Luận Văn thạc sĩ DẠY HỌC KHÁI NIỆM VI PHÂN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Trịnh Ngọc Ẩn (2015)

Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát  Từ các kết quả khoa học luận Theo tác phẩm Giới thiệu lịch sử toán học của Howard Eves1969 “phép lấy vi phân có thể nói là bắt nguồn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Trịnh Ngọc Ẩn

DẠY HỌC KHÁI NIỆM VI PHÂN

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Trịnh Ngọc Ẩn

DẠY HỌC KHÁI NIỆM VI PHÂN

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã luôn động viên, tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn này

Tôi cũng trân trọng kính lời cảm ơn đến:

 PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh,

TS Nguyễn Thị Nga, TS Vũ Như Thư Hương Mỗi thầy cô đã tận tình giảng dạy, truyền thụ những tri thức quý báu cho chúng tôi về didactic Toán thật sinh động,

cụ thể và đầy ý nghĩa

 Đặc biệt, TS Vũ Như Thư Hương, sau chuyên đề Hợp đồng Didactic, cô còn dành một buổi làm việc để hướng dẫn cho lớp tôi các kỹ năng cần thiết về tin học khi trình bày một luận văn

Và tôi cũng chân thành biết ơn:

 Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán - Tin trường ĐH Sư Phạm TP HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập tại đây

 Các bạn trong lớp cao học khóa 24 đã chia sẻ, động viên nhau để hoàn thành luận văn

 Sở GD&ĐT tỉnh Tiền Giang, Ban Giám Hiệu, thầy cô trường THPT Vĩnh Kim – Tiền Giang đã tạo điều kiện về mọi mặt giúp tôi được tham gia khóa học Đặc biệt, thầy Hồ Quang Đức đã hỗ trợ tôi rất nhiều về mặt chuyên môn

 Thầy cô và học sinh trường THPT Nguyễn Đình Chiểu – Tiền Giang và trường THPT Chợ Gạo – Tiền Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Cuối cùng, tôi không thể quên công ơn của những người thân trong gia đình Đó là, cha mẹ và hai em tôi đã tạo mọi điều kiện tốt nhất, là hậu phương vững chắc giúp tôi yên tâm hoàn thành khóa học

Trịnh Ngọc Ẩn

MỤC LỤC Trang phụ bìa Trang Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các thuật ngữ viết tắt

Danh mục các bảng

Danh mục các hình vẽ

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 PHÂN TÍCH MỘT GIÁO TRÌNH CALCULUS CỦA MỸ 10

1.1 Lần đầu xuất hiện kí hiệu dy và dx 13

1.2 Tiếp cận định nghĩa vi phân 14

1.2.1 Hoạt động tiếp cận 14

1.2.2 Định nghĩa các vi phân 17

1.3 Phân tích các tổ chức toán học 20

1.4 Kết luận chương 1 30

Chương 2 PHÂN TÍCH CÁC SÁCH GIÁO KHOA TOÁN PHỔ THÔNG 34

2.1 Phân tích chương trình 34

2.2 Phân tích sách giáo khoa 35

2.2.1 Hoạt động tiếp cận 35

2.2.2 Định nghĩa vi phân 36

2.2.3 Ứng dụng của vi phân vào tính gần đúng 39

2.3 Phân tích các tổ chức toán học 41

2.3.1 Các kiểu nhiệm vụ trong chương trình chuẩn 41

2.3.2 Các kiểu nhiệm vụ trong chương trình nâng cao 45

2.3.3 Các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa Việt Nam tham chiếu với giáo trình Mỹ 48

2.4 Kết luận chương 2 52

Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 55

3.1 Đối tượng thực nghiệm và hình thức thực nghiệm 55

3.2 Nội dung thực nghiệm 55

3.2.1 Thực nghiệm 1 56

3.2.2 Thực nghiệm 2 57

3.3 Phân tích a priori 62

3.3.1 Tổ chức thực nghiệm 62

3.3.2 Phân tích a priori thực nghiệm 1 62

3.3.3 Phân tích a priori thực nghiệm 2 65

3.4 Phân tích a posteriori 68

3.4.1 Phân tích a posteriori thực nghiệm 1 68

3.4.2 Phân tích a posteriori thực nghiệm 2 80

3.5 Kết luận chương 3 88

KẾT LUẬN 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng 1.1 Thống kê số lượng nhiệm vụ thuộc vào từng kiểu nhiệm vụ trong GT_M 31

Bảng 1.2 Bảng liệt kê ý nghĩa của vi phân qua phân tích tổ chức toán học 32

Bảng 2.1 Bảng tham chiếu việc thống kê số lượng nhiệm vụ thuộc vào từng kiểu nhiệm vụ trong GT_M và SGK_VN 49

Bảng 2.2 Bảng tham chiếu ý nghĩa của vi phân có thể xuất hiện thông qua các tổ chức toán học 50

Bảng 3.1 Thống kê các câu trả lời của HS trong câu hỏi 1a 69

Bảng 3.2 Thống kê câu trả lời của HS về việc tính 𝑑𝑥 trong câu hỏi 1b 71

Bảng 3.3 Thống kê câu trả lời của HS về việc tính 𝑑𝑦 trong câu hỏi 1b 73

Bảng 3.4 Thống kê câu trả lời của HS về ý nghĩa của 𝑑𝑥 𝑣à 𝑑𝑦 trong câu hỏi 1b 74

Bảng 3.5 Thống kê câu trả lời của HS trong câu hỏi 1c 76

Bảng 3.6 Thống kê câu trả lời của HS cho đề về tính gần đúng trong câu hỏi 1c 77

Bảng 3.7 Thống kê các câu trả lời của HS trong câu hỏi 2 79

Bảng 3.8 Thống kê các chiến lược giải của các nhóm ở pha 1 81

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Trang Hình 0 Xây dựng vi phân từ bài toán xác định tiếp tuyến 3 Hình 1.1 Qui trình mô hình toán học 11 Hình 1.2 Minh họa định nghĩa các vi phân 19

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

 Từ các kết quả khoa học luận

Theo tác phẩm Giới thiệu lịch sử toán học của Howard Eves(1969) “phép lấy vi phân có thể nói là bắt nguồn từ việc giải bài toán vẽ các tiếp tuyến của các đường cong

và tìm các giá trị cực đại và cực tiểu của một hàm số” [5, tr.375]

Theo Lê Thị Hoài Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004) “mặc dầu có nhiều nhà toán học dần tiếp cận với các phép tính vi – tích phân, nhưng Newton – Leibniz mới được coi là người phát minh ra phép tính vi – tích phân một cách độc lập” [1, tr.23]

Tiếp tuyến và đạo hàm cổ điển đi đôi với nhau và gắn liền với hai nhà toán học Newton, Leibniz Tuy nhiên tiến trình xây dựng hai khái niệm này của hai nhà toán học khác nhau:

- Newton xây dựng khái niệm đạo hàm từ bài toán vận tốc tức thời và từ khái niệm này, ông giải quyết bài toán tiếp tuyến

- Leibniz xuất phát từ việc giải quyết bài toán tiếp tuyến đã đưa ra khái niệm vi phân và xây dựng đạo hàm theo khái niệm này Leibniz được cho là người

đầu tiên dùng kí hiệu dy

Đâu là mối liên hệ giữa tiếp tuyến và vi phân? Bài toán tiếp tuyến có thể nảy sinh khái niệm vi phân như thế nào?

 Từ các kết quả nghiên cứu thể chế Việt Nam

Sách giáo viên Đại số và Giải tích lớp 11 (bộ cơ bản) của tác giả Trần Văn Hạo

(tổng chủ biên) (2010) có đoạn viết như sau: “Theo quy định của chương trình, trong sách giáo khoa khái niệm này chỉ được đưa ra một cách nhẹ nhàng, chủ yếu là để có

kí hiệu sử dụng sau này” [6, tr.175] Như vậy làm sao để giới thiệu vi phân “một cách

nhẹ nhàng”? Những ý nghĩa nào học sinh sẽ hình thành với cách tiếp cận “nhẹ nhàng” của SGK về khái niệm này?

Khi tìm vi phân của một hàm số y f x , ta chỉ cần áp dụng công thức

 

'

dy f x dx một cách hình thức Như vậy, vi phân và đạo hàm có gì khác nhau?

Vi phân là một bài cuối cùng của chương trình 11 và ứng dụng của vi phân là tính gần đúng của hàm Trong khi đó, hiện nay công cụ máy tính hỗ trợ việc tính gần đúng, như vậy tại sao học sinh phải học vi phân?

1.2 Tổng quan về các công trình nghiên cứu liên quan đến đề tài

Đầu tiên, chúng tôi xem xét một số nghiên cứu về khái niệm đạo hàm (chủ đề gần với nghiên cứu của chúng tôi) trong một số luận văn thạc sĩ cùng chuyên ngành

 Luận văn thạc sĩ của Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm

Trước hết, tác giả nêu đặc trưng khoa học luận về mối quan hệ của tiếp tuyến và đạo hàm qua 4 giai đoạn Kết quả nghiên cứu của tác giả đã cho thấy Leibniz xây dựng các vi phân từ bài toán xác định tiếp tuyến như sau:

Hình 0 Xây dựng vi phân từ bài toán xác định tiếp tuyến

Giả sử YY là đường cong tùy ý (hình 0) Y là điểm biến thiên trên đó với hoành

độ 𝐴𝑋 = 𝑥 và tung độ YX = y, Leibniz kí hiệu 𝑑𝑥 đơn giản là đoạn thẳng được lấy tùy ý Nếu YD là tiếp tuyến của đường cong tại điểm Y, thì đoạn thẳng mà tỉ lệ với 𝑑𝑥 cũng như là tung độ y tỉ lệ với XD (tiếp ảnh) được gọi là dy

dx  XD Sau đó, Leibniz đã đưa ra các quy tắc tính toán liên quan đến việc lấy vi phân của hằng số, tổng, hiệu, tích, thương, căn số Từ phương trình của đường cong, bằng

các qui tắc đó, Leibniz xác định được tỉ số dy

dx , từ đó xác định được tiếp ảnh XD

Như vậy, Leibniz quan niệm “tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến và hệ số

góc của tiếp tuyến là tỉ số các vi phân dy

dx” [9, tr.11]

Tiếp theo, tác giả phân tích mối quan hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm ở cấp độ tri thức cần giảng dạy thông qua phân tích chương trình SGK Pháp (bộ SGK Déclic Maths – Hachette livre 2002) và SGK_VN (SGK chỉnh lí hợp nhất 2000, SGK thí điểm bộ 2 lớp 11 và SGK thí điểm bộ 2 lớp 12)

Cuối cùng, tác giả nghiên cứu thực nghiệm kiểm chứng tính thích đáng của giả

thuyết nghiên cứu: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ”

 Luận văn thạc sĩ của Lê Anh Tuấn (2009), Một nghiên cứu didactic về khái niệm đạo hàm ở lớp 11 phổ thông

Tác giả nghiên cứu việc xây dựng khái niệm đạo hàm trong một số giáo trình bậc đại học Tiếp theo, tác giả phân tích chương trình và sách giáo khoa Toán phổ thông của Việt Nam để làm rõ mối quan hệ của thể chế dạy học Việt Nam đối với khái niệm này qua các thời kì: lớp 12 chỉnh lí hợp nhất (năm 2000) và lớp 11, 12 hiện hành để thấy được những ràng buộc của thể chế dạy học Việt Nam trên khái niệm đạo hàm Bên cạnh đó, chúng tôi còn tìm thấy những kết quả liên quan đến luận văn của chúng tôi, đó là hai kiểu nhiệm vụ sau:

Kiểu nhiệm vụ T 4 : “Tìm vi phân của hàm số y = f(x)”

Kiểu nhiệm vụ T 5 : “Tính gần đúng một giá trị”

Đối với kiểu nhiệm vụ “tính gần đúng một giá trị”, tác giả nhận xét như sau:

Vấn đề tính gần đúng nhờ vi phân chưa thực sự được thể chế quan tâm SGK_CB đưa ra khái niệm vi phân chỉ nhằm mục đích giới thiệu kí hiệu 𝑑𝑦 và 𝑑𝑥, nhằm phục vụ cho chương tiếp theo là Nguyên hàm và Tích phân Trong các lời giải mà SGK và SBT đề nghị cũng không nêu rõ cách chọn x0 và x thế nào [13, tr.51]?

Chúng tôi sẽ sử dụng lại kết quả này trong phần phân tích các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm vi phân trong chương trình hiện hành

 Luận văn thạc sĩ của Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong dạy học Toán và Vật lí ở trường trung học phổ thông

- Tác giả đã chỉ ra được hai đặc trưng cơ bản của khái niệm đạo hàm là đặc trưng tốc độ biến thiên và đặc trưng xấp xỉ, cùng với nó là vai trò của hai đặc trưng này trong các ứng dụng của vật lí

- Tác giả đã một lần nữa khẳng định: Theo kết quả nghiên cứu của các tác giả trước thì mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine cũng không được hình thành trong quan hệ cá nhân của học sinh, thế nên nghĩa xấp xỉ cũng không thể xuất hiện

Chúng tôi tìm được một số kết quả liên quan đến luận văn như sau:

- Về chứng minh công thức vi phân một tích của Leibniz

Leibniz nói rằng: "d xy( )có thể xem như hiệu của hai tích xy liên tiếp, một cái là

xy còn cái kia là (xdx y)( dy), vậy nên:

( ) ( )( )

d xy  xdx ydy xyxdyydxdx dy

Số hạng dx dy. mà theo Leibniz thì “nhỏ không đáng kể so với các số hạng còn

lại” nên sẽ được “khử” đi Vì vậy, ta sẽ có công thức vi phân của một tích là:

( )

d xy xdyydx[4, tr.20]

- Về đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm

Ý nghĩa hình học của đạo hàm như là hệ số góc của tiếp tuyến lại được trình bày tách rời với đặc trưng xấp xỉ của nó Công thức f x( 0  x) f x( )0  f x'( )0 x để tính gần đúng không được xây dựng qua con đường xấp xỉ hình học mà lại đi từ định nghĩa đạo hàm theo giới hạn Đặc trưng xấp xỉ đồ thị hàm số bởi đường thẳng tiếp tuyến và tương ứng với đó là xấp xỉ hàm số bởi hàm tuyến tính đơn giản hơn không được làm rõ [4, tr.55]

 Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Cẩm Trinh (2010), Nghiên cứu didactic về x trong toán học và trong vật lý

Sau khi phân tích chương trình và các bộ sách giáo khoa toán học (Đại số và Giải tích 11 ban cơ bản và ban nâng cao, Giải tích 12 ban cơ bản và ban nâng cao của chương trình hiện hành) và bộ SGK vật lý (chương trình cơ bản và nâng cao), tác giả đưa ra hai giả thuyết sau:

H1: Trong các bài tập có mặt x, học sinh thao tác x như là một đại lượng phụ thuộc

vào x bằng cách dựa vào 2 đẳng thức

x = .x

x = x - x o

H2: Tồn tại các quy tắc

R1: x có giá trị vô cùng bé

R2: Nếu nằm trong mô hình vật lý, dấu của x là dấu của đại lượng vật lý liên quan

Nếu nằm ngoài mô hình vật lý, dấu của x là dấu dương

Trong thể chế Vật lí, tác giả đưa ra kết luận rằng: x được đưa vào khi học cơ học nghiên cứu các chuyển động của chất điểm, x được dùng để chỉ số gia của một đại

lượng nào đó và có thể được định nghĩa x = x 2 - x 1 , x = x – x o Nói chung, x xuất hiện trong vật lí chủ yếu đóng vai trò kí hiệu

Trong thể chế dạy học toán, tác giả lại chỉ ra: x mặc dù xuất hiện với vai trò công cụ

trong việc tính đạo hàm bằng định nghĩa và tính gần đúng bằng vi phân, tuy nhiên vai trò công cụ của x trong toán học là khá mờ nhạt

Bên cạnh đó, tác giả đã chỉ ra được sự hợp lí của kí hiệu ∆𝑥 = 𝑑𝑥 trong vi phân

Khi đề cập đến khái niệm vi phân ta lại có x = dx mà dx là kí hiệu viết tắt xuất

phát từ tiếng Latin differentia có nghĩa là “hiệu” dùng để chỉ hiệu hai giá trị của biến số x Do đó, mặc dù việc dùng kí hiệu x trong chương trình trung học phổ

thông gây ra một số nhầm lẫn nhưng nó vẫn được sử dụng vì lý do lịch sử và phù hợp với kiến thức đã biết về x trong vật lý Hơn nữa, kí hiệu này nhấn mạnh số

gia đang xét tại điểm x, phù hợp với ý nghĩa của việc đưa vào định nghĩa đạo hàm

và trình độ của học sinh phổ thông trung học [14, tr.45]

 Luận án của Trần Lương Công Khanh (2006), La notion d’intégrale dans l’enseignement des mathématiques au lycée: une étude comparative entre la France et le Vietnam

Trong công trình này, tác giả đã thực hiện một nghiên cứu so sánh về dạy học đối tượng tích phân ở Pháp và Việt Nam Sau đây là một số kết quả mà chúng tôi quan tâm:

- Leibniz (1675) đã dùng kí hiệu 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 để chỉ các lượng vô cùng bé của 𝑥 và 𝑦 khi chưa có khái niệm giới hạn và dùng dy

dx để chỉ tỉ số giữa dy và dx, trong đó dy và

dx là hai lượng vô cùng bé của y và của x

- Việc xem xét một số sách chuyên khảo cho thấy ý nghĩa của các kí hiệu vi phân như sau:

+ Bourbaki (1949) xem 𝑑𝑥 chính là ∆𝑥 số gia của biến 𝑥

+ Fiktengolz (1968) định nghĩa 𝑑𝑥 là vi phân của hàm y x và 𝑑𝑦 = 𝑦𝑥′𝑑𝑥 Các sách giáo khoa hiện hành của Việt Nam định nghĩa vi phân theo cách này

- Sau khi nghiên cứu sách giáo khoa Giải tích 12 của chương trình chỉnh lí hợp

nhất (năm 2000), tác giả đã rút ra ba giá trị công cụ và kí hiệu của vi phân dx trong kí

hiệu tích phân :

+ Giá trị kí hiệu của “thừa số đại số”,

+ Giá trị kí hiệu và công cụ của “chỉ dẫn biến số lấy tích phân”,

+ Giá trị công cụ của “thừa số vi phân”

Như vậy kết quả của Trần Lương Công Khanh đã cho thấy những vai trò công cụ của vi phân trong phép tính tích phân Từ đó chúng tôi xác định rõ lại câu hỏi ban đầu của mình theo phương diện toán học và phương diện dạy học toán ở trường phổ thông như sau :

- Phương diện tri thức luận:

Đâu là sự khác nhau giữa vi phân và đạo hàm? Đâu là mối liên hệ giữa chúng? Bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong có thể làm nảy sinh khái niệm vi phân như thế nào? Vai trò công cụ nào của vi phân ngoài mối liên hệ với phép tính tích phân?

- Phương diện dạy và học toán:

Học sinh hiểu khái niệm vi phân như thế nào sau khi học?

1.3 Xác định lại vấn đề nghiên cứu

Qua tổng hợp các công trình nghiên cứu trên, chúng tôi nhận thấy chưa có luận văn nào nghiên cứu đến khái niệm vi phân Các luận văn về đạo hàm, tích phân có đề cập đến vi phân nhưng ở một khía cạnh nào đó Ví dụ như: kí hiệu vi phân, ứng dụng của đạo hàm là công cụ xấp xỉ nhờ vào vi phân Thêm vào đó, từ những ghi nhận ban đầu trong việc nghiên cứu khoa học luận và thể chế dạy học ở Việt Nam, chúng tôi

chọn đề tài Dạy học khái niệm vi phân ở trường trung học phổ thông để thực hiện

nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Cụ thể chúng tôi nghiên cứu khái niệm vi phân trên hai phương diện: phương diện khoa học luận và phương diện dạy học toán ở bậc trung học phổ thông ở Việt Nam như đã trình bày trên đây

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu trong phạm vi của didactic toán, mà cụ thể là thuyết nhân học trong didactic toán (quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân), lý thuyết tình huống

3 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

3.1 Mục tiêu nghiên cứu

- Làm rõ ý nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm vi phân ở cấp độ tri thức bác học

- Tìm hiểu quan niệm của học sinh về khái niệm vi phân

3.2 Câu hỏi nghiên cứu

Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, câu hỏi nghiên cứu của chúng tôi là:

CH1 - Về phương diện khoa học luận: Đâu là sự khác nhau giữa vi phân và đạo hàm?

Đâu là mối liên hệ giữa chúng? Bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong có thể làm nảy sinh khái niệm vi phân như thế nào? Vai trò công cụ nào của vi phân ngoài mối liên hệ với phép tính tích phân?

CH2 - Về phương diện dạy học toán bậc THPT: Đâu là mối quan hệ thể chế của khái

niệm vi phân trong thể chế dạy học toán bậc THPT hiện hành?

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp phân tích - tổng hợp :

+ Phân tích giáo trình James Stewart (2013), Calculus Early Transcendentals (seventh edition) Mỹ để trả lời cho các câu hỏi trong nhóm CH1- Về phương diện khoa

học luận Các kết quả này sẽ được dùng làm tham chiếu để phân tích SGK_VN

+ Phân tích sách giáo khoa Việt Nam (Đại số và Giải tích 11, cơ bản và nâng cao) bằng công cụ của thuyết nhân học trong Didactic để trả lời cho câu hỏi CH2

- Phương pháp thực nghiệm:

+ Với hình thức bộ câu hỏi điều tra quan niệm của học sinh về ảnh hưởng của

quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân và xây dựng tình huống để làm nảy sinh nghĩa

khái niệm vi phân Việc xây dựng và phân tích thực nghiệm được thực hiện với các

công cụ của lí thuyết tình huống

+ Đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 12, đã học khái niệm vi phân

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 phần: Mở đầu, nội dung chính và kết luận

Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày: Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất

phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu, phương pháp

nghiên cứu và cuối cùng là cấu trúc của luận văn

Trong phần nội dung chính của chúng tôi gồm 3 chương:

Chương 1 Phân tích một giáo trình Calculus của Mỹ Trong chương này,

chúng tôi phân tích giáo trình Calculus Early Transcendentals (seventh edition, 2013)

của James Stewart, nhà xuất bản Cengage Learning, United States (gọi tắt là GT_M)

để xác định nghĩa của khái niệm vi phân, mối quan hệ với đạo hàm và các tổ chức toán

học tham chiếu xoay quanh khái niệm vi phân

Chương 2 Phân tích các sách giáo khoa toán phổ thông của Việt Nam (Đại số

và Giải tích 11 cơ bản và nâng cao của chương trình hiện hành)

Chương 3 Xây dựng bộ câu hỏi khảo sát học sinh để nghiên cứu ảnh hưởng

của quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân và xây dựng bài toán để làm nảy sinh nghĩa

khái niệm vi phân

Phần kết luận, chúng tôi sẽ nêu lên các kết quả đạt được từ luận văn

Chương 1 PHÂN TÍCH MỘT GIÁO TRÌNH CALCULUS CỦA MỸ

Mục tiêu của chương

Ở chương này, chúng tôi tiến hành phân tích giáo trình James Stewart (2013),

Calculus Early Transcendentals (seventh edition) của Mỹ để đi tìm các yếu tố trả lời

cho nhóm câu hỏi: CH1 - Về phương diện khoa học luận: Đâu là sự khác nhau giữa vi phân và đạo hàm? Đâu là mối liên hệ giữa chúng? Bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong có thể làm nảy sinh khái niệm vi phân như thế nào? Vai trò công cụ nào của vi phân ngoài mối liên hệ với phép tính tích phân?

Các kết quả về phương diện khoa học luận ở chương này được dùng làm cơ sở tham chiếu để chúng tôi phân tích thể chế dạy học ở Việt Nam của chương sau

Một mô hình toán học là một mô tả toán học (thường bằng phương tiện của một hàm hoặc một phương trình) của một hiện tượng trong thế giới thực như: kích thước của một dân số, nhu cầu về một sản phẩm, tốc độ rơi của một vật thể, nồng

độ của một sản phẩm trong phản ứng hóa học, tuổi thọ của một người từ khi được sinh ra, hoặc chi phí giảm giá trong kinh doanh Mục đích của mô hình là để hiểu hiện tượng này và có lẽ để đưa ra dự đoán về hành vi trong tương lai [16, tr.23]

Qua mỗi lần tái bản, tác giả cập nhật những ví dụ từ thực tiễn, xây dựng một khái niệm theo hướng mô hình hóa qua sơ đồ minh họa dưới đây:

Hình 1.1 Qui trình mô hình toán học

[16, tr.23] Hình 1.1 tác giả minh họa quá trình mô hình hóa toán học qua bốn giai đoạn: Giai đoạn đầu tiên, tác giả xây dựng một mô hình toán học từ một vấn đề thực tế bằng cách xác định và đặt tên cho các biến độc lập và biến phụ thuộc và làm cho các giả định đơn giản hóa các hiện tượng, đủ để làm cho nó dễ xử lý bằng toán học Giai đoạn hai, áp dụng các kiến thức toán học đã biết vào mô hình toán học mà tác giả đã xây dựng để rút ra các kết luận toán học Sau đó khi bước sang giai đoạn ba, tác giả dùng những kết luận toán học đó giải thích chúng như những thông tin ban đầu về hiện tượng trong thế giới thực bằng cách đề nghị những lời giải thích hoặc đưa ra dự đoán Giai đoạn cuối cùng là kiểm tra những dự đoán với dữ liệu thực tế Nếu những dự đoán không phù hợp thực tế thì phải cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô hình mới và bắt đầu lại chu trình Cuối cùng, tác giả đưa ra nhận xét về một mô hình toán học như sau:

Một mô hình toán học không bao giờ là một đại diện hoàn toàn chính xác của một tình huống vật lý – nó chỉ là một sự lý tưởng hóa Một mô hình tốt giúp đơn giản hóa thực tế nhưng đủ để thực hiện các phép tính toán học chính xác và cũng đủ để cung cấp các kết luận có giá trị Điều quan trọng là nhận ra những hạn chế của mô hình [16, tr.23]

Bên cạnh đó, chúng tôi chọn giáo trình này vì nó được tác giả soạn theo quan điểm dạy học giúp người học khám phá tri thức: “Nghệ thuật dạy học là nghệ thuật của

sự giúp đỡ khám phá” [16, tr.XI] Tác giả đề cao việc hiểu khái niệm của học sinh và xem nó là mục tiêu chính của nghiên cứu giải tích Vì vậy tác giả tiếp cận một khái niệm dựa trên ba yếu tố: hình học, số học và đại số Cụ thể như sau:

Vấn đề

thực tế

Mô hình toán học

Kết quả toán học

Dự báo thực tế

Kiểm tra

Trọng tâm là việc hiểu khái niệm Tôi nghĩ tất cả mọi người gần như đồng ý rằng đây là mục tiêu chính của việc dạy giải tích Thật ra, động lực thúc đẩy phong trào cải cách giải tích hiện nay đến từ hội nghị Tulane vào năm 1986, đề nghị đầu tiên được phát biểu là:

“Tập trung vào việc hiểu khái niệm”

Tôi đã cố gắng thực hiện mục tiêu này thông qua ba quy tắc: “Các chủ đề được trình bày về phương diện hình học, về phương diện số và phương diện đại số” Trực quan hóa, thực nghiệm số và đồ thị; và những cách tiếp cận khác đã làm thay đổi cách dạy lý do tồn tại của khái niệm trong những cơ sở khác nhau [16, tr.XI]

Vì vậy, khai thác tốt giáo trình sẽ rất hữu ích cho chúng tôi trong việc thực hiện đề tài dạy học khái niệm vi phân ở trường trung học phổ thông

Cuối cùng, chúng tôi chọn giáo trình này để phân tích vì nó bàn sâu về các nội dung giải tích được dạy trong chương trình phổ thông của Việt Nam và những năm đầu Đại học của những ngành Khoa học kĩ thuật và Kinh tế Quyển giáo trình này được sử dụng trong chương trình Cao đẳng Đại học hay dự bị Đại học ở Mỹ Tuy nhiên học sinh THPT cũng có thể chọn khóa học liên quan đến nội dung toán trong giáo trình này để học trước khi vào bậc Cao đẳng – Đại học

Vị trí của khái niệm vi phân trong giáo trình

Khái niệm vi phân nằm ở chương 3 Differentiation Rules (các qui tắc tính tính vi phân) thuộc mục 3.10 Linear approximations and differentials (phép xấp xỉ tuyến tính

và vi phân) Trước mục này, khái niệm đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm của nhiều

dạng hàm số đã được nghiên cứu

1.1 Lần đầu xuất hiện kí hiệu dy và dx

Kí hiệu 𝑑𝑦 và 𝑑𝑥 không xuất hiện riêng mà đi kèm với nhau và được viết là dy

dx

Giáo trình đưa kí hiệu dy

dx vào chương hai Limits and Derivatives (giới hạn và đạo hàm), nó như là một kí hiệu khác của đạo hàm:

Nếu sử dụng kí hiệu truyền thống y f x để chứng tỏ rằng giá trị độc lập là 𝑥 và giá trị phụ thuộc là y, thì một số kí hiệu chung khác cho đạo hàm là như sau:

𝑑𝑦, 𝑑𝑥 xuất hiện trong kí hiệu dy

dx được giới thiệu như một kí hiệu khác của kí hiệu đạo hàm, chứ không mang nghĩa là một thương

1.2 Tiếp cận định nghĩa vi phân

1.2.1 Hoạt động tiếp cận

Trước khi đưa ra khái niệm vi phân, giáo trình giới thiệu phép xấp xỉ tuyến tính một cách trực quan thông qua việc quan sát đường cong và đường thẳng tiếp tuyến trong khoảng lân cận của tiếp điểm có hoành độ a

Chúng ta nhìn thấy đường cong nằm rất gần một đường thẳng tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc Thật ra, bằng cách phóng to xung quanh một điểm trên đồ thị của hàm khả vi, chúng ta nhận thấy rằng đồ thị trông càng giống như đường thẳng tiếp tuyến Quan sát này là cơ sở cho một phương pháp tìm giá trị gần đúng của hàm

Ý tưởng là ta có thể dễ dàng để tính được một giá trị 𝑓(𝑎) của một hàm, nhưng lại

khó (hoặc ngay cả không thể) tính các giá trị tại lân cận a của 𝑓 Vì vậy, chúng ta

chuyển sang tính một cách dễ dàng các giá trị của hàm tuyến tính L có đồ thị là đường thẳng tiếp tuyến của 𝑓 tại (𝑎, 𝑓(𝑎)) (xem hình 1)

Nói cách khác, chúng tôi sử dụng đường thẳng tiếp tuyến tại (𝑎, 𝑓(𝑎)) là một xấp

xỉ với đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥) khi 𝑥 gần 𝑎 Một phương trình của đường thẳng tiếp tuyến này là

được gọi là tuyến tính hóa của 𝑓 tại 𝑎 [16, tr.250 – 251]

Sau đó giáo trình đưa ra ví dụ sử dụng phép xấp xỉ tuyến tính để tính xấp xỉ một số và giới thiệu khái niệm ước lượng trên

Ví dụ 1 Tìm tuyến tính hóa của hàm số f x  x 3 tại 𝑎 = 1 và sử dụng nó để tính xấp xỉ của số 3.98 và 4.05 Đây là những ước lượng trên hay ước lượng dưới?

4 4

Xấp xỉ tuyến tính được minh họa trong hình 2 Chúng ta thấy, trên thực tế, các đường tiếp tuyến xấp xỉ là một xấp xỉ tốt từ hàm số đã cho khi 𝑥 gần 1 Chúng ta cũng thấy xấp xỉ của chúng là ước lượng trên bởi vì đường tiếp tuyến nằm trên đường cong

Tất nhiên, một máy tính có thể cho chúng ta xấp xỉ của 3.98và 4.05 nhưng xấp xỉ tuyến tính cho một xấp xỉ trên toàn bộ một khoảng

Trong bảng dưới đây chúng ta so sánh ước lượng từ xấp xỉ tuyến tính trong ví dụ

1 với giá trị đích thực Chú ý từ bảng này và cũng từ hình 2, mà đường xấp xỉ tuyến tính cho ước lượng tốt khi 𝑥 gần 1 nhưng tính chính xác của xấp xỉ sẽ không còn nữa khi 𝑥 xa 1

Từ hàm căn thức phức tạp, giáo trình đã xấp xỉ bởi một đường thẳng tuyến tính hóa là hàm số bậc nhất dễ tính Việc quan sát đồ thị và bảng so sánh giá trị của 𝐿(𝑥) với giá trị thực cho thấy giá trị hàm tiếp tuyến của đường cong tại 𝑥 = 1 xấp xỉ với 𝑓(1) khi 𝑥 gần 1 và khi 𝑥 xa 1 thì khoảng cách của đường tiếp tuyến và đường cong càng lớn dần Như vậy, giá trị xấp xỉ sẽ không còn tốt nữa Do đó, cách khắc phục là ta tìm một đường xấp xỉ tuyến tính mới Cụ thể là tìm một giá trị khác của a mà giá trị đó phải gần 𝑥 và dễ dàng tính 𝑓(𝑎)

Tư tưởng xấp xỉ này chính là cơ chế hoạt động của máy tính bỏ túi trong việc tính giá trị của một hàm số Máy tính không thể tính giá trị của hàm số bất kì tại một điểm 𝑥0 nào đó mà nó sẽ xấp xỉ hàm số đó bởi một hàm đa thức đơn giản hơn

Nhận xét

Như vậy, tiếp tuyến của đường cong cùng với sự xấp xỉ của nó với đường cong trong lân cận của tiếp điểm được giáo trình dùng để tiếp cận vi phân Việc chọn lựa này cũng phù hợp với lịch sử của sự phát minh khái niệm vi phân bởi Leibniz

Các phương diện đồ thị, thực nghiệm số và đại số đều được tác giả khai thác trong hoạt động tiếp cận vi phân

1.2.2 Định nghĩa các vi phân

Giáo trình đưa ra khái niệm các vi phân như sau:

Những ý tưởng ẩn chứa đằng sau sự xấp xỉ tuyến tính đôi khi được phát biểu bằng thuật ngữ và kí hiệu của các vi phân Nếu y f x  trong đó f là một hàm có đạo hàm thì vi phân 𝑑𝑥 là một biến độc lập tức là 𝑑𝑥 được cho bởi bất kì giá trị thực nào đó Vi phân dy được định nghĩa theo 𝑑𝑥 bởi phương trình

GT_M nêu ra hai khái niệm vi phân: vi phân của biến độc lập (𝑑𝑥), vi phân của biến phụ thuộc (𝑑𝑦) và chúng liên hệ với nhau qua công thức 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥

Bên cạnh khái niệm các vi phân, GT_M có chú thích như sau: Nếu dx0,

chúng ta chia hai vế phương trình cho 𝑑𝑥 ta được dy f ' x

dx  Chúng ta thấy nó giống như phương trình trước nhưng bây giờ vế trái có thể được giải thích như là một

tỉ số của các vi phân [16, tr.253]

Như vậy, đến đây chúng tôi đã tìm thấy mối quan hệ giữa khái niệm đạo hàm –

vi phân trong GT_M: đạo hàm chính là tỉ số giữa vi phân ( dy

dx nếu có) của biến phụ thuộc với vi phân của biến độc lập

Sau khi định nghĩa các vi phân GT_M trình bày ý nghĩa hình học của vi phân như sau

Ý nghĩa hình học của vi phân được biểu thị trong hình 5 Giả sử P x f x ,    và

Q x x f x x là những điểm trên đồ thị của f và giả sử dx x Sự

thay đổi tương ứng của y là  y f x   x f x 

Hệ số góc của tiếp tuyến PR chính là đạo hàm f' x Như vậy, độ dài đại số từ S đến R là f ' x dxdy Như vậy dy biểu diễn số gia tung độ của điểm trên tiếp tuyến (thay đổi trong tuyến tính hóa), trong đó y biểu diễn số gia tung độ của điểm trên đường cong y f x  khi 𝑥 thay đổi bởi một lượng 𝑑𝑥 [16, tr.253]

Sau khi nêu định nghĩa các vi phân 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 đến đây GT_M đã cho rằng 𝑑𝑥 = ∆𝑥

và không giải thích gì thêm Như vậy hai kí hiệu ∆𝑥 và 𝑑𝑥 đều dùng để chỉ số gia của biến số Dựa vào ý nghĩa hình học của đạo hàm có f ' x tan và tam giác vuông PRS có RS PS.tan  f ' x dx. nên RS dy Quan sát đồ thị, chúng tôi nhận thấy giá trị của ∆𝑦 và 𝑑𝑦 phụ thuộc vào số gia của biến số và chúng càng tiến lại gần nhau khi số gia này càng nhỏ Ngoài ra, theo quan điểm giới hạn chúng tôi nhận thấy

Hình 1.2 Minh họa định nghĩa các vi phân Cuối cùng, GT_M cũng đưa ra cách viết khác (hiển nhiên tương đương với cách viết ban đầu) của công thức xấp xỉ tuyến tính thông qua kí hiệu của vi phân

Trong kí hiệu của vi phân, xấp xỉ tuyến tính có thể được viết là

𝑓(𝑎 + 𝑑𝑥) ≈ 𝑓(𝑎) + 𝑑𝑦 [16, tr.254]

Cách viết này cho thấy một ý nghĩa rằng: giá trị của hàm số f tại một giá trị của biến độc lập x gần a có thể được tính gần đúng bằng tổng của f(a) và vi phân dy

Nhận xét

Giáo trình nêu hai khái niệm vi phân dy và dx một cách tường minh

- Vi phân của biến số độc lập 𝑑𝑥 là một giá trị thực,

- Vi phân của biến phụ thuộc 𝑑𝑦 phụ thuộc vào hai giá trị 𝑥, 𝑑𝑥, được xác định bởi công thức 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 và khi xác định được tỉ số dy

dx thì đó chính là đạo hàm Dựa vào ý nghĩa hình học các vi phân, giáo trình làm rõ lại nghĩa các vi phân như sau:

Cho một hàm số 𝑓 có đạo hàm trên một khoảng K nào đó, gọi 𝐿 là hàm tiếp tuyến của

𝑓 tại một điểm có hoành độ 𝑥 trong K, khi đó:

- Vi phân 𝑑𝑥 được hiểu là sự thay đổi rất nhỏ từ giá trị 𝑥 và 𝑑𝑥 = ∆𝑥 (dĩ nhiên sao cho

1.3.1 Kiểu nhiệm vụ Ttìm vp: Tìm vi phân của một hàm số y f x 

Ví dụ 1 Tìm vi phân của mỗi hàm số sau

- Viết một cách hình thức 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 Công nghệ tìm vp: - Quy tắc tính đạo hàm của hàm số

- Định nghĩa vi phân 𝑑𝑦 bằng công thức

Nhận xét

- Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện gồm 12 nhiệm vụ trong phần bài tập chiếm tỉ lệ 12/64 (tức 18,75%) trên tổng số nhiệm vụ, còn trong phần bài học kiểu nhiệm vụ này không xuất hiện rõ ràng và nó chỉ là công cụ để giải quyết các kiểu nhiệm vụ khác

- Bên cạnh đó chúng tôi nhận thấy giáo trình yêu cầu tìm vi phân với các kí hiệu biến khác nhau , , , , , x t s u v z Điều này tạo thuận lợi cho việc áp dụng kiến thức toán

cho các môn học khác mà ở đó kí hiệu rất đa dạng Chẳng hạn trong vật lí, kí hiệu t thường dùng cho biến độc lập – biến thời gian

- Kiểu nhiệm vụ này chỉ để củng cố công thức vi phân của hàm số và không mang lại nghĩa cụ thể nào về vi phân

1.3.2 Kiểu nhiệm vụ Tul vp: Ước lượng vi phân của một hàm số y f x  với các giá trị 𝒙 và 𝒅𝒙 cho trước

Ví dụ 2 Tìm vi phân dy và ước lượng dy với các giá trị của 𝑥 và dx cho trước

dy e Kĩ thuật giải quyết cho kiểu nhiệm vụ này như sau:

ul vp:

 - Tìm hàm đạo hàm f’(x) của hàm số f trên tập xác định

- Tính dy f ' x dx

- Thế giá trị 𝑥 và 𝑑𝑥 cụ thể suy ra giá trị dy cần tính

Công nghệ ul vp: - Quy tắc tính đạo hàm của hàm số

- Định nghĩa các vi phân của một hàm số

- Khái niệm hàm số hai biến (ngầm ẩn trong biểu thức chứa hai biến)

mà đặc biệt là giá trị của biến phụ thuộc theo các giá trị của các biến độc lập

1.3.3 Kiểu nhiệm vụ Tso sánh : So sánh hai giá trị ∆𝒚 và 𝒅𝒚 với  x cho trước

2 1

y f x x x  x và x thay đổi (a) từ 2 đến 2.05 và (b) từ 2 đến 2.01

Giải

2 2 2 2 2 1 9

Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện rõ ràng thông qua yêu cầu bài toán so sánh ∆𝑦 và

𝑑𝑦 thuộc 2 nhiệm vụ trong phần bài học và 4 nhiệm vụ trong phần bài tập, chiếm tỉ lệ 6/64 (6,25%) tổng số nhiệm vụ Kiểu nhiệm vụ đã làm sáng tỏ sự khác biệt và xấp xỉ giữa ∆𝑦 và 𝑑𝑦 khi 𝑥 thay đổi một lượng ∆𝑥

Việc đánh giá xấp xỉ trội hơn hay xấp xỉ nhỏ hơn cũng được chỉ ra qua quan sát

đồ thị:

Ở hình 6 đường thẳng tiếp tuyến nằm dưới đường cong và kết quả ví dụ cũng như đồ thị minh họa cho thấy 𝑑𝑦 nhỏ hơn ∆𝑦

Trong phần bài tập sau khi yêu cầu so sánh hai giá trị ∆𝑦 và 𝑑𝑦 khi cho trước 𝑥

và 𝑑𝑥 theo phương diện đại số, giáo trình còn yêu cầu so sánh theo phương diện đồ thị (chúng tôi gọi yêu cầu này là Tminh họa vp): vẽ một đồ thị (giống như hình 5) biểu diễn các đoạn thẳng có độ dài 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, ∆𝑦

Kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này không được tác giả làm rõ, tuy nhiên theo giới thiệu ở đầu giáo trình, sinh viên có thể sử dụng các phần mềm vẽ hình của máy tính bỏ túi hay trong máy vi tính như: Derive, Maple, Mathematica, hoặc TI – 89/92…

Vấn đề sử dụng phần mềm vẽ đồ thị được làm rõ ở chương đầu tiên về hàm số

và trong phần “Graphing Calculators and Computers” Ở đó có các ví dụ và phần bài tập trên các phần mềm tương ứng Giới hạn trong chủ đề nghiên cứu, chúng tôi không phân tích chi tiết phần này mà chỉ trích dẫn một số quan điểm của tác giả

Trong phần này chúng tôi chấp nhận rằng các bạn [sinh viên] được quyền vẽ đồ thị với phần mềm của máy tính bỏ túi hay của máy vi tính Chúng ta sẽ thấy rằng việc sử dụng những thiết bị này cho ta khả năng vẽ đồ thị những hàm phức tạp và giải những bài toán mà nếu dùng cách khác sẽ phức tạp hơn nhiều Chúng tôi cũng chỉ ra những cạm bẫy có thể xảy ra với những máy móc này

Vẽ đồ thị với máy tính bỏ túi và máy vi tính có thể cho các đồ thị hàm số với độ chính xác cao Nhưng chúng ta cũng sẽ thấy trong chương 4 rằng chỉ nhờ sử dụng giải tích, chúng ta mới có thể chắc chắn rằng sẽ lột tả hết mọi khía cạnh thú vị của một đồ thị [16, tr.44]

Từ đó, chúng tôi nhận thấy ý nghĩa hình học của vi phân được nhấn mạnh trong giáo trình này

1.3.4 Kiểu nhiệm vụ Txấp xỉ tt : Sử dụng xấp xỉ tuyến tính (hay các vi phân) để ước lượng giá trị của một số vô tỉ

Sử dụng xấp xỉ tuyến tính để xấp xỉ 4.05 đã được chúng tôi minh họa ở ví dụ 1 mục 1.2.1, ví dụ tiếp theo của chúng tôi chỉ giới thiệu sử dụng vi phân để xấp xỉ

- Phân tích số vô tỉ y 0 cần tính thành dạng y0 = 𝑓(𝑎 +𝑥) với a là số nguyên,

𝑥 là số thập phân có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 và f(a) có thể tính được mà không cần sử

dụng công cụ hỗ trợ tính toán

- Xét hàm số f x ( ) và tìm hàm f '( )x

- Tính giá trị 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑎).𝑥

- Tính gần đúng y 0 f(a) + dy

Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện với yêu cầu đề bài dùng phép xấp xỉ tuyến tính hoặc

vi phân để ước lượng một số đã cho chiếm tỉ lệ 11/64 (16,19%) trên tổng số nhiệm vụ

bao gồm 1 nhiệm vụ trong phần bài học và 10 nhiệm vụ trong phần bài tập

Các ràng buộc liên quan đến kiểu nhiệm vụ này như sau:

+ Các số cần ước lượng là số vô tỉ

+ Yêu cầu rõ ràng là phải sử dụng vi phân và yêu cầu ngầm ẩn là không được dùng công cụ hỗ trợ tính toán

+ Tồn tại một hàm số sơ cấp f quen thuộc sao cho số cần tính thuộc tập giá trị của

nó

+ Số vô tỉ cần tính có dạng 𝑓(𝑎 +𝑥) với a là số nguyên, 𝑓(𝑎) có thể nhẩm được (hoặc giá trị có thể tra được, chẳng hạn giá trị lượng giác đặc biệt), đặc biệt với những số được lựa chọn của giáo trình có 10-5 < |𝑥| < 1(nghĩa là số thập phân dạng

Tham khảo Lê Thái Bảo Thiên Trung (2012), chúng tôi giải thích hiện tượng này như sau:

Giáo trình dùng dấu  để chỉ sai số do phương pháp tính gây ra (sai số phương pháp), giáo trình vẫn dùng dấu = với các sai số do tính toán gây ra (dùng số gần đúng thập phân do máy tính bỏ túi cung cấp trong một phép tính gần đúng) Với sức mạnh của công cụ tính toán hiện đại, sai số do tính toán được chấp nhận là kiểm soát được (ta có thể nhận được giá trị gần đúng thập phân mà mọi chữ số của nó đều chắc chắn trong một phép tính gần đúng) Còn sai số gây ra do phương pháp tính cần phải được đánh giá bằng lí thuyết toán học Ở đây, giáo trình không đề cập sâu đến việc kiểm soát sai số trong phép xấp xỉ tuyến tính Nghĩa là, ta chỉ biết khi 𝑥 càng lớn thì sai số giữa y so với dy càng lớn, nhưng ta không ước lượng được sai số giữa y và dy

1.3.5 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑼𝒍 𝒚 𝒕𝒉𝒆𝒐 𝒙: Ước lượng sai số của hàm số khi biết sai số của biến số

Các nhiệm vụ thuộc kiểu này đều lồng trong các mối quan hệ vật lí như: thể tích, diện tích quả cầu phụ thuộc vào bán kính, thể tích và diện tích bề mặt của khối lập phương phụ thuộc vào cạnh của nó, thể tích hình trụ phụ thuộc vào bán kính… Sau đây là một ví dụ điển hình minh họa kiểu nhiệm vụ này mà chúng tôi tìm thấy ở phần

bài học của giáo trình

Ví dụ 5 Bán kính hình cầu được đo và tìm thấy là 21cm với sai số đo có thể trong phép đo là 0,05 cm Sai số lớn nhất sử dụng trong tính giá trị bán kính để tính thể tích hình cầu là bao nhiêu [16, tr.254]?

Lời giải được tác giả trình bày chi tiết trong giáo trình như sau:

3

tính giá trị đo của r được kí hiệu là dr r thì sai số tương ứng trong tính giá trị của V là V , nó xấp xỉ bởi vi phân

Sai số lớn nhất trong tính thể tích là 277 3

gọi sai số này là sai số lan truyền, nghĩa là: Nếu ta lấy 𝑥 mô tả giá trị sau khi đo đạc và

𝑥 + ∆𝑥 mô tả giá trị chính xác thì ∆𝑥 là sai số trong đo đạc Cuối cùng, nếu giá trị sau khi đo đạc 𝑥 được sử dụng để tính 𝑓(𝑥) thì sự sai khác giữa 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) và 𝑓(𝑥) là sai

số lan truyền kí hiệu là ∆𝑦

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = ∆𝑦

Và thực tế việc tính ∆𝑦 khá phức tạp và nó được thay thế bởi 𝑑𝑦 Đây chính là một trong những vai trò công cụ rất mạnh của vi phân

1.3.6 Kiểu nhiệm vụ Tthiết lập : Thiết lập qui tắc tính vi phân

Ví dụ 6 Thiết lập các quy tắc tính vi phân sau (trong đó c là hằng số và u, v

là hàm của 𝑥)

Kĩ thuật thiết lập: - Tính đạo hàm của hàm số

- Áp dụng định nghĩa vi phân Công nghệ thiết lập:- Quy tắc tính đạo hàm của hàm số

- Định nghĩa vi phân của một hàm

Nhận xét

Kiểu nhiệm vụ này được thể hiện chỉ một bài tập duy nhất được trình bày trong

ví dụ trên Với mục đích đưa ra một số quy tắc cơ bản của vi phân, nó cũng tương tự như các quy tắc của đạo hàm Việc thiết lập các quy tắc này dựa vào các quy tắc đã có của đạo hàm Giáo trình đưa ra một kiểu nhiệm vụ thiết lập quy tắc của vi phân đã cho chúng tôi thấy sự tương đồng của hai khái niệm này Bên cạnh đó, học sinh có thể vận dụng các qui tắc này để thực hiện các bài tập khác mà không cần phải chứng minh lại

dx mang ý nghĩa là kí hiệu khác của đạo hàm Sau khi

định nghĩa các vi phân dy, dx thì đạo hàm của hàm số chính là tỉ số các vi phân: vi phân của biến phụ thuộc chia cho vi phân của biến độc lập (khi dx khác 0)

- Từ bài toán tiếp tuyến của đường cong đã làm nảy sinh khái niệm vi phân, cụ thể: + Vi phân 𝑑𝑥 được hiểu là sự thay đổi rất nhỏ của giá trị 𝑥, nó giống như ∆𝑥 (số gia biến số của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)

+ Vi phân 𝑑𝑦 được hiểu là sự thay đổi của đường xấp xỉ tuyến tính Nó được xác định là tích đạo hàm của hàm số với vi phân 𝑑𝑥

- Về ý nghĩa hình học của vi phân là: “vi phân của hàm số y f x  là số gia tung

độ của điểm R trên tiếp tuyến PR ứng với đoạn x x,  x” Như vậy dựa vào ý nghĩa hình học của vi phân ta thấy rằng khi x càng nhỏ thì giá trị y càng gần dy Việc so sánh hai giá trị ∆𝑦 và 𝑑𝑦 được tác giả khai thác theo phương diện đại số và phương diện đồ thị

- Xét về mối quan hệ của các vi phân và các số gia chúng tôi nhận thấy:

+ Vi phân của biến số chính là số gia của biến số

+ Vi phân của hàm số xấp xỉ số gia của hàm số 𝑑𝑦 ≈ ∆𝑦 Hay nói cách khác, số

gia của hàm tiếp tuyến ứng với sự thay đổi của dx xấp xỉ số gia của hàm f ứng

với x

Dưới đây là bảng thống kê số lượng ví dụ bài tập thuộc các kiểu nhiệm vụ trong giáo trình:

Bảng 1.1 Thống kê số lượng nhiệm vụ thuộc vào từng kiểu nhiệm vụ trong GT_M

Kiểu nhiệm vụ

Số nhiệm vụ xuất hiện trong phần bài học

Số nhiệm vụ xuất hiện trong phần bài tập

Tminh họa vp: vẽ một đồ thị (giống như hình 5) biểu

diễn các đoạn thẳng có độ dài 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, ∆𝑦

𝑇𝑈𝑙 𝑦 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑥: Ước lượng sai số của hàm số khi

biết sai số của biến số