ta có
2
1
2 54.3
4 ( 2)
t
t
t t
Suy ra BBT
T 1 4
'( )
f t + 0
( )
f t
14
0,25
Dựa vào BBT suy ra P 14 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
t a b c
Vậy giá trị lớn nhất của P là 14, đạt được khi a b c 1
0,25
II PHẦN RIÊNG: Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc
phần B)
3,0 điểm PHẦN A: Theo chương trình Chuẩn
Cho tam giác ABC biết A(5;2), đường trung trực cạnh BC có
phương trình : 2x y 5 0 ; đường trung tuyến từ C có phương
trình: x y 6 0 Tìm tọa độ đỉnh B và C 1,0 điểm
Trang 9Câu
7.a
Gọi M m( ;5 2 ) m là trung điểm của BC
Phương trình BC: x 2y 10 5 m 0
Tọa độ C là nghiệm của hệ: 2 5 10 (2 5 ;16 5 )
C
x y
2 14 7
B
0,25
Gọi N là trung điểm của (13 ;20 7 )
N trung tuyến từ 1
2
5 35 1 37 ( ; ); ( ; )
Câu
8.a
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;0), B(2;1;1)
và đường thẳng ( ) : 1 2
d Viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua A vuông góc với (d) và khoảng cách từ B đến
( ) bằng 2
1,0 điểm
Ta có AB(1;0;1) AB 2 d B( , ) AB
0,25
A là hình chiếu của B trên AB 0,25
có véc tơ chỉ phương là: u [AB u, ] ( 1;1;1)d
0,25
Phương trình : ( ) : 1 1
d
0,25
Câu
9.a
Tính xác suất để không có hai học sinh nữ nào đứng cạnh
nhau và người đứng đầu hàng là nam 1,0 điểm
Số phần tử của không gian mẫu: 7! 0,25
Gọi A là biến cố: " không có hai học sinh nữ nào đứng cạnh nhau
và người đứng đầu hàng là nam."
Tính A
Chọn 1 học sinh nam đầu hàng có 4 cách chọn
0,25
Trang 10N N N x
Có 4.3! cách xếp học sinh nữ Sau đó có 3! cách xếp 3 học sinh
nam
4.4.3!.3!
A
0,25
4.4.3!.3! 4 ( )
7! 35
A
P A
0,25
PHẦN B: Theo chương trình Nâng cao
Câu
7.b
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn
( ) : (C x 1) (y 1) 25, điểm M(7;3) Viết phương trình đường
thẳng qua M cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A B, sao cho MA 3MB
1,0 điểm
Đường tròn ( ) : (1; 1);C I R 5 và MI 52 5 M nằm ngoài
Ta có MA MB MI 2 R2 27 3MB2 27 MB 3 MA 9 AB 6
Gọi H là trung điểm của AB
2 2
4 4
AB
IH R
0,25 Gọi đường thẳng đi qua M(7,3) có vtpt
n A B A B By A B Theo trên ta có :
2
7 3
0 12 5
A B A B
A B A
B A
0,25 + Với A 0 :y 3
Trang 11+ Với
12 5 :12 5 69 0
B A
x y
Câu
8.b
Tìm tọa độ điểm A thuộc mặt phẳng ( )P 1,0
điểm
Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và vuông góc với Khi đó pt
( ) : 2Q x y z 3 0 Ta có n Q(2; 1; 1), n P(1; 1; 1).
Từ giả thiết suy ra A thuộc giao tuyến d của (P) và (Q)
0,25
Khi đó
[ , ] (2; 1; 3)
u n n
và N(1; 0; 1) d nên pt của
1 2 :
1 3
x t
d y t
z t
VìA d suy ra A(1 2 ; ; 1 3 ) t t t
0,25
Gọi H là giao điểm của và mặt phẳng (Q) Suy ra (1; 1 1; ).
2 2
d A AH t t t t
Suy ra A ( 1; 1; 4) hoặc (23 8; ; 17).
7 7 7
0,25
Câu
9.b Cho số phức z thỏa mãn
4 1
z
Tính giá trị A 1 1 i z 1,0
điểm
Đặt z a bi
4
a b b
Giải hệ ta được: a b21
và
8 5 4 5
a b
0,25
2
a
Trang 128 5 4 5
a
b
13
1 1
5
A i z
0,25
- Hết