SKKN rèn luyện kĩ năng giải toán về hàm số cho học sinh lớp 12 THPT (123 trang)

- Nhiệm vụ hàng đầu của môn toán ở trường trung học phổ thông làtruyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng cho HS vì thế việc rèn luyện cho HS kĩ năng sử dụng đạo hàm để giải các bài toán

SKKN Rèn luyện kĩ năng giải toán về hàm số cho học sinh lớp 12 THPT

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

- Trong nội dung chương trình môn Toán lớp 12 THPT, đạo hàm vàứng dụng của đạo hàm có vai trò rất quan trọng nó chiếm một khối lượnglớn kiến thức và thời gian học của chương trình, nó có mặt ở hầu hết các đềthi tốt nghiệp và đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng Vì vậy việc sửdụng đạo hàm để giải các bài toán về hàm số là điều cần thiết và bổ ích đốivới HS lớp 12 trung học phổ thông

Thực tế dạy và học toán ở trường phổ thông cho thấy HS còn rấtlúng túng và khó khăn khi sử dụng phương pháp đạo hàm để giải các bàitoán về cực trị, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số, chứng minhbất đẳng thức và đặc biệt là các bài toán hàm số chứa tham số

- Nhiệm vụ hàng đầu của môn toán ở trường trung học phổ thông làtruyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng cho HS vì thế việc rèn luyện cho

HS kĩ năng sử dụng đạo hàm để giải các bài toán hàm số cũng góp phầnthực hiện nhiệm vụ môn toán

Từ những lý do trên, để giúp HS có kĩ năng ứng dụng đạo hàm để

giải các bài toán hàm số, chúng tôi chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ năng giải

toán về hàm số cho học sinh lớp 12 THPT ”.

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng được hệ thống bài tập và đề xuất các biện pháp nhằm rènluyện cho HS những kĩ năng sử dụng đạo hàm để giải các bài toán về hàmsố

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu

Khách thể nghiên cứu của đề tài là kĩ năng giải toán của học sinh nói

chung và kĩ năng giải toán về hàm số của học sinh lớp 12 THPT nói riêng.

3.2 Đối tương nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là một số hệ thống câu hỏi và bàitập về hàm số và ứng dụng của hàm số nhằm rèn luyện kĩ năng sử dụng đạohàm để giải các bài toán về hàm số

4 Giả thuyết khoa học

Nếu triển khai một cách hợp lí các biện pháp rèn luyện kĩ năng cho

HS thông qua việc giải một hệ thống bài tập đa dạng thì sẽ giúp HS thànhthạo việc ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về hàm số và góp phầnnâng cao hiệu quả dạy học

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu về lí luận dạy học môn toán, về kĩ năng giảitoán

5.2 Nghiên cứu thực tiễn

- Phương pháp điều tra, quan sát: Điều tra thực trạng dạy học chươngđạo hàm và ứng dụng của nó để giải các bài toán về hàm số

- Phương pháp thử nghiệm sư phạm: tiến hành thử nghiệm sư phạm

ở một số lớp 12 THPT để kiểm tra giả thuyết khoa học và tính hiệu quả của

đề tài

6 Phạm vi, thời gian nghiên cứu

6.1 Cơ sở của vấn đề nghiên cứu

Theo điều 28 Luật Giáo dục 2005: "Phương pháp giáo dục phổ thôngphải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phùhợp với đặc điểm tâm lý của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phươngpháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác độngđến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh"

6.2 Phạm vi nghiên cứu

Thực trạng rèn luyện kĩ năng giải toán nói chung và kĩ năng giải toán

về hàm số nói riêng hiện nay ở Việt Nam

6.3 Thời gian nghiên cứu

Đề tài được thực hiện trong thời gian từ tháng 8 năm 2012 đến tháng

3 năm 2013, cụ thể:

Chương 1: 15/8/2012 – 10/11/2012

Chương 2: 10/11/2012 – 16/01/2013

Chương 3: 16/01/2013 – 15/3/2013

PHẦN NỘI DUNG

đã có ( về mặt nào đó ) để có thể làm tốt công việc

Như vậy kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào

đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định Nếu ta tách riêng trithức và kĩ năng để xem xét thì tri thức thuộc về phạm vi nhận thức, thuộc

về khả năng “biết”còn kĩ năng thuộc về phạm vi hành động, thuộc khả năng

“biết làm”

Kĩ năng có các tính chất sau:

+) Kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lí thuyết- đó là kiến thức,bởi vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách đi đến kếtquả -hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó Kiến thức là cơ

sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chấtcủa đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với

tư cách là công cụ của hành động Như vậy kĩ năng giải toán cũng phải dựatrên cơ sở tri thức toán học ( bao gồm kiến thức, kĩ năng, phương pháp) Dovậy nói đến kĩ năng giải toán không thể tách rời với phương pháp toán họcnhằm hình thành và rèn luyện những kĩ năng đó

+) Vai trò quan trọng của kĩ năng là góp phần củng cố kiến thức, cụthể hóa, chính xác hóa lại kiến thức Điều này vừa là tính chất, đồng thờivừa là một mục tiêu quan trọng trong dạy học: Chú ý đến rèn luyện và pháttriển kĩ năng cho HS, từ đó làm cơ sở cho việc kiểm tra, củng cố lại kiến

thức, dần từng bước tiếp thu kiến thức và kĩ năng mới phù hợp với sự pháttriển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu cầu của cuộc sống.

+) Kĩ năng chỉ có thể hình thành trong hoạt động và bằng hoạt động

Kĩ năng và tri thức thống nhất trong hoạt động Tri thức là cần thiết để tiếnhành các thao tác, độ thành thạo của các thao tác được hiểu như là kĩ năng,các thao tác này được thực hiện dưới sự kiểm tra của tri thức Con đường đi

từ chỗ có tri thức đến chỗ có kĩ năng tương ứng là con đường luyện tập Nộidung của sự luyện tập này rất phong phú Nói như vậy là để khẳng định vaitrò quan trọng của việc tổ chức các hoạt động học tập trong quá trình hìnhthành và phát triển kĩ năng cho HS Nhưng cũng đồng thời phải chú ý rằngcác hoạt động phải được người học thực hiện nhiều lần, mang tính liên tục

và đến một mức độ nhất định nào đó, kĩ năng mới được hình thành

+) Nói đến kĩ năng ta cũng cần phân biệt với kĩ xảo Kĩ năng và kĩxảo có điểm tương đồng, đều là khả năng của con người được hình thànhtrên cơ sở của tri thức và của chủ thể trong quá trình tiến hành hoạt động vàquá trình tập luyện, đều là cách thức của hành động Tuy nhiên kĩ năng và

kĩ xảo có những điểm khác biệt như sau: kĩ năng yêu cầu độ linh hoạt, sángtạo của chủ thể cao trong khi kĩ xảo thiên về khuôn mẫu, máy móc Kĩ xảo

có trước và là tiền đề để có kĩ năng

Kĩ năng có tính ổn định nhưng không bền vững như kĩ xảo Trongquá trình hoạt động, qua thời gian, kĩ năng có thể được bổ sung hoặc rútngắn đi, hoặc thay đổi Kĩ năng thực hiện một hoạt động nào đó có thể mất

đi sau một thời gian đồng thời cũng có thể được tái hình thành ( thường thìsau một thời gian ngắn hơn thời gian hình thành kĩ năng đó)

+) Theo như đã trình bày, kiến thức là cơ sở của kĩ năng, do đó tùytheo nội dung kiến thức truyền thụ cho HS mà ta có những yêu cầu rènluyện kĩ năng tương ứng Con đường đi từ kiến thức đến kĩ năng là rấtphong phú và nó phụ thuộc vào nhiều tham số như kiến thức xác định kĩnăng, yêu cầu rèn luyện kĩ năng, mức độ chủ động, tích cực của HS,…Conđường tốt nhất và đảm bảo tính sư phạm là sự tham gia hoạt động và bằnghoạt động chủ động, tích cực, độc lập của chủ thể

1.1.2 Kĩ năng giải toán

Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức toán học đểgiải các bài tập toán học ( tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh…)

Kĩ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiếnthức, kĩ năng, phương pháp HS sau khi nắm vững lý thuyết, trong quátrình tập luyện, củng cố đào sâu kiến thức thì kĩ năng được hình thành, pháttriển đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức toán học

Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thựchiện các hoạt động Toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán Kĩnăng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động

Do sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần

rèn luyện cho HS những kĩ năng trên những bình diện khác nhau:

+) Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán;

+) Kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác nhau;+) Kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống

Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thông hiểutri thức Toán học Không thể hình dung một người hiểu những tri thứcToán học mà lại không biết vận dụng chúng để làm toán

Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện vai trò công cụ của Toán họcđối với những môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môngiữa các môn học trong nhà trường và đòi hỏi người GV dạy Toán cần cóquan điểm tích hợp trong việc dạy học bộ môn

Kĩ năng trên bình diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của mônToán Nó cũng cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống

Một số kĩ năng cần thiết khi giải toán

Hệ thống kĩ năng giải toán của HS có thể chia làm 3 cấp độ: biết làm,thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể

a) Trong giải toán HS cần có nhóm kĩ năng chung sau đây:

+ Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán: Phân tích bài toán, làm rõ các

dữ kiện đặt ra, nếu bài toán có tính chất là một vấn đề thì cần tìm khâu nàocòn chưa biết một quy tắc tổng quát hoặc một phương pháp có yếu tố thuậttoán để giải bài toán, xác định đó là trọng tâm suy nghĩ tìm hướng giải Đây

là kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, là một trong những kĩ năng quantrọng nhất khi giải các bài toán có tính chất là một vấn đề Cần làm rõ cácthành phần, mối liên hệ ( tường minh hay không tường minh) qua các yếu

tố (có hoặc không có ) trong bài toán

+ Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải bài toán: Huy

động tri thức, kinh nghiệm của bản thân có liên quan để giải bài toán, baogồm hai dạng:

- Dạng 1 là những nội dung mà HS sản sinh ra một cách tích cựcbằng các thao tác tư duy, bằng lao động trí óc và thực hành

- Dạng 2 là những ý tưởng chợt lóe sáng tự phát, được hiểu theonghĩa bừng sáng của quá trình tư duy sáng tạo Chuyển dịch về những vấn

đề quen thuộc đã có thuật giải: quy nạp, tìm kiếm, dự báo, bổ sung vàothuật giải đã có hoặc tìm kiếm thuật giải mới

+Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả bài toán, tránh

sai lầm khi giải toán: Trong học tập giải toán, việc phát hiện và sửa chữa

sai lầm là một thành công của người học toán

+ Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của

người giải toán

b) Ngoài ra cần rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau:

Nhóm kĩ năng thực hành:

+ Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán: Kĩ năng này

được rèn luyện trong quá trình tìm tòi lời giải của bài toán Cần chú ý kĩnăng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch để nắm vững và vận dụngkiến thức (một thành phần của tư duy toán học), kĩ năng biến đổi xuôichiều và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liêntưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận

+ Kĩ năng tính toán: đây là điều cần thiết trong thực tiễn cuộc sống.

Ở đâu cũng đòi hỏi kĩ năng tính toán như: tính đúng, tính nhanh, tính hợp

lí Các đức tính để có được các kĩ năng đó là: cẩn thận, chu đáo, nhanh trí,kiên trì, luôn có ý thức tìm tòi các phương pháp tính toán khác nhau

Kĩ năng tính toán được rèn luyện qua các bài luyện tập, thông quatính nhẩm, sử dụng bảng số, máy tính, thực hiện các phép tính gần đúng

+ Kĩ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị,

đọc và vẽ đồ thị chính xác, rõ ràng.

+ Kĩ năng ước lượng, đo đạc có ý nghĩa giáo dục và ý nghĩa thực

tiễn Để có kĩ năng đó cần rèn luyện cho HS thói quen ước lượng khi sử

dụng dụng cụ đo trong thực tiễn Đặc biệt với kĩ năng vẽ hình HS phảiđược hình thành và rèn luyện kĩ năng vẽ hình chính xác, phù hợp với lý

thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, vẽ đẹp

+ kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn HS được rèn luyện

kĩ năng này thông qua các bài toán có tính thực tiễn hoặc các bài toán cónội dung không phải dưới dạng thuần túy toán học mà dưới dạng một vấn

đề thực tế cần giải quyết

Nhóm kĩ năng về tư duy:

+ kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải toán: sắp xếp kiến

thức theo trình tự giải, nhớ lại và huy động kiến thức, kinh nghiệm hữu ích

để giải toán; phân loại bài toán để lựa chọn kế hoạch và phương pháp giải,tập hợp các dữ kiện, xác định ẩn, biểu thị qua các mối liên hệ, xác định rõgiả thiết, kết luận, phản ánh rõ các kí hiệu trong bài toán; biết sử dụng cácphương pháp suy luận và các thao tác tư duy khái quát hóa, đặc biệt hóa,tương tự trong tiến trình giải toán, biết giải quyết từng cái riêng, bộ phậntrong bài toán từ đó đi đến giải quyết cái chung, tổng thể của bài toán (vàngược lại)

+ Kĩ năng tổng hợp: liên kết các dữ kiện trong bài toán, khái quát các

dấu hiệu, tóm tắt nội dung bài toán, xác định rõ giả thiết, kết luận, kết cấulại đề toán, định hướng tiến trình giải toán

+ Kĩ năng phân tích: biết phân tích các quan hệ và cấu trúc của bài

toán, nhận dạng ý trọng tâm, dự đoán, phân tích và khắc phục các sai lầmtrong quá trình giải toán, phân loại các khả năng có lời giải hoặc cách điđến lời giải, xác định trọng tâm cần giải quyết trong bài toán

+ Kĩ năng mô hình hóa: Hành động mô hình hóa bài toán là hành

động chuyển bài toán thành mô hình và phân tích quan hệ toán học cũngnhư các phương pháp toán học sử dụng trên mô hình đó Đây là một kĩnăng cần thiết để giải bài toán có ứng dụng thực tiễn và các bài toán liênmôn khác

+ Kĩ năng sử dụng thông tin: nhận biết, thu thập và ghi nhận thông

tin từ nội dung bài toán Phân loại, sắp xếp và thể hiện qua các kênh thôngtin trong hoạt đông giải toán để tạo cơ sở huy động kiến thức, vốn kinhnghiệm có liên quan hữu ích đến việc giải bài toán

1.1.3 Đề xuất các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS

1.1.3.1 Cơ sở lý luận để xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện

kĩ năng giải toán cho học sịnh THPT

a Cơ sở tâm lý giáo dục

Quá trình học được tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạycủa thầy và các hoạt động của học trò, do đó các biện pháp sư phạm phảithông qua hoạt dộng dạy tác động vào hoạt động học của HS, làm cho HS

có động cơ hoàn thiện tri thức và kĩ năng Nhân cách của HS trong đó cókết quả học tập, chính là chất lượng sản phẩm mà nhà trường đào tạo cho

xã hội Vì vậy cần chú ý đến hoạt động học, các biện pháp tập trung vàorèn luyện và phát triển các dạng hoạt động của HS, rèn luyện kĩ năng họctập của HS: kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạtđộng, kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá Theo tác giả Lê Văn Hồng, tâm lý sưphạm NXB ĐHQG Hà Nội 2007: “ Cơ sở tâm lý của kĩ năng là sự thônghiểu mối quan hệ qua lại giữa mục đích hoạt dộng, các điều kiện và cáchthức hoạt động ấy ”

b Cơ sở phương pháp dạy học bộ môn Toán

Phương pháp dạy học Toán ở trường THPT phải luôn gắn liền vớiviệc truyền thụ tri thức, kĩ năng với việc phát triển các năng lực của HS

Căn cứ vào nhiệm vụ của việc dạy học bộ môn, bên cạnh việc truyềnthụ tri thức, rèn luyện kĩ năng thực hành Toán học, HS cần được rèn luyện

kĩ năng vận dụng Toán học vào việc học tập bộ môn khác, vào thực tiễncuộc sống Do đó cần thiết và có thể xây dựng các biện pháp nhằm rènluyện các kĩ năng giải toán cho HS, góp phần thực hiện các nhiệm vụ bộmôn đồng thời đảm bảo tính liên môn trong dạy học

1.1.3.2 Con đường hình thành và rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS

Việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS phải nhằm vào việc biến cáckiến thức và kĩ năng cơ bản trong từng chương, từng mục thành kiến thức

và kĩ năng tổng hợp, hoàn chỉnh chuẩn bị cho mọi hoạt động học tập laođộng và nghề nghiệp cho HS.Trước hết, người GV cần xác định rõ conđường hình thành kĩ năng cho HS và vai trò của mình trong qui trình đónhờ sơ đồ sau đây:

Quy trình hình thành và phát triển kĩ năng giải toán cho HS.

GV hướng dẫn quy trình ( phương pháp )

HS thực hành, luyện tập (áp dụng phương pháp)

Khái quát hoá hoạt động chọn phương pháp tối ưu (hoàn thiện quy trình giải)

1.1.3.3 Giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS.

Để rèn luyện được kĩ năng giải toán cho HS ta cần phải có một giảipháp đồng bộ, bao gồm các hoạt động sau:

a, Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập của HS trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng

Mục tiêu quan trọng đầu tiên của việc tổ chức các hoạt động học tập

là đảm bảo cho HS nắm một cách vững chắc và có hệ thống các kiến thứcquy định trong chương trình Căn cứ vào chương trình, người GV cần phảixác định và chọn lọc các kiến thức, kĩ năng cơ bản cần được trang bị, hìnhthành, phát triển cho HS

Trên quan điểm hoạt động, định hướng đổi mới phương pháp dạyhọc, trong quá trình dạy học, người GV cần tổ chức các hoạt động học tập

- GV có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn: Giúp đỡ

HS vượt qua những khó khăn bằng cách phân tách một hoạt động thànhnhững phần đơn giản hơn, hoặc cung cấp cho HS một số tri thức phươngpháp và nói chung là điều chỉnh mức độ khó khăn của nhiệm vụ dựa vào sựphân bậc hoạt động

- GV giúp HS xác nhận những tri thức đã đạt được trong quá trìnhhoạt động, đưa ra những bình luận cần thiết để HS hiểu tri thức đó mộtcách sâu sắc, đầy đủ hơn

b Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho HS.

Trước hết GV cần rèn luyện cho HS thực hành giải toán theo quy định

4 bước của polya rồi từ đó hình thành kĩ năng giải toán theo quy trình này

Khi đã có một quy trình giải toán chung nhất như trên, cộng vớinhững tri thức phương pháp về những nội dung toán học cụ thể HS có thểtìm tòi, khám phá để tìm đến lời giải bài toán

- Đối với những bài toán đã có thuật giải: GV cần căn cứ vào yêu cầuchung của chương trình cũng như tình hình thực tế để, hoặc thông báotường minh thuật giải hoặc có thể cho HS thực hiện các hoạt động học tập

ăn khớp với tri thức phương pháp đó

- Đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: GV cầnhướng HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải Qua đó trang bị cho HS một số tri thức

về phương pháp giải toán Thông qua dạy HS giải một số bài toán cụ thể

mà dần dần cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật giải một lớpcác bài toán có dạng quen thuộc Từ đó hình thành kĩ năng giải quyết loạibài toán đó

c Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua củng cố, luyện tập

Cấu tạo của SGK ở phổ thông theo nguyên tắc: Mỗi nội dung Toánhọc mới đều dựa vào những nội dung đã được học trước kia Vì vậy việccủng cố tri thức kĩ năng một cách có định hướng và có hệ thống có ý nghĩa

to lớn trong việc dạy học toán Củng cố cần được thực hiện không chỉ đốivới tri thức mà còn đối với cả kĩ năng, kĩ xảo, thói quen và thái độ

Trong môn toán củng cố diễn ra dưới các hình thức: luyện tập, đào

sâu, ứng dụng, hệ thống hoá và ôn.

Luyện tập: trước hết nhằm mục tiêu rèn luyện kĩ năng kĩ xảo Luyện

tập không phải chỉ đối với tính toán mà còn cả đối với việc dựng hình, vẽ

đồ thị của hàm số, giải phương trình, bất phương trình, sử dụng thước, máytính

Đào sâu: Đào sâu trước hết nhằm vào việc phát hiện và giải quyết

những vấn đề liên quan đến những phương diện khác nhau, những khíacạnh khác nhau của tri thức, bổ sung, mở rộng và hoàn chỉnh tri thức

Những cách đặt vấn đề điển hình để đào sâu tri thức là: nghiên cứu

sự tồn tại và duy nhất, xem xét những trường hợp mở rộng, những trườnghợp đặc biệt hoặc suy biến, nghiên cứu những mối liên hệ và phụ thuộc, lậtngược vấn đề, thay đổi hình thức phát biểu

Ứng dụng: được hiểu là vận dụng những tri thức và kĩ năng được lĩnh

hội vào việc giải quyết những vấn đề mới trong nội bộ môn toán cũng nhưtrong thực tiễn Trong khâu ứng dụng cần rèn luyện cho HS năng lực pháthiện và giải quyết vấn đề, lựa chọn bộ phận tri thức và kĩ năng thích hợp,tìm kiếm con đường giải quyết, lí giải và trình bày lời giải, kiểm tra đánhgiá kết quả và sắp xếp kiến thức đạt được vào hệ thống tri thức đã có

Ngoài dạng bài tập chứng minh, tìm tòi, mặt quan trọng nữa là nhữngứng dụng thực tế của toán học Trong trường hợp này, cần làm nổi bật vàdần dần khắc sâu cách tiếp cận và giải quyết vấn đề như sau:

Bước 1: Toán học hoá tình huống thực tế

Bước2: Dùng công cụ toán học để giải quyết bài toán trong mô hình này.Bước 3: Chuyển kết quả trong mô hình toán học sang lời giải của bàitoán thực tế

Việc này làm cho HS thấy rõ mối quan hệ giữa toán học và thực tếgóp phần giáo dục thế giới quan, thẩm mỹ cho HS

Hệ thống hoá: nhằm vào việc so sánh, đối chiếu những tri thức đã đạt

được, nghiên cứu những điểm giống nhau và khac nhau, làm rõ những mốiquan hệ giữa chúng Nhờ đó người học đạt được không chỉ những tri thứcriêng lẻ mà còn cả hệ thống tri thức

Ôn: tức là nhắc lại tri thức, luyện lại kĩ năng đã có Ôn giữ một vị trí

đặc biệt so với bốn hình thức khác nhau của củng cố, bởi vì nó thườngđược kết hợp với các hình thức đó, thậm trí đan kết, hoà nhập vào các hìnhthức đó Ôn lại không phải chỉ là những gì lĩnh hội được trong bài lý thuyết

mà khi cần thiết có thể nhắc lại cả tri thức đã đạt được trong các khâu củacủng cố

1.2 Bài tập toán và phương pháp dạy học giải bài tập toán

1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán, là giá manghoạt động của HS Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạtđộng nhất định, bao gồm cả nhận dạng thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc,phương pháp, những hoạt động toán học phức tạp, những hoạt động phổbiến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ.Vai trò của bài tập thể hiện trên 3 bình diện:

+) Trên bình diện mục đích dạy học, bài tập toán học ở trường phổthông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thểhiện mức độ đạt mục đích Bài tập toán học góp phần :

-Hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khácnhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn -Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những thao tác tư duy, hìnhthành những phẩm chất trí tuệ

-Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng hình thành những phẩmchất đạo đức của người lao động mới

+) Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giámang những hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bàitập đó trở thành một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng những trithức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ xung cho những tri thức nào đó đãđược trình bày trong phần lý thuyết

+) Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giámang những hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định

và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác Khai thác tốtnhững bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạtđộng và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo được thực hiện độclập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với các dụng ý khácnhau về phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làmviệc với nội dụng mới, củng cố kiến thức ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến

thức của HS, giúp GV nắm bắt được thông tin hai chiều trong quá trình dạy

và học

1.2.2 Những yêu cầu của một lời giải bài toán

- Kết quả đúng kể cả các bước trung gian

1.2.3 Phương pháp chung để giải bài toán

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết củaPolya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạyhọc, có thể nêu phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Phát biểu đề bài dưới những hình thức khác nhau để hiểu rõ nộidung, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặcbiệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liênquan…

Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được kết quảhợp lí nhất.

Trả lời cho các câu hỏi hướng dẫn như: đã gặp bài toán này lần nàochưa? Xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùngcái chưa biết hay có cái cho biết tương tự? Có thể áp dụng một định lí nàođó? Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Nếu không giảiđược hãy thử giải một bài toán liên quan dễ hơn hay không? Hãy chọn mộtlời giải ngắn gọn, hợp lý nhất…

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã phát hiện được, sắp xếp các việc phải làm thành mộtchương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện cácbước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.3 Dạy học chương “ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ” và việc rèn luyện kĩ năng giải Toán cho HS

1.3.1 Nội dung của chương

Theo chương trình THPT môn toán, có 78 tiết dành cho Giải tích 12

cơ bản, có 90 tiết dành cho Giải tích 12 nâng cao, trong đó chương “ Ứngdụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” có những nội dung sau:

• Tính đơn điệu của hàm số

• Cực trị của hàm số

• Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

• Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thứchữu tỉ

• Một số bài toán thường gặp về đồ thị

• Ôn tập chương

1.3.2 Mục đích, yêu cầu dạy học của chương

Trên cơ sở mục đích của việc dạy học toán ở trường phổ thông, căn

cứ vào nội dung chương ứng dụng đạo hàm trong chương trình giải tích lớp

12, ta có thể xác định mục đích yêu cầu dạy học chương ứng dụng đạo hàmnhư sau:

Về kiến thức: HS phải nắm vững các nội dung sau:

- Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số

- Khái niệm cực trị và các quy tắc tìm cực trị của hàm số

- Khái niệm và cách tìm GTLN, GTNN của hàm số

- Định nghĩa và cách tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Về kĩ năng: Giúp HS có kĩ năng thành thạo trong việc xét chiều biến

thiên của hàm số; Tìm cực trị của hàm số; Tìm GTNN, GTLN của hàm sốtrên một miền cho trước; Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số; Khảosát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức, hàm phân thức hữutỉ; Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Ngoài những yêu cầu trên, GV có thể cho HS thấy được những ứngdụng độc đáo khác của đạo hàm trong việc chứng minh bất đẳng thức,trong các bài toán về hàm số chứa tham số…

1.3.3 Các dạng bài tập của chương

+) Ứng dụng đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số

phát phiếu thăm dò đến các thầy cô trong tổ Toán trường THPT DTNTTỉnh Hòa Bình với nội dung phiếu thăm dò như sau:

Câu hỏi 1: Việc rèn luyện kĩ năng sử dụng đạo hàm để giải các bài toánhàm số cho HS lớp 12 có thật sự quan trọng không? Tại sao?

Câu hỏi 2: Thầy cô có thường xuyên rèn luyện kĩ năng sử dụng đạohàm để giải các bài toán hàm số cho HS lớp 12 hay không?

Câu hỏi 3: Thầy cô thường gặp khó khăn gì khi rèn luyện kĩ năng sửdụng đạo hàm để giải các bài toán hàm số cho HS lớp 12?

Sau đó chúng tôi đã thu được kết quả như sau:

- Trong câu hỏi 1: Đa số các thầy cô trả lời là đặc biệt quan trọng vì:Thứ nhất giúp HS củng cố và khắc sâu kiến thức dễ dàng Thứ hai giúp HS

có kĩ năng giải các bài toán trong đề thi tuyển sinh vào Đại học và Caođẳng

- Trong câu hỏi 2: Câu trả lời của các thầy cô là không đồng đều, cónhững thầy cô thường xuyên tổ chức rèn luyện kĩ năng này cho HS, nhưngcũng có một số thầy cô không thường xuyên làm được việc này vì một số lí do

- Trong câu hỏi 3: Đa số thầy cô nêu ra khó khăn do điều kiện thờigian, thiếu hệ thống bài toán tốt để thực hiện việc rèn luyện kĩ năng nói trêncho HS

Trước tình hình thực tế như vậy, chúng tôi nghĩ rằng chúng ta nênxây dựng một hệ thống bài tập đa dạng, hợp lí theo từng chủ đề kiến thức

để rèn luyện kĩ năng sử dụng đạo hàm giải các bài toán về hàm số cho HSlớp 12 THPT nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học

1.3.5 Các sai lầm HS thường gặp khi giải các bài toán về hàm số

+) Tìm sai điều kiện của ẩn phụ.

(2)⇔ 1

2 1

m t

+) Sai lầm khi tính sai giới hạn của hàm số

Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + 3 = m x +1 (1)2

Có HS giải bài toán này như sau:

10

-∞ -∞

Dựa vào bảng biến thiên ta có m∈ −∞( ; 10

Sai lầm của HS là không tính đúng giá trị -1; 1 ở góc trái và góc phải của bảng biến thiên

+) Sai lầm khi kết luận sai giá trị cần tìm của tham số.

Ví dụ: Tìm m để bất phương trình

m + m+ + m− ≥ ∀ >x

Có HS giải như sau:

Đặt t=3x, do x > ⇒ >0 t 1

2(1)⇔mt +(m+1) 2t+ m− ≥3 0 ⇔m t( 2 + + ≥ −t 2) 3 t 23 ( )

7 2 10

−+

Căn cứ vào bảng biến thiên suy ra 1

Sai lầm của HS cho rằng điểm (1; )1

2 không thuộc đồ thị hàm số nên

12

m>

+) Sai lầm khi diễn đạt sai yêu cầu của bài toán mới.

Chẳng hạn với bài toán trên, sau khi đặt t=3x (t>1) Có HS phát biểu:Yêu cầu của bài toán trở thành tìm m để bất phương trình:

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Chương 1 của Đề tài đã tìm hiểu khái niệm về kĩ năng, các tính chấtcủa kĩ năng, kĩ năng giải Toán trên cơ sở đó đưa ra các biện pháp rèn luyện

kĩ năng giải Toán cho HS

Tiến hành phân loại các bài toán về hám số ở lớp 12 THPT

Tìm hiểu thực trạng dạy các bài toán về hàm số cho HS lớp 12 THPTcũng như những sai lầm HS thường mắc phải khi giải các bài toán dạngnày

Trên cơ sở đó ở chương 2, chúng ta sẽ đề ra các biện pháp rèn luyện

kĩ năng sử dụng đạo hàm để giải các bài toán về hàm số cho HS thông quaviệc giải một hệ thống bài tập đa dạng, có chọn lọc

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG VÀ KHAI THÁC HỆ THỐNG BÀI TẬP NHẰM RÈN

LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ HÀM SỐ

CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT

Chương này trình bày việc rèn luyện cho HS kĩ năng sử dụng đạohàm để tìm GTNN, GTLN của hàm số, tìm cực trị của hàm số, xét sự biếnthiên của hàm số, chứng minh bất đẳng thức Tìm tham số để phương trình,bất phương trình, hệ phương trình thỏa mãn một điều kiện nào đó

Các hàm số được xét ở chương này chủ yếu là các hàm đa thức bậc

b , các hàm lượng giác, vì đây

là các hàm số phổ biến và thường gặp nhất trong chương trình lớp 12THPT và trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng

Ngoài ra Đề tài còn trình bày việc rèn luyện cho HS kĩ năng sử dụngđạo hàm vào các bài toán tham số có liên quan đến hàm số mũ, logarit, hàm

số chứa căn thức nhằm giúp HS hiểu sâu sắc hơn việc ứng dụng đạo hàm

để giải các bài toán đa dạng về hàm số

2.1 Rèn luyện kĩ năng ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số

2.1.1 Kiến thức cơ bản

2.1.1.1 Định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng D

Hàm số y=f(x) gọi là đồng biến trên D nếu ∀ x x D x x1 2, ∈ ; 1< 2 ⇒

2.1.1.2 Điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến trên (a; b)

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a; b)

*) Nếu '( ) 0f x ≥ ∀ ∈x a b( ; ) và f’(x)=0 chỉ tại hữu hạn điểm trên (a; b)thì f(x) đồng biến trên (a; b).

*) Nếu '( ) 0f x ≤ ∀ ∈x a b( ; ) và f’(x)=0 chỉ tại hữu hạn điểm trên (a; b)thì f(x) nghịch biến trên (a; b)

2.1.1.3 Các kĩ năng cơ bản

- Tính đạo hàm của các hàm số theo công thức

y

+∞ -2 +∞ -3 -3

Vậy: Hàm số đồng biến trên (-1; 0) và (1; +∞)

Hàm số nghịch biến trên (−∞; -1) và (0; 1)

Bài 2 Tìm m để hàm số 1 3 ( 2) 2 (3 4) 12

3

y= x + m+ x + m+ x+ đồng biến trên R

Vậy với m∈[-1;0] thì hàm số đồng biến trên R.

Bài 3 Tìm m để hàm số y x= 3 +3x2 +mx m+ nghịch biến trên một đoạn có

độ dài lớn hơn hoặc bằng 1

Khi đó ' 0∆ > ⇒y’ có hai nghiệm phân biệt x x x1, ,(2 1<x2)

Hàm số nghịch biến trong khoảng ( , )x x , đồng biến trong hai khoảng1 2

Một số lưu ý khi giải các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số

Trong dạng toán này nhiều sách tham khảo vẫn sử dụng định lý đảo

về dấu của tam thức bậc hai, nhưng SGK chương trình mới đã bỏ nội dungnày, vì vậy GV cần lưu ý để HS tránh mắc sai lầm khi làm bài tập Ngoài ra

ta cần chú ý những điều sau:

1 Nói chung khi tìm điều kiện để hàm số đơn điệu ta chấp nhận cảdấu “=” trong y’ Tuy nhiên, riêng với hàm phân thức bậc nhất: Vì tử sốcủa đạo hàm không còn chứa x nên khi tìm điều kiện đơn điệu cho hàm nàyy’ không chấp nhận dấu bằng

2 Điều kiện cho hàm đơn điệu rơi vào một trong hai dạng:

Dạng 1 Nếu tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên R thì dùng định líthuận về dấu của tam thức bậc hai

Dạng 2 Nếu tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng nào

đó thì dùng kĩ thuật khảo sát hàm số bằng cách cô lập tham số hoặc kĩ thuậtParabol sau đây:

f’(x) +

đồng biến trên nửa khoảng [2;+∞)

Nhận xét: Trong nhiều bài toán tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một

khoảng, khi không cô lập được tham số thì kĩ thuật parabol thực sự có hiệu quả

Ta xét bài toán sau:

Vì đồ thị của hàm số f x( ) 2= x2 −4mx m+ 2 −2m−1 là một Parabol quay

bề lõm lên trên có hoành độ đỉnh x0 = ≤m 1 Nên f(x) đồng biến trên

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên (0 ;+∞)

2.2 Rèn luyện kỹ năng tìm cực trị của hàm số

2.2.1 Các kiến thức cơ bản

2.2.1.2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Dấu hiệu 1: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a,b); x0∈(a,b);f(x) có đạo hàm trên (a,b) có thể trừ ra điểm x 0

Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x thì 0 x là0

điểm cực đại của hàm số

Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x thì 0 x là 0

điểm cực tiểu của hàm số

Dấu hiệu 2: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp hai liên tục

trên (a,b)

0

'( ) 0''( ) 0

 thì x là điểm cực đại của hàm số.0

2.2.2 Các kĩ năng cần thiết

- Tính chính xác f’(x), f’’(x) và giải phương trình f’(x)=0

- Biết cách xét dấu f’(x), f’’(x)

- Biết cách kết luận các điểm cực trị của hàm số theo dấu hiệu 1 hoặcdấu hiệu 2

- Biết cách giải các bài toán liên quan đến cực trị của các hàm số 2

1

b b

, hàm đa thức bậc 3, bậc 4, các hàm số lượng giác, các hàm số chứa căn thức, các hàm mũ và lôgarít

2.2.3 Các dạng toán về cực trị

1 Tìm cực trị của các hàm số dạng đa thức, phân thức, căn thức,lượng giác, mũ và lôgarít

2 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

3 Lập phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị của hàm số

4 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thoả mãn tính chất K nào đó

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số

Để tìm các điểm cực trị của một hàm số ta có thể áp dụng một trong các quy tắc sau:

a) Quy tắc 1

+ Tìm tập xác định D của hàm số

+ Tính f’(x)

+ Tìm các điểm tới hạn

+ Xét dấu của đạo hàm

+ Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị theo dấu hiệu 1

y +∞ 2

3 2

x

−∞ 2

2

− +∞ y’ - 0 +

y

-1

−∞ −∞ Điểm (1; 1)M − là điểm cực đại của đồ thị hàm số

Bài 2: Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số : y f x= ( )=x e2 x

Lời giải

Tập xác định D = R

y’ = f’(x) = 2xex + x2ex = (2x + x2)ex ⇒ y’ = 0 x = 0

M

e

− là điểm cực đại của đồ thị hàm số

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Vấn đề 1: Tìm điều kiện để hàm số y ax= 3+bx2+ +cx d (a≠0) có cực trị

Phương pháp giải

a b c a

a b a

Lời giải

Tập xác định: D = R.

y’ = mx2 -2(m-1)x + 3(m-2) ⇒y’=0 ⇔ mx2 -2(m-1)x + 3(m-2) = 0 (1) *) Nếu m = 0 thì (1) ⇔ 2x - 6 = 0 ⇔ x =3 Vì qua x = 3, y’đổi dấu nên hàm số đạt cực trị tại x = 3

*) Nếu m 0≠ thì hàm số có cực trị ⇔phương trình (1) có hai nghiệmphân biệt

m m

y

2 +∞

−∞ -2

Vậy với mọi m thì hàm số luôn có cực đại, cực tiểu và:

Điểm M1(− −m 1; 2) là điểm cực đại của đồ thị hàm số

Điểm M2(− + −m 1; 2) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Khi m thay đổi: M1(− −m 1; 2) luôn chạy trên đường thẳng cố định y=2

M2(− + −m 1; 2) luôn chạy trên đường thẳng cố định y=-2

Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số y ax= 4 +bx2 +c có cực trị

Phương pháp giải

x y

a b b a

Vậy hàm số có ba điểm cực trị ⇔ 3

m m

Để hàm số có đúng một cực trị thì phương trình y’=0 có đúng một nghiệm

*) Nếu m=1 thì y’= - 2x ⇒y’ =0 có đúng một nghiệm và y’ đổi dấu khi

x qua x= 0 Vậy hàm số có đúng một điểm cực trị

m m

Nếu c’= 0 thì hàm số trở thành hàm số y kx l= + vì vậy hàm số không

có cực trị

Nếu c’≠0 thì hàm số không có cực trị ⇔

00' 0

a a

−

00'

'

a

b g a

Hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu ⇔Phương trình f’(x)=0 có hai

m m

m m

Bước 2: Tính đạo hàm y’, thiết lập phương trình y’=f’(x)=0 (1)

Bước 3: Hàm số có cực đại, cực tiểu⇔Phương trình (1) có hai nghiệmphân biệt x1, x2

Bước 4: Để xác định phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại vàcực tiểu của đồ thị hàm số ta thực hiện như sau:

Thực hiện phép chia y cho y’ ta được: y = y’.g(x) + h(x)

Gọi (x1; y1), (x2; y2) là toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm sốy= f(x) thì y’(x1)= 0 và y’(x2)=0 Do đó :

*Chú ý: Có thể viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị bằng

cách xác định toạ độ hai điểm cực trị rồi viết phương trình đường thẳng quahai điểm đó

Bài 8: Cho hàm số y = -x + 3mx + 3(1- m )x+ m - m Viết phương3 2 2 3 2trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm y’, thiết lập phương trình y’=f’(x)=0 (1)

Bước 3: Hàm số có cực đại, cực tiểu⇔Phương trình (1) có hai nghiệm

phân biệt x1, x2 khác '

'

b a

−