Luận Văn thạc sĩ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀ TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Nguyễn Ngọc Giao Ngôn (2015)

Giả thuyết H1 giả thuyết về điều kiện và ràng buộc Khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ về giải và biện luận phương trình chứa tham số, học sinh chỉ chuyển phạm vi từ đại số sang hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Giao Ngôn

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Giao Ngôn

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài “Phương trình chứa tham số trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh vào đại học, cao đẳng” do tôi thực hiện Các số liệu và kết luận nghiên cứu trình bày trong luận văn là trung thực và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Người cam đoan

Nguyễn Ngọc Giao Ngôn

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán - Trường Đại Học

Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Ban giám hiệu và các thầy cô tổ Toán – Trường THPT Bắc Bình và THPT Nguyễn Văn Trỗi, tỉnh Bình Thuận đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong vấn đề thực nghiệm của luận văn

- Các bạn lớp Didactic Toán K24 vì những sẻ chia trong suốt thời gian học tập

Cuối cùng, tôi hết lòng cảm ơn gia đình đã quan tâm và động viên suốt quá trình học tập của tôi

Nguyễn Ngọc Giao Ngôn

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 3

LỜI CÁM ƠN 4

MỤC LỤC 5

MỞ ĐẦU 6

1 Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 6

2 Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết 6

2.1 Quan hệ thể chế đối với một tri thức 6

2.2 Các khái niệm chuyển hóa sư phạm 6

2.3 Tổ chức toán học 7

3 Phương pháp nghiên cứu 8

4 Cấu trúc của luận văn 8

5 Một số kết quả nghiên cứu có liên quan đến đề tài 9

Chương 1 Phương trình chứa tham số trong tri thức cần dạy ở trung học phổ thông 11

1 Phân tích sách Đại số 10 nâng cao 11

1.1 Những dạng phương trình chứa tham số có mặt trong sách giáo khoa và sách bài tập 11 1.2 Kết luận về sách Đại số 10 nâng cao 39

2 Phân tích sách Đại số và Giải tích 11 nâng cao 42

3 Phân tích sách Giải tích 12 nâng cao 46

3.1 Những dạng phương trình chứa tham số có mặt trong sách giáo khoa và sách bài tập 47 3.2 Kết luận về sách Giải tích 12 nâng cao 66

4 Kết luận chương 1 69

Chương 2 Phương trình chứa tham số trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh vào đại học, cao đẳng 73

1 Phương trình chứa tham số trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông 73

1.1 Cấu trúc đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán 73

1.2 Những kiểu nhiệm vụ liên quan đến phương trình chứa tham số trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán 74

1.3 Kết luận về phương trình chứa tham số trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông 79

2 Phương trình chứa tham số trong kỳ thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng 79

2.1 Cấu trúc đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng môn Toán 79

2.2 Những kiểu nhiệm vụ liên quan đến phương trình chứa tham số trong đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng môn Toán 80

3 Kết luận chương 2 94

Chương 3.Nghiên cứu thực nghiệm 97

1 Đối tượng và hình thức tổ chức thực nghiệm 97

1.1 Đối tượng 97

1.2 Hình thức 97

2 Bộ câu hỏi thực nghiệm 98

2.1 Câu hỏi thực nghiệm đối với học sinh lớp 10 98

2.2 Câu hỏi thực nghiệm đối với học sinh lớp 12 100

2.3 Câu hỏi thực nghiệm đối với giáo viên 106

3 Kết luận chương 3 108

KẾT LUẬN 110

TÀI LIỆU THAM KHẢO 112

PHỤ LỤC 115

MỞ ĐẦU

1 Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Trong chương trình toán sơ cấp, phương trình là một trong số các chủ đề quan trọng Đặc biệt, phương trình chứa tham số là một trong số các dạng phương trình được giới thiệu trong sách giáo khoa và xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng

Những dạng phương trình chứa tham số nào được giảng dạy ở trung học phổ thông? Kỹ thuật giải và biện luận từng dạng? Những dạng phương trình chứa tham số nào thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng? Có hay không sự khác biệt về kỹ thuật giải và biện luận phương trình chứa tham số giữa sách giáo khoa và đáp án các kỳ thi?

2 Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết

Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên

cứu trong khuôn khổ của lý thuyết didactic toán, đặc biệt là các khái niệm quan hệ thể chế, chuyển hóa sư phạm, tổ chức toán học

2.1 Quan hệ thể chế đối với một tri thức

Lý thuyết nhân học trong didactic dựa vào ba thuật ngữ ban đầu không định

nghĩa là đối tượng, cá thể, thể chế

Khi một cá thể X thâm nhập vào một thể chế I mà trong đó tồn tại một đối tượng tri thức O, mối quan hệ cá nhân R(X, O) của X với O được hình thành Cá thể X và hệ thống các quan hệ cá nhân R(X, O) được gọi là cá nhân Thông qua mối quan hệ cá

nhân R(X, O), cá nhân trở thành một chủ thể của thể chế I

2.2 Các khái niệm chuyển hóa sư phạm

Tri thức là một trong ba thành phần quan trọng trong hệ thống dạy học theo quan điểm của didactic Tri thức là đích đến của chủ thể học tập, đồng thời là nội dung mà thầy giáo mong muốn chuyển giao cho học sinh qua việc tạo dựng một môi trường để học sinh chiếm lĩnh được tri thức Tuy nhiên, từ tri thức khoa học đến tri thức dạy học

là một quá trình biến đổi phức tạp mà Yves Chevallard (1989) gọi là sự chuyển hóa sư phạm Trong quá trình chuyển hóa sư phạm trải qua 3 mắc xích:

- Thể chế tạo tri thức: Các tri thức khoa học được tạo ra từ những nghiên cứu lý thuyết, thực nghiệm của các nhà khoa học, các tiêu chí của khoa học xác định thể chế tạo ra tri thức khoa học Để công bố các kết quả khoa học, các tác giả cần phi cá nhân hóa và phi hoàn cảnh hóa Việc này làm cho các tri thức trở thành tri thức chung, có thể sử dụng và kiểm tra trong cộng đồng các nhà khoa học cùng ngành

- Thể chế chuyển hóa: Các tri thức trong thể chế khoa học chuyển sang để giảng dạy cũng cần phải có một số ràng buộc trong việc chuyển hóa, trong đó có kể tới: đặc điểmtâm sinh lý lứa tuổi học viên; khả năng chương trình hóa việc tiếp thu; đặc điểm vùng miền

- Thể chế giảng dạy: Đây là thể chế cực kỳ quan trọng, giáo viên có thể thiết kế một số thể chế riêng để làm cho việc giảng dạy được tiến hành tốt đẹp

2.3 Tổ chức toán học

Theo lý thuyết nhân học didactic, mỗi hoạt động bất kỳ của con người đều nhằm

hoàn thành một nhiệm vụ t nào đó Nhiều nhiệm vụ t có thể xếp vào một kiểu nhiệm vụ

T nếu chúng được giải quyết bằng cùng một kỹ thuật  Công nghệ  là những gì cho phép nghĩ đến, tạo ra hoặc lý giải cho kỹ thuật  Đến lượt mình, công nghệ  được

giải thích, biện minh bằng lý thuyết 

Bộ bốn phần tử [T/ / / ] gọi là một praxéologie, vốn được cấu thành bởi hai

từ Hy Lạp là praxis (thực hành) và logos (lý lẽ, lập luận) Thật vậy, trong một

praxéologie, khối [T/ ] thuộc về thực hành và khối [/ ] thuộc về lý lẽ, lập luận Nếu

T là một kiểu nhiệm vụ toán học, praxéologie liên quan sẽ gọi là một tổ chức toán học Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan tới đối tượng O cho phép ta hiểu rõ mối quan hệ thể chế I với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ cá nhân X duy trì đối với tri thức O

Chúng tôi phát biểu lại các câu hỏi ban đầu bằng thuật ngữ của các công cụ lý thuyết đã chọn như sau:

Q1 Những dạng phương trình chứa tham số nào có mặt trong sách giáo khoa toán trung học phổ thông? Những kỹ thuật nào được trình bày và trong đó, những kỹ

thuật nào được ưu tiên? Những yếu tố công nghệ nào giải thích cho những kỹ thuật đó?

Q2 Những dạng phương trình chứa tham số nào xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh vào đại học, cao đẳng từ năm 2009 đến 2014? Những kỹ thuật có thể có và những kỹ thuật được ưu tiên?

Q3 Có hay không sự khác biệt về dạng phương trình chứa tham số và kỹ thuật giải giữa sách giáo khoa toán trung học phổ thông và đáp án các kỳ thi?

Q4 Sự khác biệt này (nếu có) ảnh hưởng gì đến việc dạy và học toán ở trung học phổ thông?

Luận văn tự giới hạn chỉ khảo sát đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển

sinh vào đại học, cao đẳng từ 2009 đến 2014

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn này, các phương pháp nghiên cứu được huy động nhằm phục vụ cho vấn đề trung tâm là làm rõ sự khác biệt về phương trình chứa tham số giữa sách giáo khoa và đáp án các kỳ thi Để kiểm chứng các giả thuyết hoặc để trả lời các câu hỏi được hình thành từ việc phân tích thể chế, chúng tôi sẽ luôn luôn huy động thựcnghiệm theo sơ đồ sau:

Phân tích thể chế  giả thuyết, câu hỏi  thực nghiệm kiểm chứng

Nghiên cứu của chúng tôi có thể tóm tắt trong sơ đồ sau:

4 Cấu trúc của luận văn

- Thực nghiệm kiểm chứng hoặc bác bỏ giả thuyết

- Kết luận

- Trả lời câu hỏi nghiên cứu

- Phát biểu giả thuyết

Phân tích những dạng phương

trình chứa tham số có trong

SGK-SBT ở THPT

Phân tích những dạng phương

trình chứa tham số xuất hiện

trong đề thi TN THPT và tuyển

sinh đại học, cao đẳng

Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương sau:

Chương 1 Phương trình chứa tham số trong tri thức cần dạy ở trung học phổ thông Chương 2 Phương trình chứa tham số trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh vào đại học, cao đẳng

Chương 3 Nghiên cứu thực nghiệm

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

5 Một số kết quả nghiên cứu có liên quan đến đề tài

5.1 Tổng quan về các công trình nghiên cứu liên quan tới phương trình chứa tham số

Một số luận văn có liên quan đến chủ đề phương trình chứa tham số:

1 Nguyễn Thuỳ Trang (2006), Algorit và tham số trong dạy học chủ đề phương trình ở trường THPT Trường hợp hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn, luận văn thạc sĩ,

5.2 Một số kết quả nghiên cứu có liên quan đến đề tài

Trong số các luận văn kể trên, luận văn thạc sĩ của Nguyễn Nhật Phương (2012),

Thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong giải và biện luận phương trình chứa tham

số ở trường trung học phổ thông có liên quan trực tiếp đến đề tài của chúng tôi

Trong luận văn, tác giả đã nghiên cứu điều kiện và ràng buộc của việc chuyển đổi giữa kỹ thuật đại số và kỹ thuật đồ thị Kết quả nghiên cứu được thể hiện qua việc kiểm chứng hai giả thuyết dưới đây:

Giả thuyết H1 (giả thuyết về điều kiện và ràng buộc)

Khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ về giải và biện luận phương trình chứa tham số, học

sinh chỉ chuyển phạm vi từ đại số sang hình học (hoặc giải tích) khi có một trong các điều

kiện và ràng buộc sau:

- Đề bài yêu cầu tường minh hoặc bài toán được cho trong chủ đề khảo sát hàm số hoặc

đồ thị đã cho trước

- Kỹ thuật đại số đã được huy động thử nhưng trở nên bế tắc; đặc biệt, khi phương trình đang xét là phương trình bậc ba không thể nhẩm nghiệm nguyên hoặc phương trình đang xét có chứa dấu giá trị tuyệt đối hay căn thức

Giả thuyết H2 (giả thuyết về ứng xử của học sinh)

R1 Để giải quyết các bài toán về giải và biện luận chứa tham số, học sinh lớp 10 ưu tiên

kỹ thuật đại số hơn kỹ thuật đồ thị ngay cả khi kỹ thuật đồ thị là kỹ thuật tối ưu Các em chỉ thay đổi phạm vi từ đại số sang hình học khi đề bài yêu cầu tường minh là “dùng đồ thị”

R2 Mặc dù được đưa vào từ lớp 8 và được củng cố ở các lớp 9, 10 nhưng kỹ thuật sử

dụng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(m) chỉ “sống” được ở lớp

12 thông qua chủ đề khảo sát hàm số Kỹ thuật này được học sinh ưu tiên ngay cả khi kỹ

thuật đại số là kỹ thuật tối ưu

Tuy nhiên, tác giả chưa đi sâu vào việc phân tích từng kiểu nhiệm vụ, từng dạng toán cụ thể, các kỹ thuật giải cũng như các yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho việc sử dụng kỹ thuật giải đó Trong chương trình toán 12, tác giả chỉ xét những phương trình chứa tham số trong các bài toán ở chương khảo sát hàm số

Qua việc ghi nhận trên, chúng tôi nêu ra một vài câu hỏi: Liệu còn những kiểu nhiệm vụ nào có trong sách giáo khoa mà tác giả chưa xét đến? Những kỹ thuật giải nào chưa được nêu ra? Ngoài việc xuất hiện phương trình chứa tham số trong các bài toán ở chương khảo sát hàm số, phương trình chứa tham số còn xuất hiện ở đâu trong chương trình toán 12 nữa không? Để trả lời những câu hỏi trên, chúng tôi xây dựng chương 1 Trong chương này, chúng tôi lần lượt khảo sát từng tổ chức toán học của các kiểu nhiệm vụ có trong các sách giáo khoa toán ở trung học phổ thông

Chương 1

Phương trình chứa tham số trong tri thức cần dạy ở trung học phổ thông

Chương này nghiên cứu những dạng phương trình chứa tham số trong sách giáo khoa toán trung học phổ thông để trả lời câu hỏi sau:

Q1 Những dạng phương trình chứa tham số nào có mặt trong sách giáo khoa toán

trung học phổ thông? Những kỹ thuật nào được trình bày và trong đó, những kỹ thuật nào được ưu tiên? Những yếu tố công nghệ nào giải thích cho những kỹ thuật đó?

Chúng tôi chọn sách Đại số 10 nâng cao; Đại số và Giải tích 11 nâng cao và Giải tích 12 nâng cao để phân tích vì ba quyển sách này trình bày bài toán giải và biện

luận phương trình chứa tham số đầy đủ hơn ba quyển sách giáo khoa cùng lớp thuộc chương trình chuẩn

1 Phân tích sách Đại số 10 nâng cao

1.1 Những dạng phương trình chứa tham số có mặt trong sách giáo khoa

Chúng ta còn xét cả những phương trình, trong đó ngoài các ẩn còn có những chữ khác

Các chữ này được xem là những số đã biết và được gọi là tham số

Chẳng hạn, phương trình m x(  2) 3mx1 (với ẩn x) là một phương trình chứa tham

số m

[ ] Khi giải phương trình chứa tham số, ta phải chỉ ra tập nghiệm của phương trình tùy theo các giá trị có thể của tham số Để nhấn mạnh ý đó, khi giải phương trình chứa tham

số, ta thường nói là giải và biện luận phương trình. ( Đại số 10 nâng cao, trang 71)

Sách Đại số 10 nâng cao đã giới thiệu tường minh các khái niệm tham số, phương trình chứa tham số, giải và biện luận phương trình

[ ] Trong Đại số 10 nâng cao, các vấn đề về phương trình và hệ phương trình bậc nhất và bậc hai cũng là một nội dung trọng tâm của chương trình Chúng được trình bày chính xác hơn, đầy đủ hơn, hệ thống hơn so với lớp dưới Trong đó, điều đáng lưu ý và tương đối khó là vấn đề giải và biện luận phương trình.[ ](Đại số 10 nâng cao trang 65).

[ ] Kiến thức : Biết khái niệm phương trình chứa tham số, hiểu cách giải và biện luận phương trình ax b  0 ; phương trình ax2bx c 0, hiểu cách giải các phương trình quy về dạng ax b  0 ; ax2bx c 0: phương trình có ẩn ở mẫu thức, phương trình

có chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình đưa về phương trình tích [ ] (Sách giáo viên

Đại số 10 nâng cao trang 20-21)

Theo các tác giả sách giáo khoa, sự xuất hiện phương trình chứa tham số trong sách giáo khoa ở chương trình lớp 10 với mục đích “trình bày chính xác hơn, đầy đủ hơn, hệ thống hơn so với lớp dưới” các vấn đề về phương trình và hệ phương trình bậc

nhất và bậc hai Và theo sách giáo viên Đại số 10 nâng cao, mức độ cần đạt về kiến

thức là hiểu cách giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn và các phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn

1.1.1 Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0

Sách Đại số 10 nâng cao trang 72 trình bày kết quả giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 trong bảng sau đây

1) a  0 : Phương trình có một nghiệm duy nhất x =

a

b



2) a = 0 và b  0: Phương trình vô nghiệm

3) a = 0 và b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x  R

Bảng 1 Kết quả giải và biện luận PT dạng ax + b = 0

Sách không hề giải thích tại sao có được kết quả như vậy Điều này dễ gây thắc mắc cho học sinh tại sao a0;b0 thì phương trình vô nghiệm Để giải thích lí do tại sao sách giáo khoa chỉ nêu ra bảng 1 mà không giải thích gì cả, theo sách giáo viên

Đại số 10 nâng cao trang 106 có nêu như sau:

Ở lớp dưới, học sinh đã được học cách giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai

Do đó, điều chủ yếu trong bài này không phải là cách giải mà là cách biện luận các phương trình nói trên trong trường hợp có tham số Điều học sinh thường thắc mắc là căn

cứ vào đâu để phân chia các trường hợp Vì vậy, giáo viên cần phân tích thêm điều này trong mỗi ví dụ cụ thể

Vậy là nếu hiểu theo cách mà sách giáo viên vừa nêu thì việc nêu cách biện luận các phương trình chứa tham số là công việc của giáo viên chứ không phải của sách giáo khoa

Sau khi nêu kết quả giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 Sách giáo

khoa nêu ra một ví dụ (trang 72):

Ví dụ 1 Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m

Xét các trường hợp sau đây

1) Khi m  1 (tức là m 1 và m  1 ) ta có m2 1 0 nên (1a) có nghiệm

2

m x



Đó là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

2) Khi m 1 , phương trình (1a) trở thành 0x 0 ; phương trình này nghiệm đúng với mọi xR nên phương trình (1) cũng nghiệm đúng với mọi xR

3) Khi m  1 , phương trình (1a) trở thành 0x  4 ; phương trình này vô nghiệm nên phương trình (1) cũng vô nghiệm



 (tập nghiệm là

21

S m

m : (1) nghiệm đúng với mọi xR (tập nghiệm là S R)

Ví dụ này đã cho học sinh thấy đầy đủ ba trường hợp có trong Bảng 1 Kết quả

giải và biện luận PT dạng ax + b = 0 Để đạt được mục tiêu này, tác giả đã chọn hệ số cho a là một đa thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm làm cho b 0 và một nghiệm làm cho b 0 Đồng thời, từ đây về sau Bảng 1 trở thành yếu tố công

nghệ của việc giải và biện luận phương trình chứa tham số dạng ax + b = 0 Từ đây, ta

có kiểu nhiệm vụ T1 của bài toán phương trình chứa tham số đó là giải và biện luận

phương trình chứa tham số dạng ax + b = 0

Kiểu nhiệm vụ T1: Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 chứa tham số m

Công nghệ : Bảng 1 Kết quả giải và biện luận PT dạng ax + b = 0

Xét theo hệ số a, kiểu nhiệm vụ T1 có bốn dạng đặc biệt trong sách Đại số 10 nâng cao và Bài tập Đại số 10 nâng cao:

- Hệ số a là đa thức bậc nhất đối với tham số

- Hệ số a là đa thức bậc hai đối với tham số và đa thức này có hai nghiệm (phân

biệt hoặc trùng nhau)

- Hệ số a là đa thức bậc hai đối với tham số và đa thức này vô nghiệm

- Hệ số a bằng 0 với mọi giá trị của tham số

Dưới đây là các minh họa tương ứng cho bốn dạng đặc biệt nói trên:

 2mx = 2x + m + 4 (Bài tập Đại số 10 nâng cao, trang 60, bài 3.12a): phương trình tương đương với 2(m - 1)x = m + 4

 m(mx - 1) = x + 1 (Đại số 10 nâng cao, trang 101, bài 54): phương trình tương đương với (m2 - 1)x = m + 1

 (m2 + 2)x - 2m = x - 3 (Đại số 10 nâng cao, trang 78, bài 6a): phương trình có thể đưa về dạng (m2 + 1)x = 2m - 3

 m(x - m + 3) = m(x - 2) + 6 (Đại số 10 nâng cao, trang 78, bài 6c): phương trình

có thể biến đổi thành 0x = (m - 2)(m - 3)

Hai dạng đặc biệt 1 và 2 chỉ khác nhau về độ phức tạp Phương trình a = 0 trong

dạng đặc biệt 2 có nhiều nghiệm hơn trong dạng đặc biệt 1 nên phải xét thêm các giá

trị tương ứng của b

Các nhiệm vụ thuộc dạng đặc biệt 1 và 2 góp phần hình thành quy tắc hợp đồng:

- RE: Khi giải và biện luận phương trình chứa tham số dạng ax + b = 0, ta xét lần lượt các trường hợp của tham số khiến a  0, a = 0 Với những giá trị cụ thể của tham

số khiến a = 0, ta thay giá trị tương ứng vào biểu thức của b để biện luận theo bảng 1

Hệ số a trong dạng đặc biệt 3 là một tam thức bậc hai vô nghiệm đối với tham số Lời giải mong đợi của dạng đặc biệt này là chứng minh a  0 với mọi giá trị của tham

số và kết luận phương trình luôn có nghiệm duy nhất (bất chấp b) Đây là một trường

hợp phá vỡ quy tắc hợp đồng RE

Đối với phương trình (m2 + 1)x = 2m - 3 đã nêu, biểu thức m2 + 1 khá đơn giản

và tính chất m2 + 1 > 0 (với mọi m  R) là khá quen thuộc vì đã xuất hiện từ sách

Toán 7 Trong thực tế giảng dạy, liệu giáo viên có thay m2 + 1 bằng một tam thức bậc

hai khác, luôn luôn dương (hoặc luôn luôn âm) hay không (ví dụ m2 + 3m + 4 hoặc 3m

- m2 - 4)? Phương trình dạng (m2 + 3m + 4)x = 2m - 3 có xuất hiện trong đề thi tốt

nghiệp trung học phổ thông và đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng?

Dạng đặc biệt 4 có thể gây ra hai trở ngại cho học sinh:

- Thay vì 0x = (m - 2)(m - 3), học sinh viết phương trình thành 0 = (m - 2)(m - 3)

- Ngay cả khi viết được 0x = (m - 2)(m - 3), quy tắc hợp đồng RE trở nên không

Hệ số a là đa thức bậc hai đối với

tham số và đa thức này có hai nghiệm

(phân biệt hoặc trùng nhau)

Hệ số a là đa thức bậc hai đối với

tham số và đa thức này vô nghiệm

Bảng 2 Số lượng các dạng đặc biệt của T 1 trong hai quyển sách

Bảng 2 cho thấy dạng đặc biệt 1 và 2 có số lượng bài tập nhiều nhất trong cả hai quyển sách, thậm chí chiếm tuyệt đại đa số (22/24) trong các bài tập kiểu T1 Các dạng

đặc biệt 3 và 4 có số lượng không đáng kể, mỗi loại chỉ có một bài Điều này là kết quả lựa chọn của các tác giả nhằm thể hiện vai trò quan trọng của hai dạng đặc biệt đầu tiên và vai trò thứ yếu, thậm chí mờ nhạt của hai dạng đặc biệt sau cùng Sự lựa

chọn này một mặt nhất quán với bảng 1 và ví dụ 1 (trang 72, Đại số 10 nâng cao) đã

nêu, mặt khác góp phần củng cố quy tắc RE

Trong Đại số 10 nâng cao, dạng đặc biệt 1 có lượng bài tập nhiều nhất Điều này

cho thấy việc giải quyết dạng đặc biệt 1 là điều mà các tác giả mong đợi hơn cả ở học sinh

Trong Bài tập Đại số 10 nâng cao mà học sinh sử dụng như một tài liệu mở rộng của Đại số 10 nâng cao, số bài tập của dạng đặc biệt 2 nhiều hơn của dạng đặc biệt 1

chút ít Điều này cho thấy các tác giả xem việc giải quyết dạng đặc biệt 2 cũng là một yêu cầu cơ bản nhưng mang tính nâng cao so với dạng đặc biệt 1

1.1.2 Giải và biện luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0

Sách Đại số 10 nâng cao trang 73 trình bày kết quả giải và biện luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0 trong bảng sau đây

1) a = 0: Trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0

 < 0: phương trình vô nghiệm

Bảng 3 Kết quả giải và biện luận PT dạng ax2 + bx + c = 0 Tương tự với việc trình bày giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0, sách

không hề giải thích tại sao có được kết quả như vậy Và theo như phần trích dẫn trong

sách giáo viên Đại số 10 nâng cao trang 106 đã nêu ở trên thì việc nêu cách biện luận

các phương trình chứa tham số là công việc của giáo viên chứ không phải của sách giáo khoa

Sau khi nêu kết quả giải và biện luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0 Sách

giáo khoa nêu ra một ví dụ (trang 73):

Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m

- Nếu m > 4 thì ’ < 0 nên (2) vô nghiệm;

- Nếu m = 4 thì ’ = 0 nên (2) có một nghiệm x =

m

m2 =

Ví dụ này minh họa đầy đủ các trường hợp có thể có khi biệt thức  chứa tham

số Để đạt được mục tiêu này, tác giả đã chọn hệ số cho a có chứa tham số và là một

đa thức bậc nhất Vì học sinh chưa học cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn nên

việc chọn các hệ số a, b, c chứa tham số phải đảm bảo là khi tính biệt thức  = b2 -

4ac,  là một đa thức có bậc không lớn hơn một

Đồng thời, từ đây về sau Bảng 3 trở thành yếu tố công nghệ của việc giải và biện

luận phương trình chứa tham số dạng ax 2 + bx + c = 0 Từ đây, ta có kiểu nhiệm vụ T2

là giải và biện luận phương trình chứa tham số dạng ax 2 + bx + c = 0

Kiểu nhiệm vụ T2: Giải và biện luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0 chứa tham số

Kỹ thuật :

- Xét các giá trị của tham số làm cho a = 0 Với mỗi giá trị này, xét giá trị tương ứng

của b, c Nếu b  0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x c

- Bảng 1 Kết quả giải và biện luận PT dạng ax + b = 0

- Bảng 3 Kết quả giải và biện luận PT dạng ax 2 + bx + c = 0

Tiến hành xem xét các dạng bài tập ở cả hai sách Đại số 10 nâng cao và Bài tập

Đại số 10 nâng cao, chúng tôi nhận thấy:

Đối với kiểu nhiệm vụ T2: Giải và biện luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0 chứa tham số m Xét theo hệ số a và biệt thức , kiểu nhiệm vụ T2 này có sáu dạng

đặc biệt trong cả hai quyển sách:

với tham số, biệt thức  là đa

thức bậc nhất đối với tham số

(m - 1)x2 + 7x - 12 = 0 (Đại số 10 nâng cao, trang 80, bài 16a): a = m - 1,

biệt 2 thức bậc hai đối với tham số và

đa thức này có hai nghiệm

(phân biệt hoặc trùng nhau)

thức  là đa thức bậc hai đối

với tham số và đa thức này có

hai nghiệm (phân biệt hoặc

Hệ số a là đa thức bậc hai đối

với tham số và đa thức này có

hai nghiệm (phân biệt hoặc

trùng nhau), biệt thức  là đa

thức bậc nhất đối với tham số

(m 2 - 5m - 36)x2 - 2(m + 4)x + 1 = 0 (Bài tập Đại số 10 nâng cao, trang 60, bài 3.14d): a = m2 - 5m - 36,  ' = 13m + 52

Dạng

đặc

biệt 6

Hệ số a là đa thức bậc hai đối

với tham số và đa thức này có

hai nghiệm (phân biệt hoặc

trùng nhau), biệt thức  là đa

thức bậc hai đối với tham số và

đa thức này có hai nghiệm

(phân biệt hoặc trùng nhau)

(mx - 2)(2mx – x + 1) = 0 (Đại số 10 nâng cao, trang 80, bài 16d): phương trình tương đương với m(2m-1)x2 - (3m - 2)x – 2

= 0, a = m(2m - 1),  = 25m2 - 20m + 4

Bảng 4 Phân loại các dạng đặc biệt của T 2 trong hai quyển sách

Hai dạng đặc biệt 1 và 2 chỉ khác nhau về độ phức tạp Khi a  0 thì biệt thức 

trong dạng đặc biệt 2 là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt nên kiến thức cần phải có là biết xét dấu tam thức bậc hai của  Bài tập thuộc dạng đặc biệt 2 chỉ xuất hiện trong phần ôn tập cuối năm Điều này cho thấy, bài tập thuộc dạng đặc biệt 2 được nói đến khi kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai được giới thiệu

Các nhiệm vụ thuộc dạng đặc biệt 1, 2 của T2 góp phần mở rộng (và củng cố) quy tắc hợp đồng RE thành:

- RE: Khi giải và biện luận phương trình chứa tham số dạng ax + b = 0 hoặc ax2

+ bx + c = 0, ta xét lần lượt các trường hợp của tham số khiến a  0, a = 0 (nếu a có chứa tham số) Với những giá trị cụ thể của tham số khiến a = 0, ta thay giá trị tương ứng vào biểu thức của b để biện luận theo bảng 1 (đối với phương trình chứa tham số dạng ax + b = 0) hoặc vào biểu thức của  để biện luận theo bảng 3 (đối với phương

Đối với phương trình (mx - 2)(2mx – x + 1) = 0 đã nêu, đây là một phương trình

tích, tích của hai đa thức bậc nhất Chính vì vậy, có thể giải phương trình này bằng

cách khai triển để đưa về giải và biện luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0 hoặc

là đưa phương trình về dạng tuyển và tiến hành giải và biện luận hai phương trình

dạng ax + b = 0 Tuy nhiên, theo hướng dẫn trong sách giáo viên Đại số 10 nâng cao trang 114 thì ưu tiên cách khai triển để đưa về giải và biện luận phương trình dạng ax 2

+ bx + c = 0

Tiến hành thống kê số lượng bài tập ở cả hai sách Đại số 10 nâng cao và Bài tập Đại số 10 nâng cao, chúng tôi ghi nhận:

Dạng đặc biệt

Đại số 10 nâng cao

Bài tập Đại số 10 nâng cao

Tổng cộng

Hệ số a là đa thức bậc nhất đối với tham số, biệt thức

 là đa thức bậc nhất đối với tham số

4 2 6

Hệ số a là đa thức bậc nhất đối với tham số, biệt thức

 là đa thức bậc hai đối với tham số và đa thức này

có hai nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau)

hai đối với tham số và đa thức này có hai nghiệm

(phân biệt hoặc trùng nhau)

Hệ số a là đa thức bậc hai đối với tham số và đa thức

này có hai nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau), biệt

thức  là đa thức bậc nhất đối với tham số

Hệ số a là đa thức bậc hai đối với tham số và đa thức

này có hai nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau), biệt

thức  là đa thức bậc hai đối với tham số và đa thức

này có hai nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau)

Bảng 5 Số lượng các dạng đặc biệt của T 2 trong hai quyển sách

Bảng 5 cho ta thấy số lượng bài tập thuộc kiểu T2 có sự chệch lệch rất lớn ở hai

quyển sách Trong Đại số 10 nâng cao, các bài tập tập trung ở dạng đặc biệt 1 và dạng

đặc biệt 3 Điều này cho thấy việc giải quyết dạng đặc biệt 1 và 3 là điều mà các tác

giả mong đợi hơn cả ở học sinh Trong khi đó, Bài tập Đại số 10 nâng cao chỉ có hai

bài ở dạng đặc biệt 1 và ở dạng đặc biệt 3, dạng đặc biệt 5 mỗi trường hợp có một bài

Số lượng khiêm tốn này cho thấy các tác giả không tập trung đi sâu vào các bài tập thuộc kiểu T2 này.

Dạng đặc biệt 1 chiếm số lượng bài tập nhiều nhất (6/14 bài) trong sáu dạng đặc biệt Điều này là kết quả lựa chọn của các tác giả nhằm thể hiện vai trò quan trọng của dạng đặc biệt 1 Sự lựa chọn số lượng bài tập của dạng đặc biệt 1 vượt trội hơn các

dạng đặc biệt khác một mặt nhất quán với bảng 3 và ví dụ 2 (trang 73, Đại số 10 nâng cao) đã nêu, mặt khác góp phần củng cố quy tắc RE.

Bên cạnh đó, các trường hợp có biệt thức  là đa thức bậc hai đối với tham số và

đa thức này có hai nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau) chiếm số lượng bài tập rất ít, mỗi trường hợp chỉ góp một bài trong tổng số các bài tập kiểu T2 một phần là do kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai chưa được giới thiệu

Trong cả hai quyển sách, không hề thấy sự xuất hiện dạng đặc biệt mà hệ số a

hay biệt thức  là một đa thức bậc hai đối với tham số và đa thức này vô nghiệm Trong thực tế giảng dạy, liệu giáo viên có giới thiệu cho học sinh bài tập thuộc dạng

đặc biệt này không? Ví dụ: giải và biện luận phương trình (m2 + 1)x2 + 2mx - 1 = 0? (

có a = m2 +1,  ' = 2m2 + 1)

Trong phần này ngoài việc giải và biện luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0 dựa vào yếu tố công nghệ ở bảng 3, Đại số 10 nâng cao còn giới thiệu một kiến thức mới trong việc biện luận số nghiệm phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0 bằng đồ thị

thông qua ví dụ 3 trang 74

Số nghiệm của phương trình (3) cũng là số nghiệm của

phương trình (4) và bằng số giao điểm của parabol (P):

(h.3.1), ta thấy đỉnh của parabol (P) là điểm M(-1; 1), khi a

thay đổi thì đường thẳng (d) cũng thay đổi nhưng luôn luôn song song (hoặc trùng) với

trục hoành Từ đó, ta suy ra:

- Với a < 1, phương trình (3) vô nghiệm (đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm

Khi viết phương trình (3) dưới dạng x2

+ 3x + 2 = x + a, ta thấy kết quả trên còn cho biết

số giao điểm của parabol y = x2

+ 3x + 2 với đường thẳng y = x + a

Phân tích về ví dụ 2 và ví dụ 3 của Đại số 10 nâng cao trang 73-74, trong luận

văn của Nguyễn Nhật Phương (2012), tác giả có viết:

Về mặt tổ chức toán học, ví dụ 2 và 3 đều là hai nhiệm vụ cụ thể cùng thuộc một

kiểu nhiệm vụ lớn là giải và biện luận phương trình dạng ax2

+ bx + c = 0 Tuy nhiên,

cách phát biểu, yêu cầu và kỹ thuật được huy động trong mỗi ví dụ có những điểm khác nhau

Ví dụ 2 yêu cầu giải và biện luận một phương trình chứa tham số nhưng không

hạn chế kỹ thuật sử dụng Khi đó, kỹ thuật mà sách giáo khoa huy động – chúng tôi tạm

gọi là kỹ thuật đại số – dựa trên yếu tố công nghệ đã trình bày trong bảng 3 Kỹ thuật này

không những chỉ ra số nghiệm mà còn chỉ ra giá trị của từng nghiệm theo các giá trị của tham số

Trái lại, ví dụ 3 chỉ yêu cầu biện luận một phương trình chứa tham số, không yêu

cầu giải nhưng lại hạn chế kỹ thuật sử dụng thông qua nhóm từ “bằng đồ thị” Khi đó, kỹ

thuật mà sách giáo khoa huy động – chúng tôi tạm gọi là kỹ thuật đồ thị – dựa trên yếu tố

công nghệ được phát biểu ngay trong lời giải của ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình đang xét cũng là số giao điểm của parabol với đường thẳng Yếu tố công nghệ này không chỉ biện minh cho lời giải của ví dụ 3 mà còn chuyển bài toán đang xét từ phạm vi 1

đại số (biện luận số nghiệm của phương trình) sang phạm vi hình học (xét số giao điểm của hai

đồ thị) Từ đó, một yếu tố công nghệ khác xuất hiện và can thiệp vào lời giải: đồ thị

trong hình 3.1 Ở đây, đồ thị vừa là một phần của lời giải, vừa tham gia vào lời giải với

tư cách yếu tố công nghệ (thể hiện qua cách diễn đạt “Quan sát đồ thị (h.3.1), ta thấy ”

hoặc những chữ trong dấu ngoặc đơn mô tả vị trí tương đối giữa (P) và (d) nhằm giải

thích vì sao phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt) Cuối

cùng, kỹ thuật đồ thị – như ví dụ 3 đã chứng tỏ – chỉ cho phép biện luận số nghiệm mà

không chỉ ra được giá trị chính xác của nghiệm theo các giá trị của tham số Việc sử dụng

đồ thị để tìm nghiệm gần đúng của phương trình không được đề cập trong sách giáo khoa [20, trang 12-13]

Ngoài ra, ở dưới lời giải ví dụ 3 có phần CHÚ Ý, ta ghi nhận được hai điều Thứ nhất: ta có thể dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của một phương trình và ngược lại

có thể dùng phương trình để biện luận số giao điểm của hai đồ thị Thứ hai: ngoài cách biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào việc biện luận số giao điểm của parabol

(P) và đường thẳng song song với trục hoành ta còn có thể biện luận dựa vào số giao điểm của parabol (P) và đường thẳng không cùng phương với trục hoành Nhằm khắc sâu hơn kiến thức dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0, Đại số 10 nâng cao đã có một bài tập 7 trang 78, với yêu cầu: “Dựa vào hình 3.1 (trang 74), tìm giá trị của a để phương trình (3) cho trong ví dụ (3) có nghiệm

dương.” Với yêu cầu này, học sinh biết được ngoài việc dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình ta còn có thể dùng đồ thị để tìm nghiệm của phương trình thỏa một yêu cầu nào đó

Việc biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị, đây không hẳn là một kiến thức mới đối với học sinh vì thực tế, ở lớp 9, các em đã làm quen với việc tìm số giao điểm của hai đường thẳng dựa vào việc giải hệ phương trình và tìm số nghiệm của hệ phương trình dựa vào việc đưa hai phương trình bậc nhất đó về hai hàm số bậc nhất rồi biểu diễn chúng trên hệ trục tọa độ để kết luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Từ ví dụ 3, ta có kiểu nhiệm vụ T3 dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của

phương trình chứa tham số dạng ax 2 + bx + c = 0

Kiểu nhiệm vụ T3: Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số

m dạng ax 2 + bx + c = 0

Kỹ thuật :

- Đưa phương trình cần biện luận về dạng f(x) = g(m), trong đó: f(x) là hàm số bậc hai

có đồ thị là parabol (P), g(m) là hàm số có đồ thị là đường thẳng (d) song song với trục

hoành

- Vẽ các đồ thị (P): y = f(x); (d): y = g(m)

- Dựa vào đồ thị, xét số giao điểm giữa (P) và (d) theo các giá trị m

- Sử dụng kết quả ở bước ba để kết luận về số nghiệm của phương trình đã cho

Công nghệ :

- Các phép biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả

- Cách vẽ đồ thị Parabol (P), đường thẳng (d)

- Số nghiệm của phương trình f(x) = g(m) chính là số giao điểm của (P) và (d)

Đối với kiểu nhiệm vụ T3: Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình

chứa tham số m dạng ax2 + bx + c = 0 Xét theo đặc điểm của ẩn số x trong phương

trình, kiểu nhiệm vụ T3 này có hai dạng đặc biệt trong cả hai quyển sách:

Đại số 10 nâng cao

Bài tập Đại số 10 nâng cao

Tổng cộng

3.62b)

Bảng 6 Số lượng các dạng đặc biệt của T 3 trong hai quyển sách

Trái ngược với kiểu nhiệm vụ T2, từ bảng 6 ta thấy số lượng bài tập thuộc kiểu

T3, sách Bài tập Đại số 10 nâng cao chiếm số lượng nhiều hơn sách Đại số 10 nâng cao Và số lượng bài tập có mặt ở cả hai dạng đặc biệt Điều này cho thấy việc giải

quyết bài tập kiểu T3 là điều mà các tác giả mong đợi hơn cả ở học sinh và đó là yêu

cầu mang tính nâng cao Trong khi đó, Đại số 10 nâng cao chỉ góp hai bài ở dạng đặc

biệt 1 cho thấy với bài tập kiểu T3 này, các tác giả chỉ yêu cầu ở mức độ cơ bản, chỉ ở

mức độ mang tính chất giới thiệu và làm quen với một kỹ thuật mới đó là kỹ thuật đồ

thị trong việc biện luận số nghiệm của phương trình tham số dạng ax2 + bx + c = 0

Ngoài ra, bảng 6 cho thấy dạng đặc biệt 1 có số lượng bài tập nhiều nhất trong cả

hai quyển sách, chiếm tuyệt đại đa số (5/6) trong các bài tập kiểu T3 Sự lựa chọn số

lượng bài tập của dạng đặc biệt 1 vượt trội hơn dạng đặc biệt 2 nhằm nhất quán với ví

dụ 3 (trang 74, Đại số 10 nâng cao) đã nêu vì đó là ví dụ mẫu của các bài tập kiểu T3

Dạng đặc biệt 2 chỉ xuất hiện một bài duy nhất ở sách Bài tập Đại số 10 nâng

cao Độ phức tạp của dạng đặc biệt 2 cao hơn dạng đặc biệt 1 Tuy nhiên, việc sử dụng

kỹ thuật đồ thị tỏ ra chiếm ưu thế hơn so với kỹ thuật đại số khi áp dụng vào dạng đặc

biệt 2 này Vì với dạng đặc biệt 2, nếu dùng kỹ thuật đại số để giải thì trong một số

trường hợp ta phải xét cụ thể hai trường hợp x < 0; x  0, nghĩa là ta phải giải và biện

luận hai phương trình

Ngoài ra trong phần bài tập của hai quyển sách Đại số 10 nâng cao và Bài tập

Đại số 10 nâng cao, chúng tôi ghi nhận có xuất hiện hai kiểu nhiệm vụ mới: kiểu

nhiệm vụ T4 và T5

Kiểu nhiệm vụ T4: Biện luận theo tham số số giao điểm của hai đường y = f(x) và

y = g(x,m) (trong đó một đường là parabol và đường còn lại là đường thẳng hoặc

parabol)

Kỹ thuật :

- Xét phương trình f(x) = g(x,m) hay f(x) - g(x,m) = 0

- Biến đổi tương đương đưa f(x) - g(x,m) = 0 về dạng ax + b = 0 hay ax2 + bx + c = 0

- Giải và biện luận phương trình này

- Kết luận: Ứng với từng giá trị m, số nghiệm phương trình trên chính là số giao điểm

của hai đồ thị

Công nghệ :

- Số giao điểm của (P) và (d) chính là số nghiệm của phương trình f(x) = g(x,m)

- Các phép biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả

- Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0; ax2 + bx + c = 0

Đối với kiểu nhiệm vụ T4: Biện luận theo tham số số giao điểm của hai đường

y = f(x) và y = g(x,m) (trong đó một đường là parabol và đường còn lại là đường thẳng

hoặc parabol) Xét theo phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị, kiểu nhiệm vụ T4này có hai dạng đặc biệt trong cả hai quyển sách:

Dạng đặc

biệt

Phương trình hoành độ giao điểm

Các minh họa tương ứng cho từng dạng đặc biệt

Đại số 10 nâng cao

Bài tập Đại số 10 nâng cao

Tổng cộng

bài 3.16)

Bảng 7 Số lượng các dạng đặc biệt của T 4 trong hai quyển sách

Bảng 7 cho thấy số lượng bài tập kiểu T4 xuất hiện rất khiêm tốn chỉ vọn vẹn bốn bài trong cả hai quyển sách Điều này cho thấy các tác giả chỉ muốn giới thiệu cho học

sinh biết một ứng dụng của giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0; ax2 + bx +

c = 0 là giải quyết các bài tập kiểu T4 này Khi mà việc giải và biện luận phương trình

dạng ax + b = 0; ax2 + bx + c = 0 có đến 38 bài (24 bài dạng ax + b = 0 và 14 bài dạng

ax2 + bx + c = 0 trong cả hai quyển sách)

Số lượng bài tập kiểu T4 ở hai quyển sách như nhau nhưng Đại số 10 nâng cao, chỉ giới thiệu dạng đặc biệt 1 không giới thiệu dạng đặc biệt 2, còn trong Bài tập Đại

số 10 nâng cao có mặt cả hai dạng đặc biệt Đó cũng là điều mà các tác giả ở mỗi

quyển sách mong đợi hơn cả ở học sinh

Kiểu nhiệm vụ T5: Định tham số để phương trình dạng ax + b = 0 hay ax2 + bx +

c = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm thỏa yêu cầu bài toán

Kỹ thuật :

- Biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng ax2 + bx + c = 0 hay ax + b = 0

- Dựa vào bảng 1 hay bảng 3, chọn ra những trường hợp thỏa yêu cầu bài toán

- Ứng với từng trường hợp, xét các giá trị của tham số thỏa yêu cầu

- Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm thỏa yêu cầu bài toán thì kết hợp sử dụng định lí Vi-ét để tìm giá trị của tham số thỏa mãn yêu cầu

- Giá trị cần tìm chính là tất cả giá trị của tham số thỏa mãn trong từng trường hợp

Công nghệ :

- Bảng 1 Kết quả giải và biện luận PT dạng ax + b = 0

- Bảng 3 Kết quả giải và biện luận PT dạng ax2 + bx + c = 0

- Định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0.

Đối với kiểu nhiệm vụ T5: Định tham số để phương trình dạng ax + b = 0, ax2 +

bx + c = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm thỏa yêu cầu bài toán Dựa vào dạng phương

trình và yêu cầu bài toán, kiểu nhiệm vụ T5 này có ba dạng đặc biệt trong cả hai quyển sách:

Bài tập Đại số 10 nâng cao

Tổng cộng

hai nghiệm bằng nhau

(Bài tập Đại số 10 nâng cao,

trang 60, bài 3.15a)

Bảng 8 Số lượng các dạng đặc biệt của T 5 trong hai quyển sách

Bảng 8 cho thấy số lượng bài tập kiểu T5 xuất hiện tương đối nhiều (33 bài) Trong khi đó, số lượng bài tập kiểu T1 (24 bài) và kiểu T2 (14 bài) ở cả hai quyển sách Bên cạnh đó, số lượng bài tập kiểu T5 trong Bài tập Đại số 10 nâng caochiếm số lượng lớn nhất trong tất cả các bài tập thuộc các kiểu nhiệm vụ Nếu bài tập thuộc kiểu

T2 chỉ vỏn vẹn bốn bài trong Bài tập Đại số 10 nâng cao thì với bài tập thuộc kiểu T5

có đến 21 bài Điều này cho thấy các tác giả ở hai quyển sách đặc biệt là Bài tập Đại

số 10 nâng cao rất quan tâm đến bài tập kiểu T5 này Qua đây ta thấy được bài tập kiểu T5 chiếm một vị trí quan trọng trong cả hai quyển sách Liệu bài tập kiểu T5 có còn xuất hiện ở các lớp 11, 12 và có xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng?

Trong số các dạng đặc biệt ở kiểu T5, dạng đặc biệt 3 có số lượng bài tập chiếm nhiều nhất (14/33 bài) Điều này là kết quả lựa chọn của các tác giả nhằm thể hiện vai trò quan trọng của dạng đặc biệt này Đó cũng là điều mà các tác giả ở mỗi quyển sách mong đợi hơn cả ở học sinh

1.1.3 Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai

Sau khi học sinh đã biết kỹ thuật giải và biện luận phương trình chứa tham số

dạng ax + b = 0; ax 2 + bx + c = 0, sách Đại số 10 nâng cao giới thiệu một số dạng

phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai

Do thời gian có hạn, trong bài chỉ giới thiệu hai dạng phương trình có tính chất điển hình

về phương pháp giải

- Dạng thứ nhất là axb  cxd

- Dạng thứ hai là dạng phương trình có chứa ẩn ở mẫu thức

(Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao trang 116)

1.1.3.1 Phương trình dạng axb  cxd

Theo cách trình bày của sách Đại số 10 nâng cao trang 81

[ ] ta có axb  cxd  axb(cxd)

Như vậy, muốn giải phương trình axb  cxd , ta chỉ việc giải hai phương trình

ax + b = - (cx + d) và ax + b = cx + d rồi lấy tất cả các nghiệm thu được

Qua cách trình bày trên ta thấy sách không sử dụng kí hiệu “[“ Với cách viết

)(

d cx b

ax

d cx b ax d

cx

b

không dùng? Để giải thích cho câu hỏi này, sách giáo viên Đại số 10 nâng cao trang

106 giải thích như sau:

Vì lí do sư phạm, SGK đã không đưa vào khái niệm tuyển phương trình, cũng không sử dụng kí hiệu “[“ Khi gặp trường hợp cần đến khái niệm tuyển phương trình, SGK dùng

từ “hoặc” để thay thế

Sau khi nêu cách giải 1, Đại số 10 nâng cao nêu ra một ví dụ, trang 81:

Ví dụ 1 Giải và biện luận phương trình mx 2  xm (1)

Hướng dẫn Để giải phương trình (1), ta phải giải hai phương trình:

Để kết luận về nghiệm của phương trình đã cho, ta lập bảng sau đây

2

11

Bảng 9 Kết quả giải và biện luận phương trình mx 2  xm

Mặc dù chỉ là hướng dẫn giải nhưng qua cách trình bày trên ta thấy sách Đại số

10 nâng cao đã tránh không dùng kí hiệu “[“ hay dùng các liên từ “và”, “hoặc” để chỉ

sự xuất hiện của hai phương trình (1a) và (1b) Có thể vì lí do sư phạm nên sách Đại

số 10 nâng cao không dùng như cách giải thích ở trang 106 của sách giáo viên Bên

cạnh đó, với cách viết phần kết luận dưới dạng bảng ở trên, ta thấy khi m  1 thì nghiệm của (1) là

không ? Tại sao sách giáo khoa không đề cập đến trường hợp này? Và nếu thay vì lập

bảng để kết luận thì học sinh kết luận dựa vào từng trường hợp của m, viết ra tập

nghiệm thì khi đó xảy ra việc khi m  1 tập nghiệm là

2

m

m m

m

xảy ra mâu thuẫn trong cách viết tập hợp không? Để trả lời cho các câu hỏi trên, chúng

tôi tìm thấy lời giải thích vấn đề này ở sách giáo viên Đại số 10 nâng cao trang 102:

Khi giải và biện luận một phương trình, ta thường phải nói đến số nghiệm của phương

trình Hiểu chính xác thì số nghiệm của một phương trình là số phần tử của tập nghiệm

của phương trình đó Cách hiểu đó đòi hỏi các phần tử, tức là các nghiệm của phương trình, phải đôi một khác nhau

Tuy nhiên, nếu đòi hỏi cao như thế thì đôi khi lời giải sẽ phải chi tiết và rất phức tạp Bởi vậy, chúng ta không nên đòi hỏi tỉ mỉ trong mỗi kết luận về tập nghiệm của một phương trình, trừ trường hợp bài toán yêu cầu xét số nghiệm của một phương trình [ ] Vậy muốn nhấn mạnh tính phân biệt của hai nghiệm thì ta nói “phương trình có hai nghiệm phân biệt”, còn khi diễn đạt “phương trình có hai nghiệm” thì ta hiểu rằng có thể hai nghiệm đó trùng nhau Trong trường hợp này, ta không nên sử dụng cách viết các nghiệm của một phương trình dưới dạng tập hợp (nhưng nếu HS có sử dụng cách viết này thì cũng không nên bắt lỗi)

Ngoài cách giải 1 trên, sách giáo khoa có giới thiệu thêm cách giải 2 “Do hai vế của phương trình axb  cxd luôn không âm nên khi bình phương hai vế của nó,

ta được phương trình tương đương” (Đại số 10 nâng cao, trang 82) Ngoài việc khai

triển sau khi bình phương, ta có thể đưa phương trình về tuyển bằng cách áp dụng :

B A B

A B A B

Từ đây, ta có kiểu nhiệm vụ T6 của bài toán giải và biện luận phương trình chứa

)1(0)()()

d b x c a d

cx b

ax

d cx b ax d

cx

b

ax

- Giải và biện luận phương trình (1); phương trình (2)

- Nghiệm của phương trình (*) chính là hợp các nghiệm của (1) và (2)

Công nghệ 6.1:

- Tính chất giá trị tuyệt đối và cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0

Kỹ thuật 6.2:

) 3 ( 0 )

( 2 ) (

) (

- Giải và biện luận phương trình (3)

- Nghiệm của phương trình (*) chính là nghiệm của (3)

Công nghệ 6.2: - Tính chất giá trị tuyệt đối và cách giải và biện luận phương trình

dạng ax + b = 0, ax 2 + bx + c = 0

Kỹ thuật 6.3:

d cx

)1(

d cx b

ax

d cx b ax

- Giải và biện luận phương trình (1); phương trình (2)

- Nghiệm của phương trình (*) chính là hợp các nghiệm của (1) và (2)

Công nghệ 6.3: - Tính chất giá trị tuyệt đối, hằng đẳng thức A2 - B2 = (A + B)(A - B), A.B = 0 A = 0 hay B = 0 và cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0

Tóm lại, với phương trình dạng axb  cxd được sách giáo khoa giới thiệu hai kỹ thuật giải Kỹ thuật giải dựa vào tính chất giá trị tuyệt đối và kỹ thuật giải bình phương hai vế phương trình để làm mất dấu giá trị tuyệt đối Cả hai kỹ thuật này đều

đưa bài toán về dạng đã học đó là giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0,

ax 2 + bx + c = 0 Với hai kỹ thuật trên đây, thì tùy từng bài toán cụ thể mà kỹ thuật này

trở nên tối ưu còn kỹ thuật kia có phần hạn chế Tuy vậy, theo sách giáo viên Đại số

10 nâng cao trang 116 thì kỹ thuật 6.1 vẫn được ưu tiên hơn “Tất nhiên dạng

d cx

b

ax   có nhiều cách giải Nói chung, cách giải đơn giản nhất theo chúng tôi

là cách đưa về tuyển Do đó, cách này đã được trình bày đầy đủ trong sách giáo khoa.”

Tiến hành xem xét các dạng bài tập ở cả hai sách Đại số 10 nâng cao và Bài tập Đại số 10 nâng cao, chúng tôi nhận thấy:

Đối với kiểu nhiệm vụ T6: Giải và biện luận phương trình dạng axb  cxd

chứa tham số m Dựa vào dạng phương trình, kiểu nhiệm vụ T6 này có hai dạng đặc biệt trong cả hai quyển sách:

Dạng

đặc biệt

Phương trình Các minh họa

tương ứng cho từng dạng đặc biệt

Đại số 10 nâng cao

Bài tập Đại

số 10 nâng cao

Tổng cộng

3 2

mx (Bài tập Đại số 10 nâng cao, trang 68,

bài 3.60b)

Bảng 10 Số lượng các dạng đặc biệt của T 6 trong hai quyển sách

Bảng 10 cho ta thấy số lượng bài tập của dạng đặc biệt 2 chiếm đại đa số (8/11 bài) và nếu xét về độ phức tạp thì dạng đặc biệt 2 phức tạp hơn dạng đặc biệt 1 Điều này cho thấy việc giải quyết bài tập ở dạng đặc biệt 2 là một trong những yêu cầu cơ bản nhưng mang tính nâng cao mà các tác giả mong đợi ở học sinh, đồng thời thể hiện

được sự nhất quán với dạng phương trình axb  cxd đã nêu trong mục này và ví

dụ mẫu được nêu ở trang 81 của Đại số 10 nâng cao Chỉ riêng dạng đặc biệt 2, Bài tập Đại số 10 nâng cao nêu ra 5/11 bài nhiều hơn Đại số 10 nâng cao, với số lượng

này cho thấy các tác giả muốn nhấn mạnh vai trò của dạng đặc biệt 2 trong các bài tập thuộc kiểu T6

1.1.3.2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Khác với cách trình bày giải và biện luận phương trình dạng axb  cxd ,

sách Đại số 10 nâng cao trang 82 chỉ ghi “Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức,

ta phải chú ý đến điều kiện xác định của phương trình” và sau đó trình bày hai ví dụ

mẫu Ta xét hai ví dụ mẫu của sách Đại số 10 nâng cao trang 82 dưới đây:

Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình 2

x bị loại Phương trình (2) vô nghiệm

2) Với m = 2, phương trình (2a) trở thành 0x = -3 Phương trình này vô nghiệm nên

phương trình (2) vô nghiệm

Kết luận

Khi m  2 và m  -1, phương trình (2) có nghiệm 3

2

x m







Khi m = 2 hoặc m = -1, phương trình (2) vô nghiệm

Ví dụ 3 Giải và biện luận phương trình

26)1(2

m x m x

Phương trình (3a) luôn có hai nghiệm là x = 3 và x = 2m

- Giá trị x = 3 thỏa mãn điều kiện x > 2 nên nó là nghiệm của phương trình (3) với mọi m

- Để giá trị x = 2m là nghiệm của (3), nó phải thỏa mãn điều kiện x > 2

Ta có 2m > 2 m > 1 Điều đó có nghĩa là:

- Nếu m > 1 thì x = 2m là nghiệm của (2);

- Nếu m  1 thì x = 2m không thỏa mãn điều kiện của ẩn và bị loại

Tổng hợp các kết quả trên, ta đi đến kết luận:

Khi m > 1, phương trình (3) có hai nghiệm x = 3 và x = 2m;

(hai nghiệm này trùng nhau khi m =

2

3

)

Khi m  1, phương trình (3) có một nghiệm duy nhất x = 3

Đây là hai ví dụ về giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu Phương trình ở hai ví dụ này sau khi xác định điều kiện cho phương trình đều được biến đổi tương

đương để đưa về giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 (ví dụ 2, trang 82) và dạng ax2 + bx + c = 0 (ví dụ 3, trang 83) Qua hai ví dụ trên ta thấy, việc giải và biện

luận phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, sau khi xác định điều kiện cho phương trình, cũng vận dụng các phép biến đổi tương đương để đưa bài toán về dạng giải và biện

luận phương trình dạng ax + b = 0 hay ax2 + bx + c = 0 Tuy nhiên việc có thêm điều

kiện để phương trình xác định là một khó khăn đối với học sinh

Dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu thức học sinh cũng đã biết cách giải phương trình dạng này ở lớp dưới Tuy nhiên, giải và biện luận phương trình có tham số ở dạng này thì phức tạp hơn nhiều Khó khăn là ở chỗ, học sinh phải biết cách xét xem với giá trị nào của tham số thì mỗi giá trị tìm được của ẩn thỏa mãn hay không thỏa mãn điều kiện của phương trình Từ đó mà có những kết luận đúng về tập nghiệm của phương trình ban đầu

[Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao, trang 116]

Từ đây, ta có kiểu nhiệm vụ T7 của bài toán phương trình chứa tham số đó là giải

và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Kiểu nhiệm vụ T7: Giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu thức (*)

Kỹ thuật :

- Tìm điều kiện xác định của phương trình

- Với điều kiện ở bước 1, biến đổi tương đương phương trình (*) đưa phương trình về

dạng ax2 + bx + c = 0 hay ax + b = 0

- Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 hay ax + b = 0

- Với những nghiệm ở bước 3, so với điều kiện ở bước 1 Kết luận nghiệm của phương

trình (*) theo từng giá trị m

Công nghệ :

- Điều kiện xác định của các biểu thức đại số đã được trình bày ở sách giáo khoa và

cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0; ax2 + bx + c = 0

Tiến hành xem xét các dạng bài tập ở cả hai sách Đại số 10 nâng cao và Bài tập Đại số 10 nâng cao, chúng tôi nhận thấy:

Đối với kiểu nhiệm vụ T7: giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Dựa vào dạng phương trình, kiểu nhiệm vụ T7 này có hai dạng đặc biệt trong cả hai quyển sách:

Dạng

đặc biệt

Phương trình

chứa mẫu thức

Các minh họa tương ứng cho từng dạng đặc biệt

Đại số 10 nâng cao

Bài tập Đại

số 10 nâng cao

Tổng cộng

) 2 )(

1 (

mx x

(Bài tập Đại số 10 nâng cao, trang 63, bài

(Đại số 10 nâng cao,

Bảng 11 cho ta thấy số lượng bài tập của dạng đặc biệt 1 nhiều gấp đôi số lượng bài tập ở dạng đặc biệt 2 và nếu xét về độ phức tạp thì dạng đặc biệt 2 phức tạp hơn dạng đặc biệt 1 Điều này cho thấy việc giải quyết bài tập ở dạng đặc biệt 1 là một trong những yêu cầu cơ bản mà các tác giả mong đợi ở học sinh Nếu so với 4 bài tập thuộc kiểu T2 ở Bài tập Đại số 10 nâng cao thì số lượng bài thuộc kiểu T7 cho thấy Bài tập Đại số 10 nâng cao ưu tiên hơn một chút cho kiểu nhiệm vụ T7

số 10 nâng cao trang 117 giải thích như sau:

Chính vì tính chất điển hình của các phương pháp giải nêu trong bài học mà học sinh có thể giải được nhiều dạng phương trình khác như phương trình tích, phương trình có ẩn trong dấu căn bậc hai (dạng đơn giản) mà không cần có ví dụ mẫu

Qua xem xét các bài tập giải và biện luận phương trình tích xuất hiện trong Đại

số 10 nâng cao và Bài tập Đại số 10 nâng cao, chúng tôi ghi nhận chỉ tồn tại hai

trường hợp sau đây:

- Dạng đặc biệt 1: Phương trình tích gồm tích của hai đa thức bậc nhất có chứa tham

số m

- Dạng đặc biệt 2: Phương trình tích gồm tích của một đa thức bậc nhất có chứa tham

số m và một biểu thức căn bậc hai không chứa tham số m

Dưới đây là các minh họa tương ứng cho hai dạng đặc biệt nói trên:

 (2x + m - 4).(2mx - x + m) = 0 (Đại số 10 nâng cao, trang 85, bài 26a)

 (mx + 1) x1 = 0 (Đại số 10 nâng cao, trang 85, bài 26c)

Ta có kiểu nhiệm vụ T8 của bài toán phương trình chứa tham số đó là giải và biện

luận phương trình tích có dạng f(x) g(x) = 0

Kiểu nhiệm vụ T8: Giải và biện luận phương trình tích có dạng f(x) g(x) = 0 (*)

Kỹ thuật :

- Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu có)

- Sử dụng công thức f(x) g(x) = 0  f(x) = 0 hoặc g(x) = 0 Biến đổi tương đương đưa f(x) = 0; g(x) = 0 về dạng ax + b = 0 hay ax2 + bx + c = 0

- Giải và biện luận từng phương trình f(x) = 0; g(x) = 0

- Với những nghiệm ở bước 3, so với điều kiện ở bước 1 Kết luận nghiệm của phương trình (*) theo từng giá trị của tham số

Công nghệ :

- Điều kiện xác định của các biểu thức đại số đã được trình bày ở sách giáo khoa;

- Cách giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0; ax + b = 0;

- Điều kiện để một tích bằng không

Tiến hành thống kê số lượng bài tập ở cả hai sách Đại số 10 nâng cao và Bài tập Đại số 10 nâng cao, chúng tôi nhận thấy:

tham số m và một biểu thức căn

bậc hai không chứa tham số m

Bảng 12 Số lượng các dạng đặc biệt của T 8 trong hai quyển sách

Bảng 12 cho ta thấy số lượng bài tập ở dạng đặc biệt 1 chiếm đa số (5/7 bài) và nếu xét về độ phức tạp thì dạng đặc biệt 2 phức tạp hơn dạng đặc biệt 1 Điều này cho thấy việc giải quyết bài tập ở dạng đặc biệt 1 là một trong những yêu cầu cơ bản mà

các tác giả mong đợi ở học sinh Bài tập Đại số 10 nâng cao không nêu ra bài tập cho

dạng đặc biệt 2 và chỉ góp hai bài ở dạng đặc biệt 1, dạng đặc biệt 2 chỉ mang tính chất

giới thiệu ở Đại số 10 nâng cao với số lượng 2 bài Điều này cho ta thấy, dạng phương

trình vô tỉ chỉ mang tính chất giới thiệu cho học sinh biết Dạng toán giải và biện luận phương trình vô tỉ có chứa tham số không được sách giáo khoa quan tâm bởi vì theo

sách giáo viên Đại số 10 nâng cao trang 4 có ghi “ , đặc biệt không yêu cầu biện luận

các phương trình và bất phương trình phức tạp như phương trình hay bất phương trình

vô tỉ”

Bên cạnh đó, dạng đặc biệt 1 của kiểu T8 có thể xem như đó là dạng bài của kiểu

T6 (Giải và biện luận phương trình dạng axb  cxd ) hoặc có thể khai triển để đưa

về dạng bài của kiểuT2 (Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0) và dạng

đặc biệt 2 của kiểu T8 có thể xem như đó là dạng bài của kiểu T7 (Giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu thức) Đó là một phần lí do giải thích tại sao giải và biện luận phương trình tích không nêu ra nhưng vẫn xuất hiện ở phần bài tập của hai quyển

sách

1.2 Kết luận về sách Đại số 10 nâng cao

Trong sách Đại số 10 nâng cao, chương 3 (Phương trình và hệ phương trình) là chương đầu tiên giới thiệu tường minh các khái niệm: tham số, phương trình chứa tham số, giải và biện luận phương trình chứa tham số Và theo như Đại số 10 nâng cao trang 65 có viết “[ ] Trong đó, điều đáng lưu ý và tương đối khó là vấn đề giải và

biện luận phương trình.”

Trong phần bài học, Đại số 10 nâng cao nêu ra hai kết quả giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0; ax 2 + bx + c = 0 dưới dạng bảng 1 và bảng 3 Đây là hai

bảng đóng vai trò là yếu tố công nghệ trong việc giải và biện luận các phương trình chứa tham số được cho trong phần bài tập Hai kỹ thuật được nêu ra để giải quyết các bài tập trong phần này là kỹ thuật đại số và kỹ thuật đồ thị Ngoài ra, sách còn giới thiệu dạng phương trình quy về bậc nhất, bậc hai một ẩn đó là phương trình có ẩn ở mẫu thức, phương trình dạng axb  cxd

Trong phần bài tập gồm có tám kiểu nhiệm vụ và số lượng bài tập ở mỗi kiểu

nhiệm vụ trong cả hai quyển sách Đại số 10 nâng cao và Bài tập Đại số 10 nâng cao

được tổng kết dưới đây:

T1: Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 chứa tham số

T2: Giải và biện luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0 chứa tham số

T3: Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số dạng ax 2 + bx

+ c = 0

T4: Biện luận theo tham số số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x,m) (trong

đó một đường là parabol và đường còn lại là đường thẳng hoặc parabol)

T5: Định tham số để phương trình dạng ax + b = 0 hay ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm

hoặc có nghiệm thỏa yêu cầu bài toán

T6: Giải và biện luận phương trình dạng axb  cxd

T7: Giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

T8: Giải và biện luận phương trình tích có dạng f(x) g(x) = 0

Kiểu nhiệm vụ Đại số 10 nâng

Bảng 13 Số lượng bài tập thuộc tám kiểu nhiệm vụ trong hai quyển sách

Bảng 13 cho ta thấy số lượng bài tập ở hai quyển sách ngang bằng nhau và cả

tám kiểu nhiệm vụ đều xuất hiện ở cả hai quyển sách Với Đại số 10 nâng cao tập

trung vào ba kiểu nhiệm vụ T1, T2 và T5 Bài tập Đại số 10 nâng cao đặc biệt ưu tiên

cho kiểu nhiệm vụ T5, kiểu nhiệm vụ T1 xếp thứ hai sau đó Đó cũng là những yêu cầu

mà các tác giả ở mỗi quyển sách mong đợi hơn cả ở học sinh