Luận Văn thạc sĩ CÔNG CỤ ĐẠI SỐ TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Nguyễn Văn Hiếu (2015)

Đ c iệt, khi nói về ảnh hưởng của đại số trong sự ra đời của Hình học giải tích HHGT, tác giả Lê Thị Hoài Châu 2008 đã có nhận định như sau: Sự phát triển của hình học đòi hỏi phải x t đ

tận tình hướng dẫn, đ ng viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS TS Lê Văn Tiến, TS.V Như Thư Hương, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung,

TS Nguyễn Thị Nga đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho tôi những kiến thức quý

áu

Tôi xin gửi lời cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng SĐH, Khoa Toán – Tin trường ĐHSP TP HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

- Lãnh đạo Sở GD ĐT Long An, Tập thể giáo viên trường THPT Nguyễn Công Trứ đã hết lòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt khóa học

Tôi xin cám ơn m tôi và hai con của tôi, những người đã l ng l lo lắng cho tôi,

đ ng viên tôi những khi tinh thần tôi sa sút

Cuối c ng tôi xin chân thành cám ơn các ạn , ân nhân, đ c iệt là ạn NTD, các ạn trong lớp Didactic Toán khóa 24, những người đã c ng tôi chia sẻ vui uồn và giúp tôi vượt qua những khó khăn trong học tập c ng như trong cu c sống

0.2) Mục đích nghiên cứu 3

0.3) Phạm vi lý thuyết tham chiếu 3

0.3.1) Thuyết nhân học trong Didactic Toán 3

0.3.2) Lý thuyết tình huống 6

0.4) Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu 7

0.5) Mục tiêu nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu 7

0.5.1) Mục tiêu nghiên cứu 7

0 5 2) Phương pháp nghiên cứu 7

0.6) Cấu trúc của luận văn 8

CHƯƠNG 1 TỔNG HỢP MỘT S KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ ĐẠI S V VAI TR C NG CỤ CỦA ĐẠI S Đ I VỚI H NH HỌC TRONG CHƯƠNG TR NH TOÁN PHỔ THÔNG 1 1) Đại số và vai trò công cụ của đại số đối với hình học 10

1 1 1) Đại số 10

1 1 2) Vai trò công cụ của đại số đối với hình học 21

1.2) M t số kết luận 37

CHƯƠNG 2 CÔNG CỤ ĐẠI S TRONG THỂ CHẾ DẠY-HỌC HÌNH HỌC KH NG GIAN LỚP 11 2 1) Phân tích chương trình 39

2 1 1) Chương trình Hình học 11 cơ ản 39

2 1 2) Chương trình Hình học 11 nâng cao 41

2 2) Phân tích Sách giáo khoa và ài tập 43

2 3) M t số kết luận 77

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM 3 1) Phần dành cho giáo viên 79

3 1 1) Phân tích câu hỏi 80

3.1.2) Phân tích hậu nghiệm 83

3 2) Phần dành cho học sinh 87

3.2.1) Phân tích câu hỏi 88

3.2.2) Phân tích hậu nghiệm 93

3.3) M t số kết luận 104

KẾT LUẬN 107

TÀI LIỆU THAM KHẢO 109

PHỤ LỤC 112

SGH11N Hình học 11 nâng cao Sách giáo viên

SGK6T1 Sách giáo khoa Toán 6 tập 1

SGK7T2 Sách giáo khoa Toán 7 tập 2

SGK9T1 Sách giáo khoa Toán 9 tập 1

SGK9T2 Sách giáo khoa Toán 9 tập 2

MỞ ĐẦU 0.1) Nhữ h hậ ba ầu và câu hỏ xuất phát

Nói về vai trò công cụ của đại số, theo tác giả Nguyễn i Quốc 2006), Về m t lịch sử, đại số ra đời để giải quyết m t số ài toán số học” và can thiệp như m t công

cụ giải các ài toán thu c các lĩnh vực khác” [19, tr 11] Đ c iệt, khi nói về ảnh hưởng của đại số trong sự ra đời của Hình học giải tích (HHGT), tác giả Lê Thị Hoài Châu (2008) đã có nhận định như sau:

Sự phát triển của hình học đòi hỏi phải x t đến các ài toán có liên quan đến các đường cong, m t cong phức tạp Chính ở đây mà phương pháp tổng hợp c l những hạn chế của mình Nó khiến các nhà hình học mong muốn tìm kiếm m t phương pháp tổng quát không lệ thu c vào hình v

Vào cuối thế k 16, những vật liệu cần thiết cho việc xây dựng m t phương pháp đáp ứng đòi hỏi đó đã đạt đến đ hoàn hảo Cụ thể là sự phát triển của đại số đã mang lại hiệu quả không ch trên các số mà trên mọi loại đại lượng Xu hương ký hiệu hóa các đối tượng nghiên cứu của Vi te 1540-1603) làm cho tính toán đại số trở nên dễ dàng, rồi phương pháp đồ thị của Oresme cho ph p iểu diễn tương quan giữa các đại lượng

v v Những điều đó mang lại cho phương pháp đại số m t sức mạnh mới, cho ph p thay thế những lời giải viện dẫn đến hình học trước đây ng những lời giải thuần túy đại số, thường gọn gàng hơn Tất cả đã s n sàng cho toán học chuyển qua m t ước tiến quyết định , làm đảo ngược mối quan hệ đã được thiết lập cho đến lúc đó giữa đại số và hình học [ 3, tr 34]

Có thể nói, HHGT (còn gọi là Hình học tọa đ ) là đ nh cao của việc vận dụng đại

số vào việc nghiên cứu hình học Thế nhưng, trong thể chế giảng dạy, do sự sắp xếp của Chương trình, không phải lúc nào các công cụ của HHGT c ng có thể tham gia vào việc giải quyết các vấn đề của hình học Trường hợp Hình học không gian ở lớp

11 (HHKG11) là m t ví dụ Ta đều iết, HHGT trong không gian mãi đến HKII lớp 12 mới xuất hiện, trong khi HHKG11 được xem là n i dung khá khó đối với học sinh Câu hỏi đ t ra là trong hoàn cảnh đó, đại số có thể can thiệp, h trợ như thế nào trong việc dạy và học môn hình học này? Trong lúc đi tìm câu trả lời cho câu hỏi đó, chúng tôi chú ý đến ài toán sau:

Cho tứ diện ABCD có AB  CD và AB=CD=AC=a Trên đoạn AC lấy M với AM=x Qua M ta v m t ph ng P) song song với AB, CD M t ph ng P) cắt BC, BD,

AD lần lượt tại N, R, T Tìm x để diện tích S của tứ giác MNRT lớn nhất

MN R T 1)

Tương tự, khi P) CD, ta có MT//NR (2)

M t khác NMT̂ =(AB,CD)̂ =90o

(3)

2 Mlà trung điểm AC

Vậy S đạt giá trị lớn nhất là S = a2

2 [14, tr 194, 195]

Trong lời giải trên, sự xuất hiện của ất đ ng thức BĐT) Cô-si c ng với các

ph p tính đại số, đại số đã giúp đem đến câu trả lời chính xác cho ài toán tìm diện tích lớn nhất của m t thiết diện Vấn đề này nếu ch d ng kiến thức hình học thì s g p rất nhiều khó khăn Bài toán đã cho thấy sự xuất hiện của đại số với vai trò là công cụ hiệu quả trong giải toán HHKG11

Phát hiện trên dẫn chúng tôi đến các câu hỏi xuất phát như sau:

1 Trong HHKG11, những loại ài toán nào cần đến công cụ đại số để giải quyết, những công cụ đại số nào thường được vận dụng và vận dụng như thế nào? Lợi ích của việc vận dụng đó là gì?

2 Học sinh thường g p những khó khăn nào trong việc vận dụng công cụ đại số khi giải toán HHKG11? Giáo viên có những iện pháp nào để giúp học sinh khắc phục các khó khăn đó?

T những ghi nhận, thắc mắc đó, chúng tôi quyết định chọn đề tài: C c

số tr d -h c H h h c h a p 11” để thực hiện việc nghiên cứu cho

luận văn thạc sĩ của mình

Didactic Toán không ch là m t tài liệu tham khảo tốt đối với các nhà nghiên cứu, giáo viên và sinh viên khoa Toán, mà tất cả những ai quan tâm đến hoạt đ ng dạy học,

t ng trăn trở đi tìm cơ sở lí thuyết, công cụ hữu hiệu lí giải các hiện tượng trong giảng dạy và học tập c ng có thể có những khám phá thú vị khi tham khảo giáo trình này

hệ cá nhân của lý thuyết này Ngoài ra, câu hỏi đó c ng có thể được giải đáp ởi khái niệm Hợp đồng didactic trình ày ởi G Brousseau (1980)

0.3.1) Thu t hâ h c tr D dact c T á

Khái niệm về quan hệ đối với tri thức được đưa vào ởi Chevallard 1989) Chevallard đã đ t khái niệm này trong phạm vi nhân chủng học, ở đó những hiện

tượng liên quan đến việc dạy học m t tri thức toán học) được mô tả theo các mối

quan hệ thể chế

Theo Chevallard, M t tri thức không tồn tại lơ lửng” trong m t khoảng r ng:

m i tri thức đều xuất hiện ở m t thời điểm nhất định, trong m t xã h i nhất định, như

là được cắm sâu vào m t ho c nhiều thể chế” [1, tr 299] Nói cụ thể hơn, m i tri thức đều là tri thức của m t thể chế, c ng m t tri thức nhưng có thể sống trong những thể chế khác nhau M i tri thức muốn tồn tại trong m t thể chế thì cần phải tuân thủ theo

m t số ràng u c Do đó, nó phải iến đổi để ph hợp với thể chế mà nó đang đứng Nói cách khác, nó phải tự thay đổi, nếu không, nó không thể được duy trì trong thể chế

đó

Lý thuyết nhân chủng học về các tri thức chủ yếu dựa trên 3 thuật ngữ: đối

tượng, cá nhân và thể hế trong đó khái niệm cơ ản là khái niệm thể chế vì nó ch r

hệ thống thực tiễn xã h i Trong phạm vi của sự lý thuyết hóa này, người ta nói r ng đối tượng O tồn tại đối với m t thể chế I nếu như tồn tại m t quan hệ thể chế R I, O) của I với O C ng thế, đối tượng O tồn tại đối với m t cá nhân X nếu như tồn tại m t quan hệ cá nhân R X, O) của X với O” [9, tr 3]

Qua hệ cá hâ

M t đối tượng O là m t cái gì đó tồn tại ít nhất đối với m t cá nhân X

Quan hệ nh n của m t cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những tác đ ng

qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, Quan hệ

cá nhân với m t đối tượng O ch r cách thức mà X iết O M t con người là m t cá

nhân, ở m t thời điểm xác định của lịch sử của nó, và một tập hợp mối quan hệ

nhân với những đối tượng mà nó iết [1, tr.315, 317]

Dưới quan điểm này, học tập là sự điều ch nh mối quan hệ của m t cá nhân X với đối tượng tri thức O Ho c quan hệ này ắt đầu được thiết lập nếu nó chưa t ng tồn tại), ho c quan hệ này ị iến đổi nếu nó đã tồn tại)

Qua hệ th ch

Chevallard đã d ng thuật ngữ quan hệ thể hế I với tri thứ O, R(I, O), để ch tập

hợp các mối ràng u c mà thể chế I có với tri thức O R I, O) cho iết O xuất hiện ở đâu, ng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, Hiển nhiên, trong m t thể

chế I, quan hệ R X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng u c của R I, O) Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều

ch nh mối quan hệ R X, O) Tất nhiên, do tri thức O tồn tại trong các thể chể I khác nhau (ch ng hạn thể chế dạy học Việt Nam, thể chế dạy học Pháp) nên s có mối quan

hệ khác nhau với các cá nhân X ch ng hạn giáo viên, học sinh) Do đó muốn nghiên cứu quan hệ của cá nhân X với đối tượng tri thức O, cần phải đ t nó trong mối quan hệ của thể chế I mà cá nhân X đang đứng c ng với tri thức O

M t câu hỏi được đ t ra là làm thế nào để vạch r quan hệ thể chế R I, O) và quan hệ cá nhân R X, O)? Nh m giải quyết vấn đề này, Chevallard đã đưa khái niệm

tổ chức prax ologie hay ngắn gọn hơn Prax ologie)

Khá ệ Praxéologie, Praxéologie T á h c

Trình ày về Prax ologie, Prax ologie Toán học Tổ chức toán học), theo tác giả

Đoàn Hữu Hải (2001):

Khái niệm prax ologie hình thành dựa trên 4 định đề về nhân chủng học là

Định đề 1 Toàn thực tiễn của thể chế được đưa vào phân tích, theo những quan điểm khác nhau và theo những phương pháp khác nhau, ng m t hệ thống những nhiệm vụ tương đối giới hạn và được tách ra t dòng chảy của thực tiễn

Định đề 2 Việc thực hiện m t nhiệm vụ nào đó là do vận dụng m t kĩ thuật Định đề 3 Để có thể tồn tại trong m t thể chế, m t kĩ thuật phải xuất hiện sao cho

có thể hiểu được, có thể thấy được và phải được lý giải

Định đề 4 Bất kì m t yếu tố công nghệ nào c ng cần m t sự lý giải

Tương ứng với các định đề này, Chevallard đưa vào khái niệm Prax ologie Đó là

m t tứ được hình thành t :

1.Các kiểu nhiệm vụ T-hiện diện trong m t thể chế nào đó;

2.Kĩ thuật τ-cho ph p thực hiện các nhiệm vụ t của c ng m t kiểu nhiệm vụ T; 3.Công nghệ θ-văn ản lý giải cho kĩ thuật τ;

4.Lý thuyết Θ-là công nghệ của công nghệ θ

Trong trường hợp các thành tố T, τ, θ, Θ của m t Prax ologie mang ản chất toán

học, người ta nói đến m t tổ hứ to n h hay là m t Praxéologie to n h [9, tr 5]

Đá h á t tổ chức t á h c

Đá h á các u h ệ v : việc đánh giá dựa trên các tiêu chuẩn

- Tiêu chuẩn xác định: các kiểu nhiệm vụ Ti đã được nêu r chưa, đ c iệt đã được thể hiện qua tập hợp số lượng mẫu đủ nhiều và s n có để sử dụng chưa? Hay ngược lại, chúng ch được iết đến qua m t vài mẫu tiêu iểu?

- Tiêu chuẩn về lý do tồn tại: lý do tồn tại của các kiểu nhiệm vụ Ti đã được nói r chưa? Hay ngược lại, chúng dường như không có lý do gì để tồn tại?

- Tiêu chuẩn thỏa đáng: những kiểu nhiệm vụ được xem x t có thỏa đáng với nhu cầu toán học của học sinh trong hiện tại và trong tương lai hay không? Hay ngược lại, dường như chúng rất iệt lập với các nhu cầu toán học của học sinh?

Đá h á ỹ thuật: Kỹ thuật được đề nghị để giải quyết kiểu nhiệm vụ Ti đã thực sự được xây dựng chưa, hay ch mới là phác thảo? Nó có dễ sử dụng và dễ hiểu không? Nó có giải quyết được phần lớn các nhiệm vụ thu c kiểu nhiệm vụ cụ thể không? Tương lai của nó ra sao và nó có thể tiến triển theo m t cách thức thích hợp hay không?

Đá h á c hệ: Với m t thông áo được đưa ra giải thích cho kỹ thuật

thì vấn đề giải thích nó có được đ t ra hay không? Hay người ta th a nhận thông áo này m t cách hiển nhiên, đã được iết r ? Các hình thức giải thích mà người ta đã sử dụng có gần g i và dễ hiểu với các hình thức chuẩn trong toán học không? Cách giải thích đó có ph hợp với hoàn cảnh và điều kiện sử dụng nó không? [8, tr 12]

Như vậy, hợp đồng dạy học chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt đ ng và đánh giá sư phạm Hợp đồng dạy học

ch ra ở t ng lúc vị trí tương h của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và

ch r ý nghĩa sâu sắc của hoạt đ ng đang được tiến hành, các phát iểu ho c những

lời giải thích Nó là quy tắc giải mã cho hoạt đ ng sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua

0.4) Tr h bà câu hỏ h ê cứu

Trên cơ sở những hiểu iết có được t Thuyết nhân học trong Didactic toán, Lý thuyết tình huống, chúng tôi cụ thể hóa các câu hỏi xuất phát và trình ày lại thành a câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1: Trong hình học của Chương trình Toán phổ thông, công cụ đại số có những

đ c trưng cơ ản nào?

Q2: Trong HHKG11, những tổ chức toán học nào cho thấy vai trò công cụ của

đại số; những công cụ đại số nào thường được vận dụng; lợi ích của việc vận dụng các công cụ đó là gì?

Q3: Trong thực tế dạy-học HHKG11, công cụ đại số thường được huy đ ng

trong những vai trò nào, học sinh thường g p những khó khăn nào trong việc huy đ ng các công cụ đại số?

0.5) M c t êu h ê cứu, phươ pháp h ê cứu

tham khảo để rút ra các kết luận nh m trả lời cho câu hỏi Q1 và góp phần hình thành

nên giả thuyết nghiên cứu

- N h ê cứu thực t :

Trong n i dung này, việc nghiên cứu được chúng tôi tiến hành như sau:

Đầu tiên, chúng tôi nghiên cứu Chương trình Hình học 11, SGK Hình học 11,

SBT Hình học 11 nh m trả lời cho câu hỏi Q2 Trên cơ sở đó, chúng tôi đưa ra giả

thuyết nghiên cứu và thiết lập câu hỏi thực nghiệm Cuối c ng, chúng tôi thực nghiệm câu hỏi nói trên, phân tích, đánh giá kết quả thu được, kiểm tra tính thỏa

đáng của giả thuyết nghiên cứu đồng thời trả lời cho câu hỏi Q3

Nghiên cứu của chúng tôi có thể được tóm tắt trong sơ đồ sau:

CHƯƠNG 1-TỔNG HỢP MỘT S KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ ĐẠI S V VAI

TR C NG CỤ CỦA ĐẠI S Đ I VỚI H NH HỌC TRONG CHƯƠNG TR NH

1 1 2) Vai trò công cụ của đại số đối với hình học

Nghiên cứu sự xuất hiện của công cụ đại số trong HHKG11 qua Chương trình, SGK Hình học 11; SBT Hình học 11

Nghiên cứu đ c trưng của đại số và vai trò công cụ của đại số đối với hình học trong Chương trình Toán phổ thông

qua các tài liệu tham khảo

-Xây dựng giả thuyết nghiên cứu và câu hỏi thực nghiệm;

-Tiến hành thực nghiệm kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu;

-Phân tích và tổng hợp kết quả thực nghiệm

Khung lý thuyết tham chiếu

2.1) Phân tích chương trình

2 1 1) Chương trình Hình học 11 cơ ản

2 1 2) Chương trình Hình học 11 nâng cao

2.2) Phân tích Sách giáo khoa và ài tập

2.3) M t số kết luận

CHƯƠNG 3-THỰC NGHIỆM:

Trình ày thực nghiệm kiểm chứng những giả thuyết được rút ra ở cuối Chương

II.Chương này gồm có các mục:

3 1) Phần dành cho giáo viên

3 1 1) Phân tích câu hỏi

3.1.2) Phân tích hậu nghiệm

3 2) Phần dành cho học sinh

3.2.1) Phân tích tiên nghiệm

3.2.2) Phân tích hậu nghiệm

CHƯƠNG 1

TỔNG HỢP MỘT S KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

VỀ ĐẠI S V VAI TR C NG CỤ CỦA ĐẠI S Đ I VỚI H NH HỌC

TRONG CHƯƠNG TR NH TO N PHỔ TH NG

M c ích c a chươ

Tìm hiểu những đ c trưng cơ ản của đại số và vai trò công cụ của đại số đối với

hình học trong Chương trình Toán phổ thông nh m tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1.

Do ị hạn chế về m t thời gian nên chúng tôi không thể thực hiện m t khảo sát đầy đủ Chương trình và SGK Toán phổ thông Vì vậy, chúng tôi ch giới hạn n i dung này trong việc tổng hợp các kết quả đã có t m t số công trình nghiên cứu đã iết về đại số c ng như mối liên hệ giữa đại số với hình học trong lĩnh vực dạy-học và tìm ví

dụ minh họa trong m t số SGK, SBT hiện hành Phân tích trong chương này được xem

là cơ sở tham chiếu cho những nghiên cứu tiếp theo

1.1) Đ số và va tr c c c a số ố v h h h c

1.1.1) Đ số

i số l g

Theo D Wheeler 1996), m t khó khăn trong việc định nghĩa đại số là khi chúng

ta nghĩ r ng đã hiểu hết ản chất của nó thì lại xuất hiện những khía cạnh khác cần phải được tính đến: đại số là m t hệ thống ký hiệu, đại số là m t tính toán, đại số là m t hệ thống iểu diễn [19, tr 10]

Tìm kiếm câu trả trong các t điển toán học chúng tôi thấy những đại ý như sau:

- điển o n h nh- oa- iệt: Đại số, m t ngành của toán học qua đó các

đ c tính chung của những số được nghiên cứu b ng cách d ng các ký hiệu, thường là các mẫu tự, để trình ày các iến và các đại lượng chưa iết”[13, tr 16]

- điển o n h nh- iệt: Đại số học: M t phần của toán học, nghiên cứu

các hệ thống và các tính chất của số Trong số học, ta d ng các ký hiệu hay chữ để tượng trưng cho các ẩn số” [16, tr 13]

Tìm kiếm trên áo chí, chúng tôi chú ý đến câu trả lời của hai tác giả V Kim Thủy, Hoàng Trọng Hảo trong ài Ph p toán hai ngôi là gì?”, đăng trên we site của

áo ội ới số ra ngày 15 tháng 4 năm 2012:

Đại số được xem như là ngành toán học mở r ng và tr u tượng hóa của môn số học Trong đại số, các chữ số1

được d ng để đại diện cho các số Ch ng hạn như trong iểu thức a a 1) = 2  a 1 thì chữ a đại diện cho m t số ất kỳ, đó là m t iểu thức đại số Nó khác với iểu thức 2 3 = 5 thu c về số học [25]

Còn trong SGK, liên quan đến khái niệm đại số, trang 25, SGK To n tập 2

đang lưu hành (SGK7T2) trình ày khái niệm iểu thức đại số:

Trong toán học, vật lý, ta thường g p những iểu thức mà trong đó ngoài các

số, các kí hiệu ph p toán c ng, tr , nhân, chia, nâng lên l y th a, còn có các chữ đại

diện cho các số) Người ta gọi những iểu thức như vậy là iểu thứ đ i số [5, tr 25]

M c d có vài điểm khác iệt trong cách trình ày, nhưng nhìn chung các tài liệu trên đều có chung nhận định: đại số d ng các ký hiệu, chữ để tượng trưng cho các số

Ở m t phương diện khác, đại số được xem là m t ngôn ngữ:

A Bell Bell, 1996) tự hỏi các iểu thức đại số và ngôn ngữ tự nhiên khác nhau

ch nào ng ch r r ng các quy trình lĩnh h i, quy trình chế tạo ra ý nghĩa tương tự nhau trong hai lĩnh vực m c d các iểu thức đại số có khuynh hướng dày đ c hơn và ít rườm rà hơn các phát iểu của ngôn ngữ tự nhiên (Bednarz, Kieran, Lee, 1996)

[19, tr 10]

Tuy nhiên, hình như có m t khác nhau thực sự giữa ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ đại số đó là

ngôn ngữ đại số không ch phục vụ cho iểu đạt mà còn cho cả thao tác nữa Các

ph p iến đổi về m t cú pháp của các iểu thức ký hiệu có thể được thực hiện m t cách máy móc và chúng được sử dụng t các tương đương, mà không thiết lập các tương đương này ng cách làm việc trên chính những khái niệm, trong khi các quy tắc cú pháp hiển nhiên ắt nguồn t kiến thức của các khái niệm này [19, tr 10]

Ví dụ về thao tác đại số, theo nhóm tác giả Pilar Bolea, Marianna Bosch, Josep Gascón (2004), m t số đối tượng đại số như phương trình, iểu thức, công thức, và hàm số có thể được thao tác: giải quyết, đơn giản hóa, đại diện ho c

chuyển đổi (certain algebraic objects (equations, expressions, formulas, and

1 Có l ở đây hai tác giả d ng t chữ số” để ch các chữ được d ng để tượng trưng cho số

functions) can be manipulated (solved, simplified, represented or transformed))”

[30, tr.129]

Để có m t cái nhìn xác đáng về đại số, chúng tôi đã tham khảo nhiều tài liệu, trong đó chúng tôi đ c iệt quan tâm đến luận án tiến sỹ của tác giả Nguyễn i Quốc (2006) ([19]); ài viết Why is modelling not included in the teaching of alge ra at secondary school?2” của nhóm tác giả Pilar Bolea, Marianna Bosch, Josep Gascón

(2004) ([30]); giáo trình Pre al ulus của nhóm tác giả Franklin D Demana, Bert K Waits, Gregory D Foley, Daniel Kennedy (2011) ([31]) và giáo trình lge ra 2

Pra ti e Work ook with Examples của McDougal Littell 2011) [32])

Theo luận án tiến sỹ của tác giả Nguyễn i Quốc 2006):

Năm 1842, G H F Nesselman đã phân loại sự phát triển lịch sử của phong trào

ký hiệu học đại số thành a giai đoạn:

- Giai đoạn « h ng iện » trước Diophante, 325-410) đ c trưng ởi việc sử dụng ngôn ngữ thông thường để giải quyết m t số dạng đ c iệt ài toán, và thiếu vắng cho việc iểu thị các iến số Đại số h ng iện iểu thị lời giải của m t ài toán mà không

d ng ất kỳ m t sự viết tắt hay ký hiệu nào cả

- Giai đoạn «rút âm t » T Diophante đến cuối thế k XVI) : Diophante đã đưa vào việc sử dụng viết tắt để ch các đại lượng chưa iết Đại số «rút âm t » sử dụng m t

số viết tắt tốc ký cho m t số ph p toán, đại lượng, và các quan hệ mà được sử dụng thường xuyên hơn

- Giai đoạn «đại số ký hiệu» T thời kỳ Vìete trở đi): các chữ cái c ng được sử dụng để ch các đại lượng: do đó có thể iểu thị các nghiệm «tổng quát», và sử dụng đại

số như m t công cụ để chứng minh các quy tắc tính toán

Trong việc dạy Toán, đại số đã chiếm m t vị trí quan trọng nhờ các nhớ ký hiệu [19, tr 11]

Như vậy, trong giai đoạn hiện nay và nhất là trong dạy-học toán, nếu x t về m t hình thức thì đại số là đại số ký hiệu, là ngành toán học d ng ký hiệu để tượng trưng cho các đại lượng Ở m t nghĩa h p, về m t t -ngữ, t đại số có nghĩa là đại diện cho

số đã nói lên điều đó

2 Tạm dịch: Tại sao việc mô hình hóa không được ao gồm trong việc giảng dạy đại số ở trường trung học.”

Tất nhiên, s là thiếu sót nếu nói đến ngôn ngữ đại số mà ch x t đến m t hình thức Theo tác giả Nguyễn i Quốc 2006), ngôn ngữ đại số không ch phục vụ cho iểu đạt mà còn cho cả thao tác nữa” Điều này được nhóm tác giả Pilar Bolea, Marianna Bosch , Josep Gascón (2004) nhìn nhận với yêu cầu Đại số phải phục vụ cho việc mô hình hóa hệ thống toán học Đ c iệt, nó phải cho ph p chúng ta đ t ra và giải quyết các vấn đề trong các lĩnh vực toán học khác số học, hình học, vv) nơi mà nếu không có đại số khó có thể đ t ra và giải quyết” [30, tr.127]

Nghiên cứu đại số trong lĩnh vực dạy và học, tác giả Nguyễn i Quốc cho iết:

Xuất phát t sự phân iệt tổng quát, do R gine Douady 1984) giới thiệu, về phép iện chứng giữa hai m t công cụ đối tượng của m t khái niệm toán học, Brigitte Grugeon (1995) đưa ra m t tổ chức tri thức đại số sơ cấp xung quanh hai m t chính yếu:

M t công cụ: đại số được xem như là m t công cụ để giải m t số ài toán nảy sinh

t các ngữ cảnh ên trong hay ên ngoài toán học

M t đối tượng: đại số được xem như m t tập hợp cấu trúc các đối tượng ẩn số, iến số, tham số, phương trình, ất phương trình, hàm số, ) được trang ị các tính chất, đ c iệt là các kiểu giải quyết mang ản chất hình thức, các kiểu iểu diễn cho phép các giải quyết này cách viết đại số, đồ thị, ký hiệu hàm số, ) [19, tr 11]

Như với mọi khái niệm toán học, người ta làm việc trên các đối tượng của đại số thông qua các hệ thống iểu đạt (Duval, 1993) như ngôn ngữ tự nhiên, đồ thị, ký hiệu Việc dạy đại số ưu tiên cho hệ thống iểu đạt ng ký hiệu M t hệ thống được thiết lập qua các chữ cái và các dấu hiệu iểu diễn các ph p toán , -, ×, ) và các quan hệ giữa các iểu thức đại số =, <, ) [19, tr 12]

Tác giả nêu ra ba đối tượng quan trọng cho nghiên cứu đại số sơ cấp là chữ”, iểu thức đại số” và dấu đ ng thức”:

a) Chữ

Kucheman (1981) đã đưa ra m t sự phân loại các vai trò của chữ trong đó ông phân iệt:

- Chữ được gán giá trị: người ta thay ng m t giá trị số,

- Chữ không được xem x t: chữ không iết đến trong tính toán,

- Chữ ch đối tượng cụ thể: chữ là m t nhãn,

- Chữ ch ẩn số đ c th : chữ ch m t số chưa iết cần tìm,

- Chữ ch số được khái quát hóa: chữ có thể nhận được nhiều giá trị,

quy trình, đồng thời nhấn mạnh r ng, trong m t hoạt đ ng toán học, người ta nối khớp hai quan niệm này theo các yêu cầu cần thiết

Những nghiên cứu khác cho thấy r ng hoạt đ ng cần thiết cho việc giải các ài toán đại số đ t ra c ng lúc m t cấp đ cú pháp và a cấp đ ngữ nghĩa học (Nicaud, 1994) Việc nghiên cứu a cấp đ ngữ nghĩa học cho ph p phân tích sự tiến triển nghĩa của ph p tính đại số:

- cấp đ 1: phân phối giá trị cho các iến tham gia trong m t iểu thức đại số,

- cấp đ 2: iến đổi m t iểu thức thành m t iểu thức tương đương khai triển, phân tích thành th a số) ng m t tính toán trực tiếp,

- cấp đ 3: tổ chức các giai đoạn của m t tính toán đại số nhờ m t suy luận chiến lược

Nicaud 1993) cho r ng chúng ta thực hiện m t việc tính toán đại số thực sự khi

m t phần có ý nghĩa của hoạt đ ng n m ở cấp đ này cấp đ thứ 3 ngữ nghĩa học) Không có cấp đ này, đại số được sử dụng như m t sự ký hiệu đơn giản”

Về phía mình, Drouhard 1992) dựa trên các khái niệm nghĩa, sự iểu hiện, sự

giải thí h và sự mở rộng nghĩa vay mượn của Frege 1971) để phân tích việc xử lý các iểu thứ ký hiệu của đại số sơ cấp và các ph p iến đổi hình thức trong việc viết lại Vì

thế, hai iểu thức đại số: x 1)² và x² 2x 1 có c ng m t iểu hiện, nhưng không cùng

m t nghĩa Ch ng hạn, iểu thức thứ nhất cho ta thấy r ng iểu thức đó luôn dương

Việc xử lý m t iểu thức t y thu c vào nghĩa của nó, nhưng được thực hiện ng cách giữ được sự iểu hiện của nó [19, tr 13]

c) Dấu đẳng thứ

Dấu đ ng thức có m t vai trò k p Nó có thể ho c ch m t kết quả, ho c m t quan

hệ tương đương Trong số học, nó có chức năng thông áo m t kết quả, trong khi trong đại số nó diễn đạt m t quan hệ tương đương, đ c iệt là trong các phương trình Như vậy c ng m t lúc có m t sự liên tục và gián đoạn giữa số học và đại số [19, tr 14].Tìm kiếm các n i dung tương tự trong các tài liệu khác, chúng tôi nhận thấy:

Trong giáo trình lge ra 2 Pra ti e Work ook with Examples ủa McDougal

Littell 2011),

Liên quan đến đối tượng Chữ” với vai trò ch iến số:

M t iến là m t kí tự được sử dụng để đại diện cho m t ho c nhiều số (A variable

is a letter that is used to represent one or more numbers)

Bất kỳ số nào được sử dụng để thay thế m t iến là m t giá trị của iến (Any

number used to replace a variable is a value of the variable) [32, tr 4]

Liên quan đến đối tượng biểu thức đại số:

M t iểu thức đại số là m t iểu thức có iến (An algebraic expression is an

expression involving variables)

Khi các iến trong m t iểu thức đại số được thay thế ng những con số, kết quả

đó được gọi là giá trị của iểu thức (When the variables in an algebraic expression are

replaced by numbers, the result is called the value of the expression)

Các hạng tử” là những phần được c ng vào trong m t iểu thức, ch ng hạn như

5 và –x trong iểu thức 5-x (Terms are the parts that are added in an expression, such

as 5 and –x in the expression)

Hệ số” là số được nhân với m t iến trong m t hạng tử (A coefficient is the

number multiplied by a variable in a term)

Hai iểu thức đại số là tương đương” nếu chúng có c ng giá trị cho tất cả các giá

trị của iến của chúng (Two algebraic expressions are equivalent if they have the same

value for all values of their variable(s)) [32, tr.4]

Liên quan đến đối tượng dấu đ ng thức”, lge ra 2 Pra ti e Work ook with

Examples trình ày khái niệm phương trình”:

M t phương trình là m t trình ày mà trong đó hai iểu thức ng nhau (An

equation is a statement in which two expressions are equal) [32, tr.7]

Ngoài ra, giáo trình này c ng trình ày m t số khái niệm khác liên hệ với iểu thức đại số như:

- Các hạng tử đồng dạng”:

Các hạng tử đồng dạng là các iểu thức có phần iến giống nhau Các h ng số như

2 và -4 c ng là các hạng tử đồng dạng (Like terms are expressions that have the same

variable part Constant terms such as 2 and -4 are also like terms) [32, tr.4]

- L y th a”, Cơ số” và Số m ”:

Các cơ số của m t số m là số ho c iến được sử dụng như m t th a số trong

ph p nhân l p đi l p lại Ví dụ, trong iểu thức 4n, 4 là cơ số (The base of an exponent is

the number or variable that is used as a factor in repeated multiplication For example,

in the expression 4 n , 4 is the base) [32, tr 4]

M t số m là số ho c iến đại diện cho số lần cơ số được sử dụng như m t th a

số Ví dụ, trong iểu thức 4n, n là số m (An exponent is the number or variable that

represents the number of times the base is used as a factor For example, in the expression is the exponent) [32, tr 4]

M t l y th a là kết quả của ph p nhân l p đi l p lại Ví dụ, trong iểu thức 42

=16,

16 là l y th a ậc hai của 4 (A power is the result of repeated multiplication For

example, in the expression 4 2 =16, 16 is the second power of 4) [32, tr 4]

Trong các vấn đề về chữ ch iến số, iểu thức đại số, dấu đ ng thức kể trên, có

thể nói lge ra 2 Pra ti e Work ook with Examples đã cụ thể hóa, chi tiết hóa n i

dung tương ứng mà tác giả Nguyễn i Quốc đã trình ày

Còn trong giáo trình Pre al ulus của các tác giả Franklin D Demana, Bert K

Waits, Gregory D Foley, Daniel Kennedy 2011), chúng tôi đ c iệt quan tâm đến vấn

đề Những thu c tính cơ ản của Đại số (Basic Properties of Algebra)” Theo giáo

trình này,

Đại số” liên quan đến việc sử dụng các chữ cái và các ký hiệu khác để đại diện

cho các số thực (Algebra involves the use of letters and other symbols to represent real

numbers)

Biến” là m t kí tự ho c iểu tượng ví dụ, x, y, t, θ) đại diện cho m t số thực

không xác định ( varia le is a letter or sym ol (for example, x, y, t, θ) that represents

an unspecified real number)

H ng” là m t kí tự ho c iểu tượng ví dụ, -2, 0, √ , π) đại diện cho m t số thực

cụ thể (A constant is a letter or symbol (for example,2, 0, √ , π) that repre-sents a specific real number).

Biểu thức đại số” là m t sự kết hợp của các iến và h ng số liên quan đến các

ph p toán c ng, tr , nhân, chia, l y th a và căn thức (An algebraic expression is a

combination of variables and constants involving addition, subtraction, multiplication, division, powers, and roots) [31, tr 5]

Ở đây, ngoài việc kh ng định thu c tính cơ ản của đại số là sử dụng các chữ cái và các ký hiệu khác để đại diện cho các số thực”, các vấn đề về iến, iểu thức đại

số, theo chúng tôi, được Pre al ulus trình ày không khác gì hai tài liệu trước Riêng

việc giáo trình này cho r ng đại số liên quan đến việc sử dụng các chữ cái và các ký hiệu khác để đại diện cho các số thực mà không đề cập đến việc d ng chữ cái và các

ký hiệu khác đại diện cho các số phức có l là do trong chương trình của giáo trình này, tại thời điểm xuất hiện n i dung trên chưa có khái niệm số phức

Tìm kiếm n i dung tương tự trong các giáo trình toán của Việt Nam hiện hành, chúng tôi nhận thấy:

Về iểu thức đại số, như đã nói ở trên, SGK o n tập 2 trình ày:

Trong toán học, vật lý, ta thường g p những iểu thức mà trong đó ngoài các

số, các kí hiệu ph p toán c ng, tr , nhân, chia, nâng lên l y th a, còn có các chữ đại

diện cho các số) Người ta gọi những iểu thức như vậy là iểu thứ đ i số

í : Các iểu thức 4x ; 2 5 a) ; 3 x y) ; x2

; xy ; 150

t ;

1 x-0,5 là những iểu thức đại số [5, tr 25]

Chúng tôi thấy, ở đây khái niệm iểu thức đại số được SGK o n tập 2 trình

ày cô đ ng hơn so với trong các tài liệu đã dẫn trước Về vai trò của đối tượng chữ”,

SGK o n tập 2 nói chữ đại diện cho các số” Như vậy, có thể nói SGK o n tập

2 đã trình ày m t cách khái quát 4 vai trò quan trọng trong 6 vai trò của chữ mà tác

giả Nguyễn i Quốc đã nói đến đó là Chữ được gán giá trị”, Chữ ch ẩn số đ c th ”, Chữ ch số được khái quát hóa” và Chữ ch iến số”

Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy:

Tương ứng với các khái niệm hạng tử, hạng tử đồng dạng trong giáo trình

lge ra 2 Pra ti e Work ook with Examples, SGK o n tập 2 có các khái niệm

Trong các SGK toán hiện hành của Việt Nam chúng tôi không tìm thấy khái

niệm hai iểu thức đại số tương đương” Thay vào đó, chúng tôi tìm thấy khái niệm

phương trình” Theo chúng tôi, khái niệm phương trình được trình ày trong SGK đại

số lớp 10 là tổng quát, đầy đủ nhất

Khái niệm phương trình trong SGK i số 10 (cơ ản):

Phương trình m t ẩn x là mệnh đề chứa iến có dạng f(x)=g(x) (1) trong đó f x)

và g x) là những iểu thức của x

Nếu có số thực xo sao cho f(xo)=g(xo) là mệnh đề đúng thì xo được gọi là m t

nghiệm của phương trình 1) [12, tr 53]

Ngoài các phương trình m t ẩn, ta còn g p những phương trình có nhiều ẩn số,

ch ng hạn 3x+2y=x2

-2xy+8 (2), 4x2-xy+2z=3z2+2xz+y2 (3)

Phương trình 2) là phương trình hai ẩn x và y), còn 3) là phương trình 3 ẩn x, y

và z)

Khi x=2, y=3 thì hai vế của phương trình 2) ng nhau, ta nói c p số x;y)= 2;3)

là m t nghiệm của phương trình 2)

Tương tự a số x;y;z)= -1;1;2) là m t nghiệm của phương trình 3) [12,tr.54]

Tương tự như SGK i số 10, SGK i số 10 n ng ao c ng trình ày khái

niệm phương trình gồm hai n i dung là phương trình m t ẩn” và phương trình nhiều

ẩn” đồng thời ổ sung khái niệm tập xác định của phương trình”:

Cho hai hàm số y=f x) và y=g x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg

Đ t D=DfDg

Mệnh đề chứa iến f x)=g x)” được gọi là phương trình m t ẩn; x gọi là ẩn số

hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình

Số xoD được gọi là m t nghiệm của phương trình f x)=g x) nếu f(xo)=g(xo)” là mệnh đề đúng [22 , tr 66].

Trong thực tế ta còn g p những phương trình có nhiều hơn m t ẩn Đó là các phương trình dạng F=G, trong đó F và G là những iểu thức của nhiều iến Ch ng hạn, 2x2+4xy-y2=-x 2y 3 là m t phương trình hai ẩn x và y); x y z=3xyz là m t phương trình a ẩn x, y và z) [22 , tr 70]

Quay lại với luận án tiến sỹ của tác giả Nguyễn i Quốc ở phần Các dạng khác của hoạt đ ng đại số”, chúng tôi chú ý đến khía cạnh nói lên tính công cụ của đại số:

Kieran 1996, 2001) phát triển m t mô hình của hoạt đ ng đại số trong đó phân

iệt a họat đ ng chủ chốt của đại số sơ cấp : Khái quát ( ản sinh), iến đổi và Toàn

thể/Cấp độ eta

o t động ản sinh:

Hoạt đ ng này ao gồm việc hình thành các iểu thức và phương trình là những đối tượng của đại số Tác giả đưa ra ba ví dụ đ c trưng sau của hoạt đ ng Sản sinh:

- Phương trình m t ẩn mô hình hóa m t ài toán tình huống

- Biểu thức khái quát hóa m t quan hệ giữa các phần tử hình học hay dãy số

- Biểu thức chứng minh các tính chất số học

Ho t động Biến đổi:

Hoạt đ ng này tập trung chủ yếu việc thay đổi dạng của m t iểu thức hay m t phương trình và luôn ảo đảm sự tương đương Tác giả nêu lên m t số nghiên cứu về dạng hoạt đ ng này ch ng hạn Cerulli Mariotti, 2001 : Lagrange 2000)

Ho t động o n thể/ ấp độ eta:

Trong hoạt đ ng này, đại số được sử dụng như m t công cụ Hoạt đ ng này ao gồm hoạt đ ng giải ài toán, mô hình hóa cấu trúc, nghiên cứu sự thay đổi, chứng minh, tiên đoán mà không cần đến đại số Thực tế, theo quan điểm chương trình, các hoạt

đ ng Toàn thể cấp đ Meta không thể tách rời với các hoạt đ ng khác, đ c iệt là hoạt

đ ng Sản sinh, nếu không thì s làm mất đi mục tiêu của đại số [19, tr 14]

Như vậy, đại số được sử dụng như m t công cụ trong Hoạt đ ng Toàn thể cấp đ Meta không tách rời với các hoạt đ ng Khái quát Sản sinh) và Biến đổi Do đó, trong các phần tiếp theo của luận văn này, để nghiên cứu vai trò công cụ của đại số trong

HHKG11, tất nhiên chúng tôi s tập trung nghiên cứu sự hiện diện của các hoạt đ ng này

Về sử dụng đại số như m t công cụ, đ c iệt là trong vấn đề mô hình hóa, theo nhóm tác giả Pilar Bolea, Marianna Bosch, Josep Gascón (2004),

Bên cạnh quan điểm về đại số như m t số học tổng quát, chúng ta c ng có thể xem hoạt đ ng đại số cơ ản như m t công cụ mô hình hóa toán học theo nghĩa của Chevallard 1985, 1989, 1990) Trong trường hợp này, đại số không được coi là m t n i dung của riêng mình, nhưng như m t công cụ cho việc mô hình hóa các hệ thống toán

học mà chúng ta gọi (Bolea et al 1998) là quá trình đại số của các tổ chức toán học (Beside the point of view of algebra as a generalised arithmetic, we can also see

algebraic activity as essentially a mathematical modelling tool (in the sense of Chevallard 1985, 1989, 1990) In this case, algebra is not considered as a content of its own, but as a tool for modelling mathematical systems, what we called (Bolea et al 1998) the algebraisation process of mathematical organisations.) [30, tr 127]

Còn theo nhóm tác giả Franklin D Demana, Bert K Waits, Gregory D Foley,

Daniel Kennedy 2011), trong giáo trình Pre al ulus,

Trong lịch sử, đại số đã được sử dụng để tái hiện các vấn đề với các biểu tượng

mô hình đại số) và giải quyết chúng b ng cách giảm các giải pháp nhờ vào thao tác

đại số đối với các iểu tượng (Historically, algebra was used to represent problems

with symbols (algebraic models) and solve them by reducing the solution to algebraic

Thị Hoài Châu 2008) khi nói về hình học vectơ : với lý thuyết ve t thì khác, người

ta không cần thoát ly khỏi phạm vi hình học mà vẫn tận dụng được các công cụ, kỹ thuật của đại số” [2, tr 38] Do vậy, trong phạm vi luận văn này, chúng tôi c ng xem vectơ thu c phạm vi hình học và do đó những công cụ toán học có hàm chứa vectơ

c ng không được xem là công cụ đại số

1.1.2) Va tr c c c a số ố v h h h c

Trong n i dung này, chúng tôi thực hiện việc nghiên cứu vai trò công cụ của đại

số đối với hình học gắn với vấn đề về mối liên hệ giữa đại số và hình học Vì theo chúng tôi, nếu nghiên cứu vai trò công cụ của đại số đối với hình học mà không quan tâm đến mối liên hệ phổ iến trên, về m t triết học và phương pháp luận, đó là m t nghiên cứu phiến diện, không nhìn thấy hết các khía cạnh của vấn đề

Các tài liệu mà chúng tôi chọn nghiên cứu cho n i dung này ao gồm:

1/ Lê Thị Hoài Châu 2008), Phư ng ph p y-h h nh h ở trư ng P ,

Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh ([2]);

2/ Nguyễn Minh Phong 2012), ối li n hệ giữa nh h tổng hợp v nh h

giải tí h trong y h nh h lớp 12 ở iệt am, luận văn thạc sĩ trường Đại học

sư phạm Tp HCM ([17]);

3/ Nguyễn V Hoàng Trâm 2012), Nghi n ứu i a ti về ông ve t trong

h nh h không gian lớp 11, luận văn thạc sĩ trường Đại học sư phạm Tp HCM.([27]);

4/ Trịnh Duy Trọng 2009), Cuộ sống ng m n ủa tính to n đ i số trong y

h h m số ở rung h phổ thông, luận văn thạc sĩ trường Đại học sư phạm

Tp.HCM.([28]);

5/ Nguyễn Bá Kim 2006), Phư ng ph p y h môn to n, Nxb GD ([15]); 6/ Lê Thị Thanh Tuyền 2012), Quan hệ giữa h nh h v giải tí h trong y h

số phứ ở lớp 12, luận văn thạc sĩ trường Đại học sư phạm Tp HCM ([29])

1.1.2.1) Nhữ t quả h ê cứu tr thức uậ

Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu (2008), Trong lịch sử, quan hệ giữa đại số, giải tích và hình học tiến triển theo m t tiến trình mà hình học giải tích giữ vai trò cực kỳ quan trọng: sự ra đời của nó làm đảo ngược tình thế” [2, tr.29]

Chúng ta đều iết, HHGT là môn hình học mà trong đó người ta giải các ài toán hình học ng công cụ đại số Điều này hoàn toàn trái ngược với những gì xảy ra trong hoạt đ ng nghiên cứu toán học trước khi HHGT ra đời, thời gian đó, người ta giải các

ài toán đại số ng hình học” [2, tr.29].

Ví dụ, để chứng minh đ ng thức a )2

= a2+2ab+b2 người ta v 3 hình vuông có cạnh lần lượt là a, , a+b và 2 hình chữ nhật có chiều dài, chiều r ng lần lượt là a, b như Hình 1 1”

Hình 1 1 D ng hình học chứng minh iểu thức đại số Khi đó, diện tích hình vuông lớn là a )2 và, tính theo diện tích các hình vuông nhỏ, là a2

+2ab+b2, t đó suy ra (a+b)2

= a2+2ab+b2. Tuy nhiên, cách làm trên ch thực hiện được khi a, là các số dương

M t ví dụ khác đó là giải các phương trình dạng ax = ng hình học:

D ng phư ng ph p t lệ, người Hy-Lạp dựng được m t đoạn th ng x thỏa mãn hệ

thức a: = c:x , trong đó a, , c là các đoạn th ng cho trước Hình 1 2)

Hình 1 2 Gia phương trình ng hình học Nếu lấy c là đoạn th ng đơn vị thì ta được x là nghiệm của ax = [2, tr 31] Tuy nhiên, như nhận định của tác giả Lê Thị Hoài Châu mà chúng tôi đã trích dẫn ở trên,

Sự phát triển của hình học đòi hỏi phải x t đến các ài toán có liên quan đến các đường cong, m t cong phức tạp Chính ở đây mà phương pháp tổng hợp c l những hạn chế của mình Nó khiến các nhà hình học mong muốn tìm kiếm m t phương pháp tổng quát không lệ thu c vào hình v [ 3, tr 34]

Hoàn cảnh trên đã thúc đẩy sự ra đời của HHGT

Nghiên cứu về sự hình thành HHGT trong lịch sử giai đoạn t thế k 17 đến thế

k 18 thể hiện qua các công trình nghiên cứu, phát minh của Rene Descartes 1650), Pierre de Fermat 1601-1665), tác giả Nguyễn Minh Phong 2012) có nhận x t:

1596 Việc chuyển đổi các khái niệm hình học và quan hệ hình học trong HHTH thành các phương trình đại số, các quan hệ đại số nh m mục tiêu giải quyết ài toán hình học

m t cách gọn gàng, tổng quát hơn, giúp giải quyết m t số ài toán khó của hình học

M c d mục tiêu của giai đoạn này là d ng phương pháp HHGT để giải toán HHTH, tuy nhiên vì HHGT giai đoạn này chưa có các khái niệm riêng của nó nên kiến thức HHTH thường xuyên được vận dụng để giải quyết ài toán HHGT

- M c d Descartes đã ý thức chuyển các ài toán hình học sang các phương trình đại số và Fermat đã chứng minh sự tương ứng 1-1” giữa đường th ng và phương trình của nó và lập được phương trình nhiều đường cong, tuy nhiên việc d ng chính phương trình để định nghĩa các đường cong vẫn chưa thấy được đ t ra Các khái niệm hình học của HHGT lúc này đa số đồng nhất với các khái niệm tương ứng của HHTH

- Các quan hệ hình học trong HHGT giai đoạn này đã có bước chuyển dài sang phạm vi đại số: Descartes đã đ t tương ứng các ph p dựng hình học với các ph p toán đại số và giải m t ài toán hình học hoàn toàn dựa trên ph p toán trên các đối tượng đại

số này Nhờ sự tiện lợi và tính tổng quát của lời giải m t ài toán hình học ng công cụ

a

c b

x

Hì h 1.2

đại số mà Descartes đã vui m ng tuyên ố: ông ấy đã giải được mọi ài toán hình học!

Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2008) nhận định:

X t về phương diện khoa học luận thì xem Hình học giải tích là sự sử dụng đại số vào nghiên cứu hình học, hay d ng hình học để giải thích đại số đều được cả Tuy nhiên, Descartes và Fermat thiên về cách nhìn thứ nhất, vì, theo họ, phương pháp đại số hiệu quả hơn, tổng quát hơn phương pháp hình học, và mang lại khả năng giải mọi ài toán hình học [2, tr 35]

Như m t tiếp nối nhận định của tác giả Lê Thị Hoài Châu, tác giả Nguyễn Minh Phong (2012) đưa ra nhận x t ổ sung:

Ngoài ra, chúng ta còn nhận thấy r ng: với việc sử dụng các phương trình đại số, các quan hệ đại số thì việc giải quyết m t ài toán hình học trở nên dễ dàng và thuận lợi hơn Tuy vậy nó c ng c l m t nhược điểm là: lời giải m t ài toán hình học ng phương pháp đại số hầu như tách rời khỏi ài toán hình học đó, ch còn lại m t ài giải thuần túy đại số T đây mối liên hệ giữa HHTH và HHGT mờ nhạt tới mức khó nhận thấy mối liên hệ này [17, tr 17]

kiến trên c ng được tác giả Lê Thị Hoài Châu th a nhận khi nhận định về những thay đổi của toán học kể t khi HHGT ra đời: nếu như trước kia người ta phải nhờ đến hình học để tìm nghĩa cho các ài toán đại số thì giờ đây đại số được đánh giá

như m t ngành toán học đ c lập thậm chí còn được ưu tiên hơn so với hình học” [2,

tr 35], phương pháp giải tích lấn át phương pháp tổng hợp trong nghiên cứu hình học” [2, tr 39]

Những gì diễn ra làm cho chúng ta nghĩ đến m t dấu chấm hết cho HHTH Thế nhưng, không phải vậy, Hình học vectơ HHVT) đã làm thay đổi cách nhìn đó

Nói về sự khác nhau về vai trò của đại số trong HHGT và trong HHVT, tác giả

Lê Thị Hoài Châu có m t nhận x t mà t đó chúng tôi nhận ra m t vấn đề khá thú vị:

Trong hình học giải tích, tác đ ng của đại số đến hình học phải được thực hiện

ng việc chuyển ài toán hình học thành ài toán đại số thông qua trung gian là hệ trục

tọa đ Với lý thuyết ve t thì khác, người ta không cần thoát ly khỏi phạm vi hình học

mà vẫn tận dụng được các công cụ, kỹ thuật của đại số Nói cách khác, hình học vectơ cho ph p du nhập” các kỹ thuật của đại số vào hình học [2, tr.38]

Vấn đề thú vị mà chúng tôi muốn đề cập đến đó là HHVT với vai trò cho ph p

du nhập các kỹ thuật của đại số vào hình học Hay, nói cách khác, HHVT đóng vai trò

là cầu nối giữa đại số và hình học

iệ nghi n ứu ve t góp ph n mở rộng nhãn quan to n h ho h sinh

Ch ng hạn như học sinh làm quen với các ph p toán trên những đối tượng không phải là

số, nhưng lại có tính chất tương tự Điều đó giúp học sinh nhận thấy tính thống nhất của toán học Họ có được m t mô hình về các cấu trúc đại số nhóm, không gian vectơ, )

s g p sau này Họ không ch iết m t phương pháp cho ph p đại số hóa hình học mà còn học được m t phương pháp hình học hóa đại số Ví dụ, để chứng minh (x1y1+x2y2+x3y3)2 x1+x2+x3)2.(y1+y2+y3)2, ta có thể sử dụng ất đ ng thức vectơ

|a⃗ ⃗⃗| |a⃗| | ⃗⃗| với a⃗=( x1; x2; x3), ⃗⃗=( y1; y2; y3) [2, tr 117-118]

Đ c iệt, vai trò cầu nối giữa hình học với đại số của vectơ thể hiện trong lĩnh vực số phức đã giúp giải quyết được khó khăn nảy sinh t tại môn đại số Điều này được chúng tôi tìm thấy trong luận văn thạc sĩ Quan hệ giữa hình học và Giải tích trong dạy học số phức ở lớp 12” của tác giả Lê Thị Thanh Tuyền 2012) Theo tác giả,

Số phức ra đời trong phạm vi đại số nh m tìm nghiệm của phương trình ậc a Trong m t khoảng thời gian dài số phức ch đóng vai trò là công cụ và được xem là số

ảo, số tưởng tượng Trong quá trình đi tìm sự hợp thức cho đối tượng này, các nhà toán học đã xem x t chúng trong những phạm vi khác nhau, có khi là hình học có khi là đại

số Chính sự thay đổi đó đã đem lại kết quả to lớn, không ch cung cấp nghĩa” cho khái niệm số phức mà còn góp phần làm nảy sinh các đối tượng toán học mới như vectơ, quaternions3

Về phương diện đại số, tuy các ph p toán trên số phức được quy về tính toán trên những số thực nhưng ph p nhân hai số phức lại ẩn chứa m t vẻ huyền í khó hiểu và do

đó chúng cần đến sự giải thích trong phạm vi hình học [29, tr 13]

Như vậy, qua ý kiến của tác giả Lê Thị Thanh Tuyền, hình học m t lần nữa lại được cần đến trong vai trò minh họa cho m t khái niệm đại số đó là số phức Hay, như cách nói của tác giả, hình học đóng vai trò cung cấp nghĩa” cho khái niệm số phức

T các kết quả nghiên cứu tri thức luận nói trên, chúng tôi có thể nói, công cụ đại

số được đưa vào hình học thông qua hai con đường” chủ yếu đó là HHGT và HHVT Ngoài hai con đường này, việc vận dụng công cụ đại số vào hình học g p rất nhiều khó khăn

1.1.2.2 Nhữ t quả h ê cứu th ch

tưởng về việc sử dụng hình học như m t công cụ để nghiên cứu đại số c ng được thể hiện trong Chương trình Toán phổ thông Chúng tôi tìm thấy ý tưởng đó ở ngay những trang đầu tiên của giáo trình đầu tiên trong Chương trình Toán THCS, nơi

mà ắt đầu có sự xuất hiện của đại số Ví dụ, ở trang 5, ài §1 Tập hợp Phần tử của

Hình 1 4 Hình chụp ở trang 4, SGK o n tập 1

Chúng ta đều iết, m t công cụ hình học khá quan trọng d ng để nghiên cứu đại

số ở trường phổ thông đó là đồ thị hàm số Ở trường phổ thông, theo tác giả Trịnh Duy Trọng (2009), hàm số đã trở thành m t n i dung xuyên suốt chương trình” [28, tr 17] Hay như tác giả Nguyễn Bá Kim (2006), Hàm số là m t trường hợp đ c iệt của khái niệm hàm– m t trong những khái niệm cơ ản của toán học; nó giữ vị trí trung tâm trong chương trình môn toán ở trường phổ thông Toàn việc dạy học toán ở trường phổ thông đều xoay quanh khái niệm hàm số” [28, tr.19]

Bắt đầu t lớp 7, SGK đã thực hiện việc chuyển đổi các quan hệ hình học sang quan hệ đại số, trong đó xuất hiện hai khái niệm quan trọng là khái niệm đồ thị hàm số

và điểm thu c đồ thị hàm số Mục đích của việc chuyển đổi này, tất nhiên là để d ng

đồ thị hàm số nghiên cứu m t số vấn đề trong đại số Ví dụ, để kh ng định hệ phương

trình {3x-2y=-6

3x-2y=3 vô nghiệm, trang 10, SGK To n tập 2 hiện hành SGK9T2) trình

ày sự kh ng định này ng cách dựa vào quan hệ song song giữa hai đường th ng Hình 1 5) Theo Hình 1 5”, chúng tôi thấy, ở đây vị trí tương đối của hai đường

th ng là m t quan hệ hình học đã được chuyển sang quan hệ đại số: x t sự ng nhau, khác nhau của các hệ số của hàm số ậc nhất Sau đó, t quan hệ hình học hai đường

th ng song song), SGK9T2 đã quay lại kết luận về số nghiệm của hệ phương trình đã cho hệ đã cho vô nghiệm) Ở đây ta còn thấy có sự chuyển đổi qua lại về vai trò công

cụ giữa đại số và hình học Đầu tiên, SGK9T2 hình học hóa đại số ng cách iểu diễn hai đường th ng d1), (d2) lần lượt là đồ thị của hai hàm số lấy ra t hệ phương trình đã cho Tiếp đó, đại số được d ng làm công cụ để nhận iết hai đường th ng song song

ng cách dựa vào các hệ số của các hàm số)

Hình 1 5 Hình chụp ở trang 10, SGK T o n tập 2

Sau c ng, khái niệm hai đường th ng song song của hình học đã được d ng để

kh ng định hệ đã cho vô nghiệm vì d1), (d2) không có điểm chung)

Tuy nhiên, do những tiện lợi của việc vận dụng công cụ đại số trong nghiên cứu hình học được rút ra t lịch sử Toán học, xu hướng chính của chương trình Toán phổ thông là xu hướng đại số hóa hình học thông qua HHGT

Về quá trình đại số hóa hình học trong HHGT ở Chương trình Toán phổ thông,

tác giả Nguyễn Minh Phong 2012) cho iết:

- Trong giai đo n hu n ị t lớp 7 đến lớp 9), mối quan hệ giữa đồ thị và iểu

thức giải tích của hàm số tương ứng ch được trình ày tường minh m t chiều: m t hàm

số ứng với m t đồ thị của nó Do đó chưa có những tên gọi như phương trình đường

th ng, phương trình para ol Việc sử dụng các iểu thức giải tích để nghiên cứu các

tính chất của đường cong c ng chưa được đ t ra nhưng việ sử ng h nh vẽ để hứng

minh một số quan hệ đ i số ũng đã xuất hiện cho thấy khả năng vận dụng các tính chất

của HHTH vào việc giải toán HHGT Chiều ngược lại, tức là sự tương ứng của m t đồ thị với m t hàm số, m c d không trình ày tường minh, nhưng học sinh có thể nắm được sự liên hệ này thông qua các ài tập M t số quan hệ hình học như quan hệ thu c, quan hệ song song, cắt nhau, tr ng nhau của hai đường th ng đã chuyển sang phạm vi đại số nh m tạo cơ sở để đưa ra những minh họa hình học cho các đối tượng đại số

- Trong giai đo n tư ng minh, đ c iệt là trong chương trình hình học nâng cao

12, đã có sự chứng minh r ràng về sự tương ứng 1-1 giữa m t đường cong và phương trình của nó Các quan hệ hình học c ng được chuyển h n sang phạm vi đại số dựa trên việc minh họa hình học và việc sử dụng ngầm ẩn các tính chất của các đối tượng, các

quan hệ hình học của HHTH Quan điểm của thể chế trong việ tiếp ận kh i niệm,

quan hệ ủa h nh h giải tí h tư ng đồng với giai đo n a4

M t tài liệu nghiên cứu khá chi tiết vấn đề này là luận văn thạc sĩ Nghiên cứu

didactic về công cụ vectơ trong hình học không gian lớp 11” của tác giả Nguyễn V

Hoàng Trâm (2012) Trong tài liệu này, tác giả đã thực hiện các hoạt đ ng nghiên cứu như:

- Phân tích SGV để xác định vai trò công cụ của vectơ trong dự định của tác giả sách giáo khoa;

Những nghiên cứu của tác giả Nguyễn V Hoàng Trâm trong luận văn trên đã

4 Giai đoạn Những phát minh sau Descartes và Fermat”

5 Logos: t Hy Lạp có nghĩa là lý l , lập luận [27, tr 4]

6

Praxis: t Hy Lạp có nghĩa là thực hành [27, tr 4]

giúp chúng tôi có m t góc nhìn khá toàn diện về những iểu hiện của vectơ trong chươ nh toán THPT Cụ thể:

- Về Chương trình:

Trong chương trình hiện hành, vectơ được giảng dạy ở lớp 10 vectơ trong m t

ph ng) và lớp 11 vectơ trong không gian) [27, tr 3]

Vectơ 7

được đưa vào với tư cách là đối tượng lẫn công cụ Là m t đối tượng, khái niệm vectơ được định nghĩa và hình thành những tính chất mà chương trình quy định

Là m t công cụ, vectơ được sử dụng để chứng minh m t số tính chất khác ho c để giải

ài tập Khi tham gia vào việc xây dựng m t định nghĩa ho c chứng minh m t tính chất

toán học, vectơ có m t trong khối logos [, ] và trở thành yếu tố công nghệ ho c yếu

tố công nghệ-lý thuyết) Khi được huy đ ng để giải ài tập, vectơ có m t trong khối

praxis [T, ] và trở thành kỹ thuật ho c m t phần của kỹ thuật) [27, tr 7]

Vai trò công cụ của vectơ được các tác giả sách Hình h c 11 nâng cao xác định rõ

ràng: vectơ được đưa vào để phục vụ cho việc xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian Sách giáo viên còn giải thích ưu thế của công cụ vectơ so với các công cụ khác: Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt m t số n i dung hình học được gọn gàng hơn M t khác, các kiến thức về vectơ trong không gian còn d ng để xây dựng khái niệm tọa đ trong chương trình Hình học lớp 12, m t công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán Hình học [27, tr.8]

- Về SGK, cụ thể là SGK nh h 11 n ng ao:

Trong SGK có những ài tập cho thấy ngoài quan hệ vuông góc trong không gian, vectơ còn có thể can thiệp hiệu quả vào các quan hệ khác” [27, tr 3] Ví dụ, BT

5, trang 91, SGK nh h 11 n ng ao:

Trong không gian cho tam giác ABC

a) Chứng minh r ng nếu điểm M thu c m t ph ng (ABC) thì có a số x, y, z mà

x+y+z=1 sao cho OM = x.OA + y.OB + z.OC với mọi điểm O

) Ngược lại, nếu có m t điểm O trong không gian sao cho:

OM =x OA +y OB +z OC , trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thu c mp ABC)

[21, tr 91].

7 Thuật ngữ vectơ ở đây được hiểu là vectơ hình học chứ không phải vectơ tổng quát trong không gian vectơ trên trường K [27, tr 7]

Dưới đây là m t số ví dụ về những iểu hiện đáng chú ý của vectơ trong

HHKG11 được dẫn chứng trong luận văn trên:

Vectơ tham gia vào việc chứng minh định lý về điều kiện đủ để đường th ng

vuông góc với m t ph ng Đây là m t định lý cơ ản của quan hệ vuông góc nói chung

và là định lý thường được sử dụng nhất khi chứng minh đường th ng vuông góc với

m t ph ng:

ịnh lý về điều kiện đủ để đư ng thẳng vuông gó với mặt phẳng: Nếu đường

th ng d vuông góc với hai đường th ng cắt nhau a và c ng n m trong m t ph ng P)

thì đường th ng d vuông góc với m t ph ng P) Sách nh h 11 n ng ao, trang 97)

Chứng minh (theo sách nh h 11 n ng ao, trang 96)

Giả sử a, b, d lần lượt có các vectơ ch phương m, n, u Do đó

m, n không c ng phương Gọi c là đường th ng ất kỳ n m trong m t ph ng P) và có vectơ ch phương p Vì m, n, p đồng

ph ng và n, m không c ng phương nên ta có hai hệ số x, y sao cho p =x m + y. n Do a

và c ng vuông góc với d nên m.u = 0 và n.u = 0 Khi đó:

u p = u (x m + y n ) = x u.m + y u.n = 0

Vậy, đường th ng d vuông góc với đường th ng c ất kì n m trong m t ph ng P),

nghĩa là đường th ng d vuông góc với m t ph ng P) [27, tr 10]

Ở đây, kỹ thuật mà lời giải ài toán này d ng chủ yếu dựa vào các ph p toán

c ng, ph p toán nhân của vectơ và tính chất của chúng tương tự như các ph p toán

trong đại số Đồng thời, các yếu tố của HHTH như hình v , khái niệm đường th ng

n m trong m t ph ng, quan hệ vuông góc, vẫn được sử dụng trong lập luận của

chứng minh này

M t ví dụ khác, BT 6, sách nh h 11 n ng ao, trang 91:

Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thu c các tia SA, SB, SC

sao cho SA = a SA’, SB = SB’, SC = c SC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi Chứng

minh r ng m t ph ng A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và ch khi

a + b + c = 3 [21, tr 91].

Lời giải mong đợi của S h gi o vi n nh h 11 n ng ao, trang 90)

Vì A’, B’, C’ lần lượt thu c các tia SA, SB, SC sao cho SA = a SA’, SB= SB’,

SC = c SC’ nên SA + SB + SC = aSA' + bSB' + cSC' Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì SG=

ph ng khi lập luận Mp A’B’C’) đi qua G khi và ch khi ốn điểm G, A’, B’, C’ đồng

Mục đích đưa số phức vào chương trình hiện hành là nh m hoàn thiện hệ thống các tập hợp số cho học sinh phổ thông Với mục đích này thì những yêu cầu mà chương trình đ t ra đối với việc dạy học số phức khá nh nhàng

Bên cạnh đó, chương trình đ c iệt nhấn mạnh về iểu diễn hình học của số phức: Cần chú ý đến việc iểu diễn hình học số phức, đến ý nghĩa hình học của các khái niệm liên quan đến các ph p toán về số phức số phức đối, số phức liên hợp, môđun của số phức, nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác) Điều đó giúp học sinh hiểu r ràng hơn về tập hợp số phức và nắm chắc chắn các khái niệm liên quan Nó còn giúp học sinh thấy được mối liên quan giữa số phức với vectơ, hình học ph ng, lượng giác

Qua việc biểu diễn hình học số phức bởi m t điểm trên m t ph ng tọa đ , [V]9 đã hình thành ở học sinh hình ảnh trực quan về số phức, số phức đối và số phức liên hợp vốn được định nghĩa hình thức bởi những biểu thức đại số

nghĩa hình học của phép c ng và tr hai số phức được trình ày tường minh thông qua các phép toán về vectơ

Trong m t ph ng phức, ta đã coi điểm M có tọa đ (a, b) biểu diễn số phức z=a+ i Ta c ng coi m i vectơ u có tọa đ (a, b) biểu diễn số phức z = a i Khi đó ta nói điểm M biểu diễn số phức z c ng có nghĩa là vectơ OM biểu diễn số phức đó Dễ thấy r ng, nếu u u, ' theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’ thì

'

uu biểu diễn số phức z z’

'

uu biểu diễn số phức z – z’ ” [V], trang 184)

[V] đã cung cấp m t cách biểu diễn khác cho số phức là biểu diễn dưới dạng vectơ

Cơ sở của việc biểu diễn này, như đã trình ày, là sự tương ứng giữa các đối tượng

z   a ib  (a, b)  M(a, b)  OM(a, b)[29, tr 38]

Sau khi định nghĩa khái niệm argumen, [V] thực hiện việc chuyển dạng đại số z=a + bi (a, b R) sang dạng lượng giác zr(cos i sin ) với r là môđun,  là m t argumen của số phức z Kỹ thuật d ng để chuyển đổi giữa hai dạng đại số và lượng giác được trình ày tường minh Như đã nêu ở chương 1, ưu điểm của dạng lượng giác so với các dạng iểu diễn khác là sự thuận lợi trong việc thực hiện ph p nhân, chia, ph p nâng lên l y th a ậc cao hay ph p khai căn

Để nhân ho c chia) hai số phức dưới dạng lượng giác thì ta ch cần nhân ho c chia) các môđun và lấy tổng ho c hiệu) của hai argumen tương ứng của hai số phức đã cho Ph p tính l y th a ậc cao và ph p khai căn ậc n của số phức được thực hiện nhờ công thức Moivre [29 ,tr 39]

Tác giả kết luận:

Như vậy, khái niệm số phức trong [V] đã được tiếp cận ở cả hai phương diện:

- Trên phương diện đại số: các phép tính số học trên tập số phức được thực hiện tương tự như trong số thực với chú ý i2

- Trênphương diện hình học: người ta gắn số phức với các vectơ, t đó giải thích được phép c ng, tr hai số phức là phép c ng, tr hai vectơ; tích của số phức và số thực

là tích của vectơ với số thực Việc gắn vectơ vào số phức ch là ước trung gian để đưa vào dạng lượng giác, công thức Moivre và ph p khai căn [29,tr.39]

Qua những điều được trích dẫn ở trên, chúng tôi nhận thấy để minh họa số phức người ta c ng phải dựa vào HHGT và HHVT Có thể nói, HHGT và HHVT là các môi trường cho ph p thể hiện mối liên hệ giữa đại số và hình học M t câu hỏi đ t ra là, nếu không có HHVT, HHGT đồ thị hàm số c ng sử dụng công cụ của HHGT là hệ trục tọa đ ) thì đại số có thể hiện được vai trò công cụ trong nghiên cứu hình học hay không? Dựa vào lý do ra đời của đại số, tất nhiên, câu trả lời là có Rất nhiều ài tập,

ví dụ trong các SGK, SBT Toán phổ thông, đ c iệt là trong chương trình toán THCS chưa có hai môn hình học trên) đã minh họa cho câu trả lời đó

Ví dụ, trong sách BT To n tập 2 (SBT6T2) có ài tập như sau:

Bài giải trên nếu diễn giải đầy đủ là:

Ta có: AK+KB = AB, suy ra: KB=AB-AK= 3cm-2,5cm=0,5cm

Công cụ đại số trong ài giải này là gì? Đó là các ph p iến đổi đại số trên iểu thức đại số ngầm ẩn) AK KB = AB Cụ thể như sau:

Tr hai vế của iểu thức AK+KB = AB cho AK, ta có: KB=AB-AK (*);

Thế AB=3 (cm), AK=2,5 (cm) vào ) và thực hiện ph p tính, ta được:

KB=3(cm)-2,5(cm)=0,5(cm)

Việc thực hiện các thao tác trên c ng có thể xem là thực hiện giải phương trình

ậc nhất ax =c trong đó a=1, x=KB, AK=b=2,5 cm, c=AB=3 cm

tưởng về việc vận dụng kiến thức giải phương trình ậc nhất m t ẩn l r hơn

ở BT 1, trang 68, SGK To n tập 1 (SGK9T1) (Hình 1 6)

Hình 1 6 Hình chụp ở trang 68, SGK o n tập 1 Theo hướng dẫn giải ở trang 124, sách BT To n tập 1 do GS Tôn Thân chủ

biên (SBT9T1), chúng tôi trình ày ài giải này như sau:

Với 2 ài toán trên, nếu không vận dụng công cụ đại số thì iện pháp giải quyết

s là d ng thước trực tiếp đo đ dài các đoạn th ng Biện pháp này thường cho kết quả

k m chính xác Hơn nữa, nếu đây là ài toán thực tế trong xây dựng, ch ng hạn) với iện pháp d ng thước đo trực tiếp, người thực hiện s rất vất vã, tốn nhiều công sức và thời gian

M t ví dụ khác cho thấy nếu không có công cụ đại số thì c ng rất khó giải quyết

đó là BT 9, trang 104, SBT9T: Cho tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao

ứng với cạnh huyền là 2 Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác này” [23, tr 104]

Trang 126, SBT9T1 giải BT này như sau:

Ta có hệ thức : a =5 (1); a =22(2) Giả sử a< T 1) và 2) suy ra a=1; =4 Cạnh nhỏ