Tìm tất cả các giá trị m để độ dài đoạn AB nhỏ nhất.. II.PHẦN RIÊNG 3,0 điểm: Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A hoặc B A.. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a 1,0 điểm.. Tron
Trang 1ĐỀ 4
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
2
x y x
có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng ( ) :d yx m luôn cắt đồ thị (
C) tại hai điểm phân biệt A B, Tìm tất cả các giá trị m để độ dài đoạn AB nhỏ nhất
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 2cos3x+ 3sinx+cosx=0
2 Giải phương trình: 3x 2 x 7 1
Câu III (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 9
9 0
y x y
(x y , )
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có A ABC'. là hình chóp tam giác đều, AC a , A B a' 3 Tính theo a thể tích của khối chóp A BB C C' ' '
Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực a b c, , chứng minh:
2 2 2 2 2 2 3 2
2
a + - b + b + - c + c + - a ³
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành
ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD. Đường thẳng DG có phương trình:
,
2x y 1 0 đường thẳng BD có phương trình: 5x 3y 2 0 và C(0;2) Tìm tọa độ các đỉnh A B D, ,
Trang 2Câu VII.a (1,0 điểm) Cho tập A 0,1, 2,3, 4,5,6,7 Từ tập A có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho các chữ số đôi một khác nhau và trong 3 chữ
số hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm phải có một chữ số bằng 1
Câu VIII.a (1,0 điểm) Tính giới hạn: 32 3 2
1
lim
1
x
L
x
®
=
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C) có phương trình: x2 y2 2x 2y 8 0 và đường thẳng (): 4x 2y 11 0 Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với () một góc bằng 45o
Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm hệ số của x7 trong khai triển nhị thức n
x
biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn: C n2 2A n2 n 112
Câu VIII.b (1,0 điểm) Tính giới hạn: 3
0
2 1 1 lim
sin 2012
x
I
x
- Hết
Trang 3-HƯỚNG DẪN CHẤM
m I
(2,0)
+)Tập xác định: D=R\{-2}
+) Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y’= 2
3
0, (x 2) x D
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 2) và 2;
Hàm số không có cực trị
0,25
+) Giới hạn và đường tiệm cận: limx ylimx y2; limx 2y ; limx 2y
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x= - 2 và tiệm cận ngang là y =
+) Bảng biến thiên:
0,25
+) Đồ thị:
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm 0;1
2
và cắt trục Ox tại điểm 1;0
2
Đồ thị nhận điểm I(-2;2) làm tâm đối xứng
0,25
x y’
y
-2
2
2
6 4 2
-2
y
x O
I(-2;2)
Trang 42 Chứng minh… 1,0
Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng (d) là nghiệm của
2
x x
x m
0,25
Do (1) có m2 12 0 và ( 2) 2 (4 m)( 2) 1 2 m 3 0 m nên đường
thẳng (d) luôn cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt A B, 0,25
Giả sử A x y( ;A A); B(x ;B y B) trong đó x A; x B là nghiệm của phương trình
(1)
Ta có: y A m x y A; B m x B nên
2 ( A B) 2 ( A B) 2 2( 2 12) 24.
AB x x y y m
0,25
II
(2,0)
1 Giải phương trình lượng giác 1,0
os os3
3
c x c x
0,25
os os( 3 )
3
0,25
3 , k Z.
Vậy phương trình có một họ nghiệm: , k Z
x k
0,25
Trang 52 Giải phương trình 1,0
Điều kiện: x32
5
x
5
9 9
2
x
x x
x
Vậy nghiệm của phương trình là x 9.
0,25
III
(1,0)
Điều kiện: x y Hệ đã cho 2 9
9 0
x y x y
y x y
0,25
Đặt:
2
2
2 0
2
a b
b x y
b a
Hệ (*) trở thành 2
(1) (2)
2
b a
b a a
Thế (1) vào (2) được: a3 2a2 9a 18 0 (a 2)(a2 9) 0 a 3. 0,25
3 3 6
3
x
y Vậy nghiệm của hệ là:x; y 6; 3
0,25
Trang 6
a H
B'
B
C
A
E
Gọi E là trung điểm của BC , H là tâm của tam giác đều ABC
0,25
2 2 2 6
3
a
A H A A AH
0,25
' ' '
'
0,25
3 ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
'
A BB CC ABC A B C A ABC ABC ABC A B C a
0,25 V
(1,0)
Ta có: 2 (1 )2 2| 1 |
2
a + - b ³ a+ - b Dấu “ = ” a 1 b
2 (1 )2 2| 1 |
2
b + - c ³ b+ - c Dấu “ = ” b 1 c
2 (1 )2 2| 1 |
2
c + - a ³ c+ - a Dấu “ = ” c 1 a
0,25
Cộng vế với vế ta được
2 (1 ) 2 2 (1 ) 2 2 (1 ) 2
a + - b + b + - c + c + - a ³
-0,25
Trang 72| 1 1 1 | 3. 2
Dấu “=” (a 1 b)(b 1 c) 0; (a 1 b)(c 1 a) 0;(c 1 a)(b 1 c) 0
0,25
Dấu “=” xảy ra khi 1
2
a= = =b c Suy ra điều phải chứng minh
0,25 Chương trình chuẩn
VI.a
(1,0)
Tìm tọa độ các đỉnh A,B,D 1,0
Ta có: D DG DBD có tọa độ là nghiệm hệ phương trình:
5x 3y 2 02x y 1 0 xy11
Giả sử B x y( ;B B) vì B BD nên 5x B 3y B 2 0
Trung điểm BC là , 2
B B
x y
M
Do M DG nên ta có hệ phương trình:
B B
B
B B
B
B(2;4)
Do ABCD là hình bình hành nên
Vậy A(1;1), B(2;4), D ( 1; 1) 0,25
Xét các số dạng: abcde (kể cả a=0)
+ Có 3 cách chọn vị trí cho số 1
+ 4 vị trí còn lại có 4
7
A cách chọn
0,25
Như vậy có 3 4
7
A =2520 số thỏa mãn yêu cầu bài toán ( kể cả số đứng đầu bằng 0)
0,25
Số các số có dạng: 0bcde là: 2 3
6
Trang 8Số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2520 - 240 = 2280 số 0,25 VIII.
a
1
x
L
®
-0,25
2
1
8
L
- + +
3
1
L
x
lim
12
x
®
0,25
Vậy L 1 3 11
0,25 Chương trình nâng cao
VI.b Viết phương trình tiếp tuyến…. 1,0
Theo bài (C) có tâmI 1; 1 , bán kính R 10
Giả sử tiếp tuyến có phương trình 2 2
( ') : ax by c 0, (a b 0) 0,25
Theo bài ta có: os450 | 4 22 |2 2
2 20( )
a b c
a b
3
b a
0,25
TH1 a 3b Ta có ( ') : 3 x y c 0.
Có: ( , ') 10 14.
6
c
d I
c ( ') : 3 x y 6 0 và ( ') : 3 x y 14 0
0,25
Trang 9TH2 b 3a Ta có ( ') : x 3y c 0.
Có: ( , ') 10 12.
8
c
d I
c ( ') :x 3y 12 0 và ( ') : x 3y 8 0
Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn: 3x y 6 0; 3x y 14 0 ;
x 3y 12 0 ; x 3y 8 0
0,25
Điều kiện: n N n , 2.
2 2 ( 1)
2
n n
C A n n n n
2
7
5
n
n
(thỏa mãn điều kiện)
0,25
Hệ số của số hạng chứa x7 trong khai triển là 7
7k2 k
C
, trong đó:
28 7 k 7 k 3 0,25
Vậy hệ số của số hạng chứa x7 trong khai triển là C3724 560 0,25 VIII.
b
Ta có: 3
0
sin 2012 sin 2012
x
I
0,25
3
3 3
I
0 0 3 2 3
x
0,25
Trang 102 0 0
I
x
0,25
1 2
3018 4024 12072
I I I
0,25 (Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)
