Đề thi khảo sát chất lượng môn toán lớp 12 đề số 1

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 7,0 điểm với m là tham số.. b Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 1 có hai cực trị và các giá trị cực trị của hàm số 1 trái dấu nhau.. Tính thể tích k

ĐỀ 1

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG

MÔN: TOÁN LỚP 12

Thời gian: 180 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

( với m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m= 1

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số (1) có hai cực trị và các giá trị cực trị của

hàm số (1) trái dấu nhau

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình:

x

Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

x y

 − + − + =

 + + − =

Câu 4 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình:

x(4 − +x) m x2 − 4x+ + ≥ 5 2 0 có nghiệm x∈2;2+ 3 .

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD. , có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a, AB BC a= = , SB= 2a , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)

trùng với trung điểm O của AD Trên các cạnh SC, SD lấy các điểm M, N sao cho

SM = MC SN =DN Mặt phẳng ( )α qua MN, song song với BC cắt SA, SB lần lượt tại

P, Q Tính thể tích khối chóp S.MNPQ theo a.

Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số dương x y z, , thoả mãn: x x( − + 1) y y( − + 1) z z( − ≤ 1) 6. Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 .

A

+ + + + + +

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A.Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi

qua M(3;1) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác IAB cân tại I(2;-2).

Câu 8.a (1,0 điểm) Giải phương trình: 1 2 81 3 9

3

Câu 9.a (1,0 điểm) Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà trong các số đó,

mỗi chữ số đứng trước đều nhỏ hơn chữ số đứng sau nó (kể từ trái qua phải)

B Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp

đường tròn ( )C : (x− 1) 2 + + (y 1) 2 = 20 Biết AC=2BD, điểm B có hoành độ dương và

thuộc đường thẳng d: 2x y− − = 5 0 Viết phương trình cạnh AB của hình thoi.

Câu 8.b (1,0 điểm) Tìm giới hạn:

0

lim

x

x

I

x

→

−

Câu 9.b (1,0 điểm) Tìm hệ số của x10 trong khai triển 2

x− x , (x >0, n nguyên

dương) biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển bằng − 2048.

ĐÁP ÁN

Câu 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1 1,0

điểm

• Với m=1, hàm số (1) có dạng 3 2

y x= − x + x−

• TXĐ: D= ¡

• Sự biến thiên:

y = x − x+ = x− ≥ ∀x y = ⇔ =x

Hàm số đồng biến trên ¡

0,25

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị

+ Giới hạn: limx→+∞y= +∞,limx→−∞y= −∞ 0,25

+Bảng biến thiên:

x −∞ 2 +∞

y’ + 0 +

+∞

y

−∞

0,25

• Đồ thị: y'' 6( = x− 2), '' 0y = ⇔ =x 2, (2) 0y =

Một số điểm thuộc đồ thị: (1;-1), (3;1), (2;0),

Đồ thị nhận I(2;0) là tâm đối xứng

Đồ thị:

0 1 2 3 -1

1 2

-1 -2

0,25

b) Tìm tất cả các giá trị của m để các giá trị cực trị của hàm số (1)

trái dấu

1,0 điểm

Hàm số (1) có hai cực trị mà giá trị cực trị trái dấu ⇔ đồ thị hàm số

(1) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt Xét phương trình hoành độ giao

điểm:

0,25

2

x

=



⇔  − + + − =

Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt ⇔phương trình (3) có 2

nghiệm phân biệt khác 2

2

∆ = − + − >



⇔ 

− + + − ≠



0,25

1 5

m m

− < <





⇔  ≠



Vậy với ( 3;1 \) 1

5

 

 thì các giá trị cực trị của hàm số trái dấu. 0,25

Câu 2

Giải phương trình:

x

1,0 điểm

Điều kiện: cos 3 2 ,

x≠ ⇔ ≠ ± +x π k π k∈ ¢

Khi đó, PT ⇔ (2sinx+ 1)( os2c x+ sin ) 2sin 3x − x+ 6sinx+ 4cos 2x− = 2 0

0,25

2

0,25

2

sin

7 2

2 6

−

 = +



−

 = +



¢

π π

π π

0,25

Kết hợp điều kiện có 2

6

x= − π +k π

không thỏa mãn

Vậy phương trình có một họ nghiệm là 7 2 ,

6

Câu 3 Giải hệ phương trình:

x y

 − + − + =

 + + − =

điểm

Hpt ⇔

 − + − =





− + − + + − − =



0,25

Đặt

2 2 3

 − =

 − =

 Khi đó ta được

2 2

4

 + =

 + + =

 ⇔  =u v =02 hoặc  =u v =20

0,25

⇒  =x y=23; =x y= −32; 2

5

x y

 =





=

 ;

2 5

x y

 = −





=

KL: nghiệm của hpt đã cho là: ( ) (2;3 , 2;3 , − ) ( ) (2;5 , − 2;5) 0,25

Câu 4

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình:

x − +x m x − x+ + ≥ có nghiệm x∈2;2+ 3 .

1,0 điểm

ĐK: ∀ ∈x ¡ Đặt 2 ( )2

x − x+ = ⇒ =t t x− + ≥

Vì x∈2;2+ 3 và

2

x

−

− + nên t∈[ ]1;2 .

0,25

Bất phương trình trở thành m t2 7

t

−

≥ Bpt đã cho có nghiệm

x∈ +  ⇔ Bpt m t2 7

t

−

≥ có nghiệm t∈[ ]1;2 0,25

Xét

2

7

f t

t

−

= với t∈[ ]1;2

[ ]

2 2

7

t

+

′ = > ∀ ∈ ⇒ min ( ) [1;2] f t = f(1) = − 6 0,25

⇒Vậy m≥ − 6 là các giá trị cần tìm. 0,25

Cho hình chóp S ABCD. , có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn

AD=2a, AB BC a= = ,SB= 2a , hình chiếu vuông góc của S trên mặt

Câu 5

phẳng (ABCD) trùng với trung điểm O của AD Trên các cạnh SC,

SD lấy điểm M, N sao cho SM = 2MC SN, =DN Mặt phẳng ( )α qua

MN và song song với BC cắt SA, SB lần lượt tại P, Q Tính thể tích

khối chóp S.MNPQ theo a.

1,0 điểm

Hình vẽ: Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm

P

Q

N

D A

O S

M

2

a

1

3

ABD BCD BCD ABCD

,

S BCD S ABCD S ABD S ABCD

.

Có MQ // BC, NP // BC nên 1, 2

.

S MNQ

S MNQ S BCD S ABCD

S BCD

0,25

• .

.

S PNQ

S PNQ S ABD S ABCD

S ABD

Suy ra

.

S MNPQ S MNQ S PNQ S ABCD

0,25

Câu 6

Cho các số dương x y z, , thoả mãn: x x( − + 1) y y( − + 1) z z( − ≤ 1) 6. Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 .

A

+ + + + + + 1,0 điểm

( 1) ( 1) ( 1) 6

x x− +y y− +z z− ≤ ⇔x2 +y2 + − + + ≤z2 (x y z) 6

2

18 (x y z) 3(x y z) 3 x y z 6

⇒ ≥ + + − + + ⇔ − ≤ + + ≤ ⇒ < + + ≤ 0 x y x 6

0,25

Ta có: y z1 1+ y z+ +25 1 2≥5

+ + ; z x1 1+z x+ +25 1 2≥5

1 25 5

x y

x y

+ +

2( ) 3 6

x y z

x y z

0,25

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= = =y z 2 Vậy min

3

2 5

A = ⇔ = = =x y z

Cách khác: Đặt t x y z t= + + , >0

Sử dụng BĐT

x + y + ≥z + + ⇒ − ≤ ⇒ ∈t t

Chứng minh 1 1 1 9 , a b c, , 0

a b c+ + ≥ a b c ∀ >

+ + và áp dụng kết quả này

ta được 9

A t

≥ + Xét

9 ( )

f t

t

= + trên (0;6], suy ra kết quả bài

toán.

0,25

II PHẦN RIÊNG: Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 3,0

điểm PHẦN A: Theo chương trình Chuẩn

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua

M(3;1) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác IAB

Câu

7.a

Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A(a;0), B(0;b),

( ,a b≠ 0)

Phương trình đường thẳng d có dạng: x y 1

a+ =b

Do d qua M(3;1) nên 3 1 1 (1)

a b+ =

0,25

Đồng thời, ∆IAB cân tại I nên

4

a b

= −



⇔ − = + ⇔  = +

0,25

• Với a= −b, thay vào (1) ta được a= 2;b= − 2nên phương trình

• Với a b= + 4, thay vào (1) ta được ( )a b; = (6;2)hoặc ( ; ) (2; 2)a b = −

Từ đó, phương trình đường thằng d là x+ 3y− = 6 0 hoặc x y− − = 2 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là d x: + 3y− = 6 0

hoặc d x y: − − = 2 0

0,25

Câu

8.a

Giải phương trình: 1 2 81 3 9

3

điểm

Điều kiện: x∈ (0; +∞ )

3

0,25

3

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà mỗi chữ số đứng trước đều

nhỏ hơn chữ số đằng sau nó

1,0 điểm

Giả sử số cần tìm có dạng abcdef (a b c d e< < < < < f )

Số được chọn không có chữ số 0, vì giả sử có chữ số 0 thì số đó phải

0,25

Câu

9.a có dạng 0bcdef b c d e f, , , , ,( ∈{1;2; ;9} ) (không thỏa mãn)

Với mỗi cách chọn ra 6 chữ số, có duy nhất một cách tạo thành số có

6 chữ số sao cho mỗi chữ số đứng trước đều nhỏ hơn chữ số đằng

sau nó

0,25

Số các số có 6 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là số cách chọn 6

trong 9 chữ số thuộc tập A={1;2;3;4;5;6;7;8;9} 0,25 Vậy có 6

9 84

C = số thỏa mãn yêu cầu bài toán 0,25

PHẦN B: Theo chương trình Nâng cao

Câu

7.b

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường

tròn ( )C : (x− 1) 2 + + (y 1) 2 = 20 Biết AC=2BD, điểm B có hoành độ

dương và thuộc đường thẳng d: 2x y− − = 5 0 Viết phương trình cạnh

AB.

1,0 điểm

Đường tròn (C) có tâm I(1; 1), −

bán kính R= 2 5

Đặt BI = x x,( > 0)

Do AC = 2BD⇒ AI = 2BI = 2x

Kẻ IH ⊥ AB⇒IH = =R 2 5

d H

B

D

• Trong ∆AIB có: 12 12 12 12 12 1 5 ( 0)

Suy ra IB= 5 Gọi B t t( ;2 − 5), (t > 0)

4 ( )

5

=





= ⇔ − + − = ⇔ −

 =



0,25

2 2

2 2

− −

+

2

11

=





 =



0,25

• Với a= 2 ,b chọn a= 2,b= 1, phương trình AB là: 2x y+ − = 11 0

• Với 2 ,

11

a= b chọn a= 2,b= 11, phương trình AB là:2x+ 11y− 41 0 =

Vậy phương trình cạnh AB là 2x y+ − = 11 0hoặc 2x+ 11y− 41 0 = 0,25

Câu

8.b

Tìm giới hạn:

0

lim

x

x

I

x

→

−

Ta có ln 3

0

1 lim

x

x

e I

x

→

−

ln 3 0

1 lim

x

x

e I

x

→

−

ln 3 0

1

.ln 3

x

x

e I

x

→

−

1.ln 3 ln 3.

I

Câu

9.b Tìm hệ số của x

10 trong khai triển ( x− 3 )x2 n , (x >0, n nguyên

dương) biết tổng các hệ số trong khai triển bằng − 2048.

1,0 điểm

Do tổng các hệ số trong khai triển là –2048 nên ta có:

C − C + C − + − C = −

Ta có khai triển:

0,25

Hệ số của x 10 trong khai triển tương ứng với 22 3 10 8

Vậy hệ số cần tìm là 3 3 8

11

- Hết