Luận Văn thạc sĩ NGHIÊN CỨU VỀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÝ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC Nguyễn Thị Thanh Hương(2015)

Trong Vật lý, hệ trục tọa độ được sử dụng rất nhiều như khảo sát các tính chất chuyển động của vật, thể hiện sự thay đổi giá trị của một đại lượng nào đó hay đặc trưng cho một đại lượng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thanh Hương

NGHIÊN CỨU VỀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÝ

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thanh Hương

NGHIÊN CỨU VỀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÝ

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

Ngoài ra tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau đại học, Khoa Toán - Tin Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

- Ban Giám hiệu cùng các Thầy Cô trong tổ toán Trường THPT Trần Khai Nguyên - TP.HCM cùng tập thể học sinh khối 10 và 11 đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các anh chị, các bạn cùng khóa đã chia sẻ, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như là quá trình làm luận văn

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên tôi hoàn thành khóa học

NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

DANH MỤC CÁC HÌNH

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG GIÁO TRÌNH TOÁN VÀ VẬT LÝ ĐẠI HỌC 1.1 Các hệ tọa độ trong giáo trình Toán ở bậc đại học 6

1.1.1 Hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy và hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz 6

1.1.2 Hệ toạ độ cầu 12

1.1.3 Hệ toạ độ trụ 13

1.1.4 Hệ toạ độ cực 15

1.2 Các hệ tọa độ trong giáo trình Vật lý ở bậc đại học 18

1.2.1 Hệ toạ độ Descartes vuông góc 19

1.2.2 Hệ toạ độ cầu 23

1.2.3 Hệ tọa độ cực 24

1.2.4 Hệ tọa độ tự nhiên 24

1.3 Kết luận 26

Chương 2 HỆ TỌA ĐỘ TRONG CÁC THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÝ Ở TRUNG HỌC 29

2.1 Hệ toạ độ trong môn Toán bậc trung học 29

2.1.1 Hệ tọa độ trong SGK Toán 7 30

2.1.2 Hệ tọa độ trong SGK Toán 9 35

2.1.3 Hệ tọa độ trong môn Toán lớp 10 36

2.1.4 Hệ tọa độ trong môn Toán lớp 11 42

2.1.5 Hệ tọa độ trong môn Toán lớp 12 43

2.1.6 Kết luận phân tích SGK Toán bậc trung học 50

2.2 Hệ toạ độ trong SGK Vật lý bậc trung học 51

2.2.1 Hệ toạ độ trong SGK Vật lý 9 51

2.2.2 Hệ toạ độ trong SGK Vật lý 10 51

2.2.3 Hệ tọa độ trong SGK Vật lý 12 58

2.2.4 Kết luận phân tích SGK Vật lý bậc trung học 60

2.3 Kết luận 60

Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 65

3.1 Thực nghiệm 1 65

3.1.1 Giới thiệu thực nghiệm 65

3.1.2 Phân tích tiên nghiệm các tình huống thực nghiệm 66

3.1.3 Phân tích hậu nghiệm 75

3.1.4 Kết luận chung cho thực nghiệm 1 82

3.2 Thực nghiệm 2 82

3.2.1 Mục đích và đối tượng thực nghiệm 82

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 83

3.2.3 Phân tích tiên nghiệm 84

3.2.4 Phân tích hậu nghiệm 101

3.2.5 Kết luận chung cho thực nghiệm 2 112

KẾT LUẬN 113

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC 1

PHỤ LỤC 2 Biên bản

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Đặc trưng, vai trò của các hệ tọa độ ở môn Toán và Vật lý bậc đại học 26

Bảng 2.1 Thống kê các KNV trong SGK và SBT Toán 7 34

Bảng 2.2 Thống kê các KNV trong SGK và SBT Toán 9 36

Bảng 2.3 Thống kê các KNV trong SGK và SBT Đại số và Hình học 10 42

Bảng 2.4 Thống kê các KNV trong SGK - SBT Giải tích và Hình học 12 49

Bảng 2.5 Thống kê các KNV trong phân môn Vật lý bậc trung học 60

Bảng 2.6 Đặc trưng và vai trò của hệ tọa độ Descartes vuông góc ở phân môn Toán và Vật lý bậc trung học 61

Bảng 3.1 Thống kê kết quả các chiến lược ở bài toán 1 75

Bảng 3.2 Thống kê kết quả sử dụng chiến lược ở Bài toán 2 79

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 3.1 Bài làm của HS27 76

Hình 3.2 Bài làm của HS41 76

Hình 3.3 Bài làm của HS29 77

Hình 3.4 Bài làm của HS15 77

Hình 3.5 Bài làm của HS30 78

Hình 3.6 Bài làm của HS41 80

Hình 3.7 Bài làm của HS29 80

Hình 3.8 Bài làm của HS63 81

Hình 3.9 Bài làm của HS59 81

Hình 3.10 Bài làm của nhóm 3 (pha 1) 102

Hình 3.11 Bài làm của nhóm 5 (pha 3) 107

Hình 3.12 Bài làm của nhóm 1 (pha 3) 109

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Toán học tác động trong tất cả các môn khoa học và nó có mối liên hệ chặt chẽ với Vật lý Thật vậy, làm thế nào có thể nghiên cứu cơ học cổ điển nếu không có công

cụ tính toán vi phân và tích phân hoặc nghiên cứu vật lý lượng tử mà không có không gian Hilbert?

Trong Vật lý, hệ trục tọa độ được sử dụng rất nhiều như khảo sát các tính chất chuyển động của vật, thể hiện sự thay đổi giá trị của một đại lượng nào đó hay đặc trưng cho một đại lượng bất kì…

Trong các giáo trình, sách giáo khoa Toán, hệ trục tọa độ xuất hiện trước hết với

tư cách là đối tượng nghiên cứu, sau đó với tư cách là một công cụ giải quyết nhiều bài toán thuộc nội dung toán học khác nhau như vẽ đồ thị của hàm số, biểu diễn giá trị lượng giác của một cung, biểu diễn hình học số phức,… Ngoài ra, trong một số bài toán hình học mà phương pháp chứng minh bằng hình học gặp khó khăn, nếu ta gắn một hệ trục tọa độ vào thì bài toán sẽ dễ dàng hơn Thế thì kiểu nhiệm vụ chọn hệ trục tọa độ có phải là kiểu nhiệm vụ tường minh đối với học sinh hay không?

Về tri thức hệ trục tọa độ, sách giáo khoa Toán 7 và Hình học 10 định nghĩa:

Trên mặt phẳng, ta vẽ hai trục số Ox, Oy vuông góc với nhau và cắt nhau tại gốc của mỗi trục số (như hình 16) Khi đó ta có hệ

trục tọa độ Oxy

Các trục Ox, Oy gọi là các trục tọa độ Ox

gọi là trục hoành, Oy gọi là trục tung Người

ta thường vẽ Ox nằm ngang, Oy thẳng đứng

Giao điểm O biểu diễn số 0 của cả hai trục

gọi là gốc tọa độ

[SGK Toán 7 (tập 1), tr.66]

a) Định nghĩa

Hệ trục tọa độ (O; 𝑖⃗, 𝑗⃗) gồm hai trục (𝑂; 𝑖⃗) và (𝑂; 𝑗⃗) vuông góc với nhau Điểm

gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ Trục ( 𝑂; 𝑖⃗) được gọi là trục hoành và

kí hiệu là Ox, trục ( 𝑂; 𝑗⃗) được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy Các vectơ 𝑖⃗ và 𝑗⃗

|𝑖⃗| = |𝑗⃗| = 1 Hệ trục tọa độ (O; 𝑖⃗, 𝑗⃗) còn được kí hiệu là Oxy (hình 1.22)

[SGK Hình học 10, tr.22]

Các hệ trục tọa độ được giới thiệu và sử dụng trong các sách giáo khoa Toán đều

có một đặc điểm là: trục Ox nằm ngang với chiều dương hướng từ trái qua phải; trục

Oy thẳng đứng với chiều dương hướng từ dưới lên trên Nhưng trong Vật lý thì điều này có thể ngược lại, chẳng hạn trong việc khảo sát chuyển động ném ngang của vật:

Ta hãy khảo sát chuyển động của một vật bị ném ngang từ một điểm O ở độ cao h

so với mặt đất Sau khi được truyền một vận tốc đầu v , vật chỉ còn chịu tác dụng o của trọng lực (bỏ qua sức cản của không khí)

1 Chọn hệ tọa độ

Ta chọn hệ tọa độ Đề-các có gốc tại O, trục hoành

Ox hướng theo vectơ vận tốc v , trục tung Oy hướng o

theo vectơ trọng lực P

[SGK Vật lý 10, tr.85]

Như vậy, khác với bộ môn Toán hệ trục tọa độ trong Vật lý là hệ trục tọa độ mà trục Ox có thể không vẽ nằm ngang - trục Ox được chọn song song với mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng  30o và trục Oy không vẽ thẳng đứng

Với sự khác biệt ở hai môn Toán - Lý, cụ thể khi hệ trục tọa độ thay đổi như vậy thì ảnh hưởng đến học sinh như thế nào? những khó khăn có thể xảy ra với học sinh? học sinh có nhận biết rằng hệ trục tọa độ đang sử dụng bên Vật lý cũng là hệ trục tọa

độ đã được học bên Toán?

Ở Việt Nam hiện nay lại có ít công trình nghiên cứu về hệ trục tọa độ Một công trình mà chúng tôi tham khảo được là: đề tài mang tên “Các hệ trục tọa độ đã học ở trung học phổ thông” của hai tác giả Lê Ngọc Thế Quỳnh, Nguyễn Kiến Trạch Đây là bài tiểu luận cho môn Phương pháp nghiên cứu khoa học tại trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận này đã giới thiệu tóm tắt về hệ trục tọa độ Descartes trong không gian hai chiều và ba chiều, hệ tọa độ cực, hệ tọa độ cầu, hệ tọa

độ trụ và ứng dụng của các hệ tọa độ này trong các ngành khoa học

Có nhiều hệ tọa độ khác nhau, nhưng chỉ có hệ trục tọa độ Descartes là được đưa vào giảng dạy Cùng là hệ trục tọa độ Descartes nhưng được sử dụng không hoàn toàn giống nhau trong Toán và trong Vật lý ở trung học, liệu có gây khó khăn gì cho học sinh hay không?

Với những ghi nhận ban đầu như trên, chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu của mình tập trung vào việc tìm kiếm những mối liên quan giữa Toán và Lý trong chủ đề

hệ trục tọa độ ở trường trung học và đó cũng là lí do để chúng tôi chọn cho luận văn thạc sĩ của mình đề tài:

“Nghiên cứu về hệ trục tọa độ trong dạy học Toán và Vật lý ở trường trung học”

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu trong khuôn khổ của lí thuyết didactic toán, mà cụ thể là phân tích tri luận, thuyết nhân học (quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức toán học) Nhờ vào phân tích tri thức luận chúng tôi phân tích một số giáo trình Toán và Vật lý ở bậc đại học đối với khái niệm hệ trục tọa độ Nhờ các tổ chức toán học, chúng tôi có thể phân tích được sách

Toán và Vật lý của Việt Nam đã cho học sinh tiếp cận như thế nào về khái niệm hệ trục tọa độ Chúng tôi sử dụng công cụ của lí thuyết tình huống (Đồ án didactic) để tiến hành xây dựng một đồ án dạy học

3 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

- Mục tiêu của luận văn là xây dựng một tiểu đồ án sư phạm nhằm giúp học sinh thấy được sự cần thiết phải thay đổi phương và chiều của các trục tọa độ Ox, Oy trong từng tình huống thích hợp để có thể vận dụng vào lĩnh vực ngoài toán học, cụ thể là ở môn Vật lý

- Câu hỏi nghiên cứu

Đối với các câu hỏi nghiên cứu sau, chúng tôi sẽ xem xét trong hai thể chế dạy học Toán và Vật lý:

CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, những hệ toạ độ nào được xây dựng?

Chúng có những đặc trưng gì? Vai trò và chức năng của chúng?

CH2: Hệ toạ độ nào được chọn đưa vào giảng dạy ở bậc trung học? Mối quan hệ

thể chế với khái niệm hệ tọa độ đã được xây dựng và tiến triển ra sao? Những tương đồng và khác biệt nào có thể được ghi nhận? Có những tổ chức toán học nào gắn liền với khái niệm này? Có những ràng buộc nào của thể chế đối với khái niệm này?

CH3: Sự ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đến mối quan hệ cá nhân của học

sinh đối với tri thức hệ tọa độ?

4 Phương pháp nghiên cứu

Trước tiên, chúng tôi nghiên cứu tri thức luận thông qua phân tích một số giáo trình Toán và Vật lý ở bậc đại học Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu cách trình bày các vấn đề về khái niệm hệ tọa độ ở cấp độ tri thức bác học

Dựa vào phân tích trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu thể chế dạy học Toán và Vật lý ở Việt Nam liên quan đến khái niệm hệ tọa độ

Những kết quả đạt được ở trên cho phép đề ra các câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm chứng bằng các thực nghiệm

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 phần:

MỞ ĐẦU

Trong phần này chúng tôi trình bày lí do chọn đề tài, khung lý thuyết tham chiếu, trình bày lại câu hỏi nghiên cứu, mục đích, mục tiêu nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Chương 1: Hệ tọa độ trong giáo trình Toán và Vật lý đại học

Trong chương này, chúng tôi trình bày việc phân tích khái niệm hệ tọa độ ở cấp

độ tri thức bác học Cụ thể là đề cập một số hệ tọa độ được đưa vào giảng dạy ở bậc đại học, phân tích cách trình bày khái niệm hệ tọa độ trong một số giáo trình Toán và Vật lý ở bậc đại học Thực hiện điều này để trả lời cho câu hỏi CH1

Chương 2: Hệ tọa độ trong các thể chế dạy học Toán và Vật lý ở trung học

Chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế của thể chế dạy học Toán ở trường trung học cơ sở và trung học phổ thông ở Việt Nam với khái niệm hệ tọa độ Đồng

thời, chúng tôi kết hợp nghiên cứu môn Vật lý để tìm câu trả lời cho câu hỏi CH2 và

CH3

Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm

Chương này bao gồm hai thực nghiệm:

Thực nghiệm 1: tìm hiểu quan hệ cá nhân của HS với khái niệm hệ trục tọa độ

Oxy và kiểm chứng giả thuyết GT về sự tồn tại quy tắc hợp đồng R

Thực nghiệm 2: Trên cơ sở kiểm chứng được giả thuyết trên, chúng tôi xây

dựng một tiến trình dạy học nhằm giúp học sinh thấy được sự cần thiết phải thay đổi phương và chiều của trục tọa độ Ox, Oy trong từng tình huống thích hợp để có thể vận dụng vào lĩnh vực ngoài toán học, cụ thể là ở môn Vật lý

KẾT LUẬN

Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1, 2, 3 của luận văn

Chương 1

HỆ TỌA ĐỘ TRONG GIÁO TRÌNH TOÁN VÀ VẬT LÝ ĐẠI HỌC

Trong chương này chúng tôi làm rõ các đặc trưng của khái niệm hệ tọa độ ở cấp

độ tri thức bác học Cụ thể hơn, thông qua phân tích một số giáo trình Toán và Vật lý ở bậc đại học chúng tôi làm rõ tiến trình, cách thức đưa vào, định nghĩa và vai trò của nó, cũng như sự nối khớp (nếu có) của tri thức này trong hai lĩnh vực Toán và Vật lý

1.1 Các hệ tọa độ trong giáo trình Toán ở bậc đại học

Trong phần này, chúng tôi tham khảo tài liệu Giáo trình Toán học cao cấp của tác giả Nguyễn Đình Trí Chúng tôi chọn tài liệu này để phân tích là vì giáo trình trên dành cho sinh viên các trường đại học kĩ thuật và cũng là giáo trình toán học thuần túy Hơn nữa giáo trình bao gồm cả ba tập: Đại số và Hình học giải tích, Phép tính giải tích một biến số, Phép tính giải tích nhiều biến số Như vậy, sử dụng giáo trình này để phân tích có thể nói là khá đầy đủ cho các lĩnh vực thuộc chuyên ngành Toán học

1.1.1 Hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy và hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz

Theo Nguyễn Đình Trí (2006), trục số thực được định nghĩa:

Để biểu diễn hình học tập hợp các số thực R, ta xét trục Ox, với O là điểm gốc

Mỗi điểm M trên trục Ox được ứng với số thực x sao cho 𝑂𝑀̅̅̅̅̅ = 𝑥 Mỗi số thực x

được ứng với điểm M trên trục Ox sao cho 𝑂𝑀̅̅̅̅̅ = 𝑥 Đó là một song ánh giữa tập

hợp R và trục Ox Người ta gọi trục Ox là đường thẳng thực hay trục số thực

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.14-15]

Trục số thực được giới thiệu từ nhu cầu biểu diễn hình học tập hợp số thực Với cách định nghĩa trục số thực, phương và chiều của nó không được quy định sẵn nhưng

qua hình vẽ minh họa ngầm ẩn phương của trục số nằm ngang với chiều dương hướng

từ trái sang phải

a) Hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy

Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy được mô tả trong giáo trình Toán học cao

cấp của tác giả Nguyễn Đình Trí như sau:

Xây dựng một song ánh giữa tập tích Đềcác



R R và một mặt phẳng P bằng cách vẽ

một trục số nằm ngang hướng từ trái sang

phải, có gốc là O, gọi là trục số Ox trục số

Oy vuông góc với Ox, hướng từ dưới lên

trên; các đơn vị chọn trên Ox và Oy không

nhất thiết phải giống nhau, nhưng thường

người ta chọn các đơn vị đó giống nhau

(hình 2.1) Trục Ox được gọi là trục hoành, Oy là trục tung Mỗi điểm nằm trên trục hoành bên phải gốc O ứng với một số thực dương, mỗi điểm nằm trên trục hoành bên trái gốc O ứng với một số thực âm Trên trục tung Oy, mỗi điểm nằm trên gốc O ứng với một số thực dương, mỗi điểm nằm dưới gốc O ứng với một số thực âm; gốc O ứng với số không trên mỗi trục

Xét một cặp số thực có thứ tự ( , )a b  R R, quy ước phần tử đầu tiên trong cặp đó (a) là phần tử của trục hoành, và phần tử thứ hai (b) là phần tử của trục tung, như vậy có nghĩa là:

1 Tọa độ đầu tiên của cặp số thực có thứ tự (x,y) (tức là tọa độ x) là khoảng cách

có dấu từ một điểm đến trục tung, khoảng cách có dấu đó lấy dấu dương nếu điểm

ở bên phải trục tung và lấy dấu âm nếu điểm đó ở bên trái trục tung

2 Tọa độ thứ hai của cặp số thực có thứ tự (x;y) (tức là tọa độ y) là khoảng cách

có dấu từ một điểm đến trục hoành, khoảng cách đó lấy dấu dương nếu điểm ở trên trục hoành, dấu âm nếu điểm ở dưới trục hoành

Như vậy, một điểm M bất kì trong mặt phẳng được ứng với một cặp số thực có thứ

tự (x; y); ngược lại, mỗi cặp số có thứ tự ( , )x y  R R được ứng với một điểm M

của mặt phẳng với một cặp số thực có thứ tự (x; y), x được gọi là hoành độ của

điểm M và y là tung độ của điểm M Kí hiệu M(x; y) được đọc là điểm M có

hoành độ là x và tung độ là y

Mặt phẳng xác định bởi trục hoành Ox và trục tung Oy được gọi là mặt phẳng

tọa độ, hệ tọa độ xây dựng theo kiểu trên gọi là hệ tọa độ vuông góc Đềcác, chính

hệ tọa độ vuông góc Đềcác này đã xác định song ánh giữa cặp số có thứ tự

( , )x y  R R và một điểm của mặt phẳng tọa độ

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.45]

Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy được định nghĩa dựa trên lý thuyết tập hợp

Giáo trình đã mặc định trục hoành Ox được vẽ nằm ngang với chiều dương hướng từ trái sang phải, trục tung Oy được vẽ thẳng đứng với chiều dương hướng từ dưới lên

trên Độ dài đơn vị trên hai trục tọa độ không nhất thiết bằng nhau nhưng thường người ta chọn bằng nhau

Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy được sử dụng để biểu diễn số phức, dạng lượng giác của số phức cũng chính là biểu diễn một điểm hoặc một vectơ trong mặt

phẳng tọa độ Oxy

Công thức đổi trục trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy

a) Công thức tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục

O’x’y’ nếu O’x’//Oy (hình 25) Phép tịnh tiến trục

được hoàn toàn xác định khi cho tọa độ (a, b) của

O’ đối với hệ Oxy

Xét một điểm M trong mặt phẳng, liên hệ giữa

các tọa độ (x, y) của M trong hệ Oxy với các tọa

b) Công thức quay trục Khi ta quay hệ cũ Oxy một góc  xung quanh gốc O ta được một hệ mới Ox’y’

Phép quay trục được xác định hoàn toàn bởi góc  (hình 26)

Xét một điểm M trong mặt phẳng Nó có tọa

độ (x, y) đối với hệ cũ và tọa độ (x’, y’) đối với hệ mới Ta có OM OP P M Chiếu đẳng thức hình học này lên hai trục Ox và Oy ta được liên hệ giữa (x, y) và (x’, y’):

Hệ trục tọa độ Oxy có thể có những cách biểu diễn khác chẳng hạn như tịnh tiến

hệ tọa độ cũ hoặc quay hệ tọa độ cũ một góc 𝛼 xung quanh gốc tọa độ O Nhờ vào việc đổi trục từ hệ tọa độ cũ sang hệ tọa độ mới mà phương trình bậc hai tổng quát đối với

x, y trở nên đơn giản

 Kiểu nhiệm vụ T 5 : Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y f x( )

Kỹ thuật5:+ Tìm miền xác định của hàm số f

+ Xác định chiều biến thiên + Tìm cực trị (nếu có)

+ Tính lồi, lõm, điểm uốn (nếu có)

+ Tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên

+ Vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Công nghệ 5:Tọa độ của một điểm; Đồ thị của hàm số; mối liên hệ giữa đạo

hàm với chiều biến thiên; tính lồi lõm, tiệm cận.

Bảng dấu của đạo hàm

khi

+ Cực trị: Đạo hàm đổi dấu từ - sang + khi vượt qua do đó là

+ […] f(x) là hàm số lồi

+ là điểm hàm số không xác định, do đó đồ thị có một tiệm cận đứng có

khi […]+ Từ những kết quả trên có bảng biến thiên sau:

3 ( )

y  x x 

+ Đồ thị của hàm số:

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.171-174]

b) Hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz

Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz không được định nghĩa tường minh trong

các giáo trình mà nó được sử dụng như một trường hợp mở rộng của hệ tọa độ Descartes vuông góc trong mặt phẳng ra không gian 3 chiều

Phương trình tham số của một đường cong L trong 3

R được thiết lập nhờ vào tọa

độ của một điểm trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz còn được sử dụng để biểu diễn những miền cần tích tích phân bội ba,

miền cần tính diện tích hoặc thể tích, miền cần tính tích phân mặt, miền cần tính tích phân đường loại 2 theo một đường kín L trong không gian cùng với S là một mặt định hướng giới hạn bởi L

Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz dùng để biểu diễn hình học phương trình

của các mặt bậc hai (mặt elipxôit, mặt hypebôlôit một tầng, mặt hypebôlôit hai tầng, mặt parabôlôit eliptic, mặt parabôlôit hypebôlic, mặt trụ bậc hai, mặt nón bậc hai)

1.1.2 Hệ toạ độ cầu

Hệ tọa độ cầu được định nghĩa như sau:

Tọa độ cầu của một điểm M x y z( , , ) trong không

gian Oxyz là bộ ba số ( , , ) r   , trong đó rOM, 

là góc giữa trục Ox và OM, M là hình chiếu của

M lên mặt phẳng Oxy, là góc giữa trục Oz và

OM (hình 3.31) Với mọi điểm M x y z , ta có 0( , , )     r ,0  ,0  2

Giữa các tọa độ đề các và tọa độ cầu của điểm M, có mối liên hệ

sin cos , sin sin , cos

Nếu r0,0  ,0  2 , thì các công thức trên xác định một song ánh giữa các tọa độ đềcác và tọa độ cầu Riêng điểm góc tọa độ có r 0,  và  tùy ý, còn những điểm trên Oz có r xác định,   0 hoặc    , tùy ý

 Các kiểu nhiệm vụ gắn liền với hệ tọa độ cầu

 Kiểu nhiệm vụ T6: Tính tích phân bội ba của hàm số ( , , )f x y z được giới hạn bởi

miền V trong hệ tọa độ cầu

Kỹ thuật6:+ Chuyển biểu thức dưới dấu tích phân ( , , )f x y z sang tọa độ cầu

+ Xác định miền lấy tích phân V'

Công nghệ 6: Định nghĩa hệ tọa độ cầu; Công thức tính tích phân bội ba trong hệ

tọa độ cầu; các định lý về biến đổi tương đương và hệ quả các phương trình.

Tọa độ trụ của một điểm M x y z( , , ) trong không gian

Oxyz là bộ ba số ( , , ),r  z trong đó ( , )r  là tọa độ

cực của điểm M x y( , ) , hình chiếu của M lên mặt

phẳng Oxy (hình 3.28) Với mọi điểm của không gian,

ta có r0,o  2 ,    z

Giữa các tọa độ đề các ( , , )x y z và tọa độ trụ ( , , )r  z của điểm M có mối liên hệ:

cos , sin ,

xr  yr  zz Nếu r0,0  2 ,    z thì các công thức trên xác định một song ánh giữa các tọa độ đề các và tọa độ trụ Riêng các điểm trên trục Oz có z xác định r0 và  tùy ý

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.122-123]

Hệ tọa độ trụ được xây dựng dựa trên hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz , sự

xuất hiện của hệ tọa độ trụ làm cho phương trình của một số hình trong không gian đơn giản từ đó việc áp dụng vào tính tính phân bội ba được thực hiện dễ dàng hơn

 Các kiểu nhiệm vụ gắn liền với hệ tọa độ trụ

 Kiểu nhiệm vụ T7: Tính tích phân bội ba của hàm số f x y z( , , ) được giới hạn bởi

miền V trong hệ tọa độ trụ

Kỹ thuật 7: + Chuyển biểu thức dưới dấu tích phân ( , , )f x y z sang hệ tọa độ trụ

+ Xác định miền lấy tích phân V'

1.1.4 Hệ toạ độ cực

Hệ toạ độ cực được định nghĩa trong giáo trình Toán học cao cấp (Tập 2: Phép tính giải tích một biến số) của tác giả Nguyễn Đình Trí như sau:

Trong mặt phẳng chọn một điểm O cố định, gọi là cực và một vectơ đơn vị 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗, tia

mang vectơ 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ gọi là trục cực; hệ toạ độ xác định bởi cực và trục cực được gọi

là hệ toạ độ cực (hình 5.12a)

Vị trí của mỗi điểm M trong mặt phẳng được xác

định bởi vectơ 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , nghĩa là xác định bởi góc

𝜑 ≔ (𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) và 𝑟 = |𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|; 𝜑 được gọi là góc

cực và r được gọi là bán kính cực Góc 𝜑 là một

góc định hướng, lấy giá trị dương nếu chiều quay

𝑂𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗⃗đến trùng với 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ngược chiều kim đồng hồ và

lấy giá trị âm nếu ngược lại Nếu 0  2 và r0; cặp số có thứ tự ( , )r 

được gọi là các toạ độ cực của điểm M trong mặt phẳng Bằng cách xây dựng như thế, ta đã thiết lập một song ánh giữa tập tích Đềcác [0, 2 ] [0, ) và các điểm trong mặt phẳng toạ độ cực; mỗi điểm M trong mặt phẳng ứng với một cặp số thứ

tự ( , )r  ; riêng điểm O thì r0 còn 𝜑 có thể lấy tuỳ ý; và mỗi cặp số thứ tự

( , )r  ứng với một điểm M của mặt phẳng

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.183]

Hệ toạ độ cực được xây dựng dựa trên hệ tọa độ Descartes vuông góc, mối liên

hệ giữa toạ độ Descartes vuông góc và toạ độ cực của điểm M:

Ta lấy trục hoành trùng với trục cực và trục tung ứng với tia

2



  ; gọi ( , )x y và

( , )r  lần lượt là toạ độ của cùng một điểm M trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc

và hệ toạ độ cực (hình 5.12) Khi đó, theo các định lí về phép chiếu vuông góc ta

ứng (vì 0   2) ta sẽ lấy góc  sao cho sin cùng dấu với y vì yrsin

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.183-184]

Nhờ mối liên hệ này mà việc tính tích phân kép của một số hàm số hai biến trở nên đơn giản, qua đó có thể tính diện tích của hình phẳng, thể tích của vật thể dễ dàng Khi biết tọa độ của một điểm trong hệ tọa độ Descartes vuông góc có thể tính được tọa

độ của điểm ấy trong hệ tọa độ cực

 Các kiểu nhiệm vụ gắn liền với hệ tọa độ cực

 Kiểu nhiệm vụ T8: Tìm tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ cực khi biết tọa độ

của điểm M trong hệ tọa độ Descartes vuông góc

Kỹ thuật8: + Áp dụng định lý Py-ta-go tính r

+ Tính tansuy ra góc  sao cho sin cùng dấu với y + Kết luận toạ độ cực của điểm M

Công nghệ 8: Hệ toạ độ cực; Cung góc lượng giác

Ví dụ: Biểu thức qua hệ tọa độ cực của điểm M(  3,1) Ta có

6 3

Công nghệ 9: Công thức tính diện tích của hình quạt cong giới hạn bởi hai tia

 Kiểu nhiệm vụ T10: Tính tích phân kép của hàm số f(x,y) giới hạn bởi miền D

Kỹ thuật10: + Chuyển biểu thức dưới dấu tích phân f(x,y) sang hệ tọa độ cực

+ Xác định miền lấy tích phân D' (D' xác định bởi

Công nghệ 10: Hệ tọa độ cực, Tích phân kép trong hệ tọa độ cực; các định lý về

biến đổi tương đương và hệ quả các phương trình.



đơn vị nằm trong góc phần tư thứ nhất (hình 3.16)

Chuyển sang tọa độ cực, biểu thức dưới dấu tích phân

được viết là

2 1

rdrd r



 , miền D' được giới hạn bởi hai đường 𝑟 = 0, 𝑟 = 1 và hai tia

𝜑 = 0, 𝜑 =𝜋2 Do đó

1 1

2

2 2

hệ tọa độ Oxy → hệ tọa độ cực

Hệ tọa độ Descartes vuông góc hệ tọa độ cầu

hệ tọa độ Oxyz

hệ tọa độ trụ

- Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy được định nghĩa thông qua trục số thực, trục hoành Ox được vẽ nằm ngang với chiều dương hướng từ trái sang phải, trục tung

Oy được vẽ thẳng đứng với chiều dương hướng từ dưới lên trên và thường chọn

độ dài đơn vị trên hai trục tọa độ bằng nhau, có thể quay hệ trục Oxy một góc bất

kỳ nhờ phép quay Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy dùng để biểu diễn đồ thị của hàm sơ cấp, biểu diễn tọa độ của một điểm hoặc một vectơ trong mặt phẳng

tọa độ Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz được xem như là trường hợp mở

rộng trong mặt phẳng ra không gian 3 chiều của hệ tọa độ Descartes vuông góc

Oxy, nó được sử dụng như một công cụ trong việc biểu diễn miền cần tính tích

phân, biểu diễn hình học phương trình của các mặt bậc hai

1.2 Các hệ tọa độ trong giáo trình Vật lý ở bậc đại học

Trong phần này, các tài liệu được sử dụng để phân tích là: giáo trình Cơ học của tác giả Đào Văn Phúc, Phạm Viết Trinh, giáo trình Vật lý đại cương và bài tập Vật lý đại cương (tập 1, 2, 3) của tác giả Lương Duyên Bình, các giáo trình này dành cho các sinh viên trong các trường đại học khối kĩ thuật công nghiệp

1.2.1 Hệ toạ độ Descartes vuông góc

Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz được mô tả trong giáo trình Vật lý đại cương (tập 1) của tác giả Lương Duyên Bình như sau:

Hệ tọa độ Đềcác gồm có ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một hợp thành một tam diện thuận Oxyz; O gọi là gốc tọa độ Vị trí của một chất điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi ba tọa độ x, y, z của nó đối với hệ tọa độ Đềcác, ba tọa độ này cũng là ba tọa độ của bán kính vectơ OM r trên ba trục

[Lương Duyên Bình (2013), tr.19]

Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz là một bộ phận cấu thành nên hệ quy chiếu

và nó được dùng để xác định vị trí của chất điểm trong không gian

Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz đóng vai trò chủ yếu trong việc lập phương trình của một đối tượng vật lý đang nghiên cứu

Tùy vào từng bài toán cụ thể sẽ chọn một hệ quy chiếu thích hợp để việc nghiên cứu chuyển động của chất điểm đơn giản, vì vậy ứng với mỗi bài toán sẽ có một hệ tọa

độ Descartes vuông góc Oxyz thích hợp được chọn

Cơ học cổ điển xây dựng trên cơ sở những quan điểm của Niutơn về không gian, thời gian và chuyển động Để cụ thể, chúng ta hãy xét hai hệ tọa độ : một hệ Oxyz đứng yên, một hệ O’x’y’z’ chuyển động so với hệ O; để đơn giản ta giả thiết chuyển động của

hệ O’ thực hiện sao cho O’x’ luôn luôn trượt dọc theo Ox; O’y’ song song và cùng chiều với Oy; O’z’ song song và cùng chiều với Oz […]

[Lương Duyên Bình (2013), tr.54]

Hai hệ tọa độ cùng một lúc được chọn để nghiên cứu một vấn đề trong Vật lý và hai hệ tọa độ này có thể có một hệ đứng yên, hệ còn lại chuyển động so với hệ kia

Tùy vào từng tính chất của đối tượng nghiên cứu mà có cách chọn hệ tọa độ cho phù hợp:

Trong phần nhiệt học, hệ tọa độ Oxy được sử dụng để biểu diễn họ đường đẳng nhiệt, quá trình đẳng tích, quá trình đẳng áp, quá trình đẳng nhiệt; biểu diễn đồ thị tính nhiệt trong một quá trình cân bằng (đồ thị (T, S): trục tung ghi nhiệt độ T, trục hoành ghi entrôpi S)

 Các kiểu nhiệm vụ gắn liền với hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy

 Kiểu nhiệm vụ 𝐓𝟏𝟏: Xác định phương trình chuyển động của chất điểm

Kỹ thuật 𝝉𝟏𝟏:- Chọn hệ trục tọa độ Oxy (chọn gốc tọa độ O, phương và chiều

dương trên trục Ox, Oy)

xuống phía dưới (hình 1-1) Chọn gốc thời

gian là lúc bắt đầu ném đá Gọi x, y là tọa

độ của hòn đá tại thời điểm t

Theo phương nằm ngang Ox, hòn đá chuyển

động đều với vận tốc v o , do đó: xv t o (1)

Theo phương thẳng đứng Oy, hòn đá chuyển

(2) 2

y gt

(1) và (2) chính là các phương trình chuyển động của hòn đá

a) Khử t trong các phương trình (1) và (2) ta được phương trình quỹ đạo

Muốn vậy thay

o

x t v

- Chiếu phương trình tổng hợp lực lên hệ tọa độ đã chọn

- Tính yếu tố đề bài yêu cầu

Công nghệ 𝜽𝟏𝟐: Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy; Phương trình Niu-tơn;

Trọng lực tác dụng lên vật có khối lượng m; Định lí về động lượng; Lực ma sát trượt; Định lí về mômen động lượng; Phương trình Niu-tơn trong hệ quy chiếu chuyển động (tịnh tiến)

Ví dụ: Bài tập thí dụ 2.2 trang 24

Người ta gắn vào mép bàn (nằm ngang) một ròng rọc có khối lượng không đáng

kể Hai vật A và B có khối lượng bằng nhau m Am B 1kg được nối với nhau bằng một sợi dây vắt qua ròng rọc hệ số ma sát giữa vật B và mặt bàn bằng

Nhận xét: Đối với bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này, hệ tọa độ được chọn là hệ

tọa độ Descartes vuông góc Oxy hoặc chỉ chọn trục tọa độ Ox với phương của các trục tọa độ theo phương chuyển động, chiều dương là chiều chuyển động của vật

, ,

r  Tọa độ r có giá trị bằng khoảng cách giữa điểm M và điểm gốc cố định O Tọa độ  có giá trị bằng góc giữa bán kính vectơ OM của điểm M và nửa đường thẳng cố định Oz (gọi là trục cực) Tọa độ  có giá trị bằng góc giữa mặt phẳng

cố định xOz và nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục Oz và chứa điểm M Để cho mỗi điểm M chỉ ứng với một bộ ba r, ,  người ta quy ước: r chỉ có giá trị dương, 

biến thiên trong khoảng 0    và  biến thiên trong khoảng 0    2 

phát từ O; đường tọa độ (kinh tuyến) là một nửa đường tròn có tâm tại O bán kính bằng ; đường tọa độ (vĩ tuyến) là một đường tròn có tâm trên trục Oz và bán kính bằng rsin

[Đào Văn Phúc - Phạm Viết Trinh (1990), tr.18]

Định nghĩa hệ tọa độ cầu trong giáo trình Cơ học của tác giả Đào Văn Phúc hoàn toàn tương thích với giáo trình Toán học cao cấp của tác giả Nguyễn Đình Trí Hệ tọa

độ cầu cũng đóng vai trò công cụ trong việc lập phương trình quỹ đạo của chất điểm

1.2.3 Hệ tọa độ cực

Hệ tọa độ cực không được định nghĩa tường minh, nó được sử dụng như một

trường hợp thu hẹp của hệ tọa độ cầu: “Nếu chất điểm chuyển động trong một mặt

phẳng, ta chọn mặt đó là mặt xOy Khi đó hệ tọa độ cầu biến thành hệ tọa độ cực với hai tọa độ là r và 𝜑.” [Đào Văn Phúc – Phạm Viết Trinh (1990), tr.9]

Hệ tọa độ cực được sử dụng để xác định vectơ cường độ điện trường gây ra bởi lưỡng cực điện

Dùng các tọa độ cực r và 𝛼 (với gốc tại điện tích –q, và trục cực hướng theo 𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗) 𝑒

ta tính được hình chiếu 𝐸𝑟 của vectơ cường độ điện trường 𝐸⃗⃗ theo phương của

Pe

r o

Tại mỗi vị trí A bất kì của chất điểm trên quỹ đạo, người ta chọn trục tọa độ thứ nhất cùng phương với tiếp tuyến của quỹ đạo tại A, và hướng theo chiều chuyển động Vectơ đơn vị của nó là  Trục tọa độ thứ hai được chọn cùng phương và cùng chiều với pháp tuyến chính tại A Vectơ đơn vị của nó là n Như vậy  và n

cùng nằm trong mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo tại điểm A Trục tọa độ thứ ba có vectơ đơn vị là b , và được chọn sao cho b  n Hệ tọa độ tự nhiên thay đổi theo vị trí của chất điểm chuyển động trên quỹ đạo Tại từng vị trí chúng tạo thành một tam diện thuận tương tự như hệ tọa độ Đềcác Các phép tính toán trong hệ tọa độ tự nhiên tương tự như trong hệ tọa độ Đềcác đối với một chất điểm chuyển động trên một mặt phẳng

[Đào văn Phúc – Phạm Viết Trinh (1990), tr.29-30]

Như vậy, hệ tọa độ tự nhiên chỉ xuất hiện trong Vật lý mà không xuất hiện trong Toán sở dĩ như thế là vì hệ tọa độ tự nhiên là một hệ tọa độ chuyển động, khi chất điểm chuyển động thì hệ tọa độ chuyển động theo, khác hoàn toàn với những hệ tọa độ được đề cập trong Toán học

Kết luận

- Hệ tọa độ Descartes vuông góc, hệ tọa độ cực, hệ tọa độ cầu và hệ tọa độ trụ là những hệ tọa độ được đưa vào giảng dạy trong các giáo trình Vật lý bậc đại học Các hệ tọa độ này không được nghiên cứu như một đối tượng mà chỉ được mô tả

sơ lược sau đó vận dụng như một công cụ

- Hệ tọa độ Descartes vuông góc là một bộ phận cấu thành nên hệ quy chiếu, nó luôn gắn với một vật mốc xác định, vật mốc có thể đứng yên hoặc chuyển động Hai hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz được chọn để nghiên cứu một vấn đề nào

đó và hai hệ tọa độ này có một hệ đứng yên, hệ còn lại chuyển động so với hệ kia

- Những bài tập trong các giáo trình Vật lý chỉ gắn liền với hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy Nhưng khác với phân môn Toán, khi giải bài tập Vật lý phải chọn phương và chiều của các trục tọa độ Ox và Oy phù hợp Bởi lẽ đặc trưng của tri thức ở Vật lý là gắn liền với sự thay đổi vị trí của vật vì thế để phù hợp với việc nghiên cứu đòi hỏi phải điều chỉnh lại phương và chiều của các trục tọa độ

1.3 Kết luận

Trong chương 1, chúng tôi đã xem xét các hệ tọa độ trong các giáo trình Toán và Vật lý ở bậc đại học Một số kết quả chính của phân tích ở chương 1 được trình bày trong bảng sau:

Bảng 1.1 Đặc trưng, vai trò của các hệ tọa độ ở môn Toán và Vật lý bậc đại học

- Có trục hoành Ox được vẽ nằm ngang với chiều dương hướng từ trái sang phải, trục

tung Oy được vẽ thẳng đứng

với chiều dương hướng từ dưới lên trên, có thể quay hệ trục một góc nào đó

- Không định nghĩa tường minh

- Gốc tọa độ luôn gắn với một vật làm mốc xác định, vật làm mốc có thể đứng yên hoặc chuyển động

- Được vận dụng như một công

cụ trong khảo sát chuyển động

và biểu diễn quỹ đạo của một chất điểm

- Phương và chiều trên các trục tọa độ Ox và Oy không được cho sẵn mà phải chọn phương

và chiều thích hợp

Hệ tọa độ Descartes vuông góc

Oxyz

- Đóng vai trò là công cụ trong: lập phương trình tham

số của một đường cong L trong

R3; biểu diễn những miền cần tích tích phân; biểu diễn hình học phương trình của các mặt bậc hai

- Được sử dụng như một công

cụ trong: xác định vị trí của chất điểm trong không gian ;lập phương trình quỹ đạo của chất điểm; phân tích chuyển động của chất điểm thành ba chuyển động thành phần dọc theo ba trục tọa độ;

- Được nghiên cứu trên hệ trục đứng yên

điện từ phẳng đơn sắc

- Các hệ trục có thể chuyển động

số hai biến trở nên đơn giản, qua đó có thể tính diện tích của hình phẳng, thể tích của vật thể

dễ dàng hơn

- Không được định nghĩa tường minh, xem như một trường hợp thu hẹp của hệ tọa độ cầu

- Được sử dụng để xác định vectơ cường độ điện trường gây ra bởi lưỡng cực điện

Hệ tọa độ cầu

- Định nghĩa dựa trên hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz

- Được sử dụng trong tính tích phân bội ba

- Định nghĩa dựa trên hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz

- Được dùng khi nghiên cứu những chuyển động có tính đối xứng cầu; lập phương trình quỹ đạo của chất điểm và phân tích chuyển động của chất điểm thành ba chuyển động thành phần dọc theo ba trục tọa độ

Hệ tọa độ trụ

- Định nghĩa dựa trên hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz

- Phương trình của một số hình trong không gian đơn giản khi chuyển qua hệ tọa độ trụ giúp tính tính phân bội ba được thực hiện dễ dàng

- Không được đưa vào giảng dạy

Hệ tọa độ tự nhiên Không được đưa vào giảng dạy

- Được sử dụng khi không cần quan tâm đến hình dạng của quỹ đạo của vật

- Phân tích bài tập ở hai môn cho thấy, các kiểu nhiệm vụ xuất hiện ở môn Toán chủ yếu liên quan đến phương diện đối tượng của các hệ toạ độ, ở phương diện công cụ các kiểu nhiệm vụ liên quan hiện diện ở các bài toán thuần tuý toán học

Khác với môn Vật lý, các kiểu nhiệm vụ chỉ liên quan đến vai trò công cụ và gắn với các bài toán liên quan đến thực tế nên các kiểu nhiệm vụ ở hai môn này không có sự liên hệ với nhau

- Kết quả nghiên cứu ở chương 1 cho phép chúng tôi đặt ra câu hỏi: Trong môn Toán và môn Vật lý ở bậc trung học, những hệ tọa độ nào được đưa vào giảng dạy? Các đặc trưng của các hệ tọa độ ấy có được trình bày giống ở bậc đại học? Liệu có sự tương đồng và khác biệt nào đối với từng hệ tọa độ ở hai môn Toán và Vật lý?

Việc tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi này sẽ được chúng tôi tiếp tục thực hiện ở

chương 2 của luận văn

Chương 2

HỆ TỌA ĐỘ TRONG CÁC THỂ CHẾ DẠY HỌC

TOÁN VÀ VẬT LÝ Ở TRUNG HỌC

Trong chương này chúng tôi phân tích các thể chế dạy học Toán lớp 6, 7, 9, 10,

11, 12 và thể chế dạy học Vật Lý lớp 10, 12 đối với khái niệm hệ tọa độ Hệ tọa độ không xuất hiện trong phần lý thuyết và bài tập ở môn Vật lý lớp 11 Chúng tôi muốn tìm hiểu có hay không sự nối khớp giữa hai môn Toán và Vật lý đối với khái niệm này

2.1 Hệ toạ độ trong môn Toán bậc trung học

Trục số được SGK Toán 6 trình bày:

Ta biểu diễn các số nguyên âm trên tia đối của tia số và ghi các số

-1, -2, -3,… như trong hình 32

Như vậy ta được một trục số Điểm 0 (không) được gọi là điểm gốc của

trục số Trên hình 32, chiều từ trái sang phải gọi là chiều dương (thường

được đánh dấu bằng mũi tên) chiều từ phải sang trái gọi là chiều âm của

trục số

Chú ý: Ta cũng có thể vẽ trục số như hình 34

[SGK Toán 6 (tập 1), tr.67]

Với cách mô tả như trên dường như sách giáo khoa đồng nhất giữa điểm (cụ thể

là điểm gốc) với số (cụ thể là số 0) trên trục số, đồng thời ấn định chiều dương của trục

số khi được vẽ nằm ngang (song song với mặt đất) là chiều từ trái sang phải

2.1.1 Hệ tọa độ trong SGK Toán 7

 Phân tích SGK

Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy được định nghĩa một cách tường minh lần đầu tiên trong bài 6 có tựa đề “Mặt phẳng tọa độ” thuộc chương II, phần Đại số SGK Toán 7, tập 1 Trước đó ở chương I học sinh đã được trang bị các kiến thức về tập hợp

số trong đó có cung cấp cho học sinh cách biểu diễn một số thực trên trục số

SGK định nghĩa hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy:

Trên mặt phẳng, ta vẽ hai trục Ox, Oy

vuông góc với nhau và cắt nhau tại gốc

của mỗi trục số như hình vẽ bên Khi đó

ta có hệ trục tọa độ Oxy

Các trục Ox và Oy gọi là các trục tọa độ,

Ox gọi là trục hoành, Oy gọi là trục tung

Người ta thường vẽ Ox nằm ngang, Oy

SGK không nói gì về phương của hai trục tọa độ, nhưng SGK nói thêm rằng:

“Người ta thường vẽ trục Ox nằm ngang, trục Oy thẳng đứng” [SGK Toán 7 (tập 1),

tr.66], phải chăng với ý này SGK “ủng hộ” phương của trục Ox nằm ngang1 và phương của trục Oy thẳng đứng2 và trong tất cả các SGK được tham khảo thì các trục tọa độ đều được vẽ theo phương như đã nói Trục số có thể vẽ nằm ngang hoặc thẳng đứng nhưng khi sang hệ trục tọa độ Oxy thì một cách ngầm ẩn trục Ox phải nằm ngang với chiều dương hướng từ trái sang phải và trục Oy thẳng đứng hướng từ dưới lên trên

 : Hệ trục tọa độ Oxy, tọa độ của một điểm trong mặt phẳng tọa độ

Ví dụ: Hoạt động 1: Vẽ hệ trục tọa độ Oxy trên giấy kẻ ô vuông và đánh dấu vị

trí của các điểm P, Q lần lượt có tọa độ là (2, 3); (3, 2)

1 Ngang ở đây có thể hiểu là nếu được vẽ trên bảng thì trục Ox song song với mép ngang của bảng tức song song với mặt đất, còn nếu được vẽ trên vở thì phương ngang là phương song song với mép ngang của quyển vở

2 Thẳng đứng ở đây có thể hiểu là nếu được vẽ trên bảng thì trục Oy song song với mép dọc của bảng tức vuông góc với mặt đất, còn nếu được vẽ trên vở thì có phương song song với mép dọc của quyển vở