LUẬN VĂN THẠC SĨ DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM Dương Văn Tú (2015)

Hiệu số Fb – Fa được gọi là tích phân từ a đến b hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số fx, kí hiệu là Một định nghĩa khác được trình bày trong một giáo trình Giải tích Giáo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Dương Văn Tú

DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Dương Văn Tú

DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực

LỜI CẢM ƠN

Tôi trân trọng dành những dòng đầu tiên để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã luôn động viên, tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn này

Tôi cũng trân trọng gửi lời cảm ơn đến:

 PGS TS Lê Thị Hoài Châu, người đã truyền đạt cho chúng tôi những tri thức về Thuyết nhân học trong Didactic, với sự nghiêm khắc nhưng đầy nhiệt tình của cô, chúng tôi đã luôn nỗ lực trong học tập và nghiên cứu

 PGS TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Thị Nga, TS

Vũ Như Thư Hương

Mỗi thầy cô đã tận tình giảng dạy, giải đáp cho chúng tôi về những nội dung còn mới mẻ của chuyên ngành Didactic Toán Từ đó, thầy cô đã truyền cho chúng tôi niềm đam mê, hứng thú đối với chuyên ngành này

 GS Annie Bessot, GS Claude Comiti về những góp ý quý báu cho luận văn

Và tôi cũng chân thành cảm ơn:

 UBND tỉnh Bình Phước, Sở GD&ĐT tỉnh Bình Phước, Ban Giám Hiệu trường CĐSP Bình Phước đã tạo điều kiện giúp tôi được tham gia khóa học

 Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán- Tin trường ĐH Sư Phạm TP HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập tại đây

 Các bạn trong lớp cao học - Didactic toán khóa 24 về những chia sẻ, động viên để hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tôi xin dành những lời cảm ơn, những sự trìu mến nhất đến gia đình tôi, đặc biệt là vợ tôi Nguyễn Thị Miền và con gái tôi Dương Nguyễn Thảo My Chính gia đình tôi đã mang tới niềm vui, niềm hạnh phúc để tôi quyết tâm hoàn thành khóa học

Dương Văn Tú

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

CTTCĐ: Chương trình toán cao đẳng

GTVTPLT: Giáo trình phép tính vi phân và tích phân

DANH MỤC CÁC BẢNG Trang

Bảng 1.1 Bảng các tổng tương ứng 15

Bảng 1.2 Bảng giá trị vận tốc 18

Bảng 1.3 Bảng tóm tắt các KNV 35

Bảng 1.4 Bảng tóm tắt các KNV 47

Bảng 2.1 Bảng giá trị vận tốc (km/h) 54

Bảng 2.2 Bảng giá trị vận tốc (m/s) 54

Bảng 2.3 Bảng tổng hợp kết quả thực nghiệm câu 1 66

Bảng 2.4 Bảng tổng hợp kết quả thực nghiệm câu 2 71

Bảng 2.5 Bảng so sánh kết quả thực nghiệm câu 1 và câu 2 76

Bảng 2.5 Bảng tổng hợp kết quả thực nghiệm câu 3 77

DANH MỤC CÁC HÌNH Trang

Hình 1.1 Quy trình mô hình hóa toán học 11

Hình 1.2 S = {(x ; y)  a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} 12

Hình 1.3 Diện tích A của các miền đa giác 13

Hình 1.4 S = {(x; y)  0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2} 14

Hình 1.5.1 Chia miền S 14

Hình 1.5.2 Hình chữ nhật chứa S 14

Hình 1.5.3 Hình chữ nhật trong S 14

Hình 1.6 Xấp xỉ miền S với tám hình chữ nhật 15

Hình 1.7 Xấp xỉ miền phẳng S tổng quát 16

Hình 1.8 Hàm diện tích g(x) 21

Hình 1.9 Đồ thị hàm y = f(t) 22

Hình 1.10 Hình minh họa tính g(1), g(2), g(3) 23

Hình 1.11 Hình minh họa tính g(4), g(5) 23

Hình 1.12 Đồ thị hàm g(x) 23

Hình 1.13 Hình minh họa g(x+h) – g(x) 24

Hình 1.14 Miền cần tính diện tích 31

Hình 1.15 Các miền tam giác 32

Hình 1.16 Chia miền cần tính diện tích 39

Hình 2.1 Miền phẳng D 55

Hình 2.2 Hình bậc thang xấp xỉ miền D 56

Hình 2.3 Đồ thị hàm y = f(t) trên [0; 5] 57

Hình 2.4 Hình phác họa đồ thị hàm y = g(x) của nhóm 1 75

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa

Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các thuật ngữ viết tắt Danh mục các bảng Danh mục các hình vẽ MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

1.1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 1

1.2 Tổng quan về các công trình nghiên cứu liên quan đến đề tài 2

1.3 Xác định lại vấn đề đề nghiên cứu 5

2 Khung lý thuyết tham chiếu và câu hỏi nghiên cứu 5

3 Mục tiêu nghiên cứu và lợi ích của nghiên cứu 6

3.1 Mục tiêu nghiên cứu 6

3.2 Lợi ích của nghiên cứu 6

4 Phương pháp nghiên cứu 6

5 Cấu trúc của luận văn 7

CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM 8

1.1 Khái niệm tích phân trong một giáo trình của Mỹ 8

1.1.1 Tiếp cận khái tích phân bằng bài toán tính diện tích 11

1.1.2 Định nghĩa tích phân xác định 18

1.1.4 Mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm 19

1.1.5 Các tổ chức toán học 27

1.1.6 Một số kết quả về phân tích giáo trình Mỹ 34

1.2 Khái niệm tích phân trong chương trình, giáo trình Việt Nam 35

1.2.1 Khái niệm tích phân trong chương trình vi tích phân hàm một biến 35

1.2.2 Khái niệm tích phân trong giáo trình vi tích phân hàm một biến 36

1.2.3 Các tổ chức toán học 43

1.2.4 Một số kết quả về phân tích chương trình, giáo trình Việt Nam 47

1.3 So sánh việc dạy học khái niệm tích phân trong giáo trình của Mỹ và Việt Nam 48

1.3.1 Về dạy học định nghĩa tích phân 48

1.3.2 Về dạy học mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân và nguyên hàm 48

1.4 Kết luận chương 1 49

CHƯƠNG 2: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 51

2.1 Mục tiêu của thực nghiệm 51

2.2 Các lựa chọn cố định cho các tình huống của thực nghiệm 51

2.3 Nội dung thực nghiệm 52

2.4 Phân tích tiên nghiệm 55

2.4.1 Tổ chức thực nghiệm 55

2.4.2 Phân tích câu 1 56

2.4.3 Phân tích câu 2 59

2.4.4 Phân tích câu 3 62

2.5 Phân tích hậu nghiệm 64

2.5.1 Phân tích câu 1 65

2.5.2 Phân tích câu 2 69

2.5.3 Phân tích câu 3 74

2.6 Kết luận chương 2 79

KẾT LUẬN 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Chúng tôi bắt đầu nghiên cứu của mình bằng hai định nghĩa tích phân khác nhau

ở hai bậc học: Trung học phổ thông (THPT) và Cao đẳng Sư phạm (CĐSP)

Dưới đây là định nghĩa trong một quyển sách giáo khoa (SGK) Giải tích 12 hiện hành bậc THPT:

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là

Một định nghĩa khác được trình bày trong một giáo trình Giải tích (Giáo trình

phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến số của tác giả Nguyễn Mạnh Quý,

Nguyễn Xuân Liêm (2006)) Giáo trình này được sử dụng trong đào tạo giáo viên ở Trường CĐSP Bình Phước

Cho f là hàm số xác định trên [a; b]

Hãy chia tùy ý [a; b] thành n phần bằng các điểm chia x0 = a<x1< x2 < … < xn =

b, và gọi đây là một phép phân hoạch [a; b] Lập tổng (gọi là tổng tích phân)

𝜎 = ∑𝑛 𝑓(𝑖)

𝑖=1 ∆𝑥𝑖 , với i tùy ý trên [xi-1; xi], ∆𝑥𝑖 = xi – xi-1

Ta gọi độ dài lớn nhất của các đoạn ∆𝑥𝑖, i =1, 2, …, n là đường kính của phép phân hoạch kí hiệu là 

Định nghĩa

Nếu giới hạn

𝐼 = lim

 →0𝜎

tồn tại, không phụ thuộc vào cách chia [a; b] và cách chọn điểm i thì ta gọi đó là

tích phân xác định hoặc tích phân Riemann của hàm số y = f(x) trên [a; b] và kí

hiệu

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 = lim

 →0∑𝑛 𝑓(𝑖)

𝑖=1 ∆𝑥𝑖 Khi đó ta nói f khả tích trên [a; b], a và b được gọi là các cận dưới và cận trên của tích phân

Định nghĩa ở cấp THPT chính là công thức Newton – Leibniz, còn định nghĩa ở Trường CĐSP bằng giới hạn của (tổng Riemann)1

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt ra câu hỏi xuất phát như sau:

Sự không nối khớp của các định nghĩa tích phân ở cấp THPT và cấp CĐSP tạo thuận lợi và khó khăn gì cho sinh viên khi gặp định nghĩa tích phân mới ở Trường CĐSP?

Ở cơ sở đào tạo của chúng tôi (Trường Cao đẳng Sư phạm Bình Phước), sinh

viên các ngành Sư phạm Toán và Sư phạm Lý đều học nội dung Phép tính vi phân và

tích phân hàm một biến Vì vậy, các sinh viên của hai ngành sư phạm này là những

chủ thể của quá trình học tập được nghiên cứu trong luận văn

Với những ghi nhận ban đầu đã nêu ở trên, chúng tôi chọn đề tài: “DẠY HỌC KHÁI

NIỆM TÍCH PHÂN Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM” để thực hiện nghiên

cứu cho luận văn thạc sỹ của mình

1.2 Tổng quan về các công trình nghiên cứu liên quan đến đề tài

Về đối tượng tri thức tích phân, trong nước, chúng tôi tóm tắt dưới đây một số công trình nghiên cứu liên quan đến luận văn của mình

 Luận văn thạc sỹ của Trần Lương Công Khanh (2002) “Nghiên cứu didactic về những khó khăn chính của học sinh khi tiếp thu khái niệm tích phân”

Tác giả đã tóm tắt lịch sử xuất hiện khái niệm tích phân và cho thấy tiến trình đưa tới xuất hiện khái niệm tích phân (tích phân Cauchy2, Riemann3) và một số tích phân khác phát triển sau hai khái niệm tích phân trên

Tác giả cũng đã nghiên cứu về sự chuyển đổi didactic khái niệm tích phân trong sách giáo khoa giải tích 12 (SGK) ở các giai đoạn: “trước cải cách” (được sử dụng ở phía nam từ 1975 đến 1990 (do SGK này đưa vào dạy học định nghĩa tích phân bằng giới hạn của tổng Riemann).

Như vậy định nghĩa tích phân bằng tổng Riemann đã từng được giảng dạy ở bậc THPT Việt Nam (Miền Nam Việt Nam) thời kỳ 1975 - 1990

 Bài báo của Lê Thị Hoài Châu (2004)“ Khai thác lịch sử toán trong dạy học tích phân xác định” đăng trên tạp chí Nghiên cứu khoa học, số 2(36)/2004, ĐHSP tp

là học sinh THPT hiểu nghĩa của khái niệm tích phân và mối liên hệ giữa nó với khái niệm đạo hàm

Kết quả của bài báo về dạy học khái niệm tích phân sẽ giúp ích cho chúng tôi trong nghiên cứu việc dạy học khái niệm này ở Trường CĐSP

 Bài báo của Lê Thị Hoài Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004) “Phép tính tích phân

và vi phân trong lịch sử” đăng trên tạp chí Nghiên cứu khoa học, số 4(38)/2004, ĐHSP

tp Hồ Chí Minh

Các tác giả đã trình bày tiến trình xuất hiện khái niệm tích phân trong lịch sử Cụ thể, các tác giả đã nghiên cứu về các bài toán gắn liền, phương pháp giải quyết đã được sử dụng qua từng thời kỳ làm nảy sinh, phát triển khái niệm tích phân Bài viết cũng nêu lên mối liên hệ giữa tích phân và vi phân trong lịch sử Chúng tôi nhắc lại một số kết quả quan trọng của bài viết mà chúng có thể giúp ích cho nghiên cứu về sau của chúng tôi

Phép tính tích phân được ra đời từ các bài toán (cầu phương, cầu tích, cầu trường)4 và cuội nguồn của nó đã có từ thời Hy Lạp cổ đại

Từ thời Hy Lạp cổ đại, các nhà toán học đã sử dụng phương pháp “vét kiệt” để giải quyết bài toán cầu phương Trong phương pháp vét kiệt, tư tưởng “chia nhỏ, tính tổng và cho phép chuyển qua giới hạn” đã được hình thành

Phát triển phương pháp vét kiệt, Ibn Quarra, Fermat và Pascal đã chia nhỏ hình thang cong D = {(x; y) | 0 ≤ y ≤ f(x), a ≤ x ≤ b} thành các hình chữ nhật, lập tổng diện tích các hình chữ nhật, chuyển qua giới hạn để tính diện tích của nó

Năm 1669, Newton đã tìm ra mối liên hệ giữa bài toán cầu phương và nguyên hàm, theo các kí hiệu hiện đại là S’(x) = f(x) Độc lập với Newton, Leibniz (1646 – 1716 đã chứng minh được công thức dy = y

Năm 1823, Cauchy (1789 – 1857) là người đầu tiên đưa ra một định nghĩa chính xác về tích phân Tư tưởng tích phân của ông là “Phân hoạch, lập tổng và chuyển qua giới hạn”

Riemann (1826 – 1866) đã xây dựng một lý thuyết tích phân tổng quát hơn tích phân của Cauchy Tích phân mà Riemann xây dựng nhằm khai triển một cách chính xác các hàm số có vô hạn điểm gián đoạn thành chuỗi Fourier

 Trong đề tài cấp bộ của Lê Văn Tiến (2012) “Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông – nghiên cứu khoa học luận và sư phạm”, các kết quả chúng tôi quan tâm là: các đặc trưng khoa học luận khái niệm tích phân; các hoạt động (do tác giả đề xuất tổ chức) nhằm giúp học sinh THPT khám phá ra khái niệm tích phân như là công

cụ để giải quyết bài toán tính diện tích hình thang cong

- Đối với việc dạy học khái niệm tích phân, các tác giả chỉ nghiên cứu ở cấp THPT

- Đối với việc tiếp cận khái niệm tích phân, các tác giả Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến đều nhấn mạnh tới việc cần thiết phải tổ chức cho học sinh THPT khám phá

ra khái niệm tích phân (hiểu được nghĩa của khái niệm tích phân) Để tiếp cận khái niệm tích phân, các tác giả đều có ý chung là cần tổ chức tình huống để học sinh trải qua tiến trình phân hoạch, lập tổng và tính giới hạn đối với bài toán tính diện tích hình thang cong

1.3 Xác định lại vấn đề đề nghiên cứu

Qua tổng hợp các công trình nghiên cứu như trên, chúng tôi nhận thấy rằng ở Việt Nam chưa có công trình nghiên cứu nào về dạy học khái niệm tích phân của hàm một biến thực bằng giới hạn của một tổng Riemann cho sinh viên các ngành Sư phạm Toán, Lý ở Trường CĐSP Cụ thể là nghiên cứu các vấn đề sau

 Định nghĩa tích phân xác định bằng giới hạn của một tổng Riemann được đưa vào như thế nào trong chương trình đào tạo giáo viên Toán, Lý ở Trường CĐSP? Đâu

là mối liên hệ giữa định nghĩa này và công thức Newton – Leibniz?

 Định nghĩa tích phân bằng công thức Newton – Leibniz ở Trường trung học phổ thông tạo thuận lợi và khó khăn gì cho sinh viên khi gặp định nghĩa tích phân là giới hạn của một tổng Riemann ở Trường CĐSP?

2 Khung lý thuyết tham chiếu và câu hỏi nghiên cứu

Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu trong khuôn khổ của lý thuyết didactic toán, mà cụ thể là thuyết nhân học trong didactic toán (quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức didactic) và lý thuyết tình huống

Với công cụ của thuyết nhân học, chúng tôi phát biểu lại các câu hỏi để có thể thực hiện nghiên cứu của mình như sau:

CH1: Trong dạy học Toán ở Trường CĐSP, đâu là mối quan hệ thể chế với khái

niệm tích phân? Đặc biệt: định nghĩa tích phân được giới thiệu như thế nào? Mối quan

hệ giữa định nghĩa tích phân và công thức Newton – Leibniz được trình bày ra sao? Xoay quanh định nghĩa tích phân, mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân và công thức Newton – Leibniz có những kiểu nhiệm vụ nào?

CH2: Ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế với khái niệm tích phân lên các cá

nhân như thế nào trong thể chế dạy học Toán ở Trường CĐSP? Cụ thể, sinh viên hiểu

ý nghĩa của khái niệm tích phân thông qua định nghĩa như thế nào? Sinh viên có thực

sự nhận ra mối quan hệ giữa định nghĩa tích phân và công thức Newton – Leibniz?

3 Mục tiêu nghiên cứu và lợi ích của nghiên cứu

3.1 Mục tiêu nghiên cứu

Hiểu được thực tế dạy học khái niệm tích phân xác định thông qua học phần

Phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến số ở Trường CĐSP Bình Phước

3.2 Lợi ích của nghiên cứu

 Về phương diện học tập - nghiên cứu toán học: đề tài nghiên cứu việc dạy học một nội dung giải tích trong chương trình toán cao cấp bắt buộc của sinh viên ngành

sư phạm Toán và Lý

 Về phương diện lợi ích sư phạm cho giáo viên: đề tài chỉ ra một trường hợp về

sự khác nhau giữa tri thức bác học và tri thức được dạy ở trường THPT Ở cấp Trung học cơ sở (THCS), khái niệm tích phân chưa đưa vào dạy học, nhưng việc hiểu khái niệm này giúp giáo viên hiểu được nguồn gốc của công thức tính diện tích hình tròn Đối với vấn đề tính diện tích, ý tưởng chia nhỏ, tính tổng để xấp xỉ diện tích thì giáo viên THCS hoàn toàn có thể tổ chức cho học sinh của mình thực hiện

4 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục tiêu nghiên cứu hay cụ thể là tìm được câu trả lời cho các câu hỏi CH1, CH2 chúng tôi sử dụng các phương pháp sau

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Một nghiên cứu so sánh (chương trình, giáo trình “giải tích” dành cho sinh viên Việt Nam ở các Trường CĐSP và một giáo trình “Calculus” của Mỹ về khái niệm tích phân) Mục đích của nghiên cứu so sánh là làm rõ hơn những đặc trưng của mối quan

hệ thể chế với khái niệm tích phân trong thể chế dạy học Toán ở Trường CĐSP

Về khái niệm tích phân ở trường CĐSP, chúng tôi chú trọng vào đối tượng nghiên cứu của mình là định nghĩa tích phân và mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân

và công thức Newton - Leibniz Hiển nhiên, nhờ lý thuyết nhân học, để nghiên cứu các nội dung toán học như định nghĩa và mối liên hệ với công thức vừa xét, chúng tôi cần phân tích các tổ chức toán học (TCTH) liên quan trực tiếp đến định nghĩa và mối liên

hệ này Khi đã làm được những vệc như trên cho phép chúng tôi trả lời cho câu hỏi CH1 và một phần của câu hỏi CH2

Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế với khái niệm tích phân lên các cá nhân là các sinh viên ngành Toán, Lý ở Trường CĐSP Cụ thể, chúng tôi xây dựng bộ câu hỏi và tiến hành thực nghiệm trên các sinh viên các ngành Toán,

Lý ở Trường CĐSP Nội dung của bộ câu hỏi thực nghiệm xoay quanh ý nghĩa của khái niệm tích phân thông qua định nghĩa tích phân, mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân và công thức Newton – Leibniz Kết quả của thực nghiệm cùng với kết quả của nghiên cứu lý luận cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi CH2 Nghiên cứu thực tiễn sẽ được thực hiện chủ yếu với các công cụ của lí thuyết tình huống

 Nghiên cứu của chúng tôi được tóm tắt trong sơ đồ sau

5 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm 5 phần: Mở đầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo và phần phụ lục

Làm rõ đặc trưng về mối quan hệ thể chế, với khái niệm tích phân trong

thể chế dạy học Toán ở trường CĐSP ở Việt Nam

Xây dựng thực nghiệm để thấy rõ ảnh hưởng của mối quan hệ thể

chế lên các cá nhân là sinh viên ngành Toán, Lý ở Trường CĐSP

Ngiên cứu khái niệm tích phân

trong một giáo trình của Mỹ

Ngiên cứu khái niệm tích phân trong chương trình, giáo trình dành cho sinh viên CĐSP Việt Nam

So sánh việc đưa vào dạy học khái niệm tích phân trong giáo trình Mỹ và

trong chương trình, giáo trình bậc CĐSP Việt Nam

CHƯƠNG 1 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN

Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM

Mục tiêu chính của chương là làm rõ những đặc trưng về mối quan hệ thể chế với khái niệm tích phân trong thể chế dạy học Toán ở trường CĐSP ở Vệt Nam (chúng tôi kí hiệu thể chế này là ICĐSP) Để làm được điều đó, chúng tôi sẽ thực hiện như sau

 Thứ nhất, chúng tôi sẽ nghiên cứu việc dạy học khái niệm tích phân trong một giáo trình Mỹ Việc nghiên cứu quá trình dạy học khái niệm tích phân trong một giáo trình Mỹ nhằm mục đích giúp chúng tôi nhìn rõ hơn đặc trưng mối quan hệ thể chế với khái niệm tích phân trong ICĐSP

 Thứ hai, chúng tôi sẽ nghiên cứu việc dạy học khái niệm tích phân trong bộ chương trình, giáo trình Việt Nam được đang được sử dụng trong ICĐSP

 Một nghiên cứu so sánh về dạy học khái niệm tích phân của một giáo trình Mỹ

và bộ chương trình, giáo trình Việt Nam Việc làm đó với mục đích làm rõ những đặc trưng, sự lựa chọn của ICĐSP với khái niệm tích phân

Khi đạt được các mục tiêu trên cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi CH1 Đây là mục tiêu chính của chương, do đó chúng tôi đặt tên chương 1 là “khái niệm tích phân trong thể chế dạy học Toán ở Trường Cao đẳng Sư phạm”

Mặt khác, khi đạt được mục tiêu trên sẽ định hướng chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế với khái niệm tích phân lên các cá nhân là sinh viên CĐSP Điều này cho phép chúng tôi tìm câu trả lời một phần của câu hỏi CH2

Trong chương này, chúng tôi sẽ chia làm bốn phần chính là khái niệm tích phân trong giáo trình Mỹ, khái niệm tích phân trong chương trình và giáo trình Việt Nam,

so sánh khái niệm tích phân trong giáo trình của Mỹ và Việt Nam, kết luận chương 1

1.1 Khái niệm tích phân trong một giáo trình của Mỹ

Trong mục này, chúng tôi sẽ nghiên cứu các vấn đề: quan điểm sư phạm của tác giả, tiến trình đưa vào dạy học khái niệm tích phân, mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân và công thức Newton – Leibniz, các tổ chức toán học xoay quanh khái niệm tích phân (chủ yếu là định nghĩa và mối liên hệ giữa định nghĩa tích phân với công

thức Newton - Leibniz)

 Tên đầy đủ của giáo trình: “Calculus (2008): Early Transcendentals, 7 th edition”

của tác giả James Stewart, nhà xuất bản Cengage Learning United States, giáo trình này được dùng cho sinh viên ngành Khoa học Tự nhiên những năm đầu Cao đẳng - Đại học.Chúng tôi sẽ gọi đây là Giáo trình Mỹ

 Quan điểm sư phạm của tác giả: Phần mở đầu của giáo trình, đầu tiên tác giả trích

nhận định của George Polya về tầm quan trọng cũng như ý nghĩa của việc tổ chức cho người học khám phá lại tri thức

Một khám phá vĩ đại giải quyết một bài toán vĩ đại, tuy nhiên bản chất của sự khám phá thể hiện khi ta giải quyết được bất kì bài toán nào Bài toán của bạn có thể khiêm tốn, nhưng nếu nó thách thức sự tò mò của bạn và mang đến năng lực khám phá cho bạn, và nếu bạn giải quyết bài toán đó bằng những cách thức của riêng bạn, bạn có thể trải nghiệm cảm giác căng thẳng và thưởng thức niềm vui chiến thắng của sự khám phá

[20, tr xi]

Tiếp đến tác giả trích nhận định về vấn đề dạy học của Mark Van Doren: “Nghệ thuật dạy học là nghệ thuật của sự giúp đỡ khám phá” Với giáo trình này, tác giả muốn giúp đỡ sinh viên trong việc khám phá giải tích Hơn nữa, tác giả muốn chia sẻ một vài trải nghiệm tuyệt vời của vài phát minh vĩ đại trong lịch sử

Tôi đã cố gắng viết một cuốn sách để giúp đỡ các sinh viên trong việc khám phá giải tích cả về sức mạnh thực hành lẫn sự ngạc nhiên thú vị của chúng […] Newton chắc chắn đã hiểu rõ trải nghiệm của sự chiến thắng khi ông ta làm nên một phát minh vĩ đại Tôi muốn sinh viên chia sẻ một vài trong những điều tuyệt vời đó [20, tr xi]

Tác giả xem việc hiểu khái niệm là một điểm nhấn quan trọng và nhận định đó là mục đích đầu tiên của việc nghiên cứu giải tích Để hiểu một khái niệm, tác giả tập trung vào việc trình bày nó trên cả ba khía cạnh hình, số và đại số

Tập trung trong việc hiểu khái niệm

Tôi đã cố gắng thực hiện mục tiêu này thông qua Quy tắc của Ba điều: “Các chủ

đề sẽ được trình bày theo khía cạnh hình học, số và đại số.” Sự trực quan hóa, thực nghiệm số và đồ thị, và một số cách tiếp cận khác đã cơ bản làm thay đổi cách chúng ta rút ra khái niệm [20, tr xi]

 Quan điểm của tác giả về mô hình toán học: Theo tác giả một mô hình toán học

là một mô tả mang tính toán học một hiện tượng thực tế Mục đích của mô hình là hiểu hiện tượng và có lẽ là làm nên những dự đoán về biểu hiện của hiện tượng trong tương lai

Một mô hình toán học là một sự mô tả toán học (thường là bằng phương tiện của một hàm số hay một phương trình) của một hiện tượng thực tế […] Mục đích của

mô hình là hiểu hiện tượng và có thể thực hiện những dự đoán về hành vi trong tương lai [20, tr.23]

Sau đó tác giả đưa ra quy trình mô hình hóa toán học

Hình 1.1 Minh họa quy trình của mô hình hóa toán học Nhận được một vấn đề thực tế […]

Hình 1.1 Quy trình mô hình hóa toán học […] Nếu dự đoán không đối chiếu tốt với thực tế, chúng ta cần cải thiện mô hình của chúng ta hoặc xây dựng một mô hình mới hay bắt đầu lại quy trình

[20, tr 23]

Tác giả cũng nhận định một mô hình toán học không chính xác hoàn toàn mà nó chỉ là một sự lý tưởng hóa, tuy nhiên nó có thể cung cấp câu trả lời có giá trị cho một vấn đề thực tế

 Vị trí của khái niệm tích phân trong giáo trình

Các chương trước đã hoàn thiện khái niệm đạo hàm, khảo sát hàm số Tích phân xác định (integral) được trình bày ở chương 5, chương 6 là các ứng dụng của tích phân (applications of integration), chương 7 (techniques of integration) phương pháp tính tích phân, chương 8 (further applications of integration) các ứng dụng xa hơn của tích phân, chương 9 (differential equations) phương trình vi phân

Chương 5 Tích phân (integral) bao gồm các mục sau:

- 5.1 Diện tích và khoảng cách (Areas anh Distances)

- 5.2 Định nghĩa Tích phân xác định The Definite Integral)

- 5.3 Định lý cơ bản của giải tích (The Fundamental Theorem of Calculus)

- 5.4 Tích phân không xác định và định lý thay đổi lưới (∫ 𝐹𝑎𝑏 ′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎))

(Indefinite Integral and the Net Change Theorem)

- 5.5 Quy tắc đổi biến (The Substitution Ruler)

Giáo trình đưa ra hai bài toán cơ bản để dẫn tới khái niệm tích phân- bài toán tính diện tích và bài toán tính quãng đường đi được – mà chúng tôi sẽ tiến hành phân tích

1.1.1 Tiếp cận khái tích phân bằng bài toán tính diện tích

Tác giả bắt đầu bằng vấn đề tính diện

tích

Chúng ta bắt đầu bằng việc cố gắng

giải quyết vấn đề diện tích: Tìm diện

tích của miền phẳng S nằm dưới

đường cong y = f(x) từ a tới b Miền S

này được minh họa ở hình 1 (hình

1.2), được giới hạn bởi đồ thị của một

hàm liên tục f [ nơi mà f(x)  0], hai

[2, tr 14]

a Tiếp cận diện tích từ phương diện số đo diện tích

Để giải quyết vấn đề diện tích hình thang cong, tác giả đã dẫn dắt người học tiếp cận khái niệm diện tích từ phương diện số đo diện tích

Hình 1.2 S = {(x ; y)  a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}

Trong lúc tìm cách giải quyết vấn đề diện tích chúng ta thường tự đặt cho chính mình câu hỏi Từ diện tích có nghĩa là gì? Câu hỏi này thật là dễ cho những miền

có đường biên thẳng Như hình chữ nhật, diện tích của nó được định nghĩa bằng kết quả của tích chiều dài và chiều rộng Diện tích của tam giác là nửa tích của đáy và chiều cao tương ứng Diện tích của một đa giác được tìm thấy bằng việc chia nó thành những tam giác (như hình 1.3) và cộng diện tích của những tam giác đó

Với vấn đề diện tích của hình thang cong, tác giả chỉ ra rằng cần phải đưa ra một định nghĩa chính xác về nó

Tuy nhiên, không dễ để tìm diện tích của miền phẳng có đường biên cong Tất cả chúng ta đều có một ý tưởng trực giác về diện tích của một miền là gì đó Nhưng một phần của vấn đề diện tích là làm rõ ý tưởng trực giác này bằng cách đưa ra một định nghĩa chính xác về diện tích [20, tr 360]

Để tìm ra ý tưởng cho định nghĩa diện tích, tư tưởng xấp xỉ đã được giới thiệu:

Nhớ lại rằng trong định nghĩa một tiếp tuyến, đầu tiên chúng ta xấp xỉ hệ số góc của tiếp tuyến bởi hệ số góc của những đường cát tuyến và sau đó chúng ta lập nên giới hạn của những xấp xỉ đó Chúng ta tiếp tục ý tưởng đó cho diện tích Đầu tiên ta xấp xỉ miền S bằng những hình chữ nhật và sau đó lập nên giới hạn của tổng diện tích của những hình chữ nhật đó bằng việc dần tăng số các hình chữ nhật [20, tr 360]

Trong ý tưởng tìm diện tích hình thang cong của tác giả việc “phân hoạch, tính tổng” giống như tìm diện tích đa giác còn có tư tưởng “xấp xỉ” và “chuyển qua giới hạn” thì giống bài toán tiếp tuyến Để xấp xỉ hình thang cong tác giả dùng những hình chữ nhật, tuy nhiên tác giả không đưa ra giải thích cho sự lựa chọn đó

Bắt đầu bằng một ví dụ cụ thể, tác giả đã giúp người học tiếp cận tư tưởng xấp xỉ

trên cả ba phương diện hình học, số học và đại số

Hình 1.5.1 Chia miền S Hình 1.5.2 HCN chứa S Hình 1.5.3 HCN trong S Sau đó, tác giả đã tăng lên tám hình chữ nhật xấp xỉ

Hình 1.6 Xấp xỉ miền S với tám hình chữ nhật

Thực tế, việc tăng số hình chữ nhật xấp xỉ từ bốn lên tám như trên sẽ giúp người học

cảm nhận được sự xấp xỉ càng trở nên tốt hơn

- Phương diện xấp xỉ số

Với A là diện tích hình thang cong và Rn, Ln là tổng diện tích các hình chữ nhật phải (tương tự như hình chữ nhật trong hình 1.5.2.), trái tương ứng với phép phân hoạch đều [0; 1] thành n đoạn Từ xấp xỉ hình học, tác giả đã suy ra Ln < A < Rn với

n =4, 8, 10, 20, 30, 50, 100, 1000 với các số đo tác giả cho ở bảng 1.1

Từ bảng 1.1, người học rất dễ nhận ra Rn, Ln càng xấp xỉ tốt với A khi n càng lớn Điều đó là cơ sở để người học dự đoán giới hạn của Rn, Ln là A, khi n 

- Phương diện đại số

Hoạt động tiếp theo của tác giả sau các hoạt động xấp xỉ hình học, số học là các hoạt động đại số Cụ thể là việc tính Rn phụ thuộc n và thiết lập công thức

𝑛2(12+ 22+ 32+ ⋯ + 𝑛2)

𝑛→∞𝑅𝑛 = 13, suy ra 𝐴 = lim

𝑛→ 𝑅𝑛 = lim

𝑛→ 𝐿𝑛 =13

[20, tr 362]

Như vậy việc dùng các yếu tố đại số để biểu diễn tổng diện tích các hình chữ nhật xấp

xỉ đã làm thuận lợi cho việc chuyển qua giới hạn, từ đó tác giả suy ra A bằng 1/3 Sau đó tác giả tổng quát ý tưởng trong ví dụ 1 cho việc ước lượng diện tích miền

S nằm phía dưới đồ thị y =

f(x) từ x = a đến x = b và

trục hoành Ox (hình 1.7)

Quy trình xấp xỉ diện tích A

của miền S đó được chúng

tôi tóm tắt như sau

- Phân hoạch [a; b] thành n

đoạn con là [x0; x1], [x1; x2],

…, [xn-1; xn] và độ dài mỗi khoảng x = 𝑏−𝑎

𝑛

- Xấp xỉ hình thang cong Si bằng hình chữ nhật thứ i có chiều rộng là x và chiều cao

là giá trị của f tại đầu mút phải đoạn thứ i và diện tích của nó là f(xi) x

- Diện tích A của miền S được xấp xỉ bởi tổng diện tích các hình chữ nhật này, tức là

A  Rn = f(x1) x + f(x2) x + … + f(xn) x

Sau đó, tác giả đã minh họa bằng hình học cho người đọc thấy việc xấp xỉ diện tích A bởi Rn càng tốt khi n càng lớn, do đó tác giả suy ra A = limRn

Mục đích của tác giả khi đưa ra quy trình tính diện tích hình thang cong là việc

cụ thể các hoạt động trong việc xác định diện tích miền S (hình 1.4) bằng một thuật toán cụ thể Nó là bước tiến gần hơn đến định nghĩa diện tích hình thang cong

Hình 1.7 Xấp xỉ miền phẳng S

Trong định nghĩa trên tác giả ngầm định f là hàm không âm trên [a; b]

Sau khi đưa ra định nghĩa diện tích hình thang cong, tác giả đưa ra một số điểm nhằm hoàn thiện định nghĩa diện tích hình thang cong như sau

- Thứ nhất: giới hạn A luôn tồn tại với f là hàm liên tục trên [a; b]

- Thứ hai: thay vì chọn tính f(xi) với xi ở đầu mút phải của [xi-1; xi] ta có thể f(xi*) với

xi* tùy ý trên [xi-1; xi] thì giới hạn A vẫn không đổi trong công thức (1.1.1.) Từ đó tác giả đã đưa ra công thức (1.1.2.) tổng quát hơn để tính diện tích A của miền phẳng S

Ví dụ 3 Cho A là diện tích của miền phẳng nằm dưới đồ thị của hàm f(x) = e-x, từ

Trong ví dụ 3 như trên, tác giả muốn nhắm tới việc người học hiểu và lập được công thức tính diện tích của của hình thang cong hơn là tính chính xác nó Việc không tính giới hạn của tổng Riemann được giáo trình Mỹ giải thích là khá khó khăn “… dùng tổng sigma ta có thể viết A = lim

𝑛→∞

2

𝑛∑𝑛 𝑒−2𝑖/𝑛 𝑖=1 thật khó để tính giới hạn này bằng tay…” Thay vào đó, giáo trình Mỹ muốn người học có một chiến lược cơ sở khi gặp vấn đề tính diện tích hình thang cong là tính xấp xỉ nó (thể hiện qua yêu cầu b của ví

dụ 3 trên)

c Tiếp cận tích phân thông qua bài toán tính quãng đường

Bài toán thứ hai để tiếp cận khái niệm tích phân là tính độ dài (một bài toán của lịch sử), được phát biểu dưới dạng một bài toán Vật lí

Xuất phát từ công thức tính quãng đường của chất điểm chuyển động thẳng đều: Quãng đường = vận tốc  thời gian

Vấn đề đặt ra là tính quãng đường đi được trong một thực tế là chất điểm chuyển động

không đều

Ví dụ 4 Giả sử đồng hồ công tơ mét trên xe hơi của chúng ta bị hỏng và ta muốn ước lượng quãng đường đi được trong khoảng thời gian 30 giây Chúng ta sẽ đọc tốc độ trên đồng hồ tốc độ cứ sau 5 giây và ghi chép chúng lại trong bảng sau […]

Bảng 1.2 Bảng giá trị vận tốc

Trong suốt 5 giây đầu tiên vận tốc không thay đổi nhiều, vì thế ta có thể xấp xỉ quãng đường đi được trong thời gian đó bằng việc giả sử vận tốc không đổi Nếu

ta có vận tốc trong khoảng thời gian đó không đổi là vận tốc lúc đầu (25 ft/s), sau

đó ta có xấp xỉ quãng đường đi được trong 5 giây đầu tiên là

25 ft/s 5s = 125 ft Tương tự, trong suốt khoảng thời gian thứ hai vận tốc xấp xỉ không đổi và ta coi

nó là vận tốc khi t = 5 s Do đó ước lượng cho khoảng cách đi được từ t = 5 s đến

t = 10 s là

31 ft/s  5 s = 155 ft Nếu ta làm tương tự thêm những ước lượng cho các khoảng thời gian khác, ta có được một ước lượng cho tổng khoảng cách đi được:

(25  5) + (31  5) +(35  5) + (43  5) + (47  5) + (46  5) = 1135 ft

Chúng ta có thể chỉ cần bằng việc dùng vận tốc tại thời điểm cuối của mỗi khoảng thời gian thay vì giá trị của nó tại thời điểm đầu như giả định vận tốc không đổi Khi đó ước lượng của chúng ta trở thành

S = 𝑓(𝑡1)∆𝑡 + 𝑓(𝑡2)∆𝑡 + ⋯ + 𝑓(𝑡𝑛)∆𝑡 = ∑𝑛 𝑓(𝑡𝑖)∆𝑡

𝑖=1 Tương tự như bài toán tìm số đo diện tích, tổng Riemann xuất hiện trong tình huống này:

tự trong các vấn đề khác như xác định chiều dài cung, thể tích vật thể, áp lực của nước

và trọng tâm vật thể Từ đó giáo trình phát biểu định nghĩa tích phân xác định

Nếu f là hàm số xác định trên [a; b], chúng ta chia đoạn [a; b] thành n điểm cách đều nhau một khoảng x = (b – a)/n Chúng ta lấy x0 (=a), x1, x2, …, xn ( = b) là các điểm đầu mút của các khoảng chia và lấy x1 , x2 , …, xn là điểm bất kỳ trong các khoảng chia, x*

i trong [xi-1; xi] Thì tích phân xác định của f từ a tới b là

Thứ nhất: cách giải thích về các kí hiệu trong cụm kí hiệu ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 mà đặc biệt là cách giải thích về dx

Thứ hai: việc mở rộng phân hoạch từ đều ra không đều

Thứ ba: điều kiện khả tích của hàm dưới dấu tích phân

Thứ tư: tính tích phân bằng định nghĩa

Như vậy việc đưa tới định nghĩa như trên giúp người học nhận ra tính công cụ của khái niệm tích phân xác định Hàng loạt những hoạt động của tác giả ngay sau đó nhằm củng cố, hoàn thiện khái niệm tích phân giúp người học dần nhận ra nó đang trở thành một đối tượng nghiên cứu của toán học

1.1.4 Mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm

Công thức Newton – Leibniz được giáo trình Mỹ giới thiệu (trang 386) như một định lý cơ bản của giải tích (The Fundamental Theorem of Calculus) ngay sau bài học

và Leibniz những người khai thác mối liên hệ này và đã dùng nó để phát triển giải tích thành một hệ thống phương pháp của toán học […]

[20, tr 386]

Định lý cơ bản của giải tích được giáo trình Mỹ giới thiệu bao gồm hai phần

Định lý cơ bản của giải tích phần 1

Nếu f liên tục trên [a; b], thì hàm g định nghĩa bởi

𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

liên tục trên [a; b] và khả tích trên (a; b), và g’(x) = f(x)

[20, tr 388]

Định lý cơ bản của giải tích phần 2

Nếu f liên tục trên [a; b], thì

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) Trong đó, F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x), nó hàm mà F’ =f

[20, Tr 391]

a Định lý cơ bản của giải tích phần 1

Tác giả đã đưa vào dạy học định lý cơ bản của giải tích phần 1 theo tiến trình: tiếp cận định lý  dự đoán định lý  phát biểu và chứng minh định lý  củng cố, vận dụng định lý

 Tiếp cận định lý

 Tiếp cận thông qua việc khảo sát hàm cận trên

Đầu tiên, tác giả giải thích hàm số (hàm cận trên) 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡,𝑎𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

Hình 1.8 Hàm diện tích g(x) Trong đó

- Hệ trục tọa độ tạo bởi trục hoành Ot và trục tung Oy

- Hàm số y = f(t) liên tục trên đoạn [a; b]

- Giá trị của hàm số y = g(x) tại x[a ; b] là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y =f(t), trục hoành và hai đường thẳng t=a, t =x

Chúng tôi dự đoán rằng người học sẽ gặp một số khó khăn khi làm việc với hàm diện tích 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡,𝑎𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 như sau

Thứ nhất : Đây là hàm số không cho ở dạng biểu thức chứa biến quen thuộc

Thứ hai : Trong công thức tích phân ta có 2 loại biến độc lập x và t trong biểu thức t

là biến độc lập của hàm f, còn x là biến độc lập của hàm g Với mỗi x cố định trên

[a ; b], biến t sẽ lấy giá trị trong đoạn [a ; x]

Trong giáo trình, hàm g được mô tả đầu tiên thông qua hình vẽ diện tích : với mỗi x cố

định trong [a ; b] thì g là số đo diện tích như trong hình tương ứng [Hình 1.8]

Để nghiên cứu hàm cận trên g(x), tác giả xét một trường hợp cụ thể là ví dụ 1 trang

Hình 1.10 Hình minh họa tính g(1), g(2), g(3)

Hình 1.11 Hình minh họa tính g(4), g(5)

Hình 1.9 Đồ thị hàm y = f(t)

Sau khi tính các g(k), tác giả biểu diễn đồ

thị hàm số y = g(x) trên [0; 5] (hình 1.12)

Mối quan hệ giữa sự tăng giảm của hàm g và dấu của hàm f được nêu ra từ quan

sát

[…] Để ý rằng, bởi vì f(t) dương với t < 3, chúng ta tếp tục cộng thêm diện tích

với t < 3 và do đó g tiếp tục tăng cho tới khi t = 3, khi đó nó đạt giá trị lớn nhất

Với x > 3, g giảm bởi vì f(t) âm [20, tr 387]

Như vậy, ý đồ của thực nghiệm này là hình thành nên mối liên hệ giữa dấu của hàm f

và tính đơn điệu của hàm g

 Tiếp cận thông qua biểu thức giải tích g’ = f

Ngay sau việc chỉ ra sự tương đồng giữa chiều biến thiên của hàm g và dấu của hàm f trong ví dụ 1 trên, tác giả chọn một ví dụ từ một bài tập đã làm để chính thức

đưa ra giả thuyết g’ = f hay g là một (nguyên hàm)5 của hàm f

Nếu chúng ta lấy f(t) = t và a = 0, thì dùng bài tập 27 trong phần 5.2, chúng ta có

𝑔(𝑥) = ∫ 𝑡𝑑𝑡0𝑥 =𝑥22 Để ý rằng g’(x) = x hay g’ = f Nói cách khác, nếu g được

định nghĩa bằng cách lấy tích phân của hàm f (𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 ) thì g hóa ra là một nguyên hàm của f , ít nhất trong trường hợp này Và nếu chúng ta minh họa

đạo hàm của hàm g trong hình 4 (1.12) bằng xấp xỉ hệ số góc của tiếp tuyến, chúng ta được đồ thị của hàm f trong hình 2 (1.9) Do đó ta nghi ngờ rằng g’ = f

cả ở trong ví dụ 1 [20, tr 387]

Thông qua các hoạt động trên tác giả muốn người học phát hiện kết quả g’ = f ở một vài trường hợp cụ thể

5 Khái niệm nguyên hàm đã được giáo trình hoàn thiện ở chương trước (nguyên hàm được định

nghĩa ở trang 344 thuộc chương 4 - Ứng dụng của đạo hàm)

Hình 1.12 Đồ thị hàm g(x)

có thể được tóm tắt như sau:

Dùng ý nghĩa hình học của hàm 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 -diện tích của miền phẳng nằm dưới đồ thị y = f(x) từ a đến b - để tính gần đúng g(x+h) – g(x) với h>0 Hình vẽ cho thấy g(x+h) – g(x) gần bằng số đo diện tích hình chữ nhật h.f(x)

Sau khi cũng cố kết quả g’ = f đối với trường hợp f(x)  0, giáo trình dự đoán

g’(x) = f(x) đúng cho cả trường hợp f(x) ≤ 0 trên [a; b] và đưa tới định lý cơ bản của

Khi h 0 thì u, v  x ta được được g’(x) = f(x)

Như vậy phép chứng minh trên về cơ bản là sự chính xác hóa suy luận của tác giả trong bước dự đoán định lý

 Củng cố định lý

Hình 1.13 Hình minh họa g(x+h) – g(x)

Sau bước chứng minh định lý, giáo trình Mỹ đưa ra ba ví dụ để củng cố, vận dụng định lý

Ví dụ thứ nhất (ví dụ 2 trang 389) là “tính đạo hàm của hàm 𝑔(𝑥) = ∫ √1 + 𝑡0𝑥 2 𝑑𝑡” Ví dụ này vận dụng trực tiếp định lý để tính dạo hàm của hàm diện tích với mục đích củng cố định lý ở mức cơ bản

Ví dụ thứ hai (ví dụ 3 trang 389) là khảo sát hàm (hàm Fresnel)

Qua ví dụ này, người học sẽ nhận thấy một tác dụng lớn lao của định lý - tác dụng đó

là có thể khảo sát các tính chất cơ bản một hàm số mà không biết công thức tường minh của nó

Ví dụ thứ ba (ví dụ 4 trang 390) là “tính 𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡1𝑥2 𝑑𝑡" Để tính đạo hàm của hàm này, người học chủ yếu dùng định lý và công thức đạo hàm của hàm hợp với phép đặt u = x2 Mục đích của ví dụ này vẫn là củng cố định lý, nhưng ở mức cao hơn

so với ví dụ thứ nhất (khi mà cận trên là một hàm số)

Như vậy chúng tôi nhận thấy rằng tác giả đã đưa vào dạy học định lý cơ bản của giải tích phần 1 rất tự nhiên Theo cách đó người học hoàn toàn có thể chủ động phát hiện, nghiên cứu và vận dụng định lý vào các tình huống cụ thể trong thực tế

b Định lý cơ bản của giải tích phần 2

Vì định lí phần 2 được suy ra như một hệ quả của định lí phần 1 nên giáo trình chỉ phát biểu định lý, chứng minh và củng cố

Trước khi vào định lý này, tác giả đưa ra nhận xét về khó khăn khi tính tích phân bằng định nghĩa

Việc tính tích phân bằng giới hạn của tổng Riemann nhiều khi dài dòng và phức tạp Phần thứ 2 của định lý cơ bản của giải tích, cái mà dễ dàng suy ra từ phần 1, chỉ ra cho chúng ta một phương pháp đơn giản hơn nhiều chi việc tính giá trị của một tích phân

[20, tr.390]

Sau đó, tác giả đưa vào định lý cơ bản của giải tích phần 2 (ở Việt Nam gọi là công thức Newton – Leibniz)

Nếu f liên tục trên [a; b], thì

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) Trong đó, F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x), nó hàm mà F’ =f

[20, tr.391]

Sau khi đưa ra định lý, tác giả đưa ra phép chứng minh cho định lý khá đơn giản

vì dựa vào phần một của định lý cơ bản của giải tích phần 1

Tiếp đến tác giả nhấn mạnh tới tầm quan trọng của định lý là tính được tích phân của một hàm số trên [a; b] chỉ thông qua việc xác định giá trị của một hàm số khác tại hai điểm a và b

Đầu tiên, tác giả chỉ ra ý nghĩa cơ học của định lý Cụ thể, đối với vấn đề tính quãng đường đi được của một chất điểm chuyển động với vận tốc v(t), theo đó thì s’(t)

= v(t) với s = s(t) là quãng đường đi được tại thời điểm t Từ đó tác giả đưa ra công thức

∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎 = 𝑠(𝑏) − 𝑠(𝑎) Tiếp đó giáo trình Mỹ đưa ra 4 ví dụ (ví dụ 5 trang 391, ví dụ 6, 7, 8 trang 392) vận dụng trực tiếp định lý để tính tích phân, và một ví dụ (ví dụ 9 trang 393) với mục đích cảnh báo về việc áp dụng hình thức định lý này sẽ gặp sai lầm khi mà hàm dưới dấu tích phân không liên tục trên đoạn lấy tích phân

Như vậy qua các hoạt động củng cố, vận dụng định lý của mình, tác giả muốn chỉ cho người học thấy ý nghĩa của định lý cơ bản của giải tích phần 2 là để tính tích phân

Định lý cơ bản của giải tích phần 1 làm rõ mối quan hệ giữa phép tính tích phân

 Trong Bài báo của Lê Thị Hoài Châu (2004)“ Khai thác lịch sử toán trong dạy- học khái niệm tích phân” đăng trên tạp chí Nghiên cứu khoa học, số 2(36)/2004, ĐHSP tp

Hồ Chí Minh

Bài báo đã xây dựng các tình huống được gợi lên từ lịch sử để học sinh THPT hiểu được nghĩa của khái niệm tích phân xác định và mối liên hệ giữa nó với khái niệm đạo hàm Trong đó, chúng tôi quan tâm tới các tình huống mà bài báo đã xây dựng để người học hiểu mối liên hệ giữa khái niệm tích phân với khái niệm đạo hàm

Cụ thể là các tình huống để người học nhận ra S’(x) = f(x) với f liên tục, dương trên [a; b], S(x) là diện tích miền D = {(t; y): 0 ≤ t ≤ x, 0 ≤ y ≤ f(t)} Để đưa tới dự đoán S’(x) = f(x), tác giả đã đặt vấn đề tính S’(x) đằng sau các kết quả giải quyết bài toán cầu phương của các nhà toán học Ibn Quarra, Fermat và Pascal Do đó, chúng tôi không đi sâu vào cách giải quyết các bài toán của từng nhà toán học hay các tình huống mà bài báo sử dụng để suy ra kết quả của mỗi bài toán Thay vào đó, chúng tôi quan tâm tới các bài toán và cách đặt vấn đề trên cơ sở kết quả mỗi bài toán của bài báo

 Bài toán cầu phương Ibn Quarra đã giải quyết “Tính diện tích S(a) của hình phẳng

xác định bởi {(x; y): 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ √𝑥}, với a > 0 cho trước” Sau khi đưa tới kết

quả 𝑆(𝑎) = 23𝑎√𝑎, bài báo đặt vấn đề “Tính S’(x) với 𝑆(𝑥) =23𝑥√𝑥 , có nhận xét gì?”

 Bài toán cầu phương Fermat đã giải quyết “Tính diện tích S(𝛼) c ủa hình phẳng xác định bởi {(x; y): 0 ≤ x ≤ 𝛼, 0 ≤ y ≤ kxm} (mR+ cho trước)” Sau khi đưa tới kết quả

𝑆(𝛼) = 𝑘𝛼𝑚+1𝑚+1, bài báo đặt vấn đề “Tính S’(x) với 𝑆(𝑥) = 𝑘𝑥𝑚+1𝑚+1, có nhận xét gì?”

 Trên cơ sở phương pháp của Pascal, bài báo đưa ra bài toán “Chứng minh rằng diện

tích hình phẳng xác định bởi 0 ≤ x ≤ 𝛼; 0 ≤ y ≤ sinx (𝛼  [0; /2]) cho trước) là S(𝛼)

= 1 – cos𝛼 Sau đó bài báo cũng đưa ra yêu cầu “Tính S’(x), với S(x) = 1 – cosx”

Như vậy nói cách khác, bài báo đưa tới kết quả g’(x) = f(x) với 𝑔(𝑥) =

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 (viết lại kết quả theo ngôn ngữ tích phân Riemann với f(t) là hàm không âm trên [a; b]) chủ yếu dựa vào một số trường hợp đơn giản của hàm f Đó là một cách tiếp cận định lý cơ bản của giải tích phần 1 So với bài báo thì giáo trình Mỹ đưa ra nhiều cách để tiếp cận kết quả g’(x) = f(x)(𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 ) hơn Trong đó nổi bật

là cách tiếp cận đựa vào việc (khảo sát hàm cận trên)6 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 Do đặc trưng của thể chế dạy học Toán ở Trường THPT mà việc khảo sát hàm cận trên khó thực hiện được đối với đối tượng học sinh này

1.1.5 Các tổ chức toán học

Xoay quanh định nghĩa tích phân xác định, định lý cơ bản của giải tích, chúng tôi thấy có một số kiểu nhiệm vụ (KNV) sau

 Một số KNV xoay quanh định nghĩa tích phân

Với giả thiết f là hàm liên tục trên [a; b] và phép phân hoạch đều [a; b] (chia [a; b] thành n đoạn con đều nhau)

 Kiểu nhiệm vụ T TXX-TP : Tính xấp xỉ tích phân bằng một tổng Riemann

Cụ thể KNV TTXX-TP là tính xấp xỉ tích phân ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 bằng một tổng Riemann của hàm f trên [a; b] với việc cho trước số khoảng phân hoạch và điểm 𝑥𝑖∗ ∈[𝑥𝑖; 𝑥𝑖+1] Kết quả của các NV thuộc KNV TTXX-TP là một số thực cụ thể Một số nhiệm vụ thuộc KNV TTXX-TP

Ví dụ 1 Dùng các hình chữ nhật để xấp xỉ diện tích miền phẳng nằm dưới đường parabol y = x2 từ 0 đến 1 [20, tr 360]

Ví dụ 2 a) Tính tổng Riemann của hàm f(x) = x3 – 6x với việc chọn các điểm nằm bên phải của các khoảng chia và a = 0, b = 3, và n = 6

Qua cách giải trên, chúng tôi thấy xuất hiện kỹ thuật sau

Công nghệ TXX-TP: Định nghĩa tích phân bằng giới hạn của tổng Riemann

Các bước của kỹ thuật TXX-TP có thể được thực hiện bởi các phần mềm máy tính Tuy nhiên, chúng tôi thấy yếu tố công nghệ vẫn không thay đổi

KNV TTXX-TP xuất hiện trong những dạng câu hỏi như tính xấp xỉ diện tích, tính xấp xỉ quãng đường, tính xấp xỉ tích phân và tính tổng Riemann Từ đó giáo trình cho thấy vai trò công cụ xấp xỉ tích phân của tổng Riemann Ràng buộc đối với hàm f trong các dạng câu hỏi trên không giống nhau Cụ thể, hàm f trong câu hỏi xấp xỉ diện tích và xấp xỉ quãng đường là f dương Tuy nhiên hàm f trong tính xấp xỉ tích phân hay tính tổng Riemann là tùy ý (khúc âm, khúc dương) Số khoảng phân hoạch trong các dạng câu hỏi thuộc KNV TTXX-TP là số nguyên dương tùy ý cho trước Tuy nhiên, với số khoảng phân hoạch lớn thì thường phải dùng phần mềm máy tính để tính xấp xỉ tích phân bằng tổng Riemann

 Kiểu nhiệm vụ T TTP-ĐN : Tính tích phân bằng định nghĩa

Cụ thể KNV TTTP-ĐN cho hàm f liên tục trên [a; b] tính tích phân 𝐼 = ∫𝑎𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Công nghệ TTP-ĐN: Định nghĩa tích phân bằng giới hạn của tổng Riemann

Đối với kỹ thuật TTP-ĐN, tác giả đã dùng phần mềm algebra để tính thể hiện ở ví dụ sau

Ví dụ 3

(a) Thành lập một biểu thức cho ∫ 𝑒3 𝑥

1 𝑑𝑥 như là một giới hạn của tổng (b) Dùng phần mền algebra để tính biểu thức trên [20, tr 377]

Như vậy các bước 2 và 3 của kỹ thuật TTP-ĐN có thể được thực hiện bởi phần mềm máy tính (algebra) Phần mềm algebra là một phần mềm chuyên về tính toán được trích ra từ phần mềm maple nhưng nhẹ và dễ sử dụng hơn maple

Để làm rõ mối quan hệ giữa tích phân và diện tích tác giả còn đưa ra một số nhiệm vụ thuộc kiểu TTTP-ĐN có thể giải bằng cách tính diện tích bằng công thức đã biết

(a) Từ 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2 ≥ 0, chúng

ta có thể xem tích phân này như là

diện tích của miền nằm dưới đường

∫ (𝑥 − 1)𝑑𝑥03 = A1 – A2 =12(2.2) –

1

2(1.1) = 1.5

[20, tr 378]

Các yêu cầu thuộc KNV TTTP-ĐN được huy động khi giáo trình muốn hoàn thiện ý

nghĩa của khái niệm tích phân thông qua định nghĩa tích phân (diện tích đại số)

 Các KNV xoay quanh định lý cơ bản của giải tích

 Kiểu nhiệm vụ T VĐT : Phác họa đồ thị của hàm g(x) = ∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕𝒂𝒙 .

Cụ thể KNV TVĐT là phác họa đồ thị hàm số g(x) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 với việc cho đồ thị hàm số y = f(t), với f liên tục trên [a ; b], (nếu hàm f cho dạng công thức thì có thể vẽ

đồ thị của nó bằng máy tính) Phác họa đồ thị hàm số g(x) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 trong trường hợp này, chúng tôi tìm hiểu một số thông tin sau

- Tìm khoảng tăng, giảm của hàm g

- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của g(x) trên [a; b]

- Phác họa (minh họa một cách đơn giản) đồ thị của hàm g(x)

Hình 1.15 Các miền tam giác Hình 1.14 Miền cần tính diện tích

Có rất nhiều bài tập có yêu cầu thuộc KNV TVĐT, hầu hết trong các yêu cầu đó đều đề cập tới kết quả g’ = f trong định lý cơ bản của giải tích phần 1

Đối với KNV TVĐT, tác giả đưa ra kỹ thuật thể hiện trong ví dụ 1 trang 387

Kỹ thuật VĐT:

- Tìm khoảng tăng, giảm của hàm g

Hàm g tăng (giảm) trên (𝛼; β) nếu f (x) > 0 (f(x) < 0) trên (𝛼; β) ; (𝛼; β) 

Công nghệ VĐT: Các yếu tố công nghệ giải thích cho kỹ thuật trên chủ yếu là

+ Ý nghĩa hình học của tích phân xác định

+ Tính chất của đường liên tục

 Kiểu nhiệm vụ T TĐH : Tính đạo hàm của hàm g(x) = ∫𝒂𝒖(𝒙)𝒇(𝒕)𝒅𝒕

Xét một bài tập có yêu cầu thuộc KNV TTĐH

Bài tập 13 Dùng phần một của định lý cơ bản của giải tích để tìm đạo hàm của hàm số