Khái niệm diện tích trong dạy học môn toán học ở trung học cơ sở

> Những bài toán gắn với diện tích trong lịch sử> Khái niệm diện tích > Sự chuyển đổi didactic khái niệm diện tích > Các quan niệm về khái niệm diện tích > Những tổ chức toán học tham ch

IJỘ^ C ™ Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

aằSeã] TRƯỜNG ĐẠI HỌC sử PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Trần Đức Thuân

TRONG DẬY - HỘC TOÁN

Ở TRUNG HỌC Cơ SỞ

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC sĩ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008

LÒT CẢM ƠN

Một trong những món quà tuyệt vời mà cuộc sống dành tặng cho mỗi chúng ta

là khó khăn, thử thách, là cơ hội để vươn lên, trưởng thành hơn Tôi đã trải qua mộtgiai đoạn khó khăn, rất khó khăn Didactic Toán là một ngành học khó, đòi hỏi rất cao

ở người học, người nghiên cứu Chập chững bước đầu đến với didactic, có lẽ tôi chưađưa ra được những kết quả thật xuất sắc, ấn tượng, nhưng tôi đã học hỏi được nhiềukiến thức quý giá và cần thiết

Tôi muốn dành lời cảm ơn đầu tiên đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu Dầu bộn

bề công việc, Cô vẫn dành nhiều thòi gian để hướng dẫn, góp ý cho các học viên vềmặt khoa học

Tôi muốn cảm ơn PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Đoàn Hữu Hải,

TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung về sự nhiệt tình chỉ bảo,động viên, chia sẻ

Tôi muốn cảm ơn PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot,

TS Alain Birebent đã nhiệt tình góp ý về luận văn và giải đáp thắc mắc của lóp chúngtôi về didactic toán

Tôi muốn cảm ơn TS Nguyễn Xuân Tú Huyên đã dành thời gian dịch tài liệu,luận văn cho chúng tôi

Tôi muốn cảm ơn những người bạn cùng lóp cao học về sự họp tác, động viên,giúp đỡ trong toàn khóa học

Tôi muốn cảm ơn những người bạn, những đồng nghiệp đã nhiệt tình giới thiệu,giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi triển khai thực nghiệm

Sau cùng, tôi muốn đặc biệt cảm ơn các thành viên trong gia đình, Trường Đạihọc Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Nhờ có sự chia sẻ của Ban Giám hiệu Trường,Phòng Khoa học Công nghệ - Sau đại học, Khoa Giáo dục Tiểu học, tôi đã có nhữngđiều kiện thuận lợi trong việc học, hoàn thành luận văn

Trần Đức Thuận

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 DIỆN TÍCH: TỪ KHOA HỌC LUẬN ĐẾN DIDACTIC 4

1 Một điều tra khoa học luận về khái niệm diện tích 5

1.1 Những bài toán gắn với diện tích và sự tiến triển của chúng trong lịch sử 5

1.2 Khái niệm diện tích 8

2 Từ khoa học luận đến didactic 10

2.1 M ột sự chuyển đổi didactic khái niệm “diện tích” 10

2.2 C ác quan niệm về khái niệm diện tích 10

2.3 Bốn tổ chức toán học liên quan đến diện tích 11

2.4 Vai trò của các công thức tính diện tích 13

Chương 2 NGHIÊN cứu MỐI QUAN HỆ THẺ CHÉ VỚI ĐỐI TƯỢNG DIỆN TÍCH 15

1 Diện tích trong chương trình toán bậc phổ thông 15

1.2 Diện tích trong chương trình tiểu học 16

1.2 Diện tích trong chương trình trung học cơ sở 16

1.3 Diện tích trong chương trình trung học phổ thông 18

2 Diện tích trong các sách giáo khoa toán tiểu học 18

2.1 về biểu tượng và tính chất của diện tích 18

2.2 về đơn vị đo diện tích 19

2.3 về các công thức tính diện tích 19

3 Diện tích trong sách giáo khoa Toán 8 21

3.1 về định nghĩa, tính chất của diện tích 21

3.2 về các công thức tính diện tích 23

3.3 về các tổ chức toán học 25

32

Chương 3 THựC NGHIỆM 34

1 Thực nghiệm đối với giáo viên 34

1.1 Giới thiệu bộ câu hỏi 35

1.2 Phân tích a-posteriori 39

1.3 Kết luận 40

2 Thực nghiệm đối với học sinh 41

2.1 Thực nghiệm thứ nhất 41

2.2 Thực nghiệm thứ hai 45

3 Kết luận phần thực nghiệm 51

KÉT LUẬN VÀ HƯỚNG NGHIÊN cứu TIẾP THEO 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

> Lý do chọn đề tài Câu hỏi ban đầu

> Khung lý thuyết tham chiếu

> Mục đích nghiên cứu

> Phương pháp nghiên cứu

1 LÝ DO CHỌN ĐÈ TÀI VÀ NHỮNG CÂU HỎI BAN ĐẦU

Tính diện tích, so sánh diện tích là những vấn đề thường gặp trong cuộc sốnghàng ngày và trong nhiều ngành khoa học như toán học, vật lý, địa lý

Ở Việt Nam, diện tích được đưa vào giảng dạy khá sớm, ngay từ bậc tiểu học,

và xuyên suốt trong chưong trình toán phổ thông Việc dạy học diện tích được chia

thành nhiều giai đoạn Theo Chương trình Giáo dục pho thông môn Toán của Bộ Giáo

dục và Đào tạo năm 2006, những kiến thức về “diện tích” đưa vào bậc tiểu học là

những 'yếu to, kiến thức chuẩn bị” [1, tr 8] Chỉ từ lớp 8, học sinh mới được nghiên

cứu đối tượng “diện tích” Vì thế, chúng tôi quyết định chọn nghiên cứu việc dạy - họckhái niệm diện tích ở trung học co sở tại Việt Nam Điều này không có nghĩa chúng tôi

sẽ hoàn toàn không quan tâm đến việc đưa vào diện tích ở bậc tiểu học

Những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi tự đặt ra cho mình là:

- Khái niệm diện tích được hình thành như thế nào?

- Khái niệm diện tích có những đặc trưng nào?

- Có những cách tiếp cận nào cho khái niệm diện tích?

- Sách giáo khoa Việt Nam đã chọn giới thiệu khái niệm diện tích như thế nào(theo quan điểm nào)?

- Cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệmdiện tích của học sinh?

2 KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU

Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời những câu hỏi trên, chúng tôi đặtnghiên cứu trong khuôn khổ của lý thuyết didactic, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học

Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm “quan hệ

thê chế”, “quan hệ cá nhârì’, “to chức toán học”.

Quan hệ R(I,0) của thể chế I với tri thức o là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức o Nghiên cứu về mối quan hệ thể chế sẽ cho chúng tôi biết

đối tượng tri thức “diện tích” xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì

trong thể chế Nói cách khác, tùy theo thể chế được lựa chọn là thể chế toán học haythể chế dạy - học toán ở Việt Nam, chúng tôi có thể trả lời được các câu hỏi: “kháiniệm diện tích được hình thành như thế nào?”, “khái niệm diện tích có những đặctrưng nào?”, “có những cách tiếp cận nào cho khái niệm diện tích?”, “sách giáo khoaViệt Nam đã chọn giới thiệu khái niệm diện tích như thế nào?”

Quan hệ R(X,0) của cá nhân X với tri thức o là tập họp các tác động qua lại

mà cá nhân X có với tri thức o Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về o, có thể thao tác với o ra sao Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức o chính là quá

trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,0) và bị ảnh hưởng, chi phối bởi quan

hệ thể chế Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng “diện tích” chophép chúng tôi biết cách hiểu của học sinh về khái niệm diện tích sau khi học, đọcsách giáo khoa Từ đó, chúng tôi có thể tìm được câu trả lời cho câu hỏi “cách trìnhbày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm diện tích của họcsinh?”

Mối quan hệ thể chế R(I,0), quan hệ cá nhân R(X,0) được xác định thông qua

nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie Praxéologie là một khái niệm do

Yves Chevallard (1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối

quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức o Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một

bộ phận gồm bốn thành phần [T, T, 0, ©], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, T là kỹthuật cho phép giải quyết T, 0 là công nghệ giải thích cho kỹ thuật T, © là lý thuyếtgiải thích cho công nghệ 0

3 MỤC ĐÍCH NGHIÊN cứu

Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trìnhbày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúngchính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:

Q, Khái niệm diện tích có những đặc trưng khoa học luận nào? Những kiểu bài

toán, kiểu tình huống nào cho phép khái niệm diện tích xuất hiện và tác động? Nhữngđối tượng, khái niệm toán học nào có liên quan, góp phần làm nảy sinh và tiến triểnkhái niệm này?

Q 2 Mối quan hệ của thể chế với đối tượng diện tích? Khái niệm diện tích (mộthình phẳng) được trình bày như thế nào trong sách giáo khoa lóp 8 hiện hành? Nómang những đặc trưng nào? Đặc trưng nào chiếm ưu thế? Các kiểu nhiệm vụ nào được

ưu tiên? Các kỹ thuật liên quan nào được giảng dạy, các kỹ thuật nào được ưu tiên?Các phát biểu công nghệ lý giải những kỹ thuật đó?

Q3 Những ràng buộc của thể chế dạy học ở Việt Nam có ảnh hưởng như thếnào đến mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh?

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN cứu

Từ những câu hỏi ban đầu, chúng tôi lựa chọn khung lý thuyết tham chiếu phùhọp và đặt ra những câu hỏi nghiên cứu Qj, ọ2, Q3

Đe trả lời câu hỏi Qj, chúng tôi tiến hành nghiên cứu khoa học luận lịch sử toánhọc về khái niệm diện tích Tuy nhiên, chúng tôi không tiến hành một nghiên cứu gốc

mà chỉ tổng kết phần phân tích khoa học luận của khái niệm diện tích trong luận án

tiến sĩ của Baltar (1996) Để rõ hơn về cách tiếp cận hình học, chúng tôi có tham khảo tác phẩm “Cơ bảrì\Euclide), “Cơ sở hình học” (Hilbert) Chúng tôi điểm lại một số

kiểu bài toán, kiểu tình huống mà trong đó khái niệm này xuất hiện và tác động mộtcách tường minh hay ngầm ẩn, những đối tượng, khái niệm khác có mối liên hệ vớikhái niệm này, những chướng ngại có thể gặp khi tiếp cận khái niệm Ket quả thuđược cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q, và được trình bày trong

Chương 1: “Diện tích: Từ khoa học luận đến didactic”.

Để trả lời câu hỏi ọ2, ọ3, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đốitượng diện tích Thông qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo viên, vàđặc biệt là sách giáo khoa, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ các kiểu nhiệm vụ, các kỹthuật, công nghệ gắn với đối tượng diện tích, trả lời được câu hỏi Q2 Chúng tôi sosánh với tổ chức toán học tham chiếu để đánh giá tổ chức toán học cần xây dựng trongsách giáo khoa Nghiên cứu mối quan hệ thể chế cũng cho phép chúng tôi trả lời câuhởi Ọ3, đưa ra các giả thuyết nghiên cứu Kết quả này sẽ được trình bày trong

Chương 2: “Nghiên cứu mối quan hệ thể chế vói đối tượng diện tích”.

Với những giả thuyết, chúng tôi cần kiểm chứng Để làm được điều này, chúngtôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: thực nghiệm đối với giáo viên qua các phiếuthăm dò và thực nghiệm đối với học sinh qua các phiếu bài tập Đây cũng là nội dung

của Chương 3: “Thực nghiệm”.

> Những bài toán gắn với diện tích trong lịch sử

> Khái niệm diện tích

> Sự chuyển đổi didactic khái niệm diện tích

> Các quan niệm về khái niệm diện tích

> Những tổ chức toán học tham chiếu

> Vai trò của công thức tính

Để trả lời cho câu hỏi Qj, chúng tôi cần phải tìm hiểu trước hết những đặc trưng

khoa học luận của khái niệm diện tích Thiếu sự am hiểu các đặc trưng của tri thức,người ta khó có thể đặt ra những câu hỏi thỏa đáng liên quan đến việc dạy học tri thứcđó

Do điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không thể tiến hành một nghiên

cứu gốc trên phương diện khoa học luận của khái niệm diện tích - đối tượng tri thức

được lựa chọn để nghiên cứu trong luận văn này May thay, chúng tôi đã tìm thấynhững kiến thức cơ sở về khái niệm đó trong các công trình của một số nhà didactictoán Đặc biệt, ba tác giả sau đã có những nghiên cứu khá hệ thống về khái niệm này:

- Perrin (1992) nghiên cứu về “vấn đề chuyến đoi didactic của khái niệm diện

tích trong mặt phang

- Baltar (1996), trong luận án mang tên “Dạy và học khái niệm diện tích trong

mặt phang: một nghiên cứu về sự lĩnh hội moi quan hệ giữa độ dài và diện tích ở

trường phổ thông”, đã làm rõ tiến triển của khái niệm diện tích trong lịch sử, các đặc

trưng, các tình huống nảy sinh khái niệm diện tích Chính trên cơ sở nghiên cứu này

mà tác giả đã thiết kế một đồ án dạy học với sự hỗ trợ của Cabri;

- Valentina (2005) nghiên cứu vai trò của “các công thức tỉnh diện tích hình

phang: cầu nối giữa hình học và đại số”.

Tham khảo những công trình trên, cùng với việc nghiên cứu bộ “Cơ bản” của Euclide, “Cơ sở hình học” của D Hilbert, chúng tôi đã tìm được câu trả lời cho câu

hỏi Q|.

Chính trên cơ sở hiểu rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm diện tích,chúng tôi sẽ xác định được những tổ chức toán học liên quan đến nó Các tổ chức toán

học ấy sẽ là cơ sở tham chiếu cho phần phân tích quan hệ thể chế được thực hiện ởchương sau.

Hơn thế, ba tài liệu tham khảo trên còn mang lại cho chúng tôi một tiếp cận banđầu về khái niệm diện tích với tư cách là đối tượng dạy - học Cụ thể, đó là sự chuyểnđổi didactic khái niệm diện tích, những quan điểm có thể gắn với nó và vai trò của cáccông thức tính Sự tiếp cận từ góc độ didactic ấy cũng sẽ là cơ sở cho nghiên cứu đượcthực hiện tiếp theo trong khuôn khổ của luận văn

1 MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH

1.1 Những bài toán gắn vói diện tích và sự tiến triển của chúng trong lịch sử

Những gì được trình bày ở đây chủ yếu được rút ra từ nghiên cứu củaBaltar (1996)

Diện tích xuất hiện từ rất lâu, nhưng chỉ được định nghĩa một cách chính xác từ

thế kỷ XIX

1.1.1 Bài toán đo đạc, so sánh, cầu phương ở thời cồ đại

Khái niệm diện tích gắn liền với ba bài toán: tính diện tích (đo đạc ruộng đất),

so sánh diện tích và cầu phương một hình

- Bài toán tỉnh diện tích được hình thành từ nhu cầu đo đạc ruộng đất để tính

thuế sau mỗi vụ mùa

Các nền văn minh Ai Cập, Babylon, Trung Hoa cổ đại đều tìm được nhữngcông thức riêng để tính chính xác hoặc xấp xỉ diện tích của một số hình thường gặp:tam giác, các loại tứ giác, hình tròn Những công thức này giúp họ giải quyết đượcbài toán đo đạc diện tích, nghĩa là tìm được số đo tương ứng với hình Phân tích thành

tựu toán học thời kỳ này, Baltar khẳng định: “ở Ai Cập, Babylon, Trung Hoa, đã có

một bước chuyến từ hình sang so đối với khái niệm diện tích” (Baltar, tr 16).

Cần phải lưu ý rằng diện tích còn được người xưa sử dụng như một công cụ đểgiải nhiều phương trình bậc hai Trong xu hướng sử dụng này, một số dương được gắnvới một độ dài, một bình phương được gắn với một diện tích Nói cách khác, ở đây,

diện tích cũng được xem xét theo quan điểm số.

- Bài toán so sánh diện tích cũng đã xuất hiện từ thời cổ đại Đặc biệt, như

Baltar đã chỉ ra, trong toán học của người Hy Lạp, “bài toán diện tích được đặt trong

phạm vi hình và không có bước chuyến sang so”, hay nói cách khác là họ đà có một

cách “tiếp cận hình học đổi với khái niệm diện tích” (Baltar, tr 16).

Để làm rõ thêm điều này, chúng tôi đã nghiên cứu bộ “Cớ* bản” của Euclide và

tìm thấy trong quyển I những tiên đề, mệnh đề được ông đưa ra làm cơ sở cho việc sosánh diện tích của hai hình:

• Tiên đề 1: Hai cái cùng bằng một cái thứ ba thì bằng nhau

• Tiên đề 2: Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được nhữngcái bằng nhau

• Tiên đề 3: Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cáibằng nhau

• Tiên đề 4: Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau

• Tiên đề 5 Toàn thể lớn hơn một phần

• Các mệnh đề từ 34 đến 41 trong tập 1 nói về các trường hợp đẳng diện của hìnhbình hành và hình tam giác (hai hình không bằng nhau nhưng có cùng diện tích)

Chang hạn : “hai tam giác có đáy bằng nhau và có các đỉnh thuộc cùng cặp

đường thắng song song thì có cùng diện tích” (mệnh đề 38).

- Bài toán thứ ba là bài toán cầu phưong (dựng hình vuông có cùng diện tích

với một hình cho trước) Với hệ thống các mệnh đề trình bày theo trình tự phù họp,Euclide đã chỉ ra cách dựng một hình vuông đẳng diện (có cùng diện tích) với một đagiác bất kỳ cho trước (mệnh đề 14, tập II) Như vậy, Euclide đã giải quyết trọn vẹn bàitoán cầu phương một đa giác cho trước với thước thẳng và com-pa Bài toán cầuphương một hình bất kỳ, đặc biệt là hình tròn, với công cụ là com-pa, chưa được giảiquyết triệt để

Lưu ý rằng cho đến tận thế kỷ thứ III trước công nguyên, khái niệm “diện tích”

vẫn chưa được định nghĩa dù ba bài toán trên đã xuất hiện từ thuở sơ khai của loài

người, và dù tác phẩm “Cớ’ bản” của Euclide được viết với ý đồ xây dựng hình học

thành một khoa học suy diễn theo tư tưởng của phương pháp tiên đề Điều cần nói ởđây là Euclide đã đưa ra một số tiên đề cho phép giải quyết nhiều bài toán về diện tích

theo quan điếm hình học và “diện tích chưa được biếu thị bằng con số” [14, tr 6] Tuy

nhiên, như một số nhà toán học của giai đoạn trước, Euclide cũng dùng hình học, đặcbiệt là diện tích và các tính chất của diện tích, để tìm một số kết quả thuộc phạm vi sốhọc và đại số dưới dạng hình học (các hằng đẳng thức đại số, các tỷ lệ thức )

1.1.2 Bài toán cầu phương ở thế kỷ XVII

Cho đến tận thế kỷ XVI, khái niệm diện tích vẫn chưa được định nghĩa

Thời kỳ này, với sự phát triển của cơ học, thiên văn học, người ta đặc biệt quantâm đến diện tích của các parabol, elip Nổi bật trong giai đoạn này là việc Cavalieri

đưa ra phương pháp Indivisible (không thể phân chia) để giải quyết bài toán so sánh

hay tìm tỉ số diện tích, thể tích hai hình Bằng cách tìm tỉ số diện tích của hình với một

hình đã biết diện tích, phương pháp Indivỉsible cho phép tính diện tích hình Cavalieri xem một hình phẳng được tạo thành từ nhiều đoạn thẳng (các indivisiblè) và tỉ số diện tích hai hình tìm được thông qua tỉ số độ dài các indivisible Tuy nhiên, phương pháp

này gặp phải những chướng ngại về bản chất vô hạn, phần tử indivisible, tính liên tục

và gây ra nhiều cuộc tranh luận Thời kỳ này đặt nền tảng cho sự ra đời và phát triểncủa phép tính vi - tích phân

1.1.3 Bài toán xác định hàm độ đo từ cuối thế kỷ XIX

Cuối thế kỷ XIX, toán học đã đạt được nhiều thành tựu to lớn Phép tính tíchphân trở thành một công cụ hữu hiệu để giải bài toán tính diện tích Cũng trong thời kỳnày, bài toán cầu phương hình tròn, bài toán khó có từ thời Hy Lạp cổ đại, được giải

quyết Năm 1882, Lindemann chứng minh được n là số siêu việt, nghĩa là không thể

cầu phương hình tròn bằng thước và com-pa

Một sự kiện lớn xảy ra trong thời kỳ này là một định nghĩa toán học cho kháiniệm diện tích đã được xây dựng Hilbert quan tâm đến việc tiên đề hóa hình học, xây

dựng nó thành một khoa học mà trong đó mọi khái niệm, không loại trừ diện tích, đều

được định nghĩa từ một số khái niệm ban đầu (gọi là khái niệm cơ bản) và những kháiniệm đã được định nghĩa ở trước Nhiều nhà toán học khác, trong đó có Lesbegue, lại

quan tâm đến bài toán “xúc định một hàm độ đo /i từ tập họp các hình phang vào 1R+

(có thê bô sung giá trị vô hạn 00 tùy theo các hình có bị giới hạn bởi các biên hay

không), thỏa mãn tính chất cộng tỉnh và bất biến qua phép dời hình” (Perrin, tr 19).

Diện tích sẽ được định nghĩa sau khi giải quyết được bài toán trên, hay cụ thể hơn là

bài toán xác định một hàm độ đo p thỏa các tính chất:

• Nếu Sị và s2rời nhau, thì p(Sị u S2) = p(Sị) + p(S2) ;

• p ( S ) > 0 với mọi S ;

• Với mọi phép đẳng cự g, và với mọi mặt s, ta có: p ( g ( S ) ) = p ( S ).

Tóm lại, nghiên cứu về lịch sử cho thấy khái niệm diện tích đã trải qua nhiều

thế kỷ tiến triến và gắn liền với các bài toán: tỉnh diện tích, so sánh diện tích, cầu

phương một hình Việc giải quyết bài toán cầu phương ở thời cổ đại được thực hiện

bằng công cụ hình học Trong khi đó, đối với các bài toán tính diện tích, so sánh diệntích, người ta lại thường chuyển sang phạm vi số Thế nhưng, thực ra thì ngay cả đối

với nhiều bài toán thuộc dạng so sánh, tìm tỉ so diện tích, nhiều khi không nhất thiết

phải chuyển sang phạm vi số, nghĩa là vẫn có thể giải quyết chúng trong phạm vi hình

học Những tiên đề, mệnh đề tìm thấy trong bộ Cơ bản của Euclide cho phép thực hiện

điều này Ở những tiên đề đó diện tích được tiếp cận từ quan điểm hình học

Lý thuyết độ đo mang lại một định nghĩa chính xác cho khái niệm diện tích Rồicông cụ tích phân cho phép giải quyết các bài toán về diện tích một cách hiệu quả, đặc

biệt đối với những hình không phải là đa giác Đen lúc này, dường như quan điểm sốlấn át quan điểm hình trong việc giải các bài toán về diện tích

1.2 Khái niệm diện tích

Trong phần này, trước hết chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa diện tích của mộtmặt đo được tùy ý, sau đó nêu những cách xây dựng khái niệm diện tích hình đa giác,loại hình đặc biệt mà ở chương sau sẽ được xem xét với tư cách là đối tượng dạy học.Các định nghĩa dưới đây được chúng tôi trích từ công trình của Perrin (1992) vàBaltar (1996)

1.2.1 Định nghĩa diện tích một mặt đo được s tùy ỷ

Để xây dựng khái niệm diện tích theo lý thuyết độ đo, người ta cần phải xácđịnh sự tồn tại của hàm độ đo thỏa các tính chất nêu ở trên, nói cách khác là cần chỉ racách tìm giá trị số tương ứng với mỗi mặt s. Cách tiếp cận giải tích dưới đây cho phépđịnh nghĩa diện tích của một hình phẳng bất kỳ, nhưng đòi hỏi phải sử dụng đến giớihạn

• Chọn một hình vuông đơn vị c (/i(C) = 1)

• Chia nhỏ lưới các ô vuông c bằng những đường thẳng song song với các cạnh,chẳng hạn, chia mỗi cạnh hình vuông c theo lũy thừa của 10: gọi C/ là hình vuôngthu được khi chia mỗi cạnh hình vuông c thành 10' phần bằng nhau

• Gọi Hi là số hình vuông Ci nằm hoàn toàn trong s, Ni là số hình vuông Ci có ít nhất một điểm chung với s.

Người ta cũng đã chứng minh được: nếu thay hình vuông c bởi C’ có cạnh gấp

k lần cạnh của c thì diện tích tính theo C’ bằng diện tích tính theo c chia cho Ả2; nếu

thực hiện một phép vị tự tỉ số k cho mặt thì diện tích của mặt qua phép vị tự gấp Ả2 lầndiện tích mặt ban đầu

1.2.2 Định nghĩa diện tích đa giác

Đối với trường hợp đa giác, việc định nghĩa diện tích không cần thiết phải sửdụng giới hạn

> Định nghĩa của Lebesgue

Theo Lebesgue, diện tích của đa giác AịA 2 Ả n là giá trị

— (±A i A 2 xdist(0,Ẩ Ị Ẩ 2 )± ±Ẩ n Ấ Ị xdist(ơ,rì(rìj)

trong đó o là một điểm bất kỳ được chọn trước và trước AịAị +1 là dấu + nếu o và đa

giác nằm cùng nửa nằm mặt bờ là đường thẳng AịAị +1 và mang dấu - trong trường họpngược lại

A,

—[A J A 2 d (o, AịA 2 ) + A 2 Ayd (o, A 2 A 3 )

t +A 3 A 4 d(0,A 3 A 4 ) + A 4 A 5 d(0,A 4 A 5 ) -A 5 A v d{0,A 5 A x )]

Điểm mấu chốt ở đây là chứng minh giá trị trên không phụ thuộc vào việc chọnđiểm o. Diện tích định nghĩa trong họp này thỏa mãn các tính chất của hàm độ đo.Tính bất biến của diện tích qua phép dời hình được suy ra từ tính bất biến của độ dàiđoạn thẳng qua phép dời hình

> Định nghĩa của Hadamard

Trong “Les leẹons de géométrie”, Hadamard (1902) có cách xây dựng tương tự

trên, nhưng xuất phát từ trường họp tam giác: diện tích tam giác ABC không phụ thuộc

vào cách chọn cạnh đáy và cũng không phụ thuộc vào việc chọn điểm o, nó bằng:

± diện tích ABO ± diện tích ACO ± diện tích BCO (mang dấu + nếu o nằm cùng phía

với tam giác so với cạnh đáy được xét và dấu - trong trường họp ngược lại) Từ trườnghọp tam giác, Hadamard mở rộng cho trường hợp đa giác

> Định nghĩa của Hilbert

Lý thuyết về diện tích của Hilbert “cho phép xây dựng khái niệm diện tích cho

các đa giác đon giản, không cần chuyến qua so” (Baltar, tr 29).

Trước hết, Hilbert đưa ra định nghĩa về hai đa giác đẳng họp, đẳng diện

• Hai đa giác được gọi là đẳng hợp nếu chúng có thể phân hoạch thành hữu hạn các

tam giác bằng nhau từng đôi

• Hai đa giác được gọi là đẳng diện nếu có thể thêm vào các đa giác khác đẳng họp

sao cho hai đa giác thu được là đẳng họp

Sau đó, ông chứng minh các mệnh đề về sự đẳng hợp, đẳng diện của các hìnhbình hành, tam giác Đây là những mệnh đề làm cơ sở cho việc so sánh diện tích haihình trong phạm vi hình học

Sử dụng những kết quả quan trọng thu được trước đấy, Hilbert định nghĩa:

“Một nửa tích của đáy nhân với chiều cao của tam giác A là độ đo diện tích của tam giác A, ký hiệu bởi F(AỴ\

Độ đo diện tích F(P) của một đa giác được định nghĩa bằng tổng các độ đo diện

tích của các tam giác thu được từ phép phân hoạch đa giác đã cho thành hữu hạn tamgiác

2 TỪ KHOA HỌC LUẬN ĐẾN DIDACTIC

2.1 Một sự chuyển đổi didactic khái niệm “diện tích”

Trong các công trình của Perrin (1992), Baltar (1996), chúng tôi tìm thấy cách

tiếp cận khái niệm diện tích theo lớp tương đương và diện tích mang nghĩa đại lượng,

đặc trưng cho một lóp các hình và không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo diện tích

“Neu chọn một mặt đơn vị A và xác định được ánh xạ p A tương ứng, ta có thể xây

dựng một quan hệ tương đương r A như sau:

Sr A S’ nếu ỊẤ A (S) = p A (S’)

Các lóp tương đương này không phụ thuộc vào việc chọn Ả Chúng ta gọi diện tích a

của A là lớp tương đương của A theo quan hệ tương đương r A và định nghĩa độ đo củadiện tích a là độ đo của các mặt của a Khi đó, chúng ta có biểu đồ giao hoán:

có cùng diện tích

2.2 Các quan niệm về khái niệm diện tích

Theo Baltar, trong biểu đồ giao hoán của Perrin (đề cập ở mục 2.1), cần phânbiệt diện tích ở 3 cực sau đây:

- Cực hình học với các mặt;

- Cực “đại lượng”;

- Cực số với các độ đo

Tuy nhiên, khi “chọn một đơn vị và đong nhất diện tích với độ đo”, chúng ta sẽ

còn hai cực: “hình học và Sớ” Dựa theo hai cực hình - số này, chúng ta có các quan

niệm về diện tích như sau:

- Quan niệm hình học: quan niệm này gắn diện tích với kích cỡ của mặt, tiếp

cận theo nghĩa “phần mặt chiếm đóng” hoặc dựa vào tri giác.

- Quan niệm số (của Douady và Perrin-Glorian): diện tích là số, phương diệnhàm vắng mặt (Tham khảo Baltar, tr 49, 52)

Công thức tính diện tích hình chữ nhật, cáccông thức, tính chất của tích phân,

x tp Các công thức tích phân Giới hạn, định nghĩa và tính chât tích phân,

Bảng 1.1 Tổ chức toán học OMi gắn với kiểu nhiệm vụ Ttính

Kỹ thuật Yếu tố công nghệ Yểu tố lỷ thuyết

Các công thức tích phân

Định nghĩa, tính chất, công thức tínhtích phân

T

HH Các tiên đề, mệnh đề về diện tích

của Euclide, Hilbert

Các tiên đề, mệnh đề về diện tíchcủa Euclide, Hilbert

Các công thức tích phân

Định nghĩa, tính chất, công thức tínhtích phân

T HH Các mệnh đề về sự đắng diện Các mệnh đề về diện tích (hình)

Các công thức tính diện tích (số)

diện tích hình chữ nhật

Bảng 1.2 Tổ chức toán học OM2 gắn với kiểu nhiệm vụ Tss

> To chức toán học OM 3 gắn với kiểu nhiệm vụ tìm tỉ số diện tích (T ts ) Kỹ thuật

Bảng 1.3 Tổ chức toán học OM3 gắn với kiểu nhiệm vụ Tts

> Tổ chức toán học OM 4 gắn với kiểu nhiệm vụ cầu phương đa giác (T C p) Kỹ

thuật giải có thể là:

- XĐS: tính diện tích hình, từ đó tìm các độ dài cần thiết để dựng hình

- xHm dựng hình theo các mệnh đề của Euclide

Bảng 1.4 Tổ chức toán học OM4 gắn với kiểu nhiệm vụ Tcp

2.3 Vai trò của các công thức tính diện tích

Các công thức tính được xem như phương tiện cho phép chuyển từ phạm vihình học sang phạm vi số Nhờ chúng, người ta tính ra số đo diện tích và cũng thể hiệnmối quan hệ hàm số giữa các yếu tố của hình (như cạnh, góc) với diện tích của nó

về vấn đề này, Valentina (2005) đã đặc biệt quan tâm đến ba kiểu nhiệm vụ saukhi nghiên cứu các sách giáo khoa của Pháp và Ý

• Kiểu nhiệm vụ Ti v : Tính diện tích một hình đa giác.

• Kiểu nhiệm vụ T 2 v: So sánh diện tích một đa giác với một trong các bộphận của nó

• Kiểu nhiệm vụ T 3v : Chứng minh tỉ số diện tích của một đa giác với một bộ

phận của nó bằng một số cho trước

Đây là các kiểu nhiệm vụ Ttính, Tss, Tts, với hình được xét là đa giác Valentinachỉ rõ các yếu tố còn lại (li, 0i, 0i) của những tổ chức toán học liên quan đến Tiv, T2v,

T3v được đưa vào như thế nào trong sách giáo khoa toán ở Pháp và Ý, theo nhiềuchương trình khác nhau, áp dụng từ đầu thế kỷ XX đến đầu thế kỷ XXI Điểm chungcủa các chương trình, sách giáo khoa là:

• Kỹ thuật giải Ti cho kiểu nhiệm vụ Tlv là sử dụng công thức tỉnh diện tích

đa giác (phạm vi sổ);

• Kỹ thuật giải x2 cho kiểu nhiệm vụ T2v là sử dụng công thức tỉnh diện tích

đa giác (phạm vi sổ).

• Kỹ thuật giải x3 cho kiểu nhiệm vụ T3v là chia đa giác thành các tam giác cỏ

cùng diện tích (và/hoặc bằng nhau) (phạm vi hình học).

Cả hai kỹ thuật giải Xi x2 ở trên đều phải dựa vào các công thức tính diện tích,hay nói cách khác, chúng có chung yếu tố công nghệ 0 là các công thức tính diện tích.Trên cơ sở đó, Valentina xác định một tổ chức toán học địa phương (gồm hai tổ chứctoán học bộ phận [Tiv, Xi, 0, ©], [T2v, x2, 0, ©]) gắn liền với các công thức tính diệntích đa giác Ở đây, các công thức tính diện tích giúp thực hiện bước chuyển từ hìnhsang số

Khi nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa Việt Nam, với việc sử dụng các tổchức toán học tham chiếu theo cách phân chia của Valentina, chúng tôi sẽ có thể:

- Tìm thấy những yếu tố công nghệ cho phép chuyển đổi phạm vi;

- Đánh giá tổ chức toán học cần xây dựng là đầy đủ hay không đầy đủ;

- Đối chiếu, so sánh với các tổ chức toán học được xây dựng ở Pháp, Ý để làm

rõ những đặc trưng của quan hệ thể chế mà chúng tôi nghiên cứu (dạy-học toán ởlớp 8)

Chương 2

PGmíii' cứu ]\TỚJ QUẤN J1Ệ TJ1Ể CJÌÚ

VỚT B 0 ĩ rươi TQ D ĨẺI ĩ TÍCH

> Diện tích trong chương trình toán phổ thông

> Diện tích trong các sách giáo khoa tiểu học

> Diện tích trong sách giáo khoa lớp 8Nghiên cứu ở chương 1 đã chỉ ra rằng vấn đề gắn liền với việc định nghĩa diệntích trong lý thuyết độ đo là xác định một ánh xạ từ tập hình vào tập số Chúng ta cũng

đã chỉ ra bốn tổ chức toán học liên quan đến diện tích các hình phẳng

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượngdiện tích Thể chế mà chúng tôi đặc biệt quan tâm là việc dạy học toán ở lóp 8 theochương trình và sách giáo khoa hiện hành Chúng tôi sẽ phân tích chương trình, sáchgiáo viên, sách bài tập và đặc biệt là sách giáo khoa để tìm câu trả lời cho các câu hỏi

• Có những quy tắc nào của họp đồng didactique?

1 DIỆN TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN BẬC PHỔ THÔNG

Diện tích được đưa vào giảng dạy ở các lóp 3, 4, 5 như những kiến thức chuẩn

bị cho việc học chính thức từ lóp 8 Khái niệm giới hạn, tích phân được giảng dạy ởbậc trung học phổ thông tạo điều kiện thuận lợi để học sinh bổ sung kiến thức về diệntích Luận văn đặt trọng tâm nghiên cứu về dạy học diện tích ở bậc trung học cơ sở,đặc biệt là lóp 8 Tuy nhiên, theo quan điểm sinh thái, cần thiết phải xem xét chươngtrình trước và sau bậc học mà chúng tôi quan tâm

Để thuận tiện, chúng tôi sẽ dùng ký hiệu sau đây:

— CT đê chỉ Chương trình giáo dục phô thông môn Toán năm 2006;

- G3 để chỉ sách giáo viên toán 3, G8 để chỉ sách giáo viên toán 8 - tập một;

- M3 để chỉ sách giáo khoa toán 3, M4 để chỉ sách giáo khoa toán 4, M8 để chỉsách giáo khoa toán 8 - tập một;

- E 8 để chỉ sách bài tập toán 8 - tập một.

1.2 Diện tích trong chương trình tiểu học

Mục tiêu của bài đầu tiên, “Diện tích của một hình’’ là giúp học sinh:

“— Làm quen với khái niệm diện tích Có biếu tượng về khái niệm diện tích qua hoạt

động so sảnh diện tích các hình.

- Biết được: Hình này nằm trọn trong hình kia thì diện tích hình này bẻ hơn diện tích

hình kia Hình p được tách thành hai hình M v à N thì diện tích hình p bằng tong diện tích hai hình M và N ” (G3, tr 234)

Nói cách khác, học sinh biết “sơ sánh diện tích hai hình trong một so trường

hợp đon giản (bằng cách đếm so ô vuông trong moi hình rồi so sánh các sổ ô vuông

đó hoặc bằng cách chồng hình lên nhau)" (CT, tr 51) Học sinh có thế giải quyết bài

toán so sánh diện tích hai hình trong phạm vi hình học mà không cần sử dụng côngthức để chuyển sang phạm vi số Những trích dẫn trên cho thấy khái niệm diện tíchđược tiếp cận từ quan điểm hình học

Sau đấy, chương trình lớp 3 đưa vào các đơn vị đo diện tích, các quy tắc tínhdiện tích của hình chữ nhật, hình vuông Lưu ý rằng, ở lớp 3, học sinh chưa được học

về biểu thức chứa chữ nên thay vì “công thức tỉnh”, người ta nói đến “quy tắc tỉnh".

Đẻ tính diện tích, học sinh áp dụng các quy tắc (phát biểu ở dạng lời) Tên gọi công

thức chỉ xuất hiện sau khi học sinh học về biểu thức chứa chữ ở lớp 4, và quy tắc tính

diện tích hình chữ nhật được trình bày lại dưới dạng một công thức ở trang 74, M4.Lớp 4 đưa vào công thức tính diện tích hình bình hành, hình thoi Lớp 5 trình bày thêmcông thức tính diện tích hình tam giác, hình thang, hình tròn

Chương trình tiểu học yêu cầu học sinh biết các đơn vị đo diện tích, biết tínhdiện tích theo quy tắc (công thức) Nói cách khác, đã có bước chuyển từ phạm vi hìnhsang phạm vi số đối với diện tích

Chúng tôi còn thấy ở chương trình tiểu học của Việt Nam có mối tương quanràng buộc giữa tập số, hình, đơn vị đo, công thức tính Quy tắc, công thức tính diệntích hình chữ nhật có độ dài các cạnh là số tự nhiên được hợp thức bởi phép toán trêntập số tự nhiên Ngược lại, khi mở rộng tập họp số, bài toán tính diện tích một hình(với việc chuyển đổi đơn vị đo) được sử dụng để xây dựng phép tính trên tập số mới

1.2 Diện tích trong chương trình trung học cơ sở

Neu ở bậc tiểu học, diện tích chỉ giữ vai trò kiến thức chuẩn bị, nằm rải rác, đanxen trong các lóp 3, 4, 5 thì ở bậc trung học cơ sở, diện tích đa giác là một chươngriêng trong chương trình toán 8 Ở lóp 9, sách giáo khoa thừa nhận công thức tính diện

tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn mà không đưa vào định nghĩa, tính chất diệntích trong phần lý thuyết Do đó, chúng tôi tập trung nghiên cứu về diện tích đa giác ởlóp 8.

Đối với diện tích, chương trình toán trung học cơ sở đặt ra các mục tiêu

* về kiến thức:

“Hiếu cách xây dựng công thức tính diện tích của hình tam giác, hình thang, các hình

tứ giác đặc biệt khi thừa nhận (không chứng minh) công thức tỉnh diện tích hình chừ nhật”

* về kỹ năng:

- Vận dụng được công thức tỉnh diện tích các hình đã học.

— Biết cách tính diện tích của các hình đa giác lồi bằng cách phân chia đa giác đỏ

thành các tam giác (CT, 118)

G8 CÓ đề cập đến việc vận dụng các tính chất của diện tích, phân chia một hìnhthành các đa giác đơn giản thay vì chỉ chia thành các tam giác Theo mục tiêu trên,việc thiết lập các công thức, sử dụng công thức là trọng tâm của chương trình

Nghiên cứu G8, chúng tôi tìm thấy đoạn tài liệu tham khảo sau ở trang 167:

Diện tích đa giác

Trong toán học, người ta đã chứng minh được mệnh đề: Mỗi đa giác p bao giờ cũngtương ứng một và chỉ một số thực dương Sp thỏa mãn các tính chất sau:

1 Hai đa giác bằng nhau thì hai số tương ứng bằng nhau, nghĩa là:

Nếu p = Q thì Sp = SQ

2 Neu có một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì

số tương ứng với đa giác bằng tổng các số tương ứng với các đa giác thành phần, có nghĩa là:

Neu p = P X K J P 2 K J UP n và các Pị ( i = \,n) không có điểm trong chung thì

3 Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì tương ứng với số 1

Số dương duy nhất thỏa mãn cả ba tính chất trên được gọi là diện tích của đa giác p.

Nói cách khác, ta có ánh xạ s từ tập họp M các đa giác p vào tập hợp IR+ các số thựcdương:

S:M->IR+

P^Sp

thỏa mãn hai điều kiện 2) và 3) nêu trên

Nhờ ánh xạ trên, ta có thể đặt tương ứng mỗi đa giác p với một số dương duy nhất Sp

mà ta gọi là diện tích của đa giác p

Đưa ra mệnh đề trên, Việt Nam đã lựa chọn xây dựng khái niệm diện tích thôngqua giải quyết bài toán trong lý thuyết độ đo Sự tồn tại và duy nhất của hàm độ đođược thừa nhận, vấn đề còn lại là xác định quy tắc tìm ảnh của hàm độ đo ấy, hay nóicách khác là cách xác định số thực dương Sp gắn với đa giác p Chính vì thế mà cáccông thức tính diện tích được quan tâm xây dựng Chúng ta sẽ làm rõ hơn về việc hìnhthành các công thức tính diện tích trong phần phân tích sách giáo khoa

Cũng cần lưu ý rằng, ở Việt Nam, học sinh bậc trung học cơ sở được học hìnhhọc một cách hệ thống với các định nghĩa, định lý, lập luận chặt chẽ Những tri thứchình học cần thiết cho dạy học diện tích đa giác ở lóp 8 cũng được đưa vào trước đấy,chẳng hạn: hai tam giác bằng nhau, các trường họp bằng nhau của tam giác được đưavào giảng dạy từ lóp 7

1.3 Diện tích trong chương trình trung học phổ thông

Ở lóp 10, ngoài công thức s = — ah , học sinh được học thêm một số công thức

tính diện tích tam giác trong chương hệ thức lượng trong tam giác như:

s = J p { p - a ) ( p - b ) { p -c), s = — abúnC, s = , s = pr Đến lóp 12, hoc sinh

làm quen với khái niệm diện tích hình thang cong Tích phân được sử dụng như mộtcông cụ hữu hiệu để hợp thức các công thức tính diện tích, thể tích đã học và để tínhdiện tích một số hình phẳng

Như vậy, bậc Trung học phổ thông (lóp 10, lóp 12) cung cấp thêm các công cụ

để tính diện tích một hình, mà trong đó tích phân là một công cụ khá mạnh Chúng tacũng cần lưu ý rằng ở bậc trung học phổ thông, chương trình không đưa vào các tínhchất của diện tích cho trường họp hình phẳng tổng quát Các tính chất của diện tíchđược ngầm thừa nhận, mở rộng cho trường họp hình không là đa giác

2 DIỆN TÍCH TRONG CÁC SÁCH GIÁO KHOA TOÁN TIẺU HỌC

Do sự kế thừa của chương trình tiểu học, nhiều công thức và tính chất liên quanđến diện tích nghiên cứu ở lóp 8 được mở rộng hoặc thậm chí giữ nguyên những gì đãdạy ở dưới Vì thế, cần thiết phải nhìn lại sơ bộ các sách giáo khoa tiểu học

2.1 về biểu tượng và tính chất của diện tích

Trong bài “Diện tích của một hình”, M3 , trang 150 có đoạn:

1) <^ầt\ • Hình chữ nhật nằm hoàn toàn trong hình

tròn Ta nói: Diện tích hình chữ nhật

diện tích hình tròn

• Hình (A gồm 5 ỏ vuông như nhau.

Hìnhâ& cũng gồm 5 ô vuông như thế

Ta nói: Diện tích hình cA bằng diệntích

tích hình 0*1 và hình cAT

Qua hoạt động (1), học sinh được làm quen với khái niệm diện tích, có biểutượng về khái niệm diện tích Hoạt động được thực hiện trong phạm vi hình học, chưa

có bước chuyển sang phạm vi số Diện tích của hình (không nhất thiết phải là đa giác)

có thể được hiểu như phần mặt phẳng hình chiếm đóng, đặc trưng hình học của các

miền trong mặt phang.

Một kiểu nhiệm vụ đã được đưa vào: so sánh diện tích hai hình (Tss) Kỹ thuật

giải là chồng hình lên nhau Yeu tố công nghệ là tính chất “hình nằm hoàn toàn bên

trong có diện tích bẻ hơn” Đây là một tính chất quan trọng, được mặc nhiên thừa

nhận, cho phép so sánh diện tích hai hình trong phạm vi hình học và được sử dụng khixây dựng khái niệm tích phân ở lóp 12

Kỹ thuật chồng hình tỏ ra kém hiệu quả trong hoạt động (2) Bắt đầu có bướcchuyển từ phạm vi hình học sang phạm vi số trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ so

sánh, học sinh “có ỷ niệm “đo” diện tích qua các ô vuông đon vị” (G3, tr 235) Diện

tích mang nghĩa so các ô vuông đơn vị (hình vuông mà cạnh có độ dài bằng đơn vị)

không có điếm trong chung, lấp đầy miền đó.

Hoạt động (3) đề cập đến tính chất cộng tính của diện tích Đây là một trongnhững tính chất rất quan trọng của diện tích

2.2 về đơn vị đo diện tích

Đơn vị đo diện tích đầu tiên được đưa vào là cm2, “diện tích của hình vuông có

cạnh dài lcm” (M3 , tr 151) Với việc chọn trước một đơn vị đo, diện tích của một

hình có thể được quy ra các số đo và diện tích có bước chuyển từ phạm vi hình họcsang phạm vi số Ngoài đơn vị đo cm2, học sinh còn học về các đơn vị đo diện tích

chữ nhật được quy về sổ ô vuông đơn vị cần phủ kín hình chữ nhật ấy Diện tích được

tính bởi một con số đi kèm với đon vị đo Giá trị số được tìm nhanh nhờ thực hiệnphép nhân thay vì phép đếm Các quy tắc tính phát biểu bằng câu văn được trình bàylại dưới dạng công thức ở trang 74, M4 Các công thức cho phép thực hiện bướcchuyển từ phạm vi hình học sang số, bài toán so sánh diện tích hai hình đưa về bàitoán so sánh hai số, thậm chí không cần đến hình vẽ mà chỉ cần kích thước các cạnhcần thiết

Ở bậc tiểu học, công thức tính diện tích đa giác được đưa vào theo trình tự:

1 Diện tích hình vuông đơn vị (lóp 3);

2 Quy tắc tính diện tích hình chữ nhật;

3 Quy tắc tính diện tích hình vuông (lóp 3);

4 Công thức tính diện tích hình bình hành;

5 Công thức tính diện tích hình thoi (lóp 4);

6 Công thức tính diện tích hình tam giác;

7 Công thức tính diện tích hình thang (lóp 5)

Điểm chung khi thiết lập các công thức mới ở bậc tiểu học là cắt - ghép hình để

đưa về hình chữ nhật có cùng diện tích (phạm vi hình học), hay nói cách khác là phảigiải quyết một phần kiểu nhiệm vụ cầu phương TCp Ví dụ: M4 đưa vào công thức tínhdiện tích hình bình hành ở trang 103 như sau:

• Cắt phán hình tam giác ADH rồi ghép như hình vẽ để được hình chữ nhật AB1H

Diện tích hình bình hành ABCD bằng diện tích hình chữ nhật ABIH

Diện tích hình chữ nhật ABIH là a X h

Vậy diện tích hình bình hành ABCD là a X h

Diện tích hình bình hành bằng độ dài đáy nhân với chiêu cao (cùng một

(S là diện tích, a là độ dài đáy, h là chiều cao của hình bình hành).

Riêng đối với hình thang thì người ta cắt - ghép thành hình tam giác Kỹ thuậtcắt - ghép mảnh bìa được sử dụng vì ở tiểu học, học sinh chưa học về các hình (tamgiác) bằng nhau, và do đó chưa thể sử dụng lập luận toán học về sự bằng nhau của haihình Với cách thiết lập này, công thức không chỉ là công cụ, phưong tiện cho phépchuyển từ phạm vi hình sang phạm vi số, mà còn có thể được hiểu theo một nghĩa

khác: tìm được một hình chữ nhật (có chiều dài, chiều rộng là a, h) có cùng diện tích

với hình đã cho

Công thức tính diện tích hình chữ nhật được hợp thức trong trường họp cáccạnh là số tự nhiên và được ngầm mở rộng, thừa nhận cho trường họp phân số, số thậpphân chẳng hạn như trong bài phép nhân phân số:

3 DIỆN TÍCH TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 8

Chương “Đa giác Diện tích đa giác” trong M8 gồm có sáu bài:

• Đa giác Đa giác đều

• Diện tích hình chữ nhật

• Diện tích tam giác

• Diện tích hình thang

• Diện tích hình thoi

• Diện tích đa giác

Trong đó, bài đầu tiên giới thiệu về khái niệm đa giác, đa giác đều Diện tích đagiác được trình bày ở các bài sau đó Tuy nhiên, khái niệm diện tích đa giác chỉ đượcgiới thiệu ở bài “Diện tích hình chữ nhật”, những bài sau đấy chủ yếu xây dựng côngthức và thực hành tính toán

3.1 về định nghĩa, tính chất của diện tích

Mg xem diện tích là một khái niệm quen thuộc đối với học sinh và hướng học

sinh hiếu “diện tích củng là một so đo” (tr 116):

“Xét các hình 'd, 08, % 3, ề vẽ trên lưới kẻ ô vuông, mỗi ỏ vuông là một đem vị diện tích.

a) Kiếm tra xem có phải diện tích hình 'd là diện tích 9 ô vuông, diện tích hình M cũng

là diện tích 9 ỏ vuông hay không?

Ta nói: diện tích hình 'd bằng diện tích hình ểB.

b) Vì sao ta nói: diện tích hình 3 gấp 4 lần diện tích hình ( €?

c) So sánh diện tích hình 9? với diện tích hình (M8, tr 116)

“Diện tích hình 'd là diện tích 9 ô vuông” Như vậy, diện tích của một hình

mang nghĩa số ô vuông đơn vị cần phủ kín hình ấy

Sau hoạt động vừa nêu, M8 đưa ra nhận xét (tr 117):

• Số đo của phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích đa giác

đó

• Mỗi đa giác có một diện tích xác định Diện tích đa giác là một so dương.

Chúng tôi nhận thấy, sách giáo khoa đã xây dựng khái niệm diện tích theo tinh

thần của lý thuyết độ đo Hai nhận xét ở trên thừa nhận sự tồn tại của một ánh xạ ỊẤ đi

từ tập hợp các đa giác vào tập họp các số thực dương R+, và số đo p (P) được gọi là diện tích của đa giác p vấn đề là ánh xạ p ấy có những tính chất gì, và tìm số đo

p (P) của đa giác p ra sao?

Các tính chất đặc trưng của diện tích đa giác được thừa nhận ở trang 117:

1 Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau

2 Neu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thìdiện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó

3 Neu chọn hình vuông có cạnh bằng 1 cm, 1 dm, 1 m, làm đơn vị đo diện tíchthì đơn vị diện tích tương ứng là 1 cm2, 1 dm2, 1 m2,

Tính chất (2) là tính chất cộng tính Tính chất (1) là tính bất biến qua phép đẳng

cự (dời hình) Tính chất này được đề cập trong toán học với trường họp “đa giác”, còntrong sách giáo khoa được trình bày với trường họp “tam giác” Tam giác là mộttrường họp đặc biệt của đa giác Hơn nữa, mọi đa giác đều có thể phân hoạch thànhcác tam giác và nhờ tính cộng tính, tính chất (1) trong sách giáo khoa mở rộng đếntrường hợp đa giác

Như vậy, ánh xạ diện tích p được ngầm nhắc đến thỏa các tính chất của hàm

độ đo Theo cách tiếp cận này, phải chăng sách giáo khoa tạo điều kiện thuận lợi hơncho quan điểm số về diện tích?

Sự tồn tại và thỏa các tính chất cần thiết của ánh xạ diện tích /i đã được thừanhận Hình vuông đơn vị c được chọn làm đơn vị đo diện tích ( p ( C ) = 1) vấn đề tìm

số đo S p = p { P ) tương ứng với mỗi đa giác p được giải quyết bằng cách đưa vào các

họp số đo các cạnh là phân số, số thập phân Vì lỷ do sư phạm và chứng minh chặt chẽ

đòi hỏi các kiến thức về giới hạn, sách giáo khoa lóp 8 thừa nhận, không chứng minhđịnh lý về công thức tính diện tích hình chữ nhật Ở thời điểm đưa vào công thức, họcsinh đã hoàn thiện tập hợp số hữu tỷ và cũng đã học những số vô tỷ Như thế, chúng ta

có thể xem công thức được thừa nhận cho trường hợp số đo cạnh là số thực dương

- Với quan diêm “hình vuông là một trường họp đặc biệt của hình chữ nhật,

tam giác vuông là nửa hình chữ nhật' (tr 117), M8 đưa vào:

• Công thức tính diện tích hình vuông: s = a2

Công thức tính diện tích hình tam giác vuông: s = — a.b

- Công thức tính diện tích tam giác s = —.a.h được chứng minh bằng cách xét

các trường họp tam giác vuông, tam giác nhọn, tam giác tù Tuy có sự chia hình, làmxuất hiện các tam giác vuông, nhưng công thức tính diện tích tam giác được ưu tiênchứng minh dựa trên các tính toán đại số thay vì đưa về hình chữ nhật tương đương Ví

dụ về trường hợp tam giác nhọn được trình bày ở trang 121:

“Tam giác ABC được chia thành hai tam giác vuông BHA và CHA, mà:

S BHA= 2 BH.AH, S CHJ = ì HC.AH

Vậy S J B C = - (BH + HC).AH = - BC.AH ”

- Với các tứ giác đơn giản khác (hình thang, hình bình hành, hình có hai đườngchéo vuông góc/hình thoi), đa giác n cạnh, công thức tính diện tích được đưa vào bằng

Tiểu học Trung học cơ sở

Trình tự đưa vào công thức

2 Diện tích hình vuông/tam giác vuông

3 Diện tích hình tam giác

4 Diện tích hình thang/hình bình hành

5 Diện tích tứ giác có hai đường chéovuông góc/hình thoi

6 Diện tích đa giác bất kỳ

Kỹ thuật chủ yếu được dùng khi đưa vào công thức mới

Bảng 2.1 Công thức tính diện tích trong chương trình tiểu học, trung học cơ sở

Giống như bậc tiểu học, ở lớp 8, việc xây dựng các công thức tính diện tích đagiác cũng bắt đầu từ định nghĩa diện tích hình vuông đơn vị, tiếp theo, sách giáo khoađưa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật Sau đấy thì có khác biệt Chang hạn,công thức tính diện tích tam giác được đưa vào sau hình bình hành ở bậc tiểu học,nhưng ở bậc trung học cơ sở, trình tự có đảo ngược

Theo chúng tôi, kỹ thuật được sử dụng thiết lập công thức tính cũng là mộttrong những yếu tố tác động đến trình tự đưa vào các công thức Bậc tiểu học sử dụngphương pháp cắt - ghép, tạo hình chữ nhật cùng diện tích Bậc trung học cơ sở sử dụng

kỹ thuật “'phân chia đa giác đó thành các tam giác’'' và tính toán trong phạm vi đại số

để thiết lập công thức, tìm ra số đo tương ứng với đa giác đó Đưa vào các công thứctính diện tích các tứ giác đon giản, dường như sách giáo khoa tạo điều kiện thuận lợihơn cho việc tính toán, chuyển từ phạm vi hình học sang phạm vi số Ngoài ra, phần lý

thuyết chỉ có tính chất “hai tam giác bằng nhau thì có cùng diện tích”, thiếu vắng các

mệnh đề cho phép so sánh diện tích của hai hình không bằng nhau trong phạm vi hìnhhọc

3.3 về các tổ chức toán học

Trong phần này, chúng tôi phân tích những ví dụ, bài tập được đưa vào M8 và

E8 Việc phân tích hệ thống bài tập cho phép chỉ ra các tổ chức toán học hiện diệntrong sách giáo khoa

3.3.1 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T Ị (tính diện tích của một đa giác)

Tj Tính diện tích của một đa giác

Đây chính là kiểu nhiệm vụ đầu tiên, Tlv, mà Valentina đã đề cập đến khi phântích các sách giáo khoa của Ý và Pháp Neu cần phân biệt một cách rạch ròi kỹ thuậtgiải quyết kiểu nhiệm vụ này, chúng ta có thể dựa vào đặc trưng của đa giác cần tínhdiện tích

* Đa giác đã có công thức tỉnh diện tích (đa giác đon giản):

- Thay độ dài vào công thức tính diện tích đã có

+ Yếu tố công nghệ 01: các định lý về công thức tính diện tích của đa giác đơngiản

Đối với dạng này, các hình vẽ ít có ý nghĩa, thậm chí không cần đến sự xuấthiện của hình vẽ

* Đa giác chưa có công thức tỉnh diện tích:

Cần đo các đoạn thẳng (mm): BG, AC, AH, HK, KC, EH, KD.

Tính riêng S ABC , S AHE , S DKC , S HKDE , rồi lấy tong hon diện tích trên.” (G8, tr 179)

+ Kỹ thuật giải Tibs:

- Phân chia đa giác cần tính diện tích về các đa giác đơn giản

- Xác định các độ dài cần thiết

- Thay độ dài vào công thức tính diện tích đã có

Đoạn “CỚ thế chia đa giác thành các tam giác hoặc tạo ra một tam giác nào đó

có chứa đa giác”, “trong một số trường họp [ ] ta có thế chia đa giác thành nhiều

tam giác vuông và hình thang vuông” (M8, tr 129) có thể xem như lời hướng dẫn,giải thích cho học sinh cách phân chia

+ Yếu tố công nghệ 0lbs: các định lý về công thức tính diện tích của đa giác đơngiản, các tính chất của diện tích

+ Yeu tố lý thuyết 0j: các tính chất của diện tích, định lý về sự bằng nhau củahai tam giác, định lý về công thức tính diện tích hình chữ nhật (thừa nhận, khôngchứng minh)

Trong toàn bộ hệ thống bài tập, chỉ có duy nhất một câu ở bài 41b (M8, tr 132),hình cần tính diện tích là một hình thang - có sẵn công thức tính - nhưng kỹ thuật giảilại dựa vào việc đưa về tính diện tích hai tam giác rồi sử dụng tính chất diện tích, thựchiện phép trừ để tìm diện tích hình thang ấy Tuy nhiên, chúng ta cần chú ý rằng, trongtrường họp này, sách giáo khoa đã “quên” đi hình đấy là hình thang mà chỉ sử dụng

câu lệnh “tính diện tích tứ giác EHIK”.

Ở đây, chúng tôi tìm thấy vết của tổ chức toán học OM] được xây dựng từ kiểunhiệm vụ Ttính Như bảng 1.1 đã chỉ ra, có hai kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụnày Hiển nhiên, kỹ thuật dùng tích phân phải chờ đến lóp 12 mới xuất hiện

3.3.2 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 2 (so sánh diện tích các đa giác)

Trong M8, chúng tôi cũng tìm thấy những nhiệm vụ thuộc kiểu T2v màValentina đã chỉ ra khi nghiên cứu sách giáo khoa Ý và Pháp Đó là “so sánh diện tíchmột đa giác với một trong các bộ phận của nó” Kỹ thuật giải là sử dụng công thứctính, chuyển sang so sánh trong phạm vi số Ngoài ra, phân tích hệ thống bài tập,chúng tôi nhận thấy có những bài về so sánh diện tích hai đa giác thuộc kiểu nhiệm vụ

Tss, chẳng hạn:

“Vẽ hình chừ nhật ABCD cỏ AB = 5cm, BC = 3cm [ ] So sánh diện tích hình chữ nhật với hình vuông có cùng chu vi ” , (M8, tr 119, bài tập 15)

Lời giải được đưa ra trong G8 là:

“S ABCD= 15cm 2

Canh hình vuông có chu vi hằng chu vi hình chữ nhât là ^^ = 4 (cm).

4

Diện tích hình vuông này là 4.4 = 16 (cm 2 )

Vậy 'hình chữ nhật ^ s'hình vuông " (Gg, tr 166)

+ Kỹ thuật giải x2:

- Sử dụng công thức để tính diện tích mỗi hình;

- So sánh các kết quả thu đuợc và kết luận

+ Yeu tố công nghệ 02 là các định lý về công thức tính diện tích của đa giác đcmgiản đã đuợc trình bày ở phần lý thuyết

+ Yeu tố lý thuyết 02: các tính chất của diện tích, định lý về sự bằng nhau củahai tam giác, định lý về công thức tính diện tích hình chữ nhật (thừa nhận, khôngchứng minh)

Từ T2, sách giáo khoa đã xây dựng một tổ chức toán học với các yếu tố côngnghệ, lý thuyết mà chúng tôi nêu trên Đó chính là vết của OM2 Đối chiếu vóibảng 1.2, ta thấy sách giáo khoa cũng chỉ sử dụng kỹ thuật XĐS, kỹ thuật THH khôngđuợc khai thác

3.3.3 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T Ị (Chứng minh tỉ số diện tích của hai đa giác bằng một số cho trước)

Từ T3, M8 đã xây dựng một tổ chức toán học là vết của OM3 Liên quan đến T3,khi phân tích các sách giáo khoa Ý, Pháp, Valentina đưa ra kiểu nhiệm vụ T3v, “chứngminh tỉ số diện tích của một đa giác với một bộ phận của nó bằng một số cho trước”.Những bài tập như thế cũng có trong sách giáo khoa Việt Nam Tuy nhiên, ở đâychúng tôi còn tìm thấy những bài tập dạng chứng minh hai đa giác có cùng diện tích,nghĩa là tỉ số diện tích giữa hai đa giác bằng 1 mà kỹ thuật giải có khác, nhưng vẫnnằm trong phạm vi hình học

* Kiểu nhiệm vụ con T 3a: chứng minh hai đa giác có cùng diện tích

Ví dụ: Bài tập 13 (M8, tr 119)

“ABCD là hình chữ nhật, E là một điểm hất kì nằm trên đường chéo ẢC, F G / / A D và

HK // AB Chứng minh rằng hai hình chữ nhật EFBK và EGDH cỏ cùng diện tích.

Lời giải được đề nghị:

“Ta thấy:

Suy ra: S ABC - S AFE - S EKC = S ADC - S AHE - S EGC

hay S EFBK = S EGDH’ (G8, tr 165)

Kỹ thuật giải x3a: chia mỗi đa giác ban đầu sao cho có các cặp đa giác, tam giácbằng nhau; hoặc thêm/bớt các đa giác có cùng diện tích

* Kiểu nhiệm vụ con T ỉh {tỉ sổ khác 1)

đối với học sinh Học sinh có thể nhận thấy:

• Hình thoi MNPQ được chia thành 4 tam giác: MNI, NIP, PIQ, Q1M

• Hình chữ nhật ABCD được chia thành 8 tam giác: MNI, N1P, PIQ, QIM,AMN, NBP, PCQ, MDQ

Các tam giác trên bằng nhau Do đó, S MNPO = —S A

Trong trường họp này, sự bằng nhau về diện tích của hai tam giác bằng nhauđược thừa nhận ở tính chất đầu tiên của diện tích

Kỹ thuật giải T3b (phạm vi hình học): chia mỗi đa giác ban đầu thành các tamgiác có cùng diện tích

Hai kiểu nhiệm vụ T3a, T3b có cùng yếu tố công nghệ 03, đó là các mệnh đề về

sự bằng nhau của diện tích hai tam giác

Phần lý thuyết chỉ đưa vào tính chất hai tam giác bằng nhau thì có cùng diệntích, thiếu đi trường họp hai tam giác không bằng nhau nhưng vẫn cùng diện tích Hệquả là các công thức sẽ được sử dụng để giải thích cho sự đẳng diện của hai tam giác.Yeu tố lý thuyết 03: định lý về công thức tính diện tích tam giác (phạm vi số),các định lý về các trường họp bằng nhau của tam giác

Bên cạnh ba tổ chức toán học tưong ứng với các tổ chức toán học Tlv, T2v, T3v

mà Valentina xác định trong các sách giáo khoa Ý, Pháp, chúng tôi còn tìm thấy ởsách giáo khoa Việt Nam những tổ chức toán học gắn vói các kiểu nhiệm vụ khác

3.3.4 Tồ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 4 (tìm độ dài thỏa mãn một điều kiện về diện tích)

Kiểu nhiệm vụ T4 đuợc chúng tôi đặt tên là “tìm độ dài thỏa điều kiện diện

- Xác định diện tích của một hình

- Thay số vào công thức, giải phưong trình (nếu cần) để tìm độ dài

+ Yeu tố công nghệ tối tiểu ô4: định lý về công thức tính diện tích

+ Yeu tố lý thuyết 04: các tính chất của diện tích, định lý về sự bằng nhau củahai tam giác, định lý về công thức tính diện tích hình chữ nhật (thừa nhận, khôngchứng minh)

3.3.5 Tồ chức toán học gan với kiểu nhiệm vụ T 5 (Vẽ các đối tượng hình học thỏa mãn một điều kiện về diện tích)

Ví dụ ở trang 124, M8, là một nhiệm vụ thuộc kiểu T5 - vẽ các đối tượng hìnhhọc (điểm, hình) thỏa điều kiện diện tích

“Cho hình chữ nhật với hai kích thước a, b Hãy vẽ một tam giác cỏ một cạnh bằng

cạnh của hình chữ nhật và có diện tích bằng diện tích của hình chừ nhật đỏ Giải:

Tam giác cỏ cạnh bằng a muốn cỏ diện tích bằng a.b thì chiều cao ứng với cạnh a phải bằng 2b Một trong những tam giác như thế

50m

◄