Đề thi khảo sát chất lượng môn toán lớp 12 đề số 3

b Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 1 có cực đại, cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị đến gốc tọa độ bằng 2 10.. Góc giữa SC và ABC bằng 60o.. Gọi H, K lần lư

ĐỀ 3

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG

MÔN: TOÁN LỚP 12

Thời gian: 180 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

y x= − mx + m − x m− + (1), (với m là tham số).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời khoảng

cách từ điểm cực đại của đồ thị đến gốc tọa độ bằng 2 10

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: sin 2 (1 2cos3 ).sin 2sin (2 2 ) 0

4

x+ + x x− x+π = .

Câu 3 (1,0 điểm) Giải bất phương trình: x− ≤ − 2 3 x+ 1

Câu 4 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:

( ) 2

x − +x m x − x+ + = có nghiệm x∈2;2+ 3 .

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC =

a, AB=2a,

SA ⊥ (ABC) Góc giữa SC và (ABC) bằng 60o Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và chứng minh tam giác AHK vuông tại K.

Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực dương x y z, , thoả mãn: x x( − + 1) y y( − + 1) z z( − ≤ 1) 6.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 .

A

x y y z z x

+ + + + + +

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A.Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(3;1) và I(2;-2) Viết

phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác IAB cân tại I.

Câu 8.a (1,0 điểm) Giải phương trình: 1 2 81 3 9

3

Câu 9.a (1,0 điểm) Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà trong các số đó,

mỗi chữ số đứng trước đều nhỏ hơn chữ số đứng sau nó (kể từ trái qua phải)

B Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp

đường tròn ( )C : (x− 1) 2 + + (y 1) 2 = 20 Biết AC=2BD, điểm B có hoành độ dương và

thuộc đường thẳng d: 2x y− − = 5 0 Viết phương trình cạnh AB của hình thoi.

Câu 8.b (1,0 điểm) Tìm giới hạn:

0

lim

x

x

I

x

→

−

Câu 9.b (1,0 điểm) Tìm hệ số của x10 trong khai triển 2

x− x , (x >0, n nguyên

dương) biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển bằng − 2048

Hết

-Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:…………

ĐÁP ÁN:

điểm

điểm

Câu 1

điểm

Với m=1, hàm số (1) trở thành 3 2

3

y x= − x

• TXĐ: D= ¡

• Sự biến thiên:

+ Giới hạn: limx→+∞y= +∞,limx→−∞y= −∞

0,25

2

x

y x x y

x

=



= − = ⇔  = Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞ ;0) & (2; +∞ )

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)

+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=0, y cd = 0; cực tiểu tại x=2,

4

ct

y = −

0,25

• BBT

0,25

• Đồ thị: Tiếp xúc Ox tại O, cắt Ox tại (3;0).

-2

-4

f x ( ) = x 3 -3 ⋅ x 2

O

y

0,25

b) Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời khoảng cách

từ điểm cực đại của đồ thị đến gốc tọa độ bằng 2 10

1,0 điểm

Trong trường hợp tổng quát, ta có y' 3 = x2 − 6mx+ 3(m2 − 1),

1

2

1

1

x m

x m

= −



= ⇔ − + − = ⇔  = +

Vì y' 0 = luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m nên hàm số luôn có

Dề thấy m− < + 1 m 1, nên y’ đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua

x = −m , do đó đồ thị hàm số có điểm cực đại là A m( − 1;3 3 ) − m 0,25

Ycbt tương đương với

1.

m

m

=



= − + − = ⇔ − = ⇔  = −

4

x+ + x − x+π =

1,0 điểm

2

0,25

sin 2x sinx 2cos3 sinx x 1 sin 4x 0

2 , 2

x π k π k

Câu 3

Giải bất phương trình: x− ≤ − 2 3 x+ 1 1,0

điểm

Bpt tương đương với x− + 2 x+ ≤ ⇔ 1 3 2x− + 1 2 x2 − − ≤x 2 9 0,25

2

2 2

5

x

x x x

x x x x

≤



− ≥ − − ⇔  − + ≥ − −

5

3.

3

x

x x

≤



⇔  ≤ ⇒ ≤ Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của bất

phương trình là [2;3]

0,25

Câu 4

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:

x − +x m x − x+ + = có nghiệm x∈2;2+ 3 .

1,0 điểm

ĐK: ∀ ∈x ¡ Đặt 2 ( )2

x − x+ = ⇒ =t t x− + ≥

Vì x∈2;2+ 3 và

2

x

x x

−

− + nên t∈[ ]1;2 .

0,25

Phương trình trở thành m t2 7

t

−

= Pt đã cho có nghiệm x∈2;2+ 3 

⇔ pt m t2 7

t

−

Xét f t( ) t2 7

t

−

= với t∈[ ]1;2 , 2 2 [ ]

7

t

+

′ = > ∀ ∈

3

2

0,25

⇒Vậy 6; 3

2

m∈ − − 

  là các giá trị cần tìm.

0,25

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 1,0

Câu 5

a,

AB = 2a, SA ⊥ (ABC) Góc giữa SC và (ABC) bằng 60o Gọi H, K lần

lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC Tính thể tích khối

chóp S.ABC và chứng minh tam giác AHK vuông tại K.

điểm

60 °

A

C

B

S

H

K

ABC

a

CB= AB −AC = a −a =a ⇒S∆ = AC CB= 0,25

Góc giữa SC và (ABC) là SCA· = 60 o nên ta có

o

.

S ABC ABC

SA AC= =a ⇒V = SA S∆ = a = (đvtt)

0,25

Vì BC AC BC AK

BC SA

⊥

 ⊥

0,25

mà AK ⊥SC suy ra AK ⊥ (SBC), do đó AK ⊥KH , hay ∆AHK vuông

tại K (đpcm)

0,25

Câu 6

Cho các số dương x y z, , thoả mãn: x x( − + 1) y y( − + 1) z z( − ≤ 1) 6. Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 .

A

x y y z z x

+ + + + + + 1,0 điểm

x x− +y y− +z z− ≤ ⇔x2 +y2 + − + + ≤z2 (x y z) 6

2

18 (x y z) 3(x y z) 3 x y z 6

⇒ ≥ + + − + + ⇔ − ≤ + + ≤ ⇒ < + + ≤ 0 x y x 6

0,25

Ta có: y z1 1+ y z+ +25 1 2≥5

z x

z x

+ +

1 25 5

x y

x y

+ +

x y z

x y z

0,25 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= = =y z 2 Vậy min

3

2 5

Cách khác: Đặt t x y z t= + + , >0

Sử dụng BĐT

6 (0;6]

Chứng minh 1 1 1 9 , a b c, , 0

+ + và áp dụng kết quả này

ta được 9

2 3

A t

≥ + Xét

9 ( )

2 3

f t

t

= + trên (0;6], suy ra kết quả bài

toán.

0,25

II PHẦN RIÊNG: Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc

phần B)

3,0 điểm PHẦN A: Theo chương trình Chuẩn

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua

M(3;1) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác IAB

Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A(a;0), B(0;b),

( ,a b≠ 0)

Phương trình đường thẳng d có dạng: x y 1

a+ =b

Do d qua M(3;1) nên 3 1 1 (1)

a b+ =

0,25

Đồng thời, ∆IAB cân tại I nên

IA IB= ⇔ a− + + = − + +b

0,25

Câu

a b

a b

= −



⇔ − = + ⇔  = +

• Với a= −b, thay vào (1) ta được a= 2;b= − 2nên phương trình

• Với a b= + 4, thay vào (1) ta được ( )a b; = (6;2)hoặc ( ; ) (2; 2)a b = −

Từ đó, phương trình đường thằng d là x+ 3y− = 6 0 hoặc x y− − = 2 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là d x: + 3y− = 6 0

hoặc d x y: − − = 2 0

0,25

Câu

8.a

Giải phương trình: 1 2 81 3 9

3

điểm

Điều kiện: x∈ (0; +∞ )

3

PT ⇔ x− x+ x+ =

0,25

3

Câu

9.a

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà mỗi chữ số đứng trước đều

nhỏ hơn chữ số đằng sau nó

1,0 điểm

Giả sử số cần tìm có dạng abcdef (a b c d e< < < < < f )

Số được chọn không có chữ số 0, vì giả sử có chữ số 0 thì số đó phải

có dạng 0bcdef b c d e f, , , , ,( ∈{1;2; ;9} ) (không thỏa mãn)

0,25

Với mỗi cách chọn ra 6 chữ số, có duy nhất một cách tạo thành số có

6 chữ số sao cho mỗi chữ số đứng trước đều nhỏ hơn chữ số đằng

sau nó

0,25

Số các số có 6 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là số cách chọn 6

trong 9 chữ số thuộc tập A={1;2;3;4;5;6;7;8;9} 0,25 Vậy có 6

9 84

PHẦN B: Theo chương trình Nâng cao

Câu

7.b

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường

tròn ( )C : (x− 1) 2 + + (y 1) 2 = 20 Biết AC=2BD, điểm B có hoành độ

dương và thuộc đường thẳng d: 2x y− − = 5 0 Viết phương trình cạnh

AB.

1,0 điểm

Đường tròn (C) có tâm I(1; 1), −

bán kính R= 2 5

Đặt BI = x x,( > 0)

Do AC = 2BD⇒ AI = 2BI = 2x

Kẻ IH ⊥ AB⇒IH = =R 2 5

d H

B

D

• Trong ∆AIB có: 2 2 2 2 2

IA +IB = IH ⇔ x + x = ⇔ = >

Suy ra IB= 5 Gọi B t t( ;2 − 5), (t > 0)

4 ( )

5

t tm

t ktm

=





= ⇔ − + − = ⇔ −

 =



0,25

2 2

a x− +b y− = a +b ≠

2 2

C d I AB IH R

a b

− −

+

2

11

a b

a ab b

a b

=





 =



0,25

• Với a= 2 ,b chọn a= 2,b= 1, phương trình AB là: 2x y+ − = 11 0

• Với 2 ,

11

a= b chọn a= 2,b= 11, phương trình AB là:2x+ 11y− 41 0 =

Vậy phương trình cạnh AB là 2x y+ − = 11 0hoặc 2x+ 11y− 41 0 = 0,25

Câu

8.b

Tìm giới hạn:

0

lim

x

x

I

x

→

−

điểm

Ta có ln 3

0

1 lim

x

x

e I

x

→

−

ln 3 0

1 lim

x

x

e I

x

→

−

ln 3 0

1

.ln 3

x

x

e I

x

→

−

1.ln 3 ln 3.

I

Câu

9.b Tìm hệ số của x

10 trong khai triển 2

x− x , (x >0, n nguyên

dương) biết tổng các hệ số trong khai triển bằng − 2048.

1,0 điểm

Do tổng các hệ số trong khai triển là –2048 nên ta có:

C − C + C − + − C = −

n

Ta có khai triển:

0,25

Hệ số của x 10 trong khai triển tương ứng với 22 3 10 8

Vậy hệ số cần tìm là 3 3 8

11

- Hết